2020新人教A版高中数学必修一第二章基本初等函数Ⅰ章末复习提升
高中数学第二章基本初等函数Ⅰ章末复习人教A版必修1
[典例 3] 比较三个数 0.32，log20.3,20.3 的大小．
解 解法一：∵0<0.32<12＝1，log20.3<log21＝0,20.3>20 ＝1，∴log20.3<0.32<20.3.
解法二：作出函数 y＝x2，y＝log2x，y＝2x 的大致图象， 如图所示，画出直线 x＝0.3，根据直线与三个函数图象的 交点位置，即可看出 log20.3<0.32<20.3.
3．根据函数解析式确定图象 [典例 7] 已知 f(x)＝ax－2，g(x)＝logax(a>0，a≠1)，若 f(4)·g(4)<0，则 y＝f(x)，y＝g(x)在同一平面直角坐标系内的 大致图象是( )
解析 由 f(4)·g(4)<0 知 a2·loga4<0，∴loga4<0，∴0<a<1， ∴f(x)和 g(x)在(0，＋∞)上都是减函数．
3学科思想培优
一、指数、对数、幂函数的典型问题及求解策略 指数函数、对数函数、幂函数的性质主要是指函数的定 义域、值域、单调性等，其中单调性是高考考查的重点，并 且经常以复合函数的形式考查，求解此类问题时，要以基本 函数的单调性为主，结合复合函数单调性的判断法则，在函 数定义域内进行讨由题意得132x－1－27≥0，所以132x－1≥27，即 132x－1≥13－3，又指数函数 y＝13x 为 R 上的单调减函数，所 以 2x－1≤－3，解得 x≤－1.
x＋1>0，
(2)要使函数式有意义，需ln x＋1≠0， 4－x2≥0，
2．根据图象比较底数或指数的大小 [典例 6] 如图是幂函数 y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd 在 第一象限内的图象，则 a，b，c，d 的大小关系为( )
高中数学 第二章基本初等函数(1)期末知识梳理 新人教A版必修1
（1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． ②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()nn a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nna a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rsa a a r s R =>∈ ③()(0,0,)rr rab a b a b r R =>>∈（4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a > 01a <<定义域 R 值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数1、 对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)xa x N a N a a N =⇔=>≠>．xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O1y =（2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aM M N N-= ③数乘：log log ()na a n M M n R =∈ ④log a N a N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且（5）对数函数函数名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域RxyO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．(6)反函数的概念设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．（7）反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x fy -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域．（8）反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．〖2.3〗幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． （2）幂函数的图象（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qpy x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．[例1]已知18log 9,185,ba ==求36log 45解：∵185,b=∴18log 5b = ∴1818183621818181818log 45log 5log 9log 451818log 36log 4log 92log ()2log ()99b a b a b aa a a++++=====+-++[例2]求函数361265xxy =-⋅-的单调区间. 解：令6xt =，则6xt =为增函数，361265x x y =-⋅-＝2125t t -⋅-＝2(6)41t --∴当t ≥6,即x ≥1时，y 为关于t 的增函数， 当t ≤6,即x ≤1时，y 为关于t 的减函数∴函数361265xxy =-⋅-的单调递减区间是(,1]-∞，单调递增区间为[1,)+∞ [例3]已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 解：∵)2(log ax y a -=是由u y a log =，ax u -=2复合而成，又a ＞0 ∴ax u -=2在[0，1]上是x 的减函数，由复合函数关系知u y a log =应为增函数，∴a ＞1又由于x 在[0，1]上时 )2(log ax y a -=有意义，ax u -=2又是减函数，∴x ＝1时，ax u -=2取最小值是a u -=2min ＞0即可， ∴a ＜2综上可知所求的取值范围是1＜a ＜2 [例4]已知函数()log (3)a f x ax =-.（1）当[0,2]x ∈时()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围.（2）是否存在这样的实数a 使得函数()f x 在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.解：（1）由假设，ax -3＞0，对一切[0,2]x ∈恒成立，0,1a a >≠显然，函数g(x)= ax -3在[0，2]上为减函数，从而g(2)＝32a -＞0得到a ＜32∴a 的取值范围是（0，1）∪（1，32） (2)假设存在这样的实数a ，由题设知(1)1f =，即(1)log (3)a f a =-＝1 ∴a ＝32此时3()log (3)2a f x x =- 当2x =时，()f x 没有意义，故这样的实数不存在.[例5]已知函数f (x )=1421lg 2+-⋅++a a a x x , 其中a 为常数，若当x ∈(－∞, 1］时, f (x )有意义，求实数a 的取值范围.解：14212+-⋅++a a a x x >0, 且a 2－a +1=(a －21)2+43>0, ∴ 1+2x+4x·a >0, a >)2141(x x +-, 当x ∈(－∞, 1]时, y =x 41与y =x 21都是减函数，∴ y =)2141(x x +-在(－∞, 1]上是增函数，)2141(x x +-max =－43,∴ a >－43, 故a 的取值范围是(－43, +∞).[例6]若1133(1)(32)a a --+<-，试求a 的取值范围.解：∵幂函数13y x-=有两个单调区间，∴根据1a +和32a -的正、负情况，有以下关系10320.132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩① 10320.132a a a a+<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩② 10.320a a +<⎧⎨->⎩③ 解三个不等式组：①得23＜a ＜32，②无解，③a ＜－1 ∴a 的取值范围是（－∞，－1）∪（23，32）。
人教A版高中数学必修1《第二章 基本初等函数(Ⅰ) 小结》_6
第一章基本函数小结(一)教学目标1．知识与技能整合函数性质建构知识网络，以便于进一步理解和掌握函数的性质.提升综合运用函数性质的能力.2．过程与方法在整合函数性质、综合运用函数性质的过程中，培养学生分析、观察、思考的教学能力、提升学生的归纳、推理能力.3．情感、态度与价值观在学习过程中，通过知识整合，能力培养，激发学生的学习兴趣. 养成合作、交流的良好学习品质.(二)教学重点与难点重点：整合知识、构建单元知识系统.难点：提升综合应用能力.(三)教学方法动手练习与合作交流相结合. 在回顾、反思中整合知识，在综合问题探究、解答中提升能力. 加深对知识的准确、到位的理解与应用.(四)教学过程思络..求函数值域的基本方法总结(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y＝ax＋b±cx＋d(a、b、c、d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域.(4)分离常数法：形如y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数也可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法：画出函数的图像，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围．判断函数单调性的方法：①根据定义；②根据图像；③利用已知函数的增减性；⑤复合函数单调性判定方法：在复合函数y＝f(g(x))中，“同增异减”。
1．函数单调性的证明根据函数的单调性的定义，证明(判定)函数f(x)在其区间上的单调性，其步骤是：(1)设x1、x2是该区间上的任意两个值，且x1＜x2；(2)作差f(x1)－f(x2)，然后变形；(3)判定f(x1)－f(x2)的符号；(4)根据定义作出结论．。
高中数学必修1(人教A版)第二章基本初等函数2-1知识点总结 含同步练习题及答案
(2 x )2 + 2 x − 6 = 0,
令 t = 2 x ，则 t > 0 ，所以
t 2 + t − 6 = 0.
解得 t = 2 或 t = −3．因为 t > 0 ，所以 t = 2 ，即 2 x = 2 ，所以 x = 1． 若 a−5x > ax+7 (a > 0 且 a ≠ 1)，求 x 的取值范围．
< 1 的解为
(
)
B．−2 < t < 1 C．−2 < t < 2 D．−3 < t < 2
A．1 < t < 2
答案： A 解析： 若不等式
x2 − 2ax + a > 0，对 x ∈ R 恒成立，则 Δ = 4a2 − 4a < 0 ∴ 0 < a < 1 又 2 a2t+1 < at +2t−3 < 1 ，则 2t + 1 > t 2 + 2t − 3 > 0 t + 1 > t 2 + 2t − 3 ∴ 1 < t < 2 ． 即 { 22 t + 2t − 3 > 0
2
3 3 ] 上是增函数，在 [ , +∞) 上是减函数，所以 2 2 3 3 −x2 +3x+2 在 f (x) = 2 (−∞, ] 上是增函数，在 [ , +∞) 上是减函数． 2 2 x （2）函数的定义域为 R，令 t = 2 (t > 0)，则 y = (2 x )2 − 2 × 2 x + 5 = t 2 − 2t + 5 = (t − 1)2 + 4，根据该函数的图象可得，y ∈ [4, +∞)． 当 t ≥ 1 时，y = (t − 1)2 + 4 在 [1, +∞) 上为增函数，又 2 x ≥ 1 ，即 x ≥ 0，且 t = 2 x 在 [0, +∞) 上为增函数，由复合函数的单调性的判断方法知，原函数在 [0, +∞) 上是增函数．同 理，原函数在 (−∞, 0] 上为增函数．
高中数学人教A版必修1课件：第二章章末复习提升课
f ( x) ＝
4－|x| ＋
D．(－1，3)∪(3，6]
x－ 1 －2，x≤1， 3 (－2，－1] f(x)＝ 1－x 的值域为____________ ． 3 － 2 ， x ＞ 1
[解析]
(1)依题意知，
4－|x|≥0， 2 x －5x＋6 ＞0， x－ 3
－4≤x≤4， 即 x＞2且x≠3，
即函数的定义域为(2，3)∪(3，4]． (2)当 x≤1 时，x－1≤0，故 0＜3x
由此可得－2＜3x 由此可得－2＜31
－1
－1
≤1.
－2≤－1.
－x
当 x＞1 时，1－x＜0，故 0＜31
－x
＜1.
－2＜－1.
故所求函数的值域为(－2，－1]．
9 × 8 ＝log3 4× 32 －5
32 ＋log38－5 9
＝log39－9＝2－9＝－7.
在进行指数的运算时， 需要注意根式的两个重要结论及指 数幂运算性质的灵活运用； 在进行对数的运算时， 一定要注意 真数大于 0，即保证所用到的运算性质都有意义．对数的运算 性质，对数恒等式以及换底公式的综合运用是进行对数化简、 运算的关键.
(1)(2014· 高考安徽卷)设 a＝log37， b＝21.1， c＝0.83.1， 则( B ) B．c<a<b D．a<c<b
A．b<a<c C．c<b<a
(2)(2015· 高考山东卷)已知函数 f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的 3 － 2 定义域和值域都是[－1，0]，则 a＋b＝________ ．
第二章
基本初等函数（I）
章末复习提升课
高中数学(新人教A版必修1)配套课件：第二章 基本初等函数(I) 章末复习提升
A )
A.a＜b＜c C.c＜a＜b
解析
B.c＜b＜a D.b＜a＜c
a＜b＜c.
1 1 0.2 3 a＝log 1 3 ＜ 0,0 ＜ b ＝ ＜ 1 ， c ＝ 2 ＞1，故有 2 3
明目标、知重点
解析答案
跟踪训练 3
2 设 a＝log2π，b＝log 1 π ， c ＝ π ，则( C ) 2
一定要注意底数的范围，通常要用到分类讨论思想.
(2)a>1时，a值越大，图象向上越靠近y轴，递增速度越快； 0<a<1时，a
值越小，图象向上越靠近y轴，递减速度越快.
明目标、知重点
(3)在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小 有如下关系：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在 y轴左 侧，图象从下到上相应的底数由大变小.即无论在y轴的左侧还是右侧，
对数恒等式和换底公式等.换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，
一定要掌握并灵活运用.
明目标、知重点
a 8a b
4 3
1 3
例1
(1)化简：
4b 2 3 ab a
2 3
2 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3 ÷ 1－2
b 3 × ab； a
a b
1 3 1 3
1 1 a (a 8b) 1 a 3 a 3b 3 a 3 b ＝ a 8b . 1 3
解析
函数
1 x y＝ ＋1 2
的图象如图所示， 关于
y＝x 对称的图象大致为 A 选项对应图象.
明目标、知重点
解析答案
跟踪训练 2
xax 函数 y＝ |x| (0<a<1)的图象的大致形状是( D )
2019_2020学年高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)章末复习提升课课件新人教A版必修1
②因为对数函数 y＝log0.4x 在(0，＋∞)上是减函数， 所以 log0.44<log0.43<log0.42<log0.41＝0. 又幂函数 y＝x－1 在(－∞，0)上是减函数， 所以log10.42<log10.43<log10.44， 即 log20.4<log30.4<log40.4.
所以 g(x)＝log12xx＋ －11－12x在[3，4]上是增函数． 所以 x＝3 时，g(x)min＝g(3)＝log1233＋ －11－123＝－1－18＝－98. 又因为对任意 x∈[3，4]时，g(x)>m， 即 log12xx＋－11－12x>m 恒成立， 所以 m<－98， 即所求 m 的取值范围是－∞，－98.
解析：选 A.由题意得22＋ －xx>>00， ，解得－2<x<2，所以 f(x)的定义 域为(－2，2)，关于原点对称．因为 f(－x)＝ln(2－x)－ln(2＋x) ＝－f(x)，所以 f(x)是奇函数；又 y＝ln(2＋x)在(－2，2)上单调 递增，y＝ln(2－x)在(－2，2)上单调递减，所以 f(x)在(－2，2) 上单调递增．故选 A.
设 a＝log32，b＝ln 2，c＝5－12，则( ) B．b<c<a D．c<b<a
解析：选 C.因为 a＝log32＝log123，b＝ln 2＝lo1g2e，而 3>e 且 y
＝log2x
为增函数，所以
a<b，又
c＝5－12＝
1 ，而 5
5>2＝
log24>log23，所以 c<a，综上所述 c<a<b.
答案：②
高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)单元复习课件 新人教A版必修1
非奇非偶
在 R 上是增函数
在 R 上是减函数
函数值的
y＞1(x＜0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＞
y＞1(x＞0), y=1(x=0), 0＜y＜1(x＜0)
变化情况
0)
a 变化对
在第一象限内， a 越大图象越高，越靠近 在第一象限内， a 越小图象越高，越靠
y 轴；
近 y 轴；
图象的影
响
越靠近 y 轴
y轴
10、反函数
（1）反函数概念
函数 y=ax（x∈R）与对数函数 y=logax（x∈（0，+∞））互为反函数.即同底的指数函数与对 数函数互为反函数。
（2）反函数的性质
互为反函数的两个函数的图像关于直线 y=x 对称。
完整版ppt
9
1111.、幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数 y x 叫做幂函数，其中 x 为自变量， 是常数．
loga
b
；
完整版ppt
6
8、指数函数的性质
函数名称 定义
指数函数
函数 y ax (a 0 且 a 1) 叫做指数函数
a 1
0 a 1
y y ax
y ax
y
图象
定义域 值域
过定点 奇偶性 单调性
y1
(0,1)
1
O
0x
y1
(0,1)
1
O
0x
R
（0,+∞）
图象过定点（0,1），即当 x=0 时，y=1．
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：
当 0 a 1时， a x N x log a N （符号功能）——熟练转化
常用对数：以 10 为底 log10 N 写成 lg N ；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【创新设计】2015-2016学年高中数学第二章基本初等函数（Ⅰ）章末复习提升新人教A版必修11．指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化．2．指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数a的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知a在(0,1)和(1，＋∞)两个区间取值时函数的单调性及图象特点．3．应用指数函数y＝a x和对数函数y＝log a x的图象和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数a＞1和0＜a＜1两种情况的讨论．4．幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为变量，指数函数的指数为变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决．5．理解幂函数的概念、图象和性质．在理解幂函数的概念、图象和性质时，要对幂指数α分两种情况进行讨论，即分α＞0和α＜0两种情况．6．比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与1比，分出大于1还是小于1；然后在各类中两两相比较．7．求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集．其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区间．8．函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及．考查形式有知式选图、知图造式、图象变换以及用图象解题．函数图象形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果．题型一 有关指数、对数的运算问题指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容．指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等．换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用．例1 (1)化简a 43－8a 31b4b 32＋23ab ＋a32÷⎝⎛⎭⎪⎫1－23b a ×3ab ；(2)计算：2log 32－log 3329＋log 38－2535log .解 (1)原式＝a31a －8b2b312＋2a 31b 31＋a312×a31a 31－2b31×a 31b 31＝a31a －8ba －8b×a 31×a 31b 31＝a 3b .(2)原式＝log 34－log 3329＋log 38－535log 2+＝log 3(4×932×8)－535log 2+＝log 39－9＝2－9＝－7.跟踪演练1 (1)求lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5log 54·log 25＋525log ＋1643的值．(2)已知x ＞1，且x ＋x －1＝6，求x 21－x21-.解 (1)lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5log 54·log 25＋525log＋1643＝3lg 2＋3lg 5－lg 2－lg 52log 52·log 25＋2＋(24)43＝3－12＋2＋8＝11. (2)⎝⎛⎭⎫x 21－x21-2＝x ＋x －1－2＝6－2＝4， 又x ＞1，∴x 21－x21-＞0，∴x 21－x21-＝2.题型二 指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质函数的图象是研究函数性质的前提和基础，它较形象直观地反映了函数的一切性质．教材对幂函数、指数函数、对数函数三个函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用．例2 已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x.(1)画出函数f (x )的图象；(2)根据图象写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域．解 (1)先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，利用偶函数的图象关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图象．(2)函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0,1]． 跟踪演练2 (1)函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 (2)函数y ＝x 33x－1的图象大致是( )答案 (1)C (2)C 解析 (1)g (x )＝x 2－4x ＋4＝(x －2)2，在同一平面直角坐标系内画出函数f (x )＝ln x 与g (x )＝(x －2)2的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点． (2)由3x－1≠0得x ≠0，∴函数y ＝x 33x－1的定义域为{x |x ≠0}，可排除选项A ；当x ＝－1时，y ＝－1313－1＝32＞0，可排除选项B ；当x ＝2时，y ＝1，当x ＝4时，y ＝6480，但从选项D 的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C. 题型三 比较大小比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种：(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如0,1，－1等； (3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决． 例3 设a ＝log 213，b ＝⎝⎛⎭⎫130.2，c ＝231，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 答案 A解析 a ＝log 213＜0,0＜b ＝⎝⎛⎭⎫130.2＜1，c ＝231＞1，故有a ＜b ＜c .跟踪演练3 (1)下列不等式成立的是( ) A ．log 32＜log 23＜log 25 B ．log 32＜log 25＜log 23 C ．log 23＜log 32＜log 25 D ．log 23＜log 25＜log 32(2)已知0＜a ＜1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )A ．x ＞y ＞zB ．z ＞y ＞xC ．y ＞x ＞zD ．z ＞x ＞y 答案 (1)A (2)C解析 (1)由于log 31＜log 32＜log 33，log 22＜log 23＜log 25，即0＜log 32＜1,1＜log 23＜log 25，所以log 32＜log 23＜log 25.故选A.(2)依题意，得x ＝log a 6，y ＝log a 5，z ＝log a 7.又0＜a ＜1，5＜6＜7，因此有log a 5＞log a 6＞log a 7，即y ＞x ＞z .故选C. 题型四 分类讨论思想本章常见分类讨论思想的应用如下表：例4 已知偶函数f (x )在x ∈[0，＋∞)上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫2＝0，求不等式f (log a x )＞0(a ＞0，且a ≠1)的解集．解 ∵f (x )是偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 又f ⎝⎛⎭⎫12＝0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，f ⎝⎛⎭⎫－12＝0.故若f (log a x )＞0，则有log a x ＞12或log a x ＜－12.①当a ＞1时，由log a x ＞12或log a x ＜－12，得x ＞a 或0＜x ＜a a. ②当0＜a ＜1时，由log a x ＞12或log a x ＜－12，得0＜x ＜a 或x ＞a a. 综上可知，当a ＞1时，f (log a x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a a ∪(a ，＋∞)；当0＜a ＜1时，f (log a x )＞0的解集为(0，a )∪⎝⎛⎭⎪⎫a a ，＋∞. 跟踪演练4 已知函数y ＝a332+-x x 在x ∈[1,3]时有最小值18，求a 的值．解 令t ＝x 2－3x ＋3＝⎝⎛⎭⎫x －322＋34，当x ∈[1,3]时，t ∈⎣⎡⎦⎤34，3.①若a ＞1时，则y min ＝a 43＝18，解得a ＝116，与a ＞1矛盾．②若0＜a ＜1，则y min ＝a 3＝18，解得a ＝12，满足题意．综合①②知，a ＝12.1.函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，纵观历年高考试题，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题． 2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．。