随机微分方程及其应用

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非线性摩擦下的逃逸率 Model：
粒子的质量，假设m=1 高斯白噪声，噪声强度为D
x v,mv (v)v 0U(x) 2D(t)
（1）γ(v)表示非线性摩擦函数，在非平稳问题中，摩擦函
数有RH和SET两种形式。
RH摩擦函数的表达式： (v) 0(v2 u02) u0表示在没有噪声激励下，粒子最终到达的速度，假设
dX bXdt dW

X (0) X 0
根据线性随机微分方程解的形式可以求得此微
分方程的解为：X (t) ebt X 0
t eb(ts)dW
0
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随机微分方程举例
可以求出X的期望：E( X (t)) ebt E( X 0 )
E(X 2(t))
如图所示，可以看出，当振幅小于临界值时，粒子的
轨迹与零切线很接近，并且很快逃出稳定区，当振幅大于
临界值时，粒子保持在最小值附近，轨迹类似于一极限环，
即布朗粒子的运动稳定在极限环内。
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非线性摩擦下的逃逸率
Escape stat由is以tic上s讨：论可知，在没有噪声激励的情况下，如果振
幅大于临界值，布朗粒子将逗留在稳定区内，在一极限 环内运动。如果存在噪声的激励，粒子将逃离稳定区， 随着噪声强度的增大，粒子越容易逃离，用逃逸率来衡 量粒子逃逸的容易度，研究随着噪声强度的增大，逃逸 率将如何变化。
对于RH摩擦函数临界振幅为：Ac 2u03 /(33 2) ，当u0=1时， Ac=0.38
对于SET摩擦函数临界振幅为：
Ac (3 d) (d ) (d 2 ) 2,d (8 )
当β=2时，Ac=0.3
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非线性摩擦下的逃逸率
在无噪声激励下，布朗粒子的样本路径如图：

X (0) X 0
t
t
解为：X (t) (t)(X0 (s)1(c(s) e(s) f (s))ds) (s)1e(s)dW )
0
0
其中
t
(t) exp(
(d
f 2 )ds t
f dW)
0
2
0
4
随机微分方程举例
2、线性随机微分方程举例
e2bt
)
则X的方差为：
V
(X
(t))

e2btV
(
X
0)

2 2b
(1
e2bt
)
则当t趋于无穷大时：VE(
( X (t)) 0
2
X (t)) 2b
从解的形式来看，当t趋于无穷大时，X的渐近分布为正态
分布 2 N (0, )
，与初始分布无关。
2b
8
随机微分方程举例
3
随机微分方程——解的形式
2、线性随机微分方程的解的形式
以上我们定义的是基于n维随机变量和m维布朗运动的 随机微分方程，实际应用中大多数为一维的情况，以下给 出一维中随机微分方程的解的具体形式
当m=n=1时，线性随机微分方程的一般形式如下：
dX (c(t) d (t) X )dt (e(t) f (t) X )dW
（3）随着振幅的增加，逃逸率的最大值将会在更大的 噪声强度处取得，当振幅足够大时，逃逸率的最大值将消 失，逃逸率随着噪声强度的增大严格递增。
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非线性摩擦下的逃逸率
为了更好的理解逃逸率与噪声强度的关系，画出了在不
同噪声强度下的粒子逃逸轨迹如下图：
在噪声强度很小的
无噪声激励的情况 下，粒子在极限环 内运动，没能逃出 势垒
位置坐标为xu，也是V(x)的不稳定点。当 x
时，V (x) ，因此系统在负x方向是被束缚的，x<xu 叫 做束缚区（稳定区）；而在x正方向不受束缚，即当x>xu,系 统会自动趋于无穷，所以x>xu叫做逃逸区。研究系统从束 缚区进入逃逸区的问题，就叫“逃逸问题”。
当势阱函数V(x)为双稳势阱时，在随机力的作用下，两 个势阱中的运动不再相互独立，初始在某一势阱内的系统， 会在不同时间以不同的概率进入另一势阱。逃逸问题也就转 化为系统在随机力的作用下两个稳态之间的跃迁问题。
0
Pds

t
0
PdW
t
E(P(t))

p0

E(P(s))ds
0
可以解出： E(P(t)) p0et
因此股票价格的期望值由股票的趋势项决定，与股 票的波动没有关系。
随机微分方程举例
例2：朗之万方程
存在摩擦力的情况下，布朗粒子的运动模型服从一
维的随机微分方程，X bX ，其中ξ表示白噪声， b>0表示摩擦系数，σ表示扩散系数。在此方程中，X 代表布朗粒子的运动速率。X0与维纳过程相互独立， 因为白噪声是维纳过程对时间的导数，所以此方程等 价于下面的随机微分方程：
u0=1,γ0=20, SET摩擦函数的表达式：
(v)

0(1
1 v2
),
1
,假设β=2
（2）势函数U(x)的表达式为：U(x) A(x x3 ) ，A表示振幅，
则U(x)的结构图如下：
3
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非线性摩擦下的逃逸率
3A 4
如图所示，势能最小 值坐标x-min=-1,为稳 定点，势能最大值坐 标x-max=1，为不稳 定点，x<1为束缚区， x>1为逃逸区。
dX bXdt dW

X (0) Y1
则方程的解为：X (t) ebtY1
t eb(ts)dW
0
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随机微分方程举例
则可以解出原微分方程的解Y(t)：Y (t
)

Y0

t
0
X
ds
例4：随机谐波振子
X 2 X bX
X
(0)

X0,
那么随机微分方程可以表示成如下形式：
dX b( X , t)dt B( X , t)dW

X (0) X 0
t
t
若X满足等式：X (t) X0 b(X (s),s)ds B(X (s),s)dW 那么X就是此随
机微分方程的解。 0
0
如果系数b和B分别满足：b(x,t)=c(t)+D(t)x，B(x,t)=E(t)+F(t)x, 那么就称此方程为线性随机微分方程。如果c(t)=E(t)=0，那么 线性随机微分方程是齐次的。如果F(t)=0，这称随机微分方程 狭义上是线性。

1 2
2P2 P2
dt
( 2 )dt dW 2
随机微分方程举例
W (t )( 2 )t
可以解出P(t)：P(t) p0e
2
由此可知，若初始价格为正直，则股票价格总是正的。
由随机微分方程可知：P(t) p0
并且
t
E(0 PdW ) 0
，则可知：

t
非线性摩擦下的逃逸率
结论： （1）逃逸率并不是单调增加的随着噪声强度的增加，明
显地，当振幅足够大时，噪声强度超过一定的范围，逃逸 率随噪声强度的增大而减小，随后又随着噪声强度的增加 而增大，产生了最大值和最小值。
（2）当A=0.41时，逃逸率的最大值是更显著的，一般 而言，当振幅比较大时，对所有的噪声强度而言。逃逸率 都会减小，但是在噪声强度较弱时，减小的更明显。
例3：乌伦贝克过程 布朗运动的另一随机微分方程模型：
Y bY
Y (0) Y0,Y(0) Y1
其中Y(t)是t时刻布朗粒子的位移，Y0与Y1是给定 的高斯随机变量，b>0是摩擦系数，σ是扩散系数， ξ通常为白噪声。
若 X Y ，即X表示速率，则原方程等价于以下 朗之万方程：
E
(e2bt
X
2 0
2ebt X 0
t eb(ts)dW
0
2(
t eb(ts)dW )2 )
0

e2bt
E
(
X
2 0
)

2ebt
E
(
X
2 0
)
E
(
t eb(ts)dW ) E( 2
0
t e2b(ts)ds)
0

e2bt
E(
X
2 0
)

2
2b
(1
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逃逸问题 逃逸问题是研究系统在随机力作用下从稳态出发的演化
过程，尽管随机力很小，但是足以引起布朗粒子的逃逸，从 而使原来的稳态发生质的改变，我们基于以上的随机微分方 程来研究布朗粒子的逃逸问题。
若势函数V(x)是非线性的，且是单势阱，结构如下图：
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逃逸问题
从势函数的结构图中可以看出该势阱的高度为 V ，势 能最小值的位置坐标为xs ，也是V(x)的稳定点，最大值的
随机微分方程及其应用
1
随机微分方程的重要性
近年来，随机微分方程，随机分析有了迅速发展，随 机微分方程的理论广泛应用于经济、生物、物理、自动 化等领域。
在经济领域，用随机微分方程来解决期权定价的问题， 在产品的销售，市场的价格等随机事件中，可根据大量 的试验数据确定某个随机变量，并附加初始条件建立随 机微分方程的数学模型，从而推断出总体的发展变化规 律。
在此逃逸率是用平均首次穿越时间的倒数来计算的。 为了测量不同噪声强度下粒子的逃逸率，选取初始状态为 x(0)=-1，v(0)=-1，计算粒子首次通过极限值xth=5的平均 时间，也可以选取稳定区内的其他初始状态，这并不影响 我们模拟的结果。
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非线性摩擦下的逃逸率
逃逸率随噪声强度的变化如下图：
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