2014-2015学年湖北省黄石市有色一中高二(下)期中数学试卷(文科) (Word版含解析)
2014-2015年湖北省黄石三中高二上学期数学期中试卷带答案(文科)
2014-2015学年湖北省黄石三中高二（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣4x B．x2=4yC．y2=﹣4x或x2=4y D．y2=4x或x2=﹣4y2．（5分）命题“a，b都是偶数，则a与b的和是偶数”的逆否命题是（）A．a与b的和是偶数，则a，b都是偶数B．a与b的和不是偶数，则a，b都不是偶数C．a，b不都是偶数，则a与b的和不是偶数D．a与b的和不是偶数，则a，b不都是偶数3．（5分）椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为（）A．+=1B．+=1C．+=1或+=1D．+=1或+=14．（5分）已知两定点F1（5，0），F2（﹣5，0），曲线上的点P到F1、F2的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为（）A．B．C．D．5．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．6．（5分）若直线l1：ax+（1﹣a）y﹣3=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2=0互相垂直，则a的值是（）A．﹣3 B．1 C．0或D．1或﹣37．（5分）已知圆C的方程是x2+y2﹣8x﹣2y+10=0，过点M（3，0）的最短弦所在的直线方程是（）A．x+y﹣3=0 B．x﹣y﹣3=0 C．2x﹣y﹣6=0 D．2x+y﹣6=08．（5分）设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能为（）A．B．C．D．9．（5分）双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．（5分）设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已知当m≤2时，f（x）=x3﹣+x在（﹣1，2）上是“凸函数”．则f（c）在（﹣1，2）上（）A．既有极大值，也有极小值B．既有极大值，也有最小值C．有极大值，没有极小值D．没有极大值，也没有极小值二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．11．（5分）命题：∃x∈R，x2﹣x+1=0的否定是．12．（5分）函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为．13．（5分）已知实数x，y满足（x﹣2）2+y2=3，则的取值范围是．14．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．15．（5分）设AB是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O 为坐标原点，则k AB•k OM=．16．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是．17．（5分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P （x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）设命题p：不等式|2x﹣1|＜x+a的解集是；命题q：不等式4x≥4ax2+1的解集是∅，若“p或q”为真命题，试求实数a的值取值范围．19．（12分）已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x﹣y+3=0和l2：2x+y﹣6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；（2）以O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程．20．（13分）已知抛物线C：y2=2px，且点P（1，2）在抛物线上．（1）求p的值（2）直线l过焦点且与该抛物线交于A、B两点，若|AB|=10，求直线l的方程．21．（14分）已知函数f（x）=x3﹣3a2x+1（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）已知a＞0，若∀x∈[1，2]，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．22．（14分）椭圆的两焦点坐标分别为和，且椭圆过点．（1）求椭圆方程；（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．2014-2015学年湖北省黄石三中高二（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是（）A．y2=﹣4x B．x2=4yC．y2=﹣4x或x2=4y D．y2=4x或x2=﹣4y【解答】解：∵抛物线的顶点在原点，且过点（﹣4，4），∴设抛物线的标准方程为x2=2py（p＞0）或y2=﹣2px（p＞0），将点（﹣4，4）的坐标代入抛物线的标准方程x2=2py（p＞0）得：16=8p，∴p=2，∴此时抛物线的标准方程为x2=4y；将点（﹣4，4）的坐标代入抛物线的标准方程y2=﹣2px（p＞0），同理可得p=2，∴此时抛物线的标准方程为y2=﹣4x．综上可知，顶点在原点，且过点（﹣4，4）的抛物线的标准方程是x2=4y或y2=﹣4x．故选：C．2．（5分）命题“a，b都是偶数，则a与b的和是偶数”的逆否命题是（）A．a与b的和是偶数，则a，b都是偶数B．a与b的和不是偶数，则a，b都不是偶数C．a，b不都是偶数，则a与b的和不是偶数D．a与b的和不是偶数，则a，b不都是偶数【解答】解：原命题的逆否命题为：a与b的和不是偶数，则a，b不都是偶数．故选：D．3．（5分）椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程为（）A．+=1B．+=1C．+=1或+=1D．+=1或+=1【解答】解：∵椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，∴，解得a=5，b2=25﹣16=9，∴当椭圆焦点在x轴时，椭圆方程为，当椭圆焦点在y轴时，椭圆方程为．故选：D．4．（5分）已知两定点F1（5，0），F2（﹣5，0），曲线上的点P到F1、F2的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：据双曲线的定义知，P的轨迹是以F1（5，0），F2（﹣5，0）为焦点，以实轴长为6的双曲线．所以c=5，a=3b2=c2﹣a2=16，所以双曲线的方程为：故选：A．5．（5分）如果方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（）A．3＜m＜4 B．C．D．【解答】解：由题意可得：方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以4﹣m＞0，m﹣3＞0并且m﹣3＞4﹣m，解得：．故选：D．6．（5分）若直线l1：ax+（1﹣a）y﹣3=0与直线l2：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣2=0互相垂直，则a的值是（）A．﹣3 B．1 C．0或D．1或﹣3【解答】解：∵l1⊥l2∴a（1﹣a）+（a﹣1）×（2a+3）=0，即（a﹣1）（a+3）=0解得a=1或a=﹣3故选：D．7．（5分）已知圆C的方程是x2+y2﹣8x﹣2y+10=0，过点M（3，0）的最短弦所在的直线方程是（）A．x+y﹣3=0 B．x﹣y﹣3=0 C．2x﹣y﹣6=0 D．2x+y﹣6=0【解答】解：圆x2+y2﹣8x﹣2y+10=0，即（x﹣4）2+（y﹣1）2 =7，表示以C（4，1）为圆心，半径等于的圆，显然点M（3，0）在圆的内部，故当直线和CM垂直时，弦长最短，故最短的弦所在直线的斜率为==﹣1，故过点M（3，0）的最短弦所在的直线方程是y﹣0=﹣（x﹣3），即x+y﹣3=0，故选：A．8．（5分）设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能为（）A．B．C．D．【解答】解：由f（x）的图象判断出f（x）在区间（﹣∞，0）上递增；在（0，+∞）上先增再减再增∴在区间（﹣∞，0）上f′（x）＞0，在（0，+∞）上先有f′（x）＞0再有f′（x）＜0再有f′（x）＞0故选：D．9．（5分）双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c∴，∴∴，故选：B．10．（5分）设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已知当m≤2时，f（x）=x3﹣+x在（﹣1，2）上是“凸函数”．则f（c）在（﹣1，2）上（）A．既有极大值，也有极小值B．既有极大值，也有最小值C．有极大值，没有极小值D．没有极大值，也没有极小值【解答】解：因f′（x）=x2﹣mx+1，f″（x）=x﹣m＜0对于x∈（﹣1，2）恒成立．∴m＞（x）max=2，又当m=2时也成立，有m≥2．而m≤2，∴m=2．于是f′（x）=x2﹣2x+1，由f′（x）=0，x=2﹣或x=2+（舍去），f（x）（﹣1，2﹣）上递增，在（2﹣，2）上递减，则f（x）有极大值，没有极小值．只有C正确．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．11．（5分）命题：∃x∈R，x2﹣x+1=0的否定是∀x∈R，x2﹣x+1≠0．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以∃x∈R，x2﹣x+1=0的否定是：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．故答案为：∀x∈R，x2﹣x+1≠0．12．（5分）函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为．【解答】解：∵f（x）=x3+4x+5，∴f'（x）=3x2+4，当x=1时，y'=7得切线的斜率为7，所以k=7；所以曲线在点（1，10）处的切线方程为：y﹣10=7×（x﹣1），令y=0得x=．故答案为：．13．（5分）已知实数x，y满足（x﹣2）2+y2=3，则的取值范围是[﹣，] ．【解答】解：由题意可得，=表示圆（x﹣2）2+y2=3上的点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，设为k，故此圆的切线方程为y=kx，再根据圆心（2，0）到切线的距离等于半径，可得r==，平方得k2=3求得k=±，故的取值范围是[﹣，]，故答案为：[﹣，]．14．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．【解答】解：由题意得，∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，∴2a﹣1=0，得a=，故答案为：．15．（5分）设AB是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则k AB•k OM=．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则，k1=，k2=，∵+=1，+=1，∴+=0，∴+k1=0，∴+=0，∴k1k2=﹣，故答案为：﹣．16．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2．【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=，则d1+d2=+a2+1=，当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故答案为217．（5分）在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P （x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题是①③④．（写出所有正确命题的序号）【解答】解：到原点的“折线距离”等于1的点的集合{（x，y）||x|+|y|=1}，是一个正方形故①正确，②错误；到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之和为4的点的集合是{（x，y）||x+1|+|y|+|x﹣1|+|y|=4}，故集合是面积为6的六边形，则③正确；到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合{（x，y）||x+1|+|y|﹣|x﹣1|﹣|y|=1}={（x，y）||x+1|﹣|x﹣1|=1}，集合是两条平行线，故④正确；故答案为：①③④三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（12分）设命题p：不等式|2x﹣1|＜x+a的解集是；命题q：不等式4x≥4ax2+1的解集是∅，若“p或q”为真命题，试求实数a的值取值范围．【解答】解：由|2x﹣1|＜x+a得，由题意得．∴命题p：a=2．由4x≥4ax2+1的解集是∅，得4ax2﹣4x+1≤0无解，即对∀x∈R，4ax2﹣4x+1＞0恒成立，∴，得a＞1．∴命题q：a＞1．由“p或q”为真命题，得p、q中至少有一个真命题．∴实数a的值取值范围是（1，+∞）．19．（12分）已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x﹣y+3=0和l2：2x+y﹣6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；（2）以O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程．【解答】解：（1）依题意可设A（m，n）、B（2﹣m，2﹣n），则，即，解得m=﹣1，n=2．即A（﹣1，2），又l过点P（1，1），用两点式求得AB方程为=，即：x+2y﹣3=0．（2）圆心（0，0）到直线l的距离d==，设圆的半径为R，则由，求得R2=5，故所求圆的方程为x2+y2=5．20．（13分）已知抛物线C：y2=2px，且点P（1，2）在抛物线上．（1）求p的值（2）直线l过焦点且与该抛物线交于A、B两点，若|AB|=10，求直线l的方程．【解答】解：（1）∵点P（1，2）在抛物线y2=2px上，∴4=2p，即p=2．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）若l⊥x轴，则|AB|=4，不适合．设l：y=k（x﹣1），代入抛物线方程得k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，△=16k2+16＞0，∴．由，得，∴．∴直线l的方程为．21．（14分）已知函数f（x）=x3﹣3a2x+1（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）已知a＞0，若∀x∈[1，2]，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=x3﹣3x+1f'（x）=3x2﹣3由f'（x）＞0得x＜﹣1或x＞1，由f'（x）＜0得﹣1＜x＜1故f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1）和（1，+∞），单调递减区间是（﹣1，1）（2）由题∀x∈[1，2]，恒有x3﹣3a2x+1≥0⇒∀x∈[1，2]，恒有令，当x∈[1，2]时，h'（x）＞0∴h（x）在[1，2]上单调递增，∴h（x）min=h（1）=2故3a2≤2又a＞0∴22．（14分）椭圆的两焦点坐标分别为和，且椭圆过点．（1）求椭圆方程；（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M、N两点，A为椭圆的左顶点，试判断∠MAN的大小是否为定值，并说明理由．【解答】解：（1）设椭圆的方程为∵焦点坐标为∴a2=3+b2①∵∴解得a2=4，b2=1；所以椭圆方程为（2）设直线MN的方程为：，联立直线MN 和曲线C 的方程可得：得：，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），A （﹣2，0）， 则，则即可得，．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321A1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°E-aa B E挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．E2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．ND CABM3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。
2015高二下学期期中湖北四校联考数学(文)试题及答案
2014～2015学年度下学期期中联考高 二 数 学（文）本试题卷共4页，三大题22小题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★ 祝考试顺利 ★注意事项：1、答卷前，先将自己的学校、班级、姓名、考号填写在试题卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若复数z 满足1iz i =+，则z 的虚部为 A ．1 B ．i C ．1- D ．－i 2．抛物线24y x =的焦点坐标为 A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16D ．1(0,)163．命题“02000,2x x x ∃><”的否定为A ．20,2x x x ∀><B ．20,2x x x ∀>≥C ．20,2x x x ∀≤<D ．20,2x x x ∀≤≥4．设点(,)p x y ，则“2x =且1y =-”是“点p 在圆22(2)1x y -+=上”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知,x y 的一组数据如下表A ．22y x =+B ．21y x =-C ．3122y x =-+ D ．8255y x =- 6．设()f x '是()f x 的导函数，()f x ''是()f x '的导函数，若函数()f x 在区间I 上恒有()0f x ''≥ ，则称()f x 是区间I 上的凸函数，则下列函数在[1,1]-上是凸函数的是 A ．()sin f x x = B ．()cos f x x =-C ．3()f x x x =-D ．()xf x e =-7．观察下列各式：2223331112,3,5,a b c a b c a b c ++=++=++=4445558,13a b c a b c ++=++=⋅⋅⋅，则101010a b c ++=A ．89B ．144C ．233D ．232 8．某程序框图如图所示，则输出的结果为 A ．12B ．2C ．13-D ．3-9．曲线C 2=,若直线:12l y kx k =+-的曲线C 有公共点，则k 的取值范围是 A ．1[,1]3B ．1(,1)3C ．1(,][1,)3-∞+∞D ．1(,)(1,)3-∞+∞10．已知1(1)1x f x x e ++=-+，则函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线l与坐标轴围成的三角形的面积为 A ．14B ．12C ． 1D ． 211．已知12,F F 分别是双曲线22195x y -=的左、右焦点，A 是双曲线左支上异于顶点的一动点，圆C 为12AF F ∆的内切圆，若(,0)M x 是其中的一个切点，则 A ．3x >- B ．3x <- C ．3x =- D ．x 与3-的大小不确定12．已知集合M 是由具有如下性质的函数()f x 组成的集合：对于函数()f x ，在定义域内存在两个变量12,x x 且12x x <时有1212()()f x f x x x ->-．则下列函数 ①()(0)x f x e x => ②ln ()xf x x=③()f x = ④()1sin f x x =+在集合M 中的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上） 13．在区间[6,6]-内任取一个元素0x ，若抛物线22x y =在0x x =处的切线的斜率为k ，则[1,1]k ∈-的概率为 ．14．已知椭圆C ：221x y m +=，现有命题P ：“若4m =，则椭圆C ，记命题P 和它的逆命题，否命题，逆否命题四种形式的命题中正确的命题的个数为()f P ，则()f P = ．15．若对区间D 上的任意x 都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则称()f x 为1()f x 到2()f x 在区间D 上的“任性函数”，已知 2121()ln ,()3f x x x f x x x=+=+，若()f x x a =+是1()f x 到2()f x 在1[,1]2上的“任性函数”，则a 的取值范围是 ．16．方程14x xy y +=-确定的曲线即为()y f x =的图象，对于函数()f x 有如下结论：①()f x 单调递增；②函数()2()g x f x x =+不存在零点；③()f x 的图象与()h x 的图象关于原点对称，则()h x 的图象就是方程14y yx x +=确定的曲线；④()f x 的图象上的点到原点的最小距离为1． 则上述结论正确的是 （只填序号）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知命题p :“[1,2]x ∃∈-，使得不等式220x x m --<成立”，命题:q “方程2213x y m m -=+表示的曲线为双曲线”，若p q ∨为假，求实数m 的取值范围．18．（本小题满分12分）某中学有甲乙两个文科班进行数学考试，按照大于或等于120分为优秀，120分以下为非优（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名同学在乙班的概率； （Ⅲ）计算出统计量2k ，若按95%可靠性要求能否认为“成绩与班级有关”．（参考公式2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++）19．（本小题满分12分）新建的荆州中学拟模仿图甲建造一座体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：曲线AB 是以点E 为圆心的圆的一部分，其中(0,)(08E t t <≤单位：米)；曲线BC 是抛物线218(0)y ax a =+<的一部分；CD AD ⊥，且CD 恰好等于圆E 的半径．假定拟建体育馆的高18OB =米．（Ⅰ）若要求10CD =米，14AD =米，求t 与a 的值；（Ⅱ）若136a =-，将AD 的长表示为点E 的纵坐标t 的函数()f t ，并求AD 的最大值． 并求()f t 的最大值．(参考公式：若()f x =()f x '=，其中c 为常数)20．（本小题满分12分）设函数2()ln (,f x x x x a a R e =-++∈是自然对数的底数） （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若关于x 的方程2()2f x x x =++在区间1[,]e e上恰有两相异实根，求a 的取值范围； （Ⅲ）当2a ≤时，证明：()10x f x e --<．21．（本小题满分12分）已知椭圆C 的方程为22221(0)4x y m m m+=>，如图所示，在平面直角坐标系xoy 中，ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(1,0),(0,2),(1,2)A B C（Ⅰ）当椭圆C 与直线AB 相切时，求m 的值； （Ⅱ）若椭圆C 与ABC ∆三边无公共点，求m 的取值范围；（Ⅲ）若椭圆C 与ABC ∆三边相交于不同的两点M,N ，求OMN ∆的面积S 的最大值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应模块右边的方框涂黑。
2015-2016年湖北省黄石市有色一中高一(下)期中数学试卷(文科)和答案
A．y=sin（x+ C．y=cos（4x﹣
） ）
B．y=sin（2x﹣ D．y=cos（2x﹣
） ）
9． （5 分）已知不等式组 点，点 A（﹣1，2） ，则 z= A．1 10． （5 分）∀ α∈（ B．2 ， •
所表示的区域为 D，M（x，y）是区域 D 内的 的最大值为（ C．3 ） ，x= ） C．x=y D．不确定 ，y= ） D．4 ，则
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sin（x+
）cos（x+
）+sin2x+a 的最大值为
（1）求函数 f（x）的单调递增区间； （2）将 f（x）的图象向左平移 =m 在 x∈[0， 个单位，得到函数 g（x）的图象，若方程 g（x）
]上有解，求实数 m 的取值范围．
22． （12 分）已知在递增等差数列{an}中，a1=2，a3 是 a1 和 a9 的等比中项． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若 bn= ，Sn 为数列{bn}的前 n 项和，是否存在实数 m，使得 Sn＜
2015-2016 学年湖北省黄石市有色一中高一（下）期中数学试卷 （文科）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． （5 分）设集合 A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（ A．A⊇ B B．B⊆ A C．A=B ，则 sin2θ 的值为（ C．﹣ ） D．﹣ ）
，求 sin18°=
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. 17． （10 分）已知函数 （Ⅰ）求函数 f（x）的最小正周期及最值； （Ⅱ）令 ，判断函数 g（x）的奇偶性，并说明理由． ．
(高二下数学期中30份合集)湖北省黄石市高二下学期数学期中试卷合集
高二下学期期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．椭圆+=1的长轴长是（）A．2 B．3 C．4 D．62．双曲线﹣x2=1的一条渐近线方程为（）A．2x﹣y=0 B．x﹣2y=0 C．4x﹣y=0 D．x﹣4y=03．命题p“若x=2，则（x﹣2）（x+1）=0”，其否命题记为q，则下列命题中，真命题是（）A．￢p B．q C．p∧q D．p∨q4．“p∨q为真命题”是“p∧q为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件5．下列命题中，假命题是（）A．对任意双曲线C，C的离心率e＞1B．椭圆C：=1的左、右焦点分别为F1，F2，在C上存在点P，使|PF1|+|PF2|=4C．抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线L：x=﹣2，在C上存在点P，点P到直线L的距离等于|PF|D．椭圆C：=1，直线l：y=kx+1，对任意实数k，直线l与椭圆C总有两个公共点6．“方程=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件是（）A．1＜m＜2 B．0＜m＜2 C．m＜2 D．m≥27．在空间直角坐标系o﹣xyz中，A（2，0，0），B（1，0，1）为直线l1上的点，M（1，0，0），N（1，1，1）为直线l2上的两点，则异面直线l1与l2所成角的大小是（）A．75° B．60° C．45° D．30°8．已知曲线C的方程为=1（m∈R），命题p：∃m∈R使得曲线C的焦距为2，则命题p的否定是（）A．∀m∈R曲线C的焦距都为2 B．∀m∈R曲线C的焦距都不为2C．∃m∈R曲线C的焦距不为2 D．∀m∈R曲线C的焦距不都为29．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为e=，点为C上的一个动点，A1A2分别为的左、右顶点，则直线A1P与直线A2P的斜率之积为（）A．﹣2 B．2 C．3 D．10．在空间直角坐标系o﹣xyz中，A（0，1，0），B（1，1，1），C（0，2，1）确定的平面记为α，不经过点A的平面β的一个法向量为=（2，2，﹣2），则（）A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．α，β所成的锐二面角为60°11．已知椭圆+=1（a＞0）与双曲线+=1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．12．抛物线y2=8x的焦点为F，在该抛物线上存在一组点列P1（x1，y1），P2（x2，y2）…P1（x2017，y2017），使得|P1F|+|P2F|+…+|P2017F|=6051，则y12+y22+…+y20172=（）A．10085 B．16128 C．12102 D．16136二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若“存在实数x，使x2﹣2x+m=0”为真命题，则实数m的取值范围是．14．椭圆C：=1的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|=10，则|AB|的值为．15．已知点F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，M（4，t）（t＞0）为抛物线C上的点，且|MF|=5，线段MF 的中点为N，点T为C上的一个动点，则|TF|+|TN|的最小值为．16．双曲线C：=1的、左右焦点分别为F1，F2，M（1，4），点F1，F2分别为△MAB的边MA，MB 的中点，点N在第一象限内，线段MN的中点恰好在双曲线C上，则|AN|﹣|BN|的值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知命题p：曲线C：（m+2）x2+my2=1表示双曲线，命题q：方程y2=（m2﹣1）x表示的曲线是焦点在x轴的负半轴上的抛物线，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．18．抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，=﹣12求抛物线的解析式．19．如图所示的三棱锥P﹣ABC中，∠BAC=90°，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，PA=4，E，F，G分别为棱PB，BC，AC 的中点，点H在棱AP上，AH=1．（1）试判断与是否共线；（2）求空间四面体EFGH的体积．20．已知动圆M经过点A（﹣2，0），且与圆B：（x﹣2）2+y2=4相内切（B为圆心）．（1）求动圆的圆心M的轨迹C的方程；（2）过点B且斜率为2的直线与轨迹C交于P，Q两点，求△APQ的周长．21．四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为边长为2的正方形，PA=2，PB=PD=2，E，F，G，H分别为棱PA，PB，AD，CD的中点．（1）求CD与平面CFG所成角的正弦值；（2）是探究棱PD上是否存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．22．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，F，A为椭圆C的右焦点和右顶点，B（0，b），且=（1）求椭圆C的方程；（2）设M是第三象限内且椭圆上的一个动点，直线MB与x轴交于点P，直线MA与y轴交于点Q，求证：四边形ABPQ的面积为定值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．椭圆+=1的长轴长是（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】直接利用椭圆的标准方程求解实轴长即可．【解答】解：椭圆+=1的实轴长是：2a=6．故选：D．2．双曲线﹣x2=1的一条渐近线方程为（）A．2x﹣y=0 B．x﹣2y=0 C．4x﹣y=0 D．x﹣4y=0【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得a、b的值以及焦点位置，进而计算可得其渐近线方程，分析选项即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣x2=1，则其焦点在x轴上，且a==2，b=1，则其渐近线方程：y=±2x，即2x±y=0；分析可得：A是双曲线的一条渐近线方程；故选：A．3．命题p“若x=2，则（x﹣2）（x+1）=0”，其否命题记为q，则下列命题中，真命题是（）A．￢p B．q C．p∧q D．p∨q【考点】2E：复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p“若x=2，则（x﹣2）（x+1）=0”是真命题，其否命题记为q，故q是假命题，故p∨q是真命题，故选：D．4．“p∨q为真命题”是“p∧q为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．非充分非必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断；2E：复合命题的真假．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，则“p∨q为真命题”是“p∧q为真命题”的必要不充分条件，故选：B5．下列命题中，假命题是（）A．对任意双曲线C，C的离心率e＞1B．椭圆C：=1的左、右焦点分别为F1，F2，在C上存在点P，使|PF1|+|PF2|=4 C．抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线L：x=﹣2，在C上存在点P，点P到直线L的距离等于|PF|D．椭圆C：=1，直线l：y=kx+1，对任意实数k，直线l与椭圆C总有两个公共点【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】A根据双曲线离心率的定义即可判断结论正确；B根据椭圆的定义即可判断结论正确；C根据抛物线与准线的定义即可判断结论错误；D根据直线l恒过定点，且定点在椭圆C内部，即可判断结论正确．【解答】解：对于A，对任意双曲线C：﹣=1中，c=＞a，∴C的离心率为e=＞1，A正确；对于B，椭圆C：=1的左、右焦点分别为F1，F2，∴a2=4，∴a=2；根据椭圆的定义知，在C上存在点P，使|PF1|+|PF2|=2a=4，B正确；对于C，抛物线C：y2=4x的焦点为F，则F（1，0），准线是x=﹣1，在C上存在点P，点P到直线x=﹣1的距离等于|PF|，直线L：x=﹣2，在C上存在点P，点P到直线L的距离等于|PF|+1，∴C错误；对于D，椭圆C：=1，直线l：y=kx+1恒过A（0，1）点，且点A在椭圆C内部，∴对任意实数k，直线l与椭圆C总有两个公共点，D正确．故选：C．6．“方程=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件是（）A．1＜m＜2 B．0＜m＜2 C．m＜2 D．m≥2【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出条件的等价条件，结合必要不充分条件的定义进行求解即可．【解答】解：若方程=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则等价为，得得0＜m＜2，则方程=1表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆的必要不充分条件m＜2，故选：C7．在空间直角坐标系o﹣xyz中，A（2，0，0），B（1，0，1）为直线l1上的点，M（1，0，0），N（1，1，1）为直线l2上的两点，则异面直线l1与l2所成角的大小是（）A．75° B．60° C．45° D．30°【考点】LM：异面直线及其所成的角．【分析】求出=（﹣1，0，1），=（0，1，1），设异面直线l1与l2所成角为θ，则cosθ=，由此能求出异面直线l1与l2所成角的大小．【解答】解：∵空间直角坐标系o﹣xyz中，A（2，0，0），B（1，0，1）为直线l1上的点，M（1，0，0），N（1，1，1）为直线l2上的两点，∴=（﹣1，0，1），=（0，1，1），设异面直线l1与l2所成角为θ，则cosθ==，∴θ=60°．∴异面直线l1与l2所成角的大小为60°．故选：B．8．已知曲线C的方程为=1（m∈R），命题p：∃m∈R使得曲线C的焦距为2，则命题p的否定是（）A．∀m∈R曲线C的焦距都为2 B．∀m∈R曲线C的焦距都不为2C．∃m∈R曲线C的焦距不为2 D．∀m∈R曲线C的焦距不都为2【考点】2J：命题的否定．【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题p是特称命题，则命题的否定是：∀m∈R曲线C的焦距都不为2，故选：B9．双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为e=，点为C上的一个动点，A1A2分别为的左、右顶点，则直线A1P与直线A2P的斜率之积为（）A．﹣2 B．2 C．3 D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b的关系，设P（m，n），代入双曲线的方程，设A1（﹣a，0），A2（a，0），运用直线的斜率公式，化简整理即可得到所求积．【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为e=，可得=，即c=a，b==a，设P（m，n），可得﹣=1，即有n2=b2•，A1（﹣a，0），A2（a，0），直线A1P与直线A2P的斜率之积为•===2，故选：B．10．在空间直角坐标系o﹣xyz中，A（0，1，0），B（1，1，1），C（0，2，1）确定的平面记为α，不经过点A的平面β的一个法向量为=（2，2，﹣2），则（）A．α∥βB．α⊥βC．α，β相交但不垂直D．α，β所成的锐二面角为60°【考点】MD：平面的法向量．【分析】求出=（1，0，1），=（0，1，1），设平面α的法向量=（x，y，z），列出方程组，求出=（1，1，﹣1），由此能求出α∥β．【解答】解：∵A（0，1，0），B（1，1，1），C（0，2，1）确定的平面记为α，∴=（1，0，1），=（0，1，1），设平面α的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，1，﹣1），∵不经过点A的平面β的一个法向量为=（2，2，﹣2），=（2，2，﹣2）=2（1，1，﹣1）=2，∴α∥β．故选：A．11．已知椭圆+=1（a＞0）与双曲线+=1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质；KC：双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程分析可得双曲线的焦点在x轴上，且c=，又由题意，椭圆与双曲线有相同的焦点，则有a2＞a＞0且a2﹣a=6，解可得a的值，即可得椭圆的方程，由椭圆的离心率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为： +=1，必有m2+2＞0，而m2﹣4＜0，其焦点在x轴上，且c==，若椭圆+=1（a＞0）与双曲线+=1有相同的焦点，则有a2＞a＞0且a2﹣a=6，解可得a=3或﹣2（舍），故椭圆的方程为： +=1，则其离心率e=；故选：C．12．抛物线y2=8x的焦点为F，在该抛物线上存在一组点列P1（x1，y1），P2（x2，y2）…P1（x2017，y2017），使得|P1F|+|P2F|+…+|P2017F|=6051，则y12+y22+…+y20172=（）A．10085 B．16128 C．12102 D．16136【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的性质计算各点横坐标之和，从而得出结论．【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣2，由抛物线的性质可知：|P1F|=x1+2，|P2F|=x2+2，…，|P2017F|=x2017+2，∵|P1F|+|P2F|+…+|P2017F|=6051，∴x1+x2+…+x2017=6051﹣2×2017=2017，∴y12+y22+…+y20172=8x1+8x2+…+8x2017=8（x1+x2+…+x2017）=8×2017=16136．故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．若“存在实数x，使x2﹣2x+m=0”为真命题，则实数m的取值范围是m≤1 ．【考点】2I：特称命题．【分析】根据“存在x∈R，x2﹣2x+m=0”为真命题，△≥0解不等式求出m的取值范围．【解答】解：∵“存在x∈R，x2﹣2x+m=0”为真命题，即△=4﹣4m≥0，解得m≤1．∴实数m的取值范围是：m≤1．故答案为：m≤1．14．椭圆C：=1的两个焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交C于A，B两点，若|AF2|+|BF2|=10，则|AB|的值为 6 ．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的定义即可得出．【解答】解：由题意可得：|AF2|+|BF2|+|AF1|+|BF1|=10+|AB|=4a=16，解得|AB|=6．故答案为：6．15．已知点F为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，M（4，t）（t＞0）为抛物线C上的点，且|MF|=5，线段MF的中点为N，点T为C上的一个动点，则|TF|+|TN|的最小值为．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义可得p的方程，求得p=2，可得焦点和准线，再由中点坐标公式，可得N的横坐标，结合抛物线的定义和三点共线取得最小值，即可得到所求值．【解答】解：点F（，0）为抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点，准线方程为x=﹣，M（4，t）（t＞0）为抛物线C上的点，且|MF|=5，由抛物线的定义可得4+=5，解得p=2，即有抛物线的方程为y2=4x，M（4，4），F（1，0），准线方程为x=﹣1，设TK垂直于准线于K，由|TF|+|TN|=|TK|+|TN|≥|NK|，当K，T，N三点共线时，取得等号．由中点坐标公式可得N的横坐标为，即有|TF|+|TN|的最小值为+1=．故答案为：．16．双曲线C：=1的、左右焦点分别为F1，F2，M（1，4），点F1，F2分别为△MAB的边MA，MB 的中点，点N在第一象限内，线段MN的中点恰好在双曲线C上，则|AN|﹣|BN|的值为16 ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】连接PF1，PF2，运用双曲线的定义和三角形的中位线定理，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线C：=1中，a=4，连接PF1，PF2，由PF1是△MAN的中位线，可得|AN|=2|PF1|，由PF2是△MBN的中位线，可得|BN|=2|PF2|，由双曲线的定义可得：|PF1|﹣|PF2|=2a=8，则|AN|﹣|BN|=2（|PF1|﹣|PF2|）=2×8=16．故答案为：16．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．已知命题p：曲线C：（m+2）x2+my2=1表示双曲线，命题q：方程y2=（m2﹣1）x表示的曲线是焦点在x轴的负半轴上的抛物线，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．【考点】2E：复合命题的真假．【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，根据p，q一真一假，得到关于m的不等式组，解出即可．【解答】解：若（m+2）x2+my2=1表示双曲线，则m（m+2）＜0，解得：﹣2＜m＜0，故p：（﹣2，0），若方程y2=（m2﹣1）x表示的曲线是焦点在x轴的负半轴上的抛物线，则m2﹣1＜0，解得：﹣1＜m＜1，故q：（﹣1，1），若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，故或，故m∈（﹣2，﹣1]∪．∴棱PD上存在点M，使得平面CFG⊥平面MEH，此时=．22．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，F，A为椭圆C的右焦点和右顶点，B（0，b），且=（1）求椭圆C的方程；（2）设M是第三象限内且椭圆上的一个动点，直线MB与x轴交于点P，直线MA与y轴交于点Q，求证：四边形ABPQ的面积为定值．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的离心率，F，A为椭圆C的右焦点和右顶点，B（0，b），且=，列出方程组，求出a=3，b=2，c=，由此能求出椭圆C的方程．（2）求出A（3，0），B（0，2），设M（m，n），（m＜0，n＜0），则9n2+4m2=36，直线BM的方程为，令y=0，得x P=，直线AM的方程为，令x=0，得y Q=，四边形ABPQ 的面积为：S四边形ABPQ==，由此能证明四边形ABPQ的面积为定值．【解答】解：（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，F，A为椭圆C的右焦点和右顶点，B（0，b），且=，∴，解得a=3，b=2，c=，∴椭圆C的方程为=1．（2）证明：∵椭圆C的方程为=1，∴A（3，0），B（0，2），设M（m，n），（m＜0，n＜0），则=1，∴9n2+4m2=36，直线BM的方程为，令y=0，得x P=，直线AM的方程为，令x=0，得y Q=，∴四边形ABPQ的面积为：S四边形ABPQ======6．∴四边形ABPQ的面积为定值6．高二下学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合U={﹣1，0，1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，3} B．{1，2} C．{3} D．{2}2．已知i为虚数单位，复数z满足z=i（z﹣i），则复数z所对应的点Z在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在区间上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则实数m为（）A．0 B．1 C．2 D．34．在等差数列{a n}中，已知a4=5，a3是a2和a6的等比中项，则数列{a n}的前5项的和为（）A．15 B．20 C．25 D．15或255．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）对x∈R恒成立，当x∈时，f（x）=2x，则=（）A．B．C．D．16．过抛物线y2=4x的焦点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点（x A＞x B），则=（）A．B．C．3 D．27．将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．68．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中n表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin75°≈0.1305）（）A．2.598，3，3.1048 B．2.598，3，3.1056C．2.578，3，3.1069 D．2.588，3，3.11089．关于函数f（x）=2cos2+sinx（x∈）下列结论正确的是（）A．有最大值3，最小值﹣1 B．有最大值2，最小值﹣2C．有最大值3，最小值0 D．有最大值2，最小值010．点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=，∠ABC=90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π11．点P是双曲线的右支上一点，其左，右焦点分别为F1，F2，直线PF1与以原点O 为圆心，a为半径的圆相切于A点，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则离心率的值为（）A．B．C．D．12．设函数f'（x）是定义在（0，π）上的函数f（x）的导函数，有f（x）sinx﹣f'（x）cosx＜0，，b=0，，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，点E满足，则= ．14．若x，y∈R，且满足则z=2x+3y的最大值等于．15．下列命题中，正确的命题序号是．①已知a∈R，两直线l1：ax+y=1，l2：x+ay=2a，则“a=﹣1”是“l1∥l2”的充分条件；②命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定是“∃x0≥0，2x0＜x02”；③“sinα=”是“α=2kπ+，k∈Z”的必要条件；④已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”的充要条件是“a＞”．16．已知数列{a n}满足a1=2，且，则{a n}的通项公式为．三、解答题（6个大题共70分，写出必要的解答过程）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC﹣c=2b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若c=，角B的平分线BD=，求a．18．（12分）某单位N名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合U={﹣1，0，1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，3} B．{1，2} C．{3} D．{2}【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】利用集合的补集的定义求出集合B的补集；再利用集合的交集的定义求出A∩C U B【解答】解：∵U={﹣1，0，1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={﹣1，0，1，2}，∴∁U B={3，4，5}A∩∁U B={1，2，3}∩{3，4，5}={3}故选：C．【点评】本题考查集合的交集、并集、补集的定义并用定义解决简单的集合运算．2．已知i为虚数单位，复数z满足z=i（z﹣i），则复数z所对应的点Z在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：∵z=i（z﹣i）=i•z+1，∴z=，∴复数z所对应的点Z的坐标为（），在第一象限．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．在区间上随机取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则实数m为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】CF：几何概型．【分析】求解不等式|x|≤m，得到﹣m≤x≤m，得其区间长度，求出区间的长度，由两区间长度比列式得答案．【解答】解：区间的区间长度为4．不等式|x|≤m的解集为，区间长度为2m，由，得m=1．故选：B．【点评】本题考查几何概型，是基础的计算题．4．在等差数列{a n}中，已知a4=5，a3是a2和a6的等比中项，则数列{a n}的前5项的和为（）A．15 B．20 C．25 D．15或25【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和等比中项定义，列出方程组，求出a1=﹣1，d=2，由此能求出数列{a n}的前5项的和．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a4=5，a3是a2和a6的等比中项，∴，解得a1=﹣1，d=2，∴数列{a n}的前5项的和为：=5×（﹣1）+5×4=15．故选：A．【点评】本题考查等差数列的前五项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x）对x∈R恒成立，当x∈时，f（x）=2x，则=（）A．B．C．D．1【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】先确定函数f（x）的周期为2，再利用函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈时，f（x）=2x，即可得出结论．【解答】解：∵f（x+2）=f（x）对x∈R恒成立，∴f（x）的周期为2，（x）是定义在R上的偶函数，∴=f（﹣）=f（）∵当x∈时，f（x）=2x，∴f（）=，故选：B．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查函数的周期性，属于中档题．6．过抛物线y2=4x的焦点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点（x A＞x B），则=（）A．B．C．3 D．2【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】设出A、B坐标，利用抛物线焦半径公式求出|AB|，结合抛物线的性质x1x2=2，求出x1=2，x2=，然后求比值即可．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则斜率为，sinα=|AB|=x1+x2+p=，∴x1+x2==，又x1x2=2可得x1=2，x2=，∴==2．故选D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题．7．将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，正方体的体积为：8，三棱锥的体积为：××2×2×1=，故组合体的体积V=8﹣=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积与表面积，棱柱的体积与表面积，简单几何体的三视图，难度中档．8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中n表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin75°≈0.1305）（）A．2.598，3，3.1048 B．2.598，3，3.1056C．2.578，3，3.1069 D．2.588，3，3.1108【考点】EF：程序框图．【分析】由n的取值分别为6，12，24，代入即可分别求得S．【解答】解：当n=6时，S=×6×sin60°=2.598，输出S=2.598，6＜24，继续循环，当n=12时，S=×12×sin30°=3，输出S=3，12＜24，继续循环，当n=24时，S=×24×sin15°=3.1056，输出S=3.1056，24=24，结束，∴故选B．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．9．关于函数f（x）=2cos2+sinx（x∈）下列结论正确的是（）A．有最大值3，最小值﹣1 B．有最大值2，最小值﹣2C．有最大值3，最小值0 D．有最大值2，最小值0【考点】GI：三角函数的化简求值；H2：正弦函数的图象．【分析】利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，x∈时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最大值和最小值．【解答】解：函数f（x）=2cos2+sinx．化简可得：f（x）=cosx+sinx+1=2sin（x+）+1∵x∈，∴x+∈[，]，可得sin（x+）∈[，1]∴函数f（x）∈，故选：C．【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于基础题．10．点A，B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=，∠ABC=90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】根据几何体的特征，判定外接球的球心，求出球的半径，即可求出球的表面积【解答】解：根据题意知，直角三角形△ABC的面积为3．其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上，设小圆的圆心为Q，若四面体ABCD的体积的最大值，由于底面积S△ABC不变，高最大时体积最大，所以，DQ与面ABC垂直时体积最大，最大值为为S△ABC×DQ=3，即×3×DQ=3，∴DQ=3，如图．设球心为O，半径为R，则在直角△AQO中，OA2=AQ2+OQ2，即R2=（）2+（3﹣R）2，∴R=2，则这个球的表面积为：S=4π×22=16π．故选：D．【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积，其中分析出何时四面体ABCD的体积的最大值，是解答的关键，考查等价转化思想思想，是中档题．11．点P是双曲线的右支上一点，其左，右焦点分别为F1，F2，直线PF1与以原点O为圆心，a为半径的圆相切于A点，线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则离心率的值为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】运用线段的垂直平分线的性质定理可得|PF2|=|F1F2|=2c，设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|=2a，再由勾股定理和双曲线的定义可得4b﹣2c=2a，结合a，b，c的关系，可得a，c的关系，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：由线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，可得|PF2|=|F1F2|=2c，由直线PF1与以坐标原点O为圆心、a为半径的圆相切于点A，可得|OA|=a，设PF1的中点为M，由中位线定理可得|MF2|=2a，在直角三角形PMF2中，可得|PM|==2b，即有|PF1|=4b，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即4b﹣2c=2a，即2b=a+c，即有4b2=（a+c）2，即4（c2﹣a2）=（a+c）2，可得a=c，所以e==．故选：C．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查平面几何中垂直平分线定理和中位线定理的运用，考查运算能力，属于中档题．12．设函数f'（x）是定义在（0，π）上的函数f（x）的导函数，有f（x）sinx﹣f'（x）cosx＜0，，b=0，，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】令g（x）=f（x）cosx，则g′（x）=f′（x）cosx﹣f（x）sinx＞0，当0＜x＜π时，g（x）在（0，π）递增，即可判断出结论．【解答】解：令g（x）=f（x）cosx，则g′（x）=f′（x）cosx﹣f（x）sinx＞0，当0＜x＜π时，g（x）在（0，π）递增，∵＜＜π，∴＜＜，化为：＜0＜，即a＜b＜c．故选：A．【点评】本题考查了构造函数方法、利用导数研究函数的单调性、三角函数求值考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，点E满足，则= 0 ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据菱形中的边角关系，利用平面向量的线性运算与数量积定义，计算即可．【解答】解：如图所示，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，，∴ =+=+，∴=（+）•=•+•=2×2×cos（180°﹣60°）+×2×2=0．故答案为：0．【点评】本题考查了平面向量的数量积和线性运算问题，是基础题．14．若x，y∈R，且满足则z=2x+3y的最大值等于15 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，3），化目标函数z=2x+3y为y=﹣x+，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×3+3×3=15．故答案为：15．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．下列命题中，正确的命题序号是①③④．①已知a∈R，两直线l1：ax+y=1，l2：x+ay=2a，则“a=﹣1”是“l1∥l2”的充分条件；②命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定是“∃x0≥0，2x0＜x02”；③“sinα=”是“α=2kπ+，k∈Z”的必要条件；④已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”的充要条件是“a＞”．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①，a=﹣1代入直线方程即可判断；②，“＞”的否定是“≤”；③“sinα=”不能得到“α=2kπ+，k∈Z”，“α=2kπ+，k∈Z”，一定有“sinα=”；④，已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”⇒“a＞”反之也成立．【解答】解：对于①，a=﹣1时，把a=﹣1代入直线方程，得l1∥l2，故正确；对于②，命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定是“∃x0≥0，2x0≤x02”故错；对于③“sinα=”不能得到“α=2kπ+，k∈Z”，“α=2kπ+，k∈Z”，一定有“sinα=”故正确；对于④，已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”⇒“a＞”反之也成立，故正确．故答案为：①③④．【点评】本题考查了命题真假的判定，涉及到命题的否定，充要条件的判断，属于中档题．16．已知数列{a n}满足a1=2，且，则{a n}的通项公式为a n=n+1 ．【考点】8H：数列递推式．【分析】依题意可得，与已知关系式作差可得=，可判断出数列{}是以1为公比的等比数列，结合题意可知其首项为=1，利用等比数列的通项公式即可求得答案．【解答】解：∵，①，②①﹣②得： =a n+1﹣a n，整理得： =，∴=1，又=1，∴数列{}是以1为首项，1为公比的等比数列，∴a n=n+1，故答案为：a n=n+1．【点评】本题考查数列递推式，求得数列{}是以1为首项，1为公比的等比数列是关键，也是难点，考查推理与运算能力，属于中档题．三、解答题（6个大题共70分，写出必要的解答过程）17．（12分）（2017•银川二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosC﹣c=2b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若c=，角B的平分线BD=，求a．【考点】HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的条件，求出cosA的值，由A的范围和特殊角的三角函数值求出角A的值；（Ⅱ）由条件和正弦定理求出sin∠ADB，由条件求出∠ADB，由内角和定理分别求出∠ABC、∠ACB，结合条件和余弦定理求出边a的值．【解答】解：（Ⅰ）由2acosC﹣c=2b及正弦定理得，2sinAcosC﹣sinC=2sinB，…（2分）2sinAcosC﹣sinC=2sin（A+C）=2sinAcosC+2cosAsinC，∴﹣sinC=2cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA=，又A∈（0，π），∴A=；…（6分）（Ⅱ）在△ABD中，c=，角B的平分线BD=，由正弦定理得，∴sin∠ADB===，…（8分）由A=得∠ADB=，∴∠ABC=2（）=，∴∠ACB==，AC=AB=由余弦定理得，a2=BC2═AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA=2+2﹣2×=6，∴a=…（12分）【点评】本题考查正弦定理、余弦定理，内角和定理，以及两角和的正弦公式等应用，考查转化思想，化简、变形能力．18．（12分）（2017•银川二模）某单位N名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组22．（10分）（2016•荆州模拟）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3，），求|PA|+|PB|．【考点】QJ：直线的参数方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）圆C的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标公式进行化简就可求出直角坐标方程，最后再利用三角函数公式化成参数方程；（Ⅱ）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得即，根据两交点A，B 所对应的参数分别为t1，t2，利用根与系数的关系结合参数的几何意义即得．【解答】解：（Ⅰ）由，可得，即圆C的方程为．由可得直线l的方程为．所以，圆C的圆心到直线l的距离为．…。
湖北省黄石市有色第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理(含解析)
湖北省黄石市有色第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+,若()()m n m n +⊥-,则=λ（ ） A ．4- B ．3-C ．2-D ．-1【答案】B 【解析】 试题分析：()()()()()()2222=01124m n m n m nm n m n λλ+⊥-∴+--=∴++=++3λ∴=-考点：向量的坐标运算2.设集合2{|2},{|340}S x x T x x x =>-=+-≤,则()R C S T =( )A.(2,1]-B. ]4,(--∞C. ]1,(-∞D.),1[+∞ 【答案】C 【解析】试题分析：{}2{|340}|41T x x x x x =+-≤=-≤≤{}()|1(,1]R C S T x x ∴=≤=-∞考点：集合运算3.已知命题:p x R ∀∈,23x x <;命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是:（ ） A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【答案】B 【解析】试题分析：命题p 是假命题，命题q 是真命题，所以p q ⌝∧是真命题 考点：复合命题真假的判定4.某中学为了研究学生的视力和座位（有关和无关）的关系，运用2×2列联表进行独立性研究，经计算K 2=7.069，则至少有（ ）的把握认为“学生的视力与座位有关”． 附：A ．95%B ．99%C ．97.5%D ．90%【答案】B 【解析】试题分析：：∵2k =7.069＞6.635，对照表格可知有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系考点：独立性检验的应用5.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤0200x y y x 确定的平面区域记为1Ω，不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21y x y x ，确定的平面区域记为2Ω，在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为（ ）A.18 B.41 C. 43 D.87 【答案】D 【解析】试题分析：平面区域1Ω，为三角形AOB ，面积为12222⨯⨯=，平面区域2Ω，为△AOB 内的四边形BDCO ，其中C （0，1），由201y x x y --=⎧⎨+=⎩，解得1232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即D 13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，则三角形ACD 的面积1111224S =⨯⨯=，则四边形BDCO 的面积17244S =-=，则在1Ω中随机取一点，则该点恰好在2Ω内的概率为77428=考点：几何概型6.将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，……600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数一次为（）A．26, 16, 8 B．25，17，8 C．25，16，9 D． 24，17，9【答案】B【解析】试题分析：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人考点：系统抽样7.某班有50名学生，一次考试的成绩ξ（ξ∈N）服从正态分布N（100，102）．已知P（90≤ξ≤100）=0.3,估计该班数学成绩在110分以上的人数为（）A．10 B．20 C. 30 D．40【答案】A考点：正态分布8.在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠=( )A.6πB.3πC.23πD.56π【答案】A 【解析】试题分析：利用正弦定理化简得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=12sinB ， ∵sinB ≠0，∴sinAcosC+cosAsinC=sin （A+C ）=sinB=12， ∵a ＞b ，∴∠A ＞∠B ，∴∠B=6π 考点：9.某几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的各侧面中最大的侧面的面积为（ ）A ．4B ．8C ．2D ．2【答案】D考点：由三视图求面积、体积10.运行如下程序A 框图,如果输入的[]1,3t ∈-,则输出s 属于（ ）A ．[3,4]-B ．[5,2]-C ．[4,3]-D ．[2,5]-【答案】A 【解析】试题分析：本程序为条件结果对应的表达式为23,14,1t t s t t t <⎧=⎨-≥⎩， 则当输入的t ∈[-1，3]，则当t ∈[-1，1）时，s=3t ∈[-3，3），当t ∈[1，3]时，()22424s t t t =-=--+∈[3，4]，综上s ∈[-3，4]， 考点：程序框图11.抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】试题分析：设|AF|=a ，|BF|=b ，连接AF 、BF ， 由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|， 在梯形ABPQ 中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b ．由余弦定理得，()2222222cos603AB a b ab a b ab a b ab =+-=+-=+-又∵22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴()()()()222231344a b ab a b a b a b +-≥+-+=+得到()12AB a b ≥+． ∴1MN AB ≤，即MNAB的最大值为1． 考点：抛物线性质12.设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（ ） A ．有极大值,无极小值 B ．有极小值,无极大值 C ．既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也无极小值【答案】D考点：函数在某点取得极值的条件；导数的运算第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.6x⎛⎝的二项展开式中的常数项为______.【答案】15 【解析】试题分析：展开式的通项公式为()362161r rrr T C x-+=-，令36042r r -=∴=，常数项为()446115C -=考点：二项式定理 14.已知函数f （x ）=f ′（）cosx+sinx ，则f （）的值为 ．【答案】1 【解析】试题分析：由原函数可知()()'''''sin cos sin cos 1444444f x f x x f f f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+∴=-+∴= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()))1cos sin 1cossin1444f x x x f πππ⎛⎫∴=+∴=+= ⎪⎝⎭考点：函数求导数15.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是________. 【答案】96 【解析】试题分析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×44A =96种 考点：排列、组合及简单计数问题 16.已知F 1、F 2为双曲线的两个焦点，P 为双曲线右支上异于顶点的任意一点，O为坐标原点，下列四个命题：①△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x=3上；②△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线x=2上；③△PF 1F 2的内切圆的圆心必在直线OP 上；④△PF 1F 2的内切圆必过（3，0）． 其中真命题的序号是 ______． 【答案】(1),(4) 【解析】试题分析：设12PF F ∆的内切圆分别与12,PF PF 切于点A 、B ，与12F F 切于点M ，则可知|PA|=|PB|，1122,F A FM F B F M ==，点P 在双曲线右支上，所以1226PF PF a -==，故126FM F M -=，而12F M F M +=M 点坐标为（x ，0），则由1226PF PF a -==，可得()6x x +-=，解得x=3，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x 轴 考点：双曲线的简单性质三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期： （Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】（Ⅰ）π（Ⅱ）最大值2；最小值—1 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期；（Ⅱ）利用x 的范围确定26x π+的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值 试题解析：（Ⅰ）因为1)6sin(cos 4)(-+=πx x x f1)cos 21sin 23(cos 4-+=x x x 1cos 22sin 32-+=x xx x 2cos 2sin 3+=)62sin(2π+=x （4分）所以)(x f 的最小正周期为π （5分） （Ⅱ）因为.32626,46πππππ≤+≤-≤≤-x x 所以 于是，当6,262πππ==+x x 即时，)(x f 取得最大值2；当)(,6,662x f x x 时即πππ-=-=+取得最小值—1． （10分） 考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值18.已知各项均为正数的等比数列{a n }的首项a 1=2，S n 为其前n 项和，若5S 1，S 3，3S 2成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =log 2a n ，，记数列{c n }的前n 项和T n ．若对∀n ∈N *，T n ≤k（n+4）恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（1）a n =2n（2）[，+∞） 【解析】试题分析：（1）由5S 1，S 3，3S 2成等差数列，依题意，可化简求得q=2，首项12a =，从而可求得数列{a n }的通项公式；（2）依题意，可求得111n c n n =-+，从而可得1n nT n =+，由()41n k n n ≤++可求得145k n n≥++，利用基本不等式即可求得k 的取值范围 试题解析：（1）∵5S 1，S 3，3S 2成等差数列， ∴2S 3=5S 1+3S 2…即2（a 1+a 1q+a 1q 2）=5a 1+3（a 1+a 1q ）， 化简得 2q 2﹣q ﹣6=0… 解得：q=2或q=﹣…（3分）因为数列{a n }的各项均为正数，所以q=﹣不合题意… 所以{a n }的通项公式为：a n =2n．…（6分） （2）由b n =log 2a n 得b n ==n…∴c n===﹣…（8分）∴T n=1﹣+﹣+…+﹣==…∵≤k（n+4）∴k≥==…∵n++5≥2+5=9，当且仅当n=，即n=2时等号成立∴≤∴k的取值范围[，+∞）（12分）考点：等差数列与等比数列的综合19.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，AB=AC=1， AA1=2，点P是棱BB1上一点，满足=λ（0≤λ≤1）．（1）若，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值；（2）若二面角P﹣A1C﹣B的正弦值为，求λ的值．（2）1【答案】（1）33试题解析：（1）如图所示，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，2），P．=（1，0，﹣2），=（﹣1，1，0），=．设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），则，即，取=（2，2，1），设直线PC与平面A1BC所成角为θ，则sinθ====．（6分）（2）设二面角P﹣A1C﹣B的平面角为α，由图可知为锐角，∵sinα=，∴cosα==．∵=λ（0≤λ≤1），∴P（1，0，2λ）．∴=（1，﹣1，2λ），=（1，0，2λ﹣2）．设平面A1CP的法向量为=（x0，y0，z0），则，即，取=（2﹣2λ，2，1），∴===．∴=．化简解得：λ2+8λ﹣9=0，0≤λ≤1，解得λ=1．（12分）考点：二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角20.某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有L1，L2两条巷道通往作业区（如图），L1巷道有A1，A2，A3三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是；L2巷道有B1，B2两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为，．（Ⅰ）求L1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；（Ⅱ）若L2巷道中堵塞点个数为X，求X的分布列及数学期望EX，并按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线“的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．【答案】（Ⅰ）12（Ⅱ）选择L2巷道为抢险路线为好．【解析】试题分析：（Ⅰ）利用互独立事件的概率计算公式即可得出；（Ⅱ）比较走两条路的数学期望的大小，即可得出要选择的路线试题解析：（Ⅰ）设”L1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A则（4分）（Ⅱ）依题意，X的可能取值为0，1，2所以，随机变量X 的分布列为：设L 1巷道中堵塞点个数为Y ，则Y 的可能取值为0，1，2，3，，，，，所以，随机变量Y 的分布列为：因为EX ＜EY ，所以选择L 2巷道为抢险路线为好．（12分） 考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式 21.已知椭圆（a ＞b ＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P （4，0），A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ 【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知12c e a ==，能够导出2243a b =．再由b =C 的方程；（Ⅱ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y=k （x-4）．由()224143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222433264120kx k x k +-+-=，再由根与系数的关系证明直线AE 与x 轴相交于定点Q（1，0）；（Ⅲ）分MN 的斜率存在与不存在两种情况讨论，当过点Q 直线MN 的斜率存在时，设直线MN的方程为y=m （x-1），且M ()11,x y ，N ()22,x y 在椭圆C 上．由()224143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222433264120kx k x k +-+-=．再由根据判别式和根与系数的关系求解OM ON 的取值范围；当过点Q 直线MN 的斜率不存在时，其方程为x=1，易得M 、N 的坐标，进而可得OM ON 的取值范围，综合可得答案 试题解析：（Ⅰ）由题意知，所以．即．又因为，所以a 2=4，b 2=3． 故椭圆C 的方程为． (3分）（Ⅱ）由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为y=k （x ﹣4）．由得（4k 2+3）x 2﹣32k 2x+64k 2﹣12=0．①设点B （x 1，y 1），E （x 2，y 2），则A （x 1，﹣y 1）． 直线AE 的方程为．令y=0，得．将y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入，整理，得．②由①得，代入②整理，得x=1．所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）．（8分）（Ⅲ）当过点Q直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=m（x﹣1），且M（x M，y M），N（x N，y N）在椭圆C上．由得（4m2+3）x2﹣8m2x+4m2﹣12=0．易知△＞0．所以，，．则=．因为m2≥0，所以．所以．当过点Q直线MN的斜率不存在时，其方程为x=1．解得，N（1，）或M（1，）、N（1，﹣）．此时．所以的取值范围是．（ 12分）考点：椭圆方程及直线与椭圆相交的综合问题22.已知函数．（1）函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（2）当x＞0时，恒成立，求整数k的最大值；（3）试证明：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n （n+1））＞e 2n ﹣3．【答案】（1）减函数（2）3（3）详见解析 【解析】试题分析：（Ⅰ）求导函数，确定导数的符号，即可得到结论；（Ⅱ）当x ＞0时，()1kf x x >+恒成立，即()11ln 1x k x x +<++⎡⎤⎣⎦在（0，+∞）上恒成立，构造函数，求出函数的最小值，即可求整数k 的最大值； （Ⅲ）由（Ⅱ）知：()()1ln 1301x x x x ++>>+，从而令()()()3111,ln 1122311x n n n n n n n n ⎛⎫=+++>-=--⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭，即可证得结论试题解析：（1）由题，…（1分）故f （x ）在区间（0，+∞）上是减函数；…（2分） （2）解：当x ＞0时，恒成立，即在（0，+∞）上恒成立， 取，则，…（4分）再取g （x ）=x ﹣1﹣ln （x+1），则，故g （x ）在（0，+∞）上单调递增，而g （1）=﹣ln2＜0，g （2）=1﹣ln3＜0，g （3）=2﹣2ln2＞0，…（6分） 故g （x ）=0在（0，+∞）上存在唯一实数根a ∈（2，3），a ﹣1﹣ln （a+1）=0， 故x ∈（0，a ）时，g （x ）＜0；x ∈（a ，+∞）时，g （x ）＞0， 故，故k max =3…（8分）(3）证明：由（2）知：，∴令，…（10分）又ln[（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•（1+n（n+1））]=ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln （1+n×（n+1））=即：（1+1•2）•（1+2•3）•（1+3•4）•…•[1+n（n+1）]＞e2n﹣3…（12分）考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的证明。
2014黄石中考数学试题(解析版)
最新资料，word文档，可以自由编辑！！精品文档下载【本页是封面，下载后可以删除!】湖北省黄石市2014年中考数学试卷一、仔细选一选（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每个小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项所对应的字母在答题卷中相应的格子涂黑，注意可用多种不同的方法来选取正确答案．1．（3分）(2014年湖北黄石)﹣的倒数是（）A．﹣3 B． 3 C．﹣D．分析：根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．解答：解：﹣的倒数是﹣3．故选：A．点评：本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2．（3分）(2014年湖北黄石)磁湖是黄石一颗璀璨的明珠，据统计，在今年“五一”期间，游览磁湖的人数为21.22万人，这一数据用科学记数法可表示为（）A．21.22×104人B．2.122×106人C．2.122×105人D．2.122×104人考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：21.22万=212200用科学记数法表示为：2.122×105．故选：2.122×105．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．（3分）(2014年湖北黄石)下列计算正确的是（）A．﹣3x2y•5x2y=2x2y B．﹣2x2y3•2x3y=﹣2x5y4 C．35x3y2÷5x2y=7xy D．（﹣2x﹣y）（2x+y）=4x2﹣y2考点：整式的除法；单项式乘单项式；平方差公式．专题：计算题．分析：A、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；B、原式利用单项式乘以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；D、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．解答：解：A、﹣3x2y•5x2y=﹣15x4y2，故选项错误；B、﹣2x2y3•2x3y=﹣4x5y4，故选项错误；C、35x3y2÷5x2y=7xy，故选项正确；D、（﹣2x﹣y）（2x+y）=﹣（2x+y）2=﹣4x2﹣4xy﹣y2，故选项错误．故选C．点评：此题考查了整式的除法，单项式乘除单项式，以及平方差公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．（3分）(2014年湖北黄石)如图，一个正方体被截去四个角后得到一个几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．解答：解；从上面看是一个正方形并且每个角有一个三角形，故选；C．点评：本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．5．（3分）(2014年湖北黄石)如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（）A．30° B．60° C．90°D．120°考点：直角三角形的性质．分析：根据直角三角形两锐角互余解答．解答：解：由题意得，剩下的三角形是直角三角形，所以，∠1+∠2=90°．故选C．点评：本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．6．（3分）(2014年湖北黄石)学校团委在“五四青年节”举行“感动校园十大人物”颁奖活动中，九（4）班决定从甲、乙、丙、丁四人中随机派两名代表参加此活动，则甲乙两人恰有一人参加此活动的概率是（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲乙两人恰有一人参加此活动的情况，再利用概率公式即可求得答案．解答：解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，甲乙两人恰有一人参加此活动的有8种情况，∴甲乙两人恰有一人参加此活动的概率是：=．故选A．点评：本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．7．（3分）(2014年湖北黄石)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则函数值y＞0时，x 的取值范围是（）A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D． x＜﹣1或x＞3考点：二次函数与不等式（组）．分析：根据图象，写出函数图象在x轴上方部分的x的取值范围即可．解答：解：由图可知，x＜﹣1或x＞3时，y＞0．故选D．点评：本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解更简便．8．（3分）(2014年湖北黄石)以下命题是真命题的是（）A．梯形是轴对称图形B．对角线相等的四边形是矩形C．四边相等的四边形是正方形D．有两条相互垂直的对称轴的四边形是菱形考点：命题与定理分析：根据等腰图形的性质对A矩形判断；根据矩形、正方形和菱形的判定方法分别对B、C、D矩形判断．解答：解：A、等腰梯形是轴对称图形，所以A选项错误；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项错误；C、四边相等且有一个角为90°的四边形是正方形，所以C选项错误；D、有两条相互垂直的对称轴的四边形是菱形，所以D选项正确．故选D．点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．9．（3分）(2014年湖北黄石)正方形ABCD在直角坐标系中的位置如下图表示，将正方形ABCD 绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的坐标是（）A．（2，0）B．（3，0）C．（2，﹣1）D．（2，1）考点：坐标与图形变化-旋转．分析：正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后，C点的对应点与C一定关于A对称，A是对称点连线的中点，据此即可求解．解答：解：AC=2，则正方形ABCD绕点A顺时针方向旋转180°后C的对应点设是C′，则AC′=AC=2，则OC′=3，故C′的坐标是（3，0）．故选B．点评：本题考查了旋转的性质，理解C点的对应点与C一定关于A对称，A是对称点连线的中点是关键．10．（3分）(2014年湖北黄石)如图，AB是半圆O的直径，点P从点A出发，沿半圆弧AB 顺时针方向匀速移动至点B，运动时间为t，△ABP的面积为S，则下列图象能大致刻画S与t之间的关系的是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．分析：根据点P到AB的距离变化，利用三角形的面积分析解答即可．解答：解：点P在弧AB上运动时，随着时间t的增大，点P到AB的距离先变大，当到达弧AB的中点时，最大，然后逐渐变小，直至到达点B时为0，并且点P到AB的距离的变化不是直线变化，∵AB的长度等于半圆的直径，∴△ABP的面积为S与t的变化情况相同，纵观各选项，只有C选项图象符合．故选C．点评：本题考查了动点问题的函数图象，读懂题目信息，理解△ABP的面积的变化情况与点P到AB的距离的变化情况相同是解题的关键．二、认真填一填（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）(2014年湖北黄石)函数y=中自变量x是取值范围是x≥．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．解答：解：由题意得，2x﹣3≥0，解得x≥．故答案为：x≥．点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．（3分）(2014年湖北黄石)分解因式：4x2﹣9=（2x﹣3）（2x+3）．考点：因式分解-运用公式法．分析：先整理成平方差公式的形式．再利用平方差公式进行分解因式．解答：解：4x2﹣9=（2x﹣3）（2x+3）．点评：本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．13．（3分）(2014年湖北黄石)如图，圆O的直径CD=10cm，且AB⊥CD，垂足为P，AB=8cm，则sin∠OAP=．考点：垂径定理；勾股定理；锐角三角函数的定义专题：计算题．分析：根据垂径定理由AB⊥CD得到AP=AB=4cm，再在Rt△OAP中，利用勾股定理计算出OP=3，然后根据正弦的定义求解．解答：解：∵AB⊥CD，∴AP=BP=AB=×8=4cm，在Rt△OAP中，OA=CD=5，∴OP==3，∴sin∠OAP==．故答案为．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和锐角三角函数．14．（3分）(2014年湖北黄石)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=45°，AB=1，CD=3，BE∥AD交CD于E，则△BCE的周长为．考点：等腰梯形的性质．分析：首先根据等腰梯形的性质可得∠D=∠C=45°，进而得到∠EBC=90°，然后证明四边形ABED是平行四边形，可得AB=DE=1，再得EC=2，然后再根据勾股定理可得BE长，进而得到△BCE的周长．解答：解：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴∠D=∠C=45°，∵EB∥AD，∴∠BEC=45°，∴∠EBC=90°，∵AB∥CD，BE∥AD，∴四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE=1，∵CD=3，∴EC=3﹣1=2，∵EB2+CB2=EC2，∴EB=BC=，∴△BCE的周长为：2+2，故答案为：2+2．点评：此题主要考查了等腰梯形的性质，以及平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用，关键是掌握等腰梯形同一底上的两个角相等．15．（3分）(2014年湖北黄石)一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示“实验结果落在D中的某个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率P A=．如图，现在等边△ABC内射入一个点，则该点落在△ABC内切圆中的概率是π．考点：三角形的内切圆与内心；等边三角形的性质；几何概率．分析：利用等边三角形以及其内切圆的性质以及锐角三角函数关系得出DO，DC的长，进而得出△ABC的高，再利用圆以及三角形面积公式求出即可．解答：解：连接CO，DO，由题意可得：OD⊥BC，∠OCD=30°，设BC=2x，则CD=x，故=tan30°，∴DO=DCtan30°=，∴S圆O=π（）2=，△ABC的高为：2x•sin60°=x，∴S△ABC=×2x×x=x2，∴则该点落在△ABC内切圆中的概率是：=．故答案为：π．点评：此题主要考查了几何概率以及三角形内切圆的性质以及等边三角形的性质等知识，得出等边三角形与内切圆的关系是解题关键．16．（3分）(2014年湖北黄石)观察下列等式：第一个等式：a1==﹣；第二个等式：a2==﹣；第三个等式：a3==﹣；第四个等式：a4==﹣．按上述规律，回答以下问题：（1）用含n的代数式表示第n个等式：a n==；（2）式子a1+a2+a3+…+a20=．考点：规律型：数字的变化类．分析：（1）由前四个等是可以看出：是第几个算式，等号左边的分母的第一个因数是就是几，第二个因数是几加1，第三个因数是2的几加1次方，分子是几加2；等号右边分成分子都是1的两项差，第一个分母是几乘2的几次方，第二个分母是几加1乘2的几加1次方；由此规律解决问题；（2）把这20个数相加，化为左边的形式相加，正好抵消，剩下第一个数分裂的第一项和最后一个数分裂的后一项，得出答案即可．解答：解：（1）用含n的代数式表示第n个等式：a n==﹣．（2）a1+a2+a3+…+a20=﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣=﹣．故答案为：（1），﹣；（2）﹣．点评：此题考查数字的变化规律，从简单情形入手，找出一般规律，利用规律解决问题．三、全面答一答（本题有9个小题，共72分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤，如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答尽量写出来．17．（7分）(2014年湖北黄石)计算：|﹣5|+2cos30°（）﹣1+（9﹣）0+．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：本题涉及零指数幂、负整指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式==11．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18．（7分）(2014年湖北黄石)先化简，后计算：（1﹣）÷（x﹣），其中x=+3．考点：分式的化简求值专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=÷=•=，当x=+3时，原式==．点评：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．（7分）(2014年湖北黄石)如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．（1）求证：AB平分∠OAC；（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．考点：菱形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．分析：（1）求出等边三角形AOC和等边三角形OBC，推出OA=OB=BC=AC，即可得出答案；（2）求出AC=OA=AP，求出∠PCO=90°，∠P=30°，即可求出答案．解答：（1）证明：连接OC，∵∠AOB=120°，C是AB弧的中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形，∴OA=AC，同理OB=BC，∴OA=AC=BC=OB，∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC；（2）解：连接OC，∵C为弧AB中点，∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC，∴OAC是等边三角形，∵OA=AC，∴AP=AC，∴∠APC=30°，∴△OPC是直角三角形，∴．点评：本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较典型，难度适中．20．（8分）(2014年湖北黄石)解方程：．考点：高次方程分析：先把方程组的第二个方程进行变形，再代入方程组中的第一个方程，即可求出x，把x的值代入方程组的第二个方程，即可求出y．解答：解：，由方程x﹣2y=2得：4y2=15x2﹣60x+60（3），将（3）代入方程5x2﹣4y2=20，化简得：x2﹣6x+8=0，解此方程得：x=2或x=4，代入x﹣2y=2得：y=0或，即原方程组的解为或．点评：本题考查了解高次方程的应用，解此题的关键是能得出关于x定的一元二次方程，题目比较好，难度适中．21．（8分）(2014年湖北黄石)为创建“国家园林城市”，某校举行了以“爱我黄石”为主题的图片制作比赛，评委会对200名同学的参赛作品打分发现，参赛者的成绩x均满足50≤x＜100，并制作了频数分布直方图，如图．根据以上信息，解答下列问题：（1）请补全频数分布直方图；（2）若依据成绩，采取分层抽样的方法，从参赛同学中抽40人参加图片制作比赛总结大会，则从成绩80≤x＜90的选手中应抽多少人？（3）比赛共设一、二、三等奖，若只有25%的参赛同学能拿到一等奖，则一等奖的分数线是多少？考点：频数（率）分布直方图．分析：（1）利用总人数200减去其它各组的人数即可求得第二组的人数，从而作出直方图；（2）设抽了x人，根据各层抽取的人数的比例相等，即可列方程求解；（3）利用总人数乘以一等奖的人数，据此即可判断．解答：解：（1）200﹣（35+40+70+10）=45，如下图：（2）设抽了x人，则，解得x=8；（3）依题意知获一等奖的人数为200×25%=50．则一等奖的分数线是80分．点评：本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．22．（8分）(2014年湖北黄石)小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB=80km，BC=20km，∠ABC=120°．请你帮助小明解决以下问题：（1）求A、C之间的距离；（参考数据=4.6）（2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间）考点：勾股定理的应用分析：（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，利用勾股定理求得AC的长即可；（2）分别求得乘车时间，然后比较即可得到答案．解答：解：（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，∵∠ABC=120°，BC=20，∴BE=10，在△ACE中，∵AC2=8100+300，∴；（2）乘客车需时间（小时）；乘列车需时间（小时）；∴选择城际列车．点评：本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形．23．（8分）(2014年湖北黄石)某校九（3）班去大冶茗山乡花卉基地参加社会实践活动，该基地有玫瑰花和蓑衣草两种花卉，活动后，小明编制了一道数学题：花卉基地有甲乙两家种植户，种植面积与卖花总收入如下表．（假设不同种植户种植的同种花卉每亩卖花平均收入相等）种植户玫瑰花种植面积（亩）蓑衣草种植面积（亩）卖花总收入（元）甲 5 3 33500乙 3 7 43500（1）试求玫瑰花，蓑衣草每亩卖花的平均收入各是多少？（2）甲、乙种植户计划合租30亩地用来种植玫瑰花和蓑衣草，根据市场调查，要求玫瑰花的种植面积大于蓑衣草的种植面积（两种花卉的种植面积均为整数亩），花卉基地对种植玫瑰花的种植给予补贴，种植玫瑰花的面积不超过15亩的部分，每亩补贴100元；超过15亩但不超过20亩的部分，每亩补贴200元；超过20亩的部分每亩补贴300元．为了使总收入不低于127500元，则他们有几种种植方案？考点：一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用专题：应用题．分析：（1）设玫瑰花，蓑衣草的亩平均收入分别为x，y元，根据表格中的等量关系列出方程组求解；（2）设种植玫瑰花m亩，则种植蓑衣草面积为（30﹣m）亩，根据玫瑰花的种植面积大于蓑衣草的种植面积，可得m＞15，然后分段讨论求解．解答：解：（1）设玫瑰花，蓑衣草的亩平均收入分别为x，y元，依题意得：，解得：．答：玫瑰花每亩的收入为4000元，蓑衣草每亩的平均收入是4500元．（2）设种植玫瑰花m亩，则种植蓑衣草面积为（30﹣m）亩，依题意得：m＞30﹣m，解得：m＞15，当15＜m≤20时，总收入w=4000m+4500（30﹣m）+15×100+（m﹣15）×200≥127500，解得：15＜m≤20，当m＞20时，总收入w=4000m+4500（30﹣m）﹣15×100+5×200+（m﹣20）×300≥127500，解得：m≤20，（不合题意），综上所述，种植方案如下：种植类型种植面积（亩）方案一方案二方案三方案四方案五玫瑰花16 17 181920蓑衣草14 13 1211 10点评：本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系与不等关系．24．（9分）(2014年湖北黄石)AD是△ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM=xAB，AN=yAC （x，y≠0）．（1）如图1，当△ABC为等边三角形且α=30°时证明：△AMN∽△DMA；（2）如图2，证明：+=2；（3）如图3，当G是AD上任意一点时（点G不与A重合），过点G的直线交边AB于M′，交射线AC于点N′，设AG=nAD，AM′=x′AB，AN′=y′AC（x′，y′≠0），猜想：+=是否成立？并说明理由．考点：相似形综合题．分析：（1）利用“两角法”证得两个三角形相似；（2）如图1，过点C作CF∥AB交MN于点F，构建相似三角形：△CFN∽△AMN，利用该相似三角形的对应边成比例求得．通过证△CFD≌△BMD得到BM=CF，利用比例的性质和相关线段的代入得到，即；（3）猜想：+=成立．需要分类讨论：①如图乙，过D作MN∥M'N'交AB于M，交AC的延长线于N．由平行线截线段成比例得到，易求，，利用（2）的结果可以求得；②如图丙，当过点D作M1N1∥M'N'交AB的延长线于M1，交AC1于N1，则同理可得．解答：（1）证明：如图1，在△AMD中，∠MAD=30°，∠MDA=60°∴∠AMD=90°在△AMN中，∠AMN=90°，∠MAN=60°，∴∠AMN=∠DMA=90°，∠MAN=∠MDA，∴△AMN∽△DMA；（2）证明：如图甲，过点C作CF∥AB交MN于点F，则△CFN∽△AMN∴．易证△CFD≌△BMD，∴BM=CF，∴，∴，即；（3）猜想：+=成立．理由如下：①如图乙，过D作MN∥M'N'交AB于M，交AC的延长线于N，则∴，即，由（2）知∴②如图丙，当过点D作M1N1∥M'N'交AB的延长线于M1，交AC1于N1，则同理可得．点评：本题考查了相似三角形的综合题型．此题涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质，平行线截线段成比例等．此题的难点在于辅助线的作法，解题时，需要认真的思考才能理清解题思路．25．（10分）(2014年湖北黄石)如图，在矩形ABCD中，把点D沿AE对折，使点D落在OC上的F点，已知AO=8．AD=10．（1）求F点的坐标；（2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过点O，F，且直线y=6x﹣36是该抛物线的切线，求抛物线的解析式；（3）直线y=k（x﹣3）﹣与（2）中的抛物线交于P、Q两点，点B的坐标为（3，﹣），求证：+为定值．（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M，N两点间的距离为|MN|=）考点：二次函数综合题．分析：（1）根据折叠的性质得到AF=AD，所以在在直角△AOF中，利用勾股定理来求OF的长度，然后由点F在x轴上易求点F的坐标；（2）已知抛物线与x轴的两个交点坐标，所以可以设抛物线的交点式方程y=a（x﹣0）（x﹣6），即y=ax（x﹣6）（a≠0）．根据抛物线的切线的定义知，直线y=6x﹣36与该抛物线有一个交点，则联立两个函数解析式，得到关于x的一元二次方程ax2﹣（6a+6）x+36=0，则该方程的根的判别式△=0；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），假设x1＞3，x2＜3．根据抛物线与直线的交点坐标的求法得到：，根据根与系数的关系求得x1+x2=6+k，．利用两点间的距离公式推知+=，易求=4为定值．解答：解：（1）由折叠的性质得到：△ADE≌△AFE，则AF=AD．又∵AD=10，AO=8，∴，∴F（6，0）；（2）依题意可设过点O、F的抛物线解析式为y=a（x﹣0）（x﹣6），即y=ax（x﹣6）（a≠0）．依题意知，抛物线与直线y=6x﹣36相切，∴，∴ax2﹣（6a+6）x+36=0 有两个相等的实数根，∴△=（6a+6）2﹣4a×36=0，解得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣6x；（3）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），假设x1＞3，x2＜3．依题意得，得，∴x1+x2=6+k，．∵====即=4为定值．点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法等知识点．解题时，要学生掌握数形结合的数学思想方法．另外，解答（3）题时，需要熟悉两点间的距离公式．。
湖北黄石市有色第一中学2014-2015学年高二下学期期中考试英语试题 (Word版含答案)
2014—2015学年度下学期有色一中期中考试英语试卷（高二）出卷人：高一备课组Boys and girls,good luck!一第一部分听力（共两节30分）第一节(共 5 小题; 每小题 1.5 分,满分7.5分)听下面 5 段对话,每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项,并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后,你都有10 秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1.who is the woman probably speaking to?A.A tailorB.A shop assistantC.a bank clerk2.when can the man see the headmaster?A.At 9:30B.At 11:45C.At 12:403.What is the man going to do this weekend?A.Go for a driveB.Go fishingC.Play tennis4.Which sport will the man play this afteroon?A.FootballB.BadmitonC.Basketball5.What subject does Mrs Li most probably teach?A.EnglishB.ClassmatesC.Colleagues第二节（共15小题; 每小题1.5分, 满分22.5分）听下面5段对话或独白每段对话或独白后有几个小题, 从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项, 并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前, 你将有时间阅读各个小题, 每小题5秒钟; 听完后, 各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
请听第6段材料，回答第6,7题.6.How much does the woman pay for the tickets?A.6 poundsB.12 poundsC.16 pounds7.When should the woman collect the tickets?A.Before 5:30 pm on SundayB.Before 8:00 am on SundayC.Before 5:30 pm on Saturday请听第7 段材料，回答8,9题。
湖北省黄石市四校高一数学下学期期中联合考试试题
2014—2015学年度下学期黄石市四校期中联考高一年级数 学 试 卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷共150分。
考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（共12小题，每小题5分，共60分）一．选择题（本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.等差数列{}n a 中，377,5,a a ==-则公差d =（ ） A.3 B.-3 C.2 D.-22.在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等（ ）A.030B.060C.0060120或D.0015030或3.在等比数列{}n a 中,1a 和10a 是方程22510x x ++=的两个根,则47a a ⋅=( )A.52-B. C.12-D.124.已知向量m =（1，1），n 与m 的夹角为43π，且m ·n = －1，则向量n =（ ）A.（－1，0）B.（0，－1）C.（－1，0）或（0，－1）D.（－1，－1）5.在ABC ∆中，︒=60A ，34=a ，24=b ，则B 等于（ ） A.︒45或︒135 B.︒135 C. ︒45 D. 以上答案都不对6.已知幂函数()y f x=的图像过点(4,2)，则函数(1c o s)y f x =+的最小正周期是（ ） A.4π B.2π C. π D. 2π7.如图:B C D ,,三点在地面同一直线上，a DC =，从DC ,两点测得A 点仰角分别是 βααβ<，（），则A点离地面的高度AB 等于（ ）A.()αββα-⋅sin sin sin a B.()βαβα-⋅cos sin sin aC.()αββα-⋅sin cos sin aD.()βαβα-⋅cossin cos a 8.设函数()c o s s i n fx x x =-，把()f x 的图像向右平移m 个单位后，图像恰好为函数s i n c o s y x x =+的图像，则m 的值可以是（ ）A. 4πB.34πC. πD. 2π9.下列命题中，不正确的是（ ）A. 若a ，b ，c 成等差数列，则n ma+，n mb +，n mc +也成等差数列； B. 若a ，b ，c 成等比数列，则2ka ，2kb ，2kc （k 不等于0）也成等比数列；C. 若常数0>m ，a ，b ，c 成等差数列，则a m ，b m ，cm 成等比数列；D. 若常数0>m 且1≠m ，a ，b ，c 成等比数列，则a m log ，b m log ，c m log 成等差数列.10.在△ABC 中2,2,3π=∠==A BC ABt 的取值范围是( )A.[)∞+，1B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡121，C.(][)∞+⋃∞-，，10D.[)∞+⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-，，12111.已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，且当(0,1)x ∈时，()21xf x =-，则2(l o g12)f =（ ）A.13B.43 C.2 D.1112.在等差数列}{n a 中，0,01110><a a ，且||1011a a >，nS为数列}{n a 的前n 项和，则使>n S 的n 的最小值为（ ）A. 10B. 11C. 20D.21第Ⅱ卷（共10题，共90分）二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分.答案应写成最简结果） 13.等比数列{}n a 中，公比2q =，前3项和为21，则345a a a ++=14.数列}{n a 的前n 项和为nS，若)1(1+=n n a n ，则5S =______15.已知集合{}2l o g 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =______16.在数列{}n a 中，n n a n n a a 1,211+==+，则n a =三．解答题（本大题共6小题，共70分。
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2014-2015学年湖北省黄石市有色一中高二（下）期中数学试卷（文科）一.选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填在答题卡上）1．（5分）（2015春•黄石校级期中）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|y=}，则（∁R A）∪（∁R B）=（）A．∪B．C．，k∈Z．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18．（12分）（2015春•黄石校级期中）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+2S n S n﹣1=0（n≥2，n∈N），a1=．（1）求证：数列{}为等差数列．并求数列{a n}的通项公式a n．（2）记数列{b n}的通项公式为b n=，T n=b1+b2+…+b n，求T n的值．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（1）当n≥2时，化简S n﹣S n﹣1+2S n S n﹣1=0，从而可得=2及=2；从而证明{}是等差数列；再求数列{a n}的通项公式a n；（2）化简b n==；从而可得T n=b1+b2+…+b n=1+++…++，2T n=2+++…++；利用错位相减法求T n的值．解答：解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，又a n+2S n S n﹣1=0，则有S n﹣S n﹣1+2S n S n﹣1=0①，若S n=0，则a1=S1=0与a1=矛盾，故S n≠0；由①得=2，又=2；所以数列{}是以2为首项，公差为2的等差数列．故=2+2（n﹣2）=2n，S n=；当n≥2时，a n=﹣2S n S n﹣1=﹣，而n=1时，a1=；故；（2）b n==；∵T n=b1+b2+…+b n=1+++…++①，2T n=2+++…++②；∴②﹣①得，T n=3+++…+﹣=4﹣；故T n=4﹣．点评：本题考查了等差数列的判断与证明及数列前n项和的应用，同时考查了错位相减法的应用，属于中档题．19．（10分）（2013•合肥二模）某校在筹办2013年元旦联欢会前，对学生“是喜欢曲艺还是名，则女生应该抽取几名？（II）在（I）中抽取的5名学生中取2名，求恰有1名男生的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（I）由表中数据可得，求得每个个体被抽到的概率，则女生应该抽取的女生数是用此概率乘以女生的总人数所得的结果．（II）在（I）中抽取的5名学生中取2名，所有的取法有种，求恰有1名男生的取法有2×3=6种，由此求得恰有1名男生的概率．解答：解：（I）由表中数据可得，每个个体被抽到的概率为=，从喜欢舞蹈节目的45名学生中按性别分层随机抽取5名，则女生应该抽取的女生数为27×=3．（II）在（I）中抽取的5名学生中取2名，所有的取法有=10种，求恰有1名男生的取法有2×3=6种，故恰有1名男生的概率为=．点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，分层抽样的定义和方法，属于基础题．20．（12分）（2015春•黄石校级期中）一个多面体如图所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，AB=FB，FB⊥平面ABCD，ED∥FB，且ED=1．（1）求证：平面ACE⊥平面ACF．（2）求多面体AED﹣BCF的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）证明OE⊥平面ACF，即可证明平面ACE⊥平面ACF．（2）多面体ADE﹣BCF的体积V=，分别求出体积，即可求多面体AED﹣BCF的体积．解答：（1）证明：连接BD，AC与BD交于点O，连接OE，OF．∵四边形ABCD是四边形ABCD是正方形，FB⊥平面ABCD，ED∥FB∴DE⊥平面ABCD，AE=CE，OE⊥AC ①又∵DE=1，CD=2，则OE=，OF=，EF=3∴OE2+OF2=EF2，则OE⊥OF ②由①，②得，OE⊥平面ACF，∴平面ACF⊥ACE；（2）解：由（1）可知，三棱锥E﹣ACD，三棱锥F﹣ABC的高分别是DE，BF．且AC⊥平面BDEF，故多面体ADE﹣BCF的体积V=而，，=2∴多面体ADE﹣BCF的体积V=4．版权所有：中华资源库点评：本题考查了面面垂直的判定，考查了用分割法求多面体的体积，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．21．（12分）（2014•湖北校级模拟）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的共同特征．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．由此列式解出出a，b的值，即可得到椭圆C的方程．（Ⅱ）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得四边形APBQ的面积，从而解决问题．②设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得x1+2，同理PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），可得x2+2，从而得出AB的斜率为定值．解答：解：（Ⅰ）设C方程为，则．由，得a=4版权所有：中华资源库 ∴椭圆C 的方程为．…（4分）（Ⅱ）①解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线AB 的方程为，代入，得x 2+tx+t 2﹣12=0由△＞0，解得﹣4＜t ＜4…（6分）由韦达定理得x 1+x 2=﹣t ，x 1x 2=t 2﹣12． ∴==．由此可得：四边形APBQ 的面积∴当t=0，．…（8分）②解：当∠APQ=∠BPQ ，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k 则PB 的斜率为﹣k ，直线PA 的直线方程为y ﹣3=k （x ﹣2）由（1）代入（2）整理得（3+4k 2）x 2+8（3﹣2k ）kx+4（3﹣2k ）2﹣48=0 ∴…（10分）同理直线PB 的直线方程为y ﹣3=﹣k （x ﹣2），可得∴…（12分）所以AB 的斜率为定值．…（14分）点评： 本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．22．（14分）（2015春•黄石校级期中）已知函数f （x ）=ax 3++bx （a ，b 为常数）（1）若y=f （x ）的图象在x=2处的切线方程为x ﹣y+6=0，求函数f （x ）的解析式；（2）在（1）的条件下，求函数y=f（x）的图象与y=﹣+m的图象交点的个数；（3）当a=1时，∀x∈（0，+∞），lnx≤f'（x）恒成立，求b的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求函数f（x）的解析式；（2）求出函数的导数，求出函数的极值即可（3）将不等式恒成立转化为求函数的最值即可．解答：解：（Ⅰ）由题意得f′（x）=3ax2+（2﹣3a）x+b，由题知∵y=f（x）的图象在x=2处的切线方程为x﹣y+6=0，∴，即，解得a=﹣1，b=3．则f（x）=﹣x3++3x．（Ⅱ）由f（x）=﹣x3++3x，可得f′（x）=﹣3x2+5x+3，则y=﹣+m=﹣（﹣3x2+5x+3﹣9x﹣3）+m=，则由题意函数f（x）的图象与y=﹣+m的图象交点的个数等价于方程﹣x3++3x=实根的个数，即m=﹣x3+x2+x根的个数．等价于g（x）=﹣x3+x2+x的图象与直线y=m的交点个数，…（6分）g′（x）=﹣3x2+2x+1=﹣（x﹣1）（3x+1），由g′（x）＞0，解得＜x＜1，此时函数递增，由g′（x）＜0，解得x＜或x＞1，此时函数递减．则函数g（x）的极小值为g（）=，极大值为g（1）=1…（8分）根据上面的讨论，作出g（x）=﹣x3+x2+x的大致图象与直线y=m的位置如图，由图知，当＜m＜1时，函数f（x）的图象与y=﹣+m的图象有三个不同交点；当m=或m=1时，函数f（x）的图象与y=﹣+m的图象有两个不同交点；当m＜或m＞1时，函数f（x）的图象与y=﹣+m的图象有1个交点．…（10分）（Ⅲ）当a=1时，f（x）=﹣x3+bx，f′（x）=3x2﹣x+b，若，∀x∈（0，+∞），lnx≤f′（x）恒成立，等价于lnx≤3x2﹣x+b，即b≥lnx﹣3x2+x在（0，+∞）上恒成立，令h（x）=lnx﹣3x2+x，只需b≥h（x）max．h′（x）=，故当x∈（0，）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递增．∴h（x）max=h （）=﹣ln2﹣，∴b≥﹣ln2﹣，因此b的范围是[﹣ln2﹣，+∞）．点评：本题主要考查导数的综合应用，涉及的知识点有导数的几何意义以及函数极值和导数之间的关系，利用导数求函数的最值，综合性较强，运算量较大．版权所有：中华资源库。