基本初等函数求导公式
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(上课)
题型三 商的导数
例 3 求下列函数的导数． (1)y＝sxin2x； (2)y＝xx2＋ ＋33； (3)y＝tanx； (4)y＝x·sinx－co2sx.
【解析】 (1)y′＝x2′·sinsxi－ n2xx2·sinx′ ＝2xsinxs－ in2xx2·cosx. (2)y′＝x＋3′·x2＋x32＋ －3x2＋3x2＋3′ ＝x2＋3x－ 2＋2x3x2＋3＝－x2＋ x2＋ 6x3－23. (3)∵y＝tanx＝csoinsxx， ∴y′＝csoinsxx′＝sinx′cosxc－ os2sxinx·cosx′
f (x) • g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
3.两个函数的商的导数,等于第一个函数的导 数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函 数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即:
f g
(x) (x)
f
(
x)
g
(x) f (
g(x)2
§1.2 导数的计算
探要点·究所然 情境导学
前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基 本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的 定义显得格外轻松.对于由四则运算符号连接的两 个或两个以上基本初等函数的导数如何求，正是本 节要研究的问题.
一、基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c,则 f ' (x) = 0 ；
【总结提升】
函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在 此点附近变化的快慢.由上述计算可
知 c′(98) 25c′(90) .它表示纯净度为98%左
右时净化费用的变化率,大约是纯净度为90% 左右时净化费用的变化率的25倍.这说明,水 的纯净度越高,需要的净化费用就越多,而且 净化费用增加的费用也越快.
导数的基本公式及运算法则
y),
f
x
(1,1),
f
y
(1,
-1),
解： f x(x, y) (x3 - 2x 2 y 3y 4 )x 3x 2 - 4xy
f y(x, y) (x3 - 2x2 y 3y4 )y -2x2 12y3
f x(1,1) 312 - 4 11 -1
f y(1,-1) -212 12 (-1)3 -14
(1- xey ) y ' ey
y
'
ey 1- xey
隐函数的求导步骤： （1）方程两边对x求导，求导过程中把y视为中间变量，
得到一个含有y '的等式; （2）从所得等式中解出y '.
例7 设函数y y(x)由方程y - cos(x2 y2 ) x所确定，求 dy .
解：方程两边分别对x求导，得
例2 设函数 z (x2 y 2 ) ln( x2 y 2 ), 求 z z
x y
解：z x
(x2
y2
)x
ln( x 2
y2
)
(x2
y2
)[ln(x 2
y2
)]x
2x
ln( x 2
y2)
(x2
y2)
x2
1
y2
(x2
y2 )x
2x ln(x2 y2 ) 2x
2x[ln(x2 y2 ) 1]
故
f (x) = (3x4 - ex + 5cos x - 1)
= (3x4) -(ex ) + (5cos x) - (1) = 12x3 - ex - 5sin x .
f (0) = (12x3 - ex - 5sin x)|x=0 = - 1
第二部分导数的运算
u v u v u v,
(uv)' lim (uv) lim u v u v u v
x0 x x0
x
lim u v u lim v lim u lim v
x0 x
x0 x x0 x x0
定理2.2 设u=u(x),v=v(x)可导，则 u v可导，且有 (u v)' u' v'.
证 设自变量在x取得增量 x时，函数u，v分别取得 增量 u u(x x) u(x)，
v v(x x) v(x), 于是
(u v) [u(x x) v(x x)] [u(x) v(x)] [u(x x) u(x)] [v(x x) v(x)] u v
x)'
(sin x) cos2 x
sec
x
tan
x.
同样可以得到另外两个基本公式： (cot x)' csc2 x, (csc x)' csc x cot x.
例4
计算(cos 2
x)', (sin 2
x 2
)'
,
(exx
)'.
解 (cos 2 x)' (cos x cos x)'
f'(0) 1 2 10 55.
三、反函数的求导法则
定理2.5 设函数 x ( y)在某区间内严格单调、可导， 且( y) 0，则其反函数y=f(x)在相应区间内也严格单
调且可导，且有
f'
(
x)
1 ( y)
高数求导公式大全法则
高数求导公式大全法则
高数求导公式和法则如下：
1. 基本初等函数求导公式：
y=c y'=0
y=α^μ y'=μα^(μ-1)
y=a^x y'=a^x lna
y=e^x y'=e^x
y=loga,x y'=loga,e/x
y=lnx y'=1/x
y=sinx y'=cosx
2. 基本的求导法则：
求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。
两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导。
两个函数的商的导函数也是一个分式：(子导乘母-子乘母导)除以母平方。
3. 链式法则：如果有复合函数，则用链式法则求导。
4. 导数的几何意义：表示函数曲线在点P0(x0,f(x0))处的切线的斜率。
5. 导数的计算方法：计算已知函数的导函数可以按照导数的定义运用变化比值的极限来计算。
6. 导数在几何上的意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率。
希望对您有所帮助！如果您还有疑问，建议咨询数学专业人士。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
上导乘下,下导乘上,差比下方
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[cg ( x)] cg ( x)
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数
运算法则，求函数y=x3-2x+3的导数。
y (x 解：因为2x 3)
p(t ) p0 (1 5%)
t
解:根据基本初等函数导数公式表,有
(t ) 1.05t ln1.05 p
所以 p(10) 1.05 ln1.05 0.08(元 / 年)
10
因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
导数的运算法则:(和差积商的导数)
导数的运算法则:(和差积商的导数)
[ f ( x) g ( x)]' f '( x) g '( x)
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
轮流求导之和
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
是否有切线，如果有， 求出切线的方程.
试自己动手解答.
1 有,切y x 2
线的 方程 为
基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) c, 则f '( x) 0; 公式2.若f ( x) x n , 则f '( x) nx n 1 ; 公式3.若f ( x) sin x, 则f '( x) cos x; 公式4.若f ( x) cos x, 则f '( x) sin x; 公式5.若f ( x) a x , 则f '( x) a x ln a ( a 0); 公式6.若f ( x) e x , 则f '( x) e x ; 1 公式7.若f ( x) log a x, 则f '( x) ( a 0, 且a 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ln x, 则f '( x) ; x
导数公式
求导公式∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙①几个基本初等函数求导公式(C)'=0，(x^a)'=ax^(a-1)，(a^x)'=(a^x)lna，a＞0，a≠1；(e^x)'=e^x[log<a>x]'=1/[xlna]，a＞0，a≠1；(lnx)'=1/x (sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx(tanx)'=(secx)^2(cotx)'=-(cscx)^2(arcsinx)'=1/√(1-x^2)(arccosx)'=-1/√(1-x^2)(arctanx)'=1/(1+x^2)(arccotx)'=-1/(1+x^2)②四则运算公式(u+v)'=u'+v'(u-v)'=u'-v'(uv)'=u'v+uv'(u/v)'=(u'v-uv')/v^2③复合函数求导法则公式y=f(t),t=g(x)，dy/dx=f'(t)*g'(x)④参数方程确定函数求导公式x=f(t),y=g(t)，dy/dx=g'(t)/f'(t)⑤反函数求导公式y=f(x)与x=g(y)互为反函数，则f'(x)*g'(y)=1⑥高阶导数公式f^<n+1>(x)=[f^<n>(x)]'⑦变上限积分函数求导公式[∫<a,x>f(t)dt]'=f(x)还有一元隐函数求导问题，其求导有公式，但牵涉到多元函数问题，偏导，或者偏导数雅可比。
★★★愚见没有越详细越好了的提法★★★双曲函数sinhx,coshx,tanhx（早年曾经不规范地写成shx,chx,thx现在早就纠正了）反双曲函数arsinhx,arcoshx,artanhx…………初等函数是无穷无尽的。
基本初等函数求导公式
基本初等函数求导公式(1) (C )=0 (2) (x )= x -1 (3)(sin x ) = cos x (4) (cos x ) = - sin x (5)(tan x ) = sec 2 x (6) (cot x ) = - csc 2 x (7) (sec x ) = sec x tan x (8) (csc x ) = -csc x cot x(9) (a x )=a x ln a(10) (e x )=e x (log a x ) = 1(ln x ) = 1 (11) x ln a(12) x ，(arcsin x ) = 1(arccos x ) = - 1 (13) 1 - x(14) 1 - x(arctan x ) = 1 (arccot x ) = - 1(15) 1 + x(16) 1 + x 函数的和、差、积、商的求导法则设u = u (x )， v = v (x )都可导，则反函数求导法则若函数x =(y )在某区间I y 内可导、单调且(y ) 0 ，则它的反函数y = f (x )在对应 区间 I x 内也可导，且dy 11 dx = dx( y ) 或 dy复合函数求导法则1) (u v ) = u v2) (Cu ) = Cu (C 是常数) 3) (uv ) = u v + uv4)设 y = f (u )，而u =(x )且 f (u )及(x )都可导，则复合函数 y = f [(x )]的导数为２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式： (sh x) = ch x (ch x ) = sh x (th x )= ch 2x(arsh x ) = 1 1 + x 2(arch x ) = 1 x 2 -1 (arth x ) = 1 1-x 2 dy dx。
基本初等函数的导数公式推导过程
基本初等函数的导数公式推导过程初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
下面我们将推导这些函数的导数公式。
1.常数函数的导数：设f(x)=c，其中c为常数，则f'(x)=0。
因为常数函数是一条平行于x轴的直线，斜率为0。
2.幂函数的导数：设f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
为了推导导数公式，我们可以使用导数的定义：f'(x) = lim[h→0] [(f(x+h)-f(x))/h]。
对于幂函数，我们可以利用二项式定理展开f(x+h)：f(x+h) =(x+h)^n = x^n + nx^(n-1)h + ... + h^n，并且只有第二项包含h。
因此，(f(x+h)-f(x))/h = (nx^(n-1)h + ... + h^n) / h = nx^(n-1) + ... + h^(n-1)。
当h趋近于0时，除了第一项nx^(n-1)其余所有的项都会变为0，所以f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数：设f(x) = a^x，其中a为大于0且不等于1的常数，则f'(x) = a^x * ln(a)。
要推导指数函数的导数公式，可以采用自然对数的定义：ln(x) =∫[1,x] (1/t) dt。
首先将指数函数写为幂函数的形式：f(x) = exp(x*ln(a))，其中exp(x)表示e的x次方。
然后使用复合函数的求导法则，即f'(x) =(d/exp(x*ln(a)))/(dx*ln(x))。
再对(exp(x*ln(a)))的导数应用链式法则，得到f'(x) = ln(a) * a^(x*ln(a)) = a^x * ln(a)。
4.对数函数的导数：设f(x) = log_a(x)，其中a为大于0且不等于1的常数，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))。
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基本初等函数求导公式
(1) 0)(='C (2) 1
)(-='μμμx x
(3) x x cos )(sin ='
(4) x x sin )(cos -='
(5)
x x 2
sec )(tan =' (6)
x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec ='
(8) x x x cot csc )(csc -='
(9)
a a a x
x ln )(=' (10) (e )e x x
'=
(11)
a x x a ln 1
)(log =
'
(12)
x x 1)(ln =
'，
(13)
211)(arcsin x x -=
'
(14)
211)(arccos x x --
='
(15)
21(arctan )1x x '=
+
(16)
21(arccot )1x x '=-
+
函数的和、差、积、商的求导法则
设)(x u u =，
)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2）
u C Cu '=')(（C 是常数）
（3）
v u v u uv '+'=')(
（4） 2v v u v u v u '-'='
⎪⎭⎫ ⎝⎛
反函数求导法则
若函数
)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应
区间x I 内也可导，且
)(1)(y x f ϕ'=
' 或
dy dx dx dy 1=
复合函数求导法则
设
)
(u
f
y=
，而
)
(x
uϕ
=
且
)
(u
f
及
)
(x
ϕ
都可导，则复合函数
)]
(
[x
f
yϕ
=
的导数为
dy dy du
dx du dx
=
或
()()
y f u x
ϕ
'''
=
上述表中所列公式与法则是求导运算的依据，请读者熟记．
２. 双曲函数与反双曲函数的导数.
双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．
可以推出下表列出的公式：。