一类条件不等式的统一证明

一类条件不等式的统一证明
笔者通过很长一段时间的观察和研究，发现有一类条件不等式可以利用凸函数定理给予其简单的统一证明，并还可以对原有命题进行有益的推广。

而很多杂志在证明中都是运用重要不等式及柯西不等式结合证明，在操作中比较复杂，不容易掌握理解。

为了说明这一方法操作的统一性，本文从几个方面着重谈该凸函数定理在这一类条件不等式中的统一证明并对其给出相应的推广。

凸函数定理：若)(x f 在区间I 内上凸，则对任意n x x x ,,21，以及任意的
1,,,2121=+++∈+n n r λλλλλλ ，必有)()()(1111n n n n x f x f x x f λλλλ++≥++ 若)(x f 在区间I 内下凸，则不等号反向，其中等号均当且仅当n x x x === 21时成立. 推论: 若)(x f 在区间I 内上凸，则对任意n x x x ,,21I ∈总有n
x f x f n x x f n n )
()()(
11++≥++ 若)(x f 在区间I 内下凸，则不等号反向，其中等号均当且仅当n x x x === 21时成立. 用凸函数定理考察不等式问题时必须选择恰当的函数，使其在某个区间内上凸或下凸，这样问
题便可简单化。

1．条件为∑==n
i i a a 1型
例1．设,,2,1,10n i a i =<<∑==n
i i a a 1
则
shapiro a
n na
a a a a a a n n (1112211-≥-++-+- 不等式) 证明：要证函数不等式成立，必须先构造一个函数而且还要能够判断这个函数在（0，1）内是上凸还是下凸函数.构造函数x x x f -=1)(由2/)1(1)(x x f -=0)1(4)(2//
>-=x x f
故)(x f 在（0，1）上是下凸函数.由上推论知: n
a f a f n a a f n n )
()()(
11++≥
++ )1(1112211n
a n a
n a a a a a a n
n -
≥-++-+- 即a n na
a a a a a a n n -≥-++-+
-1112211 例２+∈R c b a ,,且
1111=-+-+-c c b b a a 求证2
3≥++c b a 分析：将条件转化为∑==n i i a a 1
型，可令c
c
x b b x a a x -=
-=-=1,1,1321即 0,1321>=++i x x x x 则证
2
3
111332211≥-+-+-x x x x x x 这便是例1的特例。

３．不等式为和式型
例３若a,b,c 为三角形边长且２Ｓ＝a+b+c 则12)3
2
(--≥+++++n n n n n S b a c a c b c b a （第２８届ＩＭＯ
预选题）
显然此命题变形有1
2)32(222--≥-+-+-n n n n n S c S c b S b a S a 构造函数x
S x x f n -=
2)(即可证明． 例４试求函数0,,(,),,(222>++=c b a cz by ax z y x f 是常数）在条件0,0,0>>>z y x ，
k x x x =++321下的最小值． [2]
解：222),,(cz by ax z y x f ++==222)(1
)(1)(1cz c
by b ax a ++构造函数2)(x x f =显然其在（0，+∞）
上是下凸函数，由定理：)()()()(332211332211x f x f x f x x x f λλλλλλ++≤++
其中1321=++λλλ可令c b a a 11111++=λ，c b a b 11112++=λ，c
b a
c 11113++=λ 且ax x =1，ay x =2az x =3则有
≤++++)111111(c b a cz
c by b ax a f )(1111ax f c b a a +++)(1111by f c b a b +++)(1111
cz f c
b a
c ++将2)(x x f =代入有≤
++2)111(
c b a k [
c
b a 1111
++]222)(1
)(1)(1cz c
by b ax a ++打开即 ≥
++2
2
2
cz by ax c
b a k 1
112
+
+当且仅当===cz by ax c b a k 111++时等号成立。

此题有三个推广
推广1：若0>i x ，i n
i i a k x (1=∑=为大于0的常数）
则≥+++2
2
222
11n n x a x a x a n
a a a k 1
11212
+++
当且仅当=
==cz by ax n
a a a k
1
1121+++ 时等号成立。

推广2：若0>i x ，i n
i i a k x (1
=∑=为大于0的常数）1>p 或0<p 则
≥
+++p
n n p p x a x a x a 2211[]
∑=--n
i p p
i p
a
k 1
1
11
当且仅当n n x a x a x a === 2211时取等
构造函数
p x x f =)(有2//)1()(--=p x p p x f ，而0>i x ，1>p 或0<p 0)(//>x f
)(x f 在（0，+∞）上是下凸函数
由)()()(1111n n n n x f x f x x f λλλλ++≤++ ，令=
i λ∑=--n
i p
i p
i a
a 1
11
11
， i p
i x a
x -=11
代入有])
([
])(
[1
1
1
111
11
1
1
1111
11∑∑∑∑==---==---≤n
i n
i p i i p i p
i n
i n
i p
i i
p i p i a
x a
f a a
x a
a f 即
p
p i n
i p
i n i p i n i p
i x a
a
a a k
f 1
1
1
111
1
1
1
11
1
)(
-=-=-=-∑∑∑≤
p
n n p p p n
i p i p
x a x a x a a k +++≤∴
-=-∑ 22111
111
][
推广3：若0>i x ，i n
i i a k x (1
=∑=为大于0的常数）10<<p 则
≤
+++p
n n p p x a x a x a 2211[]
∑=--n
i p p
i p
a
k 1
1
11
当且仅当n n x a x a x a === 2211时取等
例5若11
=∑=n
i i x ，+
∈R x i 则有n n
i i i n
n x x )1
()1(1
+≥+
∏=当且仅当n x x x === 21=n 1时等号成立。

证明：不等式两边取对数，显然既证n n i i i n n x x )1ln()1(ln 1
+≥+
∏=即n n i i i n n x x )1
ln()1ln(+≥+∑=
构造函数)1ln()(x
x x f +=由33222//)
(13)1(11
)(x x x x
x x x f ++++-=)1,0(∈x 所以有0)(//>x f )(x f 在（0，1）上是下凸函数。

∴n
x f x f n x x f n n )
()()(
11++≤
++ 即 )1ln(11x x ++ ++)1
ln(22x x +)1ln(n
n x x +)1ln(n n n +≥有
n n
i i i n
n x x )1
()1(1
+≥+
∏=当且仅当n x x x === 21=n 1时等号成立。

参考文献：
[1]文开庭。

一组征解问题的统一推广及应用。

数学通报，1997（1） [2]钱亦青。

某些条件极值问题的向量解法。

数学通讯，2002（15） [3]杨先义。

一个不等式的推广。

数学通讯，2002（19） [4]孙世华。

数学推广的基本模式。

数学通讯，2005（1）。