自主招生 导数
清华大学自主招生数学试题解析
清华大学自主招生数学试题解析一、引言近年来，自主招生考试逐渐成为高等教育选拔的重要方式之一。
作为中国顶尖的学府之一，清华大学在自主招生中具有极高的影响力和标准制定地位。
数学作为基础学科，是清华大学自主招生考试的重要科目。
本文将对清华大学自主招生数学试题进行解析，探讨其考察内容、特点及应对策略。
二、考察内容1、基础知识：清华大学自主招生数学试题中，基础知识考察占据较大比例。
包括但不限于高中数学中的函数、数列、三角函数、概率与统计等。
2、知识运用：除了基础知识外，试题还注重考察考生对数学知识的运用能力。
例如，通过实际应用题或几何题的形式，要求考生运用数学知识解决实际问题。
3、思维能力：清华大学自主招生数学试题注重考察考生的思维能力，包括逻辑推理、归纳分类、化归等能力。
这类题目通常需要考生灵活运用数学知识，通过猜想、归纳、推理等方式寻找解题思路。
4、创新精神：自主招生数学试题还注重考察考生的创新精神和实践能力。
这类题目通常以开放式问题的形式出现，要求考生从不同角度思考问题，寻找独特的解题方法。
三、特点分析1、覆盖面广：清华大学自主招生数学试题涉及的知识面较广，要求考生具备扎实的数学基础和广泛的知识储备。
2、难度适中：试题难度适中，既考察了考生的基础知识，又对其思维能力、创新能力进行了充分挑战。
3、突出重点：试题突出对重点知识的考察，如函数与方程、数列与不等式、平面几何等，要求考生对重点知识有深入理解和掌握。
4、强调应用：试题强调对数学知识的应用能力，通过设置实际应用题等方式，引导考生数学在实际生活中的应用价值。
四、应对策略1、巩固基础知识：针对清华大学自主招生数学试题中基础知识的考察，考生应注重巩固高中阶段的基础知识，尤其是函数、数列、三角函数等重点内容。
2、提高运用能力：在掌握基础知识的前提下，考生应注重提高对数学知识的运用能力。
通过练习实际应用题、几何题等类型，提高解决实际问题的能力。
3、培养思维能力：考生应在平时的学习中注重培养逻辑推理、归纳分类、化归等思维能力。
初中数学北大自主招生试卷
一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列各数中，绝对值最小的是（）A. -3.5B. -2.3C. -1.8D. -1.62. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点是（）A.（-2，3）B.（2，-3）C.（-2，-3）D.（2，3）3. 下列方程中，解集为空集的是（）A. x^2 - 4 = 0B. x^2 - 2x + 1 = 0C. x^2 + 2x + 1 = 0D. x^2 - 2x + 5 = 04. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5 = 15，S10 = 50，则数列的公差d是（）A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(-1)的值是（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（每题5分，共20分）6. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则a10 = ________。
7. 在直角坐标系中，点P（-3，2）到直线2x - 3y + 6 = 0的距离是 ________。
8. 函数f(x) = x^3 - 3x在x = 0处的导数是 ________。
9. 等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，q = 3，则S5 = ________。
10. 在△ABC中，∠A = 45°，∠B = 60°，∠C = 75°，则cosA + cosB + cosC = ________。
三、解答题（每题10分，共40分）11. （10分）已知函数f(x) = ax^2 + bx + c，且f(1) = 3，f(2) = 7，f(3) = 11，求a、b、c的值。
12. （10分）已知数列{an}是等差数列，且a1 = 2，公差d = 3，求前n项和Sn的表达式。
13. （10分）在直角坐标系中，已知点A（2，3）和B（-3，-2），求直线AB的方程。
14. （10分）已知函数f(x) = x^2 - 4x + 5，求f(x)在区间[1，3]上的最大值和最小值。
极限、导数与定积分
( f [ϕ ( x)])′ =
f ′[ϕ ( x)]ϕ ′( x) .
3. 导数的应用 （1）利用导数研究函数的单调性 ①在区间 (a, b) 内，若 f ′( x) > 0 ，则函数 y = f ( x) 在这个区间内单调递增.
②在区间 (a, b) 内，若 f ′( x) < 0 ，则函数 y = f ( x) 在这个区间内单调递减. （2）利用导数求函数的极值 ①极值的必要条件：若函数 f ( x) 在 x0 处可导，且在 x0 处取得极值，则
2
数学竞赛与自主招生专题讲义
第 讲 极限、导数与定积分
整理、编写：孟伟业
反思 感悟 拓展 提升：
（3）复合函数的导数 设函数 y = f (u ) ， u = ϕ ( x) ，已知 ϕ ( x) 在 x 处可导， f (u ) 对应的点 u （ u = ϕ ( x) ） 处 可 导 ， 则 复 合 函 数 y = f [ϕ ( x)] 在 点 x 处 可 导 ， 且
第 讲 极限、导数与定积分
a
整理、编写：孟伟业
反思 感悟 拓展 提升：
①若 f ( x) 是 [−a, a ] 上的奇函数（如下图左） ，则 ∫ f ( x)dx = 0 ；
x0 x y0 y − 2 =1； a2 b
④设 P( x0 , y0 ) 是抛物线 y 2 = 2 px 上一点，则过 P( x0 , y0 ) 的抛物线切线方
程为 y0 y = p ( x + x0 ) .
2. 导数的运算 （1）常见函数的导数公式
① ( kx + b )′ = k ② C′ = 0 ③ ( xα )′ = α xα −1 ④ ( a x )′ = a x ln a ⑤ (log a x)′ = （ k , b 为常数） （ C 为常数） （ α 为常数） ⑥ ( e x )′ = e x
北京大学自主招生数学2016
2016北大自主招生数学试卷A1、函数的单调递增区间为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B函数的定义域为，设，其单调递增区间为，单调递减区间为，且单调递减，因此的单调递增区间为.2、对于任意给定的所在平面上的点满足，，的面积相等，则这样的点的个数是（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）前三个答案都不对 【解析】D为△的重心，或者四点构成平行四边形.3、圆内接四边形中，，则它的外接圆直径为（ ） （A ）170 （B ）180 （C ）（D ）前三个答案都不对 【解析】A注意到，即，故由余弦定理可得解得，故外界圆直径为，.4. 正方体的8个顶点中任取3个构成三角形，则三角形是等腰三角形的概率为（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B 由题意易知只有对角面上的三角形不是等腰三角形故 ()()20.5log 2f x x x =-++11,2æö-ç÷èø122æöç÷èø，12æö+¥ç÷èø，()f x ()1,2-()()2212g x x x x =-++-<<11,2æö-ç÷èø122æöç÷èø，()()0.5log f x g x =()()20.5log 2f x x x =-++122æöç÷èø，ABC D P PAB D PBC D PAC D P P ABC ,,,A B C P ABCD 136,80,150,102AB BC CD DA ====222215013610280-=-222215080136102+=+222222cos 2cos BD BC DC BC DC C BA DA BA DA AA C pì=+-×=+-×í+=î2A C p==BD 170BD =1247383864417P ´=-=C5、已知，为整系数多项式且，则 的各项系数之和为（ ）（A ）8 （B ）4 （C ）2 （D ）前三个答案都不对 【解析】A易知为二次多项式，设，代入得，对照系数可得，解得则各项系数之和为8.6、设，则的取值范围为（）（A ） （B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B，即即，.7、实系数方程的根都不是实数，其中两个根的和为，另两根的积为，则等于（ ）（A ）11 （B ）13 （C ）15（D ）前三个答案都不对 【解析】C()234f x x x =-+()g x ()()432318506948f g x x x x x =++++()g x ()g x ()2g x Ax Bx C =++()()()()22234f g x Ax Bx CAxBx C =++-+++2223361836506693448A AB B AC A BC B C C ì=ï=ïï+-=íï-=ïï-+=î134A B C =ìï=íï=î()g x ()0,2x p Î2=x 02p æöç÷èø，2p p æöç÷èø，32p p æöç÷èø，2=cos sin 2cos sin x xx x-=cos 0x >sin 0x <4320x ax bx cx d ++++=2i +56i +b故由韦达定理可得，8、54张扑克牌，将第1张扔掉，第2张放到最后，第3张扔掉，第4张放到最后，依次下去，最后手上只剩下一张牌，则这张牌在原来的牌中从上面数的第几张（ ） （A ）30 （B ）32 （C ）44 （D ）前三个答案都不对 【解析】C第一轮依次剩下的倍数，，，…，，第二轮依次剩下的倍数，，，…，，（最后一张扔掉54，开始第三轮）第三轮依次剩下模8余4的数，，，，，，，，（第四轮以扔掉4开始） 第四轮剩下的数，12，28，44， 第五轮剩下的数，12，44 最后剩下44.9、的个位数字为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）5 （D ）前三个答案都不对 【解析】C易知数字为一个奇数，可以被5整除.10、设为有限集合，为的子集，且对每个，都有，则一定有中某个元素在至少多少个中出现（ ）（A ）403 （B ）404 （C ）2016 （D ）前三个答案都不对 【解析】B由抽屉原理，可知选B11、四个半径为1的球两两相切，则它们的外切正四面体的棱长为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】B()4a z w z w =-+++=-()()b zz zw zw zw zw ww z w z w zw zw =+++++=++++15=()()c zzw zzw zww zww zw z w zw z w =+++=+++8=61d zwzw =-=-22454448524122028364452()()()()23201621212121+++×××+S 122016,,,A A A ×××S i 15i A S ³S iA (21+(21(22+由棱长为的正四面体的内切球半径为, 设由四个球心所构成的正四面体为,其棱长为，内切球半径设大四面体的内切球半径为，则，则大四面体的棱长12、空间中点集定义如下：，，则由中的点组成的图形的体积等于（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】C 对于每一个，易得，，.故一定，我们考虑极限情况故为三维分别为的长方体，.13、满足等式的正整数的个数为（ ）（A ）0 （B ）1001 （C ）2002 （D）前三个答案都不对 【解析】D答案为4002，由,即, 即 于是,即,故要求,即,14、已知对任意，方程在上至少有一个根，则 等于（ ）（A ）1 （B ）2（C ）3 （D ）前三个答案都不对 【解析】B取，此时，故至少一个属于，a1234O O O O 2r ¢r 116r r ¢=+=+126a ö+=+÷÷ø(){}3,,|381nnnn A x y z xy z =Î++£R 1n n A A ¥==!A 14121n A 1x £1y £1z £+1n n A A Í1n n A A ¥==!(){}3lim ,,|1,81,1n A x y z x y z ==Σ££R A 12,2,41V =2002n éé=ëën 2002200120021´=<20022001200220011´<<´+20022001é=´ë200220012002n é´´=ë2001n é=ë200120011n n £<+2001n 4002n £[]122016,,0,4x x x ×××Î201612016i i x x a =-=å[]0,4a 1220162x x x ====!2x a -=2,2a a +-[]0,4若，综合只能，若，综合只能，排除C 取，此时，此时只能.综合可知选B.15、已知关于的方程有两个不同的非零整数根，则有可能等于（ ） （A ）一个素数 （B ）2的非负整数次幂 （C ）3的非负整数次幂 （D ）前三个答案都不对 【解析】D 方程为，设整数根为，由韦达定理的知识可得. 且，，此时，排除A 由平方数模3余0或者1，可得C 错误.由平方数模4余0或者1，且，知余至少一个模4余1或者2.则要是2的幂只能，与矛盾.16. 用表示距离，则的值为（ ） （A ）1015056 （B ）1017072 （C ）1019090 （D ）前三个答案都不对 【解析】B先考虑的解的个数，由，知当满足，会使得，其个数为，这个片段的和刚好为，则刚好需要个这个片段， 所以17、已知对于实数，存在实数，满足，，则这样的实数 的个数为（ ）（A ）1 （B ）3 （C ）无穷个 （D ）前三个答案都不对 【分析】[]20,4a +Î[]0,2a Î[]20,4a -Î[]0,2a Î1210080x x x ====!1009101020164x x x ====!42x x a +-=2a =x 21x ax b ++=22a b +210x ax b +-+=,m n ,a b ÎZ ()a m n =-+1b mn -+=()()22222222111a b m n m n m n +=+++=++m n ¹21m +21n +1m n ==m n ¹n a 121112016na a a ++×××+=n n a k =221124k k k æö+=++ç÷èøn ()()22111k k n k k -+-+££+n a k =2k 2100824620171017072x =++++=L a ,b c 3333a b c abc --=()22a b c =+a 3333a b c abc ++-()()333a b c ab a b c =++-++()()()223a b c a b a b c c ab éù=+++-++-ëû()()222a b c a b c ab bc ca =++++---【解析】B 由因式分解常见公式， 可得 故要么，此时，解得或；要么，此时，此时解得或18、三角形的三个顶点分别对应复数，已知，则三角形的面积与其最长边长的平方的比等于（ ） （A ）（B ） （C ） （D ）前三个答案都不对 【解析】A由，得到，且由余弦定理可得，故最长边为19.将这100个数分成3组满足第一组中各数之和是102的倍数，第二组中各数之和是203的倍数，第三组中各数之和是304的倍数，则满足上述要求的分组方法数为（ ） （A ）1 （B ）3 （C ）6 （D ）前三个答案都不对 【解析】D 设三组之和分别为，，，,则，易得，结合是正整数，； 同样的得到,,又，得到，显然不可能.20、已知，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 不确定 D. 三个均不正确 【解析】A()()3332223a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---()()33322203a b c abc a b c a b c ab ac bc =---=--++++-a b c =+()22a b c =+0a =2a =2220a b c ab ac bc ++++-=()()()222102a b a c b c éù++++-=ëûb c a ==-0a =4a =-ABC 123,,z z z 213112z z i z z -=+-ABC 1516112213112z z i z z -=+-c =cos A =sin A =2a b =c =21sin 2ABC S bc A b D ==1,2,,100×××102x 203y 304z *,,x y z ÎN 1022033045050x y z ++=5050102203505010222031304304x y z ---´-´=£z 15z £22y £42x £()101235050x y z x y z +++++=101|x y z ++2016x y z ++=11112016x y z ++=()()()201620162016x y z ---由已知可得，，即,2016x y z ++=12016xy yz zx xyz ++=()2016xyz xy yz zx =++()()()201620162016x y z ---()()23201620162016xyz xy yz zx x y z =-+++++-0=。
初升高自主招生——函数(含答案)
初升高自主招生研讨——函数（含答案）【涉及知识点、思想、方法等】1、函数初步（正比例、反比例、一次、概念等）（1）函数概念、应用题等（2）正比例函数、一次函数、反比例函数等（3）一次函数、直线（高中解析几何）2、二次函数（1）思想：数形结合、分类讨论（2）基础问题（求方程、增减性、定点、图像平移、判别式、韦达定理等）（3）三个“二次”（函数、方程与不等式的关系）（4）二次函数的值域问题（定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间等）（5）一元二次方程根的分布定理（8常3特）3、函数综合题（二次函数背景下的几何问题，例面积问题、将军饮马等）4、绝对值问题与高斯函数（1）绝对值函数（分类讨论、数轴分析、中位数定理等）（2）图像翻折（内翻、外翻）（3）高斯函数（不等式、分类讨论结合）5、解析几何问题（坐标系定义、对称问题等）【题型一】函数初步（正比例、反比例、一次、概念等）1、向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示， 那么水瓶的形状是（ ）【参考答案】B2、已知函数()223143m m y m m x-+=-+是反比例函数，则实数m =（ ）1A m =、 =2B m 、 12C m =、或 =2D m 、 【参考答案】D3、如果()3,4是反比例函数y =221m m x+-图像上的一点，那么此函数必定经过点( )A 、()2,6B 、 ()2,6-C 、 ()4,3-D 、()3,4-【参考答案】A4、直线1=-y x 与反比例函数xky =的图像如果恰有一个交点，则该交点必定在第 象限。
【参考答案】四5、如图,A B 是双曲线(0)ky k x=>上的点，,A B 两点横坐标分别是,2a a ，线段,A B 的延长线 交x 轴于点C ，若6AOC S =V ，则K= 。
【参考答案】46、已知函数()c f x b x a =+-（c ≠0）的对称中心为(),a b ，试回答：42()3x f x x +=-的对称中心 为___________。
清华大学自主招生试题 数学 Word版含解析
一、选择题1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2111-1z z +-=（ ） (A)0 (B)1 (C)12 (D)322.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( )(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥22(C)直线AB 过抛物线y=2x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于14.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②()f x +()f y =()1x yf xy++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)−kx 有（ ）(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C=3π，且sinC+sin(B −A)−2sin2A=0,则有（ ） (A)b=2a (B)△ABC 的周长为3 (C)△ABC 的面积为33(D)△ABC 的外接圆半径为337.设函数2()(3)xf x x e =-，则（ ）(A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b>36e(D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0<b<36e 8.已知A={(x,y)∣222x y r +=}，B={(x,y)∣222()()x a y b r -+-=，已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )}，则（ ）(A)0<22a b +<22r (B)1212()(y )0a x x b y -+-= (C)12x x +=a ，12y y +=b (D)22a b +=1122ax by +9.已知非负实数x,y,z 满足22244x y z +++2z=3，则5x+4y+3z 的最小值为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)410.设数列{n a }的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n S =m a ，则（ ）（A ）{n a }可能为等差数列 （B ）{n a }可能为等比数列（C ）{n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n a =m S11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ） (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁12.长方体ABCD −1111A B C D 中，AB=2，AD=A 1A =1，则A 到平面1A BD 的距离为（ ）(A)13 (B)23(C)22 (D)6313.设不等式组||||22(1)x y y k x +≤⎧⎨+≤+⎩所表示的区域为D ，其面积为S ，则（ ）(A)若S=4，则k 的值唯一 (B)若S=12，则k 的值有2个(C)若D 为三角形，则0<k ≤23(D)若D 为五边形，则k>4 14.△ABC 的三边长是2,3,4，其外心为O ，则OA AB OB BC OC CA ⋅+⋅+⋅=（ ） (A)0 (B)−15 (C)−212(D)−29215.设随机事件A 与B 互相独立，且P(B)=0.5，P(A −B)=0.2，则（ ）(A)P(A)=0.4 (B)P(B −A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.916.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ） (A)最小值为34 (B)最小值为45 (C)最大值为43 (D 最大值为5417.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ）(A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种18.已知存在实数r ，使得圆周222x y r +=上恰好有n 个整点，则n 可以等于（ ） (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z 满足2|z|≤|z −1|，则（ ） (A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为13 (C)z 的虚部的最大值为23(D)z 的实部的最大值为1320.设m,n 是大于零的实数，a =(mcosα,msinα)，b =(ncosβ,nsinβ)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π)．定义向量12a =(2m α2m α),12b =(2n β2n β)，记θ=α−β，则（ ）(A)12a ·12a =a (B)1122a b ⋅=2mn θ(C)112222||44a b mn θ-≥(D)112222||44a b mn θ+≥21.设数列{n a }满足：1a =6，13n n n a a n++=，则（ ） (A)∀n ∈N ∗,n a <3(1)n + (B)∀n ∈N ∗,n a ≠2015 (C)∃n ∈N ∗,n a 为完全平方数 (D)∃n ∈N ∗, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（ ） （A ）ρ=1cos sin θθ+ （B ）ρ=12sin θ+ （C ）ρ=12cos θ- （D ）ρ=112sin θ+23.设函数2sin ()1xf x x x π=-+，则（ ）（A ）()f x ≤43(B)|()f x |≤5|x| (C)曲线y=()f x 存在对称轴 (D)曲线y=()f x 存在对称中心24.△ABC 的三边分别为a ,b,c ，若△ABC 为锐角三角形，则（ ） (A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)222a b c +> (D)333a b c +>25.设函数()f x 的定义域是(−1,1)，若(0)f =(0)f '=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（ ） (A)()f x >0，x ∈(−δ,δ) (B)()f x 在(−δ,δ)上单调递增 (C)()f x >1，x ∈(0,δ) (D)()f x >1，x ∈(−δ,0)26.在直角坐标系中，已知A(−1,0)，B(1,0)．若对于y 轴上的任意n 个不同的点k P (k=1,2,…,n)，总存在两个不同的点i P ,j P ，使得|sin ∠A i P B −sin ∠A j P B|≤13，则n 的最小值为（ ）(A)3 (B)4 (C)5 (D)627.设非负实数x,y 满足2x+y=1，则22x y + ）(A)最小值为45 (B)最小值为25(C)最大值为1 (D)最大值为12328.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（ ）(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多(C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有（ ） (A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个30.设曲线L 的方程为42242(22)(2)y x y x x +++-=0，则（ ） (A)L 是轴对称图形 (B)L 是中心对称图形 (C)L ⊂{(x,y)∣22x y +≤1} (D)L ⊂{(x,y)∣−12≤y ≤12} ##Answer## 1.【解析】2111-1z z +-=211-zz z zz z +-=11-z z z z +-=22cos sin 1332221-cos sin 2sin 333i i i πππππ-+--=212sin 2sincos333i πππ-⋅-22cos()sin()333(cossin )22i i ππππ-+-+ =cos 0sin 02sin [cos()sin()]366i i πππ+-+-77)sin()]663i ππ-+- 31sin )6623i i ππ+=1，选B2.【简解】 ()p q k l a a a a +-+=[(p+q)-(k+l)]d ，与公差d 的符号有关，选D3.【解析】设A(211,x x ),B(222,x x ),OA OB ⋅=1212(1)x x x x +=0⇒211x x =-答案(A),||||OA OB ⋅2211221111(1)(1)x x x x ++2121111x x +++11122||||x x +⋅=2，正确；答案(B),|OA|+|OB|≥2||||OA OB ⋅22,正确；答案(C),直线AB 的斜率为222121x x x x --=21x x +=111x x - 方程为y-21x =(111x x -)(x-1x ),焦点(0,14)不满足方程，错误；答案(D)，原点到直线AB ：(111x x -)x-y+1=0的距离2111()1x x -+1，正确。
竞赛与自主招生专题第04讲：函数的性质
专题第四讲 函数的性质从2015年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。
自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。
在近年自主招生试题中，有关函数的内容大约占20%—30%。
热点问题是方程的根的问题、函数的最值问题（值域）、函数的性质（如周期、有界性等）函数的迭代、简单的函数方程、方程的不动点问题、 函数的图像及解析式等。
而其中特别注意的是，方程的根的问题是考得最多的一个问题。
一、知识精讲设函数)(x f y =的定义域为D 1.单调性：（1）传统定义：在区间[]a b ，上，若12a x x b ≤≤＜，如果12()()f x f x ＜，则()f x 在区间[]a b ，递增；如果12()()f x f x ＞，则()f x 在区间[]a b ，递减；（2）导数定义：在区间[]a b ，上，如果'()0f x ＞，则()f x 在区间[]a b ，递增；如果'()0f x ＜，则()f x 在区间[]a b ，递减；注意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇔--⇔--上为减函数在＜②、上为增函数在＞①、D x f x x x f x f D x f x x x f x f )(0)()()(0)()(212121213.复合函数的单调性：（1）增函数+增函数=增函数 减函数+减函数=减函数 增函数-减函数=增函数 减函数-增函数=减函数 （2）对于取值恒为非负数的函数增函数×增函数=增函数 减函数×减函数=减函数 增函数÷减函数=增函数 减函数÷增函数=减函数 （3）若()f x 、()g x 都是增（减）函数，则(())f g x 为增函数；若()f x 、()g x 一个增函数，一个减函数，则(())f g x 为减函数。
理解概念 熟练应用 灵活构造——谈自主招生考试中的导数备考
例 ３ 已知 ， （ ） 满 足
・
３ ８・
中学教研 （ 数学）
２ ０ １ ３年 ｆ （ ２ ＝ ）＋ ２ ｘ ３ ， ｆ （ ２ ｘ ）
一
一
＝
２
，
从 而
一
：
等 一 ：
解
设 曲线 的切 线 （ 即直 线 Ｚ ） 的切 点为 Ｐ（ ｘ 。 ， Ｙ 。 ） ， 则 由导线 的几 何 意义得 ， 直线 ２ 的斜 率为
＝） ， ： ＝３ ｘ －２ ｘ０—２，
从 而直 线 ｚ 的方程 为
Ｙ—Ｙ ｏ ＝（ ３ ｘ ＂ ２ ｘ 。 一 ２ ） （ 一 。 ） ．
）＝ ｏ ）＝１ ， 所以
即
又 因为
） ＝ 酬 ） ＋ ÷ 【 － 一 （ ÷ ） 】 ￣ Ｘ ２ ＝ ｏ ） ＋ １ ２ ＝ ＋ １ ２ ．
评注 本 题 主要 考查 导 数定 义 式 中极 限 的概 念 ． ＋ Ｙ ）＝ ）＋ 厂 （ ） ， ）＋ ｘ ｙ （ ＋Ｙ ） ， Ｙ － ｆ （ Ｏ ）＝１ ， 求 函数 ） 的解 析式 ． （ ２ ０ ０ ０年 上 海交通 大 学 自主招 生试题 ）
２ ４ ２
一 ： 刍，
２
２
黝
得
一
＾ｎ ＋ １
：
４
＝
口
ｔ
０
Ⅱ
一 、Ｊ
（ ０ ）
在 式（ １ ） 中， 令ｎ － Ｉ － ∞， 则
小
季 ｊ ，
即
） ＝ 等 ３
评 注 本 题主 要考 查导数的 另 一定 义式： — ＾ ＝ ｌ ｉ — Ｕ ＝ ｆ （ ｏ ） ．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
导数训练卷
1.若1212()x x x x ≠、是函数)0()(223>-+=a x a bx ax x f 的两个极值点．（Ⅰ）若
121,13
x x =-=，求函数)(x f 的解析式；
（Ⅱ）若12x x +=b 的最大值.
2．已知对于任意的0x >，恒有ln (1)a x b x ≤-成立。
（1）求正数a 和b 的关系；
（2）若1a =，
设(),(,)f x m mn R =∈，若l n ()(1),x f x b x ≤≤-对0x ∀>恒成立，求函数
()f x 的解析式； （3
）证明：ln(!)2,2)n n n N n >-∈≥
7.已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+ （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围；（3）证明：①ln(1)22+x x -<-∞在（，）上恒成立②
2ln (1)(,n>1)14n
i i n n n N i =-<∈+∑
3.已知函数32()23f x ax x =-，其中0>a ．（Ⅰ）求证：函数)(x f 在区间(,0)-∞上是增函数；（Ⅱ）若函数[]()()()(0,1)g x f x f x x '=+∈在0x =处取得最大值，求a 的取值范围．
4.1()ln(1)(0,)1x f x ax x a R x
+-=++≥∈+ (1)若1a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间；
（3）若函数()f x 的最小值为1，求a 的取值范围。
5. 已知函数x x b ax x f ln 2)(+-=.(I)若)(x f 在2
1,1==x x 处取和极值， ①求a 、b 的值；②存在]2,4
1[0∈x ，使得不等式0)(0≤-c x f 成立，求c 的最小值；(II)当a b =时，
若)(x f 在),0(+∞上是单调函数，求a 的取值范围.（参考数据08.20,389.732≈≈e e ）
6.已知函数2()()x f x ax x e =+，其中ｅ是自然数的底数，a R ∈。
当0a <时，解不等式()0f x >；若()f x 在［－１，１］上是单调增函数，求a 的取值范围；当0a =时，求整数ｋ的所有值，使方程()2f x x =+在［ｋ，ｋ＋１］上有解。
8.已知函数2()2ln(2).f x x x =+ （I ）若函数()()g x f x ax =+在其定义域内为增函数，
求实数a 的取值范围；（II ）设2()2()3(),()h x f x x kx k h x =--∈R 若存在两个零点m ，n
且02x m n =+，证明： 函数00()(,())h x x h x 在处的切线不可能平行于x 轴。
9.已知函数x x ax x f ln )(+=的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为
3．（1）求实数a 的值；（2）若Z k ∈，且1)(-<
x x f k 对任意1>x 恒成立，求证k 的最大值为3；（3）当4≥>m n 时，证明n m m n nm mn
)()(>
10．已知函数()f x 是奇函数，且满足2(2)()0f x f x ++-=，当(0,2)x ∈时，
1()ln ,()2f x x ax a =+<-，当(4,2)x ∈--时，()f x 的最大值为4-
（1）求实数a 的值；
（2）设0b ≠，函数31(),(1,2)3
g x bx bx x =-∈。
若对任意的1(1,2)x ∈，总存在2(1,2)x ∈，使12()()0f x g x -=，求实数b 的取值范围。