苏科版八年级数学上册期中考试重难点题型(举一反三)(原卷+解析)
八年级数学上册期中考试重难点题型【举一反三】【苏科版】【知识点1】全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.【知识点2】全等三角形的判定两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”三边对应相等的三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”斜边、直角边公理斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边公理”或“HL”）【知识点3】轴对称的概念把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，那么这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫对称轴，两个图形中对应点叫做对称点【知识点4】轴对称图形的概念把一个图形沿某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么成这个图形是轴对称图形，这条直线式对称轴【知识点5】垂直平分线垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线【知识点6】轴对称性质：1、成轴对称的两个图形全等2、如歌两个图形成轴对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线3、成轴对称的两个图形的任何对应部分成轴对称4、成轴对称的两条线段平行或所在直线的交点在对称轴上【知识点7】线段的对称性1、线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是对称轴2、线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等3、到线段两端距离相等的点在垂直平分线上【知识点8】角的对称性1、角是轴对称图形，角平分线所在的直线是对称轴2、角平分线上的点到角的两边距离相等3、到角的两边距离相等的点在角平分线上【知识点9】等腰三角形的性质1、等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是对称轴2、等边对等角3、三线合一【知识点10】等腰三角形判定1、两边相等的三角形是等边三角形2、等边对等角直角三角形斜边上中线等于斜边一半【知识点11】等边三角形判定及性质1、三条边相等的三角形是等边三角形2、等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴3、等边三角形每个角都等于60°(补充) 等腰梯形：两腰相等的梯形是等腰梯形【知识点12】等腰梯形性质1、等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是对称轴2、等腰梯形在同一底上的两个角相等3、等腰梯形对角线相等【知识点13】等腰梯形判定1.、两腰相等的梯形是等腰梯形2、在同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形【知识点14】勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方a²＋b²＝c²【知识点15】勾股定理逆定理如果一个三角形三边a、b、c满足a²＋b²＝c²,那么这个三角形是直角三角形【知识点16】勾股数满足a²＋b²=c²的三个正整数a、b、c称为勾股数【考点1 全等三角形的判定】【例1】（2018秋•利津县期中）如图，AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，AE＝CF，其中全等三角形的对数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【变式1-1】（2018秋•思明区校级期中）如图，已知，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E；⑤∠1＝∠2．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【变式1-2】（2018秋•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（）A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50°B．AB＝5，BC＝6，AC＝13C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8 D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°【变式1-3】（2018秋•东台市期中）如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E；③∠B＝∠E，∠C＝∠F，BC＝EF；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【考点2 等腰三角形中的分类讨论思想】【例2】（2018春•鄄城县期末）等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．8cm【变式2-1】（2018春•金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（）A．50°B．130°C．50°或140°D．50°或130°【变式2-2】（2018秋•绥棱县期末）已知一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm，则腰长为（）A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．10cm【变式2-3】（2018秋•沙依巴克区校级期中）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）A．30°B．30°或150°C．120°或150°D．30°或120°或150°【考点3 勾股定理与折叠】【例3】（2019•云阳县校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，将其折叠使AB落在对角线AC 上，得到折痕AE，那么BE的长度为（）A．B．C．D．【变式3-1】（2018春•江夏区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边CD上一点，将△ADM 沿直线AM对折，得△ANM，连BN，若DM＝1，则△ABN的面积是（）A．B．C．D．【变式3-2】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．B．C．D．【变式3-3】如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）A．2 B．C．D．【考点4 轴对称中的最值问题】【例4】（2018秋•吴江区期中）如图，∠AOB＝45°，点P是∠AOB内的定点，且OP＝1，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A．B．C．2 D．1.5【变式4-1】（2018秋•如皋市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．2.4 B．4.8 C．4 D．5【变式4-2】（2018秋•大连期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝4，点C和点D分别是射线OA 和射线OB上的动点，△PCD周长的最小值是4，则∠AOB的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【变式4-3】（2018•营口）如图，在锐角三角形ABC中，BC＝4，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M，N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是（）A．B．2 C．2D．4【考点5 线段垂直平分线的应用】【例5】（2018•太仓市模拟）如图，在钝角△ABC中，已知∠A为钝角，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，若BD2+CE2＝DE2，则∠A的度数为°．【变式5-1】（2018春•叶县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为钝角，BC＝6，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，连接AD、AE，那么△ADE的周长为．【变式5-2】（2018秋•江都区期中）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N，∠ACB＝118°，则∠MCN的度数为．【变式5-3】（2018秋•丰县期中）如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F，若CD＝5，DF＝4，则BE＝．【考点6 复杂的尺规作图】【例6】（2018秋•六合区期中）在七年级我们就学过用一副三角板画出一些特殊度数的角．在八年级第二章，我们学会了一些基本的尺规作图，这些特殊的角也能用尺规作出．下面请各位同学开动脑筋，只用直尺和圆规完成下列作图．已知：如图，射线OA．求作：∠AOB，使得∠AOB在射线OA的上方，且∠AOB＝45°（保留作图痕迹，不写作法）【变式6-1】（2018秋•泗洪县期中）已知：如图，在△ABC中，AC＜AB且∠C＝2∠B （1）用直尺和圆规作出一条过点A的直线1，使得点C关于直线的对称点落在边AB上（不写作法，保留作图痕迹）（2）设（1）中直线l与边BC的交点为D，请写出线段AB、AC、CD之间的数量关系并说明理由．【变式6-2】（2018秋•丹阳市期中）如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5．（1）试用直尺和圆规，在直线AB上求作点P，使△PBC为等腰三角形．要求：①保留作图痕迹；②若点P有多解，则应作出所有的点P，并在图中依次标注P1、P2、P3、…；（2）根据（1）求PA的长（所有可能的值）【变式6-3】（2018•惠山区二模）如图，已知△ABC（AC＜AB＜BC），请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：（1）在边BC上确定一点P，使得PA+PC＝BC；（2）作出一个△DEF，使得：①△DEF是直角三角形；②△DEF的周长等于边BC的长．【考点7 与直角三角形性质的有关综合】【例7】（2018秋•泗洪县期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE 于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB．（1）说明DC＝DG；（2）若DG＝7，EC＝4，求DE的长．【变式7-1】（2018秋•海州区校级期中）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．（1）请说明：DE＝DF；（2）请说明：BE2+CF2＝EF2；（3）若BE＝6，CF＝8，求△DEF的面积（直接写结果）．【变式7-2】（2018秋•高邮市期中）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的中线．（1）若AD＝12，BD＝16，求DE；（2）已知点F是中线CE的中点，连接DF，若∠AEC＝57°，∠DFE＝90°，求∠BCE的度数．【变式7-3】（2018秋•太仓市期末）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点，BC＝10．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数；（2）若EF＝4，求△MEF的面积．【考点8 等腰三角形与全等三角形的综合】【例8】（2019•东莞市模拟）如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝45°，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，BE与AD相交于F．（1）求证：BF＝AC；（2）若CD＝3，求AF的长．【变式8-1】（2018秋•临清市期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：CD＝BF；（2）求证：AD⊥CF；（3）连接AF，试判断△ACF的形状．【变式8-2】（2019秋•宁河县校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D是BC的中点，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点F．（1）求证：AE＝CE；（2）求证：△AEF≌△CEB．【变式8-3】如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD，交于点F．（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．【考点9 与三角形有关的动点问题】【例9】（2018秋•全椒县期末）已知△ABC中，AC＝BC，∠C＝120°，点D为AB边的中点，∠EDF＝60°，DE、DF分别交AC、BC于E、F点．（1）如图1，若EF∥AB．求证：DE＝DF．（2）如图2，若EF与AB不平行．则问题（1）的结论是否成立？说明理由．【变式9-1】（2019秋•本溪期末）△ABC中，AB＝AC，点D为射线BC上一个动点（不与B、C重合），以AD为一边向AD的左侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，过点E作BC的平行线，交直线AB于点F，连接BE．（1）如图1，若∠BAC＝∠DAE＝60°，则△BEF是三角形；（2）若∠BAC＝∠DAE≠60°①如图2，当点D在线段BC上移动，判断△BEF的形状并证明；②当点D在线段BC的延长线上移动，△BEF是什么三角形？请直接写出结论并画出相应的图形．【变式9-2】（2018秋•十堰期末）在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝．（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．【变式9-3】（2019秋•上城区期末）如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．（1）判断AD与BE是否相等，请说明理由；（2）如图2，若AB＝8，点P、Q两点在直线BE上且CP＝CQ＝5，试求PQ的长；（3）在第（2）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时．判断PQ的长是否为定值，若是请直接写出PQ的长；若不是请简单说明理由．【考点10 与等边三角形的性质与判定有关问题综合】【例10】（2018春•天心区校级期末）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB＝∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC＝105°，求∠BED的度数．【变式10-1】（2018秋•广州期末）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD，△AEC都是等边三角形，BE 交AD于点M，CD交AE于N．（1）求证：BE＝DC；（2）求证：△AMN是等边三角形；（3）将△ACE绕点A按顺时针方向旋转90°，其它条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断（1）、（2）两小题结论是否仍然成立，并加以证明．【变式10-2】（2018秋•麻城市校级期末）（1）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC＝∠DCE，若∠A＝60°（如图①）．求证：EB＝AD；（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其它条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由．【变式10-3】（2017秋•仁寿县期末）如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE，连结AE、BD．（1）求证：BD＝AE；（2）如图2，若M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM＝BN，请判断△CMN的形状，并说明理由．【考点11 等腰三角形新定义问题】【例11】（2018秋•滨湖区期中）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．【应用】（1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值；（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．【变式11-1】（2019春•顺德区月考）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．（1）如图1，△ABC是等腰锐角三角形，AB＝AC（AB＞BC），若∠ABC的角平分线BD交AC于点D，且BD是△ABC的一条特异线，则∠BDC＝度；（2）如图2，△ABC中，∠B＝2∠C，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E．求证：AE是△ABC的一条特异线；（3）如图3，已知△ABC是特异三角形，且∠A＝30°，∠B为钝角，求出所有可能的∠B的度数（如有需要，可在答题卡相应位置另外画图）．【变式11-2】（2019秋•余姚市校级期中）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．请你在图2中用三种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）【变式11-3】（2019秋•常州期中）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．如图1，把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，我们把这两条线段叫做等腰三角形的三分线．（1）如图2，请用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）如图3，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．【考点12 旋转法探索几何证明题】【例12】（2019•广州模拟）（1）如图（1），在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．①求证：BE+CF＞EF．②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明；（2）如图（2），在四边形ABCD中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．【变式12-1】（2018秋•灌云县期中）解决问题（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．求证：EF＝BE+FD．小明想到条件∠EAF＝∠BAD应用需要转化，将△ADF绕顶点A旋转到△ABG处，此时△ABG≌△ADF，把线段BE、FD集中到一起，进一步可以再证明EF＝EG＝BE+FD．证明：（1）延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵∠ABG＝∠ABC＝∠D＝90°，AB＝AD∴△ABG≌△ADF．小明没有证明结束，请你补齐证明过程．基本运用：请你用第（1）题的解答问题的思想方法，解答下面的问题（2）已知如图2，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点，且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+CF2；拓展延伸（3）已知如图3，等边△ABC内有一点P，AP＝8，BP＝15，AP＝17，求∠APB的度数．【变式12-2】（2018秋•丰县期中）如图，画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC．（1）将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别垂直，垂足为E、F（如图1），则PE PF（选填＜，＞，＝）（2）把三角尺绕着点P旋转（如图2），PE与PF相等吗？试猜想PE、PF的大小关系，并说明理由．拓展延伸1：在（2）条件下，过点P作直线GH⊥OC，分别交OA、OB于点G、H，如图3①图中全等三角形有对（不添加辅助线）②猜想GE、FH、EF之间的关系，并证明你的猜想．拓展延伸2：画∠AOB＝70°，并画∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，作∠EPF＝110°．∠EPF的两边分别与OA、OB相交于E、F两点（如图4），PE与PF相等吗？请说明理由．【变式12-3】（2018秋•盐都区校级期中）（1）问题发现：如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE．填空：①∠AEB的度数为；②线段AD、BE之间的数量关系是．（2）拓展研究：如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，若AE＝15，DE＝7，求AB的长度．（3）探究发现：图1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋转过程中当点A，D，E不在同一直线上时，设直线AD与BE相交于点O，试在备用图中探索∠AOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．八年级数学上册期中考试重难点题型【举一反三】【苏科版】【知识点1】全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.【知识点2】全等三角形的判定两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”。
【苏科版】 八年级上期中数学试卷(含答案
精品“正版”资料系列，由本公司独创。
旨在将“人教版”、”苏教版“、”北师大版“、”华师大版“等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友。
本资源创作于2020年12月，是当前最新版本的教材资源。
包含本课对应内容，是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最佳选择。
通过我们的努力，能够为您解决问题，这是我们的宗旨，欢迎您下载使用!2016-2017学年江苏省泰州市兴化市顾庄学区三校八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共有6小题, 每小题3分, 共18分）1．化简：的值为（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．162．有些国家的国旗设计成了轴对称图形, 观察如图代表国旗的图案, 你认为是轴对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个3．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．5cm, 9cm, 12cm B．7cm, 12cm, 13cmC．30cm, 40cm, 50cm D．3cm, 4cm, 6cm4．在实数、﹣、0.1010010001、、3.14、﹣中, 无理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．已知点A（a, 2016）与点B关于x轴对称, 则a+b的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．36．如图, 等腰三角形ABC的底边BC长为4, 面积是16, 腰AC的垂直平分线EF分别交AC, AB边于E, F点．若点D为BC边的中点, 点M为线段EF上一动点, 则△CDM周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题（本大题共有10小题, 每小题3分, 共30分）7．等边三角形的边长为a, 则它的周长为．8．比较大小：4（填“＞”或“＜”）9．估算：的值是（精确到0.1）．10．若点A的坐标（x, y）满足条件（x﹣3）2+|y+2|=0, 则点A在第象限．11．等腰三角形的顶角为80°, 则底角等于．12．如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, AB=10cm, 点D为AB的中点, 则CD=cm．13．已知一个三角形的三边长分别为12、16、20, 则这个三角形的面积是．14．如图, 在平面直角坐标系xOy中, 已知点A（3, 4）, 将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′, 则点A′的坐标是．15．在长、宽都是3, 高是8的长方体纸箱的外部, 一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点, 那么它所行的最短路线的长是．16．在△ABC中, AB=13cm, AC=20cm, BC边上的高为12cm, 则BC长为．三、解答题（本大题共有10小题, 共102分．解答时应写出必要的步骤）17．（1）计算：﹣（π+2）0+|1﹣|；（2）已知：（x+1）2=16, 求x．18．如图, 正方形网格中的每个小正方形边长都是1．（1）图1、图2中已知线段AB、CD, 画线段EF（图1与图2不得相同）, 使它与AB、CD 组成轴对称图形；（2）在图3中画出一条以格点为端点长为的线段MN．19．已知：如图, P、Q是△ABC边BC上两点, 且AB=AC, AP=AQ．求证：BP=CQ．20．已知在△ABC中, 三条边长分别为a、b、c, 且a=n2﹣1、b=2n、c=n2+1, △ABC是直角三角形吗？请说明理由．21．已知：如图, △ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．22．如图, 在平面直角坐标系中, A（﹣1, 5）, B（﹣1, 0）, C（﹣4, 3）．（1）求出△ABC的面积；（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（3）写出点A1, B1, C1的坐标．23．如图, 在△ABC中, ∠C=90°, CB=6, AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E, CD=5．（1）求线段AC的长；（2）求线段AE的长．24．在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, AC=BC, D为BC中点, CE⊥AD于E, BF∥AC交CE的延长线于F．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）求证：AB垂直平分DF．25．阅读材料, 解答下列问题：例：当a＞0时, 如a=5, 则|a|=|5|=5, 故此时a的绝对值是它本身；当a=0时, |a|=0, 故此时a的绝对值是0；当a＜0时, 如a=﹣5, 则|a|=|﹣5|=﹣（﹣5）, 故此时a的绝对值是它的相反数．综上所述, 一个数的绝对值要分三种情况, 即：|a|=, 这种分析方法渗透了数学中的分类讨论思想．（1）请仿照例中的分类讨论, 分析的各种化简后的情况；（2）猜想与|a|的大小关系；（3）当1＜x＜2时, 试化简|x+1|+．26．已知, 点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合）, 分别过A、B向直线CP作垂线, 垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点．（1）如图1, 当点P与点Q重合时, AE与BF的位置关系是, QE与QF的数量关系是；（2）如图2, 当点P在线段AB上不与点Q重合时, 试判断QE与QF的数量关系, 并给予证明；（3）如图3, 当点P在线段BA（或AB）的延长线上时, 此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．2016-2017学年江苏省泰州市兴化市顾庄学区三校八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有6小题, 每小题3分, 共18分）1．化简：的值为（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．16【考点】二次根式的性质与化简．【分析】表示16的算术平方根, 根据二次根式的意义解答即可．【解答】解：原式==4．故选A．2．有些国家的国旗设计成了轴对称图形, 观察如图代表国旗的图案, 你认为是轴对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合, 这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．【解答】解：根据轴对称的概念可知：加拿大国旗、瑞士国旗是轴对称图形, 符合题意；澳大利亚国旗、乌拉圭国旗都不是轴对称图形, 不符合题意．故选C．3．下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．5cm, 9cm, 12cm B．7cm, 12cm, 13cmC．30cm, 40cm, 50cm D．3cm, 4cm, 6cm【考点】勾股定理的逆定理．【分析】欲求证是否为直角三角形, 这里给出三边的长, 只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、52+92≠122, 不能构成直角三角形, 故选项错误；B、72+122≠132, 不能构成直角三角形, 故选项错误；C、302+402=502, 能构成直角三角形, 故选项正确；D、32+42≠62, 不能构成直角三角形, 故选项错误．故选C．4．在实数、﹣、0.1010010001、、3.14、﹣中, 无理数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】无理数．【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数, ②无限不循环小数, ③含有π的数, 解答即可．【解答】解：、﹣是无理数,故选：A．5．已知点A（a, 2016）与点B关于x轴对称, 则a+b的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据“关于x轴对称的点, 横坐标相同, 纵坐标互为相反数”求出a、b的值, 然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵点A（a, 2016）与点B关于x轴对称,∴a=2017, b=﹣2016,∴a+b=2017+（﹣2016）=1．故选B．6．如图, 等腰三角形ABC的底边BC长为4, 面积是16, 腰AC的垂直平分线EF分别交AC, AB边于E, F点．若点D为BC边的中点, 点M为线段EF上一动点, 则△CDM周长的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12【考点】轴对称-最短路线问题．【分析】连接AD, 由于△ABC是等腰三角形, 点D是BC边的中点, 故AD⊥BC, 再根据三角形的面积公式求出AD的长, 再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知, 点C关于直线EF的对称点为点A, 故AD的长为CM+MD的最小值, 由此即可得出结论．【解答】解：连接AD,∵△ABC是等腰三角形, 点D是BC边的中点,∴AD⊥BC,=BC•AD=×4×AD=16, 解得AD=8,∴S△ABC∵EF是线段AC的垂直平分线,∴点C关于直线EF的对称点为点A,∴AD的长为CM+MD的最小值,∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+BC=8+×4=8+2=10．故选C．二、填空题（本大题共有10小题, 每小题3分, 共30分）7．等边三角形的边长为a, 则它的周长为3a．【考点】等边三角形的性质．【分析】等边三角形的边长为a, 进而求出它的周长．【解答】解：因为等边三角形的三边相等, 而等边三角形的边长为a, 所以它的周长为3a．故答案为3a．8．比较大小：4＞（填“＞”或“＜”）【考点】实数大小比较；二次根式的性质与化简．【分析】根据二次根式的性质求出=4, 比较和的值即可．【解答】解：4=,＞,∴4＞,故答案为：＞．9．估算：的值是 4.2（精确到0.1）．【考点】估算无理数的大小；近似数和有效数字．【分析】先估算的范围, 再尝试求出答案即可．【解答】解：4＜＜5, 4.22=17.64, 4.32=18.49,∴≈4.2,故答案为：4.2．10．若点A的坐标（x, y）满足条件（x﹣3）2+|y+2|=0, 则点A在第四象限．【考点】点的坐标；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．【分析】根据非负数之和等于0的特点, 求得x, y的值, 求出点A的坐标, 即可判断其所在的象限．【解答】解：∵（x﹣3）2+|y+2|=0,∴x﹣3=0, y+2=0,∴x=3, y=﹣2,∴A点的坐标为（3, ﹣2）,∴点A在第四象限．故填：四．11．等腰三角形的顶角为80°, 则底角等于50°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】因为等腰三角形的两个底角的度数相等, 再依据三角形的内角和是180度, 即可分别求出三角形的底角的度数．【解答】解：÷2=100°÷2=50°．故答案为：50°．12．如图, 在△ABC中, ∠ACB=90°, AB=10cm, 点D为AB的中点, 则CD=5cm．【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】根据直角三角形中, 斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【解答】解：∵∠ACB=90°, 点D为AB的中点,∴CD=AB=5cm．故答案为：5．13．已知一个三角形的三边长分别为12、16、20, 则这个三角形的面积是96．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】首先根据勾股定理的逆定理判定该三角形是直角三角形, 再进一步根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半求解．【解答】解：∵122+162=400=202,∴该三角形是直角三角形,∴这个三角形的面积是×12×16=96．故答案为96．14．如图, 在平面直角坐标系xOy中, 已知点A（3, 4）, 将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′, 则点A′的坐标是（﹣4, 3）．【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】过点A作AB⊥x轴于B, 过点A′作A′B′⊥x轴于B′, 根据旋转的性质可得OA=OA′, 利用同角的余角相等求出∠OAB=∠A′OB′, 然后利用“角角边”证明△AOB和△OA′B′全等, 根据全等三角形对应边相等可得OB′=AB, A′B′=OB, 然后写出点A′的坐标即可．【解答】解：如图, 过点A作AB⊥x轴于B, 过点A′作A′B′⊥x轴于B′,∵OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′,∴OA=OA′, ∠AOA′=90°,∵∠A′OB′+∠AOB=90°, ∠AOB+∠OAB=90°,∴∠OAB=∠A′OB′,在△AOB和△OA′B′中,,∴△AOB≌△OA′B′（AAS）,∴OB′=AB=4, A′B′=OB=3,∴点A′的坐标为（﹣4, 3）．故答案为：（﹣4, 3）．15．在长、宽都是3, 高是8的长方体纸箱的外部, 一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点, 那么它所行的最短路线的长是10．【考点】平面展开-最短路径问题．【分析】分情况讨论, 将纸箱展开后, 蚂蚁可经上表面爬到B点, 也可经右侧面爬到B点．求出这两种情况所走路线的长度, 比较可得答案．【解答】解：将纸箱展开, 当蚂蚁经上表面爬到B点, 则AB==当蚂蚁经右侧面爬到B点, 则AB==比较上面两种情况, 一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点, 那么它所行的最短路线的长是, 即10．16．在△ABC中, AB=13cm, AC=20cm, BC边上的高为12cm, 则BC长为21cm或11cm．【考点】勾股定理．【分析】分两种情况：①∠B为锐角；②∠B为钝角；利用勾股定理求出BD、CD, 即可求出BC的长．【解答】解：分两种情况：①当∠B为锐角时, 如图1所示,在Rt△ABD中,BD===5（cm）,在Rt△ADC中,CD===16cm,∴BC=BD+CD=21cm；②当∠B为钝角时, 如图2所示,在Rt△ABD中,BD═==5（cm）,在Rt△ADC中,CD===16cm,∴BC=CD﹣BD=16﹣5=11（cm）；综上所述：BC的长为21cm或11cm．三、解答题（本大题共有10小题, 共102分．解答时应写出必要的步骤）17．（1）计算：﹣（π+2）0+|1﹣|；（2）已知：（x+1）2=16, 求x．【考点】实数的运算；零指数幂．【分析】（1）本题有零指数幂、立方根、绝对值化简3个考点．在计算时, 需要针对每个考点分别进行计算, 然后根据实数的运算法则求得计算结果．（2）根据平方运算, 转化为一元一次方程, 求出x的值．【解答】解：（1）原式=2﹣1+﹣1=；（2）因为（±4）2=16所以x+1=4或x+1=﹣4∴x=3或x=﹣5．答：x的值为3或者﹣5．18．如图, 正方形网格中的每个小正方形边长都是1．（1）图1、图2中已知线段AB、CD, 画线段EF（图1与图2不得相同）, 使它与AB、CD 组成轴对称图形；（2）在图3中画出一条以格点为端点长为的线段MN．【考点】利用轴对称设计图案；勾股定理．【分析】（1）根据轴对称的性质画出图形即可；（2）根据勾股定理画出线段MN即可．【解答】解：（1）如图1, 2所示, 线段EF即为所求；（2）如图3所示, 线段MN即为所求．19．已知：如图, P、Q是△ABC边BC上两点, 且AB=AC, AP=AQ．求证：BP=CQ．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据线段垂直平分线的性质, 可得BO=CO, PO=QO, 根据等式的性质, 可得答案．【解答】证明：过点A作AO⊥BC于O．∵AB=AC, AO⊥BC∴BO=CO∵AP=AQ, AO⊥BC∴PO=QO∴BO﹣PO=CO﹣QO∴BP=CQ．20．已知在△ABC中, 三条边长分别为a、b、c, 且a=n2﹣1、b=2n、c=n2+1, △ABC是直角三角形吗？请说明理由．【考点】勾股定理的逆定理．【分析】判断一组数能否成为直角三角形的三边, 就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方即可．【解答】解：△ABC是直角三角形,理由如下：∵（n2﹣1）2+（2n）2=n4+2n2+1=（n2+1）2,∴a2+b2=c2,∴能成为直角三角形的三边长．21．已知：如图, △ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．【考点】角平分线的性质．【分析】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N, 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD=PM, 同理可得PM=PN, 从而得到PD=PN, 再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【解答】证明：如图, 过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N,∵BE平分∠ABC, 点P在BE上,∴PD=PM,同理, PM=PN,∴PD=PN,∴点P在∠A的平分线上．22．如图, 在平面直角坐标系中, A（﹣1, 5）, B（﹣1, 0）, C（﹣4, 3）．（1）求出△ABC的面积；（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（3）写出点A1, B1, C1的坐标．【考点】作图-轴对称变换．【分析】（1）利用长方形的面积剪去周围多余三角形的面积即可；（2）首先找出A、B、C三点关于y轴的对称点, 再顺次连接即可；（3）根据坐标系写出各点坐标即可．【解答】解：（1）如图所示：△ABC的面积：3×5﹣﹣﹣=6；（2）如图所示：（3）A1（2, 5）, B1（1, 0）, C1（4, 3）．23．如图, 在△ABC中, ∠C=90°, CB=6, AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E, CD=5．（1）求线段AC的长；（2）求线段AE的长．【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AB=2CD=10, 根据勾股定理计算即可；（2）连接BE, 设AE=x, 根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE=x, 根据勾股定理列出关于x的方程, 解方程即可．【解答】解：（1）∵AB的垂直平分线,∴CD为中线,∵∠C=90°,∴AB=2CD=10,∵∠C=90°,∴；（2）连接BE,设AE=x,∵AB的垂直平分线,∴BE=AE=x,∴CE=8﹣x,∵∠C=90°,∴CE2+BC2=BE2,∴（8﹣x）2+62=x2,解得：,∴线段AE的长为．24．在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, AC=BC, D为BC中点, CE⊥AD于E, BF∥AC交CE的延长线于F．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）求证：AB垂直平分DF．【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．【分析】（1）根据∠ACB=90°, 求证∠CAD=∠BCF, 再利用BF∥AC, 求证∠ACB=∠CBF=90°, 然后利用ASA即可证明△ACD≌△CBF．（2）先根据ASA判定△ACD≌△CBF得到BF=BD, 再根据角度之间的数量关系求出∠ABC=∠ABF, 即BA是∠FBD的平分线, 从而利用等腰三角形三线合一的性质求证即可．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, AC=BC,∴∠CAB=∠CBA=45°,∵CE⊥AD,∴∠CAD=∠BCF,∵BF∥AC,∴∠FBA=∠CAB=45°∴∠ACB=∠CBF=90°,在△ACD与△CBF中,∵,∴△ACD≌△CBF；（2）证明：∵∠BCE+∠ACE=90°, ∠ACE+∠CAE=90°,∴∠BCE=∠CAE．∵AC⊥BC, BF∥AC．∴BF⊥BC．∴∠ACD=∠CBF=90°,在△ACD与△CBF中,∵,∴△ACD≌△CBF,∴CD=BF．∵CD=BD=BC,∴BF=BD．∴△BFD为等腰直角三角形．∵∠ACB=90°, CA=CB,∴∠ABC=45°．∵∠FBD=90°,∴∠ABF=45°．∴∠ABC=∠ABF, 即BA是∠FBD的平分线．∴BA是FD边上的高线, BA又是边FD的中线,即AB垂直平分DF．25．阅读材料, 解答下列问题：例：当a＞0时, 如a=5, 则|a|=|5|=5, 故此时a的绝对值是它本身；当a=0时, |a|=0, 故此时a的绝对值是0；当a＜0时, 如a=﹣5, 则|a|=|﹣5|=﹣（﹣5）, 故此时a的绝对值是它的相反数．综上所述, 一个数的绝对值要分三种情况, 即：|a|=, 这种分析方法渗透了数学中的分类讨论思想．（1）请仿照例中的分类讨论, 分析的各种化简后的情况；（2）猜想与|a|的大小关系；（3）当1＜x＜2时, 试化简|x+1|+．【考点】二次根式的性质与化简；实数大小比较．【分析】（1）分a＞0, a=0及a＜0三种情况进行讨论即可；（2）根据（1）的结果可得出结论；（3）先判断出x+1, x﹣2的符号, 再去绝对值符号, 合并同类项即可．【解答】解：（1）当a＞0时, 如a=5, 则==5, 即=a；当a=0 时, ==0, 即=0；当a＜0时, 如a=﹣5, 则==5, 即=﹣a．综合起来：=；（2）由（1）可知=|a|；（3）∵1＜x＜2,∴x+1＞0, x﹣2＜0,∴|x+1|+=|x+1|+|x﹣2|=x+1﹣（x﹣2）=3．26．已知, 点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A、B重合）, 分别过A、B向直线CP作垂线, 垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点．（1）如图1, 当点P与点Q重合时, AE与BF的位置关系是AE∥BF, QE与QF的数量关系是QE=QF；（2）如图2, 当点P在线段AB上不与点Q重合时, 试判断QE与QF的数量关系, 并给予证明；（3）如图3, 当点P在线段BA（或AB）的延长线上时, 此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】（1）根据AAS推出△AEQ≌△BFQ, 推出AE=BF即可；（2）延长EQ交BF于D, 求出△AEQ≌△BDQ, 根据全等三角形的性质得出EQ=QD, 根据直角三角形斜边上中点性质得出即可；（3）延长EQ交FB于D, 求出△AEQ≌△BDQ, 根据全等三角形的性质得出EQ=QD, 根据直角三角形斜边上中点性质得出即可．【解答】解：（1）如图1,当点P与点Q重合时, AE与BF的位置关系是AE∥BF, QE与QF的数量关系是AE=BF,理由是：∵Q为AB的中点,∴AQ=BQ,∵AE⊥CQ, BF⊥CQ,∴AE∥BF, ∠AEQ=∠BFQ=90°,在△AEQ和△BFQ中∴△AEQ≌△BFQ,∴QE=QF,故答案为：AE∥BF, QE=QF；（2）QE=QF,证明：延长EQ交BF于D,∵由（1）知：AE∥BF,∴∠AEQ=∠BDQ,在△AEQ和△BDQ中∴△AEQ≌△BDQ,∴EQ=DQ,∵∠BFE=90°,∴QE=QF；,（3）当点P在线段BA（或AB）的延长线上时, 此时（2）中的结论成立, 证明：延长EQ交FB于D, 如图3,∵由（1）知：AE∥BF,∴∠AEQ=∠BDQ,在△AEQ和△BDQ中∴△AEQ≌△BDQ,∴EQ=DQ,∵∠BFE=90°,∴QE=QF．2016年12月8日。
八年级上册数学举一反三系列专题06 八年级数学上册期中考试重难点题型(举一反三)(解析版)
专题06 八年级数学上册期中考试重难点题型【举一反三】【人教版】【知识点1】三角形1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.钝角三角形三条高的交点在三角形外,直角三角形的三条高的交点在三角形上,锐角三角形的三条高的交点在三角形内，三条高线的交点叫做三角形的垂心4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.（三条中线的交点叫重心）5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. （三角形三条角平分线的交点到三边距离相等，三条角平分线的交点叫做内心6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.（例如自行车的三角形车架利用了三角形具有稳定性）7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180°⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180° ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°. ⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线. 【知识点2】全等三角形1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.（三角形三条角平分线的交点到三边距离相等）【知识点3】轴对称1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.【考点1 灵活运用三角形三边关系】【例1】（2019秋•洛龙区校级期中）已知△ABC的三边长为a，b，c，化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是（）A．2b﹣2c B．﹣2b C．2a+2b D．2a【分析】先根据三角形三边关系判断出a+b﹣c与b﹣a﹣c的符号，再把要求的式子进行化简，即可得出答案．【答案】解：∵△ABC的三边长分别是a、b、c，∴a+b＞c，b﹣a＜c，∴a+b﹣c＞0，b﹣a﹣c＜0，∴|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|＝a+b﹣c﹣（﹣b+a+c）＝a+b﹣c+b﹣a﹣c＝2（b﹣c）；故选：A．【点睛】此题考查了三角形三边关系，用到的知识点是三角形的三边关系、绝对值、整式的加减，关键是根据三角形的三边关系判断出a+b﹣c与，b﹣a﹣c的符号．【变式1-1】（2019秋•濉溪县期中）设三角形三边之长分别为3，8，1﹣2a，则a的取值范围为（）A．﹣6＜a＜﹣3B．﹣5＜a＜﹣2C．﹣2＜a＜5D．a＜﹣5或a＞2【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边和两边之差小于第三边列出不等式组求出其解即可．【答案】解：由题意，得8﹣3＜1﹣2a＜8+3，即5＜1﹣2a＜11，解得：﹣5＜a＜﹣2．故选：B．【点睛】本题考查了根据三角形三边关系建立不等式组解实际问题的运用，不等式组的解法的运用，解答时根据三角形的三边关系建立不等式组是关键．【变式1-2】（2019秋•宁都县期中）如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，则BC边上的中线AD的取值范围是（）A．2＜AD＜8B．0＜AD＜8C．1＜AD＜4D．3＜AD＜5【分析】先延长AD到E，且AD＝DE，并连接BE，由于∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，利用SAS易证△ADC≌△EDB，从而可得AC＝BE，在△ABE中，再利用三角形三边的关系，可得2＜AE＜8，从而易求1＜AD＜4．【答案】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC，∴△ADC≌△EDB（SAS）∴BE＝AC＝3，在△AEB中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即5﹣3＜2AD＜5+3，∴1＜AD＜4，∴l的取值范围是1＜l＜4，故选：C．【点睛】此题主要考查三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【变式1-3】（2019•防城港期中）在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．5cm＜AB＜10cmC．4cm＜AB＜8cm D．4cm＜AB＜10cm【分析】设AB＝AC＝x，则BC＝20﹣2x，根据三角形的三边关系即可得出结论．【答案】解：∵在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为20cm，∴设AB＝AC＝xcm，则BC＝（20﹣2x）cm，∴，解得5cm＜x＜10cm．故选：B．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、解一元一次不等式组，熟知等腰三角形的两腰相等是解答此题的关键．【考点2 角平分线与多边形内角和】【例2】（2019春•沛县期中）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝α，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数是（）A．90°+αB．﹣90°C．D．540°【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E＝α，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．【答案】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝α，∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣α，∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，∴∠PDC+∠PCD＝（∠BCD+∠CDE）＝270°﹣α，∴∠P＝180°﹣（270°﹣α）＝α﹣90°，故选：B．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．【变式2-1】（2019春•西湖区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（）A．10°B．15°C．30°D．40°【分析】利用四边形内角和是360°可以求得∠DAB+∠ABC＝150°．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得∠P AB+∠ABP的度数，所以根据△ABP的内角和定理求得∠P的度数即可．【答案】解：如图，∵∠D+∠C＝210°，∠DAB+∠ABC+∠C+∠D＝360°，∴∠DAB+∠ABC＝150°．又∵∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，∴∠P AB+∠ABP＝∠DAB+∠ABC+（180°﹣∠ABC）＝90°+（∠DAB+∠ABC）＝165°，∴∠P＝180°﹣（∠P AB+∠ABP）＝15°．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是360°”是解题的关键．【变式2-2】（2019秋•香洲区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D＝α，∠ABC的平分线与∠BCD 的平分线交于点P，则∠P＝（）A．90°﹣αB．αC．90°+αD．360°﹣α【分析】先求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解∠P的度数．【答案】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝360°﹣（∠A+∠D）＝360°﹣α，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠BCD）＝（360°﹣α）＝180°﹣α，则∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（180°﹣α）＝α．故选：B．【点睛】本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，关键是先求出∠ABC+∠BCD的度数．【变式2-3】（2018秋•遵义期中）如图，在四边形ABCD中，∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，则∠BEC＝（）A．∠A+∠D﹣45°B．（∠A+∠D）+45°C．180°﹣（∠A+∠D）D．∠A+∠D【分析】根据四边形的内角和和角平分线的定义解答即可．【答案】解：∵四边形的内角和＝360°，∴∠ABC+∠BCD＝360°﹣（∠A+∠D），∵∠ABC与∠BCD的平分线的交点E恰好在AD边上，∴2∠EBC＝∠ABC，2∠ECB＝∠BCD，∴∠EBC+∠ECB＝，∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣＝，故选：D．【点睛】本题考查角平分线的定义及四边形的内角和定理，解答的关键是根据四边形的内角和和角平分线的定义解答．【考点3 多边形内角和与外角和】【例3】（2019秋•岳池县期中）一个多边形的每一个内角都等于140°，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）A．6条B．7条C．8条D．9条【分析】先求出多边形的边数，再求从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数即可．【答案】解：∵多边形的每一个内角都等于140°，∴每个外角是180°﹣140°＝40°，∴这个多边形的边数是360°÷40°＝9，∴从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是6条．故选：A．【点睛】本题考查多边形的外角和及对角线的知识点，找出它们之间的关系是本题解题关键．【变式3-1】（2019春•内江期中）马小虎在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于830°，则该多边形的边数是（）A．7B．8C．7或8D．无法确定【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，即为180°的（n﹣2）倍，多边形的内角一定大于0度，小于180度，因而多边形中，除去2个内角外，其余内角和与180度的商加上2，以后所得的数值，比这个数值大1或2的整数就是多边形的边数．【答案】解：设少加的2个内角和为x度，边数为n．则（n﹣2）×180＝830+x，即（n﹣2）×180＝4×180+110+x，因此x＝70，n＝7或x＝250，n＝8．故该多边形的边数是7或8．故选：C．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，正确理解多边形内角的大小的特点，以及多边形的内角和定理是解决本题的关键．【变式3-2】（2019春•诸城市期中）过多边形的一个顶点可以作7条对角线，则此多边形的内角和是外角和的（）A．4倍B．5倍C．6倍D．3倍【分析】从多边形一个顶点可作7条对角线，则这个多边形的边数是10，n边形的内角和可以表示成（n ﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和，多边形的外角和为360°，相除即可．【答案】解：∵过多边形的一个顶点共有7条对角线，故该多边形边数为10，∴（10﹣2）•180°＝1440°，∴这个多边形的内角和为1440°，又∵多边形的外角和为360°，∴1440÷360＝4．故选：A．【点睛】本题主要考查了多边形的对角线、内角和公式．外角和公式，是需要熟记的内容，比较简单．【变式3-3】（2019•凉山州期中）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7B．7或8C．8或9D．7或8或9【分析】首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．【答案】解：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝1080°，解得：n＝8．则原多边形的边数为7或8或9．故选：D．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，一个多边形截去一个角后它的边数可能增加1，可能减少1，或不变．【考点4 三角形全等的条件判断】【例4】（2018秋•利津县期中）如图，AB∥CD，BC∥AD，AB＝CD，AE＝CF，其中全等三角形的对数是（）A．4B．3C．2D．1【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【答案】解：∵AB∥CD，BC∥AD，∴∠BAC＝∠ACD，∠DAC＝∠ACB．在△ABC和△CDA中，∴△ABC≌△CDA（ASA），∴AD＝BC，AB＝CD．在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴BE＝DF．∵AE＝CF，∴AE+EF＝CE+EF，∴AF＝CE，在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（SSS），即3对全等三角形，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能正确根据定理进行推理是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．【变式4-1】（2018秋•思明区校级期中）如图，已知，∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，增加下列条件：①AB ＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E；⑤∠1＝∠2．其中能使△ABC≌△AED的条件有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据已有的条件∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．【答案】解：∵∠CAB＝∠DAE，AC＝AD，∴①加上条件AB＝AE可利用SAS定理证明△ABC≌△AED；②加上BC＝ED不能证明△ABC≌△AED；③加上∠C＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△AED；④加上∠B＝∠E可利用AAS证明△ABC≌△AED；⑤加上∠1＝∠2不能证明△ABC≌△AED；故选：B．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【变式4-2】（2018秋•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一△ABC的是（）A．AB＝6，BC＝5，∠A＝50°B．AB＝5，BC＝6，AC＝13C．∠A＝50°，∠B＝80°，AB＝8D．∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°【分析】根据全等三角形的判定方法可知只有C能画出唯一三角形．【答案】解：A、已知AB、BC和BC的对角，不能画出唯一三角形，故本选项错误；B、∵AB+BC＝5+6＝11＜AC，∴不能画出△ABC；故本选项错误；C、已知两角和夹边，能画出唯一△ABC，故本选项正确；D、根据∠A＝40°，∠B＝50°，∠C＝90°不能画出唯一三角形，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法；一般三角形全等的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式4-3】（2018秋•东台市期中）如图，给出下列四组条件：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E；③∠B＝∠E，∠C＝∠F，BC＝EF；④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【分析】根据全等三角形判定的条件，可得答案．【答案】解：①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；②AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E；③∠B＝∠E，∠C＝∠F，BC＝EF；故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定是解题关键．【考点5 等腰三角形中的分类讨论思想】【例5】（2018春•鄄城县期中）等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．3cm B．6cm C．3cm或6cm D．8cm【分析】此题要分情况考虑：3cm是底或3cm是腰．根据周长求得另一边，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断是否能够组成三角形．【答案】解：当3cm是底时，则腰长是（15﹣3）÷2＝6（cm），此时能够组成三角形；当3cm是腰时，则底是15﹣3×2＝9（cm），此时3+3＜9，不能组成三角形，应舍去．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．【变式5-1】（2018春•金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为40°，则此等腰三角形的顶角是（）A．50°B．130°C．50°或140°D．50°或130°【分析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．【答案】解：当为锐角时，如图：∵∠ADE＝40°，∠AED＝90°，∴∠A＝50°，当为钝角时，如图：∠ADE＝40°，∠DAE＝50°，∴顶角∠BAC＝180°﹣50°＝130°．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分类讨论是正确解答本题的关键．【变式5-2】（2019秋•绥棱县期中）已知一个等腰三角形底边的长为5cm，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差为3cm，则腰长为（）A．2cm B．8cm C．2cm或8cm D．10cm【分析】作出图形，根据三角形的中线的定义可得AD＝CD，然后求出两三角形的周长的差等于腰长与底边的差，然后分情况讨论求解即可．【答案】解：如图，∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，∴两三角形的周长的差等于腰长与底边的差，∵BC＝5cm，∴AB﹣5＝3或5﹣AB＝3，解得AB＝8或AB＝2，若AB＝8，则三角形的三边分别为8cm、8cm、5cm，能组成三角形，若AB＝2，则三角形的三边分别为2cm、2cm、5cm，∵2+2＝4＜5，∴不能组成三角形，综上所述，三角形的腰长为8cm．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中线，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．【变式5-3】（2018秋•沙依巴克区校级期中）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）A．30°B．30°或150°C．120°或150°D．30°或120°或150°【分析】题中没有指明等腰三角形一腰上的高是哪边长的一半，故应该分三种情况进行分析，从而不难求解．【答案】解：①如图，∵∠ADB＝90°，AD＝AB，∴∠B＝30°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．②如图，∵∠ADB＝90°，AD＝AC，∴∠ACD＝30°，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠B＝15°，∠ACB＝180°﹣30°＝150°．③如图，∵∠ADB＝90°，AD＝BC，∴∠B＝30°，∵AB＝BC，∴∠CAB＝∠C＝75°，∴∠B＝30°．故选：D．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质的综合运用．【考点6 三种双角平分线应用】【例6】（2018春•翠屏区校级期中）已知△ABC，下列说法正确的是（只填序号）．①如图（1），若点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+∠A；②如图（2），若点P是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A；③如图（3），若点P是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝∠A．【分析】①正确．三角形的内角和为180°，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），从而得证；②正确．根据三角形外角平分线的性质可得∠BCP＝（∠A+∠ABC）、∠PBC＝（∠A+∠ACB）；根据三角形内角和定理可得∠P＝90°﹣∠A．③正确．根据角平分线的定义可得∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE，由外角的性质可得∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，等量代换求出结果；【答案】解：①正确．∵P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A，∴∠P＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣90°+∠A＝90°+∠A；②正确．∵BP、CP为△ABC两外角的平分线，∴∠BCP＝∠BCE＝（∠A+∠ABC），∠PBC＝∠CBF＝（∠A+∠ACB），由三角形内角和定理得：∠BPC＝180°﹣∠BCP﹣∠PBC＝180°﹣[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]＝180°﹣（∠A+180°）＝90°﹣∠A．③正确．∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE，∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∴∠ABC+∠A＝∠PBC+∠P，∠P＝∠A；故答案为①②③．【点睛】此题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件．【变式6-1】（2019秋•新洲区期中）如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，则∠BOC＝度．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BAC+∠ABC＝∠ACE，∠BOC+∠OBC＝∠OCE，再根据角平分线的定义可得∠OBC＝∠ABC，∠OCE＝∠ACE，然后整理可得∠D ＝∠A．【答案】解：由三角形的外角性质，∠BAC+∠ABC＝∠ACE，∠BOC+∠OBC＝∠OCE，∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCE＝∠ACE，∴（∠BAC+∠ABC）＝∠BOC+∠ABC，∴∠BOC＝∠A，∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝35°，故答案为：35°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，要注意整体思想的利用．【变式6-2】（2019秋•高密市期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BD的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，若∠A＝60°，则∠A2的度数为．【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，根据角平分线的定义可得∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，然后整理得到∠A1＝∠A，同理可得∠A2＝∠A1．【答案】解：由三角形的外角性质得，∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，∴∠A1+∠A1BC＝（∠A+∠ABC）＝∠A+∠A1BC，∴∠A1＝∠A，同理可得∠A2＝∠A1＝××60°＝15°，故答案为15°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的是解题的关键．【变式6-3】（2018秋•江汉区校级期中）如图，△ABC中，∠C＝104°，BF平分∠ABC与△ABC的外角平分线AE所在的直线交于点F，则∠F＝．【分析】根据角平分线的定义的定义可知：∠ABF＝∠ABC，∠EAB＝∠DAB，根据三角形外角的性质可知：∠EAB﹣∠ABF＝52°，进而得到∠F的度数．【答案】解：∵BF平分∠ABC，AE平分∠DAB，∴∠ABF＝∠ABC，∠EAB＝∠DAB，∵∠DAB﹣∠ABC＝∠C＝104°，∴∠F＝∠EAB﹣∠ABF＝（∠DAB﹣∠ABC）＝52°，故答案为：52°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理和三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．【考点7 线段垂直平分线的应用】【例7】（2018春•叶县期中）如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC为钝角，BC＝6，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，连接AD、AE，那么△ADE的周长为．【分析】根据垂直平分线性质得AD＝BD，AE＝EC，所以△ADE周长＝BC．【答案】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，∴AD＝BD，AE＝CE，∴L△ADE＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝6．故答案为：6【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，关键是根据垂直平分线性质得AD＝BD，AE＝EC．【变式7-1】（2018秋•江都区期中）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC交AB于M、N，∠ACB＝118°，则∠MCN的度数为．【分析】据三角形内角和定理求出∠A+∠B；根据等腰三角形性质得∠ACM+∠BCN的度数，然后求解．【答案】解：∵∠ACB＝118°，∴∠A+∠B＝62°．∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠ACM+∠BCN＝62°．∴∠MCN＝∠ACB﹣（∠ACM+∠BCN）＝118°﹣62°＝56°．故答案为：56°．【点睛】此题考查了线段垂直平分线性质、三角形内角和定理等知识点，渗透了整体求值的思想方法，难度不大．【变式7-2】（2019秋•新乡期中）如图，在△DAE中，∠DAE＝30°，线段AE，AD的中垂线分别交直线DE于B和C两点，则∠BAC的大小是．【分析】由已知条件，利用了中垂线的性质得到线段相等及角相等，再结合三角形内角和定理求解．【答案】解：如图，∵B是AE的中垂线上的点，C是AD的中垂线上的点，∴AB＝BE，AC＝CD，∴∠AED＝∠BAE＝∠BAD+∠DAE，∠CDA＝∠CAD＝∠DAE+∠CAE，∵∠DAE+∠ADE+∠AED＝180°，∴∠BAD+∠DAE+∠DAE+∠CAE+∠DAE＝3∠DAE+∠BAD+∠EAC＝90°+∠BAD+∠EAC＝180°，∴∠BAD+∠EAC＝90°，∴∠BAC＝∠BAD+∠EAC+∠DAE＝90°+30°＝120°．故答案为：120°．【点睛】本题考查了中垂线的性质、三角形内角和定理及等腰三角形的判定与性质；确定各角的关系利用内角和列式求解是正确解答本题的关键．【变式7-3】（2018秋•老河口市期中）如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC，若∠A＝70°，则∠BPC的度数是．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到P A＝PB，根据等腰三角形的性质得到∠P AB＝∠PBA，根据三角形内角和定理计算．【答案】解：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，∵PE是AB的垂直平分线，∴P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA，同理，∠P AC＝∠PCA，∴∠PBA+∠PCA＝∠P AB+∠P AC＝∠A＝70°，∴∠PBC+∠PCB＝110°﹣70°＝40°，∴∠BPC＝180°﹣40°＝140°，故答案为：140°．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．【考点8 利用轴对称变换求最值】【例8】（2017秋•襄州区期中）如图，∠AOB＝30°，∠AOB内有一定点P，且OP＝12，在OA上有一点Q，OB上有一点R，若△PQR周长最小，则最小周长是【分析】先画出图形，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME＝PM．作PN⊥OB 与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF＝PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．再根据线段垂直平分线的性质得出△PQR＝EF，再根据三角形各角之间的关系判断出△EOF的形状即可求解．【答案】解：设∠POA＝θ，则∠POB＝30°﹣θ，作PM⊥OA与OA相交于M，并将PM延长一倍到E，即ME＝PM．作PN⊥OB与OB相交于N，并将PN延长一倍到F，即NF＝PN．连接EF与OA相交于Q，与OB相交于R，再连接PQ，PR，则△PQR即为周长最短的三角形．∵OA是PE的垂直平分线，∴EQ＝QP；同理，OB是PF的垂直平分线，∴FR＝RP，∴△PQR的周长＝EF．∵OE＝OF＝OP＝12，且∠EOF＝∠EOP+∠POF＝2θ+2（30°﹣θ）＝60°，∴△EOF是正三角形，∴EF＝12，即在保持OP＝12的条件下△PQR的最小周长为12．故答案为：12【点睛】本题考查的是最短距离问题，解答此类题目的关键根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问题转化为求线段的长解答．【变式8-1】（2018秋•洛龙区校级期中）如图，等腰三角形ABC的面积是16，且底边BC长为4，腰AC 的垂直平分线EF分别交边AC，AB于点EF，若点D为边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△CMD周长的最小值是．【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【答案】解：连接AD，。
苏科版数学八年级上册第2章轴对称图形章末重难点题型(举一反三)(原卷版)
轴对称图形章末重难点题型汇编【举一反三】【苏科版】【考点1 判断轴对称图形】【方法点拨】掌握轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
注意：理解轴对称图形的定义应注意两点：（1）轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的性质。
（2）符合要求的“某条直线”可能不止一条，但至少要有一条。
【例1】（2019春•相城区期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【变式1-1】（2018秋•思明区校级期中）如图，四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2018秋•开封期中）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【变式1-3】（2018秋•宜兴市校级期中）下列图形中，不是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点2 角平分线的应用】【方法点拨】掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等牢记：（1）角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法；（2）当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段。
【例2】（2019春•港南区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE ⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（）A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm【变式2-1】（2018秋•九龙坡区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，已知△ABC的面积为28．AC＝6，DE＝4，则AB的长为（）A．6B．8C．4D．10【变式2-2】（2018秋•思明区校级期中）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（）A．3B．4C．5D．6【变式2-3】（2018秋•西城区校级期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC ＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（）A．3B．4C．6D．5【考点3 线段垂直平分线性质的应用】【方法点拨】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。
新苏科版初二年级上册数学期中重点试卷(含答案解析)
新苏科版初二年级上册数学期中重点试卷(含答案解析)12．已知函数，自变量x的取值范围是 .13．在平面直角坐标系中，点P(2，?3)关于y轴对称点P′的坐标为．14．已知点P(a，b)在一次函数y = 4x + 3的图象上，则代数式4a ? b? 2的值等于．15．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C 的坐标分别为(10，0)，(0，4)，点D是OA的中点，点P在线段BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为．16．如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从盒外的D点沿正方形的表面爬到盒内的M点，蚂蚁爬行的最短距离是．17、如图，将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转48次，点A依次落在点…, 的位置上，则点A48的横坐标x48=________ .18．任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4] = 4，，现对72进行如下操作：72→第1次 [ ] = 8→第2次[ ] = 2→第3次 [ ] = 1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地：只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．三、解答题：19．计算题：（1）16－3－27－(－2)2 （2）(π－3.14)0－|1－3|+(12)－120．求出下列x的值：（1）4x2－25=0 （2）64(x+1)3 + 27=021、在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，(1)请在正方形网格中画出格点△ABC；(2)求出这个三角形BC边上的高．22. 如图，已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，另一直线y=kx+b（k≠0）经过点C（1，0），且把△AOB 分成两部分．⑴若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值；⑵若△AOB被分成的两部分面积比为1：5，求k和b的值．23．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，b），点B（a，0），点D（0，d），且a、b、d满足＋＋（2－d）2＝0，DE⊥x 轴且∠BED＝∠ABO，直线AE交x轴于点C．（1）求A、B、D三点的坐标；（2）求直线AE的解析式；（3）求△ABC的面积．24. (1)点(0，1)向下平移3个单位后的坐标是，直线y = 2x + 1向下平移3个单位后的解析式是；(2)直线y = 2x + 1向左平移2个单位后的解析式是；(3)如图，已知点C为直线y = x上在第一象限内一点，直线y = 2x + 1交y轴于点A，交x轴于点B，将直线AB沿射线OC方向平移个单位，求平移后的直线的解析式．25.因南方早情严重，乙水库的蓄水量以每天相同的速度持续减少.为缓解旱情，北方甲水库立即以管道运输的方式予以支援.下图是两水库的蓄水量y（万米3）与时间x（天）之间的函数图象．在单位时间内，甲水库的放水量与乙水库的进水量相同（水在排放、接收以及输送过程中的损耗不计）．通过分析图象回答下列问题：（1）甲水库每天的放水量是多少万立方米？（2）在第几天时甲水库输出的水开始注入乙水库？此时乙水库蓄水量为多少万立方米？（3）求直线AD的函数解析式运动鞋价格甲乙进价（元/双） m m-20售价（元/双） 240 16026.某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．（1）求m的值；（2）要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价-进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？（3）在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？。
专题4.6实数章末重难点突破(教师版含解析)2022年八年级数学上册举一反三系列(苏科版_
专题4.6实数章末重难点突破【苏科版】【考点1实数的分类】【例1】（2021秋•鄞州区期中）将下列各数的序号填在相应的集合里．①π；②227；③3−8；④3.14；⑤1.6⋅；⑥0；⑦﹣3.3030030003…（每两个3之间依次增加一个0）整数集合：{③⑥…}；负数集合：{③⑦…}；无理数集合：{①⑦…}．【分析】根据有理数进行分类，分数包括小数，无理数包括无限不循环小数和开方开不尽的数，即可得出答案．【解答】解：3−8=−2，整数集合：{③⑥…}；负数集合：{③⑦…}；无理数集合：{①⑦…}．故答案为：③⑥；③⑦；①⑦．【变式1-1】（2021秋•江干区校级期中）用序号将下列各数填入相应的大括号内．①3，②17，③，④0，⑤，⑥3.14，⑦，⑧﹣3.1，⑨3．正整数{③，⑨…}；负分数{②，⑧…}；无理数{①，⑤，⑦…}．【分析】按照实数的分类填写．【解答】解：4=2，327=3，正整数{③，⑨…}，负分数{②，⑧…}，无理数{①，⑤，⑦…}．故答案为③，⑨；②，⑧；①，⑤，⑦．【变式1-2】（2021秋•曾都区期中）把下列各数填在相应的集合里：−4，3.5，0，3，10%，−23，2019，−2.030030003⋯．正分数集合：{ 3.5，10%…}．负有理数集合：{﹣4，−23…}．无理数集合：{3，﹣2.030030003•••…}．非负整数集合：{0，2019…}．【分析】根据有理数进行分类，分数包括小数，无理数包括无限不循环小数和开方开不尽的数，即可得出答案．【解答】解：正分数集合：{3.5，10%…}．负有理数集合：{﹣4，−23⋯}．无理数集合：{3，﹣2.030030003•••…}．非负整数集合：{0，2019…}．故答案为：3.5，10%；﹣4，−23；3，﹣2.030030003•••；0，2019．【变式1-3】（2021秋•连云港月考）把下列各数分别填入相应的集合里．100，﹣0.82，﹣3012，3.14，﹣2，0，﹣2011，﹣3.1．，37，−4，2.010010001…．正分数集合：{ 3.14，37…}；整数集合：{100，﹣2，0，﹣2011…}；负有理数集合：{﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1⋅…}；非正整数集合：{﹣2，0，﹣2011…}；无理数集合：{−4，2.010010001……}．【分析】根据分数，有理数，整数以及无理数的概念进行判断即可．【解答】解：正分数集合：{3.14，37，…}整数集合：{100，﹣2，0，﹣2011，…}负有理数集合：{﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1⋅，…}非正整数集合；{﹣2，0，﹣2011，…}无理数集合：{−4，2.010010001…，…}．故答案为：3.14，37；100，﹣2，0，﹣2011；﹣0.82，﹣3012，﹣2，﹣2011，﹣3.1⋅；﹣2，0，﹣2011；−4，2.010010001…．【考点2实数中的判断正误】【例2】（2021秋•萧山区期中）下列说法中正确的个数有（）①任何实数都可以表示在数轴上；②81的平方根是±9；③−2223的系数是−23；④若数a由四舍五入法得到近似数为7.30，则数a的范围是：7.25≤a＜7.35；⑤平方根和立方根都等于它本身的数有0和1；⑥22是一个分数．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据实数与数轴上的点一一对应判断①；根据算术平方根和平方根的定义判断②；根据单项式的系数判断③；根据近似数的定义判断④；根据平方根和立方根的性质判断⑤；根据无理数的定义判断⑥．【解答】解：实数与数轴上的点一一对应，故①符合题意；81=9，9的平方根是±3，故②不符合题意；这个单项式的系数是−43，故③不符合题意；若数a由四舍五入法得到近似数为7.30，则数a的范围是：7.295≤a＜7.305，故④不符合题意；平方根和立方根都等于它本身的数有0，故⑤不符合题意；2是无理数，故⑥不符合题意；符合题意的有1个，故选：A．【变式2-1】（2021秋•和平区校级期中）下列叙述，不正确的个数有（）①所有的正数都是整数②|a|一定是正数③无限小数一定是无理数④（﹣2）2没有平方根⑤34=2A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据正数、负数的定义，以及无理数、平方根的定义即可判断．【解答】解：①所有的正数不一定都是整数，如0.5，原来的说法不正确；②|a|一定是非负数，原来的说法不正确；③无限小数不一定是无理数，如0.3⋅，原来的说法不正确；④（﹣2）2＝4，4的平方根是±2，原来的说法不正确；⑤4=2，原来的说法不正确．故选：D．【变式2-2】（2021秋•西湖区校级期中）已知a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列正确的是（）①ab＞0；②a2＞b2；③|b﹣c|＝c﹣b；④1＞1；⑤3＞3A．①②④B．③④C．②③⑥D．④⑤【分析】根据数轴上的点表示的数以及大小关系、立方根的定义解决此题．【解答】解：由题意得：b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|．①由图得：b＜c＜0＜a，得ab＜0，故①不正确．②由题意得：b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|，得a2＜b2，故②不正确．③由题意得：b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|，得b﹣c＜0，故|b﹣c|＝c﹣b，那么③正确．④由题意得：b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|，得1＞1，故④正确．⑤由题意得：b＜c＜0＜a，|b|＞|a|＞|c|，得3＜3＞3＜3，那么综上：正确的有③④．故选：B．【变式2-3】（2021秋•鄞州区期中）已知a，b为实数，下列说法：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则=−1；②若a+b＜0，ab＞0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b；③若|a﹣b|+a﹣b＝0，则b＞a；④若|a|＞|b|，则（a+b）×（a﹣b）是正数；⑤若a＜b，ab＜0且|a﹣3|＜|b﹣3|，则a+b＞6，其中正确的说法有（）个．A．2B．3C．4D．5【分析】①除0外，互为相反数的商为﹣1，可作判断；②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到a与b都为负数，即2a+3b小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断；③由a﹣b的绝对值等于它的相反数，得到a﹣b为非正数，得到a与b的大小，即可作出判断；④由a绝对值大于b绝对值，分情况讨论，即可作出判断；⑤先根据a＜b，得a﹣3＜b﹣3，由ab＜0和有理数乘法法则可得a＜0，b＞0，分情况可作判断．【解答】解：①若ab＜0，且a，b互为相反数，则=−1，本选项正确；②若ab＞0，则a与b同号，由a+b＜0，则a＜0，b＜0，则|2a+3b|＝﹣2a﹣3b，本选项正确；③∵|a﹣b|+a﹣b＝0，即|a﹣b|＝﹣（a﹣b），∴a﹣b≤0，即a≤b，本选项错误；④若|a|＞|b|，当a＞0，b＞0时，可得a＞b，即a﹣b＞0，a+b＞0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数；当a＞0，b＜0时，a﹣b＞0，a+b＞0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数；当a＜0，b＞0时，a﹣b＜0，a+b＜0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数；当a＜0，b＜0时，a﹣b＜0，a+b＜0，所以（a+b）•（a﹣b）为正数，本选项正确；⑤∵a＜b，∴a﹣3＜b﹣3，∵ab＜0，∴a＜0，b＞0，当0＜b＜3时，|a﹣3|＜|b﹣3|，∴3﹣a＜3﹣b，不符合题意；所以b≥3，|a﹣3|＜|b﹣3|，∴3﹣a＜b﹣3，则a+b＞6，本选项正确；则其中正确的有4个，是①②④⑤．故选：C．【考点3实数的运算】【例3】（2021秋•西湖区校级期中）计算：（1）（﹣12）+7﹣（﹣8）；（2）（−12）×（﹣1）2022+327−16．【分析】（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；（2）直接利用有理数的乘方运算法则以及立方根、算术平方根分别化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣12+7+8＝3；（2）原式=−12×1+3﹣4=−12+3﹣4＝﹣112．【变式3-1】（2021秋•常熟市校级月考）求下列各式中x的取值：（1）2x2﹣8＝0．（2）4（2x﹣1）2＝9．【分析】（1）根据平方根的定义，即可解答；（2）先把方程进行整理，再利用平方根定义开平方即可求出x的值．【解答】解：（1）2x2﹣8＝0，2x2＝8，x2＝4，x＝±2，∴x1＝2，x2＝﹣2；（2）4（2x﹣1）2＝9，（2x﹣1）2=94，2x﹣1=±32，∴x1=54，x2=−14．【变式3-2】（2021秋•丰台区校级期中）计算．（1）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4；（2）（﹣2）2﹣|5−3|．【分析】（1）直接利用有理数的乘方运算法则化简，再利用有理数的乘除法运算法则计算得出答案；（2）直接利用绝对值的性质以及有理数的乘方运算法则化简，再利用实数的加减运算法则计算得出答案．【解答】解：（1）（﹣2）2×5﹣（﹣2）3÷4＝4×5+8÷4＝20+2＝22；（2）（﹣2）2﹣|5−3|＝4﹣（5−3）＝4﹣5+3＝﹣1+3．【变式3-3】（2021秋•渠县校级期中）解方程：（1）（x+1）2﹣0.01＝0；（2）（3x+2）3﹣1=6164．【分析】（1）根据平方根的定义去求；（2）根据立方根的定义去求．【解答】解：（1）∵（x+1）2＝0.01，∴x+1＝±0.1，∴x＝﹣0.9或﹣1.1；（2）∵（3x+2）3=6164+1，∴（3x+2）3=12564，∴3x+2=54，∴x=−14．【考点4实数的性质】【例4】（2021秋•泰兴市期中）有理数a、b、c在数轴上的位置如图，（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣2|c﹣a|．【分析】（1）根据数轴以及有理数的加减运算法则即可得出答案；（2）根据绝对值的性质化简即可得出答案．【解答】解：（1）∵b＜c，∴b﹣c＜0，∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|，∴a+b＜0，∵c＞0，a＜0，∴c﹣a＞0，故答案为：＜，＜，＞；（2）原式＝﹣（b﹣c）﹣（a+b）﹣2（c﹣a）＝﹣b+c﹣a﹣b﹣2c+2a＝a﹣2b﹣c．【变式4-1】（2021秋•牡丹区月考）若a=3，b＝|﹣6|，c=365，则下列关系正确的是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】根据绝对值、立方根、实数的乘方解决此题．【解答】解：∵|﹣6|＝6，∴63＝216．∵(3)3=27，(365)3=65，∴27＜65＜216．∴3＜365＜6．∴3＜365＜|−6|．∴a＜c＜b．故选：D．【变式4-2】（2021秋•天心区期中）已知三个有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，且满足|b|＝|c|．（1）比较大小：a＜0，b+c＝0，a+c＜0（请填“＞”，“＜”或“＝”）；（2）化简：|b|+|a+c|﹣|a|；（3）计算：|U+|U+|U．【分析】（1）由数轴可知a＜b＜0＜c；（2）由数轴可知b＜0，a+c＜0，a＜0，根据绝对值性质去绝对值符号化简可得；（3）由数轴可得，a＜0，b＜0，c＞0，根据绝对值和除法法则化简可得答案．【解答】解：（1）由数轴可得，a＜b＜0＜c，|b|＝|c|，∴a＜0，b+c＝0，a+c＜0，故答案为：＜，＝，＜；（2）∵b＜0，a+c＜0，a＜0，∴|b|+|a+c|﹣|a|＝﹣b﹣（a+c）+a＝﹣b﹣c＝0；（3）∵a＜0，b＜0，c＞0，∴|U+|U+|U=−−+=−1+1−1=−1．【变式4-3】（2021秋•秦淮区期中）已知四个数，a＝﹣22，b＝﹣|﹣2|，c＝﹣（﹣1）100，d＝﹣（﹣3）．（1）计算a、b、c、d，得a＝﹣4，b＝﹣2，c＝﹣1，d＝3；（2）把这四个数在如图所示的数轴上分别表示出来．（3）用“＜”把a、b、c、d连接起来．（4）用“＞”把|a|、|b|、|c|、|d|连接起来．【分析】（1）根据有理数的乘方，绝对值，相反数求出答案即可；（2）把各个数在数轴上表示出来即可；（3）根据有理数的大小比较法则比较即可；（4）求出绝对值，再根据实数的大小比较法则比较即可．【解答】解：（1）a＝﹣22＝﹣4，b＝﹣|﹣2|＝﹣2，c＝﹣（﹣1）100＝﹣1，d＝﹣（﹣3）＝3，故答案为：﹣4，﹣2，﹣1，3；（2）在数轴上表示为：；（3）∵a＝﹣4，b＝﹣2，c＝﹣1，d＝3，∴a＜b＜c＜d；（4）|a|＝|﹣4|＝4，|b|＝|﹣2|＝2，|c|＝|﹣1|＝1，|d|＝|3|＝3，∴|a|＞|d|＞|b|＞|c|．【考点5实数中的规律问题】【例5】（2021秋•洛宁县月考）将1，2，3，6按右侧方式排列，若规定（m，n）表示第m排从左向右的第n个数，则（5，4）与（9，4）表示的两数之积是（）A．2B．2C．23D．6【分析】根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数，第三排3个数，第四排4个数，…，第（m﹣1）排有（m﹣1）个数，从第一排到（m﹣1）排共有：1+2+3+4+…+（m﹣1）个数，根据数的排列方法，四个数不断循环，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．【解答】解：由题意得：（5，4）表示的数是2，前8排共有1+2+3+...+8＝36（个），∵36÷4＝9，∴第8排最后一个数是6，∴（9，4）表示的数是6，∴2×6=12=23，故选：C．【变式5-1】（2021=1+11×2=1+12×3；=1+13×4；…+⋯+结果为202020202021．【分析】先根据中所给式子，找到规律，判断出每个式子的值，再整体求和．23+⋯+＝1+11×2+1+12×3+1+13×4+⋯+1+12020×2021＝2020+1−12+12−13+13−14+⋯+12020−12021＝2021−12021=202020202021．故答案为：202020202021．【变式5-2】（2021春•忠县期末）我们经过探索知道1+112+122=3222，1+122+132=7262，1+132+142=132122，…，若已知a n＝1+12+1(r1)2，则1+2+3+⋯+=n+r1（用含n的代数式表示，其中n为正整数）．【分析】由1+112+122=3222，1+122+132=7262，1+132+142=132122，…，得1+12+1(r1)2=[or1)+1]2[or1)]2，那么a n＝1+12+1(r1)2，故=or1)+1or1)=1+1−1r1，从而解决此题．【解答】解：∵1+112+122=3222，1+122+132=7262，1+132+142=132122，…，∴以此类推，1+12+1(r1)2=[or1)+1]2[or1)]2．∵a n＝1+12+1(r1)2，∴=or1)+1or1)=1+1−1r1．∴1=32=1+1−12，2=76=1+12−13，3=1312=1+13−14，…，=or1)+1or1)=1+1−1r1．∴1+2+3+⋯+=32+76+1312+⋯+or1)+1or1)＝1+1−12+1+12−13+1+13−14+⋯+1+1−1r1＝n+1−1r1＝n+r1．故答案为：n+r1．【变式5-3】（2021秋•福田区校级月考）若[x]表示不超过x的最大整数（如[π]＝3，[﹣223]＝﹣3等），求…的值．=1+=[1+=1，则代入原式即可求得结果，注意n是从2开始到2014结束，共有2013+=[1+=1，∴∴【考点6实数中的新定义问题】【例6】（2021春•南湖区校级期中）对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a*b=(≥p+o＜p．根据这个规则，则方程2*x＝12的解为x=−【分析】分x≤2和x＞2列出对应方程，再进一步解方程求出符合条件的x的值即可得．【解答】解：①若x≤2，则x2＝12，解得x=−23或x=23（舍去）；②若x＞2，则x2+2＝12，解得x=10或x=−10（舍去）；综上，x=−23或x=10．故答案为：x=−23或x=10．【变式6-1】（2021秋•通川区校级月考）对于不相等的两个实数a、b（a+b≥0），定义一种运算@：a@b=4@3=10@2＝34．【分析】原式利用已知的新定义化简，计算即可得到结果．【解答】解：根据题中的新定义得：10@2====故答案为：34．【变式6-2】（2021秋•西湖区校级期中）我们定义一种新运算：x⊗y＝xy+x﹣y．（1）求2⊗（﹣4）的值；（2）若代数式2⊗[x⊗k]的值与x无关，求实数k的值．【分析】（1）根据x⊗y＝xy+x﹣y，用2与﹣4的积加上2减去﹣4，求出2⊗（﹣4）的值是多少即可；（2）根据x⊗y＝xy+x﹣y，先写出2⊗[x⊗k]的代数式形式，并合并同类项，再根据代数式与x无关，可知x的系数为0，由此可求出k的值．【解答】解：（1）2⊗（﹣4）＝2×（﹣4）+2﹣（﹣4）＝﹣8+2+4＝﹣2；（2）由题意可知，x⊗y＝xk+x﹣k，∴2⊗[x⊗k]＝2⊗（xk+x﹣k）＝2（xk+x﹣k）+2﹣（xk+x﹣k）＝2xk+2x﹣2k+2﹣xk﹣x+k＝xk+x﹣k+2＝x（k+1）﹣k+2，∵代数式2⊗[x⊗k]的值与x无关，∴k+1＝0，∴k＝﹣1．【变式6-3】（2021秋•建宁县期中）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n﹣mn﹣3n，如：1※2＝12×2﹣1×2﹣3×2＝﹣6．（1）计算：3※（﹣2）；（2）若2※m=3，求m的值，并在所给的数轴上表示出m（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．【分析】（1）根据新定义的运算方法进行计算即可；（2）根据新定义运算列方程求解即可．【解答】解：（1）3※（﹣2）＝（3）2×（﹣2）−3×（﹣2）﹣3×（﹣2）＝﹣6+23+6＝23；（2）由于2※m=3，因此有22×m﹣2m﹣3m=3，解得m=−3，如图所示：点P即为所求．【分析】根据二次根式的非负性、偶次方的非负性、有理数的乘方解决此题．【解答】解：∵+1≥0，（a+b）2≥0，∴当+1+(+p2=0，则a+1＝0，a+b＝0．∴a＝﹣b＝﹣1．∴b＝1．∴a2020+b2021＝（﹣1）2020+12021＝1+1＝2．故答案为：2．【变式7-1】（2021秋•北碚区校级月考）已知x为实数，且3−3−32+1=0，则x2+x﹣3的算术平方根为（）A．3B．2C．3和﹣3D．2和﹣2【分析】根据立方根、算术平方根解决此题．【解答】解：∵3−3−32+1=0，∴3−3=32+1．∴x﹣3＝2x+1．∴x＝﹣4．∴x2+x﹣3＝16﹣4﹣3＝9．∴x2+x﹣3的算术平方根为9=3．故选：A．【变式7-2】（2021秋•苏州期中）已知2+−2与（x﹣y+3）2互为相反数，求x2y的平方根．【分析】根据互为相反数两数之和为0列出关系式，利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解得到x与y的值．【解答】解：∵2+−2与（x﹣y+3）2互为相反数，∴2+−2+（x﹣y+3）2＝0，又∵2+−2≥0，（x﹣y+3）2≥0，∴2+−2=0−+3=0，解得=−13=83．∴x2y=(−13)2×83827，∴x2y的平方根为=±【变式7-3】（2021•东兴区校级开学）（1）已知x，y，z满足2++|x﹣y|+z2﹣z+14=0，求2x﹣y+z的算术平方根．（2）已知实数a，b，c满足：b=−(−3)2+4，c的平方根等于它本身．求a+−的值．【分析】（1）利用非负数的性质得出x，y，z的值，代入计算即可得出答案；（2）根据平方根的定义先求出a、b、c的值，再代入所求代数式计算即可．【解答】解：（1）∵2++|x﹣y|+z2﹣z+14=0，∴2++|x﹣y|+(−12)2=0，又∵2+≥0，|x﹣y|≥0，(−12)2≥0，∴2y+z＝0，x﹣y＝0，z−12=0，解得：x=−14，y=−14，z=12，则2x﹣y+z＝2×（−14）﹣（−14）+12=14．所以2x﹣y+z的算术平方根12；（2）∵﹣（a﹣3）2≥0，∴a＝3，把a代b=−(−3)2+4得：b＝4，∵c的平方根等于它本身，∴c＝0，∴a+−=3+4=5．【考点8实数中的估算】【例8】（2021秋•雁塔区校级月考）若6−13的整数部分为x，小数部分为y，则x﹣y的值是（）A．﹣2+13B．﹣2−13C．2+13D．2−13【分析】先估算13的大小，再估算6−13的大小，可得x和y的值，代入x﹣y中可得答案．【解答】解：∵3＜13＜4，∴﹣4＜−13＜−3，∴2＜6−13＜3，∴6−13的整数部分为2，小数部分为4−13，∴x＝2，y＝4−13，∴x﹣y＝2﹣（4−13）=13−2．故选：A．【变式8-1】（2021春•梁山县期末）已知2+6的小数部分为a，3−6的小数部分为b，则a+b＝1．【分析】通过对的估算确定2和3的取值范围，从而求得a和b的值，然后代入计算．【解答】解：∵4＜6＜9，∴2＜6＜3，﹣3＜−6＜−2，∴4＜2+6＜5，0＜3−6＜1，∴a＝2+6−4=6−2，b＝3−6，∴a+b=6−2+3−6=1，故答案为：1．【变式8-2】（2021秋•朝阳区期中）因为1＜3＜4，即1＜3＜2，所以3的整数部分为1，小数部分为3−1．类比以上推理解答下列问题：（1）求11的整数部分和小数部分．（2）若m是11−11的小数部分，n是11+11的小数部分，且（x+1）2＝m+n，求x的值．【分析】（1）根据阅读材料知，11的整数部分是3，然后再去求其小数部分；（2）仿照例子，找出整数部分和小数部分后即可得出m+n的值，代入（x+1）2＝m+n中，解方程即可．【解答】解：（1）∵9＜11＜16，即3＜11＜4，∴11的整数部分为3，小数部分为11−3，（2）∵11−11小数部分是m，11+11小数部分是n，∴m=11−11−7=4−11，n=11+11−14=11−3，∴m+n＝4−11+11−3＝1，∵（x+1）2＝m+n＝1，∴x+1＝±1．解得x＝﹣2或x＝0．【变式8-3】（2021秋•西湖区校级期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用2−1来表示2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为2的整数部分是1，将2减去其整数部分，差就是2的小数部分．请解答：（1）23的整数部分是4，小数部分是−4；（2）如果7的小数部分为a，17的整数部分为b，求a+b−7的值；（3）已知10+7=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的值．【分析】（1）估算得到所求整数部分与小数部分即可；（2）根据题意确定出a与b，代入原式计算即可得到结果；（3）根据题意确定出x与y，即可求出所求．【解答】解：（1）∵16＜23＜25，∴4＜23＜5，∴23的整数部分是4，小数部分是23−4；故答案为：4，23−4；（2）∵4＜7＜9，∴2＜7＜3，即a=7−2，∵16＜17＜25，∴4＜17＜5，即b＝4，则a+b−7=7−2+4−7=2；（3）根据题意得：2＜7＜3，∴x＝12，y=7−2，∴x﹣y＝12﹣（7−2）＝14−7．。
苏科版八年级上册数学期中考试试题附答案
苏科版八年级上册数学期中考试试卷一、单选题1．下列四个标志是关于安全警示的标志，在这些标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．4的平方根是（）A．±2B．2C．－2D．±83．下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（）A．3、4、5B．7、8、10C．5、12、14D．2、3、44．已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．70°或50°5．一个等腰三角形的两边长分别是2和7，则它的周长是（）A．11B．16C．15D．11或166．等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为A．30°B．40°C．50°D．60°7．在联欢会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适 （）当的位置是在ABCA．三边中线的交点B．三边垂直平分线的交点C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点8．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB 的长度为（）A．5B．6C．7D．259．已知()22x -，求x+y 的值（）A ．-1B ．-3C ．1D ．310．如图，DE 是△ABC 中AC 边上的垂直平分线，如果BC=5cm ，AB=6cm ，则△EBC 的周长为（）A ．8cmB ．9cmC ．10cmD ．11cm二、填空题11．9的算术平方根是．12．等腰三角形的一个内角120°，则它的底角是_____．13．直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是____．14．直角三角形的一直角边长4cm ，斜边长5cm ，则其斜边上的高是__________cm ．15．在△ABC 中，∠A ＝80°，当∠B ＝_____时，△ABC 是等腰三角形．16．如图，∠1=∠2，要使△ABE ≌△ACE ，需添加一个条件是__________．（填上一个条件即可）17．如图，点E 在正方形ABCD 内，满足90AEB =︒∠，3AE =，4BE =，则阴影部分的面积是________．18．如图所示，已知△ABC 的周长是12，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D，且OD=3，则△ABC的面积是_____________三、解答题19．计算：求出下列x的值．x-=（1）x2=16（2）()316420．已知：如图，AC∥DF，AC=DF，AB=DE．求证：(1)△ABC≌△DEF；(2)BC∥EF．21．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC上一点D，BD=6，CD＝10（1）若AD平分∠BAC，求点D到AC边的距离；（2）若点D恰好在AC边的垂直平分线上，求AB的长．22．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△BDE≌△CEF；（2）当∠A=40°时，求∠B和∠EDF的度数；23．已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D．（1）若∠A＝40°，求∠B和∠BCD的度数；（2）若AC＝5，CD＝3，求BD和BC的长．24．钓鱼岛是中国的固有领土．近期我国海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，OA OB，OA=90海里，OB=30海里，钓鱼岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船自A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．（1）请用直尺和圆规作出C处的位置．（不写作法，保留作图痕迹）（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．25．在△ABC和△DEC中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，（1）如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，AC=4，EC=3，①求证：AF⊥BD；②AF的长度为直接写出答案）；（2）如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，则∠FCD+∠FEC=（直接写出答案）26．如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．（1）如图1，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长（2）如图2，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时，①求证：EF＝EG；②求AF的长．（3）如图3，当折痕的另一端F在AD边上，B点的对应点E在长方形内部，E到AD的距离为2cm，且BG＝10时，求AF的长．参考答案1．D【解析】【分析】根据轴对称图形的定义，逐一判断选项，即可．【详解】A.不是轴对称图形，不符合题意，B.不是轴对称图形，不符合题意，C.不是轴对称图形，不符合题意，D.是轴对称图形，符合题意，故选D【点睛】本题主要考查轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键．2．A【解析】【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的一个平方根．【详解】解：∵（±2）2=4，∴4的平方根是±2，故选：A．【点睛】本题主要考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键．3．A【解析】【分析】判断是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．A、32＋42＝52，能构成直角三角形，故此选项符合题意；B、72＋82≠102，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；C、52＋122≠142，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；D、22＋32≠42，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．4．C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可求得结果．【详解】解：①当等腰三角形的一个底角为40°时，它的顶角为180°-40°×2=100°②当等腰三角形的一个顶角为40°时，它的顶角为40°故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为180°．5．B【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：分两种情况：当腰为2时，2+2＜7，所以不能构成三角形；当腰为7时，2+7＞7，所以能构成三角形，周长是：2+7+7=16．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．6．D【解析】【分析】如图，等边三角形ABC中，根据等边三角形的性质知，底边上的高与底边上的中线，顶角的平分线重合，所以∠1=∠2=12∠ABC=30°，再根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】解：如图，∵等边三角形ABC，AD、BE分别是中线，∴AD、BE分别是角平分线，∴∠1=∠2=12∠ABC=30°，∴∠3=∠1+∠2=60°．故选：D．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．7．B【解析】【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，要放在三边中垂线的交点上．解：∵三角形的三条边的垂直平分线的交点到中间的凳子的距离相等，∴凳子应放在△ABC的三边中垂线的交点最适当．故选：B．【点睛】本题主要考查了游戏的公平性与线段垂直平分线的性质的应用；利用所学的数学知识解决实际问题是一种能力，要注意培养．想到要使凳子到三个人的距离相等是正确解答本题的关键．8．A【解析】【分析】建立格点三角形，利用勾股定理求解AB的长度即可．【详解】解：如图所示：AB==．5故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用．9．C【解析】【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．【详解】x-+=0，解：∵()22∴x-2=0，y+1=0，∴x=2，y=-1，∴x+y=2-1=1，故选：C．【点睛】本题考查了代数式的求值，非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．10．D【解析】【分析】利用线段垂直平分线的性质得AE=CE，再等量代换即可求得三角形的周长．【详解】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴AE=CE，∴AE+BE=CE+BE=AB=6cm，∴△EBC的周长=BC+BE+CE=5+6=11（cm）．故选：D．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，利用线段进行等量代换是解答本题的关键．11．3【解析】【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出．【详解】∵239 ，∴9算术平方根为3．故答案为：3．【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键．12．30°【解析】【分析】因为三角形的内角和为120°，所以120°只能为顶角，从而可求出底角．【详解】∵120°为三角形的顶角，∴底角为：（180°﹣120°）÷2=30°．故答案为30°．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，从而可求出解．13．5【解析】【分析】先根据勾股定理求出斜边的长，再根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长为6，8，∴由勾股定理得，斜边=10．∴斜边上的中线长=12×10=5．故答案为：5．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是能正确求出斜边的长度．14．2.4【解析】【分析】根据勾股定理求出直角三角形另一条一直角边，根据三角形的面积公式计算即可．【详解】解：设斜边上的高为hcm，=3，由三角形的面积公式可得，1 2×3×4=12×h×5，解得，h=12 2.45=，故答案为：2.4．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．15．20°或50°或80°【解析】【分析】分三种情况分析，A ∠是顶角，B Ð是顶角,C ∠是顶角,【详解】∵80A ∠=︒，∴①当C ∠是顶角,80B A ∠=∠=︒时，△ABC 是等腰三角形；②当A ∠是顶角，∠B=（180°﹣80°）÷2=50°时，△ABC 是等腰三角形；③B Ð是顶角，∠B=180°﹣80°×2=20°时，△ABC 是等腰三角形；故答案为:80°或50°或20°16．∠B=∠C （或BE=CE 或∠BAE=∠CAE ）【解析】【分析】根据题意，易得∠AEB=∠AEC ，又AE 公共，所以根据全等三角形的判定方法容易寻找添加条件．【详解】解：∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠AEC ，又AE 是公共边，∴当∠B=∠C 时，△ABE ≌△ACE （AAS ）；当BE=CE 时，△ABE ≌△ACE （SAS ）；当∠BAE=∠CAE 时，△ABE ≌△ACE （ASA ）．故答案为：∠B=∠C （或BE=CE 或∠BAE=∠CAE ）．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．17．19【解析】【分析】根据勾股定理求出AB，分别求出△AEB和正方形ABCD的面积，即可求出答案．【详解】解：∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=3，BE=4，由勾股定理得：AB=5，∴正方形的面积是5×5=25，∵△AEB的面积是12AE×BE=12×3×4=6，∴阴影部分的面积是25-6=19，故答案为：19．18．18【分析】过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OE=OD=OF，然后根据三角形的面积列式计算即可得解．【详解】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OE=OD=OF=3，∴△ABC的面积=12×（AB+BC+CA）×3=12×12×3=18．故答案为：18．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．19．（1）x=±4；（2）x=5【解析】【分析】（1）直接利用平方根的定义计算得出答案；（2）直接利用立方根的定义计算得出答案．【详解】解：（1）x 2=16，解得：x=±4；（2）（x-1）3=64，故x-1=4，解得：x=5．【点睛】本题主要考查了立方根和平方根，正确掌握相关定义是解题关键．20．(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）由平行线的性质可得∠A=∠FDE ，再由已知即可证得结论；（2）由全等三角形的性质可得∠ABC=∠E ，由平行线的判定定理即可得到结论．(1)∵AC ∥DF∴∠A=∠FDE在△ABC 和△DEF 中AC DFA FDE AB DE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DEF(SAS)(2)∵△ABC≌△DEF∴∠ABC=∠E∴BC∥EF【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，掌握这两个判定与性质是关键．21．（1）6；（2）8【解析】【分析】（1）过点D作DH⊥AC于点H，根据角平分线的性质可得出结论；（2）根据D恰好在AC边的垂直平分线上得出AD=CD=10，在Rt△ABD中根据勾股定理即可得出AB的长．【详解】（1）过点D作DH⊥AC于点H，∵AD平分∠BAC，∠B=90°，∴DH=BD=6，即点D到AC边的距离是3；（2）∵点D恰好在AC边的垂直平分线上，∴AD=CD=10，在Rt△ABD中，∵AD=10，BD=6，∴8=．【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．22．（1）见解析；（2）∠B=70°；∠EDF=55°【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可知B C ∠=∠，即可直接利用“SAS”证明BDE CEF ≅ ．（2）根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求出B Ð的大小，再根据全等三角形的性质可推出BDE CEF ∠=∠，DE EF =，进而得出EDF EFD ∠=∠．再次根据三角形内角和定理和平角可得出180B BDE BED DEF CEF BED ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒，即得到70B DEF ∠=∠=︒，最后再次利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质即可求出答案．【详解】解：（1）∵AB=AC∴B C ∠=∠．在BDE 和CEF △中BE CF B C BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BDE CEF SAS ≅ ．（2）∵40A ∠=︒，∴1(180)702B C A ∠=∠=︒-∠=︒．∵BDE CEF ≅ ，∴BDE CEF ∠=∠，DE EF =，∴EDF EFD ∠=∠．∵180B BDE BED DEF CEF BED ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒∴70B DEF ∠=∠=︒，∴1(180)552EDF EFD DEF ∠=∠=︒-∠=︒．23．（1）∠B=70°，∠BCD=20°；（2）BD=1，【分析】（1）在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，利用等腰三角形的性质求出∠B 的度数，在Rt △CBD 中，求出∠BCD 的度数；（2）在Rt △CDA 中，利用勾股定理求出AD 的长，然后求出BD 的长，再在Rt △CDB 中，利用勾股定理求出BC 的长即可．【详解】解：（1）∵在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，∴∠B=12×（180°-40°）=70°，又∵CD ⊥AB 于D ，∴在Rt △CBD 中，∠BCD=90°-∠B=20°；（2）在Rt △CDA 中，∵AC=AB=5，CD=3，∴，∴BD=AB-AD=5-4=1．在Rt △CDB 中，CD=3，BD=1，∴=24．（1）见解析；（2）我国渔政船行驶的航程BC 的长为50海里【分析】（1）利用尺规作图作AB 的垂直平分线即可；（2）设BC 为x 海里，在Rt OBC ∆利用勾股定理列方程即可解题．【详解】解：(1)作AB 的垂直平分线与OA 交于点C ；(2)连接BC ，设BC 为x 海里，则CA 也为x 海里，OC 为(90-x)海里∵∠O=90°，∴在Rt OBC ∆中,222BO OC BC +=，即：302+(90-x)2=x 2解得：x=50，答：我国渔政船行驶的航程BC 的长为50海里【点睛】本题考查了勾股定理的应用以及线段垂直平分线的性质，利用勾股定理不仅仅能求直角三角形的边长，而且它也是直角三角形中一个重要的等量关系．25．（1）①见解析；②AF=5.6；（2）见解析；（3）45°【解析】【分析】（1）①证明△ACE ≌△BCD ，得到∠1=∠2，由对顶角相等得到∠3=∠4，所以∠BFE=∠ACE=90°，即可解答；②根据勾股定理求出BD ，利用△ABD 的面积的两种表示方法，即可解答；（2）证明△ACE ≌△BCD ，得到∠1=∠2，又由∠3=∠4，得到∠BFA=∠BCA=90°，即可解答；（3）∠AFG=45°，如图3，过点C 作CM ⊥BD ，CN ⊥AE ，垂足分别为M 、N ，由△ACE ≌△BCD ，得到S △ACE=S △BCD ，AE=BD ，证明得到CM=CN ，得到CF 平分∠BFE ，由AF ⊥BD ，得到∠BFE=90°，所以∠BFC=45°，根据三角形外角的性质即可得到∠FCD+∠FEC=45°．【详解】（1）①证明：如图1，在△ACE 和△BCD 中，∵90AC BC ACB ECD EC DC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD ，∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠BFE=∠ACE=90°，∴AF ⊥BD ；②∵∠ECD=90°，BC=AC=4，DC=EC=3，∴=5，∵S △ABD=12AD•BC=12BD•AF ，即12×(4+3)×4=12×5•AF ，∴AF=5.6；（2）证明：如图2，∵∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD ，∴∠BCD=∠ACE ，在△ACE ≌△BCD 中，AC BCACE BCD EC DC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△BCD ，∴∠1=∠2，∵∠3=∠4，∴∠BFA=∠BCA=90°，∴AF ⊥BD ；（3）∠FCD+∠FEC=45°，如图3，过点C 作CM ⊥BD ，CN ⊥AE ，垂足分别为M 、N ，∵△ACE ≌△BCD ，∴S △ACE=S △BCD ，AE=BD ，∠FEC=∠FDC ，∵S △ACE=12AE•CN ，S △BCD=12BD•CM ，∴CM=CN ，∵CM ⊥BD ，CN ⊥AE ，∴CF 平分∠BFE ，∵AF ⊥BD ，∴∠BFE=90°，∴∠BFC=45°，∴∠FCD+∠FEC=∠FCD+∠FDC=∠BFC=45°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理与性质定理，角平分线的判定和性质，解决本题的关键是证明△ACE ≌△BCD ，得到三角形的面积相等，对应边相等．26．（1）3；（2）①见解析，②6；（3）223【分析】（1）根据翻折的性质可得BF ＝EF ，然后用AF 表示出EF ，在Rt △AEF 中，利用勾股定理列出方程求解即可；（2）①根据翻折的性质可得∠BGF ＝∠EGF ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BGF ＝∠EFG ，从而得到∠EGF ＝∠EFG ，再根据等角对等边证明即可；②根据翻折的性质可得EG ＝BG ，HE ＝AB ，FH ＝AF ，然后在Rt △EFH 中，利用勾股定理列式计算即可得解；（3）设EH 与AD 相交于点K ，过点E 作MN ∥CD 分别交AD 、BC 于M 、N ，然后求出EM、EN，在Rt△ENG中，利用勾股定理列式求出GN，再根据△GEN和△EKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出EK、KM，再求出KH，然后根据△FKH和△EKM相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】（1）解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴BF＝EF，∵AB＝8，∴EF＝8﹣AF，在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，即42+AF2＝（8﹣AF）2，解得AF＝3；（2）①证明：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴∠BGF＝∠EGF，∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，∴∠BGF＝∠EFG，∴∠EGF＝∠EFG，∴EF＝EG；②解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，∴EG＝BG＝10，HE＝AB＝8，FH＝AF，∴EF＝EG＝10，在Rt△EFH中，FH6，∴AF＝FH＝6；（3）解：如图3，设EH与AD相交于点K，过点E作MN∥CD分别交AD、BC于M、N，∵E到AD的距离为2cm，∴EM＝2，EN＝8﹣2＝6，在Rt△ENG中，GN＝8，∵∠GEN+∠KEM＝180°﹣∠GEH＝180°﹣90°＝90°，∠GEN+∠NGE＝180°﹣90°＝90°，∴∠KEM＝∠NGE，又∵∠ENG＝∠KME＝90°，∴△GEN∽△EKM，∴EKEG＝KMEN＝EMGN，即EK10＝KM6＝28，解得EK＝52，KM＝32，∴KH＝EH﹣EK＝8﹣52＝112，∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，∴△FKH∽△EKM，∴FHEM＝KHKM，即FH2＝11232，解得FH＝22 3，∴AF＝FH＝22 3．。
新苏科版初二年级数学上册期中重点试题(含答案解析)
新苏科版初二年级数学上册期中重点试题(含答案解析)新苏科版2021初二年级数学上册期中重点试题(含答案解析)一．选择题〔此题总分值16分〕1.以下图形中，不是轴对称图形的是( )2.在以下实数中，在理数是 ( )A. 0B.C.D. 63.如图，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的依据是 ( )A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS4.点〔3，2〕关于x轴的对称点为 ( ) A．〔3，﹣2〕 B．〔﹣3，2〕 C．〔﹣3，﹣2〕 D．〔2，﹣3〕5.在平面直角坐标系xoy中，直线y=-x+2经过( )A．第一、二、三象限； B．第一、二、四象限；C．第一、三、四象限； D．第二、三、四象限．6.等腰三角形的两边长区分为2和5，那么它的周长为( )A．9 B．12 C．9或12 D．57.甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s〔米〕与赛跑时间t〔秒〕的关系如下图，那么以下说法正确的选项是( )A．甲、乙两人的速度相反 B．甲先抵达终点C．乙用的时间短 D．乙比甲跑的路程多8.图〔1〕是一个长为2a，宽为2b〔a＞b〕的长方形，用剪刀沿图中虚线〔对称轴〕剪开，把它分红四块外形和大小都一样的小长方形，然后按图〔2〕那样拼成一个正方形，那么中间空的局部的面积是 ( )A． B. C. D.二．填空题〔此题总分值16分〕9. 的立方根是．10.如图，△ABC≌△DEF，请依据图中提供的信息，写出x= ．11.等腰三角形一个角是30°，那么它的顶角是．12.假定，那么 = ．13.三边为9、12、15的三角形，其面积为 .14.假定函数y=4x+3-k的图象经过原点，那么k= .15.，函数y=3x的图象经过点A〔﹣1，y1〕，点B〔﹣2，y2〕，那么y1 y2〔填〝＞〞〝＜〞或〝=〞〕16.有一数值转换器，原理如下图，假定末尾输入x的值是7，可发现第1次输入的结果是12，第2次输入的结果是6，依次继续下去…，第2021次输入的结果是．第10题第16题三．计算题17. 计算：〔此题总分值8分〕〔1〕计算：〔2〕求4(x＋1)2＝64中的x.18. 〔此题总分值4分〕平面直角坐标系中，点A的坐标为〔－1，2〕，点B的坐标为〔5，4〕，你能在x轴上找到一点P，使得点P到A、B两点的距离之和最短吗？假定能〔要有找点的连线痕迹，不用证明〕，并指出P点的坐标；假定不能，请说明理由．四．解答题19. 〔此题总分值6分〕如下图的一块地，AD=4m，CD=3m，AD⊥DC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积.20. 〔此题总分值8分〕如图，AB=CD，∠B=∠C，AC和BD 相交于点O，E是AD的中点，衔接OE．〔1〕求证：△AOB≌△DOC;〔2〕求∠AEO的度数．21. 〔此题总分值8分〕，在平面直角坐标系中，直线：y=x+1与直线：y=mx+n相交于点P(1,b)．〔1〕求b的值；〔2〕不解关于x,y的方程组，请你直接写出它的解。
苏科版数学八年级上册第5章平面直角坐标系章末重难点题型(举一反三)(原卷版)
平面直角坐标系章末重难点题型汇编【举一反三】【苏科版】【考点1 确定位置】【方法点拨】在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据.若设这两个数据分别为a和b，则：a表示：排数、行数、经度、方位……b表示：座数、列数、纬度、距离……【例1】（2019春•颍泉区校级期中）如图，军训时七（1）班的同学按教官的指令站了7排8列，如果第7排第8列的同学的位置在队列的东北角，可以用有序数对（7，8）来表示，那么表示站在西南角同学的位置的有序数对是（）A．（7，8）B．（1，1）C．（1，2）D．（2，1）【变式1-1】（2019春•江城区期中）以校门所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，如果出校门向东走60m，再向北走80m，记作（60，80），那么明明家位置（﹣30，60）的含义是（）A．出校门向西走30m，再向南走60mB．出校门向西走30m，再向北走60mC．出校门向东走30m，再向南走60mD．出校门向东走30m，再向北走60m【变式1-2】（2018秋•桥东区期中）小明乘坐一艘游船出海游玩，游船上的雷达扫描探测得到的结果如图所示，每相邻两个圆之间距离是1km（小圆半径是1km），若小艇C在游船的正南方2km，则下列关于小艇A、B的位置描述，正确的是（）A．小艇A在游船的北偏东60°，且距游船3kmB．游船在的小艇A北偏东60°，且距游船3kmC．小艇B在游船的北偏西30°，且距游船2kmD．小艇B在小艇C的北偏西30°，且距游船2km【变式1-3】（2018春•孝义市期中）如图呈现的是一局围棋比赛中的几手棋，为记录棋谱方便，横线用字母表示，纵线用英文数字表示，这样，黑棋❶的位置可记为（C，4），则白棋⑥的位置可记为（）A．（E，3）B．（F，3）C．（G，5）D．（D，6）【考点2 象限内点的特征】【方法点拨】掌握第1～4象限内点的坐标符号特点分别是：（＋，＋）、（－，＋）、（－，－）、（＋，－）.【例2】（2019春•天门校级期中）已知点P（a，b）在第四象限，则点Q（2a﹣b，2b﹣a）在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【变式2-1】（2019春•信丰县期中）如果P（a+b，ab）在第二象限，那么点Q（﹣a，b）在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【变式2-2】（2019春•卫辉市期中）若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，b+1）在第（）象限．A．四B．三C．二D．一【变式2-3】（2019春•汉阳区期末）直角坐标系中点P（a+2，a﹣2）不可能所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点3 坐标轴上点的特征】【方法点拨】坐标系内点的坐标特点：坐标原点（0，0）、x轴（x，0）、y轴（0，y）.注意若点在坐标轴上，则要分成在x轴、y轴上两种情况来讨论.【例3】（2019秋•市北区期中）如果点P（m+3，2m+4）在y轴上，那么点Q（m﹣3，﹣3）的位置在（）A．纵轴上B．横轴上C．第三象限D．第四象限【变式3-1】（2019春•邓州市期中）若点A（﹣2，n）在x轴上，则点B（n﹣1，n+1）在第（）象限．A．一B．二C．三D．四【变式3-2】（2019春•柳江区期中）若点A（m+2，2m﹣5）在y轴上，则点A的坐标是（）A．（0，﹣9）B．（2.5，0）C．（2.5，﹣9）D．（﹣9，0）【变式3-3】（2018秋•章丘区期末）已知点A（2x﹣4，x+2）在坐标轴上，则x的值等于（）A．2或﹣2B．﹣2C．2D．非上述答案【考点4 点到坐标轴的距离】【方法点拨】点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值.【例4】（2019春•兰山区期中）在平面直角坐标系中，点E在x轴上方，y轴的左侧，距离x轴3个单位，距离y轴4个单位，则E点的坐标为（）A．（3，﹣4）B．（4，﹣3）C．（﹣4，3）D．（﹣3，4）【变式4-1】（2019春•郯城县期中）点P（a+3，b+1）在平面直角坐标系的x轴上，并且点P到y轴的距离为2，则a+b的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣1或﹣6D．﹣2或﹣6【变式4-2】（2018春•新罗区校级期中）若点P（2x，3x+5）在第二象限，且点P到两坐标轴的距离相等，则点Q（﹣x2，2x2+2）的坐标是（）A．（1，﹣4）B．（﹣1，﹣4）C．（﹣1，4）D．（1，4）【变式4-3】（2019春•栾城区期中）已知直线MN垂直于x轴，若点M的坐标为（﹣5，2），点N距x轴的距离为3个单位，则点N的坐标为（）A．（﹣5，3）B．（﹣5，3）或（﹣5，﹣3）C．（3，2）D．（3，2）或（﹣3，2）【考点5 角平分线上点的特征】【方法点拨】象限角平分线上点的坐标特点：第1、3象限中x＝y，第二、四象限中x＋y＝0．【例5】（2019春•武平县校级期中）已知点A（2a+1，5a﹣2）在第一、三象限的角平分线上，点B（2m+7，m﹣1）在二、四象限的角平分线上，则（）A．a＝1，m＝﹣2B．a＝1，m＝2C．a＝﹣1，m＝﹣2D．a＝﹣1，m＝2【变式5-1】（2019春•德州期末）若点A（a+1，a﹣2）在第二、四象限的角平分线上，则点B（﹣a，1﹣a）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象跟D．第四象限【变式5-2】若A（a，﹣b），B（﹣b，a）表示同一个点，那这个点一定在（）A．第二、四象限的角平分线上B．第一、三象限的角平分线上C．平行于x轴的直线上D．平行于y轴的直线上【变式5-3】（2019春•福州校级月考）已知点M（a﹣1，﹣a+3）向右平移3个单位，之后又向下移7个单位，得到点N、若点N恰在第三象限的角平分线上，则a的值为（）A．2B．0C．3D．﹣3【考点6 点的坐标确定位置】【方法点拨】首先由点的坐标确定坐标系，进而可确定所求位置的坐标.【例6】（2019春•郯城县期中）课间操时，小华、小军、小刚的位置如图，小军对小华说，如果我的位置用（0，﹣2）表示，小刚的位置用（2，0）表示，那么你的位置可以表示为（）A．（﹣2，﹣3）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣4，﹣3）【变式6-1】（2019春•蒙阴县期中）如图是中国象棋的一盘残局，如果用（2，﹣3）表示“帅”的位置，用（6，4）表示的“炮”位置，那么“将”的位置应表示为（）A．（6，4）B．（4，6）C．（1，6）D．（6，1）【变式6-2】（2018春•越秀区期中）如图所示为某战役潜伏敌人防御工亭坐标地图的碎片，一号墙堡的坐标为（4，2），四号墙堡的坐标为（﹣2，4），由原有情报得知：敌军指挥部的坐标为（0，0），你认为敌军指挥部的位置大概（）A．A处B．B处C．C处D．D处【变式6-3】（2018春•阳信县期中）如图中的一张脸，小明说：“如果我用（0，2）表示左眼，用（2，2）表示右眼”，那么嘴的位置可以表示成（）A ．（0，1）B ．（2，1）C ．（1，0）D ．（1，﹣1）【考点7 坐标与图形的性质】【方法点拨】与坐标轴平行的直线上点的坐标特点：与x 轴平行，纵坐标y 相等；与y 轴平行，横坐标x 相等．【例7】（2019春•海安县期中）已知直线a 平行于x 轴，点M （﹣2，﹣3）是直线a 上的一个点．若点N 也是直线a 上的一个点，MN ＝5，则点N的坐标为 ． 【变式7-1】（2018春•繁昌县期中）已知A （﹣3，2）与点B （x ，y ）在同一条平行于y 轴的直线上，且点B 到x 轴的距离等于3，则B 点的坐标为 ．【变式7-2】（2018春•邹城市期中）已知点M 的坐标为（a ﹣2，2a ﹣3），点N 的坐标为（1，5），直线MN ∥x 轴，则点M 的横坐标为 ．【变式7-3】（20197秋•汝州市校级期中）已知点A （b ﹣4，3+b ），B （3b ﹣1，2），AB ⊥x 轴，则点A 的坐标是 ．【考点8 图形在坐标系中的平移】【方法点拨】平面直角坐标内点的平移规律，设a >0，b >0（1）一次平移：P （x ，y ） P '（x ＋a ，y ）P （x ，y ） P '（x ，y －b ） （2）二次平移：【例8】（2019春•番禺区期中）△ABC 与△A ′B ′C ′在平面直角坐标系中的位置如图（1）分别写出下列各点的坐标：A ′ ；B ′ ；C ′（2）若点P （m ，n ）是△ABC 内部一点，则平移后△A ′B ′C ′内的对应点P ′的坐标为 ．（3）求△ABC 的面积．向右平移a 个单位 向下平移b 个单位P （x ，y ） P （x － a ，y ＋b ） 向左平移a 个单位再向上平移b 个单【变式8-1】（2019春•兰陵县期中）△ABC与△A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）分别写出下列各点的坐标：A；B；C；（2）△ABC由△A′B′C′经过怎样的平移得到？答：．（3）若点P（x，y）是△ABC内部一点，则△A'B'C'内部的对应点P'的坐标为；（4）求△ABC的面积．【变式8-2】（2019春•金平区校级期中）已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．（1）写出A、B、C三点的坐标．（2）△ABC中任意一点P（x0，y0）经平移后对应点为P1（x0+4，y0﹣3），先将△ABC作同样的平移得到△A1B1C1，并写出B1、C1的坐标．（3）求△ABC的面积．【变式8-3】（2019春•厦门期末）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，将三角形ABC 进行平移，平移后点A 、B 、C 的对应点分别是点D 、E 、F ，点A （0，a ），点B （0，b ），点D （a ，12a ），点E （m ﹣b ，12a +4）． （1）若a ＝1，求m 的值；（2）若点C （﹣a ，14m +3），其中a ＞0．直线CE 交y 轴于点M ，且三角形BEM 的面积为1，试探究AF 和BF 的数量关系，并说明理由．【考点9 坐标与图形的变化—对称】【例9】（2018秋•南昌期中）在平面直角坐标系中，有点A （a ，1）、点B （2，b ）．（1）当A 、B 两点关于直线y ＝﹣1对称时，求△AOB 的面积；（2）当线段AB ∥x 轴，且AB ＝4时，求a ﹣b 的值．【变式9-1】（2018秋•蔡甸区期中）如图，在平面直角坐标系中有一个轴对称图形，A （3，﹣2），B （3，﹣6）两点在此图形上且互为对称点，若此图形上有一个点C （﹣2，+1）．（1）求点C 的对称点的坐标．（2）求△ABC 的面积．【变式9-2】（2019秋•抚州期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l 过点M （3，0），且平行于y 轴．（1）如果△ABC 三个顶点的坐标分别是A （﹣2，0），B （﹣1，0），C （﹣1，2），△ABC 关于y 轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中0＜a＜3，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．【变式9-3】（2019•南京校级期中）在平面直角坐标系中，直线l过点M（3，0），且平行于y轴．（1）如果△ABC三个顶点的坐标分别是A（﹣2，0），B（﹣1，0），C（﹣1，2），△ABC关于y轴的对称图形是△A1B1C1，△A1B1C1关于直线l的对称图形是△A2B2C2，写出△A2B2C2的三个顶点的坐标；（2）如果点P的坐标是（﹣a，0），其中a＞0，点P关于y轴的对称点是P1，点P1关于直线l的对称点是P2，求PP2的长．【考点10 坐标与图形的变化—旋转】【例10】（2019春•无锡期中）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．△ABC关于原点O的中心对称图形为△A1B1C1，写出点A的对应点A1的坐标；画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的△A2B2C2；若P（a，b）为△ABC边上一点，则在△A2B2C2中，点P 对应的点Q的坐标为．请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【变式10-1】（2019春•会宁县校级月考）（1）如图，在方格纸中先通过，由图形A得到图形B，再由图形B先（怎样平移），再（怎样旋转）得到图形C（对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度）；（2）如图，如果点P、P3的坐标分别为（0，0）、（2，1），写出点P2的坐标是；（3）图形B能绕某点Q顺时针旋转90°得到图形C，则点Q的坐标是；（4）图形A能绕某点R顺时针旋转90°得到图形C，则点R的坐标是；注：方格纸中的小正方形的边长为1个单位长度．【变式10-2】（2019•聊城期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为（4，0），写出顶点A1，B1的坐标；（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称图形，写出△A2B2C2的各顶点的坐标；（3）将△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°得到△A3B3C3，写出△A3B3C3的各顶点的坐标．【变式10-3】（2019•淮阴区校级模拟）阅读材料：如图（一），在已建立直角坐标系的方格纸中，图形①的顶点为A、B、C，要将它变换到图④（变换过程中图形的顶点必须在格点上，且不能超出方格纸的边界）．例如：将图形①作如下变换（如图二）．第一步：平移，使点C（6，6）移至点（4，3），得图②；第二步：旋转，绕着点（4，3）旋转180°，得图③；第三步：平移，使点（4，3）移至点O（0，0），得图④．则图形①被变换到了图④．解决问题：（1）在上述变化过程中A点的坐标依次为：（4，6）→（，）→（，）→（，）（2）如图（三），仿照例题格式，在直角坐标系的方格纸中将△DEF经过平移、旋转、翻折等变换得到△OPQ．（写出变换步骤，并画出相应的图形）【考点11 点在坐标系内的移动规律】【例11】（2019春•博兴县期中）如图，在平面直角坐标系中，从点p1（﹣1，0），p2（﹣1，﹣1），p3（1，﹣1），p4（1，1），p5（﹣2，1），p6（﹣2，﹣2），…依次扩展下去，则p2019的坐标为（）A．（505，﹣505）B．（﹣505，505）C．（﹣505，504）D．（﹣506，505）【变式11-1】（2018春•武昌区期中）一只跳蚤在第一象限及x、y轴上跳动，第一次它从原点跳到（0.1），然后按图中箭头所示方向跳动（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→……，每次跳一个单位长度，则第2018次跳到点（）A．（6，44）B．（7，45）C．（44，7）D．（7，44）【变式11-2】（2019春•武城县期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、（2，0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）…根据这个规律，第2019个点的坐标为（）A．（45，6）B．（45，13）C．（45，22）D．（45，0）【变式11-3】（2019春•新左旗期中）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2018次运动后，动点P的坐标是（）A．（2018，1）B．（2018，0）C．（2018，2）D．（2019，0）。
2022-2023学年全国初中八年级上数学苏科版期中考试(含答案解析考点)072944
2022-2023学年全国初中八年级上数学苏科版期中考试考试总分：135 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.如图，将 变换到 的位置，则从图中知下列说法正确的是 （ ）A. 与是关于轴对称的B.与 是关于轴对称的C.与 不成轴对称D.与 既关于轴对称，又关于轴对称2. 点在第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，则点的坐标为( )A.B.C.D.3. 若方程的两根为和，且，则下列结论中正确的是( )A.是的算术平方根B.是的平方根C.是的算术平方根D.是的平方根4. 如图，点，分别在线段，上，与相交于点，已知，添加以下条件仍不能判定的是 △ABC △A ′B ′C ′△ABC △A ′B ′C ′x △ABC △A ′B ′C ′y △ABC △A ′B ′C ′△ABC △A ′B ′C ′x y M x 6y 4M (−6,4)(6,−4)(−4,6)(4,−6)(x −4=19)2a b a >b a 19b 19a −419b +419D E AB AC CD BE O AB =AC △ABE ≅△ACD ()A.B.C.D.5. 已知一次函数，当，时，它的图象可能是（ ） A. B. C. D.6. 下列几组数能作为直角三角形三边长的是( )A.，，B.，，C.，，D.，，7. 如图，，，相交于点．若，，则的度数∠B =∠CAD =AEBD =CEBE =CDy =kx +b k <0b <0346113–√512145–√25–√5△ABE ≅△ACD BE CD M ∠BAC =70∘∠C =30∘∠BMD为( )A.B.C.D.8. 如图，半圆柱底面直径是高的两倍，甲虫在半圆柱表面匀速爬行，若沿着最短路径从经过点到（是上底面半圆中点），则甲虫爬行过程中离下底面的高度与爬行时间之间的关系用图象表示最准确的是( )A. B.C.50∘65∘70∘80∘BC AB B E D E h tD.二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）9. 的平方根是________．10. 若 ，则 的化简结果是________.11. 若，则________．12. 正方形， ， 的周长为，点是的中点，平分，则为________.13. 已知，射线平分，如果射线上的点能满足是等腰三角形，那么的度数为________．14. 在中，，，，在上取一点．使，过点作交的延长线于点，若，则________．15. 如图所示，在中，＝，＝，＝，求的长度．在这个问题中，可求得的长度为________．81−−√(2)x <3(x −3)2−−−−−−−√+|b −2021|=0a +1−−−−√=a b ABCD CE =5△EFC 18F DE DG ∠ADE BG ∠AOB =60∘OC ∠AOB OA E △OCE ∠OEC Rt △ABC ∠ACB =90∘BC =2cm CD ⊥AB AC E EC =BC E EF ⊥AC CD F EF =5cm AB =cm △ABC ∠C 90∘AC +AB 10BC 3AC AC16. 如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边，在的右侧作等腰直角，按此规律进行下去，则等腰直角的面积为________．（用含正整数的代数式表示）三、 解答题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）17. 计算.18. 如图，点，，，在一条直线上，，，，求证. 19. 已知是的算术平方根，的立方根为．求和的值；求的平方根．20. 如图所示的一块地（图中阴影部分），，，，.(2,2)A 1y =x A 1//y A 1B 1y =x 12B 1A 1A 1B 1A 1B 1△A 1B 1C 1C 1//y A 2B 2y =x y =x 12A 2B 2A 2A 2B 2A 2B 2△⋯A 2B 2C 2△A n B n C n n −×16−−√−27−−−−√3400−−−√B E C F AB =DE AC =DF BC =EF AB //DE 43a −22−15a −b −5(1)a b (2)2b −a −4∠ACB =90∘AB =13BC =12AD =4CD =3求的度数；求阴影部分的面积．21. 在平面直角坐标系中，有三个点，它们的坐标分别为.在所给的平面直角坐标系中，分别描出点；若以这三个点作为一个平行四边形的三个顶点，你能确定第四个顶点的坐标吗？如果能，请写出所有的第四个顶点的坐标，并在平面直角坐标系中画出所有可能的四边形；如果不能，请说明理由.22. 如图，是一个“数值转化机”的示意图.求输出的结果；计算当输入时，输出的值.23. 如图，，两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．若要使自来水厂到两村的输水管用料相等，厂址应选在哪个位置？若要使自来水厂到两村的输水管用料之和最少，厂址应选在哪个位置？请将水厂址标出，并保留作图痕迹.(1)∠ADC (2)A(0,0)，B(4,0)，C(2,4)(1)A ，B ，C (2)D D (1)(2)x =3A B l P P P24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象交于点.求的值及一次函数的解析式；直接写出关于的不等式的解集________. 25. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，顶点，（其中）.点的坐标是________点的坐标是________（用表示）；如果时，菱形与直线总有公共点，则的取值范围是________.如果时，直线平分菱形的面积，则的值是________.26. 如图，、、为三个超市，在通往的道路（粗实线部分）上有一点，与有道路（细实线部分）相通．与，与C ，与之间的路程分别为，，．现计划在通往的道路上建一个配货中心，每天有一辆货车只为这三个超市送货．该货车每天从出发，单独为送货次，为送货次，为送货次．货车每次仅能给一家超市送货，每次送货后均返回配货中心，设到的路程为 ；这辆货车每天行驶的路程为 ．用含的代数式填空：①当时，货车从到往返次的路程为．货车从到往返次的路程为________，货车从到往返次的路程为________，这辆货车每天行驶的路程_________;②当时，这辆货车每天行驶的路程________；请在图中画出与 的函数图像；xOy y =kx +b A (−2,4)y =−x 23B (a,2)(1)a y =kx +b (2)x kx +b ≤−x 23ABCD A (0,3a)D (4a,0)a >0(1)BC a (2)a =1ABCD y =kx +k −6k (3)k =1y =kx +k −6ABCD a 1A B C A C D D B A D D D B 25km 10km 5km A C H H A 1B 1C 2H H A xkm ykm (1)x 0≤x ≤25H A 12xkm H B 1km H C 2km y =25<x ≤35y =(1)2y x (0≤x ≤35)(2)配货中心建在哪段，这辆货车每天行驶的路程最短？最短路程是多少？27. 如图，点在以为直径的上，过作的切线交延长线于点，于点，交于点，连接，．求证：；求证：；若，，求的长．(2)H D AB ⊙O D ⊙O 4B C AE ⊥CD E ⊙O F AD FD (1)∠DAE =∠DAC (2)DF ⋅AC =AD ⋅DC (3)sin ∠C =14AD =410−−√EF参考答案与试题解析2022-2023学年全国初中八年级上数学苏科版期中考试一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】轴对称图形【解析】根据轴对称图形的定义作答．【解答】解：∵各对应点和，和，和都在轴两侧，∴与是关于轴对称．故选．2.【答案】C【考点】点的坐标【解析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到轴的距离等于纵坐标的长度，到轴的距离等于横坐标的长度解答．【解答】解：点在第二象限，距离轴个单位长度，距离轴个单位长度，点的横坐标是，纵坐标是，点的坐标为．故选．3.【答案】A A ′B B ′C C ′y △ABC △A ′B ′C ′y B x y ∵A x 6y 4∴A −46∴A (−4,6)CC【考点】平方根算术平方根【解析】结合平方根和算术平方根的定义可做选择．【解答】解：∵方程的两根为和，∴和是的两个平方根，且互为相反数，∵，∴是的算术平方根，故选4.【答案】D【考点】全等三角形的判定【解析】欲使，已知，可根据全等三角形判定定理、、添加条件，逐一证明即可．【解答】解：∵，为公共角，，如添加，利用即可证明；，如添，利用即可证明；，如添，等量关系可得，利用即可证明；，如添，因为，不能证明，所以此选项不能作为添加的条件．故选．5.【答案】D【考点】一次函数的图象【解析】(x −4=19)2a b a −4b −419a >b a −419C.△ABE ≅△ACD AB =AC AAS SAS ASA AB =AC ∠A A ∠B =∠C ASA △ABE ≅△ACD B AD =AE SAS △ABE ≅△ACD C BD =CE AD =AE SAS △ABE ≅△ACD D BE =CD SSA △ABE ≅△ACD D根据一次函数的图象性质即可判断．【解答】解：∵，，∴一次函数的图象经过二、三、四象限，故选6.【答案】D【考点】勾股定理的逆定理【解析】根据勾股定理的逆定理，逐一判断，即可解答.【解答】解：，∴，，不能构成直角三角形；，∴，，不能构成直角三角形；，∴，，不能构成直角三角形；，∴，，能构成直角三角形.故选.7.【答案】A【考点】全等三角形的性质三角形内角和定理【解析】利用全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．【解答】解：，，，，，k <0b <0(D)∵+≠324262346∵+≠1212()3–√2113–√∵+≠5212214251214∵+=()5–√2(2)5–√2525–√25–√5D ∵△ABE ≅△ACD ∴∠B =∠C ∠AEB =∠ADC ∵∠BAC =70∘∠C =30∘∠B =30∘∴，，∴，．故选．8.【答案】D【考点】函数的图象【解析】平面展开图如图所示，根据两点之间线段最短可知，甲虫的最短路线是，然后在圆柱的上底面上，沿线段行走即可，此时甲虫离下底面的高度不变．由此即可判断．【解答】解：平面展开图如图所示，根据两点之间线段最短可知，甲虫的最短路线是，然后在圆柱的上底面上，沿线段行走.由题意，所以在甲虫到达之前，离下底面的高度逐渐升高，图形比较缓，到达之后，离下底面的高度保持不变.故选.二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）9.【答案】【考点】平方根【解析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．所以结果必须为正数，由此即可求出的算术平方根．再利用平方根的定义直接计算即可．【解答】∠B =30∘∴∠ADC =−∠BAC −∠C180∘=−−=180∘70∘30∘80∘∠BDM =−∠ADC =180∘100∘∠BMD =−∠B −∠BDM =180∘50∘A B →E DE h B →E DE AE >AB E h E h D ±39=9−−√(±3=9)2解：∵，，∴的平方根是：.故答案为：．10.【答案】【考点】平方根【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ ，∴∴故答案为：.11.【答案】【考点】非负数的性质：绝对值非负数的性质：偶次方【解析】根据两个非负数的和是，因而两个非负数同时是，即可求解．【解答】解：∵，，且，∴，，解得，，∴．故答案为：．12.【答案】【考点】=981−−√(±3=9)281−−√±3±33−xx <3x −3<0，=|x −3|=3−x.(x −3)2−−−−−−−√3−x −100≥0a +1−−−−√|b −2021|≥0+|b −2021|=0a +1−−−−√a +1=0b −2021=0a =−1b =2021==−1a b (−1)2021−14勾股定理直角三角形斜边上的中线【解析】,【解答】解：∵，的周长为，∴．∵为的中点，∴，∵，∴．∴．∴.∴连接，作,∵平分，∴，则，设,根据勾股定理得，则.解得.故答案为：.13.【答案】或或【考点】等腰三角形的判定与性质角平分线的定义【解析】求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．【解答】解：如图，∵，平分，CE =5△CEF 18CF +EF =18−5=13F DE DF =EF ∠BCD =90∘CF =DE 12EF =CF =DE =6.512CD ===12D −C E 2E 2−−−−−−−−−−√−13252−−−−−−−√GE GH ⊥DE DG ∠ADE AG =GH DH =12，HE =1GB =x (12−x +1=+49)2x 2x =44120∘75∘30∘∠AOC OE =CE OC =OE OC =CE ∠AOB =60∘OC ∠AOB ∠AOC =30∘∴，①当在时，，∵，∴；②当在点时，，则；③当在时，，则.故答案为：或或．14.【答案】【考点】全等三角形的性质与判定勾股定理【解析】证明进而得到再在中由勾股定理即可求解．【解答】解：因为，所以，因为，所以，所以，又因为，，所以，所以，在中，.故答案为：.15.【答案】【考点】三角形三边关系勾股定理【解析】根据题意得到＝，根据勾股定理列出关于的方程，解方程得到答案．∠AOC =30∘E E 1OE =CE ∠AOC =∠OCE =30∘∠OEC =−−=180∘30∘30∘120∘E E 2OC =OE ∠OCE =∠OEC =(−)=12180∘30∘75∘E E 3OC =CE ∠OEC =∠AOC =30∘120∘75∘30∘29−−√△ABC ≅ΔFCEF =AC =5Rt △ABC ∠ACB =90∘∠ECF +∠DCB =90∘CD ⊥AB ∠DCB +∠B =90∘∠ECF =∠B BC =CE ∠FEC =∠ACB =90∘△ABC ≅△FCE (ASA)EF =CA =5cm Rt △ABC AB ===cm A +B C 2C 2−−−−−−−−−−√+5222−−−−−−√29−−√29−−√9120AB 10−AC AC【解答】∵＝，∴＝，由勾股定理得，＝，即＝，解得，，16.【答案】【考点】一次函数图象上点的坐标特点等腰直角三角形规律型：点的坐标【解析】先根据点的坐标以及轴，求得的坐标，进而得到的长以及面积，再根据的坐标以及轴，求得的坐标，进而得到的长以及面积，最后根据根据变换规律，求得的长，进而得出的面积即可．【解答】解：∵点，轴交直线于点，∴，∴，即面积.∵，∴.又∵轴，交直线于点，∴，∴，即面积.以此类推，，即面积，，即面积，∴，即的面积．故答案为：.三、 解答题 （本题共计 11 小题 ，每题 5 分 ，共计55分 ）AC +AB 10AB 10−AC A +B C 2C 2AB 2A +C 232(10−AC)2AC =912032n−222n−1A 1//y A 1B 1B 1A 1B 1△A 1B 1C 1A 2//y A 2B 2B 2A 2B 2△A 2B 2C 2A n B n △A n B n C n (2,2)A 1//y A 1B 1y =x 12B 1(2,1)B 1=2−1=1A 1B 1△A 1B 1C 1=×=121212==1A 1C 1A 1B 1(3,3)A 2//y A 2B 2y =x 12B 2(3,)B 232=3−=A 2B 23232△A 2B 2C 2=×(=1232)298=A 3B 394△A 3B 3C 3=×(=1294)28132=A 4B 4278△A 4B 4C 4=×(=12278)2729128⋯=(A n B n 32)n−1△A n B n C n =×[(=1232)n−1]232n−222n−132n−222n−117.【答案】解：原式.【考点】立方根的应用实数的运算平方根【解析】先逐项化简，再根据有理数的加减法法则计算，【解答】解：原式.18.【答案】证明：∵在和中，∴，∴，∴.【考点】全等三角形的性质与判定平行线的判定【解析】根据全等三角形的判定，可以判定和全等，然后即可得到＝，从而证明．【解答】证明：∵在和中，∴，∴，=4−(−3)×20=64=4−(−3)×20=64△ABC △DEF AB =DE,AC =DF,BC =EF,△ABC ≅△DEF(SSS)∠B =∠E AB //DE SSS △ABC △DEF ∠B ∠E AB //DE △ABC △DEF AB =DE,AC =DF,BC =EF,△ABC ≅△DEF(SSS)∠B =∠E AB //DE∴.19.【答案】解：∵是的算术平方根，∴，∴，∵的立方根为，∴，∴，∴；，的平方根为，∴的平方根为．【考点】立方根的性质算术平方根平方根【解析】（1）根据算术平方根、立方根的定义，得到＝，＝，求出，的值即可；（2）把，值代入代数式求出代数式的值，根据平方根即可解答．【解答】解：∵是的算术平方根，∴，∴，∵的立方根为，∴，∴，∴；，的平方根为，∴的平方根为．20.【答案】解：∵，∴.∵，∴，∴.图中阴影部分土地的面积为AB //DE (1)43a −23a −2=16a =62−15a −b −52−15a −b =−1252−15×6−b =−125b =37(2)2b −a −4=2×37−6−4=6464±82b −a −4±83a −2162−15a −b −125a b a b (1)43a −23a −2=16a =62−15a −b −52−15a −b =−1252−15×6−b =−125b =37(2)2b −a −4=2×37−6−4=6464±82b −a −4±8(1)∠ACB =，BC =12，AB =1390∘AC ===5A −B B 2C 2−−−−−−−−−−√−132122−−−−−−−−√CD =3，AD =4A +C =A =25D 2D 2C 2∠ADC =90∘(2)AC ⋅BC −AD ⋅CD 1212×5×12−×4×3=2411.【考点】勾股定理的逆定理勾股定理三角形的面积【解析】(1)先由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理即可求得结果.（2）由三角形面积公式求解即可．【解答】解：∵，∴.∵，∴，∴.图中阴影部分土地的面积为.21.【答案】解：的位置如图所示：能. 点向左平移个单位再向下平移个单位得到点；同理可得到，.如图所示：分别是，，.【考点】位置的确定=×5×12−×4×3=241212AC (1)∠ACB =，BC =12，AB =1390∘AC ===5A −B B 2C 2−−−−−−−−−−√−132122−−−−−−−−√CD =3，AD =4A +C =A =25D 2D 2C 2∠ADC =90∘(2)AC ⋅BC −AD ⋅CD 1212=×5×12−×4×3=241212(1)A ，B ，C (2)B 24D 1D 2D 3(2,−4)D 1(−2,4)D 2(6,4)D 3平面直角坐标系的相关概念【解析】此题暂无解析【解答】解：的位置如图所示：能. 点向左平移个单位再向下平移个单位得到点；同理可得到，.如图所示：分别是，，.22.【答案】解：输出的结果为：；当输入时，，∴输出的值为.【考点】列代数式求值【解析】此题暂无解析【解答】解：输出的结果为：；当输入时，，∴输出的值为.23.【答案】解：当自来水厂到两村的输水管用料相等时，如图所示，点即为所求.(1)A ，B ，C (2)B 24D 1D 2D 3(2,−4)D 1(−2,4)D 2(6,4)D 3(1)(4x −6)÷2=2x −3(2)x =32x −3=6−3=33(1)(4x −6)÷2=2x −3(2)x =32x −3=6−3=33P P自来水厂到两村的输水管用料之和最少时，如图所示，点即为所求.【考点】作线段的垂直平分线轴对称——最短路线问题【解析】此题暂无解析【解答】解：当自来水厂到两村的输水管用料相等时，如图所示，点即为所求.自来水厂到两村的输水管用料之和最少时，如图所示，点即为所求.24.P PP P P P【答案】解：正比例函数的图象经过点，，解得，.一次函数的图象经过点，，解得 一次函数的解析式为.【考点】待定系数法求一次函数解析式一次函数图象上点的坐标特点一次函数与一元一次不等式【解析】()先把点 代入，求出的值，确定的坐标，然后将，两点的坐标代入，根据待定系数法求出一次函数的解析式.()找出直线直线落在下方(包含交点)的部分对应的自变量的取值范围即可．【解答】解：正比例函数的图象经过点，，解得，.一次函数的图象经过点，，解得 一次函数的解析式为.，根据图象可知不等式的解集为： .故答案为：.25.【答案】,(1)∵y =−x 23B (a,2)∴2=−a 23a =−3∴B (−3,2)∵y =kx +b A(−2,4)B (−3,2)∴{−2k +b =4,−3k +b =2,{k =2,b =8,∴y =kx +b y =2x +8x ≤−31B (a,2)y =−x 23a B A B y =kx +b 2y =kx +b y =−x 23(1)∵y =−x 23B (a,2)∴2=−a 23a =−3∴B (−3,2)∵y =kx +b A(−2,4)B (−3,2)∴{−2k +b =4,−3k +b =2,{k =2,b =8,∴y =kx +b y =2x +8(2)∵B (−3,2)∴kx +b ≤−x 23x ≤−3x ≤−3(0,−2a)(4a,−5a)≤k ≤9155【考点】勾股定理菱形的性质点的坐标一次函数图象上点的坐标特点【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，，∴，，∴.∵四边形是菱形，∴，∴，.故答案为：；.当时，，.易知恒过定点.如图，当直线过点时，此时最大，将点坐标代入解析式得，解得；当直线过点时，此时最小，将点坐标代入解析式得，解得，故的取值范围是.故答案为：.连接，交于点，则，53A (0,3a)D (4a,0)OA =3a OD =4a AD ==5a O +O A 2D 2−−−−−−−−−−√ABCD AB =CD =5a B(0,−2a)C(4a,−5a)(0,−2a)(4a,−5a)(2)a =1A(0,3)C(4,−5)y =kx +k −6=k(x +1)−6E(−1,−6)y A k A 3=k −6k =9yC k C −5=4k +k −6k =15k ≤k ≤915≤k ≤915(3)AC BD F F(2a,−a)易知时，直线过点，则，解得.故答案为：.26.【答案】,,,当时，，时，；时，，当时，，画出图像如图所示：根据图象可得：当时，恒等于，此时的值最小，得出配货中心建段，这辆货车每天行驶的路程最短，最短路程为．【考点】一次函数的应用函数的图象【解析】（）根据当时，结合图象分别得出货车从到，，的距离，进而得出与的函数关系，再利用当时，分别得出从到，，的距离，即可得出；（）利用（）中所求得出，利用的取值范围，得出与的函数图象以及直线的图象；（）结合图象即可得出辆货车每天行驶的路程最短时所在位置．【解答】解：∵当时，k =1y =x −5F −a =2a −5a =5353(60−2x)(140−4x)−4x +200100(2)0 x 25y =−4x +200x =0y =200x =25y =10025<x 35y =100(3)(2)25 x 35y 100km y H CD 100km 10 x 25H A B C y x 0<x 25H A B C y =10021x y x y =1003(1)①0 x 25A货车从到往返次的路程为，货车从到往返次的路程为：，货车从到往返次的路程为：，这辆货车每天行驶的路程为：．当时，货车从到往返次的路程为：，货车从到往返次的路程为：，货车从到往返次的路程为：，故这辆货车每天行驶的路程为：.故答案为：；；；.当时，，时，；时，，当时，，画出图像如图所示：根据图象可得：当时，恒等于，此时的值最小，得出配货中心建段，这辆货车每天行驶的路程最短，最短路程为．27.【答案】证明：连接，，∵的切线，为切点，∴，∴，∵为的直径，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴∴ （等角的余角相等）；如图，连接，，H A 12x H B 12(5+25−x)=60−2x H C 24(25−x +10)=140−4x y =60−2x +2x +140−4x =−4x +200②25<x 35H A 12x H B 12(5+x −25)=2x −40H C 24[10−(x −25)]=140−4x y =2x +2x −40+140−4x =100(60−2x)(140−4x)−4x +200100(2)0 x 25y =−4x +200x =0y =200x =25y =10025<x 35y =100(3)(2)25 x 35y 100km y H CD 100km (1)OD BO ED =⊙O D OD ⊥ED ∠ODA +∠EDA =90∘AB ⊙O ∠ADB =90∘∠ODA +∠ODB =90∘∠ODB =∠EDA OB =OD ∠ODB =∠OBD ∠EDA =∠ABD AE =CD ∠E =90∘∠DAE =∠DAC (2)BD BF AB ⊙O∵为的直径，∴，∴，∴，由得 ，∴，∴，∴；过作于，连接，．设，在中，，∴，则，，由（）得 ，即，∵，∴，在中，，∴，，由得，，∵（圆内接四边形外角等于内对角），由（）得，∴，∴，∴ ，即 ，∴ ，在中，，即，解得：，∴．【考点】等边三角形的性质与判定【解析】AB ⊙O ∠AFB =90∘BF//CF ∠C =∠ABF =∠ADF (2)∠DAE =∠DAC △ADF ∼△ACD =AD AC DF CD DF ⋅AC =AD ⋅DC (3)D DH ⊥AB H OD BD OA =OD =x Rt △ODC sin C ==OD OC 14OC =4x CD ==x O −O C 2D 2−−−−−−−−−−√15−−√AC =OA +OC =5x 2DF ⋅AC =AD ⋅DC DF ==44x 10−−√15−−√5x 6–√∠C +∠DOC =,∠ODH +∠DOH =90∘90∘∠ODH =∠C Rt △ODH sin ∠ODH ==OH OD 14OH =x 14∴DH ==x O −O D 2H 2−−−−−−−−−−√15−−√4(1)∠DAE =∠DAC DH =DE =x 15−−√4∠EFD =∠ABD 1∠EDA =∠ABD ∠EFD =∠EDA △EAD ∼△EDF =ED EF AD DF =15−−√EF 410−−√46–√EF =x 34Rt △DEF E +D =D F 2E 2F 2(x +(x =34)215−−√4)2(4)6–√2x =8EF =×8=634此题暂无解析【解答】证明：连接，，∵的切线，为切点，∴，∴，∵为的直径，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴∴ （等角的余角相等）；如图，连接，，∵为的直径，∴，∴，∴，由得 ，∴，∴，∴；过作于，连接，．设，在中，，∴，则，(1)OD BO ED =⊙O D OD ⊥ED ∠ODA +∠EDA =90∘AB ⊙O ∠ADB =90∘∠ODA +∠ODB =90∘∠ODB =∠EDA OB =OD ∠ODB =∠OBD ∠EDA =∠ABD AE =CD ∠E =90∘∠DAE =∠DAC (2)BD BF AB ⊙O ∠AFB =90∘BF//CF ∠C =∠ABF =∠ADF (2)∠DAE =∠DAC △ADF ∼△ACD =AD AC DF CD DF ⋅AC =AD ⋅DC (3)D DH ⊥AB H OD BD OA =OD =x Rt △ODC sin C ==OD OC 14OC =4x CD ==x O −O C 2D 2−−−−−−−−−−√15−−√AC =OA +OC =5x，由（）得 ，即，∵，∴，在中，，∴，，由得，，∵（圆内接四边形外角等于内对角），由（）得，∴，∴，∴ ，即 ，∴ ，在中，，即，解得：，∴．AC =OA +OC =5x 2DF ⋅AC =AD ⋅DC DF ==44？x 10−−√15−−√5x 6–√∠C +∠DOC =,∠ODH +∠DOH =90∘90∘∠ODH =∠C Rt △ODH sin ∠ODH ==OH OD 14OH =x 14∴DH ==x O −O D 2H 2−−−−−−−−−−√15−−√4(1)∠DAE =∠DAC DH =DE =x 15−−√4∠EFD =∠ABD 1∠EDA =∠ABD ∠EFD =∠EDA △EAD ∼△EDF =ED EF AD DF =15−−√EF 410−−√46–√EF =x 34Rt △DEF E +D =D F 2E 2F 2(x +(x =34)215−−√4)2(4)6–√2x =8EF =×8=634。
专题3-3 勾股定理的简单应用-重难点题型(举一反三)(苏科版)(原卷版)
专题3.3 勾股定理的简单应用-重难点题型【苏科版】【题型1 勾股定理的应用（最短路径问题）】【例1】（2021春•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，10cm，6cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？【变式1-1】（2020秋•长春期末）如图所示，有一个圆柱，底面圆的直径AB=16π，高BC＝12cm，在BC的中点P处有一块蜂蜜，聪明的蚂蚁总能找到距离食物的最短路径，求蚂蚁从A点爬到P点的最短距离．【变式1-2】（2020秋•碑林区校级月考）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上底面距离为4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为多少？【变式1-3】（2020秋•淅川县期末）如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB＝18cm，BC＝12cm，BF＝10cm，点M在棱AB上，且AM＝6cm，点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程是多少？【题型2 勾股定理的应用（方位角问题）】【例2】（2020秋•龙口市期中）甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°向航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，问乙船的速度是每小时多少海里？【变式2-1】（2020春•孟村县期末）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？【变式2-2】（2020春•鹿邑县期中）如图，北部湾诲面有一艘解放军军舰正在基地A的正东方向且距A地40海里的B处训练，突然接到基地命令，要该舰前往C岛接送一名患病的渔民到基地的医院救治．已知C岛在基地A的北偏东58°方向且距基地A32海里，在B处的北偏西32°的方向上．军舰从B处出发，平均每小时行驶40海里．问至少需要多长时间能把患病渔民送到基地？【变式2-3】（2020春•灌阳县期中）如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C处将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西23°．（1）求甲巡逻艇的航行方向；（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里？【题型3 勾股定理的应用（范围影响问题）】【例3】（2021春•江岸区校级月考）国家交通法规定：汽车在城市街道上行驶速度不得超过60km/h，一辆汽车在解放大道上由西向东行驶，此时小汽车在A点处，在它的正南方向21m处的B点处有一个车速检测仪，过了4s后，测得小汽车距离测速仪75m．这辆小汽车超速了吗？通过计算说明理由．【变式3-1】（2021春•南川区期中）为了积极宣传防疫，南川区政府采用了移动车进行广播，如图，小明家在南大街这条笔直的公路MN的一侧点A处，小明家到公路MN的距离为600米，假使广播车P周围1000米以内能听到广播宣传，广播车P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行驶时，若小明此时在家，他是否能听到？若能，请求出他总共能听到多长时间的广播？【变式3-2】（2020秋•雁江区期末）拖拉机行驶过程中会对周围产生较大的噪声影响．如图，有一台拖拉机沿公路AB由点A向点B行驶，已知点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为150m和200m，又AB＝250m，拖拉机周围130m以内为受噪声影响区域．（1）学校C会受噪声影响吗？为什么？（2）若拖拉机的行驶速度为每分钟50米，拖拉机噪声影响该学校持续的时间有多少分钟？【变式3-3】（2020秋•内江期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB由A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域．（1）求∠ACB的度数；（2）海港C受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E处时，海港C刚好受到影响，当台风运动到点F 时，海港C刚好不受影响，即CE＝CF＝250km，则台风影响该海港持续的时间有多长？【题型4 勾股定理的应用（梯子问题）】【例4】（2021春•前郭县月考）如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦8米处（车尾AE到大厦墙面CD），升起云梯到火灾窗口B．已知云梯AB长17米，云梯底部距地面的高AE＝1.5米，问发生火灾的住户窗口距离地面多高？【变式4-1】（2020秋•玄武区期末）如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道AC与AE的长度一样，滑梯的高度BC＝4m，BE＝1m．求滑道AC的长度．【变式4-2】（2020秋•阜宁县期中）如图，教学楼走廊左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜在右墙时，顶端距离地面2米，求教学楼走廊的宽度．【变式4-3】（2020秋•惠来县期末）如图所示，一架梯子AB斜靠在墙面上，且AB的长为2.5米．（1）若梯子底端离墙角的距离OB为1.5米，求这个梯子的顶端A距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B在水平方向滑动的距离BB'为多少米？【题型5 勾股定理的应用（九章算术问题）】【例5】（2021春•合肥期中）《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？【变式5-1】（2021春•汉阳区期中）“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．问水深和芦苇长各多少？（画出几何图形并解答）【变式5-2】（2020春•安庆期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝4，求AC的长．【变式5-3】（2020•庐阳区一模）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何”．大意是说，已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？【题型6 勾股定理的应用（其他问题）】【例6】（2020秋•沙坪坝区期末）如图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CDEF为一木质平台的主视图．小敏经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米，于是小敏大胆猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度．【变式6-1】（2020秋•宽城区期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？【变式6-2】（2021春•越秀区校级期中）八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的风筝的高度CE，测得如下数据：①测得BD的长度为8米：（注：BD⊥CE）②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的松松身高1.6米．（1）求风筝的高度CE．（2）若松松同学想风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？【变式6-3】（2020秋•荥阳市期中）随着疫情的持续，各地政府储存了充足的防疫物品．某防疫物品储藏室的截面是由如图所示的图形构成的，图形下面是长方形ABCD，上面是半圆形，其中AB＝1.8m，BC ＝2m，一辆装满货物的运输车，其外形高2.3m，宽1.6m，它能通过储藏室的门吗？请说明理由．。