专题01 函数图像的识别与辨析(解析版)
中考数学专项突破之函数图象的判断与分析 课件
目
录
类型一
与实际问题结合
类型二
与几何图形结合
类型三
与动点结合
一
与实际问题结合
题型讲解
该类型题以实际生活为背景,用函数图象来描述实际问题,考查学生对函数图象的识图
能力和分析问题的能力,并且让学生更深入地体会到数学来源于生活,在平时多关注生
活中所蕴含的数学知识.此类型题,既表现了函数的基础性功能,又突出表现了它的应
如图,在矩形 ABCD 中, AB = 4,BC = 3,点 P 在 CD 边上运动,连接 AP,过点 B 作 BE⊥AP,
垂足为点 E,设 AP = x, BE = y,则能反映y与x之间函数关系的图象大致是(
)
解析：∵四边形ABCD 为矩形,
∴AB∥CD, AD = BC = 3, ∠D =∠DAB = 90°.∴∠APD =
猜想的能力以及综合运用所学知识解决问题的能力.
方法点拨
解答此类问题可以归纳为三步:“看”“算”“选”.
(1)“看”就是认真观察几何图形,彻底弄清楚动点从哪出发,到哪停止,整个运动
过程分为不同的几段,哪个点(时刻)是特殊点(时刻),这是准确解答的前提和关键.
三
与动点结合
(2)“算”就是计算、写出动点在不同阶段的函数解析式,注意一定要注明自变量
关系,建立已知量与未知量间的等式,通过等式从而使问题得到解决.在运用这种思想
时,要注意充分挖掘问题的隐藏条件,建立等量关系 .
例题2
如图,在Rt△PMN中,∠P = 90°, PM = PN, MN = 6 cm,矩形 ABCD 中AB=2 cm,
BC=10 cm,点 C 和点 M 重合,点 B, C (M), N在同一直线上,令Rt△PMN不动,矩形
专题01 反比例函数重难点题型专训(5大题型)(解析版)
专题01反比例函数重难点题型专训（5大题型）【题型目录】题型一用反比例函数描述数量关系题型二根据定义判断是否是反比例函数题型三根据反比例函数的定义求参数题型四求反比例函数值题型五由反比例函数值求自变量【知识梳理】【知识点1反比例函数的定义】一般的，形如 0ky k k x为常数，的函数，叫做反比例函数。
其中x 是自变量，y 是函数。
自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数。
【经典例题一用反比例函数描述数量关系】1．（2022上·云南文山·九年级统考期末）已知点 3,1是反比例函数ky x上一点，则下列各点中在该图像上的点是（）A ． 1,3B ．11,3C ．1,93D ．16,2【答案】D【分析】先把点（3，1）代入双曲线ky x(k ≠0)，求出k 的值，再对各选项进行判断即可．【详解】解：∵点（3，1）是双曲线ky x(k ≠0）上一点，∴k =3×1=3，A 、1×3=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；B 、1×13=13≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；C 、13×（-9）=-3≠3，此点不在反比例函数的图像上，故本选项错误；D 、6×12=3，此点在反比例函数的图像上，故本选正确，故选：D ．【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式．2．（2022·湖北恩施·统考一模）如图的电路图中，用电器的电阻R 是可调节的，其范围为110~220 ，已知电压220V U ，下列描述中错误的是（）A ．P 与R 成反比例：220P RB ．P 与R 成反比例：2220P RC ．电阻R 越大，功率P 越小D ．用电器的功率P 的范围为220~440W【答案】A【分析】根据功率2U P R 判断即可．【详解】∵220V U ，2U P R∴2220P R，∴A 选项错误故选：A ．【点睛】本题考查物理的电功率公式，熟记物理公式2U P R是解题的关键．3．（2022上·江苏苏州·九年级星海实验中学校考阶段练习）若以方程 223410x k x k k -2---=的两个实数根作为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数y 11x的图象上，则满足条件的k 值为．【答案】-2【分析】设方程的两个根分别为11x x，，根据题意得到11x x ＝241k k ，结合判别式，即可求解．【详解】解：∵以方程 223410x k x k k -2---=的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数数y 11x的图象上，∴设方程的两个根分别为11x x，，∴11x x＝241k k ，即21141k k ＝，∴24120k k 解得：1262k k ，∵ 2234410k k k-2---，∴5k ，∴2k ．故答案为：-2．【点睛】本题考查了一元二次方程200ax bx c a （）的根的判别式24b ac ＝：当0 ＞，方程有两个不相等的实数根；当0 ＝，方程有两个相等的实数根；当0 ＜，方程没有实数根，也考查了反比例函数．4．（2020上·广东江门·九年级统考期末）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）的对应数据如下表：近视眼镜的度数y （度）2002504005001000镜片焦距x （米）0.500.400.250.200.10根据表中数据，可得y 关于x 的函数表达式为．【答案】100y x【分析】由表中数据可得，100xy ，从而可得y 关于x 的函数表达式．【详解】由表中数据可得，100xy ，∴y 关于x 的函数表达式为100y x．故答案为：100y x【点睛】本题考查求反比例函数解析式，分析表中每一组值，从中得到变量间的关系是解题的关键．5．（2021上·福建三明·九年级统考阶段练习）水池内有污水360m ，设放净全池污水所需时间为 h y ，每小时放水量为 3m x ．(1)试写出y 与x 之间的函数关系式；(2)求当15x 时，y 的值．【答案】(1)60y x(2)4y 【分析】（1）根据所需时间＝池内污水量÷每小时放水量可得y 与x 之间的函数关系式；（2）把15x 代入（1）中函数关系式计算即可．【详解】（1）解：由题意得：60y x；（2）当15x 时，6060415y x．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出反比例函数关系以及求反比例函数值，正确列出函数关系式是解题的关键．【经典例题二根据定义判断是否是反比例函数】1．（2023上·全国·九年级专题练习）下列函数中：①12xy ，②3y x ，③55y x ，④2ky x （k 为常数，且0k ）；属于反比例函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据反比例函数的定义逐一分析判断即可，形如y ＝kx(0k )的函数是反比例函数．【详解】①∵12xy ，∴1122y x x，是反比例函数，符合题意；②3y x ，不是反比例函数，不合题意；③∵55y x，∴1y x，是反比例函数，符合题意；④2ky x（k 为常数，且0k ），是反比例函数，符合题意；是反比例函数的有①③④，共3个，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的辨别，熟练掌握反比例函数的形式是解题的关键．y ＝kx(0k )的函数是反比例函数．2．（2021上·江西赣州·九年级统考期末）下列函数：①2y x ，②3y x，③2y x =，④234y x x ，y 是x 的反比例函数的个数有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】根据反比例函数、一次函数、二次函数的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】2y x 是一次函数，故选项①不符合题意；3y x是反比例函数，故选项②符合题意；2y x =是二次函数，故选项③不符合题意；234y x x 是二次函数，故选项④不符合题意；∴y 是x 的反比例函数的个数有：1个故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数、二次函数、一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、二次函数、一次函数的定义，从而完成求解．3．（2022上·八年级课时练习）下列函数，①(2)1x y ②.11y x ③21y x④.12y x⑤2xy ⑥13y x；其中是y 关于x 的反比例函数的有：．【答案】④⑥．【分析】根据反比例函数的定义依次判断后即可解答.【详解】①x （y+2）=1，可化为y=12xx，不是反比例函数；②11y x ，y 与（x+1）成反比例关系；③21y x是y 关于x 2的反比例函数；④12y x符合反比例函数的定义，是反比例函数；⑤2xy 是正比例函数；⑥13y x符合反比例函数的定义，是反比例函数；故答案为④⑥．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟知反比例函数的定义是解决问题的关键.4．（2022上·全国·九年级统考期末）下列关系式：①13y x ；②67y x ；③1xy ；④51y x ；⑤112y x ，其中y 是x 的反比例函数的为（只填序号）【答案】②③⑤【分析】根据反比例函数解析式的一般形式y ＝kx（k≠0），也可转化为y=kx -1（k≠0）的形式，即可作出判断．【详解】y 是x 的反比例函数的为②③⑤.故答案是：②③⑤.【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的定义.5．（2023下·浙江·八年级专题练习）先列出下列问题中的函数表达式，再指出它们各属于什么函数．(1)电压为16V 时，电阻R 与电流I 的函数关系；(2)食堂每天用煤1.5t ，用煤总量W （t ）与用煤天数t （天）的函数关系；(3)积为常数m 的两个因数y 与x 的函数关系；(4)杠杆平衡时，阻力为800N ，阻力臂长为5cm ，动力y （N ）与动力臂x （cm ）的函数关系（杠杆本身所受重力不计）．【答案】(1)16I R，故是反比例函数关系(2) 1.5W t ，故是正比例函数关系(3)my x，故是反比例函数关系(4)4000y x，故是反比例函数关系【分析】（1）利用UI R，进而得出答案；（2）利用煤总量W （t ）＝用煤天数t （天） 1.5 ，进而得出答案；（3）利用 xy m ，进而得出答案；（4）动力大小×动力臂＝阻力臂大小×阻力进而求出即可．【详解】（1）16I R，故是反比例函数关系；（2） 1.5W t ，故是正比例函数关系（3）my x，故是反比例函数关系（4）4000y x，故是反比例函数关系【点睛】此题主要考查了正比例和反比例函数的定义，正确得出函数关系式是解题关键．【经典例题三根据反比例函数的定义求参数】1．（2021·广东广州·统考三模）若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m ＝0无实数根，则反比例函数1m y x的图象可能经过点（）A ．（3，1）B ．（0，3）C ．（﹣3，﹣1）D ．（﹣3，1）【答案】D【分析】由方程根的情况可求得m 的取值范围，则可求得反比例函数图象经过的象限，可求得答案．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m ＝0无实数根，∴Δ＜0，即（﹣2）2+4m ＜0，解得m ＜﹣1，∴m +1＜0，∴反比例函数1m y x的图象经过二、四象限，∴反比例函数1m y x的图象可能经过点（﹣3，1），故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质和一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式求得m 的取值范围是解题的关键．2．（2022下·河南开封·八年级统考期中）若函数2m y x的图象在其每一个分支中y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是()A ．2mB ．2m ＜C ．2m D ．2m ＜【答案】D【分析】根据k ＜0，反比例函数的函数值y 在每一个分支中随x 值的增大而增大列出不等式计算即可得解．【详解】解：∵2m y x在其每一个分支中y 的值随x 值的增大而增大，20m ，2m ．故选：D ．【点睛】此题考查反比例函数的性质．解题关键在于掌握反比例函数y=kx，当k ＞0时，在每一个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而减小；当k ＜0时，在每一个象限内，函数值y 随自变量x 增大而增大．3．（2023下·山西长治·八年级长治市第五中学校校考阶段练习）若点 1A a ，， 3B b ，（其中0b ）都在反比例函数 0ky k x的图象上，则一次函数 1y a b x 中的y 随着x 的增大而（填“增大”或“减小”）．【答案】减小【分析】根据点 1A a ，， 3B b ，在反比例函数图象上，可得03ka kb k ，，，从而可得2033k ka b k，即可得到答案．【详解】解：∵点 1A a ，， 3B b ，（其中0b ）都在反比例函数 0ky k x的图象上，31k ka b，，03ka kb k ，，，2033k k a b k， 一次函数 1y a b x 中的y 随着x 的增大而减小，故答案为：减小．【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的特征，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象的特征是解题的关键．4．（2023·陕西西安·西安高级中学校考模拟预测）如图，矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，顶点A 的坐标为 1,4，顶点C 的坐标为 3,1，若反比例函数ky x的图像与矩形ABCD 有公共点，则k 的值可以是．（写出一个即可）【答案】2（答案不唯一）【分析】根据矩形写出B ，D 两点坐标，然后利用双曲线ky x经过点B ，D 时对应的k 值，从而得到k 的取值范围．【详解】解：∵矩形ABCD 的顶点 1,4A ， 3,1C ，∴ 1,1B , 3,4D ,当双曲线ky x经过点B 时，k 的值最小，此时111k ，当双曲线ky x经过点D 时，k 的值最大，此时3412k ，∴k 的取值范围为112k ．∴k 可以取2故答案为：2（答案不唯一）．【点睛】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，熟记点的横纵坐标的积是定值k 是解题的关键．5．（2023下·四川成都·七年级成都外国语学校校考期中）根据所学函数知识，解答下列问题：(1)已知函数 124m y m xn ，当m ，n 为何值时，此函数是一次函数？(2)当m 为何值时，函数 43m y m x 是反比例函数，并求当3y 时，x 的值为多少？【答案】(1)2m ，n 为任意实数(2)3m ，2x 【分析】（1）根据一次函数的定义列出关于m 的不等式组，求出m 的值即可；（2）根据反比例函数的定义列出关于m 的不等式组，求出m 的值，故可得出反比例函数的解析式，再把3y 代入解析式即可得出x 的值．【详解】（1）∵函数 124m y m xn 是一次函数，2011m m 且4n 为任意实数，解得2m ，2m ，n 为任意实数；（2）∵函数 43m y m x是反比例函数，3041m m，解得3m ，反比例函数的解析式为6y x，当3y 时，63x，2x ．【点睛】本题考查的是反比例函数及一次函数的性质，反比例函数及一次函数的定义，熟知以上知识是解题的关键．【经典例题四求反比例函数值】1．（2022下·江苏泰州·八年级统考期末）函数132y x 的图像可以由1y x 的图像先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到.根据所获信息判断，下列直线中与函数121y x 的图像没有公共点的是（）A ．经过点 0,2且平行于x 轴的直线B ．经过点 0,3 且平行于x 轴的直线C ．经过点 1,0 且平行于y 轴的直线D ．经过点 1,0且平行于y 轴的直线【答案】D【分析】分别计算对应的自变量的值或函数值即可判断．【详解】解：A 、当y =2时，1221x ，解得x =54，故直线y =2与函数121y x 的图像有公共点；B 、当y =-3时，121x =-3，解得x =0，故直线y =-3与函数121y x 的图像有公共点；C 、当x =-1时，15212y x，故直线x =-1与函数121y x 的图像有公共点；D 、分式有意义的条件是x ≠1，∴函数121y x 的图像与直线x =1没有公共点；故选：D ．【点睛】此题考查了求函数值或求自变量的值，分式有意义的条件，正确计算是解题的关键．2．（2023下·江苏连云港·八年级统考期末）已知点 2,4A 在反比例函数ky x（k 为常数，0k ）的图象上，下列各点中，一定在该函数图像上的是（）A ．4,2B ．2,4 C ．2,4 D ．4,2【答案】A【分析】先把点 2,4A 代入反比例函数y kx，求出k 的值，再根据k xy 为定值对各选项进行逐一检验即可．【详解】解：∵点 2,4A 在反比例函数y kx的图象上，∴248k ．A 、∵428 ，∴此点在函数图象上；B 、∵ 2488 ，∴此点不在函数图象上；C 、∵ 2488 ，此点不在函数图象上；D 、∵ 4288 ，此点不在函数图象上．故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，掌握反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．3．（2022下·江苏宿迁·八年级沭阳县怀文中学校考阶段练习）已知反比例函数8y x，若2x ，则y 的取值范围是．【答案】4y 或0y 【分析】先求出x =-2时y 的值，根据反比例函数性质得出即可．【详解】解：把x =-2代入8y x得：y =-4，∵8＞0，∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小，图象在第一、三象限，∴当x ≥-2时，函数y 的取值范围是y ≤-4或y ＞0，故答案为：y ≤-4或y ＞0．【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，能熟记反比例函数的性质是解此题的关键．4．（2021·北京石景山·统考二模）在平面直角坐标系xOy 中，点 ,A a b 在双曲线1y x上．若a<0，则点A 在第象限．【答案】二【分析】由点A （a ，b ）在双曲线1y x上，可得ab =-1，由a<0可得到点0b 的坐标，进而得出答案．【详解】解：∵点 ,A a b 在双曲线1y x上，∴ab =-1，∵a<0∴0b ∴点A 在第二象限．故答案为：二．【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，求出0b 是解答此题的关键．5．（2022上·广西桂林·九年级统考期中）已知反比例函数6y x的图像经过点(2,)A m ．(1)求m 的值；(2)当1x 且0x 时，直接写出y 的取值范围．【答案】(1)3(2)当1x 且0x 时，0y 或6y 【分析】（1）将点(2,)A m 代入反比例函数6y x即可求解；（2）根据反比例函数的图像可知，反比函数图像在第二象限和第四象限，由1x 且0x 即可求出图像位置，由此即可求解．【详解】（1）解：∵反比例函数6y x的图像经过点(2,)A m ，∴632y，∴3m ．（2）解：反比例函数6y x的图像如图所示，当1x 且0x 时，在第二象限：0y 或在第四象限：6y ．【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数图像的特点是解题的关键．【经典例题五由反比例函数值求自变量】1．（2021·山西·统考模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，将横纵坐标相等的点称为“好点”，下列函数图像中不存在“好点”的是（）A ．2y xB ．2y xC ．1y xD ．22y x x【答案】B【分析】根据“好点”的概念：当x =y 时，对应的方程有解进行判断即可．【详解】解：A 、当x =y =0时，满足y =2x ，（0，0）为“好点”，该选项不符合题意；B 、不存在横纵坐标相等的“好点”，该选项符合题意；C 、当x =y =1或x =y =﹣1时，满足1y x，（1，1）和（﹣1，﹣1）是“好点”，该选项不符合题意；D 、当x =y =0或x =y =2时，满足22y x x ，（0，0）和（2，2）为“好点”，不符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答的关键是熟悉每个函数的图象与性质．2．（2020·四川·统考中考真题）已知函数1(2)2(2)x x y x x，当函数值为3时，自变量x 的值为（）A ．﹣2B ．﹣23C ．﹣2或﹣23D ．﹣2或﹣32【答案】A【分析】根据分段函数的解析式分别计算，即可得出结论．【详解】解：若x ＜2，当y =3时，﹣x +1=3，解得：x =﹣2；若x ≥2，当y =3时，﹣2x=3，解得：x =﹣23，不合题意舍去；∴x =﹣2，故选：A ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质、一次函数的图象上点的坐标特征；根据分段函数进行分段求解是解题的关键3．（2021上·山西·九年级山西实验中学校考阶段练习）观查反比例函数2y x的图象，当2y 时，x 的取值范围是．【答案】x ＜﹣1或x ＞0/x ＞0或x ＜-1【分析】利用函数值找到分界点（-1，-2），根据反比例函数的图象和性质与直线y=-2的位置关系解答即可．【详解】解：∵k ＝2＞0，反比例函数图像位于一三象限，在每个象限内y 随x 的增大而减小，∴y =-2时，22x，解得x =-1，∴当y ＞-2时x ＜﹣1或x ＞0，故答案为x ＜﹣1或x ＞0．【点睛】本题重点考查学生对反比例函数图像和性质的理解，掌握反比例函数的图象和性质，以及利用反比例函数与直线y=-2的交点求不等式解集是解题的关键．4．（2021上·九年级课时练习）考察函数2y x的图象，当2x 时，y ；当<2x 时，y 的取值范围是；当1y 时，x 的取值范围是．【答案】110y <2x 或0x 【分析】把2x 代入反比例函数解析式求解即可；根据2y x得到2x y ，再根据<2x 求解即可；（3）根据2y x得到2x y ，再根据1y 求解即可．【详解】解：∵2y x，∴把2x 代入反比例函数解析式得：212y ∵2y x，<2x ∴2x y，0y ∵<2x ，∴22y，解得y ＞-1∴10y ，∵2y x，1y ∴2x y ，x ＞-2，即21x，解得x ≤-2∵当x ＞0时，y ＞0∴当y ＞-1时，<2x 或0x ．【点睛】本题主要考查了反比例函数图像的性质、求反比例函数函数值的范围等知识点，熟练掌握并运用相关知识成为解答本题的关键．5．（2020下·广东广州·九年级校考阶段练习）已知22211211a a Q a a a(1)化简Q ．(2)若点 ,Aa a 在反比例函数4y x的图象上，求Q 的值．【答案】(1)2a 1(2)当2a 时，2Q ，当2a 时，23Q ．【分析】（1）先计算括号内的分式的加法，再把除法化为乘法，再约分即可；（2）根据反比例函数的性质先求解a 的值，再代入2a 1进行计算即可．【详解】（1）解：22211211a a Q a a a2222211111aa a a a a212111a a aa a a2211aa aa21a；（2）∵点 ,A a a 在反比例函数4y x的图象上，∴24a ，解得：2a ，当2a 时，原式2221，当2a 时，原式22213．【点睛】本题考查的是分式的化简求值，反比例函数的性质，掌握分式的混合运算的运算顺序与反比例函数的性质是解本题的关键．【重难点训练】1．（2023上·山东东营·九年级校联考阶段练习）下列函数：①2y x ，②3y x，③1y x ，④21y x =+，⑤11xy ，⑥k y x ，⑦25y x ，⑧1yx．其中y 是x 的反比例函数的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据反比例的三种形式判断即可．【详解】解：反比例的三种形式分别为：(0)ky k x，()0xy k k ，1(0)y kx k ．①中x 的次数是1，是一次函数，不是反比例函数；②，③是反比例函数；④中分母是1x ，故不是反比例函数；⑤是反比例函数；⑥中没有0k ，故不是反比例函数；⑦分母是2x ，故不是反比例函数；⑧中x 的次数是1，是一次函数，不是反比例函数．故有三个是反比例函数．故选C ．【点睛】本题主要考查反比例的定义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．2．（2022上·湖南娄底·九年级期中）现有A 、B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6).用小莉掷A 立方体朝上的数字为x 、小明掷B 立方体朝上的数字为y 来确定点 ,P x y ，那么他们各掷一次所确定的点P 落在双曲线6y x上的概率为（）A ．19B ．23C ．118D ．16【答案】A【分析】点P 若落在6y x上，则6xy ，可采用列表法确定所有可能情况及满足要求的情况，求得概率．【详解】解：表格列示所有投掷情况如下，小明小莉12345611,11,21,31,41,51,622,12,22,32,42,52,633,13,23,33,43,53,644,14,24,34,44,54,655,15,25,35,45,55,666,16,26,36,46,56,6点P 若落在6y x上，则6xy ．如上表，两人掷的组合情况共有6636 种，其中满足要求的有4种：2,3；3,2；1,6；6,1，故概率为41369；故选：A【点睛】本题考查列举法求概率、反比例函数解析式；运用表格列示所有可能的情况是解题的关键．3．（2022上·广西贵港·九年级统考期中）如图，已知点 1,6A 在双曲线 0ky k x上，动点P 在y 轴正半轴上，将点A 绕点P 逆时针旋转90°，点A 的对应点为B ，若点B 恰好落在双曲线上，则点P 的坐标为()A ． 0,3B ． 3,0或 4,0C ． 0,2或 0,6D ． 0,3或0,4【答案】D【分析】先把 1,6A 代入反比例函数 0ky k x求出k 的值，分别过A 、B 两点作x 轴的垂线AC ，BD ，由旋转的性质证明APC PBD ≌，再设 0,P m ，即可得出B 的坐标，由双曲线上的点横坐标与纵坐标的积即相等，列方程求m 的值，确定P 点坐标．【详解】解：分别过A 、B 两点作AC y 轴，BD y 轴，垂足为C 、D ，∵ 1,6A 是双曲线 0ky k x上一点，6k ，反比例函数的解析式为6y x，90APB ∵，90APC BPD ，又90APC PAC ，PAC BPD ，在APC 和PBD 中，90PAC BPD ACP PDB AP PB， AAS APC PBD ≌，CP BD ，1AC PD ，设 0,P m ，OP m ,6PC m , 6,1B m m ，∵点B 在双曲线上，616m m，解得3m 或4m ， 0,3P 或 0,4．故选：D ．【点睛】本题考查的是反比例函数图象的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数图象的性质是解答此题的关键．4．（2022上·江苏苏州·九年级校考阶段练习）如图，点P 在y 轴正半轴上，⊙P 交x 轴于A ，B 两点，连接BP 并延长交⊙P 于C ，且⊙P 的半径为5，AB =4．若函数 0ky x x的图像过C 点，则k 的值是（）A ．4B ．4C ．25D ．4【答案】B【分析】连接AC ，由圆周角定理可知90CAB ，AC AB ，在Rt ACB 中由勾股定理可计算AC 的长；由垂径定理可知12OA AB，进而确定点C 的坐标，最后将点C 坐标代入 0ky x x 即可计算出k 的值．【详解】如图，连接AC∵CB 是直径，225CB BP 由圆周角定理可知90CAB 在Rt CAB △中，由勾股定理可得：22222542AC CB AB，y ∵轴是P 直径所在的直线，且AB y 轴， 由垂径定理可得：122OA ABAB AC∵ 点C 的横坐标2C x OA ，纵坐标2C y AC 2,2C 将 2,2C 代入 0ky x x，解得：4k 故选：B ．【点睛】本题考查了在圆的背景下用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握垂径定理和圆周角定理并能使用数形结合思想解题，是本题的解题关键．5．（2022下·湖北武汉·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，反比例函数3y x的图象经过 33a m b m ，，，两点，则代数式2227aba b ab的值是（）A ．23B ．23C ．2D ．2【答案】C【分析】根据题意得到333m a，3m b ，从而得到113 a b ，进一步得到3a b ab ，代入变形后的代数式即可求得．【详解】解：∵反比例函数3y x的图象经过33a m b m ，，，两点，333m a，3m b ，∴3333a b ，113a b，3b aab，3a b ab ，22222767ab aba b ab ab ab，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键．6．（2023下·江苏连云港·八年级校考阶段练习）已知实数x 、y 满足338x y ，当1x 时，y 的取值范围是．【答案】20y 【分析】由338x y 可得出2xy ，结合x 的取值范围，即可求出y 的取值范围．【详解】解：333()8x y xy ∵，2xy ，2y x．又1x Q ，20y ．故答案为：20y ．【点睛】本题考查了反比例函数，立方根、幂的乘方与积的乘方以及实数大小比较，牢记()n n n ab a b 是解题的关键．7．（2023下·江苏·八年级期末）当m 时，函数 2212mm y m m x 是反比例函数．【答案】1【分析】根据反比例函数定义列出代数式求解即可得到答案．【详解】解：∵ 2212mm y m m x 是反比例函数，∴221120m m m m，解得1m ，故答案为：1．【点睛】本题考查反比例函数定义、解方程及不等式，熟练掌握反比例函数定义，掌握因式分解解方程及不等式是解决问题的关键．8．（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）如图，点A 在反比例函数(0)ky k x的图象上，过点A 作y 轴的平行线l ．已知点A 坐标为 2,1，结合函数图象可知，当2x 时，y 的取值范围是．【答案】0y 或1y 【分析】根据题意，求对应直线l 左侧图象函数值的取值范围．【详解】2x 时，对应函数图象在直线l 左侧，两部分，0y 或1y 故答案为：0y 或1y 【点睛】本题考查反比例函数的图象，确定自变量取值范围对应的函数图象部分是解题的关键．9．（2023·山东临沂·统考中考真题）小明利用学习函数获得的经验研究函数22y x x的性质，得到如下结论：①当1x 时，x 越小，函数值越小；②当10x 时，x 越大，函数值越小；③当01x 时，x 越小，函数值越大；④当1x 时，x 越大，函数值越大．其中正确的是（只填写序号）．【答案】②③④【分析】列表，描点、连线，画出图象，根据图象回答即可．【详解】解：列表，x L 2.5 2 1 0.5 0.512L yL5.45313.754.2535L描点、连线，图象如下，根据图象知：①当1x 时，x 越小，函数值越大，错误；②当10x 时，x 越大，函数值越小，正确；③当01x 时，x 越小，函数值越大，正确；④当1x 时，x 越大，函数值越大，正确．故答案为：②③④．【点睛】本题考查二次函数、反比例函数与不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会画出函数图象，利用图象解决问题，属于中考常考题型．10．（2023·四川乐山·统考中考真题）定义：若x ，y 满足224,4x y t y x t 且x y （t 为常数），则称点(,)M x y 为“和谐点”．（1）若(3,)P m 是“和谐点”，则m ．（2）若双曲线(31)ky x x存在“和谐点”，则k 的取值范围为．【答案】734k 【分析】（1）根据“和谐点”的定义得到224,433m t m t ，整理得到24210m m ，解得2137,m m （不合题意，舍去），即可得到答案；（2）设点 ,a b 为双曲线(31)ky x x上的“和谐点”，根据“和谐点”的定义整理得到 40a b a b ，由a b ¹得到40a b ，则4b a ，由(31)k b a a进一步得到 224k a ，且31a ，根据二次函数的图象和性质即可得到k 的取值范围．【详解】解：（1）若(3,)P m 是“和谐点”，则224,433m t m t ，则22,3412m t m t ，∴223124m m ，即24210m m ，解得2137,m m （不合题意，舍去），∴7m ，故答案为：7（2）设点 ,a b 为双曲线(31)ky x x上的“和谐点”，∴224,4b t b a t a ，(31)kb a a，即2244a a b b ，∴ 40a b a b a b ，则 40a b a b ，∵a b ¹，∴40a b ，即4b a ，∵(31)kb a a，∴ 224424k ab a a a a a ，且31a ，对抛物线 224k a 来说，∵10 ，∴开口向下，当1a 时， 21243k ，当3a 时， 23243k ，∵对称轴为2a ，31a ，∴当2a 时，k 取最大值为4，∴k 的取值范围为34k ，故答案为：34k 【点睛】此题考查了反比例函数的性质、二次函数的图象和性质等知识，读懂题意，熟练掌握反比例函数和二次函数的性质是解题的关键．11．（2023上·上海青浦·八年级校考期中）已知：122y y y ，并且1y 与x 成正比例，2y 与(2)x 成反比例，且当2x 时，7y ，当3x 时，13y ，求y 与x 之间的函数解析式．【答案】432y x x【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，注意在本题中的正比例系数和反比例系数是两个不同的值，用不同的字母区分．设11y k x ，222k y x则1222x x k k y ，然后利用待定系数法即可求得；【详解】∵1y 与x 成正比例，2y 与(2)x 成反比例，∴设11y k x ，222k y x，∴1212222k k y y x y x，∵当2x 时，7y ，当3x 时，13y ，∴212122722231332k k k k，解得1232k k ，∴y 与x 之间的函数解析式为432y x x．12．（2023上·安徽合肥·九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如 1,1 ， 2023,2023 都是“黎点”．(1)求双曲线9y x上的“黎点”；(2)若抛物线27y ax x c （a 、c 为常数）上有且只有一个“黎点”，当1a 时，求c 的取值范围．【答案】(1) 3,3 或 3,3 ；(2)09c 【分析】（1）设双曲线9y x上的“黎点”为 ,m m ，构建方程求解即可；（2）抛物线27y ax x c （a 、c 为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程 270ax x c x a 有且只有一个解，3640ac ，可得结论．【详解】（1）解：设双曲线9y x上的“黎点”为 ,m m ，则有9m m，解得3m ，∴9y x上的“黎点”为 3,3 ， 3,3 ．（2）解：∵抛物线27y ax x c 上有且只有一个“黎点”，∴方程 270ax x c x a 有且只有一个解，即260ax x c ，3640ac ，9ac ，∴9a c．∵1a ，∴09c ．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．13．（2023上·安徽安庆·九年级校联考阶段练习）已知ABC 的三个顶点为 1,1A 、 1,3B 、 3,3C ，将ABC 向右平移m （0m ）个单位后成111A B C △，此时111A B C △某一边的中点恰好落在反比例函数3y x的图像上，求m 的值．【答案】m 的值为4或0.5【分析】求出各边的中点坐标，将其纵坐标代入3y x，求出平移后的横坐标，进而可求出m 的值．【详解】解①∵点A 的坐标为 1,1 ，点B 的坐标为 1,3 ，∴AB 中点坐标为 1,1 ．在3y x中，当1y 时，3x ，故 314m ；②∵点A 的坐标为 1,1 ，点C 的坐标为 3,3 ，∴AC 中点坐标为 2,2 ，在3y x 中，当=2y 时， 1.5x ，故 1.520.5m ；③∵点B 的坐标为 1,3 ，点C 的坐标为 3,3 ，∴BC 中点坐标为 2,0 ，。
函数图象的识别(配套有PPT).docx
函数图象的识别（配套有PPT ）一、根据图象图形1. 如图1,在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC-CD-DA 运动至点A 停止.设点P 运动的路程为x, AABP 的面积为y,如果y 关于x 的函数图彖如图2所示，则y 的最大值是（）2. 如图1,在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y 5）和注水时间x （s ） Z 间的关系满足如图2中的图象，则至少3. 如图14,点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P,点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE-ED-DC 运动到点C 停止, 点Q沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是lcm/s,设P 、Q 出发t 秒吋，ABPQ 的面积为y （cm 2）,已 知y 与t 的函数关系的图象如图15（曲线0M 为抛物线的一部分），则下列结论：®AD=BE=5cm ；②当 0<tW5 时，y=2/5t 2；③直线 NH 的解析式为 y=-2/5t+27；④若AABE 与△QBP 相似，则t 二29/4秒，其屮正确结论的个数为（）D.当t=9秒时，BP 平分梯形ABCD 的面积6.图1所示矩形ABCD 中，BC=x, CD=y, y 与x 满足的反比例函 数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF 的斜边EF过C 点， M 为EF 的中点，则下列结论正确的是（ ）A.当 x=3 时，EC<EM B.当 y 二9 时，EOEM C.当x 增大时，EC ・CF 的值增大 D. 当y 增大时，BE ・DF 的值不变4. A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 如图18,在RtAABC 中，ZACB 二90°，点P 以每秒1cm 的速度从点A 出发，沿折线AC-CB 运动，到点B 停止,过点P 作PD 丄AB, 秒时,PD 的长是 A. 1. 5cm 垂足为D, PD 的长y （cm ）与点P 的运动时I'可x （秒）的函数图象如图19所示，当点P 运动5 （）C. 1. 8cm 5. 如图1,在等腰梯形ABCD 中，ZB=60° , PQ 同时从B 出发, 以每秒1单位长度分别沿BADC 和BCD 方向运动至相遇时停止，设运动时间为t （秒），ABPQ 的面积为S （平房单位）， S 与t 的函数图象如图2所示，则下列结论错误的是A. 当t 二4秒时，S=4命B. AD=4C.C.当 4时，S=2>/3 t 图1 图(1)图⑵ D. 2cm图1 图2二、根据图形求图象1. 如图，在梯形ABCD 中，AB=BC=10cm, CD=6cm, ZC=ZD=90°,动点P 、Q 同时以每秒lcm 的速度从点B 出发， 点P 沿BA 、AD 、DC 运动，点Q 沿BC 、CD 运动，P 点与Q 点相遇时停止，设P 、Q 同时从点B 出发t 秒时，P 、 Q 经过的路径与线段PQI 韦I 成的图形的面积为y （cm 2）,则y 与t Z 间的函数关系的大致图象为（ ）2. 如图，M 是边长为4的正方形AD 边的屮点，动点P 自A 点起，由A->B->C->D 匀速运动，直线MP 扫过正方形所形成的面积为y,点P 运动的路程为x,则表示y 与x 的函数关系的图象为（ ）•4.如图，平行四边形纸片ABCD, CD=5, BC = 2, ZA=60° ,将纸片折叠，使点A 落在射线AD上（记为点“）,折痕与AB 交于点P,设AP 的长为x,折叠后纸片 x 之间关系的大致图象是（ ）B —►- C3.如图4, AD 、虑是00的两条互相垂直的直径，点"从点0出发，沿X — 0的路线匀速运动，设 （单位：度），那么y 与点"运动的时间/ （单位：秒）的关系图是（DC B 第3题囹如图点C 为。
千题百炼- 函数图象的辨析100题(解析版)
结合选项，可得A选项符合题意.
故选：A.
5．（2021·江西·九江市柴桑区第一中学高三月考（理））函数 的图象大致形状为（）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
首先判断函数的奇偶性，再根据特殊点的函数值判断可得；
【详解】
解：因为 ，所以定义域为 ，且 ，即 为偶函数，函数图象关于 轴对称，故排除C、D；
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据函数为奇函数以及函数值的正、负，就中得到正确答案.
【详解】
因为 ，所以函数为奇函数，故排除A,D选项；
当 时， ，所以 ，故排除C；
故选：B.
【点睛】
方法点睛：求解时要充分利用选项中的图象，提取有用的信息，并利用排除法得到正确选项.
34．（2021·河北石家庄·二模）函数 的图象大致为（）
又 时， ，故排除选项D；
故选：A.
4．（2021·四川资阳·高三月考（理））函数 的图象大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据函数的奇偶性，可排除C、D，利用 和 时， ，结合选项，即可求解.
【详解】
由题意，函数 的定义域为 ，
且 ，
所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，排除C、D；
利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值判断即可
【详解】
因为 ，所以 是偶函数，排除B，D，
因为 ，排除C，
故选：A.
28．（2022·全国·高三专题练习）函数 在 轴正半轴的图象大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据 ，化简函数的解析式，结合对数型函数的性质，幂函数的性质进行判断即可.
专题01 函数图像的识别与辨析(解析版)
专题01 函数图像的识别与辨析一、题型选讲题型一 、由函数的解析式识别图像函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项 例1、【2020年天津卷】.函数241xy x =+的图象大致为（ ） AC.【答案】A【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.例2、【浙江卷】.函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，+π]的图象大致为（ ）A. B..C. D.【答案】A【解析】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A.例3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，可知应为D 选项中的图象． 故选D ．题型二、由函数的图像辨析函数的解析式由函数的图像确定解析式，首先要观察函数的图像，可以从以下几个方面入手：（1）观察函数的对称性，判断函数的奇偶性；（2）观察图像所在象限，判断函数的定义域和值域；（3）从图像中观察一些特殊位置以及图像的发展趋势；结合上面的信息进行对函数解析式的排除。
专题01 三角函数的图象与性质(解析版)
专题01 三角函数的图象与性质【要点提炼】1.常用的三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象递增 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴 x ＝k π＋π2 x ＝k π 周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得. (2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换 (1)y ＝sin x ――——————————→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――——————————→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).y ＝sin ωx ―————————————―→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φω|个单位 y ＝sin(ωx ＋φ)————————————―→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).考点一 三角函数的图像与性质考向一 三角函数的定义与同角关系式【典例1】 (1)在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是( )A.AB ︵B.CD ︵C.EF ︵D.GH ︵(2)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝( ) A.15B.55C.255D.1解析 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，且tan α＜cos α＜sin α，∴yx ＜x ＜y ，解之得－1＜x ＜0，且0＜y ＜1.故点P (x ，y )所在的圆弧是EF ︵.(2)由题意知cos α>0.因为cos 2α＝2cos 2α－1＝23，所以cos α＝306，sin α＝±66，得|tan α|＝55.由题意知|tan α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 1－2，所以|a －b |＝55. 答案 (1)C (2)B探究提高 1.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P 的位置无关.若角α已经给出，则无论点P 选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的.2.应用诱导公式与同角关系开方运算时，一定要注意三角函数值的符号；利用同角三角函数的关系化简要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.【拓展练习1】 (1)(2020·唐山模拟)若cos θ－2sin θ＝1，则tan θ＝( ) A.43B.34C.0或43D.0或34(2)(2020·济南模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝________.解析 (1)由题意可得⎩⎨⎧cos θ－2sin θ＝1，cos 2θ＋sin 2θ＝1，解得⎩⎨⎧sin θ＝0，cos θ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－45，cos θ＝－35，所以tan θ＝0，或tan θ＝43.故选C.(2)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝32cos α－12sin α－sin α＝32cos α－32sin α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝435，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝－45， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋2π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－45.答案 (1)C (2)－45考向二 三角函数的图象及图象变换【典例2】 (1)(多选题)(2020·新高考山东、海南卷)如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)＝( )A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3B.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2xC.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x(2)(2019·天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x ).若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝( )A.－2B.－ 2C. 2D.2解析 (1)由图象知T 2＝2π3－π6＝π2，得T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，由“五点法”，结合图象可得φ＋π3＝π，即φ＝2π3，所以sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，故A 错误；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 知B 正确；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6知C 正确；由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2x 知D 错误.综上可知，正确的选项为BC. (2)由f (x )是奇函数可得φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π，所以φ＝0. 所以g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx ，且g (x )最小正周期为2π，可得2π12ω＝2π，故ω＝2，所以g (x )＝A sin x ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，所以A ＝2. 所以f (x )＝2sin 2x ，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2.答案 (1)BC (2)C探究提高 1.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.2.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个“零点”作为突破口，可以从图象的升降找准第一个“零点”的位置.【拓展练习2】 (1)(多选题)(2020·济南历城区模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )的图象.若g (x 1)g (x 2)＝9，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的可能取值为( ) A.－59π12B.－35π6C.25π6D.49π12(2)(2020·长沙质检)函数g (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜2π)的部分图象如图所示，已知g (0)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝3，函数y ＝f (x )的图象可由y ＝g (x )图象向右平移π3个单位长度而得到，则函数f (x )的解析式为( )A.f (x )＝2sin 2xB.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3C.f (x )＝－2sin 2xD.f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 解析 (1)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1的图象.由g (x 1)g (x 2)＝9，知g (x 1)＝3，g (x 2)＝3，所以2x ＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π12＋k π，k ∈Z .由x 1，x 2∈[－2π，2π]，得x 1，x 2的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－23π12，－11π12，π12，13π12.当x 1＝－23π12，x 2＝13π12时，2x 1－x 2＝－59π12；当x 1＝13π12，x 2＝－23π12时，2x 1－x 2＝49π12.故选AD.(2)由函数g (x )的图象及g (0)＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝3，知直线x ＝5π12为函数g (x )的图象的一条对称轴，所以T 4＝5π12－π6＝π4，则T ＝π，所以ω＝2πT ＝2，所以g (x )＝A sin(2x ＋φ)，由题图可知⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为“五点法”作图中的第三点，则2×π6＋φ＝π，解得φ＝2π3，由g (0)＝3，得A sin 2π3＝3，又A ＞0，所以A ＝2，则g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，所以g (x )的图象向右平移π3个单位长度后得到的图象对应的解析式为f (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋2π3＝2sin 2x ，故选A. 答案 (1)AD (2)A 考向三 三角函数的性质【典例3】 (1)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π(2)(2020·天一大联考)已知f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内有最小值，无最大值，则ω＝( ) A.83 B.143 C.8 D.4 (3)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________. 解析 (1)f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4.所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.(2)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内有最小值，∴f (x )在x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝π4处取得最小值.因此π4ω－π6＝2k π＋π，即ω＝8k ＋143，k ∈Z .①又函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3无最大值，且ω＞0，∴T ＝2πω≥π3－π6＝π6，∴0＜ω≤12.②由①②知ω＝143.(3)f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4，所以ω＝π2. 答案 (1)A (2)B (3)π2探究提高 1.讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数.2.求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间，是将ωx ＋φ作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为y ＝A sin(ωx ＋φ)的增区间(或减区间).【拓展练习3】 (1)(多选题)(2020·济南质检)已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0<φ<π)，若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A.φ＝5π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是f (x )的图象的一个对称中心 C.f (φ)＝－2D.x ＝－π6是f (x )图象的一条对称轴(2)(多选题)关于函数f (x )＝|cos x |＋cos|2x |，则下列结论正确的是( ) A.f (x )是偶函数 B.π是f (x )的最小正周期C.f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4上单调递增D.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34π，54π时，f (x )的最大值为2解析 (1)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3的图象，∵其关于y 轴对称，∴φ－π3＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋5π6，k ∈Z .又0<φ<π，∴当k ＝0时，φ＝5π6，故A 正确；f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0是f (x )的图象的一个对称中心，故B 正确；因为f (φ)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝2，故C错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2，则x ＝－π6是f (x )图象的一条对称轴，故D 正确.故选ABD.(2)f (x )＝|cos x |＋cos|2x |＝|cos x |＋cos 2x ＝|cos x |＋2cos 2x －1＝2|cos x |2＋|cos x |－1，由f (－x )＝2|cos(－x )|2＋|cos(－x )|－1＝f (x )，且函数f (x )的定义域为R ，得f (x )为偶函数，故A 正确.由于y ＝|cos x |的最小正周期为π，可得f (x )的最小正周期为π，故B 正确. 令t ＝|cos x |，得函数f (x )可转化为g (t )＝2t 2＋t －1，t ∈[0，1]， 易知t ＝|cos x |在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π4上单调递减，由t ∈[0，1]，g (t )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋142－98，可得g (t )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，5π4上单调递减，故C 错误.根据f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤34π，π上递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，54π上递减，∴f (x )在x ＝π时取到最大值f (π)＝2，则D 正确. 答案 (1)ABD (2)ABD考向四 三角函数性质与图象的综合应用【典例4】 (2020·临沂一预)在①f (x )的图象关于直线x ＝5π6ω对称，②f (x )＝cos ωx －3sin ωx ，③f (x )≤f (0)恒成立这三个条件中任选一个，补充在下面横线处.若问题中的ω存在，求出ω的值；若ω不存在，请说明理由.设函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0≤φ≤π2，_____________________________.是否存在正整数ω，使得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调的？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解 若选①，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下： 令ωx ＋φ＝k π，k ∈Z ，代入x ＝5π6ω， 解得φ＝k π－5π6，k ∈Z .因为0≤φ≤π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，ωπ2＋π6.若函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调，则有ωπ2＋π6≤π，解得0<ω≤53.所以存在正整数ω＝1，使得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调的.若选②，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下： f (x )＝cos ωx －3sin ωx ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＝2cos(ωx ＋φ)，且0≤φ≤π2，所以φ＝π3.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，ωπ2＋π3. 若函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调，则有ωπ2＋π3≤π，解得0<ω≤43.所以存在正整数ω＝1，使得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调的.若选③，则存在满足条件的正整数ω.求解过程如下： 因为f (x )≤f (0)恒成立，即f (x )max ＝f (0)＝2cos φ＝2， 所以cos φ＝1.因为0≤φ≤π2，所以φ＝0，所以f (x )＝2cos ωx .当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，ωπ2. 若函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调，则有ωπ2≤π，解得0<ω≤2.所以存在正整数ω＝1或ω＝2，使得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是单调的.探究提高 1.研究三角函数的图象与性质，关键是将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋B )的形式，利用正余弦函数与复合函数的性质求解. 2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))的最小正周期T ＝2π|ω|.应特别注意y ＝|A sin(ωx ＋φ)|的最小正周期为T ＝π|ω|.【拓展练习4】 (2020·威海三校一联)已知函数f (x )＝2cos 2ω1x ＋sin ω2x . (1)求f (0)的值；(2)从①ω1＝1，ω2＝2，②ω1＝1，ω2＝1这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上的最小值，并直接写出函数f (x )的一个周期.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 (1)f (0)＝2cos 20＋sin 0＝2. (2)选择条件①.f (x )的一个周期为π.当ω1＝1，ω2＝2时，f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＝(cos 2x ＋1)＋sin 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x ＋22cos 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，7π12.所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤1，则1－2≤f (x )≤1＋ 2. 当2x ＋π4＝－π2，即x ＝－3π8时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上取得最小值1－ 2.选择条件②.f (x )的一个周期为2π.当ω1＝1，ω2＝1时，f (x )＝2cos 2x ＋sin x ＝2(1－sin 2x )＋sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －142＋178.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，所以sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12.所以当sin x ＝－1，即x ＝－π2时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6上取得最小值－1.【专题拓展练习】一、选择题（1～10题为单项选择题，11～15题为多项选择题） 1．函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2πC ．2π D ．π【答案】D 【详解】因为22cos 211213()cos cos 232232x f x x x πππ⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+==++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以最小正周期为π.2．把函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，再把所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为（ ） A ．sin y x = B ．cos y x =C ．sin()4y x π=+D ．sin y x =-【答案】B 【详解】把函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位长度， 得到sin 2sin(2)cos 242y x x x ππ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，再把所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为cos y x =. 3．若16x π=，256x π=是函数()sin()f x x ωϕ=+()0ω>两个相邻的极值点，则ω=（ ） A ．3 B ．32C ．34D ．12【答案】B 【详解】 解：由题意得，52663πππ-=是函数()f x 周期的一半，则243ππω=，得32ω=． 故选：B4．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间是（ ） A ．(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．(),63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．()44k ,k k Z ππ⎡⎤-+π+π∈⎢⎥⎣⎦D ．()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【答案】D 【详解】将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()g x 的图象，所以()2sin 22sin 2663g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由()222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可得()51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 即函数()g x 的单调递增区间是()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.5．函数()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像最近两对称轴之间的距离为2π，若该函数图像关于点()0m ,成中心对称，当0,2m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时m 的值为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．512π 【答案】D 【详解】()()2sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期2π2ω2T ππ==⨯=,2ω∴=，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2,6x k k Z ππ+=∈,则212k x ππ=-, ∴函数f (x )的对称轴心为,0212k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭,k Z ∈, 所以212k m ππ=-， 当0,2122k m πππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦时,解得：17,66k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 又5π,1,12k Z k m ∈∴=∴=, 6．已知函数()22sin 23sin cos cos f x x x x x =+-，x ∈R ，则（ ）A ．()f x 的最大值为1B ．()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．()f x 的最小正周期为2π D ．()f x 在区间()0,π上只有1个零点【答案】B 【详解】()22sin cos cos f x x x x x =+-2cos 2x x =-2sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭故最大值为2，A 错22sin 2sin 23362f ππππ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故关于3x π=对称，B 对最小正周期为22ππ=，C 错 ()26x k k Z ππ-=∈解得()122k x k Z ππ=+∈，12x π=和712x π=都是零点，故D 错. 7．已知函数()()()3cos 0g x x ωϕω=+>在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，且满足04g π⎛⎫=⎪⎝⎭，()3g π=，则ω的取值共有（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个【答案】B 【详解】因为()g x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，04g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3g π=， 所以()()7,62,4422121,442T T n n T n N πππωπππωπππω*⎧-≤=⎪⎪⎪-≥=⎨⎪⎪---==∈⎪⎩得263ω≤≤，423n ω-=，n *∈N ， 所以242633n -≤≤， 解得15n ≤≤.即1,2,3,4,5n =，可得23ω=，102,3，143，6，经检验均符合题意，所以ω的取值共有5个.8．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 为奇函数B ．函数()g x 的最小正周期为2πC ．函数()g x 的图象的对称轴为直线()6x k k ππ=+∈ZD ．函数()g x 的单调递增区间为5,()1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z【答案】D 【详解】 由图象可知3A =，33253441234ππππω⎛⎫=⋅=--= ⎪⎝⎭T ， ∴2ω=，则()3sin(2)f x x ϕ=+.将点5,312π⎛⎫⎪⎝⎭的坐标代入()3sin(2)f x x ϕ=+中，整理得5sin 2112πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， ∴522,Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈， 即2,Z 3k k πϕπ=-∈；||2ϕπ<， ∴3πϕ=-，∴()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ∵将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度后得到()y g x =的图象， ∴()3sin 23sin 2,333g x x x x R πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ()()3sin 23sin 233g x x x g x ππ⎛⎫⎛⎫-=-+=--≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()g x 既不是奇函数也不是偶函数， 故A 错误；∴()g x 的最小正周期22T ππ==， 故B 不正确. 令2,32πππ+=+∈x k k Z ，解得,122k x k Z ππ=+∈， 则函数()g x 图像的对称轴为直线,122k x k Z ππ=+∈. 故C 错误； 由222,232k x k k πππππ-++∈Z ，可得5,1212k x k k ππππ-+∈Z ，∴函数()g x 的单调递增区间为5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故D 正确；9．设函数()sin 2cos 2f x a x b x =+，其中,,0a b R ab ∈≠，若()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则以下结论：①函数()f x 的图象关于11,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称；②函数()f x 的单调递增区间是2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；③函数()f x 既不是奇函数也不是偶函数；④函数()f x 的图象关于()26k x k Z ππ=+∈对称．其中正确的说法是（ ） A ．①②③ B ．②④C ．③④D ．①③④【答案】D 【详解】解：由辅助角公式得：())f x x ϕ=+， 由()6f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭恒成立，得22()62k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 所以2()6k k Z πϕπ=+∈，取6π=ϕ，从而()26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由11012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭得①正确， 由222()262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数的增区间为,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，②不正确， 根据正弦函数的奇偶性易得③显然正确， 由2()62x k k Z πππ+=+∈，得对称轴为()26k x k Z ππ=+∈，④正确， 10．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD （AB BC =）中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作圆弧BE ；然后在矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作圆弧EG ；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧BE ，EG ，GI 的长度分别为,,l m n ，对于以下四个命题：①l m n =+；②2m l n =⋅；③2m l n =+；④211m l n=+.其中正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④【答案】A 【详解】 不妨设51AB =，则2BC =，所以()512l BE π==⨯，()25135ED =-=所以(352m EG π==⨯，(5135254CG =-=，所以()()254522n GI ππ==⨯=，所以(())3525451222m n l πππ⨯+⨯=⨯==+，故①正确；(2222735354m π-⨯==，))273551522l n ππ-⨯⨯=⋅=， 所以2m l n =⋅，故②正确；))35551522l n ππ-⨯++==，((2235352m ππ=⨯⨯-=-，所以2m l n ≠+，故③不正确；11l nl n l n++===⋅(1132mπ==⨯211m l n≠+，故④不正确；所以①②正确，11．已知函数()3sin sin3f x x x=+，则（）A．()f x是奇函数B．()f x是周期函数且最小正周期为2πC．()f x的值域是[4,4]-D．当(0,)xπ∈时()0f x>【答案】ABD【详解】A.()3sin()sin(3)3sin sin3()f x x x x x f x-=-+-=--=-，故()f x是奇函数，故A正确；B.因为siny x=的最小正周期是2π，sin3y x=的最小正周期为23π，二者的“最小公倍数”是2π，故2π是()f x的最小正周期，故B正确；C.分析()f x的最大值，因为3sin3x≤，sin31x≤，所以()4f x≤，等号成立的条件是sin1x=和sin31x=同时成立，而当sin1x=即2()2x k kππ=+∈Z时，336()2x k kππ=+∈Z，sin31x=-故C错误；D.展开整理可得()2()3sin sin cos2cos sin2sin4cos2f x x x x x x x x=++=+，易知当(0,)xπ∈时，()0f x>，故D正确.12．设函数cos2()2sin cosxf xx x=+，则（）A．()()f x f xπ=+B．()f x的最大值为12C．()f x在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增D．()f x在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减【答案】AD【详解】()f x的定义域为R，且cos2()2sin cosxf xx x=+，()()()()cos 22cos 2()2sin cos 2sin cos x xf x f x x x x xππππ++===++++，故A 正确．又2cos 22cos 2()42sin cos 4sin 2x x f x x x x ==++，令2cos 24sin 2xy x=+，则()42cos 2sin 22y x y x x ϕ=-=+，其中cos ϕϕ==1≤即2415y ≤，故y ≤≤当15y =时，有1cos ,sin 44ϕϕ==，此时()cos 21x ϕ+=即2x k ϕπ=-，故max 15y =，故B 错误． ()()()()()22222sin 24sin 22cos 2414sin 2()4sin 24sin 2x x x x f x x x ⎡⎤-+--+⎣⎦'==++，当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故D 正确． 当,04x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，1sin 20x -<<，故314sin 21x -<+<， 因为2t x =为增函数且2,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，而14sin y t =+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数，所以()14sin 2h x x =+在,04π⎛⎫-⎪⎝⎭上为增函数， 故14sin 20x +=在,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一解0x ，故当()0,0x x ∈时，()0h x >即()0f x '<，故()f x 在()0,0x 为减函数，故C 不正确． 13．若将函数f (x )=cos(2x +12π)的图象向左平移8π个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．g (x )的最小正周期为πB ．g (x )在区间[0，2π]上单调递减C ．x =12π是函数g (x )的对称轴 D ．g (x )在[﹣6π，6π]上的最小值为﹣12【答案】AD 【详解】 函数f (x )=cos(2x +12π)的图象向左平移8π个单位长度后得()cos 2812g x x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为π，A 正确；222()3k x k k Z ππππ≤+≤+∈()63k x k k Z ππππ∴-≤≤+∈为g (x )的所有减区间，其中一个减区间为,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故B 错； 令23x k ππ+=，得6,2kx k Z ππ=-+∈，故C 错； x ∈[﹣6π，6π]，220,33x ππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦，1cos(2),132x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦，故 D 对 14．下列说法正确的是（ ） A ．函数()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是1 B ．函数()cos sin tan 0,tan 2x f x x x x x π⎛⎫⎛⎫=⋅+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为(C ．函数()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在()0,π上单调递增，则a 的取值范围是(],1-∞- D ．函数()222sin 42cos tx x xf x x x π⎛⎫+++ ⎪⎝⎭=+的最大值为a ，最小值为b ，若2a b +=，则1t =【答案】ACD 【详解】 A 选项，()222311cos cos cos 1442f x x x x x x ⎛⎫=--=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭， 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，则当cos 2x =时函数()f x 取得最大值1，A 对； B 选项，()2233sin cos sin cos cos sin sin cos x x x xf x x x x x+∴=+=⋅ ()()22sin cos sin cos sin cos sin cos x x x x x x x x++-⋅=⋅()()2sin cos sin cos 3sin cos sin cos x x x x x x x x⎡⎤++-⋅⎣⎦=⋅，设sin cos 4t x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则()22sin cos 12sin cos t x x x x =+=+，则21sin cos 2t x x -⋅=， 0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3,444x πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥⎪ ⎝⎭⎝⎦，(t ∴∈， 令()223221323112t t t t t g t t t ⎛⎫--⨯ ⎪-⎝⎭==--，(t ∈，()()422301t g t t --'=<-， ()g t ∴在区间(上单调递减，()()32min 1g t g===-所以，函数()f x 的值域为)+∞，B 错； C 选项，()1sin 2cos 2f x x a x =+⋅在区间()0,π上是增函数，()cos2sin 0f x x a x ∴=-⋅≥'，即212sin sin 0x a x --⋅≥，令sin t x =，(]0,1t ∈，即2210t at --+≥，12a t t ∴≤-+，令()12g t t t =-+，则()2120g t t'=--<，()g t ∴在(]0,1t ∈递减，()11a g ∴≤=-，C 对；D选项，()2222 22sin cos222costx t x x xf xx x⎛⎫+++⎪⎝⎭=+()()2222cos sin sin2cos2cost x x t x x t x xtx x x x++⋅+⋅+==+++，所以，()()()()22sin sin2cos2cost x x t x xf x t tx xx x--+-=+=-+⋅-+-，()()2f x f x t∴+-=，所以，函数()f x的图象关于点()0,t对称，所以，22a b t+==，可得1t=，D对. 15．如图是函数()sin()(0,0,||)f x A x Aωϕωϕπ=+>><的部分图象，则下列说法正确的是（）A．2ω=B．π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数，()f x的一个对称中心C．2π3ϕ=D．函数()f x在区间4ππ,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数【答案】ACD【详解】由题知，2A=，函数()f x的最小正周期11π5π2π1212T⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，所以2π2Tω==，故A正确；因为11π11π11π2sin22sin212126fϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11ππ2π62kϕ+=+，k Z∈，解得4π2π3kϕ=-，k Z∈，又||ϕπ<，所以2π3ϕ=，故C正确；函数()2π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为ππ2ππ2sin 22sin 06633f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+==≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以π,06⎛⎫-⎪⎝⎭不是函数()f x 的一个对称中心，故B 错误； 令π2π3π2π22π232m x m +≤+≤+，m Z ∈，得π5ππ1212m x mx -≤≤+，m Z ∈，当1m =-时，13π7π1212x -≤≤-，因为4π13π7ππ,,51212⎡⎤⎡⎤--⊆--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 在区间4ππ,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，故D 正确．。
专题01 锐角三角函数(解析版)
2021-2022学年北师大版数学九年级下册压轴题专题精选汇编专题01 锐角三角函数一．选择题1．（2021春•金台区期末）如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，直线MN垂直平分AB交AB于M，交BC于N，且∠B＝15°，AC＝3，则BC的长为（ ）A．6B．6+3C．6+2D．9【思路引导】如图，连接AN．证明AN＝BN，推出∠B＝∠NAB＝15°，推出∠ANC＝30°，再求出AN，CN，可得结论．【完整解答】如图，连接AN．∵MN垂直平分线段AB，∴NA＝NB，∴∠B＝∠BAN＝15°，∴∠ANC＝∠B+∠NAB＝30°，∵AC＝3，∠C＝90°，∴AN＝2AC＝6，CN＝＝＝3，∴BC＝CN+BN＝3+6，故选：B．2．（2020秋•南召县期末）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的格点上，那么tan∠ABC的值为（ ）A．B．C．4D．【思路引导】过点A作AE⊥BC于E．根据，tan∠ABC＝，求解即可．【完整解答】过点A作AE⊥BC于E．在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝＝4，故选：C．3．（2020秋•仁寿县期末）等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则它的顶角为（ ）A．30°B．45°C．60°D．120°【思路引导】证明△ABC是等边三角形，可得结论．【完整解答】如图，AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC：AD＝2：，∴tan B＝＝，∴∠B＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，故选：C．4．（2020秋•紫金县期末）如图，点A（3，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，则cosα＝（ ）A．B．C．D．【思路引导】过点A作AE⊥x轴于E．利用勾股定理求出OA，再根据cosα＝，可得结论．【完整解答】如图，过点A作AE⊥x轴于E．∵A（3，4），∴OE＝3，AE＝4，∴OA＝＝＝5，∴cosα＝＝，故选：B．5．（2021•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC 于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（ ）A．B．C．D．【思路引导】根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得CE ＝AE ＝BE ＝AB ，进而得到∠BEC ＝2∠A ＝∠BFC ，从而有∠CEF ＝∠CBF ，根据三角形的面积公式求出AF ，由勾股定理，在Rt △BCF 中，求出CF ，再根据锐角三角函数的定义求解即可．【完整解答】连接BF ，∵CE 是斜边AB 上的中线，EF ⊥AB ，∴EF 是AB 的垂直平分线，∴S △AFE ＝S △BFE ＝5，∠FBA ＝∠A ，∴S △AFB ＝10＝AF •BC ，∵BC ＝4，∴AF ＝5＝BF ，在Rt △BCF 中，BC ＝4，BF ＝5，∴CF ＝＝3，∵CE ＝AE ＝BE ＝AB ，∴∠A ＝∠FBA ＝∠ACE ，又∵∠BCA ＝90°＝∠BEF ，∴∠CBF ＝90°﹣∠BFC ＝90°﹣2∠A ，∠CEF ＝90°﹣∠BEC ＝90°﹣2∠A ，∴∠CEF ＝∠FBC ，∴sin ∠CEF ＝sin ∠FBC ＝＝，故选：A ．6．（2021•宜兴市模拟）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，tan ∠BAC ＝，AD ＝2，BD ＝4，连接CD ，则CD 长的最大值是（ ）A ．2+B ．2+1C ．2+D ．2+2【思路引导】如图，在AD 的下方作Rt △ADT ，使得∠ADT ＝90°，DT ＝1，连接CT ，则AT ＝，证明△DAB ∽△TAC ，推出＝＝，推出TC ＝2，再根据CD ≤DT +CT ，可得CD ≤1+2，由此即可解决问题．【完整解答】如图，在AD 的下方作Rt △ADT ，使得∠ADT ＝90°，DT ＝1，连接CT ，则AT ＝，∵＝＝2，∴＝，∵∠ADT ＝∠ABC ＝90°，∴△ADT ∽△ABC ，∴∠DAT ＝∠BAC ，＝∴∠DAB ＝∠TAC ，∵＝，∴△DAB ∽△TAC ，∴＝＝，∴TC ＝2，∵CD≤DT+CT，∴CD≤1+2，∴CD的最大值为1+2，故选：B．7．（2020秋•北碚区校级期末）北碚区政府计划在缙云山半山腰建立一个基站AB，其设计图如图所示，BF，ED与地面平行，CD的坡度为i＝1：0.75，EF的坡角为45°，小王想利用所学知识测量基站顶部A 到地面的距离，若BF＝ED，CD＝15米，EF＝3米，小王在山脚C点处测得基站底部B的仰角为37°，在F点处测得基站顶部A的仰角为60°，则基站顶部A到地面的距离为（ ）（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．21.5米B．21.9米C．22.0米D．23.9米【思路引导】延长AB交过点C的水平线于M，交DE延长线于点N，作DG⊥MC于G，FH⊥DN于H，根据锐角三角函数即可求出结果．【完整解答】如图，延长AB交过点C的水平线于M，交DE延长线于点N，作DG⊥MC于G，FH⊥DN于H，∵CD的坡度为i＝1：0.75＝，∴＝，设DG＝4k，CG＝3k，则CD＝5k，∴5k＝15，∴k＝3，∴DG＝12，CG＝9，∵EF的坡角为45°，EF＝3，∴EH＝FH＝3，∵四边形BNHF和四边形DGMN是矩形，∴BF＝NH＝DE，BN＝FH＝3，DN＝MG，NM＝DG＝12，∴BM＝BN+NM＝15，在Rt△BCM中，∠BCM＝37°，MC＝MG+CG＝DN+CG＝NH+HE+DE+CG＝2BF+3+9＝2BF+12，∴BM＝CM•tan∠BCM，∴15＝（2BF+12）×0.75，∴BF＝4，在Rt△ABF中，∠AFB＝60°，∴AB＝BF•tan60°＝4≈6.92（米），∴AM＝AB+BM＝6.92+15≈21.9（米）．故选：B．8．（2021•渝中区校级二模）如图，旗杆AB竖立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为65米，坡度为i＝．小明从与点C相距115米的点D处向上爬12米到达建筑物DE的顶端点E，在此测得旗杆顶端点A的仰角为39°，则旗杆的高度AB约为（ ）米．（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）A．12.9B．22.2C．24.9D．63.1【思路引导】通过作高，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度即可求出答案．【完整解答】过点B作BF⊥CD，垂足为F，过点E作EG⊥BF，垂足为G，在Rt△BCF中，由斜坡BC的坡度i＝，得，＝，又BC＝65，设BF＝12x，FC＝5x，由勾股定理得，（12x）2+（5x）2＝652，∴x＝5，∴BF＝60，FC＝25，又∵DC＝115，∴DF＝DC﹣FC＝115﹣25＝90＝EG，在Rt△AEG中，AG＝EG•tan39°≈90×0.81＝72.9，∴AB＝AG+FG﹣BF＝72.9+12﹣60＝24.9（米），故选：C．二．填空题（共11小题）9．（2021春•沙河口区期末）如图，从一艘船A上测得海岸上高为42米的灯塔顶部B的仰角∠BAC＝30°，求船离灯塔的水平距离AC的长度是 71 米（参考数据：≈1.7，≈2.2，结果取整数）．【思路引导】由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BC＝84（米），再由勾股定理即可求解．【完整解答】由题意得：∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝42米，∴AB＝2BC＝84（米），∴AC＝＝＝42≈71（米），故答案为：71．10．（2020秋•肥城市期末）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则cos B+sin B的值为 ．【思路引导】如图，过点A作AE⊥BC交BC的延长线于E．利用勾股定理求出AB，可得结论．【完整解答】如图，过点A作AE⊥BC交BC的延长线于E．在Rt△ABE中，∠E＝90°，AE＝3，BE＝4，∴AB＝＝＝5，∴cos B＝＝，sin B＝＝，∴cos B+sin A＝+＝，故答案为：．11．（2020秋•崇川区期末）如图，若A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则∠BOD的余弦值为 ．【思路引导】如图，取格点T，连接CT．DT．利用平行线的性质证明∠BOD＝∠TCD，求出CT，CD，可得结论．【完整解答】如图，取格点T，连接CT．DT．观察图象可知，CT∥AB，CT⊥DT，∴∠BOD＝∠TCD，∠CTD＝90°，∵CT＝＝，CD＝＝5，∴cos∠BDO＝cos∠TCD＝＝＝，故答案为：．12．（2020秋•锡山区期末）如图的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为 ．【思路引导】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出BH，CH，可得结论．【完整解答】如图，过点A作AH⊥BC于H．∵AB＝2，BC＝5，＝×2×4＝•BC•AH，∴S△ABC∴AH＝，∴BH＝＝＝，∴CH＝BC﹣BH＝5﹣＝，∴tan∠ACB＝＝＝，故答案为：．13．（2020秋•龙口市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为边AC上一点，∠A＝∠CBD，若AC＝8cm，cos∠CBD＝，则边AB＝ 10 cm．【思路引导】根据锐角三角函数即可求出AB的值．【完整解答】∵∠C＝90°，∠A＝∠CBD，cos∠CBD＝，∴cos∠A＝＝，∵AC＝8cm，∴AB＝10cm．故答案为：10．14．（2020秋•德江县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC＝6，tan B＝，则CE＝ 3 ．【思路引导】过点F作FG⊥AB于点G，根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【完整解答】过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠CAF+∠CFA＝90°，∠FAD+∠AED＝90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠FAD，∴∠CFA＝∠AED＝∠CEF，∴CE＝CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF＝∠AGF＝90°，∴FC＝FG，∵∠B＝∠B，∠FGB＝∠ACB＝90°，∴△BFG∽△BAC，∴＝，∵AC＝6，∠ACB＝90°，∴tan B＝＝∴BC＝8，AB＝＝＝10，∴＝，∵FC＝FG，解得：FC＝3，即CE的长为3．故答案为：3．15．（2020秋•新吴区期末）如图，△ABC的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sin＝ ．【思路引导】如图，取格点T，连接AT，BT，设BT的中点为H，连接CH．证明CB＝CT，利用等腰三角形的性质求解即可．【完整解答】如图，取格点T，连接AT，BT，设BT的中点为H，连接CH．∵BC＝＝5，CT＝＝5，∴CB＝CT，∵BH＝HT，∴∠HCA＝∠HCB，CH⊥BT，∵HT＝，∴sin＝＝＝，故答案为：．16．（2021春•瑞安市月考）如图，在河对岸有一等腰三角形场地EFG，FG＝EG，为了估测场地的大小，在笔直的河岸上依次取点C，D，B，A，使FC⊥l，BG⊥l，EA⊥l，点E，G，D在同一直线上，在D观测F后，发现∠FDC＝∠EDA，测得CD＝12米，DB＝6米，AB＝12米，则FG＝ 8 米．【思路引导】过点G作GM⊥AE于G．GN⊥EF于N，过点D作DJ⊥l，过点F作FT⊥AE于T．利用相似三角形的性质证明DF＝FG，再证明∠DEA＝∠DEF，推出EN＝EM＝FN，证明△EGM≌△EGN （AAS），推出EM＝EN，设AM＝m，在Rt△ETF中，利用勾股定理求出方程求出m，即可解决问题．【完整解答】过点G作GM⊥AE于G．GN⊥EF于N，过点D作DJ⊥l，过点F作FT⊥AE于T．∵FC⊥l，BG⊥l，EA⊥l，∴∠FCD＝∠EAD＝90°，BG∥AE，∵∠FDC＝∠EDA，∴△FCD∽△EAD，△GBD∽EAD，∴＝＝2，＝＝，∴DF＝2DG，DE＝3DG，∴EG＝FG＝2DG，∴FD＝FG，∴∠FDG＝∠FGD＝∠GFE+∠GEF，∵GE＝GF，∴∠GEF＝∠GFE，∵∠FDJ+∠FDC＝90°，∠EDJ+∠EDA＝90°，∠FDC＝∠EDA，∴∠FDJ＝∠EDJ，∴2∠EDJ＝2∠GEF，∴∠EDJ＝∠DEF，∵DJ∥AE，∴∠EDJ＝∠AED，∴∠DEA＝∠DEF，∵GM⊥AE，GN⊥EF，∴∠EMG＝∠ENG＝90°，∵EG＝EG，∴△EGM≌△EGN（AAS），∴EM＝EN，∵GE＝GF，GN⊥EF，∴FN＝EN＝EM，∵四边形ABGM，四边形CFTA都是矩形，∴AB＝GM＝CD＝6（米），∵DF＝EG，∠FCD＝∠GME＝90°，∴Rt△FCD≌Rt△EMG（HL），∴CF＝EM，设AM＝m米则AE＝3m米，EM＝CF＝AT＝FN＝EN＝2m米，∴ET＝AE﹣AT＝m（米），在Rt△EFT中，FT2+ET2＝EF2，∴302+m2＝（4m）2，∴m＝2或﹣2（舍弃），∴FN＝4（米），∵GN＝GM＝12米，∴FG＝＝＝8（米），故答案为：8．17．（2021•道里区三模）△ABC中，AB＝8，∠B＝60°，AC＝7，则∠BAC的余弦值为 或 ．【思路引导】分两种情况进行解答，即当△ABC是锐角三角形和△ABC是钝角三角形，分别画出相应的图形，通过做高，利用直角三角形的边角过程求出相应的边长，再根据锐角三角函数的意义求出答案．【完整解答】（1）如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CE⊥AC，垂足为E，在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，AB＝8，∴BD＝AB＝4，AD＝AB＝4，在Rt△ACD中，CD＝＝1，由三角形的面积公式得，BC•AD＝AC•BE，即（4+1）×4＝7BE，∴BE＝，在Rt△ABE中，AE＝＝，∴cos∠BAC＝＝＝；（2）如图2，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点C作CF⊥AB，垂足为F，由题意得，BC＝4﹣1＝3，在Rt△BCF中，∠FBC＝60°，BC＝3，∴BF＝BC＝，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣＝，在Rt△AFC中，cos∠BAC＝＝；故答案为：或．18．（2021•新洲区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，M是射线AB上的一动点，以AM为斜边在△ABC外作Rt△AMN，且使tan∠MAN＝，O是BM的中点，连接ON．则ON长的最小值为 2 ．【思路引导】作NP⊥AB于点P，设AM长为x，用含x代数式表示出ON，然后通过配方求解．【完整解答】作NP⊥AB于点P，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，设AM长为x，则BM＝5﹣x，∵tan∠MAN＝＝，∴AN＝2MN，∴AM＝＝MN，∴MN＝AM＝x，AN＝2MN＝x，同理，在Rt△ANP中可得NP＝＝x，AP＝2NP＝x，∵O为BM中点，∴BO＝BM＝，∴AO＝AB﹣BO＝，∴OP＝AO﹣AP＝﹣x＝，在Rt△ONP中，由勾股定理得ON2＝OP2+NP2，即ON2＝（）2+（x）2＝（25x2﹣150x+3125）＝（x2﹣6x+125）＝（x﹣3）2+20，∴当x＝3时，ON2取最小值为20，∴ON最小值为2．故答案为：2．19．（2021•乐山）如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x正半轴所夹的锐角为α，那么当sinα的值最大时，n的值为 ．【思路引导】当sinα的值最大时，则tanα＝值最大，即当BG最大时，sinα的值最大，设BG＝y，由tan∠CAM＝tan∠BCG，得到y＝﹣（n﹣3）（n+2），进而求解．【完整解答】过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BN交于点N，∵直线y＝﹣2∥x轴，故∠ABN＝α，当sinα的值最大时，则tanα＝值最大，故BN最小，即BG最大时，tanα最大，即当BG最大时，sinα的值最大，设BG＝y，则AM＝4，GC＝n+2，CM＝3﹣n，∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCG＝90°，∴∠CAM＝∠BCG，∴tan∠CAM＝tan∠BCG，∴，即，∴y＝﹣（n﹣3）（n+2），∵﹣＜0，故当n＝（3﹣2）＝时，y取得最大值，故n＝，故答案为：．三．解答题20．（2021•河池）如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为100m，从A处看风筝的仰角为30°，小明的父母从C处看风筝的仰角为50°．（1）风筝离地面多少m？（2）A、C相距多少m？（结果保留小数点后一位，参考数据：sin30°＝0.5，cos30°≈0.8660，tan30°≈0.5774，sin50°≈0.7760，cos50°≈0.6428，tan50°≈1.1918）【思路引导】（1）过B作BD⊥AC于D，由含30°角的直角三角形的性质即可求解；（2）由锐角三角函数定义求出CD、AD的长，即可求解．【完整解答】（1）过B作BD⊥AC于D，如图所示：则∠ADB＝∠CDB＝90°，∵∠BAD＝30°，∴BD＝AB＝50（m），即风筝离地面50m；（2）由（1）得：BD＝50m，在Rt△BCD中，∠BCD＝50°，∵tan∠BCD＝＝tan50°≈1.1918，∴CD≈＝≈41.95（m），在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∵tan∠BAD＝＝tan30°≈0.5774，∴AD≈≈86.60（m），∴AC＝AD+CD≈41.95+86.60≈128.6（m），即A、C相距约128.6m．21．（2020秋•长沙期末）如图，A、B、D三点在同一水平线上，CD⊥AD，∠A＝45°，∠CBD＝75°，AB＝60m．（1）求∠ACB的度数；（2）求线段CB的长度．【思路引导】（1）利用三角形的外角的性质求解即可．（2）如图，过点B作BH⊥AC于H，利用等腰直角三角形的性质求出BH，再根据BC＝2BH，可得结论．【完整解答】（1）∵∠CBD＝∠A+∠ACB，∠A＝45°，∠CBD＝75°，∠∠ACB＝75°﹣45°＝30°．（2）如图，过点B作BH⊥AC于H．∵∠BHA＝90°，AB＝60m，∠A＝45°，∴BH＝AB•sin45°＝60（m），∵∠BCH＝30°，∴BC＝2BH＝120（m）．22．（2021•朝阳）一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D，在D处安置一高度为1m的测角仪CD，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B，D，G，F在同一水平直线上，且AB，CD，EF均垂直于BF，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）【思路引导】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由锐角三角函数定义求出BD＝CH＝AH，再证△EFG∽△ABG，得＝，求出AH＝（8+4）m，即可求解．【完整解答】如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝1m，由题意得：DF＝9m，∴DG＝DF﹣FG＝6（m），在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，∵tan∠ACH＝＝tan30°＝，∴BD＝CH＝AH，∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴＝，即＝，解得：AH＝（8+4）m，∴AB＝AH+BH＝（9+4）m，即这棵古树的高AB为（9+4）m．23．（2021•锦州）如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC∥MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1：3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）【思路引导】先求出BC＝4.8m，再由锐角三角函数定义即可求解．【完整解答】∵山坡BM的坡度i＝1：3，∴i＝1：3＝tan M，∵BC∥MN，∴∠CBD＝∠M，∴tan∠CBD＝＝tan M＝1：3，∴BC＝3CD＝4.8（m），在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan50°≈1.19，∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），即树AB的高度约为5.7m．24．（2020秋•阜宁县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝30°，a﹣b＝2﹣2，解这个直角三角形．【思路引导】利用三角形内角和定理构建方程组求出∠A，∠B的值，推出a＝b，解方程组求出a，b，即可解决问题．【完整解答】∵，∴，∵，∴，由，解得，∵，∴c＝2b＝4．25．（2021•荆门）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？【思路引导】（1）通过作垂线构造直角三角形，求出小岛P到航线AB的最低距离PC，与暗礁的半径比较即可得出答案；（2）规划新航线BD，使小岛P到新航线的距离PE等于暗礁的半径，进而求出∠PBD，进而求出∠CBD，确定方向角．【完整解答】（1）过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，由题意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20，设PC＝x，则BC＝x，在Rt△PAC中，∵tan30°＝＝＝，∴x＝10+10，∴PA＝2x＝20+20，答：A，P之间的距离AP为（20+20）海里；（2）因为PC﹣10（3+）＝10+10﹣30﹣10＝10（+1）（﹣）＜0，所以有触礁的危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，当P到BD的距离PE＝10（3+）海里时，有sin∠PBE＝＝＝，∴∠PBD＝60°，∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，90°﹣15°＝75°即海监船由B处开始沿南偏东至多75°的方向航行能安全通过这一海域．26．（2021•天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长．（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．【思路引导】通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数的意义列方程求解即可．【完整解答】如图，过点B作BH⊥AC，垂足为H，由题意得，∠BAC＝60°，∠BCA＝40°，AC＝257海里，在Rt△ABH中，∵tan∠BAH＝，cos∠BAH＝，∴BH＝AH•tan60°＝AH，AB＝＝2AH，在Rt△BCH中，∵tan∠BCH＝，∴CH＝＝（海里），又∵CA＝CH+AH，∴257＝+AH，所以AH＝（海里），∴AB＝≈＝168（海里），答：AB的长约为168海里．27．（2021•资阳）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020﹣2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB 行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求D处的竖直高度；（2）求基站塔AB的高．【思路引导】（1）通过作垂线，利用斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，CD＝13，由勾股定理可求出答案；（2）设出DE的长，根据坡度表示BE，进而表示出CF，由于△ACF是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADE中由锐角三角函数可列方程求出DE，进而求出AB．【完整解答】（1）如图，过点C、D分别作AB的垂线，交AB的延长线于点E、F，过点D作DM⊥CF，垂足为M，∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，∴＝，即＝，设DM＝5k米，则CM＝12k米，在Rt△CDM中，CD＝13米，由勾股定理得，CM2+DM2＝CD2，即（5k）2+（12k）2＝132，解得k＝1，∴DM＝5（米），CM＝12（米），答：D处的竖直高度为5米；（2）斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，设DE＝12a米，则BE＝5a米，又∵∠ACF＝45°，∴AF＝CF＝（12+12a）米，∴AE＝AF﹣EF＝12+12a﹣5＝（7+12a）米，在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（7+12a）米，∵tan∠ADE＝tan53°≈，∴＝，解得a＝，∴DE＝12a＝21（米），AE＝7+12a＝28（米），BE＝5a＝（米），∴AB＝AE﹣BE＝28﹣＝（米），答：基站塔AB的高为米．28．（2021•莱芜区二模）如图，为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某段限速道路AB＝328米，当无人机在限速道路的正上方C处时，测得限速道路的起点A的俯角是37°，无人机继续向右水平飞行到达D处，此时又测得起点A的俯角是30°，同时测得限速道路终点B的俯角是45°．求无人机距离地面道路的高度和飞行距离各为多少米．（均精确到1米）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）【思路引导】通过作垂线构造直角三角形，在不同的直角三角形中，利用边角关系进行计算即可．【完整解答】（1）如图，由题意得：∠ECA＝37°，∠CDA＝30°，∠FDB＝45°，CD∥AB，AB＝328米，过点C作CM⊥AB于点M，过点D作DN⊥AB于点N，则四边形CDNM是矩形，∵∠ECA＝37°，∠CDA＝30°，∠FDB＝45°，CD∥AB，∴∠CAM＝∠ECA＝37°，∠DAN＝∠CDA＝30°，∠B＝∠FDB＝45°，即无人机距离地面道路的高度为120米，∴，∴CD＝MN＝AN﹣AM＝207.6﹣160≈48米，即无人机的飞行距离为48米．29．（2021•碑林区校级模拟）学校“科技创新小团队”设计的智能照明家居（如图①）的设计方案（如图②）所示：MN为台灯底座，支架AB与MN的夹角为60°．支架AB与BC的夹角可以调节的．试用后发现，当支架AB与BC的夹角为108°时，可以达到较好的照明效果．若AB＝21cm，BC＝28cm．此时点C离底座MN的距离为多少？（结果精确到0.1cm．参考数据：≈1.41；≈1.73；sin48°≈0.74；cos48°≈0.67；tan48°≈1.11）【思路引导】过点C作CE⊥MN于点M，过点B作BF⊥MN于点F，作BG⊥CE于点G，得矩形EGBF，根据锐角三角函数即可求出CG和BF的值，进而可得结果．【完整解答】如图，过点C作CE⊥MN于点M，过点B作BF⊥MN于点F，作BG⊥CE于点G，得矩形EGBF，在Rt△ABF中，∵∠BAF＝60°，AB＝21cm，∴∠ABF＝30°，∴AF＝AB＝cm，∴BF＝AF＝≈18.165（cm），∴GE＝BF≈18.165（cm），在Rt△CGB中，∵∠CBG＝108°﹣60°＝48°，BC＝28cm．∴CG＝BC×sin48°≈28×0.74≈20.72（cm），∴CE＝CG+GE＝20.72+18.165≈38.9（cm），答：此时点C离底座MN的距离为38.9cm．。
高考数学十年真题专题解析—函数图象
函数的图象真题解析年份题号考点考查内容2012课标理10函数图象的识别根据定义域、特殊值、单调性识别函数图象2013卷1理11(文12)函数图象的变换利用对折变换作出函数图象解函数不等式卷1文9函数图象的识别利用奇偶性、特殊值及极值识别函数图象2016卷1理7(文9)函数图象的识别函数的奇偶性、函数图象2017卷1文8函数图象的识别函数的奇偶性、函数图象卷3文7函数图象的识别函数的奇偶性、函数图象2018卷1文3函数图象的应用含糊的图象应用卷2理3函数图象的识别函数的奇偶性、函数图象卷3理7(文9)函数图象的识别函数的奇偶性、函数图象2019卷1理5函数图象的识别函数的奇偶性、函数图象卷3理11函数图象识别函数的奇偶性、函数图象可能考查利用函数图象解函数不等式或函数零点问题考点17函数图象的识别1．(2020天津3)函数241x y x =+的图象大致为()A ．B ．C ．D ．【答案】A【思路导引】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象．【解析】由函数的解析式可得：()()241x f x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误．故选A ．2．(2019全国Ⅰ理5)函数f (x )=2sin cos ++x x x x在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】：因为()2sin cos x x f x x x+=+，π[]πx ∈-，，所以()()()22sin sin cos cos x x x x f x f x x x x x --+-===--++，所以()f x 为[ππ]-，上的奇函数，因此排除A ；又()22sin ππππ0cos ππ1πf +==>+-+，因此排除B ，C ；故选D ．3．(2019全国Ⅲ理7)函数3222x x x y -=+在[]6,6-的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】因为332()2()()2222x x x x x x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是[]6,6-上的奇函数，因此排除C ，又1182(4)721f =>+，因此排除A ，D ．故选B ．4．(2018全国卷Ⅱ)函数2()--=x x e e f x x 的图像大致为【答案】B 【解析】当0<x 时，因为0--<x x e e ，所以此时2()0--=<x xe ef x x，故排除A ．D ；又1(1)2=->f e e，故排除C ，选B ．5．(2018全国卷Ⅲ)函数422y x x =-++的图像大致为【答案】D 【解析】当0x =时，2y =，排除A ，B ．由3420y x x '=-+=，得0x =或22x =±，结合三次函数的图象特征，知原函数在(1,1)-上有三个极值点，所以排除C ，故选D ．6．(2017新课标Ⅰ)函数sin 21cos x y x =-的部分图像大致为【答案】C 【解析】由题意知，函数sin 21cos x y x =-为奇函数，故排除B ；当x π=时，0y =，排除D ；当1x =时，sin 21cos 2y =-，因为22ππ<<，所以sin 20>，cos 20<，故0y >，排除A ．故选C ．7．(2017新课标Ⅲ)函数2sin 1x y x x=++的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】当1x =时，(1)2sin12f =+>，排除A 、C ；当x →+∞时，1y x →+，排除B ．选D ．8．(2016全国I)函数2||2x y x e =-在[–2，2]的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】当0x 时，令函数2()2x f x x e =-，则()4x f x x e '=-，易知()f x '在[0，ln 4)上单调递增，在[ln 4，2]上单调递减，又(0)10f '=-<，1()202f e '=->，(1)40f e '=->，2(2)80f e '=->，所以存在01(0,)2x ∈是函数()f x 的极小值点，即函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,2)x 上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图像为D ．9．(2012课标，理10)已知函数()f x =1ln(1)x x+-，则y =()f x 的图像大致为【答案】B 【解析1】定义域为(－1，0)∪(0，+∞)，()f x '=2(1)(ln(1))x x x x ++-∴()f x 在(－1，0)是减函数，在(0，+∞)是增函数，结合选项，只有B 符合，故选B ．10．(2013卷1，文9)函数()f x =(1cos )sin x x -在[,]ππ-的图像大致为【答案】C 【解析】显然()f x 是奇函数，故排除B ，当0x π-<<时，()f x ＜0，故排除A ，∵()f x '=22sin cos cos x x x +-=22cos cos 1x x -++，由()f x '≥0解得1cos 2x -≤，又∵x ππ-≤≤，∴3344x ππ-≤≤，同理，由()f x '≤0解得，34x ππ-≤≤-或34x ππ≤≤，∴()f x 在[－π，－34π]上是减函数，在[－34π，34π]上是增函数，在[34π，π]上是减函数，∴当x =34π时，()f x 取最小值3()4f π-=12+-，最小值点靠近－π，故选C ．11．(2018浙江)函数||2sin 2x y x =的图象可能是A ．B ．C．D ．【答案】D 【解析】设||()2sin 2x f x x =，其定义域关于坐标原点对称，又||()2sin(2)()x f x x f x --=⋅-=-，所以()y f x =是奇函数，故排除选项A ，B ；令()0f x =，所以sin 20x =，所以2x k π=(k ∈Z )，所以2k x π=(k ∈Z )，故排除选项C ．故选D ．12．(2013福建)函数)1ln()(2+=x x f的图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】本题考查的是对数函数的图象．由函数解析式可知)()(x f x f -=，即函数为偶函数，排除C ；由函数过)0,0(点，排除B ，D ．13．(2013四川)函数133-=x x y的图像大致是A B C D【答案】C 【解析】由函数解析式可得，该函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故排除A ；取x ＝－1，y ＝1113--＝32＞0，故再排除B ；当x →＋∞时，3x －1远远大于x 3的值且都为正，故331x x -→0且大于0，故排除D ，选C ．考点18函数图象的变换1．(2013新课标Ⅰ)已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，若|()f x |≥ax ，则a 的取值范围是A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[－2，1]D ．[－2，0]【答案】D 【解析】∵|()f x |=22,0ln(1),0x x x x x ⎧-≤⎨+>⎩，∴由|()f x |≥ax 得，202x x x ax≤⎧⎨-≥⎩且0ln(1)x x ax>⎧⎨+≥⎩，由202x x x ax ≤⎧⎨-≥⎩可得2a x ≥-，则a ≥-2，排除A ，B ，当a =1时，易证ln(1)x x +<对0x >恒成立，故a =1不适合，排除C ，故选D ．2．(2012安徽)若函数()|2|f x x a =+的单调递增区间是),3[+∞，则a =________．【答案】6-【解析】由22()22a x a x f x ax a x ⎧--<-⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩ 可知()f x 的单调递增区间为[,)2a -+∞，故362a a -=⇔=-．考点19函数图象的应用1．(2018全国卷Ⅰ)设函数2,0()1,0-⎧=⎨>⎩≤x x f x x ，则满足(1)(2)+<f x f x 的x 的取值范围是A ．(,1]-∞-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞【答案】D 【解析】当0x ≤时，函数()2x f x -=是减函数，则()(0)1f x f =≥，作出()f x 的大致图象如图所示，结合图象可知，要使(1)(2)+<f x f x ，则需102021x x x x +<⎧⎪<⎨⎪<+⎩或1020x x +⎧⎨<⎩≥，所以0x <，故选D．2.(2015安徽)函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是A ．0a >，0b >，0c <B ．0a <，0b >，0c >C ．0a <，0b >，0c <D ．0a <，0b <，0c <【答案】C 【解析】∵2()()ax b f x x c +=+的图象与,x y 轴分别交于,N M ，且点M 的纵坐标与点N 的横坐标均为正，∴0b x a =->，20b y c =>，故0,0a b <>，又函数图象间断的横坐标为正，∴0c ->，故0c <．。
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1 专题01 函数图像的识别与辨析 一、题型选讲
题型一 、由函数的解析式识别图像
函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项
例1、【2020年天津卷】.函数241x y x =
+的图象大致为（ ） A
C.
【答案】A 【解析】由函数的解析式可得：()()241x f x f x x --=
=-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；
当1x =时，42011
y =
=>+，选项B 错误. 故选：A. 例2、【浙江卷】.函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，+π]的图象大致为（ ）
A. B. .。