北京市海淀区教师进修学校附属实验中学12-13学年高一上学期期末考试数学试题

2012—2013学年度第一学期期末练习
高一数学
一、选择题
1．函数1
()sin sin 2
f x x x =+
（02x π≤≤）与函数()g x a =（a 是常数）有两个不同的交点，则a 的取值范围是
（ ）
A ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．13(,0)(0,)22
-
C ．1
(0,)
2
D ．13(,)22
2．下面四个命题中，真命题的个数为 ( ) ⑴如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
⑵两条直线可以确定一个平面 ⑶若M ∈α，M ∈β，α∩β＝l ，则M ∈l ⑷空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内 A.1 B.2 C.3 D.4
3．已知点A(-1,1)和圆C ：2
2
(x-5)+(y-7)=4,一束光线从点A 出发经x 轴反射到圆周C 的最短路程是 （ ）
A.8
B.10
C.64
D.226-
4．若)(x f 和)(x g 都是奇函数，且2)()()(=+=x g x f x F ，在（0，＋∞）上有最大值8，则在（－∞，0）上)(x F 有（ ）
A.最小值－8
B.最大值－8
C.最小值－6
D.最小值－4
5．下列说法中不正确的是 （ ）
A.点斜式()11y y k x x -=-适用于不垂直于x 轴的任何直线
B.斜截式y kx b =+适用于不垂直于x 轴的任何直线
C.两点式112121y y x x y y x x --=--适用于不垂直于x 轴和y 轴的任何直线
D.截距式
1x y
a b
+=适用于不过原点的任何直线 6．设f （x ）＝lg(10x
＋1)＋ax 是偶函数，g （x ）＝x
x b
2
4-是奇函数，那么a ＋b 的值为（ ） A ． 1
B ．－1
C ．－
2
1 D ．
2
1 7．设f （x ）＝lg(10x
＋1)＋ax 是偶函数，g （x ）＝x
x b
2
4-是奇函数，那么a ＋b 的值为（ ） A ． 1 B ．－1 C ．－
2
1 D ．
2
1 8．设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的S b a ∈,,对于有序元素对),(b a ，在S 中有唯一确定的元素b a *与之对应）。

若对于任意的S b a ∈,,有
b a b a =**)(，则对任意的S b a ∈,,下列等式中不恒成立的是（ ）
A.a a b a =**)(
B.a b a a b a =****)()]([
C.b b b b =**)(
D.b b a b b a =****)]([)(
9．设集合{123456}M =，
，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j ≠，{123}i j k ∈ 、，，，，），都有
min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪
≠⎨⎬⎨⎬
⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（ ） A.10 B.11 C.12 D.13
10．现定义一种运算;⊗当m 、n 都是正偶数或都是正奇数时，;m n m n ⊗=+当m n 、中一个为正奇
数另一个为正偶数时，,m n mn ⊗=则集合{
}(,)|36,,M a b a b a N b N **
=⊗=∈∈中的元素
个数是 （ ）
A ．21
B ．26
C ．31
D ．41
11．下列命题中正确的是( )
A.经过点0,0()o P x y 的直线都可以用方程y －0y =k(x －0x )表示
B.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y=kx ＋b 表示.
C.经过任意两个不同点11,1()P x y ，22,2()P x y 的直线都可用方程(2x －1x )(y －1y )=(2y －1y )(x －1x )表示.
D.不经过原点的直线都可以用方程a x ＋b
y
=1表示. 12．下列命题中正确的是( )
A.平行于同一个平面的两条直线平行
B.垂直于同一条直线的两条直线平行
C.若直线a 与平面α内的无数条直线平行，则//a α
D.若一条直线平行于两个平面的交线，则这条直线至少平行于两个平面中的一个 二、填空题 13．给出下列函数：
①函数x
y 2=与函数x 2log 的定义域相同; ②函数3x y =与函数x
y 3=值域相同;
③函数()2
1-=x y 与函数12-=x y 在()+∞,0上都是增函数;
④函数x x y --=312log 2
的定义域是⎪⎭
⎫
⎝⎛3,21。

其中错误的序号是 。

14．已知直线m ，n ，平面βα,，给出下列命题： ①若βαβα⊥⊥⊥则,,m m ；②若βαβα//,//,//则m m ；
③若βαβα⊥⊥则,//,m m ；④若异面直线m ，n 互相垂直，则存在过m 的平面与n 垂直. 其中正确的命题的题号为 .
15．已知定义在R 上的奇函数f(x)，当x>0时，1||)(2
-+=x x x f ，那么x<0时，f(x)= . 16．函数()1
x f x x =-的反函数()1
f x -=
三、解答题
17．
()()
()()()()[]()()22111,212f x ax x a a a f x f x g x g x =-+-=已知函数为实数若作出函数的图象；
设在区间，
上的最小值为，求的表达式； ()()()()[]的取值范围。

上是增函数，求实数，在区间若函数设a x h x
x f x h 21,3= 18．
()()()()()()
()
223
*
223
3
012112m m m
m f x x
m N y m a a a ----=∈+∞+<-已知幂函数的图象关于轴对称，
且在，上是减函数，
求的值；求满足的的取值范围。

19．现有某种细胞100个，其中有占总数
1
2
的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？（参考数据：
lg 30.477,lg 20.301==）.
20．已知:在空间四边形ABCD 中,AC=AD,BC=BD,求证：AB ⊥CD
21.已知函数
kx x f x
++=)14(log )(4)(R k ∈是偶函数． （1） 求k 的值；
（2） 设)
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2(log )(4a a x g x -
⋅=，若函数)(x f 与)(x g 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取
值范围．
高一数学参考答案
一、选择题
1．D 2．A 3．A 4．D 5．D 6．D 7．D 8．A
解析：.
9．B
解析：含2个元素的子集有15个，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一个；{1，3}、{2，6}只能取一个；{2，3}、{4，6}只能取一个，
故满足条件的两个元素的集合有11个。

10．D 11．C 12．D
二、填空题
13．①②③
14．③④
15．
16.
三、解答题
17．
18．
19．现有细胞100个，先考虑经过1、2、3、4个小时后的细胞总数，1小时后，细胞总数为；
2小时后，细胞总数为；
3小时后，细胞总数为；
4小时后，细胞总数为；
可见，细胞总数与时间（小时）之间的函数关系为：，
由，得，两边取以10为底的对数，得，
∴，∵，
∴.
答：经过46小时，细胞总数超过个.
20．证明：如图，设CD中点为E，连接AE、BE，
因为ΔACD为等腰三角形,
所以AE⊥CD;
同理BE⊥CD.
所以CD⊥平面ABE,
所以CD⊥AB.
21. 解(1)由,得
函数为上单调函数. 若函数为上单调增函数,则在上恒成立,即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立.
令,上述问题等价于,而为在上的减函数,则
,于是为所求.
(2)证明:由得
而①
又, ∴②∵∴,
∵∴③
由①、②、③得
即,从而由凹函数的定义可知函数为凹函数。