扩展有限元方法和裂纹扩展
扩展有限元法(XFEM)及其应用12
• 1999年，以美国西北大学Belytschko教授为代表 的研究组首先提出了XFEM的思想[21]，2000年， 他们正式提出了XFEM术语[22]。XFEM是迄今为 止求解不连续力学问题的最有效的数值方法，它 在标准有限元框架内研究问题，不需要对结构内 存在的几何或物理界面进行剖分，保留了CFEM 的所有优点。XFEM与CFEM的最根本区别在于所 使用的网格与结构内部的几何或物理界面无关， 从而克服了在诸如裂纹尖端等高应力和变形集中 区进行高密度网格剖分所带来的困难，当模拟裂 纹扩展时也无需对网格进行重新剖分。XFEM在 处理裂纹问题包括以下三个方面[23]：
• 2. 单位分解法（PUM） • 2.1 单位分解法的基本概念 • 1996年Melenk和Babuska[24]及Duarte和 Oden[25]先后提出了单位分解法（PUM）， 其基本思想是任意函数ψ(x)都可以用域内一 组局部函数NI(x)ψ(x)表示，即 • ，, （1） • 其中，NI(x)为有限单元形状函数, 它形成一 个单位分解。 N ( x) 1 • , (2） • 基于此，可以对有限元形状函数根据需要 进行改进。
• 数值方法，如有限元、边界元、无单元法等，特别是有限 元法（FEM）已被广泛用于处理不连续问题。有限元法具 有其它数值方法无可比拟的优点，如适用于任意几何形状 和边界条件、材料和几何非线性问题、各向异性问题、容 易编程等，是数值分析裂纹问题的主要手段。这方面的工 作很多，无法一一列举。Oritz等[1]及Belytschko等[2]通过 使用多场变分原理，用可以横贯有限单元的“弱”（应变） 间断模拟剪切带。Dvorkin等[3]通过修改虚功原理表达式 考虑了“强”（位移）间断问题；Lotfi和Sheng[4]将HuWashizu变分原理推广至具有内部间断的物体中；通过考 虑软化本构律和界面上的面力－位移关系，Simo及其同 事[5，6]提出了分析强间断问题的统一框架，很多研究者 [7-12]将该法应用到变形局部化分析中。Borja[13]提出了 分析强间断问题的标准Galerkin公式，并证明它与假定改 进应变逼近等价。
《2024年重型卡车紧急制动制动鼓有限元分析及裂纹扩展模拟》范文
《重型卡车紧急制动制动鼓有限元分析及裂纹扩展模拟》篇一一、引言随着现代物流业和交通运输业的快速发展，重型卡车作为主要的运输工具之一，其安全性能尤为重要。
紧急制动系统是重型卡车安全保障的关键部分，而制动鼓作为该系统的主要构件，其性能的优劣直接关系到车辆的安全性。
因此，对重型卡车紧急制动制动鼓的力学性能及裂纹扩展进行研究具有重要的工程实际意义。
本文采用有限元分析方法，对重型卡车紧急制动时的制动鼓进行应力分析，并模拟裂纹的扩展过程，以期为制动鼓的设计与优化提供理论依据。
二、有限元模型建立1. 模型简化与假设为便于计算和分析，需要对实际制动鼓进行一定的简化。
假设制动鼓为均质材料，忽略其内部结构细节，并假定材料属性在各方向上均匀一致。
2. 材料属性定义采用有限元分析软件，定义制动鼓的材料属性，包括弹性模量、泊松比、屈服强度等。
同时，考虑材料在紧急制动过程中的非线性行为。
3. 网格划分对制动鼓进行网格划分，确保在关键区域如应力集中处有足够的网格密度，以捕捉到更精细的应力分布。
三、紧急制动过程模拟1. 加载条件设定根据实际工况，设定紧急制动的加载条件，包括制动力矩、车轮转速等。
同时考虑制动过程中可能出现的热效应对材料性能的影响。
2. 应力分析通过有限元分析软件进行计算，得到制动鼓在紧急制动过程中的应力分布情况。
分析最大应力出现的位置，以及应力随时间的变化情况。
四、裂纹扩展模拟1. 裂纹初始化在有限元模型中预设裂纹，根据实际损伤情况设定裂纹的初始尺寸和位置。
2. 裂纹扩展准则采用合适的裂纹扩展准则，如能量释放率准则或应力强度因子准则，来描述裂纹的扩展行为。
3. 裂纹扩展模拟在有限元模型中逐步推进裂纹的扩展过程，观察裂纹的扩展路径、扩展速度以及扩展过程中应力的变化情况。
五、结果与讨论1. 应力分析结果通过有限元分析得到制动鼓的应力分布云图，分析最大应力出现的位置及原因。
讨论应急制动过程中可能出现的应力集中现象。
2. 裂纹扩展模拟结果模拟得到的裂纹扩展路径与实际损伤情况相比较，验证模拟的准确性。
裂纹扩展的扩展有限元xfem模拟实例详解
基于ABAQUS 扩展有限元的裂纹模拟化工过程机械622080706010 李建1 引言1.1 ABAQUS 断裂力学问题模拟方法在abaqus中求解断裂问题有两种方法（途径）：一种是基于经典断裂力学的模型；一种是基于损伤力学的模型。
断裂力学模型就是基于线弹性断裂力学及其基础上发展的弹塑性断裂力学等。
如果不考虑裂纹的扩展，abaqus可采用seam型裂纹来分析(也可以不建seam，如notch型裂纹)，这就是基于断裂力学的方法。
这种方法可以计算裂纹的应力强度因子，J积分及T-应力等。
损伤力学模型是指基于损伤力学发展而来的方法，单元在达到失效的条件后，刚度不断折减，并可能达到完全失效，最后形成断裂带。
这两个模型是为解决不同的问题而提出来的，当然他们所处理的问题也有交叉的地方。
1.2 ABAQUS 裂纹扩展数值模拟方法考虑模拟裂纹扩展，目前abaqus有两种技术：一种是基于debond的技术（包括VCCT）；一种是基于cohesive技术。
debond即节点松绑，或者称为节点释放，当满足一定得释放条件后（COD 等，目前abaqus提供了5种断裂准则），节点释放即裂纹扩展，采用这种方法时也可以计算出围线积分。
cohesive有人把它译为粘聚区模型，或带屈曲模型，多用于模拟film、裂纹扩展及复合材料层间开裂等。
cohesive模型属于损伤力学模型，最先由Barenblatt 引入，使用拉伸-张开法则（traction-separation law）来模拟原子晶格的减聚力。
这样就避免了裂纹尖端的奇异性。
Cohesive 模型与有限元方法结合首先被用于混凝土计算和模拟，后来也被引入金属及复合材料。
Cohesive界面单元要服从cohesive 分离法则，法则范围可包括粘塑性、粘弹性、破裂、纤维断裂、动力学失效及循环载荷失效等行为。
此外，从abaqus6.9版本开始还引入了扩展有限元法（XFEM），它既可以模拟静态裂纹，计算应力强度因子和J积分等参量，也可以模拟裂纹的开裂过程。
ABAQUS平台的扩展有限元方法模拟裂纹实现
ABAQUS平台的扩展有限元方法模拟裂纹实现1.1 扩展有限元方法（XFEM）在ABAQUS上的实现ABAQUS中XFEM的实现，两个步骤最为关键：1、选择模型中可能出现的裂纹区域，将其单元设为具有扩展有限元性质的enrichment element.2、其次重要的是选择恰当的破坏准则，使单元在达到给定的条件破坏，裂纹扩展。
在ABAQUS中模拟裂纹扩展的操作中，需要注意的是：1、在Property模块，添加损伤演化参数、破坏法则、损伤稳定性参数2、在Interaction模块，主菜单Special中创建XFEM的enrichment element对于固定的裂纹模型，采用ABAQUS/STANDARD中使用奇异渐进函数。
针对移动的裂纹问题，在XFEM中，有一种方法基于traction-separation cohesive behavior，即使用虚拟节点连续片段法进行移动裂纹建模，ABAQUS/STANDAR D 中用于计算脆性或韧性材料的裂纹初始化和扩展过程的模拟。
另外一种cohesive segments method (粘性片段方法)可用于bulk material中的任意路径的裂纹初始化模拟扩展过程，由于裂纹扩展不依赖于单元边界，在XFEM中，裂纹每扩展一次需要通过一个完整单元，避免尖端应力奇异性。
除此之外，ABAQUS为拥护提供了自定义子程序，来满足不同建模的需要。
ABAQUS/STANDARD中的任意力学本构模型均可用来模拟扩展裂纹的力学特性。
由于XFEM采用的形函数在求解过程中，很容易造成逼近线性相关，极大的增加了收敛难度，到目前为止，能够实现扩展有限元的商业软件只有ABAQUS，但是ABAQUS为了减少求解难度，做了大量简化，因此用ABAQUS 扩展有限元模拟裂纹扩展时，有一些局限[16]：1.扩展单元内不能同时存在两条裂纹，所以ABAQUS不能模拟分叉裂纹；2.在裂纹扩展分析过程中，每一个增量步的裂纹转角不允许超过90度；3.自适应的网格是不被支持的；4.固定裂纹中，只有各向同性材料的裂纹尖端渐进场才被考虑。
基于xfem的垂直于双材料界面的裂纹扩展问题
文章主题：基于xfem的垂直于双材料界面的裂纹扩展问题在材料科学和工程领域，裂纹扩展问题一直是一个备受关注的研究课题。
特别是在双材料界面上的裂纹扩展问题，由于双材料特性的不均匀性和复杂性，增加了研究和分析的难度。
在本文中，我们将从基于xfem（扩展有限元法）的角度出发，探讨垂直于双材料界面的裂纹扩展问题，以期为这一领域的研究和实际应用提供新的思路和方法。
一、概述垂直于双材料界面的裂纹扩展问题是指在两种材料的交界面上，裂纹在垂直方向上的扩展行为。
这种情况下，裂纹扩展的受力和受约束条件都受到了双材料特性的影响，需要深入分析和研究。
传统的有限元法在模拟和分析这种问题时存在一定的局限性，而xfem则能够有效地刻画裂纹的扩展路径和受力情况，因此成为了研究这一问题的有力工具。
二、裂纹模型的建立在进行垂直于双材料界面的裂纹扩展问题建模时，需要考虑双材料界面的影响，分析裂纹在材料间传播的受力情况和速度。
利用xfem，可以方便地将裂纹扩展路径和扩展速度等参数纳入模型中，通过数值计算得到裂纹扩展的演化规律和裂纹尖端的受力情况。
这有助于更准确地理解和分析垂直双材料界面上的裂纹扩展问题。
三、影响因素分析垂直于双材料界面的裂纹扩展受到诸多因素的影响，其中包括材料性质、裂纹尺寸、应力状态等。
通过xfem的数值模拟，可以分析不同因素对裂纹扩展行为的影响程度，揭示裂纹扩展过程中的关键因素和规律。
这有助于为材料设计和工程应用提供更可靠的参考依据。
四、工程应用与展望垂直于双材料界面的裂纹扩展问题在工程应用中具有重要意义，例如在复合材料结构的设计和评估中。
通过对裂纹扩展行为的深入研究和分析，可以为工程实践提供更有效的裂纹控制和结构安全性评估方法。
未来，基于xfem的裂纹扩展问题研究还可以结合人工智能算法和大数据分析等方法，进一步提高模型精度和计算效率，拓展应用领域和深化理论研究。
个人观点与总结垂直于双材料界面的裂纹扩展问题是一个复杂而又具有挑战性的研究领域，需要运用先进的数值模拟方法和理论分析手段来探讨和解决。
航空器复合材料胶接接头设计(ABAQUS-XFEM)
摘要复合材料结构的连接形式主要分为胶接和机械连接，随着复合材料在航空航天领域的广泛应用，胶接因其在复合材料结构连接中的优良特性日益受到结构设计人员的青睐，具有连接效率高、结构轻、抗疲劳、密封性好等优点。
然而胶接设计也具有很大的挑战性，在结构强度计算中，胶接连接接头部位一般为危险部位，需要重点校核。
所以，对复合材料胶接接头的设计分析是十分必要的。
本选题利用成熟的有限元商用软件ABAQUS，使用XFEM（扩展有限元法）对胶层和复合材料层的应力场等进行分析。
通过分析计算这些应力，同时应用相应的失效准则，进而可预测初始裂纹的扩展与否及扩展的长度，为胶接接头设计的选择提供必要的依据。
在文章中，讨论了胶接长度、胶层厚度和初始裂纹的位置对裂纹扩展的影响。
通过对仿真结果的分析，提出了减小胶接长度和胶层厚度的观点，指出裂纹易于产生及扩展的区域，对胶接接头的设计进行了优化。
胶接接头的优化设计对拓宽复合材料在飞机结构上的应用范围，进一步减轻结构重量、提高疲劳性能和降低制造成本具有重要的工程使用价值。
关键词:复合材料板胶接接头扩展有限元裂纹扩展AbstractThe joint methods of composite structure contain cementing and mechanical connection.. With the use of composite in the field of aviation increased a lot in recent years for its high strength and lightness, the cementing is increasingly favored by the structure design staff for its excellent characteristics in the connection field of composite structure. The characteristics are high ligation efficiency, light structure, antifatigue and good sealing. However, glued design also has a great challenge. In the structural strength calculations, glued joints are generally connected to dangerous parts and need to focus on checking. Therefore, the design and analysis of composite bonded joint is very necessary.The topic use the sophisticated and commercial software -ABAQUS, in the field of finite element, and use XFEM ( extended finite element method ) as the foundation to analysis the stress field of bonding layers and composite layers. By analyzing and calculating these stresses, while applying the appropriate failure criterion, we can predict the initial crack extension and the length of the expansion. In this way, it can provide the necessary basis for the design of bonding joints. In the article, we discussed the impact of the bonding length, layer thickness and initial crack location on crack propagation. Through the analysis of simulation results, we presented two standpoints of reducing the length of bonding joint and the thickness of adhesive. Besides, we pointed the areas where cracks are easy to generate and expand. Optimal design of adhesive joints in composite materials has important engineering value to broaden the scope of application of the aircraft structure and further reduce the structural weight, improve the performance of fatigue and reduce manufacturing costs.Keywords:Composite plates, Adhesive joints, XFEM, Crack extension目录摘要 (I)Abstract ....................................................... I I 目录.......................................................... I II 第一章引言.. (1)1.1导言 (1)1.2胶接连接 (2)1.2.1 简介 (2)1.2.2胶接连接应当注意的问题 (3)1.2.3胶接连接研究现状 (3)1.3 胶接接头 (4)1.3.1胶接接头简介 (4)1.3.2胶接接头的基本形式 (5)1.3.3胶接接头的破坏模式 (6)1.3.4胶接接头处可能出现的裂纹及其影响 (7)第二章复合材料损伤和胶接连接的力学模型 (8)2.1导言 (8)2.2复合材料层板强度预测 (8)2.3复合材料和胶层断裂准则 (10)第三章利用ABAQUS建立复合材料胶接接的有限元模型 (13)3.1扩展有限元方法和工程软件ABAQUS简介 (13)3.1.1传统有限元方法 (13)3.1.2扩展有限元方法及基本原理 (14)3.1.3ABAQUS简介 (15)3.2利用ABAQUS建立复合材料板胶接模型的过程 (16)3.2.1几何模型的建立和约束条件 (16)3.2.2材料属性 (17)3.2.3定义接触 (19)3.2.4 对于XFEM定义 (19)第四章基于裂纹扩展分析的单面搭接接头设计 (21)4.1复合材料胶接接头在纵向载荷下的受力分析 (21)4.2不同搭接长度下胶接接头的裂纹扩展情况 (23)4.2.1搭接长度为15mm的情况 (23)4.2.2搭接长度为10mm的情况 (25)4.2.3搭接长度为20mm的情况 (26)4.2.4不同搭接长度下裂纹情况的对比及结论 (28)4.3不同胶层厚度下胶接接头的裂纹扩展情况 (29)4.3.1胶层厚度为0.1mm的情况 (29)4.3.2胶层厚度为0.2mm的情况 (31)4.3.3胶层厚度为0.3mm的情况 (33)4.3.4不同胶层厚度下裂纹情况的对比及结论 (34)带五章基于裂纹扩展的斜面搭接接头设计 (37)5.1斜面搭接接头在纵向载荷下的受力分析 (37)5.2不同裂纹位置下胶接接头的裂纹扩展情况 (38)5.2.1选取的三种不同裂纹位置 (39)5.2.2裂纹的扩展情况 (40)5.2.3三种情况对比及结论 (42)5.3单面搭接和斜面搭接情况的对比 (43)第六章全文总结及展望 (46)6.1全文总结 (46)6.2展望 (47)致谢辞 (49)参考文献 (50)第一章引言1.1导言复合材料作为一种新材料，在最近的半个多世纪中飞速发展，由于复合材料采用纤维加强结构，使得复合材料具有比重小、比强度和比模量大的特点，并且由于采用的是铺层结构，制造过程简单，容易成型。
裂纹扩展的扩展有限元(xfem)模拟实例详解
基于ABAQUS 扩展有限元的裂纹模拟化工过程机械622080706010 李建1 引言1.1 ABAQUS 断裂力学问题模拟方法在abaqus中求解断裂问题有两种方法（途径）：一种是基于经典断裂力学的模型；一种是基于损伤力学的模型。
断裂力学模型就是基于线弹性断裂力学及其基础上发展的弹塑性断裂力学等。
如果不考虑裂纹的扩展，abaqus可采用seam型裂纹来分析(也可以不建seam，如notch型裂纹)，这就是基于断裂力学的方法。
这种方法可以计算裂纹的应力强度因子，J积分及T-应力等。
损伤力学模型是指基于损伤力学发展而来的方法，单元在达到失效的条件后，刚度不断折减，并可能达到完全失效，最后形成断裂带。
这两个模型是为解决不同的问题而提出来的，当然他们所处理的问题也有交叉的地方。
1.2 ABAQUS 裂纹扩展数值模拟方法考虑模拟裂纹扩展，目前abaqus有两种技术：一种是基于debond的技术（包括VCCT）；一种是基于cohesive技术。
debond即节点松绑，或者称为节点释放，当满足一定得释放条件后（COD 等，目前abaqus提供了5种断裂准则），节点释放即裂纹扩展，采用这种方法时也可以计算出围线积分。
cohesive有人把它译为粘聚区模型，或带屈曲模型，多用于模拟film、裂纹扩展及复合材料层间开裂等。
cohesive模型属于损伤力学模型，最先由Barenblatt 引入，使用拉伸-张开法则（traction-separation law）来模拟原子晶格的减聚力。
这样就避免了裂纹尖端的奇异性。
Cohesive 模型与有限元方法结合首先被用于混凝土计算和模拟，后来也被引入金属及复合材料。
Cohesive界面单元要服从cohesive 分离法则，法则范围可包括粘塑性、粘弹性、破裂、纤维断裂、动力学失效及循环载荷失效等行为。
此外，从abaqus6.9版本开始还引入了扩展有限元法（XFEM），它既可以模拟静态裂纹，计算应力强度因子和J积分等参量，也可以模拟裂纹的开裂过程。
基于扩展有限元的碳纤维复合材料裂纹扩展仿真
基于扩展有限元的碳纤维复合材料裂纹扩展仿真韩少燕 门 静 韩海燕（西安交通大学城市学院，陕西 西安 710018）引言 碳纤维复合材料以其良好的力学性能被广泛的应用于汽车、航空航天等领域[1]。
碳纤维层合板在实际使用过程中容易受到冲击载荷产生大变形弯曲，导致局部产生应力集中与应变从而引起材料损伤，例如基体开裂、纤维断裂后或者层间分层等，材料损伤扩展会进一步导致力学性能降低，从而导致材料失效最终结构失效。
扩展有限元通过引入富集函数来修正传统有限元的近似位移函数，以描述间断界面，使间断的描述独立于有限元网格，避免了计算过程中的网格重构[2]。
本文采用扩展有限元法模拟了碳纤维复合材料层合板在弯曲载荷作用下的开裂过程，以预测材料抵抗外力损伤的性能。
1、扩展有限元 扩展有限元是以美国西北大学Belytschko 教授为首的研究组于1999年提出的一种求解不连续问题的数值方法，该方法可有效的求解强和弱不连续问题[2-3]。
扩展有限元的基本原理是基于单位分解法在传统有限元位移模式中加入特殊函数（加强函数），从而反应不连续性的存在，不同类型的不连续问题，只是加强函数不同而已。
1.1单位分解法单位分解法是Melenk 和Bubska 及Duarte 和Oden 于1996年先后提出的。
对于求解区域Ω，单位分解法用一些相互交叉的子域ΩI 来覆盖，每个子域都与一个函数()I ϕx 相联系。
函数()I ϕx 仅在ΩI 内非零，且满足单位分解条件()1I Iϕ=∑x (1)Duarte 和Oden 用K 阶移动最小二乘近似函数来构造单位分解，即1()()[()]mh k I iI i Ii b q ϕ==+∑∑ u x x u x (2) 其中：()i q x 可以是单项式基。
系数是未知量，可以通过Galerkin 法或配点法求解。
为了提高逼近精度，或满足对待定问题的特殊逼近要求，也可以包含其他一些形式的函数（称之为加强基函数）。
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扩展有限元方法和裂纹扩展
1.1 扩展有限元方法（XFEM ）基本理论
1999年，美国Northwestern University 的Belytschko 和Black 领导的研究小
组提出了扩展有限元方法，为解决裂纹这类强不连续问题带来了曙光。
他们正式
应用扩展有限元法（XFEM ）这一专业术语是在2000年，截止到目前，扩展有
限元法（XFEM ）成为我们解决强不连续力学问题的最有效的数值计算方法，也
成为计算断裂力学的重要分支。
XFEM 在有限元的框架下进行求解，无需对构件
内部的物理界面进行网格划分，具有常规有限元方法的所有优点。
它最明显的特
点是用已知的特征函数作为形函数来使传统有限元的位移得到逼近，进而克服了
在裂纹尖端和变形集中处进行高密度网络划分产生的困难，方便地模拟裂纹的任
意路径，而且计算精度和效率得到了显著的提高[6]。
扩展有限元方法是将已知解析解的特征函数作为插值函数增强传统有限元
的位移逼近，来使得单元内的真实位移特性得以体现，裂纹尖端和物理或几何界
面独立于有限元网格。
XFEM 主要包括以下三部分内容：首先是不考虑构件的任
何内部细节，按照构件的几何外形尺寸生成有限元网格；其次，采用水平集方法
跟踪裂纹的实际位置；根据已知解，改进影响区域的单元的形函数，来反映裂纹
的扩展。
最后通过引入不连续位移模式来表示不连续几何界面的演化。
因为改进
的插值函数在单元内部具有单元分解的特性，其刚度矩阵的特点与常规有限元法
的刚度矩阵特性保持一致。
单元分解法(Partition Of Unity Method)和水平集法
（Level Set Method ）、节点扩展函数构成了扩展有限元法的基本理论，其中，单
元分解法是通过引入加强函数计算平面裂纹扩展问题，保证了XFEM 的收敛性；
水平集法是跟踪裂纹的位置和模拟裂纹扩展的常用数值方法，任何内部几何界面
位置都可用它的零水平集函数来表示。
(1)单元分解法的基本思想是任意函数()x φ都可以用子域内一组局部函数
()()x x N I ϕ表示，满足如下等式：
()()()x x N x I
I ϕφ∑= （1）
其中，它们满足单位分解条件：f I I
åx ()=1 ()x N I 是有限元法中的形函数，根
据上述理论，便可以根据需要对有限元的形函数进行改进。
在XFEM 中，单元
分解的目的是进行数值积分，达到不引人额外的自由度的目的[7-8]。
(2)水平集法 使用水平集法来描述几何间断性。
在一般情形下，多用来追踪
界面的位置。
这里的界面可以是闭合曲线或者是计算域边界的曲线。
在扩展有限
元方法中，由于网格划分并不需要符合裂纹的几何性质，简化裂纹跟踪位置的关
键是对裂纹的几何描述。
而水平集法的强大优势是可以用于分析和计算界面运
动。
正好符合扩展有限元方法的要求即对于任意方向的裂纹增长不需要网格重
划。
裂纹的水平集函数常取下列符号的距离函数即:
()()
γγγψx x t x t x -±=∈min , (2) 若x 位于裂纹上方，上式符号为正，反之为负[9-10]。
(3)扩展有限元法的位移模式（节点扩展函数简介）：
扩展有限元法的基本内容就是在含有位移不连续性的影响区域内通过一些
附加的加强函数来多常规有限元法的位移模式进行改进，进而对不连续的位移进
行描述。
为了实现断裂分析，裂纹尖端附近渐近函数用来模拟裂尖的应力奇异性，
间断函数则用来表示裂纹几何界面处的位移间断跳跃。
所以改进的位移逼近可以
写为:
()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑∑==411ααααI I I N
I I b x F x H u x N u (3)
其中，()x N I 为有限元形函数，I u 为节点位移向量的连续部分，I α为与
Heaviside 函数相关的节点扩展自由度向量，()x H 是裂纹面的间断跳跃函数，α
I b 是与弹性渐进裂尖函数有关的节点扩展自由度向量，()x F α是裂尖应力渐进函数。
等式右边第一项可用于构件中的所有节点，右边第二项单元节点形函数被裂纹完
全贯穿的情况，第三项裂尖停留在单元内部的节点。
引入位移扩展函数使得扩展有限元法确保裂尖可以被模拟为精确地停留在
单元内部，同时允许在相对粗糙的二维有限元网格上获得比较好的精度[11]。
1.2扩展有限元方法研究现状
1.1.1 有限元法研究裂纹扩展
有限元方法是目前来说应用非常广泛的数值计算方法之一，对弹性体进行模
拟裂纹扩展时，有限元网格的划分对整个计算过程最为重要，它不仅仅影响着计
算的精度和速率，而且还决定着此计算过程能否顺利进行。
模拟裂纹扩展问题的
关键是裂纹尖端处的应力场，所以裂纹尖端处的单元应当设计为奇异性单元，并
且在尖端领域内进行局部加密来提高计算精度，计算网格随着裂纹的扩展而不断
变化，用来保证奇异性单元和加密网格始终位于裂纹尖端[12] ，综上，网格的重新划分在有限元法模拟裂纹扩展过程中是非常关键的一个问题。
很多文献关于有限元方法模拟裂纹扩展过程的裂纹尖端处的网格生成进行了研究，比如杨庆生的《断裂过程的有限元模拟》中研究了自身适应的模拟裂纹扩展的有限元网格生成技术。
还有2003年陈永强和姚振汉在有限元技术的基础上，对表征非均匀材料且初始分布并不均匀的格子模型用重复多子域边界元法对非均匀材料在简单荷载作用下的破坏过程进行了相关研究和模拟。
诸如对裂纹扩展过程模拟的研究还有很多，但是有限元法是基于网格的数值方法，由于裂纹尖端的奇异性和强不连续性，使得网格划分变得困难，还是没有完全解决此类问题。
1.1.2扩展有限元方法研究裂纹扩展
扩展有限元方法（the extended finite method—XFEM）可以减少裂纹面网格划分带来的劣势。
该方法基于整体划分（单元分解）的概念，仍然属于传统有常规有限元方法的扩展。
整体划分的概念使扩展函数方便地进入到有限元当中，不连续性也可以通过引入额外自由度的扩展函数来解决，即可以确定裂纹的实际位置，跟踪裂纹的生长[13]。
当然，扩展有限元方法保留了传统有限元的框架，其刚度矩阵具有与常规有限单元一样的优点。
具有以下特点：
（1）单元划分的常规有限元扩展
（2）引入特殊的位移函数，扩展自由度实现不连续性
（3）不需要重新划分网格描述几何间断性
（4）所划分网格与构件的几何或物理界面无关
（5）可用于模拟任意性、求解相关路径裂纹的裂纹初始和扩展过程
（6）同时允许几何和材料的非线性的存在
（7）裂纹的生成与扩展路径可以完全基于计算的结果
（8）简化模型网格细化后的裂纹研究
（9）在裂尖应变奇异性改进方法的基础上，使裂纹分析的收敛速度得到提高
1.3断裂力学中裂纹相关内容
断裂力学的任务是：获得不同材料的断裂强度；预测物体在给定外力作用下是否将发生断裂，即建立材料断裂准则；研究载荷作用过程里的裂纹扩展规律；研究在复杂环境和应力同时作用下物体的断裂问题。
裂纹扩展有三种基本形式：张开型、滑开型以及撕开型。
在工程应用与实际
生产中，并非所有的断裂问题都可简化为上述三个基本模式之一，还有复合型断
裂是三种基本模式的组合，也是最常见的裂纹类型。
在断裂力学中，有最为基本
的理论即：能量释放率理论、裂纹尖端弹性应力场理论、J 积分理论[14]。
（1）能量释放率（G ）理论：
R G G C =≥ (4)
其中R 是裂纹扩展的阻力，C G 是G 达到R 时的临界值。
该理论认为材料对
裂纹扩展的阻力等于弹性表面能与伴随裂纹产生的塑性应变功之和，成功的
解释了裂纹扩展现象，为线弹性断裂力学的发展奠定了基础。
（2）裂纹尖端应力场理论：
C K K = (5)
应力强度因子K 不仅仅适用于稳定的裂纹扩展，还适用于应力腐蚀和疲劳之
类的亚裂纹扩展。
（3）J 积分理论：
ds x
u T
wdy J ⎰Γ∂∂-= (6) 是一个回路积分,由Rice 提出，J 积分是一个与积分路径无关的常数，J 积分和 应力强度因子K 一样反映裂纹尖端的力学特性的。
1.4 本章内容小结
本章内容详细介绍了扩展有限元方法（XFEM ）的基本理论和内容，包括单位分
解法、水平集法、引入节点扩展函数表征扩展有限元方法描述裂纹的位移模式，
以及扩展有限元方法基本特点和它的发展，以及与有限元方法模拟裂纹的对比，
最后还简要的介绍了断裂力学中裂纹的相关基本理论。