扩展有限元简介
扩展有限元法(XFEM)及其应用12
• 1999年，以美国西北大学Belytschko教授为代表 的研究组首先提出了XFEM的思想[21]，2000年， 他们正式提出了XFEM术语[22]。XFEM是迄今为 止求解不连续力学问题的最有效的数值方法，它 在标准有限元框架内研究问题，不需要对结构内 存在的几何或物理界面进行剖分，保留了CFEM 的所有优点。XFEM与CFEM的最根本区别在于所 使用的网格与结构内部的几何或物理界面无关， 从而克服了在诸如裂纹尖端等高应力和变形集中 区进行高密度网格剖分所带来的困难，当模拟裂 纹扩展时也无需对网格进行重新剖分。XFEM在 处理裂纹问题包括以下三个方面[23]：
• 2. 单位分解法（PUM） • 2.1 单位分解法的基本概念 • 1996年Melenk和Babuska[24]及Duarte和 Oden[25]先后提出了单位分解法（PUM）， 其基本思想是任意函数ψ(x)都可以用域内一 组局部函数NI(x)ψ(x)表示，即 • ，, （1） • 其中，NI(x)为有限单元形状函数, 它形成一 个单位分解。 N ( x) 1 • , (2） • 基于此，可以对有限元形状函数根据需要 进行改进。
• 数值方法，如有限元、边界元、无单元法等，特别是有限 元法（FEM）已被广泛用于处理不连续问题。有限元法具 有其它数值方法无可比拟的优点，如适用于任意几何形状 和边界条件、材料和几何非线性问题、各向异性问题、容 易编程等，是数值分析裂纹问题的主要手段。这方面的工 作很多，无法一一列举。Oritz等[1]及Belytschko等[2]通过 使用多场变分原理，用可以横贯有限单元的“弱”（应变） 间断模拟剪切带。Dvorkin等[3]通过修改虚功原理表达式 考虑了“强”（位移）间断问题；Lotfi和Sheng[4]将HuWashizu变分原理推广至具有内部间断的物体中；通过考 虑软化本构律和界面上的面力－位移关系，Simo及其同 事[5，6]提出了分析强间断问题的统一框架，很多研究者 [7-12]将该法应用到变形局部化分析中。Borja[13]提出了 分析强间断问题的标准Galerkin公式，并证明它与假定改 进应变逼近等价。
扩展有限元法及其在结构开裂研究中的应用
工业建筑 2016 年第 46 卷增刊 251
网格重划， 这样会带来大量的网格划分工作 ， 以及新 旧网格之间状态变量的映射等问题 。 随着断裂力学的发展， 为了解决网格依赖性等 问题， 学者们提出了不少的新方法， 其中被认为最具 应用前景的是 Belytschko 等基于单位分解法思想提 ［7 － 9 ］ 。 它是以传统的有 出的扩展有限元法 （ XFEM ） 在非裂缝区域采用标准的有限元法 ， 限元法为基础， 在不连续的裂缝区对位移函数进行修改 ， 位移插值 函数在裂纹面引入阶跃函数和在裂纹尖端引入渐进 位移场附加函数， 克服了弥散裂纹模型和分离裂纹 模型的网格依赖问题， 能够很好地模拟宏观裂纹的 萌生和扩展。 扩展有限元法的快速发展和广泛应用与其本身 ［10 ］ 的优越性密不可分， 可以概括为以下几点 ： 1 ） 克 裂纹扩展时不需要考虑网格重新 服了网格依赖性， 剖分， 允许裂纹贯穿单元， 并与连续剖分的有限元相 在剖分的不同单元之间不需要太多的映射； 2 ） 比， 引入两类特定的增强函数来构造非线性 ， 对裂纹面 满足 和裂纹尖端附近的单元节点增加附加自由度 ， 适当性质的形函数来捕捉裂纹尖端的奇异场 ， 网格 尺寸很大同样能获得较精确的解； 3 ） 它适用于各种 性质的材料和多介质问题以及空隙夹杂等 ， 同样适 应于几何非线性和接触非线性； 4 ） 可以在有限元框 目前在大型商业软件如 ABAQUS、 架内并行计算， ANSYS、 LSDYNA 等 中 已 经 嵌 入 了 XFEM 分 析 模 块， 而边界元法和无网格法没有成熟的软件包 ， 相比 较而言扩展有限元法具有更大的优势 。 1 扩展有限元法的基本思想 扩展有限元法是基于单位分解法思想发展而 成， 在传统有限元框架下引入能反应位移间断性的 ［11 ］ 增强项， 并使用水平集法 （ LSM ） 或快速推进法 （ FMM） ［12］描述几何间断性。 对于混凝土材料， 计 算时通常还要加入相应的裂缝模型 。 1. 1 单位分解法 单位分解法
裂纹扩展的扩展有限元(xfem)模拟实例详解
基于ABAQUS 扩展有限元的裂纹模拟化工过程机械622080706010 李建1 引言1.1 ABAQUS 断裂力学问题模拟方法在abaqus中求解断裂问题有两种方法（途径）：一种是基于经典断裂力学的模型；一种是基于损伤力学的模型。
断裂力学模型就是基于线弹性断裂力学及其基础上发展的弹塑性断裂力学等。
如果不考虑裂纹的扩展，abaqus可采用seam型裂纹来分析(也可以不建seam，如notch型裂纹)，这就是基于断裂力学的方法。
这种方法可以计算裂纹的应力强度因子，J积分及T-应力等。
损伤力学模型是指基于损伤力学发展而来的方法，单元在达到失效的条件后，刚度不断折减，并可能达到完全失效，最后形成断裂带。
这两个模型是为解决不同的问题而提出来的，当然他们所处理的问题也有交叉的地方。
1.2 ABAQUS 裂纹扩展数值模拟方法考虑模拟裂纹扩展，目前abaqus有两种技术：一种是基于debond的技术（包括VCCT）；一种是基于cohesive技术。
debond即节点松绑，或者称为节点释放，当满足一定得释放条件后（COD 等，目前abaqus提供了5种断裂准则），节点释放即裂纹扩展，采用这种方法时也可以计算出围线积分。
cohesive有人把它译为粘聚区模型，或带屈曲模型，多用于模拟film、裂纹扩展及复合材料层间开裂等。
cohesive模型属于损伤力学模型，最先由Barenblatt 引入，使用拉伸-张开法则（traction-separation law）来模拟原子晶格的减聚力。
这样就避免了裂纹尖端的奇异性。
Cohesive 模型与有限元方法结合首先被用于混凝土计算和模拟，后来也被引入金属及复合材料。
Cohesive界面单元要服从cohesive 分离法则，法则范围可包括粘塑性、粘弹性、破裂、纤维断裂、动力学失效及循环载荷失效等行为。
此外，从abaqus6.9版本开始还引入了扩展有限元法（XFEM），它既可以模拟静态裂纹，计算应力强度因子和J积分等参量，也可以模拟裂纹的开裂过程。
扩展有限元的基本知识1
i 1
i
n { (x)} 覆盖 i 的单位分解函数。 i 1
设函数 Vi (x) 为函数u (x) 在子域i 内的近似函 数，则函数u (x) 在求解域 的全局近似可取为
u (x) i (x) Vi (x)
i 1 n
i 中逼近u (x) 在单位分解法中，任何能够在子域 的函数都可以作为局部近似函数。
扩展有限元的基本知识
制作时间：2014.12.12
有限元在处理间断问Байду номын сангаас的缺陷
有限元采用的是连续性的位移近似函数，对于裂 纹类强间断问题，为获得足够的计算精度，需要 对网格进行足够的细分，计算量极大。 采用拉格朗日法求解裂纹动态扩展、流固耦合、 局部剪切等特大变形问题时，有限元网格可能会 发生严重扭曲，使计算精度急剧下降甚至计算无 法继续，因此，需要不断的进行网格重构、计算 量极大，同时，也为了模拟裂纹的动态扩展过程， 也需要不断的进行网格重构。
扩展有限元的提出
1999年，美国西北大belytschko 研 究组提出的扩展有限元。借助于对 研究问题的已有认识，在满足单位 分解的前提下，在位移近似函数中 增加更能反映实际间断特征的函数 项（称为富集函数）提高了计算精 度。采用水平集法（LSM）或快速 推进法（FMM）描述间断界面，使 间断的描述独立于有限元网格，避 免了计算过程中的重构。
扩展有限元的概念
扩展有限元（XFEM）：是在标准有限元方法的 框架下，提出来的一种用于解决裂纹、孔洞、夹 杂等间断问题的数值方法。在有限元的近似函数 中，增加能反映待求问题特性的附加函数项，采 用水平集法（LSM）描述间断面的几何特征及其 移动规律。
扩展有限元的优点
• 计算精度高 • 勿需网格重构
扩展有限元方法和裂纹扩展
扩展有限元方法和裂纹扩展1.1 扩展有限元方法（XFEM ）基本理论1999年，美国Northwestern University 的Belytschko 和Black 领导的研究小组提出了扩展有限元方法，为解决裂纹这类强不连续问题带来了曙光。
他们正式应用扩展有限元法（XFEM ）这一专业术语是在2000年，截止到目前，扩展有限元法（XFEM ）成为我们解决强不连续力学问题的最有效的数值计算方法，也成为计算断裂力学的重要分支。
XFEM 在有限元的框架下进行求解，无需对构件内部的物理界面进行网格划分，具有常规有限元方法的所有优点。
它最明显的特点是用已知的特征函数作为形函数来使传统有限元的位移得到逼近，进而克服了在裂纹尖端和变形集中处进行高密度网络划分产生的困难，方便地模拟裂纹的任意路径，而且计算精度和效率得到了显著的提高[6]。
扩展有限元方法是将已知解析解的特征函数作为插值函数增强传统有限元的位移逼近，来使得单元内的真实位移特性得以体现，裂纹尖端和物理或几何界面独立于有限元网格。
XFEM 主要包括以下三部分内容：首先是不考虑构件的任何内部细节，按照构件的几何外形尺寸生成有限元网格；其次，采用水平集方法跟踪裂纹的实际位置；根据已知解，改进影响区域的单元的形函数，来反映裂纹的扩展。
最后通过引入不连续位移模式来表示不连续几何界面的演化。
因为改进的插值函数在单元内部具有单元分解的特性，其刚度矩阵的特点与常规有限元法的刚度矩阵特性保持一致。
单元分解法(Partition Of Unity Method)和水平集法（Level Set Method ）、节点扩展函数构成了扩展有限元法的基本理论，其中，单元分解法是通过引入加强函数计算平面裂纹扩展问题，保证了XFEM 的收敛性；水平集法是跟踪裂纹的位置和模拟裂纹扩展的常用数值方法，任何内部几何界面位置都可用它的零水平集函数来表示。
(1)单元分解法的基本思想是任意函数()x φ都可以用子域内一组局部函数()()x x N I ϕ表示，满足如下等式：()()()x x N x II ϕφ∑= （1）其中，它们满足单位分解条件：f I Iåx ()=1 ()x N I 是有限元法中的形函数，根据上述理论，便可以根据需要对有限元的形函数进行改进。
扩展有限元的基本原理
1 引言
有限元法是科学研究和工程分析中使用最多的一种数值分析方法，其数学理论基础和误差估计理论都 十分成熟。然而，有限元采用连续函数作为形函数，对于处理像裂纹这样的不连续问题时，需要将裂纹面 设置为单元的边、裂尖设置为单元的结点、在裂尖附近不连续体的奇异场内进行高密度网格划分以及在模 拟裂纹扩展时需要不断的进行网格的重新划分，使得有限元程序计算相当复杂，且效率极低[1]。边界元法 研究裂纹扩展方面有较成熟的应用，但它不便于处理非线性、多介质等复杂问题。无单元法将整个求解域 离散为独立的结点，无需将结点连成单元，因而在裂纹扩展数值模拟中得到了广泛的应用[2,3]。但是现有的 各种无单元法存在缺少坚实的理论基础和严格的数学证明； 计算时间长、 效率低； 存在一些未确定的参数， 如插值域的大小，背景积分域的大小等；解决复杂的工程和科学问题的研究不够； 没有成熟的商业软件包， 限制了其实际应用和推广等不足。 1999 年，以美国西北大学 Belytschko 教授为代表的研究组首先提出用扩展有限元（XFEM）来解决不 连续问题[4]。XFEM 是基于单位分解的方法（PUM）对单元的形函数加以改进，从而考虑所研究问题的不 连续、奇异性和边界层等特性。XFEM 所使用的网格与结构内部几何或物理界面无关，从而克服了裂纹尖 端等高应力和变形集中区网格划分的困难，使得模拟裂纹生长也无需对网格进行重新划分。自 XFEM 问世 以来，在国际上得到了很快的发展和广泛的应用。 在最初的 XFEM 中，位移模式中加进的是裂尖渐进位移场函数的主要项，且围绕裂尖加强结点的相应 系数是相互独立的，这样加强位移场并不是真实的裂尖附近的渐进位移场，因此，局部位移场的精度仍不 能令人满意，应力强度因子必须经过后处理才能求出。文[5][6]提出了一种改进的 XFEM，提高了局部位移 场的精度，且不需要经过后处理就可以直接求出应力强度因子，从而为分析裂纹扩展提供了方便。 文中首先简要介绍了改进扩展有限元的基本原理，然后详细分析了采用该方法分析不连续力学问题需 要注意的问题，包括：积分方案、裂纹闭合时的接触问题和裂纹扩展的分析。
重力坝开裂过程扩展有限元数值模拟
重力坝开裂过程扩展有限元数值模拟靳旭;董羽蕙【摘要】扩展有限元法(XFEM)是一种求解不连续问题的数值方法.它继承了常规有限元法(CFEM)的所有优点,在模拟裂纹扩展、界面、复杂流体等不连续问题时特别有效,近十多年得到了快速发展.介绍了XFEM的基本原理,给出了进行混凝土裂纹扩展分析的方法.利用XFEM模拟混凝土重力坝裂纹扩展,通过对比有、无裂纹情况下的重力坝应力分布,分析裂纹存在对重力坝应力场分布的影响；分析裂纹扩展受网格疏密程度的影响；计算在不同岩基弹性模量下裂纹的扩展方向.%Extended finite element method(XFEM)is a numerical solution for analyzing discontimuity problem . It inherited all the advantages of the conventional finite element method (CFEM) , in the simulation of crack extension , interface, complex fluid and other discontinuities are particularly effective , in the past decade it has been rapid development. The basic theory of XFEM in introduced and the method of analyzing concrete fracture is presented. The XFEM is utilized to simulate the crack propagation in concrete gravity dam. By the contrast of stress distribution under no crack and crack circumstance of gravity dam the discipline of stress field distribution is analyzed; It is also used for influence of mesh density to crack propagation and is calculated the crack propagation direction in batholith elastic modulus.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2012(012)033【总页数】6页(P9100-9104,9109)【关键词】重力坝;扩展有限元法;裂纹扩展;网格疏密;弹性模量【作者】靳旭;董羽蕙【作者单位】昆明理工大学建筑工程学院,昆明650500;昆明理工大学建筑工程学院,昆明650500【正文语种】中文【中图分类】TV313;TV642.3实际工程中，无论采用多么严格的裂缝控制措施，混凝土结构仍然会带裂缝工作。
扩展有限元法的研究
学位论文作者签名：谢海
日期： 2009 年 1 月 14 日
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上海交通大学 硕士学位论文 扩展有限元法的研究 姓名：谢海 申请学位级别：硕士 专业：固体力学 指导教师：冯淼林 20090101
上海交通大学硕士学位论文
扩展有限元法的研究 摘 要
扩展有限元法(the extended finite element method, XFEM)是解决以裂纹问题 为代表的不连续力学问题的有效方法，由于其在保留常规有限元(CFEM)所有优 点的基础上，解决了常规有限元需在应力集中区高密度划分单元的所带来的困 难，模拟裂纹生长时也无需网格重划分，而得到了快速的发展。本文介绍了扩展 有限元的基本理论，并通过编写 ABAQUS 用户子程序 UEL ，在商业软件 ABAQUS 平台的基础上实现了线弹性扩展有限元功能。 本文先介绍了有关单位分解法，水平集法的理论，然后论述了基于这两个方 法的扩展有限元法； 接着对 ABAQUS 用户子程序 UEL 进行简单的介绍， 并阐述 如果应用 UEL 在 ABAQUS 平台上实现 XFEM。 最后， 通过三个算例的比较可以 看出 XFEM 能在较粗糙的网格前提下，实现了较高的精度和准确度。
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年解密后适用本授权书。
学位论文作者签名： 谢海
指导教师签名：冯淼林
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扩展有限元
有限元是将一个物理实体模型离散成一组有限的相互连接的单元组合体, 该方法在考虑物体内部存在缺陷时间，单元边界与几何界面一致，会造成局部网格加密，其余区域稀疏的非均匀网格分布，在网格单元中最小的尺寸会增加计算成本，再者裂纹的扩展路径必须预先给定只能沿着单元边界发展。
1999年，美国西北大学Beleytachko 提出了扩展有限法，该方法是对传统有限元法进行了重大改进。
扩展有限元法的核心思想是用扩充带有不连续性质的形函数来代表计算区域内的间断，在计算过程中，不连续场的描述完全独立于网格边界，在处理断裂问题有较好的优越性。
利用扩展有限元，可以方便的模拟裂纹的任意路径，还可以模拟带有孔洞和夹杂的非均质材料。
扩展有限元是以标准有限元的理论为框架，保留传统有限元的优点，目前商业软件中如Abaqus 等都加入扩展有限元的分析模块。
扩展有限元以有限元为基本框架，主要针对不连续问题进行研究，相对于传统有限元方法，它克服了裂纹扩展问题的不足。
其采用节点扩展函数，其中包括2个函数:裂纹尖端附近渐进函数表示裂纹尖端附近的应力奇异性;间断函数表示裂纹面处位移跳跃性。
整体划分位移函数表示为
αααI =I I I =∑∑++=b x F a x H u x N x u N i )(])()[()('41
1
式中:)(x N I 为常用的节点位移函数；I u 为常规形状函数节点自由度，适用于模型中的所有节点；)(x H 为沿裂纹面间断跳跃函数；I a 为节点扩展自由度向量，这项只对形函数被裂纹切开的单元节点有效；)(x F α为裂纹尖端应力渐进函数；αI b 为节点扩展自由度向量，这项只对形函数被裂纹尖端切开的单元节点有效。
沿裂纹面间断跳跃函数)(x H 表达式为：
otherwise
n x x if x H 0)(11)(*≥-⎩⎨⎧-= 式中:x 为样本点；*x 距x 最近点；n 为单位外法线向量。
各向同性材料的裂纹尖端渐进函数)(x F α表达式为：
⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=2cos sin ,2sin sin ,2cos ,2sin )(θθθθθθαr r r r x F 裂纹尖端的渐进函数并不局限于各向同性弹性材料的裂纹建模。
可用于弹塑性指数硬化材料，不同的裂纹尖端渐进函数的形式与裂纹位置、非线性材料变形程度有关。
扩展有限元方法(XFEM)可以缓解裂纹面网格划分带来的缺点，其基于整体划分的概念使扩展函数方便地插入到有限元中。
间断性可以通过与额外自由度相关联的扩展函数来确定。
同时扩展有限元方法保留了有限元框架及一些特性，如刚度矩阵的稀疏性及对称性等。
因此以有限元为基本框架，主要针对不连续问题进行研究，相对于传统有限元方法，扩展有限元法提高了描述复杂位移场的能力，增加了对于演化的非连续边界进行跟踪的灵活性，避免了网格重划分，当考虑裂纹扩展时其计算工作量和准确性要明显优于有限元方法。