湖北省黄石市有色一中2014-2015学年高二9月月考数学(文)试题(A卷) Word版无答案
2024-2025学年湖北省高一年级9月月考数学试题(含答案)
2024-2025学年湖北省高一年级9月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“∃x∈R，x2+x−1=0”的否定为( )A. ∃x∉R，x2+x−1=0B. ∃x∈R，x2+x−1≠0C. ∀x∈R，x2+x−1≠0D. ∀x∉R，x2+x−1=02.已知集合A={x|−3≤x≤1}，B={x||x|≤2}，则A∩B=( )A. {x|−2≤x≤1}B. {x|0≤x≤1}C. {x|−3≤x≤2}D. {x|1≤x≤2}3.下列命题为真命题的是( )A. ∀a>b>0，当m>0时，a+mb+m >abB. 集合A={x|y=x2+1}与集合B={y|y=x2+1}是相同的集合．C. 若b<a<0，m<0，则ma >mbD. 所有的素数都是奇数4.已知−1<a<5，−3<b<1，则以下错误的是( )A. −15<ab<5B. −4<a+b<6C. −2<a−b<8D. −53<ab<55.甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：A={x|0<Δx<2}，B={x|−3≤x≤5}，C={x|0<x<23}，然后他们三人各用一句话来正确描述“Δ”表示的数字，并让丁同学猜出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数;乙：x∈B是x∈A的必要不充分条件;丙：x∈C是x∈A的充分不必要条件.则“Δ”表示的数字是( )A. 3或4B. 2或3C. 1或2D. 1或36.已知不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>3}，则下列结论正确的是( )A. a>0B. c<0C. a+b+c<0D. cx2−bx+a<0的解集为{x|−13<x<1}7.已知m<8，则m+4m−8的最大值为( )A. 4B. 6C. 8D. 108.向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成;赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成;另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人.则下列说法错误的是( )A. 赞成A的不赞成B的有9人B. 赞成B的不赞成A的有11人C. 对A，B都赞成的有21人D. 对A，B都不赞成的有8人二、多选题：本题共3小题，共18分。
湖北省黄石市2015-201学年高二化学上册期末测试题
黄石市2015—2016学年度高二期末考试（调考）化学试题卷注意事项：1、本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间为90分钟，满分100分。
2、考生在答题前，请阅读答题卡中的“注意事项”，然后按要求答题。
3、所有答案均须做在答题卡相应区域，做在其它区域无效。
4、可能用到的相对原子质量：H－1 C－12 N－14 O－16 S－32 Na－23 Cl－35.5Al－27 Cu－64第I卷选择题（共48分）一、选择题（本大题共16小题，每题3分。
在每个题列出的4个选项中，只有一个选项符合题目要求）1．化学与生活密切相关，下列表述正确的是A．金属钠着火时使用泡沫灭火器灭火。
B．明矾常用于水体的净化、杀菌和消毒。
C．热的纯碱溶液去污效果更好D．84消毒液与洁厕灵混合后用于清洁洗手间的效果更好2．下图所示的四个原电池装置，其中结论正确的是243①②③④A．①中Mg作负极，电子流向：Mg→稀硫酸→AlB．②中Al作负极，OH‾迁移方向：Al →外电路→MgC．③中Fe作正极，电极反应式：2H++ 2e‾=== H2↑D．④中Cu作正极，电极反应式：O2+4e‾+2H2O=== 4OH‾3．已知：△H＜0，一定温度下，2molA和2molB在2L密闭容器中反应，10min后达到平衡，此时容器压强降为原来的4/5，下列叙述正确的是A．从开始到平衡，A的反应速率为0.08mol·L1-·min1-B．随着反应的进行，混合气体的密度逐渐减小C．达到平衡时，B的转化率为20％D．该温度下，反应的平衡常数K=20/34．下列说法不正确的是A．马口铁镀锡的表面即使破损后也能起到很好的防锈作用B．FeCl3饱和溶液滴入到沸水中，并继续煮沸，可得到Fe(OH)3沉淀C．反应AgCl＋NaBr===AgBr＋NaCl能在水溶液中进行，是因为AgBr比AgCl更难溶于水D．除去某溶液中的SO2－4，选择加入可溶性钡盐要比加入钙盐好先在托若有白色沉淀产生则存在6．设N A 为阿伏伽德罗常数的数值，下列说法不正确的是A ．两份均为18g 的Al 片分别与足量的盐酸和NaOH 溶液充分转移电子总数均为2N AB ．1 molCu 和2 mol 热浓硫酸充分反应，可生成N A 个SO 2分子C ．标准状况下，14g N 2和C 2H 4混合气体的体积为11.2LD ．3mol 单质Fe 完全转变为Fe 3O 4，失去8N A 个电子 7．下列化学用语表示正确的是A ．质子数为17、中子数为20的氯原子：2017ClB ．H 2CO 3的电离方程式：H 2CO 3++CO 32-C ．Na 2O 2D ．乙烯分子的结构简式：CH 2CH 28．白磷剧毒，白磷中毒可用硫酸铜溶液解毒，白磷和硫酸铜发生如下反应;⑴2P + 5CuSO 4 + 8H 2O = 5Cu + 2H 3PO 4 + 5H 2SO 4 ⑵11P + 15CuSO 4 + 24H 2O = 5Cu 3P + 6H 3PO 4 + 15H 2SO 4下列说法中正确的是A ．在上述两个反应中，当有1molP 参加反应时，反应转移电子数均为5N AB ．在反应⑵中，当生成3mol 硫酸时，被还原的P 为1molC ．在上述两个反应中，P 均作还原剂D ．在上述两个反应中，还原产物都是H 3PO 49．常温下，下列各组离子一定能在指定溶液中大量共存的是A ．使酚酞变红色的溶液中：Na ＋、Al 3＋、SO 42-、Cl －B ．与Fe 反应能放出H 2的溶液中：Fe 2＋、K ＋、NO 3－、SO 42-C ．)(+H c K W=1×10－13mol·L －1的溶液中：NH 4+、Ca 2+、Cl －、NO 3－ D ．水电离的c(H ＋)=1×10－13mol·L －1的溶液中：K ＋、Na ＋、AlO 2－、C O 32-10．一种熔融碳酸盐燃料电池原理示意如图。
2024-2025学年湖北省“问津教育联合体”高二9月联考数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖北省“问津教育联合体”高二9月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.点M(3,−2,1)关于平面yOz 对称点的坐标是( )A. (−3,2,1)B. (−3,2,−1)C. (−3,−2,−1)D. (−3,−2,1)2.从小到大排列的数据1，2，3，x ，4，5，6，7，8，y ，9，10的下四分位数为( )A. 3B. 3+x2C. 8D. 8+y23.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A. 若m ⊥n ，m ⊥α，则n//α B. 若m//n ，m ⊥α，则n ⊥αC. 若m//α，m//β，则α//βD. “直线a ，b 不相交”是“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件4.在下列条件中，点M 与A ，B ，C 三点一定共面的是( )A.B. OM =15OA +13OB +12OCC. OM =OA −OB −OCD. OM +OA +OB +OC =05.现利用随机数表法从编号为00，01，02，⋯，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的水笔编号小于10的概率为( )95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 2709662392580956 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925A. 16B. 13C. 12D. 236.某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型.如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台.其中半球的体积V 为144πcm 3，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半.打印所用原料密度ρ为1.6g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量m 约为( )(1.6π≈5，m =ρV)A. 3240g B. 1665g C. 1035gD. 315g7.正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，则直线A 1E ，C 1D 所成角的正弦值为( )A.33B. 12C. 31010D.15158.在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，∠BAC =90∘且BB 1=4，已知该三棱柱的体积为23，且该三棱柱的外接球表面积为20π，若将此三棱柱掏空(保留表面，不计厚度)后放入一个球，则该球的最大半径为( )A.3−12B.5−12C.32D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
湖北省A9高中联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试卷含答案
A9高中联盟2023年秋季期中联考高二数学试卷（答案在最后）试卷满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1.()()12i 1i --=（）A.13i-- B.33i- C.1i-+ D.3i+2.如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b =，OC c = ，点M 在OA 上，且2OM MA =，点N 为BC中点，则MN =（）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +-D.2132a b c +- 3.为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，A 市某高中全体教师于2023年3月12日开展植树活动，购买柳树、银杏、梧桐、樟树四种树苗共计600棵，比例如图所示.青年教师、中年教师、老年教师报名参加植树活动的人数之比为5:3:2，若每种树苗均按各年龄段报名人数的比例进行分配，则中年教师应分得梧桐的数量为（）A.30棵B.50棵C.72棵D.80棵4.若直线20ax y +=与直线2(1)(1)0x a y a +++-=平行，则a 的值是（）A.1或2- B.1- C.2- D.2或1-5.已知母线长为5的圆锥的侧面积为15π，则这个圆锥的体积为（）A.12πB.16πC.24πD.48π6.已知ABC 的三个顶点分别为()3,1,2A ，()1,1,2B --，()1,3,2C --，则BC 边上的高等于（）A.3B.3C.3D.37.已知椭圆221126x y +=以及椭圆内一点()1,2P ，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（）A.14-B.14C.-4D.48.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点(1,0)A -和(2,1)B ，且该平面内的点P 满足PA =，若点P 的轨迹关于直线20+-=mx ny (),0m n >对称，则25m n+的最小值是（）A.10B.20C.30D.40二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分．9.若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个说法中正确的是（）A.曲线C 可能是圆B.若13t <<，则C 为椭圆C.若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则23t <<D.若C 为椭圆，且焦点在y 轴上，则23t <<10.甲､乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（）A.事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不是互斥事件B.事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件C.事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件D.事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件11.已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +-+=+，下列说法正确的是（）A.两圆有两条公切线B.两圆的公共弦所在的直线方程为22y x =+C.点E 在圆O 上，点F 在圆M 上，EF3+D.圆O 上有2个点到直线20x y ++=12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别是1DD ，11A B ，CD ，BC 的中点，则下列说法正确的有（）A.E ，F ，G ，H 四点共面B.BD 与EF 所成角的大小为3πC.在线段BD 上存在点M ，使得MC 1⊥平面EFGD.在线段1A B 上任取一点N ，三棱锥N EFG -的体积为定值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a ，b 的夹角为π3，且()·1a a b -=，2a = ，则b = _________．14.如图，由X 到Y 的电路中有4个元件，分别为A ，B ，C ，D ，若A ，B ，C ，D 能正常工作的概率都是12，记N =“X 到Y 的电路是通路”，求()P N ______.15.已知实数x ，y 满足22230x y y +--=，则2x y +的取值范围为_____________．16.在以O 为中心，1F 、2F 为焦点的椭圆上存在一点M ，满足1222MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为_____________.四、解答题：本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的三个顶点是(1,2),(1,4),(4,5)A B C -．（1）求AB 边的高所在直线的方程；（2）若直线l 过点C ，且点A ，B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程．18.已知ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，向量(),,p a c b =-()sin sin ,sin sin q C B A B =++ ，且p q ∥.（1）求角C ；（2）若c ABC = 的面积为2，求ABC 的周长.19.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别在棱PD ，BC 上且13PE PD =，13CF BC =．（1）证明：CE ∥平面PAF ；（2）若AD AP =，求直线CD 与平面PAF 所成角的正弦值．20.某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[)45,55，第二组[)55,65，第三组[)65,75，第四组[)75,85，第五组[]85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）求a ，b 的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的60%分位数（分位数精确到0.1）；（3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为331-．（1）求椭圆C 的方程；（2）倾斜角为45︒的直线l 交椭圆于,A B 两点，已知83||5AB =，求直线l 的一般式方程．22.已知圆()()22:129C x y -+-=，直线()():12120l m x m y m +-+--=.（1）求证：直线l 与圆C 恒有两个交点；（2）若直线l 与圆C 交于点A ，B ，求CAB △面积的最大值，并求此时直线l 的方程.A9高中联盟2023年秋季期中联考高二数学试卷试卷满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1.()()12i 1i --=（）A.13i -- B.33i- C.1i-+ D.3i+【答案】A 【解析】【分析】根据复数的乘法法则即可化简求解.【详解】()()212i 1i 1i 2i 2i 13i --=--+=--．故选：A2.如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b =，OC c = ，点M 在OA 上，且2OM MA =，点N 为BC中点，则MN =（）A.121232a b c -+B.211322a b c-++C.111222a b c +- D.2132a b c +- 【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量线性运算，结合图形分析可得．【详解】因为2OM MA =，点N 为BC 中点，所以13MA OA = ，12BN BC =，故1132MN MA AB BN OA OB OA BC=++=+-+()()11213232a b a OC OB a b c b=+-+-=-++- 211322a b c =-++．故选：B ．3.为了树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，A 市某高中全体教师于2023年3月12日开展植树活动，购买柳树、银杏、梧桐、樟树四种树苗共计600棵，比例如图所示.青年教师、中年教师、老年教师报名参加植树活动的人数之比为5:3:2，若每种树苗均按各年龄段报名人数的比例进行分配，则中年教师应分得梧桐的数量为（）A.30棵B.50棵C.72棵D.80棵【答案】C 【解析】【分析】由已知比例求出中年教师应分得树苗的数量，再由饼图中梧桐占比求中年教师应分得梧桐的数量即可.【详解】由题意，中年教师应分得树苗的数量为3600180532⨯=++棵.所以中年教师应分得梧桐的数量为1804072⨯%=棵.故选：C4.若直线20ax y +=与直线2(1)(1)0x a y a +++-=平行，则a 的值是（）A.1或2- B.1- C.2- D.2或1-【答案】C 【解析】【分析】根据两直线平行的条件，列出方程组，即可求解.【详解】由直线20ax y +=与直线2(1)(1)0x a y a +++-=平行，可得2(1)2110a a a +=⨯⎧⎨-≠⎩，解得2a =-，所以实数a 的值为2-.故选：C.5.已知母线长为5的圆锥的侧面积为15π，则这个圆锥的体积为（）A.12πB.16πC.24πD.48π【答案】A 【解析】【分析】求出底面半径和高后，由体积公式计算．【详解】设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则5π15πr =，3r =，∴4h ==，体积为2211ππ3412π33V r h ==⨯⨯=，故选：A ．6.已知ABC 的三个顶点分别为()3,1,2A ，()1,1,2B --，()1,3,2C --，则BC 边上的高等于（）A.3B.3C.3D.3【答案】B 【解析】【分析】利用向量运算以及向量的夹角公式进行求解.【详解】由题意()3,1,2A ，()1,1,2B --，()1,3,2C --，可得()2,2,4BA = ，()2,2,4BC =--，1cos 3BA BC B BA BC⋅===⋅uu r uu u r uu r uu u r ，即角B为锐角，所以sin B 所以BC边上的高sin 33d BA B ===.故选：B7.已知椭圆221126x y +=以及椭圆内一点()1,2P ，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（）A.14-B.14C.-4D.4【答案】A 【解析】【分析】设出交点代入椭圆方程，相减化简得到答案.【详解】设弦与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，斜率为k ，则22111126x y +=，22221126x y +=，相减得到()()()()121212120126x x x x y y y y +-+-+=，即240126k +=，解得14k =-.故选：A.8.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点(1,0)A -和(2,1)B ，且该平面内的点P 满足PA =，若点P 的轨迹关于直线20+-=mx ny (),0m n >对称，则25m n+的最小值是（）A.10B.20C.30D.40【答案】B 【解析】【分析】由题意计算得P 的轨迹方程为22(5)(2)20x y -+-=，根据对称性可得圆心在直线方程上，即522m n +=，从而利用乘“1”法即可得到最值.【详解】设点P 的坐标为(),x y ，因为PA =，则222PA PB =，即()()()22221221x y x y ⎡⎤++=-+-⎣⎦，所以点P 的轨迹方程为22(5)(2)20x y -+-=，因为P 点的轨迹关于直线()200,0mx ny m n +-=>>对称，所以圆心()5,2在此直线上，即522m n +=，所以25m n +()125522m n m n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1425120102022n m m n ⎛⎫=++≥+⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当425n m m n =，即11,52m n ==时，等号成立，所以25m n+的最小值是20.故选：B.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有错选的得0分，部分选对的得2分．9.若方程22131x y t t +=--所表示的曲线为C ，则下面四个说法中正确的是（）A.曲线C 可能是圆B.若13t <<，则C 为椭圆C.若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则23t <<D.若C 为椭圆，且焦点在y 轴上，则23t <<【答案】AD 【解析】【分析】根据方程为圆列式求解判断A ，排除B ，根据椭圆标准方程的特征列不等式求解范围即可判断CD.【详解】当310t t -=->即2t =时，方程22131x y t t +=--为221x y +=，表示圆心为原点，半径为1的圆，故选项A 正确，选项B 错误；若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则310t t ->->，解得12t <<，故选项C 错误；若C 为椭圆，且焦点在y 轴上，则130t t ->->，解得23t <<，故选项D 正确.故选：AD.10.甲､乙各投掷一枚骰子，下列说法正确的是（）A.事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不是互斥事件B.事件“甲投得6点”与事件“乙投得5点”是相互独立事件C.事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件D.事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”是相互独立事件【答案】BC 【解析】【分析】根据互斥事件、独立事件和对立事件的定义逐一判断即可.【详解】对于A ，事件“甲投得5点”与事件“甲投得4点”不可能同时发生，二者为互斥事件，A 错误；对于B,事件“甲投得6点”发生与否对事件“乙投得5点”没有影响，二者是相互独立事件，B 正确；对于C ，事件“甲､乙都投得6点”的反面为“至少有1人没有投得6点”，也即“甲､乙不全投得6点”，故事件“甲､乙都投得6点”与事件“甲､乙不全投得6点”是对立事件，C 正确；对于D ，事件“至少有1人投得6点”包含“甲投得6点且乙没投得6点”的情况，故事件“至少有1人投得6点”与事件“甲投得6点且乙没投得6点”不是相互独立事件，D 错误，故选：BC11.已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +-+=+，下列说法正确的是（）A.两圆有两条公切线B.两圆的公共弦所在的直线方程为22y x =+C.点E 在圆O 上，点F 在圆M 上，EF 3+D.圆O 上有2个点到直线20x y ++=【答案】ACD【解析】【分析】由两圆的位置关系可判断A ，将两圆的方程作差可判断B ，转化为圆心间的距离可判断C ，根据点到直线的距离判断D.【详解】对于A ，由圆22:4240M x y x y +-+=+得.()()22211x y ++-=.，圆心()2,1M -，半径为1，则121213OM =-<=<+=，故两圆相交，故两圆有两条公切线，故A 正确；对于B ，因为圆22:4O x y +=，圆22:4240M x y x y +-+=+，将两圆的方程作差得428x y -=-即24y x =+，所以直线AB 的方程为24y x =+，故B 不正确；对于C ，由圆22:4240M x y x y +-+=+得圆心()2,1M -，半径为1，由圆22:4O x y +=得圆心为()00O ，，半径为2，所以max 213EF OM =++=，故C 正确；对于D ，圆心()0,0O 到直线20x y ++=的距离d ==而圆的半径为2，显然2-<故只有一条与20x y ++=的直线与圆相交，故圆O 上有2个点到直线20x y ++=，故D 正确.故选：ACD.12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G ，H 分别是1DD ，11AB ，CD ，BC的中点，则下列说法正确的有（）A.E ，F ，G ，H 四点共面B.BD 与EF 所成角的大小为3πC.在线段BD 上存在点M ，使得MC 1⊥平面EFGD.在线段1A B 上任取一点N ，三棱锥N EFG -的体积为定值【答案】AD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A 选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B 选项，假设在线段BD 上存在点M ，设BM BD λ= ，01λ≤≤，利用坐标法验证线面垂直，可判断C 选项；分别证明EFG 与1A B 上的所有点到平面EFG 的距离为定值，即可判断D 选项.【详解】以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()12,0,2B ，()10,2,2D ，()0,2,1E ，()1,0,2F ，()2,1,0H ，()1,2,0G ，设AH xAE y AF z AG =++ ，则()()()()2,1,00,2,11,0,21,2,0x y z =++，所以222120y z x z x y +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，解得11232x y z ⎧⎪=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，故1x y z ++=，即E ，F ，G ，H 四点共面，故A 正确；因为()2,2,0BD =-uu u r，()1,2,1EF =- ，所以3cos ,2BD EF BD EF BD EF⋅==⋅ ，所以BD 与EF 所成角的大小为6π，故B 错误；假设在线段BD 上存在点M ，符合题意，设BM BD λ= （01λ≤≤），则()1112,22,2MC BC BM BC BD λλλ=-=-=- ，若MC 1⊥平面EFG ，则10MC EF ⋅= ，10MC EG ⋅= ,因为()1,2,1EF =- ，()1,0,1EG =- ，所以24420220λλλ-++=⎧⎨-=⎩，此方程组无解，所以在线段BD 上不存在点M ，使得MC 1⊥平面EFG ，故C 错误；因为()12,0,22A B EG =-= ，所以1//A B EG ，又1⊄A B 平面EFG ，EG ⊂平面EFG ，所以1//A B 平面EFG ，故1A B 上的所有点到平面EFG 的距离即为B 到平面EFG 的距离，是定值，又EFG 的面积是定值，所以在线段1A B 上任取一点N ，三棱锥N EFG -的体积为定值，故D 正确；故选：AD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a ，b 的夹角为π3，且()·1a a b -=，2a = ，则b = _________．【答案】3【解析】【分析】根据向量数量积的定义和运算律即可得到答案.【详解】由题设可得142||12b -⨯= ，即||3b = .故答案为：3.14.如图，由X 到Y 的电路中有4个元件，分别为A ，B ，C ，D ，若A ，B ，C ，D 能正常工作的概率都是12，记N =“X 到Y 的电路是通路”，求()P N ______.【答案】1116【解析】【分析】由相互独立事件的概率公式，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解.【详解】设1N =“D 正常工作”，2N =“D 没有正常工作，A 正常工作，且,B C 中至少有一个正常工作”由于“X 到Y 的电路是通路”等价于“D 正常工作”或“D 没有正常工作，A 正常工作，且,B C 中至少有一个正常工作”，即12N N N =⋃()112P N =，()21111311222216P N ⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于事件12,N N 互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得()()121311.21616P N P N N =⋃=+=故答案为：111615.已知实数x ，y 满足22230x y y +--=，则2x y +的取值范围为_____________．【答案】[1-+【解析】【分析】利用点到直线的距离公式列不等式，由此求得2x y +的取值范围.【详解】将22230x y y +--=整理为22(1)4x y +-=，此方程表示圆心为(0,1)，半径为2的圆，设点(,)x y 是圆上一点，令2z x y =+，20x y z +-=，则20x y z +-=与圆()2214x y +-=有公共点，2≤，解得11z -≤≤+．故答案为：[1-+16.在以O 为中心，1F 、2F 为焦点的椭圆上存在一点M ，满足1222MF MO MF ==，则该椭圆的离心率为_____________.【答案】63【解析】【分析】根据题意结合椭圆定义可得124223MF MO MF a ===，进而利用余弦定理列式求解.【详解】因为12222232MF MF MF MF MF a +=+==，所以124223MF MO MF a ===，因为1FOM ∠与2F OM ∠互补，且1212222F F OF OF c ===，由余弦定理可得2222224164499990222233c a a c a a c a c a +-+-+=⨯⨯⨯⨯，可得2223c a =，所以3e ==.故选：C．四、解答题：本大题共6题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知ABC 的三个顶点是(1,2),(1,4),(4,5)A B C -．（1）求AB 边的高所在直线的方程；（2）若直线l 过点C ，且点A ，B 到直线l 的距离相等，求直线l 的方程．【答案】（1）1y x =+（2）9y x =-+或132y x =+【解析】【分析】（1）根据点斜式求得AB 边的高所在直线的方程.（2）对l 是否与直线AB 平行进行分类讨论，由点斜式或斜截式求得直线l 的方程.【小问1详解】直线AB 的斜率为42111-=---，所以AB 边的高所在直线的斜率为1，所以AB 边的高所在直线的方程为()514,1y x y x -=⨯-=+.【小问2详解】直线AB 的斜率为1-，若直线l 与直线AB 平行，则直线l 的方程为()54,9y x y x -=--=-+.线段AB 的中点坐标为()0,3，若直线l 过()0,3，则直线l 的方程为5313,3402y x y x -=+=+-.18.已知ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，向量(),,p a c b =- ()sin sin ,sin sin q C B A B =++ ，且p q ∥.（1）求角C ；（2）若c ABC = 的面积为2，求ABC 的周长.【答案】（1）2π3（2）+【解析】【分析】（1）由p q ∥结合正弦定理可得222a b c ab +-=-，后由余弦定理可得答案；（2）由（1）结合c =()218a bab +=+，后由ABC S =△可得ab ，即可得ABC 周长.【小问1详解】由p q ∥可知()()()sin sin sin sin a A B c b C B +=-+，由正弦定理，得()()()a a b c b c b +=-+，即222a b c ab +-=-.所以2221cos 22a b c C ab +-==-，又0π（，）C ∈，所以2π3C =；【小问2详解】由（1）知222a b c ab +-=-，所以()2218a b ab c +-==⇒()218a b ab +=+.又1sin 2ABC S ab C ===△所以6ab =，所以()21824a b ab +=+=，即a b +=，所以ABC 的周长为a b c ++=+19.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，E ，F 分别在棱PD ，BC 上且13PE PD =，13CF BC =．（1）证明：CE ∥平面PAF ；（2）若AD AP =，求直线CD 与平面PAF 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）在棱PA 上取点G ，使得13PG PA =，连接EG ，FG ，即可证明四边形FGEC 为平行四边形，再由线面平行的判定定理，即可证明；（2）以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】证明：如图，在棱PA 上取点G ，使得13PG PA =，连接EG ，FG ，因为13PE PG PD PA ==，所以//GE AD 且13GE AD =，由正方形ABCD ，13CF BC =，得//CF AD 且13CF AD =，所以GE //CF 且GE CF =，所以四边形FGEC 为平行四边形，所以//CE GF ，又CE ⊄平面PAF ，GF ⊂平面PAF ，所以//CE 平面PAF ．【小问2详解】若AD AP =，则可设3AD AP ==，所以3AB BC ==．以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则点()0,0,0A ，()3,3,0C ，()0,3,0D ，()0,0,3P ，()3,2,0F ，则()3,0,0CD =- ，()0,0,3AP = ，()3,2,0AF = ，设平面PAF 的法向量为(),,m x y z=，则由()()()(),,0,0,330,,3,2,0320m AP x y z z m AF x y z x y ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩ 得0,2,3z y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩令3y =，得平面PAF 的一个法向是为()2,3,0m =- ，设直线CD 与平面PAF 所成角的大小为θ，则sin 13m CD m CDθ⋅===⋅，即直线CD 与平面PAF 所成角的正弦值为13．20.某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[)45,55，第二组[)55,65，第三组[)65,75，第四组[)75,85，第五组[]85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）求a ，b 的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的60%分位数（分位数精确到0.1）；（3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.【答案】（1）0.005a =，0.025b =（2）71.7（3）25【解析】【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，根据所有频率之和为1可得a ，b ；（2）直接第60百分位数即可；（3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可．【小问1详解】因为第三、四、五组的频率之和为0.7，所以(0.0450.020)100.7a ++⨯=，解得0.005a =，所以前两组的频率之和为10.70.3-=，即()100.3a b +⨯=，所以0.025b =；【小问2详解】前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以第60百分位数在第三组，且为0.60.3651071.70.45-+⨯≈；【小问3详解】第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a ，b ，c ，d ，第五组志愿者人数为1，设为e ，这5人中选出2人，所有情况有()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e b c b d b e ，()()(),,,,,c d c e d e 共有10种情况，其中选出的两人来自不同组的有()()()(),,,,,,,a e b e c e d e 共4种情况，故选出的两人来自不同组的概率为42105=．21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为331-．（1）求椭圆C 的方程；（2）倾斜角为45︒的直线l 交椭圆于,A B 两点，已知||5AB =，求直线l 的一般式方程．【答案】（1）22132x y +=（2）10x y --=或10x y -+=【解析】【分析】（1）根据题意，得到3c a =且1-=a c ，求得,a b 的值，即可求解；（2）设l 的方程y x m =+，联立方程组，结合韦达定理和弦长公式，根据题意，列出方程，求得1m =±，即可求解.【小问1详解】由椭圆2222:1x y C a b +=的离心率为33，即3c e a ==，可得a =，1-，可得1-=-a c ，解得a =1c =，b =，所以椭圆的方程22132x y +=．【小问2详解】解：因为直线l 的倾斜角为45︒，可设l 的方程y x m =+，由方程组22132x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2256360x mx m ++-=，可得()()2223645362450m m m ∆=-⨯-=->，解得m <<设()11,A x y ，()22,B x y ，则1265m x x +=-，212365m x x -=，又由12AB x =-=5=，解得1m =±，满足0∆>，所以直线l 的一般式方程为10x y --=或10x y -+=．22.已知圆()()22:129C x y -+-=，直线()():12120l m x m y m +-+--=.（1）求证：直线l 与圆C 恒有两个交点；（2）若直线l 与圆C 交于点A ，B ，求CAB △面积的最大值，并求此时直线l 的方程.【答案】（1）证明见解析（2）面积最大值为92，20x y --=或7200x y --=.【解析】【分析】（1）先证明直线过定点，再说明定点在圆内即可；（2）注意到1sin 2ABC S AC BC ACB =∠ ，所以当90ACB ∠=︒时，可以求出ABC 面积的最大值，注意验证取等条件，进一步由点到直线的距离公式可以求出参数m ，由此即可得解.【小问1详解】因为直线()():12120l m x m y m +-+--=可变形为()2210x y m x y --+--=，所以20210x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，故直线经过的定点为()3,1P .将点()3,1P 代入圆的方程有()()22311259-+-=<，所以点()3,1P 在圆C 的内部，所以直线l 与圆C 恒有两交点.【小问2详解】由（1）知PC =，因为1sin 2ABC S AC BC ACB =∠ ，所以当90ACB ∠=︒时，ABC 面积最大，此时ABC 为等腰直角三角形，ABC 面积最大值为21922ABC S r == ，其中r 为圆的半径.此时点C 到直线l的距离，d C P ==<=，所以ACB ∠可以取到90︒，=，解得613m =-或0m =.故所求直线l 的方程为20x y --=或7200x y --=.。
湖北省武汉市二中2014-2015学年高二上学期期中考试理科数学试卷(解析版)
湖北省武汉市二中2014-2015学年高二上学期期中考试理科数学试卷（解析版）一、选择题1．直线043:=-+y x l 与圆4:22=+y x C 的位置关系是 （ ） A.相交且过圆心 B.相交不过圆心 C.相切 D.相离 【答案】C 【解析】试题分析：∵圆C 的圆心为（0，0），半径2r =，而圆心到直线l 的距离2d r ===所以直线l 与圆C 相切考点：直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式 2．已知y x ,之间的几组数据如下表假设根据上表数据所得线性回归方程为11a x b y +=, 某同学根据上表中前两组数据 求得的直线方程为22a x b y +=, 则以下结论正确的是 （ ） A.2121,a a b b >> B.2121,a a b b <> C.2121,a a b b >< D.2121,a a b b << 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知6n =，713,26x y == 12713043121524666267351491625366()2b +++++-⨯⨯==+++++-⨯，122930a =， 而由直线方程的求解可得22b =，把(1,0)代入可得22a =-， ∴1212,b b a a <>考点：线性回归方程的求解3．下图是一个程序框图, 则输出的结果为 （ ）A.20B.14C.10D.7 【答案】A 【解析】试题分析：由程序框图知：第一次循环1,5i a ==; 第二次循环2,14i a ==； 第三次循环3,7i a ==； 第四次循环4,20i a ==； 第五次循环5,10i a ==；第六次循环6,5i a ==；……，输出的a 值的周期为5∵跳出循环的i 值为2015，∴第2014次循环的20a =. 考点：循环结构的程序框图4．统计中国足球超级联赛甲、乙两支足球队一年36次比赛中的结果如下 甲队平均每场比赛丢失5.1个球, 全年比赛丢失球的个数的标准差为2.1; 乙队全年丢失了79个球, 全年比赛丢失球的个数的方差为6.0.据此分析 ①甲队防守技术较乙队好; ②甲队技术发挥不稳定; ③乙队几乎场场失球;④乙队防守技术的发挥比较稳定. 其中正确判断的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】试题分析：因为甲队平均每场比赛丢失1.5个球，乙队全年丢失了79个球，乙队平均每场比赛丢失7912， 所以甲队技术比乙队好，故①正确；因为甲队比赛丢失球的个数的标准差为1.2，全年比赛丢失球的个数的方差为0.6.所以乙队发挥比甲队稳定，故②正确；乙队几乎场场失球，甲队表现时好时坏，故③④正确， 考点：平均数，方差，标准差5．题文天气预报说, 在今后的三天中, 每三天下雨的情况不完全相间, 每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率 用1, 2, 3, 4表示下雨, 从下列随机数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N 个数据.据此估计, 这三天中恰有两天下雨的概率近似为 （ ）19 07 96 61 91 92 52 71 93 28 12 45 85 69 19 16 83 43 12 57 39 30 27 55 64 88 73 01 13 53 79 89 A.236 B.216C.41D.非ABC 的结果【答案】C【解析】 试题分析：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下36组随机数， 在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：192、193、281、245、393、125、302、011、353，共9组随机数，所以所求概率为90.2536= 考点：随机数的含义与应用6．如果圆8)()(22=-+-a y a x 上总存在到原点的距离为2的点, 则实数a 的取值范围是 （ ）A.)3,1()1,3(⋃--B.)3,3(-C.[－1, 1]D.]3,1[]1,3[⋃-- 【答案】D 【解析】试题分析：圆22()()8x a y a -+-=的圆心(,)a a ，半径r =由于圆22()()8x a y a -+-=∴≤≤∴1||a ≤≤解得13a ≤≤或31a -≤≤-∴实数a 的取值范围是[3,1][1,3]-- 考点：点到直线的距离公式，圆的标准方程7．若P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1,则事件A 与B 的关系是 （ ）A.互斥不对立B.对立不互斥C.互斥且对立D.以上答案都不对 【答案】D 【解析】试题分析：若是在同一试验下，由P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，说明事件A 与事件B 一定是对立事件；但若在不同实验下，虽有P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，但事件A 和B 不一定对立，所以事件A 与B 的关系是不确定的 考点：互斥事件与对立事件 8．已知直线1+=bkxb y 与圆10022=+y x 有公共点, 且公共点的横坐标和纵坐标均为整数,那么这样的直线共有 （ ）A.60条B.66条C.70条D.71条 【答案】A 【解析】 试题分析：22100x y +=，整点为(0,10)±，(6,8)±±，(8,6)±±，(10,0)±，如图，共12个点，直线1x ya b+=（a,b 为非零实数），∴直线与x,y 轴不平行，不经过原点，任意两点连线有212C 条，与x,y 轴平行的有14条，经过原点的有6条，其中有两条既过原点又与x,y 轴平行，所以共有212C +12-14-6+2=60考点：圆与圆锥曲线综合 9．我班制定了数学学习方案 星期一和星期日分别解决4个数学问题, 且从星期二开始, 每天所解决问题的个数与前一天相比, 要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”.在一周中每天所解决问题个数的不同 方案共有（ ）A.50种B.51种C.140种D.141种 【答案】D【解析】 试题分析：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有01122336656463141C C C C C C C +++=种考点：排列组合问题10．如图, 在四面体ABCD 中, E, F 分别为AB, CD 的中点, 过EF 任作一个平面α分别与直线BC, AD相交于点G, H, 有下列四个结论, 其中正确的个数是（ ）①对于任意的平面α, 都有直线GF, EH, BD 相交于同一点;②存在一个平面0α, 使得点G 在线段BC 上, 点H 在线段AD 的延长线上;③对于任意的平面α, 它把三棱锥的体积分成相等的两部分 A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】试题分析：①取AD 的中点H ，BC 的中点G ，则EGFH 在一个平面内，此时直线GF ∥EH ∥BD ，因此不正确；②不存在一个平面0α，使得点G 在线段BC 上，点H 在线段AD 的延长线上；③对于任意的平面α，当G ，H 在线段BC ，AD 上时，可以证明几何体AC-EGFH 的体积是四面体ABCD 体积的一般，故③正确. 考点：棱柱、棱台、棱锥的体积二、填空题 11．武汉2中近3年, 每年有在校学生2222人, 每年有22人考取了北大清华, 高分率稳居前“2”, 展望未9年前景美好.把三进制数3)22222222(化为九进制数的结果为 . 【答案】9(8888) 【解析】试题分析：012345673(22222222)23232323232323236560=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∵0123656089898989=⨯+⨯+⨯+⨯，∴把三进制数3(22222222)化为九进制数的结果是9(8888)考点：进位制 12．某人有4把钥匙, 其中2把能打开门, 现随机地取1把钥匙试着开门, 不能开门就把钥匙放在旁边, 他第二次才能打开门的概率是 . 【答案】13【解析】试题分析：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为221433⨯= 考点：相互独立事件的概率乘法公式 13．已知)1,0(,∈y x , 则1212222222+-+++-+++x y x y y x y x 22222+--++y x y x 的最小值为 .【答案】【解析】试题分析：从所给式子的几何意义考虑，即找点(,)x y 到（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）四点的距离之和最小（其中)1,0(,∈y x ），显然当2x =，2y =时距离之和最小为考点：两点间距离公式的应用14．集合}1)1()1(|),{(},1|1||||),{(22≤-+-=≤-+-=y x y x B y a x y x A ,若集合∅=B A , 则实数a 的取值范围是 . 【答案】[1,3] 【解析】试题分析：先分别画出集合{(,)||||1|1}A x y x a y =-+-≤，22{(,)|(1)(1)1}B x y x y =-+-≤表示的平面图形，集合A 表示一个正方形，集合B 表示一个圆.如图所示，其中(1,1)A a +，(1,1)B a -，欲使A B =∅，只须A 或B 点在圆内即可，∴22(11)(11)1a +-+-≤或22(11)(11)1a --+-≤，解得：11a -≤≤或13a ≤≤，即13a -≤≤ 考点：简单的线性规划问题15．如图, P 为60的二面角βα--l 内一点, P 到二面角两个面的距离分别为2、3, A 、B 是二面角的两个面内的动点,则△PAB 周长的最小值为 .【答案】 【解析】 试题分析：如图，作出P 关于两个平面,αβ的对称点M 、N ，连接MN ，线段MN 与两个平面的交点坐标分别为C ，D ，连接MP ，NP ，CP ，DP ，则△PAB 的周长L=PA+PB+AB=AM+AB+BN,当A 与C 重合，B 与D 重合时，由两点只见线段最短可以得出MN 即为△PAB 周长的最小值，根据题意可知：P 到二面角两个面的距离分别为2、3，∴MP=4，NP=6，∵大小为60°的二面角l αβ--，∴∠EOF=60°，∴∠MPN=120° 根据余弦定理有：2222MN MP NP MP NP COS MPN =+-⋅⋅∠22146246()762=+-⨯⨯⨯-=∴MN =∴△PAB 周长的最小值等于考点：三角形周长的最小值求法，二面角的定义和求法.三、解答题 16．（本小题满分12分）下图是调查某地某公司1000名员工的月收入后制作的直方图.（1）求该公司员工的月平均收入及员工月收入的中位数;（2）在收入为1000至1500元和收入为3500至4000元的员工中用分层抽样的方法抽取一个容量15的样本, 员工甲、乙的月收入分别为1200元、3800元, 求甲乙同时被抽到的概率.【答案】（1）平均收入为2400，中位数为2400； （2）甲、乙同时被抽到的概率为1001【解析】试题分析：（1）利用组中值，可得该公司员工的月平均收入及员工月收入的中位数；（2）月收入在1000至1500元之间的有100人，月收入在3500元至4000元之间的有50人，由分层抽样可知甲、乙同时被抽到的概率. 试题解析：（1）可求出第一个小矩形的高度为0.0002 平均收入为=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯375005.0325015.0275025.0225025.017502.012501.02400元 中位数为2400元（面积分为相等的两部分; （3分）（2）月收入在1000至1500元之间的有100人, 月收入在3500元至4000元之间的有50人, 由分层抽样可知, 甲、乙同时被抽到的概率为1001 考点：频率分布直方图 17．（本小题满分12分）标号为0到9的10瓶矿泉水.（1）从中取4瓶, 恰有2瓶上的数字相邻的取法有多少种？ （2）把10个空矿泉水瓶挂成如下4列的形式, 作为射击的靶子, 规定每次只能射击每列最下面的一个（射中后这个空瓶会掉到地下）, 把10个矿泉水瓶全部击中有几种不同的射击方案？（3）把击中后的矿泉水瓶分送给A 、B 、C 三名垃圾回收人员, 每个瓶子1角钱.垃圾回收人员卖掉瓶子后有几种不同的收入结果？ 【答案】（1）35种；（2）25200；（3）66. 【解析】 试题分析：（1）取4张红卡，其中2张连在一起，组成3个组合卡，6张白卡排成一排，插入3个组合卡，有3537=C 种方法，即可得出结论；（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合，因为每组数的数字大小是固定的，数字小的挂下面，可得结论；（3）由于A 、B 、C 所得钱数与瓶子编号无关，他们所得钱数只与所得瓶子个数有关，即可得出结论 试题解析：（1）取4张红卡, 其中有2张连在一起, 组成3个组合卡, 6张白卡排成一排, 插入3个组合卡, 有3537=C 种方法, 然后在卡片上从左到右依次编号, 取出红色卡, 一种插法对应一种取数字的方法, 所以共有35种.（2）一种射击方案对应于从0至9共十个数字中取2个、3个、3个、2个数字的组合, 因为每组数的数字大小是固定的, 数字小的挂下面.所以共有252003538210=C C C .（3）由于A 、B 、C 所得钱数与瓶子编号无关, 他们所得钱数只与所得瓶子个数有关.所以66212=C .考点：考查排列、组合的实际应用18．（本小题满分12分）如图, 已知圆M ()2244x y +-=, 直线l 的方程为20x y -=,点P 是直线l 上一动点, 过点P 作圆的切线PA 、PB , 切点为A 、B ．（1）当P 的横坐标为165时, 求∠APB 的大小; （2）求证 经过A 、P 、M 三点的圆N 必过定点, 并求出所有定点的坐标． 【答案】（1）∠APB ＝60°；（2）84(0,4),,55⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）由题设可知，圆M 的半径2r =，168(,)55P ，∠MAP=90°，根据MP=2r ，可得∠MPA=30°，从而可求∠APB 的大小；（2）设P 的坐标，求出经过A 、P 、M 三点的圆的方程即可得到圆过定点. 试题解析：解 （1）由题可知, 圆M 的半径r ＝2, 168(,)55P , 因为PA 是圆M 的一条切线, 所以∠MAP ＝90°又因MP＝4=＝2r, 又∠MPA ＝30°, ∠APB ＝60°; （6分）（2）设P （2b, b ）, 因为∠MAP ＝90°, 所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径, 方程为 ()()222244424b b b x b y +-+⎛⎫-+-=⎪⎝⎭即()22(24)40x y b x y y +--+-= 由2224040x y x y y +-=⎧⎨+-=⎩, 解得04x y =⎧⎨=⎩或8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 所以圆过定点84(0,4),,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ 考点：直线与圆的综合问题，圆过定点，19．（本小题满分12分）边长为2的正方形ABCD 中, BC F AB E ∈∈,（1）如果E 、F 分别为AB 、BC 中点, 分别将△AED 、△DCF 、△BEF 沿ED 、DF 、FE 折起, 使A 、B 、C 重合于点P.证明 在折叠过程中, A 点始终在某个圆上, 并指出圆心和半径.（2）如果F 为BC 的中点, E 是线段AB 上的动点, 沿DE 、DF 将△AED 、△DCF 折起,使A 、 C 重合于点P, 求三棱锥P －DEF 体积的最大值.【答案】（1）证明见解析，A 在以M 为圆心, AM 为半径的圆上.（2 【解析】试题分析：（1）根据三角形在折叠过程的点的变化，即可得到结论.（2）根据线面垂直的性质，结合三棱锥的体积公式即可得到结论.试题解析：（1）解：∵E 、F 分别为正方形边AB 、BC 中点, 在平面图中连接AF, BD 交于O 点, AF 交DE 于M, 可知O为三角形DEF 的垂心.三角形AED 在沿DE 折叠过程中, AM 始终垂直于DE, ∴A 在过M 且与DE 垂直的平面上, 又AM ＝52, ∴A 在以M 为圆心, AM 为半径的圆上. （2）∵PD ⊥PF, PD ⊥PE, ∴PD 垂直于平面PEF, 所以当三角形PEF 面积最大时, 三棱锥P －DEF 体积最大.设PE ＝t,α=∠EPF ,αcos 211)2(22t t t -+=+-,tt 22cos -=α 48321)22(12122-+-=--=∆t t t t t S PEF , 当34=t 时932max =V . 考点：空间几何体的折叠问题，三棱锥的体积计算20．（本小题满分14分）已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为2的菱形, AC∩BD=O,AA 1=23, BD ⊥A 1A, ∠BAD=∠A 1AC=60°, 点M 是棱AA 1的中点.（1）求证 A 1C ∥平面BMD;（2）求证 A 1O ⊥平面ABCD;（3）求直线BM 与平面BC 1D 所成角的正弦值.【答案】（1）（2）证明详见试题分析（3【解析】试题分析：（1）连结MO ，由已知条件推导出MO//A1C,由此能证明（2）由已知条件推导出BD ⊥面A1AC ，12AO AC == （3）通过作辅助线确定直线MB 与平面1BDC 所成的角，然后求出其正弦值试题解析：（1）证明：连结MO ，∵1,AM MA AO OC ==，∴MO ∥1AC ，∵MO ⊂平面BMD ，1AC ⊄平面BMD ∴A 1C ∥平面BMD.（2）证明：∵1BD AA ⊥，BD AC ⊥，∴BD ⊥平面1A AC于是1BD AO ⊥，AC BD O =，∵AB=CD=2,∠BAD=60°，∴AO=12又∵1AA =160o AAC ∠=，∴1AO AC ⊥， 又∵1AO BD ⊥，∴1AO ⊥平面ABCD.（3）解：如图，以O 为原点，以OA 为x 轴，OB 为y 轴，1OA 为z 轴建立空间直角坐标系，由题意知1(0,0,3)A ，A ，(C (0,1,0)B ，(0,1,0)D -，∵11(AC AC ==-，∴1(C -∵3()22M，∴3()22MB =--，(0,2,0)DB =，1(1,3)BC =--， 设平面1BC D 的法向量为(,,)nx y z =，则12030n DB y n BC y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，取x =(3,0,2)n =∴332cos ,MB n --<>==∴直线BM 与平面1BC D =. 考点：立体几何的证明与求解21．（本小题满分13=5+5+3分）已知点),(00y x P 是圆:C 8)2()2(22=-+-y x 内一点（C 为圆心）, 过P 点的动弦AB.（1）如果)1,1(P , 72||=AB , 求弦AB 所在直线方程.（2）如果)1,1(P , 当PAC ∠最大时, 求直线AP 的方程.（3）过A 、B 作圆的两切线相交于点M , 求动点M 的轨迹方程.【答案】（1）1=y （2）1+-=x y （3）8)2)(2()2)(2(00=--+--y y x x【解析】试题分析：（1）当x AB ⊥轴时, 72=a , 此时1:=x AB , 由对称性知另一条弦所在的直线方程为1=y ；（2）由于以PC 为直径的圆在圆C 内, 所以角CAP 为锐角, 过C 作PA 的垂线, 垂足为N, 当xy zNC 最大时, 角CAP 最大；（3）求出圆C 在A 、B 处的切线方程，可得AB 的方程，点P 00(,)x y 在AB 上，即可得出结论.试题解析：（1）当x AB ⊥轴时, 72=a , 此时1:=x AB , 由对称性知另一条弦所在的直线方程为1=y（2）由于以PC 为直径的圆在圆C 内, 所以角CAP 为锐角, 过C 作PA 的垂线, 垂足为N, 当NC 最大时, 角CAP 最大, 又NC ≤PC, 所以当N 、P 重合时, PAC ∠最大, 此时PC PA ⊥, 故PA 的方程为 1+-=x y（3）因为过A 、B 的圆心的两条切线相交, 所以P 点异于圆心C.设),(,),(2211y x B y x A , ),(//y x M , 圆C 在A 、B 处的切线方程分别为 8)2)(2()2)(2(11=--+--y y x x , 8)2)(2()2)(2(22=--+--y y x x , 它们交于点M , 所以8)2)(2()2)(2(/1/1=--+--y y x x ,8)2)(2()2)(2(/2/2=--+--y y x x这两式表明 A 、B 两点在直线8)2)(2()2)(2(//=--+--y y x x 上, 即AB 的直线方程为8)2)(2()2)(2(//=--+--y y x x , P 在AB 上,所以8)2)(2()2)(2(/0/0=--+--y y x x所以M 的轨迹方程为 8)2)(2()2)(2(00=--+--y y x x考点：直线和圆的方程的应用。
2023年湖北武汉华中科技大学附属中学高二上学期9月月考数学试题(解析版)
华科附中2022-2023学年上学期9月月考高二数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数z 满足(1i)i z −=，则下列说法正确的是（ ） A. z 的虚部为1i 2B. z 的共轭复数为11i 22z =−+ C. z 对应的点在第二象限 D. 1z =【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件及复数的除法法则，再利用复数的概念及共轭复数，结合复数的几何意义及复数的摸公式即可求解.【详解】由(1i)i z −=，得()()()i 1i i 1i11i 1i 1i 1i 222z ×+−+====−+−−×+， 对于A ，复数z 的虚部为12，故A 不正确；对于B ，复数z 共轭复数为11i 22z =−−，故B 不正确；对于C ，复数z 对应的点为12 −，所以复数z 对应的点在第二象限，故C 正确； 对于D，z =D 不正确. 故选：C.2. 在下列条件中，一定能使空间中的四点,,,M A B C 共面的是（ ）A. 2OM OA OB OC −−B. 111532OM OA OB OC =++C. 20MA MB MC ++=D. 0OM OA OB OC +++=【答案】C 【解析】【分析】根据向量共面定理，OM xOA yOB zOC =++，若A ，B ，C 不共线，且A ，B ，C ，M 共面，则其充要条件是1x y z ++=，由此可判断出答案. 的【详解】根据向量共面定理，OM xOA yOB zOC =++，若A ，B ，C 不共线，且A ，B ，C ，M 共面，则其充要条件是1x y z ++=， 由此可得A ，B ，D 不正确，选项C ：2MA MB MC −=−，所以,,,M A B C 四点共面， 故选：C.3. 已知向量(2,0,1)n =为平面α的法向量，点(1,2,1)A −在α内，则点(1,2,2)P 到平面α的距离为（ ）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可 【详解】因为(1,2,1)A −，(1,2,2)P所以(2,0,1)PA =−− ，因为平面α的法向量(2,0,1)n =，所以点P 到平面α的距离||||PA n d n ⋅=.故选：B【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题4. 已知A ，B ，C ，D ，E 是空间中的五个点，其中点A ，B ，C 不共线，则“存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，结合充分必要条件的定义即可求解.【详解】若//DE 平面ABC ，则,,DE AB AC 共面，故存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+，所以必要性成立；若存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+ ，则,,DE AB AC 共面，则//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，所以充分性不成立；所以 “存在实数x ，y ，使得DE x AB y AC =+是“//DE 平面ABC ”的必要不充分条件，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x ，y ，使得DE xAB y AC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC 是解题的关键，属于基础题.5. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin 0,0,,1,2c b C B b a π−=∈，则ABC 的面积为（）A.或14 B.或14C.D.或34 【答案】C 【解析】B ，然后利用余弦定理求得c ，代入三角形面积公式即可. 【详解】因为2sin 0c bC −=，由正弦定理sin 2sin sin 0C B C −=， 因为0,,sin 02C C π∈≠，所以1sin 2B =，因为0,2B π∈，所以6B π=，根据余弦定理得2222cos b c a c a B +−⋅⋅，得1c =或2c =，所以11222ABC S =×=或11122ABC S =×= ， 故选：C.6. 为庆祝中国共产党成立100周年，甲、乙、丙三个小组进行党史知识竞赛，每个小组各派5位同学参赛，若该组所有同学的得分都不低于7分，则称该组为“优秀小组”（满分为10分且得分都是整数），以下为三个小组的成绩数据，据此判断，一定是“优秀小组”的是（ ） 甲：中位数为8，众数为7乙：中位数为8，平均数为8.4 丙：平均数为8，方差小于2 A. 甲 B. 乙C. 丙D. 无法确定【答案】A 【解析】【分析】根据题意，结合“优秀小组”的定义依次分析选项，综合可得答案.【详解】甲：中位数为8，众数为7，可知甲组的得分依次为：7、7、8、9、10，根据“优秀小组”的概念可知甲组一定是“优秀小组”当乙组得分依次为：6、8、8、10、10时，中位数为8，平均数为8.4，但乙组不符合“优秀小组”的概念，当丙组得分依次为：6、8、8、8、10时，丙：平均数为8，方差为825<，但丙组不符合“优秀小组”的概念. 故选：A.7. 如图，已知电路中有5个开关，开关5S 闭合的概率为13，其它开关闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ）A. 78B.1516 C. 2324D. 45【答案】A 【解析】【分析】设开关i S 闭合为事件i A ，{1,2,3,4,5}i ∈，由所设事件表示事件灯不亮，利用概率乘法公式求其概率，再利用对立事件概率公式求事件灯亮的概率.【详解】设开关i S 闭合为事件i A ，{1,2,3,4,5}i ∈，则事件灯不亮可表示为12345A A A A A ⋅⋅⋅⋅，由已知12341()()()()2P A P A P A P A ====，51()3P A =， ∴ 1234511121()(1)42238P A A A A A ⋅⋅⋅⋅=−×××=， ∴ 事件灯亮的概率78P =， 故选：A.8. 已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为3，点P 在11A C B △的内部及其边界上运动，且DP =，则点P 的轨迹长度为( )A.B. 2πC.D. 3π【答案】A 【解析】【分析】连接1B D 、11B D 、BD ，1111A C B D E = ，连接BE 交1B D 于O ，证明1B D ⊥平面11A C B 得DO ⊥OP ，求出OP 长度，确定O 的位置，确定P 的轨迹形状，从而可求P 的轨迹长度． 【详解】连接1B D 、11B D 、BD ，则1111AC B D ⊥，111A C DD ⊥，1111B D DD D = ， ∴11A C ⊥平面11B DD ，∴111A C B D ⊥， 同理11A B B D ⊥，∴1B D ⊥平面11A C B ． 设1111A C B D E = ，连接BE 交1B D 于O ，由△BOD ∽△1EOB 且BD =12B E 可知OD =12B O ，则123OD B D ==，连接OP ，则OD OP ⊥，∴OP可得点P 的轨迹为以点O 为半径的圆在11A C B △内部及其边界上的部分，OB =2OE ，E 为11A C 中点，及△11A BC 为等边三角形可知O 为△11A BC 中心， OE=1133BE =<OF =，OE =，πcos 6OE EOF EOF OF ∠∠==， 则∠OFE =∠1A =π3，∴OF ∥1A B ，同理易知OG ∥11A C ， 故四边形1A FOG 是菱形，则π.3FOG ∠=∴ FG长度为π3，故点P的轨迹长度为3π． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. PM 2.5的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一.划分等级为：PM 2.5日均值在335/m g µ以下，空气质量为一级：PM 2.5日均值在335~75/m g µ，空气质量为二级：PM 2.5日均值超过375/m g µ为超标.如图是某地12月1日至10日PM 2.5的日均值（单位：3/m g µ）变化的折线图，关于PM 2.5日均值说法正确的是（ ）的A. 这10天的日均值的80%分位数为60B. 前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差C. 这10天的日均值的中位数为41D. 前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差 【答案】BD 【解析】【分析】根据百分位数、极差、中位数、方差等知识确定正确答案. 【详解】10个数据为：30,32,34,40,41,45,48,60,78,80，100.88×=，故80%分位数为6078692+=，A 选项错误. 5天的日均值的极差为413011−=，后5天的日均值的极差为804535−=，B 选项正确. 中位数是4145432+=，C 选项错误. 根据折线图可知，前5天数据波动性小于后5天数据波动性，所以D 选项正确. 故选：BD10. 下列命题：①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则()()()P A B P A P B =+ ；③若事件A ，B 满足1()3P A =，3()4P B =，1()4P AB =，则A ，B 相互独立；④若事件A ，B 满足()()1P A P B +=，则A 与B 是对立事件．其中错误的命题是（ ） A. ① B. ②C. ③D. ④【答案】BD 【解析】【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义及概率的基本性质依次判断4个命题作答. 【详解】对于①：对立事件一定是互斥事件，①正确；对于②：若A ，B 为两个随机事件，则()()()()P A B P A P B P A B =+− ，②错误； 对于③：由()()()113434P AB P A P B ==×=，得A ，B 相互独立，③正确； 对于④：记事件A 为抛一枚硬币正面朝上，事件B 为掷一枚骰子出现偶数点，则()0.5P A =，()0.5P B =，满足()()1P A P B +=，显然事件A 与B 可以同时发生，它们不是对立事件，④错误.故选：BD11. 已知空间四点()0,0,0O ，()0,1,2A ，()2,0,1B −，()3,2,1C ，则下列说法正确的是（ ）A. 2OA OB ⋅=−B. 以OA ，OBC. 点O 到直线BCD. O ，A ，B ，C 四点共面 【答案】AC 【解析】【分析】直接利用空间向量，向量的模，向量垂直的充要条件，共面向量基本定理，向量的夹角，判定A 、B 、C 、D 的结论即可．【详解】空间四点()0,0,0O ，)0,1,2A ，()2,0,1B −，()3,2,1C ，则()0,1,2OA =，()2,0,1OB =− ，所以OA =，OB = ，对于A ：2OA OB ⋅=−，故A 正确；对于B ：2cos ,5OA OB OA OB OA OB ⋅==−，所以sin AOB ∠=，所以以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积sin SOA OB AOB ∠=，故B 错误；对于C ：由于()2,0,1OB =−，()1,2,2BC = ，所以0OB BC ⋅=，故OB BC ⊥ ，所以点O 到直线BC 的距离||d OB ==，故C 正确；对于D ：根据已知的条件求出：()0,1,2OA =，()2,0,1OB =− ，()3,2,1OC =，假设,,OA OB OC 共面，则存在实数λ和µ使得OC OA OB λµ=+，所以3=22=1=2µλλµ−，无解，故,,OA OB OC 不共面，故D 错误； 故选：AC ．12. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为侧面11BCC B 的中心，F 是棱11C D 的中点，若点P 为线段1BD 上的动点，则下列说法正确的是（ ）A. PE PF ⋅的最小值为148B. 若12BP PD =，则平面PAC 截正方体所得截面的面积为98C. PF 与底面ABCD 所成的角的取值范围为0,4πD. 若正方体绕1BD 旋转θ角度后与其自身重合，则θ的最小值是23π【答案】BCD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设()101BP BD λλ=≤≤ ，得()1,1,P λλλ−−，利用空间向量法求得数量积PE PF ⋅，计算最小值判断A ；由线面平行得线线平行确定截面的形状、位置，从而可计算出截面面积判断B ；过P 作11B D 的垂线，垂足为Q ，连接FQ ，则PFQ ∠为所求角.设=PQ x ，运用余弦定理求出QF ，由tan PQPFQ FQ∠=，计算判断C ；结合正方体的对称性，利用1BD 是正方体的外接球直径判断D ． 【详解】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz −.由正方体棱长为1，则11,1,22E，()1,1,0B ，()10,0,1D ，10,,12F ，()1,0,0A .对于A ，()11,1,1BD =−−，设()1,,BP BD λλλλ==−− ，()01λ≤≤，所以()1,1,P λλλ−−，11,,22PE λλλ =−− ，11,,12PF λλλ =−−−， ()()211171113()2221248PE PF λλλλλλλ⋅=−−+−+−−=−−， 所以712λ=时，1()48min PE PF ⋅=− ，故A 错误； 对于B ，12BP PD =，则P 是1BD 上靠近1D 的三等分点，112,,333P，取AC 上靠近C 的三等分点G ，则12,,033G，120,,33PG =−.显然PG与平面11CDD C 的法向量()1,0,0DA = 垂直，因此//PG 平面11CDD C ，所以截面PAC 与平面11CDD C 的交线与PG 平行， 作//CM PG 交11D C 于点M ，设()0,,1M k ，则()0,1,1CMk =− ，由//CM PG ，可得()21133k −−=，解得12k =，则M 与F 重合，因此取11D A 中点N ，易得//NF AC ， 所以截面为ACFN ，且为等腰梯形，AC =NF =，AN CF ==梯形的高为h ，截面面积为1928S =，故B 正确； 对于C ，过P 作11B D 的垂线，垂足为Q ，连接FQ ，则PFQ ∠为所求角．设=PQ x，则1D Q =，由余弦定理知，222111222424FQ x x x =+−⋅=−+. 因为P 为线段1BD 上的动点，所以01x ≤≤.当=0x时，tan 0PQPFQ FQ∠==.tan PQPFQ FQ∠=， 当01x <≤时，，11x≥， 所以tan 1PFQ ∠≤，故0,4PFQ π∠∈，C 正确；对于D ，()1,0,0A ，()0,1,0C ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，()1,1,0AC =−，()11,1,1BD =−−，则11100AC BD ⋅=−+=，1AC BD ∴⊥ ，同理11AB BD ⊥ . 所以1BD是平面1ACB 一个法向量，即1BD ⊥平面1ACB ，设垂足为1O ，则1111123AO C B O C AO B π∠=∠=∠=，1BD 是正方体的外接球的直径，因此正方体绕1BD 旋转θ角度后与其自身重合，至少旋转23π，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 如图，平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，1||||1===ABAD AA ，∠BAD ＝∠BAA 1＝120°，∠DAA 1＝60°，则线段AC 1的长度是_______．的【解析】【分析】利用11AC AB AD AA =++，即可求解． 【详解】 11AC AB AD AA =++，∴22221111222AC AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++++111111211()211()211222=+++×××−+×××−+×××2=，1AC ∴．【点睛】本题考查了空间向量的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14. 已知向量{},,a b c 是空间的一个基底，向量{},,a b a b c +− 是空间的另一个基底，一向量P在基底{}a b c ，，下的坐标为()1,2,3，则向量P在基底{},,a b a b c +− 下的坐标为__________．【答案】31,,322 −【解析】【分析】设()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++−+=++−+，可得 123x y x y z +=−== ，所以解出x ，y ，z 即可．【详解】设()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++−+=++−+；123x y x y z +=∴−= =，解得：31,,322x y z ==−=；p ∴ 在基底{},,a b a b c +− 下的坐标为：31,,322 −．故答案为：31,,322 −． 15. 祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率π的精确度上，首次将“π”精确到小数点后第七位，即π＝3.1415926…，在此基础上，我们从“圆周率”第三到第八位有效数字中随机取两个数字a ，b ，则事件“||5a b −≥”的概率为_______． 【答案】415【解析】【分析】根据给定条件，列出从4，1，5，9，2，6中任取两个数字的所有结果，再求出两个数字差的绝对值不小于5的个数即可作答.【详解】依题意，“圆周率”第三到第八位有效数字分别是4，1，5，9，2，6，从中任取两个数字a ，b 的不同结果是：(1，2)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(1，9)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(2，9)，(4，5)，(4，6)，(4，9)，(5，6)，(5，9)，(6，9)，共15种，它们等可能，事件“||5a b −≥”记为M ，它含有的结果有：(1，6)，(1，9)，(2，9)，(4，9)，共4种，于是得4()15P M =， 所以事件“||5a b −≥”的概率为415. 故答案为：41516. 设空间向量,,i j k 是一组单位正交基底，若空间向量a满足对任意的,,x y a xi y j −− 的最小值是2，则3a k +的最小值是_________．【答案】1 【解析】【分析】以,i j 方向为,x y 轴，垂直于,i j 方向为z 轴建立空间直角坐标系，根据条件求得a坐标，由3a k +的表达式即可求得最小值.【详解】以,,i j k方向为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0i = ，()0,1,0j = ，()0,0,1k = 设(),,a r s t = 则a xi y j −−=，当,r x s y ==时a xi y j −−的最小值是2， 2t ∴=± 取(),,2a x y = 则()3,,5a k x y +=3a k ∴+=又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是5. 取(),,2ax y =− 则()3,,1a k x y +=3a k ∴+=又因为,x y 是任意值，所以3a k +的最小值是1. 故答案为：1.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸． 17. 已知()3,2,1a =− ，()2,1,2b = ． （1）求a 与b夹角的余弦值；（2）当()()ka b a kb +⊥−时，求实数k 的值．【答案】（1（2）32k或23k =− 【解析】【分析】（1）根据空间向量夹角公式求得正确答案.（2）根据()()ka b a kb +⊥−列方程，从而求得k 的值.【小问1详解】cos ,a b a ba b⋅==⋅【小问2详解】由于()()ka b a kb +⊥− ，所以()()0ka b a kb +⋅−=， 所以()22210ka k a b kb +−⋅−= ，()22146190,6560k k k k k +−−=−−=， 解得32k或23k =−. 18. 袋中有6个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是12，得到黄球或绿球的概率是23，试求： （1）从中任取一球，得到黑球．黄球．绿球的概率各是多少？ （2）从中任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？ 【答案】（1）111,,362；（2）1115【解析】【分析】（1）从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A ，B ，C ，由于A ，B ，C 为互斥事件，列出方程组，由此能求出从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率．（2）黑球、黄球、绿球个数分别为2，1，3，得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个绿球共3种情况，而从6个球中取出2个球的情况共有15种，由此能求出得到的两个球颜色不相同的概率．【详解】（1）解：从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A ，B ，C ， 由于A ，B ，C 为互斥事件，根据已知得()()()11()()22()()3P A P B P C P A P B P B P C++=+=+=，解得1()31()61()2P A P B P C===，∴从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是111,,362；（2）由（1）知黑球、黄球、绿球个数分别为2，1，3，得到的两个球同色的可能有：两个黑球只有1种情况，两个绿球共3种情况， 而从6个球中取出2个球的情况共有15种， 所以所求概率为1315154+=， 则得到的两个球颜色不相同的概率是41111515−=． 19. 某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有20人，按年龄分成5组，其中第一组：[)20,25，第二组：[)25,30，第三组：[)30,35，第四组：[)35,40，第五组：[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计这20人的平均年龄和第80百分位数； （2）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这20人中35~45岁所有人的年龄的方差. 【答案】（1）32.25，第80百分位数为37.5 （2）10 【解析】【分析】（1）直接根据频率分布直方图计算平均数和百分位数；（2）利用分层抽样得第四组和第五组分别抽取4人和2人，进而设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4x ，5x ，方差分别为24s ，25s ，第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z ，方差为2s ，进而根据方差公式，代入计算即可得答案. 【小问1详解】设这20人的平均年龄为x ，则22.50.0527.50.3532.50.337.50.242.50.132.25x =×+×+×+×+×=.设第80百分位数为a ，由50.02(40)0.040.2a ×+−×=，解得37.5a =. 【小问2详解】由频率分布直方图得各组人数之比为1:7:6:4:2，故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取4人和2人， 设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4x ，5x ，方差分别为24s ，25s ， 则437x =，543x =，2452s =，251s =， 设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z ，方差为2s . 则4542396x x z+=，()(){}222224545142106s s x z s x z =×+−+×+−= ， 因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这m 人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10. 20. 已知函数()2sin cos x x f x x +−（1）若123f α = ，且π0,2α ∈，求sin α的值； （2）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若122C f=−，求a b 的取值范围． 【答案】（1；（2a b <<【解析】【分析】（1）化简()f x 解析式，由123f α = 得到1sin 3π3α−= ，从而求得cos 3πα −，进而求得sin α.（2）由122C f=−求得C ，利用正弦定理化简a b ，通过tan B 取值范围，求得a b 的取值范围. 【详解】（1）因为()2sin cos x x f x x +1cos 21πsin 2sin 2223x x x −+−=−， 的由123f α = ，得1sin 3π3α −= ，因π0,2α ∈，所以ππ36π3α−<−<，所以πcos 3α−所以ππsin sin 33αα =−+ππππsin cos cos sin 3333αα=−+−1132=×=． （2）由π1sin 232C f C =−=−，因为π0,2C∈ ，所以πππ336C −<−<， 所以ππ36C −=−，即π6C =． 由正弦定理sin sin a bA B=，可得，5πsin sin cos 6sin sin 2sin B a A B b B B B− ===+．因为ABC 是锐角三角形，所以π025ππ062B B <<<−<，即ππ32B <<．所以cos 12sin 2tan aB b B B =+ 由ππ32B <<，得tan B >a b << 21. 如图，在等腰直角三角形PAD 中，90A ∠=°，8AD =，3AB =，B ，C 分别是PA ，PD 上的点，且//AD BC ，M ，N 分别为BP ，CD 的中点，现将BCP 沿BC 折起，得到四棱锥P ABCD −，连结MN ．为（1）证明：//MN 平面PAD ；（2）在翻折的过程中，当4PA =时，求平面PBC 与平面PCD 夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）取AB 的中点E ，连接EM ，EN ，利用面面平行的判定证明平面//MNE 平面PAD ，再利用面面平行的性质即可证明；（2）以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，利用面面角的空间向量求法即可得到答案. 【小问1详解】在四棱锥P ABCD −中，取AB 的中点E ，连接EM ，EN ，因为M ，N 分别为BP ，CD 的中点，//AD BC ，则ME PA //，//EN AD ，因为PA ⊂平面PAD ，ME ⊄平面PAD ，则//ME 平面PAD ，同理可得，//EN 平面PAD ， 又ME EN E ∩=，ME ，EN ⊂平面MNE ，故平面//MNE 平面PAD ，因为MN ⊂平面MNE ， 故//MN 平面PAD ； 【小问2详解】因为在等腰直角三角形PAD 中，90∠=°，//AD BC ， 所以BCPA ⊥，则在四棱锥P ABCD −中，BC PB ⊥，BC AB ⊥，因为//AD BC ，则AD PB ⊥，AD AB ⊥，又PB AB B ∩=，,PB AB ⊂平面PAB ， 故AD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，故PA AD ⊥，因为8AD =，3AB =，4PA =，则5PB =，所以222AB PA PB +=，故PA AB ⊥． 以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则：(3,0,0)B ，()0,0,4P ，(0,8,0)D ，(3,5,0)C ，故(3,0,4),(3,5,4),(0,8,4)PB PC PD =−=−=−，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ，则3403540n PB x z n PC x y z ⋅=−= ⋅=+−= ， 令4x =，则3z =，故(4,0,3)n = ；设平面PCD 的法向量为(,,)m a b c = ，则8403540m PD b c m PC a b c ⋅=−= ⋅=+−= ， 令1b =，则1a =，2c =，故(1,1,2)m = ，所以|||cos ,|||||m n m n m n ⋅== ， 故平面PBC 与平面PCD． 22. 如图，三棱柱111ABC A B C 中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知13BCC π∠=，1BC =，12AB C C==，点E 是棱1C C 的中点．（1）求证：1C B ⊥平面ABC ；（2）在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E，若存在，求出CM CA 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在，13CM CA =或523CM CA = 【解析】【分析】（1）利用余弦定理解得1BC =1BC BC ⊥，证得AB ⊥侧面11BB C C ， 1AB BC ⊥，继而可证1C B ⊥平面ABC ； （2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立空间直角坐标系，假设存在点M ，设(),,M x y z ，由EM 与平面11A B E，可求解.【详解】（1）由题意，因为1BC =，12CC =，13BCC π∠=，利用余弦定理2221112cos 60BC BC CC BC CC =+−×°，解得1BC =22211BC BC CC ∴+=，1BC BC ∴⊥，AB ⊥ 侧面11BB C C ，1AB BC ∴⊥． 又AB BC B ∩= ，AB ，BC ⊂平面ABC ，∴直线1C B ⊥平面ABC ．（2）以B 为原点，分别以BC ，1BC 和BA 的方向为x ，y 和z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有(0,0,2)A，1(B −，12E，1(2)A −，设平面11A B E 的一个法向量为(,,)m x y z = ，11(0,0,2)A B =−，13,22A E =−， 11100m A B m A E ⋅= ⋅=，203202z x y z −= ∴ −=，令y =1x =，m ∴= ， 假设存在点M ，设(),,M x y z ，CM CA λ=，[0,1]λ∈， (1,,)(1,0,2)x y z λ∴−=−，(1,0,2)M λλ∴−，1,22EM λλ ∴=−利用平面11A B E的一个法向量为m =，2693850λλ−+=．即(31)(235)0λλ−−=，13λ∴=或523λ=，13CM CA ∴=或523CM CA =． 【点睛】本题考查了空间向量和立体几何综合问题，考查了学生逻辑推理，空间向量和数学运算能力，属于中档题.。
2024-2025学年湖北省襄阳市襄阳五中高三(上)月考数学试卷(9月份)(含答案)
2024-2025学年湖北省襄阳五中高三（上）月考数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数2+i1−3i 在复平面内对应的点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知实数a >1，b >0，满足a +b =3，则2a−1+1b 的最小值为( )A. 3+224B. 3+222C. 3+422D. 3+4243.中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃.若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如图，其中O 1O 3=20cm ，O 1O 2=2cm ，AB =16cm ，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是(参考数据：π≈3，铜的密度为8.96g/cm 3)( )A. 1kgB. 2kgC. 3kgD. 0.5kg4.已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(2−x)=f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)=2x −1，则f(log 212)=( )A. −13B. −14C. 13D. 125.在△ABC 中，D 为边BC 上一点，∠DAC =2π3，AD =4，AB =2BD ，且△ADC 的面积为43，则sin∠ABD =( )A.15− 38B.15+ 38C.5− 34D.5+ 346.已知随机事件A ，B 满足P(A)=13，P(A|B)=34，P(B|A)=716，则P(B)=( )A. 14B. 316C. 916D. 41487.直线l 过双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左顶点A ，斜率为12，与双曲线的渐近线分别相交于M ，N 两点，且3AM =AN ，则E 的离心率为( )A.2B.3C. 2D.58.已知函数f(x)=e x −aln(ax−a)+a(a >0)，若存在x 使得关于x 的不等式f(x)<0成立，则实数a 的取值范围( )A. (0,e 2)B. (0,e e )C. (e 2,+∞)D. (e e ,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。
2024-2025学年湖北省十堰市郧阳中学高二上学期9月月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖北省十堰市郧阳中学高二上学期9月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线y=1−x tan72∘的倾斜角为( )A. 108∘B. 72∘C. 118∘D. 18∘2.向量a=(1,2,3)，b=(−2,−4,−6)，|c|=14，若(a+b)⋅c=−7，则a与c的夹角为( )A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘3.已知直线l1:mx+y−1=0，l2：(3m−2)x+my−2=0，若l1//l2，则实数m的值为( )A. 2B. 1C. 1或2D. 0或134.将一枚均匀的骰子抛掷2次，事件A=“没有出现1点”，事件B=“出现一次1点”，事件C=“两次抛出的点数之和是8”，事件D=“两次掷出的点数相等”，则下列结论中正确的是( )A. 事件A与事件B是对立事件B. 事件A与事件D是相互独立事件C. 事件C与事件D是互斥事件D. 事件C包含于事件A5.已知点M是直线y=x+1上一点，A(1,0)，B(2,1)，则|AM|+|BM|的最小值为( )A. 2B. 22C. 1+2D. 106.已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=3，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则|BD|=( )A. 102B. 62C. 52D. 27.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为AB的中点，则点A1到平面ECC1的距离为( )A. 15B. 55C. 255D. 258.古代城池中的“瓮城”，又叫“曲池”，是加装在城门前面或里面的又一层门，若敌人攻入瓮城中，可形成“瓮中捉鳖”之势.如下图的“曲池”是上.下底面均为半圆形的柱体.若AA1垂直于半圆柱下底面半圆所在平面，AA1=3，AB=4，CD=2，E为弧A1B1的中点，则直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为( )A. 39921B. 27321C. 24221D. 4221二、多选题：本题共3小题，共18分。
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f (x )
黄石有色一中2014-2015学年度上学期高二九月月考
文科数学试题（A 卷）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
）
1．若集合2{|22},{|30,}A x x B x x x x N =-<<=-≤∈，则A B 等于
A ．[0,2)
B ．(1,2)
C ．{1}
D ．{0，1}
2. 已知x a x f -=)( )10(≠>a a 且，且)3()2(->-f f ，则a 的取值范围是 A. 0>a B. 1>a C. 1<a D. 10<<a 3．设0.914y =，0.4828y =， 1.530.5y -=．则
（A ）312y y y >> （B ）213y y y >> （C ）123y y y >> （D ）132y y y >>． 4．设1
(
,),sin 2,cos sin 4216
ππ
θθθθ∈=-则的值是（ ） A
．
4 B
．4
-
C ．
34
D ．34
-
5．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数
()x g x a b =+的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6.已知向量
，则实数m 的值为( ) A ．3
B ．－3
C ．2
D ．－2
7.等差数列{}n a 的前n 项和为5128,11,186,n S a S a ==则=
A ．18
B ．20
C ．21
D ．22
8.函数sin
3
y x π
=在区间[]0,t 上至少取得2个最大值，则正整数t 的最小值是
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
9．如果对于任意实数,x x <>表示不小于x 的最小整数，例如 1.12, 1.11<>=<->=-，
那么“||1x y -<”是“x y <>=<>”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10. 若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足53AM AB AC =+，则△ABM 与△ABC
的面积比为
A ．
15
B ．
25
C ．
35
D ．
45
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卷中的横线上） 11.已知向量，
，
为非零向量，若
，则
k= ．
12．半圆的直径4,AB O =为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 的中点，则()PA PB PC +⋅的值是 。
13．若0
0,2x y x y z x y y a -≤⎧⎪
+≥=+⎨⎪≤⎩
的最大值是3，则a 的值是 。
14. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体 积 3
m
.
15．若正数a b 、满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是 .
16.已知函数()f x 满足对任意的x R ∈都有11222f x f x ⎛⎫⎛⎫
++-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
成立，则127...888f f f ⎛⎫
⎛⎫
⎛⎫
+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
＝ ． 17．把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，
得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列
{}n a ，若2011n a =，则n =_________．
三、解答题（本大题共6小题，共65分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步
骤。
18. （本题满分12分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为,a b c 、、角A ，B ，C 成等差数列。
(1)求cos B 的值； (2) 若,2=b ABC ∆，求c a ,.
19. （本题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为*
11,1,21()n n n S a a S n N +==+∈，等差数列{}n b 中，
*
123112233
0(),15,,,n b n N b b b a b a b a b >∈++=+++且又成等比数列。
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和.n T
P
A
C
B
D
O
20.本小题满分13分）
已知锐角∆ABC 中的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，定义向量
2
(2sin ,3),(cos 2,2cos 1)//.2
B
m B n B m n =-=-且 （1）求函数()sin 2cos cos 2sin f x x B x B =-的单调递增区间； （2）如果2,b ABC =∆求的面积的最大值。
21.（本小题满分14分）
某工厂有216名工人，现接受了生产1000台GH 型高科技产品的总任务。
已知每
台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置。
现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置（完成自己的任务后不再支援另一组）。
设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为g （x ），其余工人加工完H 型装置所需时间为h （x ）（单位：小时，可不为整数） （1）写出g （x ），h （x ）的解析式；
（2）写出这216名工人完成总任务的时间f （x ）的解析式； （3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？
22．（本小题满分14分）
在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆2AB =，,O D 分 别是,AB PB 的中点．
（Ⅰ）求证：OD ∥平面PAC ； （Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面ABC ； （Ⅲ）求三棱锥P ABC -的体积．。