第二组 会议筹备方案分析与模型设计

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页

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全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 会议筹备方案分析与模型设计 摘要 本文通过合理的假设和数学推理建立数学模型，对给出的本届会议代表回执中的有关信息和往届会议代表与会有关数据进行综合分析，利用MATLAB软件进行曲线拟合,估算出了本届与会代表的人数约为639人。依据此数据，通过建立模型，分别制定了预定宾馆客房、租借会议室和租用客车的合理方案。

模型1 预定宾馆客房规划模型 以选择的宾馆数量最少、宾馆间距离上最靠近为两个目标函数，同时考虑与会代表在价位、是否独住两方面的约束，通过建立多目标规划模型来制定一个预定宾馆客房的合理方案。利用Lingo软件求解，并通过合理的调整，得出需要预定的宾馆数量为4，代号分别为1、2、3、7，同时也得到了每间宾馆需要的客房规格以及相应的间数。

模型2 租借会议室规划模型 首先对参加分组会议的每组人数做出平均假设，然后根据人数对由模型1所得到的预定宾馆进行筛选会议室，以租用会议室总和为6作为约束条件，租借会议室的总价格最低为目标函数，建立线性规划模型，最终得到了各预定宾馆内租借会议室的规模及数量，以及总的租借费用。

模型3 租用客车规划模型 利用模型1和模型2的结果，以尽可能地在租借较多会议室的宾馆内安排较多的代表入住为原则，得出了一套较为合理的安排代表入住宾馆客房的具体方案。在此基础上，利用概率理论，估算出各宾馆间需乘车的人数，然后制定了一种较好且合理的客车行驶路线。在宾馆之间无论距离是多少都需用车的前提下，以满足代表需求使代表满意为条件，租用客车总租金最为目标函数，建立线性规划模型，得到了至少需要各种类型客车的数量，并计算出至少所需的租金。

关键词：数学建模 曲线拟合 多目标规划 线性规划 一 问题的提出 某市的一家会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性会议，会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表。由于预计会议规模庞大，而适于接待这次会议的几家宾馆的客房和会议室数量均有限，所以只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿。为了便于管理，除了尽量满足代表在价位等方面的需求之外，所选择的宾馆数量应该尽可能少，并且距离上比较靠近。 筹备组经过实地考察，筛选出10家宾馆作为备选，它们的名称用代号①至⑩表示，相对位置见附图，有关客房及会议室的规格、间数、价格等数据见附表1。 根据这届会议代表回执整理出来的有关住房的信息见附表2。从以往几届会议情况看，有一些发来回执的代表不来开会，同时也有一些与会的代表事先不提交回执，相关数据见附表3。附表2，3都可以作为预订宾馆客房的参考。 需要说明的是，虽然客房房费由与会代表自付，但是如果预订客房的数量大于实际用房数量，筹备组需要支付一天的空房费，而若出现预订客房数量不足，则将造成非常被动的局面，引起代表的不满。 会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议，筹备组需要在代表下榻的某几个宾馆租借会议室。由于事先无法知道哪些代表准备参加哪个分组会，筹备组还要向汽车租赁公司租用客车接送代表。现有45座、36座和33座三种类型的客车，租金分别是半天800元、700元和600元。 本文需要解决的问题是通过数学建模方法，从经济、方便、代表满意等方面，为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案。

二 模型的基本假设 （1） 入住宾馆男女不合住。 （2） 上下午中6个分组会议同一时间开始。 （3） 客车在不同路段行驶时平均车速相同。 三 符号的说明 符号 表示的意义 x 发来回执的代表数量

y 发来回执但未与会的代表数量

z 未发回执与会的代表数量

ijx 需要第i号宾馆第j种规格的数量

ix 需要第i号宾馆的房间总数

iy 第i号宾馆是否被预订

ij 第i间宾馆与第j间宾馆之间的距离

ijm 按表5中的顺序所需第i间宾馆第j种会议室的数量

ijC ijm相对应的会议室价格

ijK ijm相对应的会议室间数

iC 45座、36座、33座类型客车的半天租金)3,2,1(i

i 2号宾馆出发需要45座、36座、33座类型客车的数量)3,2,1(i

i 3号宾馆出发需要45座、36座、33座类型客车的数量)3,2,1(i 四 模型的建立与求解 本节分为三大部分，第一部分是通过建立多目标规划模型[1][2][3]来制定一个预定宾馆客房的合理方案。模型一中以选择的宾馆数量最少、宾馆间距离上最靠近为2个目标函数，同时考虑与会代表在价位、是否独住两方面的约束。第二部分是通过建立线性规划模型来制定租借会议室的合理方案。模型二是以租借会议室的总价格最低为目标函数。第三部分是通过建立线性规划模型来制定租用客车的合理方案。模型三是在满足与会代表需求的条件下，以租用客车所需租金最少为目标函数。 4.1 预定宾馆客房方案 4.1.1 数据的处理 我们首先根据附表2和附表3的信息来估算与会的代表的人数。

设x为发来回执的代表数量，y为发来回执但未与会的代表数量，z为未发回执与会的代表数量，根据附表3的信息且利用Matlab软件[4]的曲线拟合可以得出x与y的函数关系为：4592.02995.0xy。用此函数拟合的效果如图所示： 图1 发来回执但未与会的代表数量与发来回执的代表数量 之间的曲线拟合图

也可得出x与z的函数关系为：4212.271094.0xz。曲线拟合如下图： 图2 未发回执与会的代表数量与发来回执的代表数量 之间的曲线拟合图

利用附表2的信息可计算出本届发来回执的代表数量为755人，利用上面所得出的拟合函数，可估算出本届发来回执但未与会的代表数量为： 2274592.07552995.0 本届未发回执而与会的代表数量为： 1114212.277551094.0 故本届与会代表的数量可估算为： 639111227755。 根据附表2由此可以估算与会代表有关住房要求的信息（单位：人），如下表： 表1 与会代表人数及需要的房间数 合住1 合住2 合住3 独住1 独住2 独住3 合计 男 131 88 28 90 57 34 639 女 67 41 15 49 23 16

需要的房间数 100 66 22 139 80 50 457

4.1.2 模型一的分析 建立这个模型的目的是为了制定一个预定宾馆客房的合理方案。

根据附表1的信息我们假设ijx为需要第i号宾馆第j种规格的数量（比如需

要1号宾馆普通双标间的数量记为11x），ix为需要第i号宾馆的房间总数，iy为0-1变量，表示第i号宾馆是否被预订，若被预订则为1，否则为0。即 0001iiixx

y，

由于预计会议规模庞大，而适于接待这次会议的几家宾馆的客房和会议室数量均有限，所以只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿。结合实际，主要制定合理的预定宾馆客房的方案，以满足如下两个需求因素： 目标1：选择的宾馆数量最少； 目标2：宾馆间距离上最靠近。

目标分析： 在保证选择的宾馆数量尽可能少的同时，对距离也要求比较靠近。 目标1可表示为:

1011miniiyZ （1）

我们统计出10间宾馆各间宾馆之间的乘车距离，如下表： 表2 各宾馆间的乘车距离（单位：米） 宾馆代号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 150 850 650 600 600 300 500 650 1300 2 700 500 750 750 450 650 800 1450 3 250 1500 1500 1200 1000 1150 2200 4 1250 1250 950 1150 1300 1950 5 600 300 500 650 1300 6 300 500 350 700 7 200 350 1000 8 150 1200 9 1050 10

为了满足距离上最靠近，可考虑入住宾馆各间之间的距离之和达到最小。 假设ij为第i间宾馆与第j间宾馆之间的距离。易知jiij，0ii。则目标2可表示为：

ijiiijiyyZ1011012min （2）

其中ij为第i间宾馆与第j间宾馆之间的距离。 约束分析： 与会代表回执中（附表2）不仅对每间住房有价格上的要求，而且也同时要求合住或独住。价格上分每天每间120～160元、161～200元、201～300元三种不同的价格，合住是指要求两人合住一间，独住是可安排单人间，或一人单独住一个双人间。 因此，在安排住房时，应先考虑双人合住的数量。故由表1有如下约束： ① 合住1和独住1满足的总房间数

1391008272716152514133312221xxxxxxxxxxx； （3）

满足合住1的房间数 1008271525141xxxxx； （4） ② 合住2和独住2满足的总房间数 80668381636253423224231311xxxxxxxxxxx； （5）

满足合住2的房间数 668162534232242311xxxxxxxx； （6） ③ 合住3和独住3满足的总房间数 50221021019493929173641412xxxxxxxxxx； （7）

满足合住3的房间数 2210210193916412xxxxxx； （8） 其中，ijx为需要第i号宾馆第j种规格的数量。

4.1.3 模型一的建立与求解 针对这个多目标决策问题，基于4.1.2的分析，以（1）（2）为目标，以（3） ~（8）为约束，建立多目标规划模型如下：

1011miniiyZ

ijiiijiyyZ1011012min ..ts

0001iiixx

y

4111jjxx,4122jjxx,3133jjxx,2144jjxx3155jjxx

4166jjxx,3177jjxx,3188jjxx,4199jjxx,211010jjxx

5011x,3012x,3013x,2014x,5021x,3522x,3023x

3524x,5031x,2432x,2733x,5041x,4542x,3551x