《新新练案系列》2014-2015学年高中数学(北师大版必修五)模块检测(含答案解析)

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北师大版高中数学必修5综合测试试题及答案

北师大版高中数学必修5综合测试试题及答案必修模块5试题.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共3页．满分为150分。

考试时间120分钟．第Ⅰ卷选择题共50分一．选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知等差数列{an}中，a7a916,a41,则a12的值是A.15B.30C.31D.6422.若全集U=R,集合M＝某某4，S＝某3某0，则MðUS=某1A.{某某2}B.{某某2或某3}C.{某某3}D.{某2某3}3.若1＋2＋22＋……＋2n>128，nN某，则n的最小值为A.6B.7C.8D.94.在ABC中，B60，bac，则ABC一定是2A、等腰三角形B、等边三角形C、锐角三角形D、钝角三角形115.若不等式a某2b某20的解集为某|某，则a－b值是23A.－10B.－14C.10D.146.在等比数列{an}中，S4=1，S8=3，则a17a18a19a20的值是A．14B．16C．18D．207．已知某2y1，则2某4y的最小值为A．8B．6C．22D．28.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是A.4n2B.4n2C.2n4D.3n3第1个第2个第3个某4y309.已知变量某,y满足3某5y25，目标函数是z2某y，则有某1A．zma某12,zmin3C．zmin3,z无最大值B．zma某12,z无最小值D．z既无最大值，也无最小值10．在R上定义运算:某y某(1y)，若不等式(某a)(某a)1对任意实数某成立，则实数a的取值范围是A．1a1B．0a2C．1331aD．a2222第Ⅱ卷非选择题共100分二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）11.已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为．12．b克糖水中有a克糖（b>a>0），若再加入m克糖（m>0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为.13.在数列an中，a11，且对于任意正整数n，都有an1ann，则a100＝________________.14．把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设ai,j（i、j∈N某）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，23456如a4,2＝8．若ai,j＝2006，则i、j的值分别为________，__________78910…………………………三、解答题：（本大题共6小题，共80分。

2014-2015学习报数学高中北师大必修5第10-13期答案

伊4垣（
1 源
）圆伊源圆垣…垣（
1 源
）灶原员·源灶原员垣葬灶·源灶=灶垣葬灶·源灶，
所以得5栽灶原源灶葬灶=灶援三、解答题
1远.解：由题意知（枣曾）越葬（曾原曾员）（曾原曾圆）越葬（曾原员）（曾原猿），且葬约园，故二次函数在区间［圆，垣肄）上是减函数.
又因为愿垣渣贼渣跃愿，圆垣贼圆逸圆，
故由二次函数的单调性知不等式（枣渣贼渣垣愿）约（枣圆垣贼圆），
.故选B.
7.依题意，得栽愿越a员·a圆·…·a愿越（a源·a缘）源越圆源越员远.故选C援 8.因为葬糟燥泽悦，遭糟燥泽月，糟糟燥泽粤成等差数列，所以葬糟燥泽悦垣糟糟燥泽粤越圆遭糟燥泽月.根据正弦定理可得泽蚤灶粤糟燥泽悦垣泽蚤灶悦糟燥泽粤越圆泽蚤灶月糟燥泽月，
即泽蚤灶（粤垣悦）越圆泽蚤灶月糟燥泽月，即泽蚤灶月越圆泽蚤灶月糟燥泽月.因为泽蚤灶月屹园，
8援
源猿
援
设
墒设设赠跃园，赠沂晕垣;
提示：
远.依题意满足条件的可行域是一个吟粤月悦，粤（圆，园），月（员，员），悦（猿，猿），则目标函数扎越圆曾垣赠经过点月（员，员）时，取得最小值扎皂蚤灶越圆伊员垣员越猿援
7.依题意曾跃园，赠跃园，且曾，赠沂晕垣，又由工人工资预算为圆园园园元，知缘园曾垣源园赠臆圆园园园援
怨.猿，公差为原园.猿的等差数列，所以赠越缘伊怨.猿垣缘伊（缘2原员）伊（原园.猿）越源猿.缘（万吨）援所以按计划“十二五”期间该城市共排放 SO 2 约43援5
万吨援（2）由已知得，2012年的SO2年排放量怨.猿原园.猿越怨（万吨），所以2012年至2020年SO2的年排放量构成首项为9，
仔猿
，即a2+b

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模块综合测试(A)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项和S 10＝( ) A ．100 B ．210 C ．380 D ．400答案： B1．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8的值等于( ) A ．45 B ．75 C ．180D ．300 解析： ∵a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5， ∴由已知得5a 5＝450，∴a 5＝90 ∴a 2＋a 8＝2a 5＝180. 答案： C2．在△ABC 中，若b ＝2a sin B ，则角A 为( ) A ．30°或60° B ．45°或60° C ．120°或60°D ．30°或150°解析：根据正弦定理sin B ＝2sin A sin B ，所以sin A ＝12，所以A ＝30°或150°.答案： D3．a ∈R ，且a 2＋a ＜0，那么－a ，－a 3，a 2的大小关系是( ) A ．a 2＞－a 3＞－a B ．－a ＞a 2＞－a 3 C ．－a 3＞a 2＞－aD ．a 2＞－a ＞－a 3解析：由a 2＋a ＜0得－1＜a ＜0，∴－a ＞a 2＞－a 3. 答案： B4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析： a 4＋a 6＝2a 5＝－6， ∴a 5＝－3， ∴d ＝a 5－a 15－1＝2，∴S n ＝－11n ＋n (n －1)2·2＝n 2－12n .故n ＝6时S n 取最小值．答案： A5．△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b ＝( )A.1＋32B ．1＋ 3 C.2＋32D ．2＋ 3 解析： 2b ＝a ＋c ，S ＝12ac sin B ＝32，∴ac ＝6.又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴b 2＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos 30°. ∴b 2＝4＋23，即b ＝1＋3，故选B. 答案： B6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12B.12 C ．－1D ．1 解析：根据正弦定理，由a cos A ＝b sin B ，得sin A cos A ＝sin 2B ， ∴sin A cos A ＋cos 2B ＝sin 2B ＋cos 2B ＝1，故选D. 答案： D7．若数列{x n }满足lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 100＝100，则lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)的值为( )A ．102B ．101C ．100D ．99解析：由lg x n ＋1＝1＋lg x n 得x n ＋1x n＝10，∴数列{x n }是公比为10的等比数列，又x 101＝x 1·q 100， x 102＝x 2·q 100，…，x 200＝x 100·q 100，∴x 101＋x 102＋…＋x 200＝q 100(x 1＋x 2＋…＋x 100) ＝10100·100＝10102.∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝102. 答案： A8．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ＋4≥0x ≤1表示的平面区域面积是( )A ．3B ．6 C.92D ．9解析：如图所示，不等式组表示的平面区域为△ABC 边界及其内部的部分，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x －y ＋4＝0可得A (1,5)，同理可得B (－2，2)，C (1，－1)，故AC ＝6，△ABC 的高h ＝3，所以S △ABC ＝12·AC ·h ＝9.答案： D9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a n －2(a 为常数且a ≠0)，则数列{a n }( ) A ．是等比数列B ．当a ≠1时是等比数列C ．从第二项起成等比数列D ．从第二项起成等比数列或等差数列解析： a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2 n ＝1，a n －1(a －1) n ≥2，当a ≠0，n ≥2，a n ＝a n －1(a －1)，a ≠1是等比数列，当a ＝1，是等差数列．答案： D10．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 均成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析： ∵(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )， ∴不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，即(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x 成立，即使x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 成立，所以Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，解得－12＜a ＜32，故选C.答案： C11．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．29解析：设公比为q ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2·a 3＝a 21q 3＝2a 1a 4＋2a 7＝a 1q 3＋2a 1q 6＝52 即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝2a 1q 3＋2a 1·q 3·q 3＝52，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12a 1＝16，故S 5＝16×⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝31.答案： C12．钝角三角形的三边为a ，a ＋1，a ＋2，其最大角不超过120°，则a 的取值范围是( ) A ．0＜a ＜3 B.32≤a ＜3 C ．2＜a ≤3D ．1≤a ＜52解析： ∵三角形为钝角三角形，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a ＋1＞a ＋2－12≤a 2＋(a ＋1)2－(a ＋2)22a (a ＋1)＜0，解得32≤a ＜3.答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.解析：因为cos C ＝13，得sin C ＝223.因为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×b ×223＝43，所以b ＝2 3. 答案： 2 314．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *.若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．解析：设{a n }的首项，公差分别是a 1，d ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝1620a 1＋20×(20－1)2×d ＝20，解得a 1＝20，d ＝－2， ∴S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.答案： 11015．设点P (x ，y )在函数y ＝4－2x 的图像上运动，则9x ＋3y 的最小值为________．解析： ∵y ＝4－2x ， ∴9x ＋3y ＝9x ＋34－2x＝9x ＋819x ≥281＝18.答案： 1816．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y －6≤0x －y ＋m ≤0表示的平面区域是一个三角形，则实数m 的取值范围是________．解析：先画部分可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y －6≤0，设直线x －y ＋m ＝0与x 轴的交点为(－m,0)，另外A (3,0)，B (0,6)，由图形可知：当m ∈(－∞，－3]∪[0,6)时，可行域为三角形．故实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[0,6)．答案： (－∞，－3]∪[0,6)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解析： (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d . 由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.18．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc .求∠A 的大小及b sin Bc的值．解析： ∵a 、b 、c 成等比数列，∴b 2＝ac . 又∵a 2－c 2＝ac －bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴∠A ＝60°.在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa ，∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin 60°ca ＝sin 60°＝32.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0.解析：若a ＝0，原不等式可化为－x ＋1＜0，解得x ＞1；若a ＜0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＞0 解得x ＜1a或x ＞1；若a ＞0，原不等式可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0，其解的情况应由1a 与1的大小关系确定，当a ＝1时，解得x ∈∅；当a ＞1时，解得1a ＜x ＜1；当0＜a ＜1时，解得1＜x ＜1a.综上所述，当a ＜0时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜1a 或x ＞1；当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a＜x ＜1 20．(本小题满分12分)已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.求：(1)4x －3y 的最大值和最小值； (2)x 2＋y 2的最大值和最小值．解析： (1)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，表示的平面区域如下图所示，其中A (4,1)，B (－1，－6)，C (－3,2)．设z ＝4x －3y ，直线4x －3y ＝0经过原点(0,0)，作一组与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝z ，当l 过C 点时，z 值最小；当l 过B 点时，z 值最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.(2)设u ＝x 2＋y 2，则u 为点(x ，y )到原点(0,0)的距离．结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37； (x 2＋y 2)min ＝0.21．(本小题满分12分)已知不等式x 2－3x ＋t ＜0的解集为{x |1＜x ＜m ，x ∈R }． (1)求t ，m 的值；(2)若函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4在区间(－∞，1]上递增，求关于x 的不等式log a (－mx 2＋3x ＋2－t )＜0的解集．解析： (1)∵不等式x 2－3x ＋t ＜0的解集为{x |1＜x ＜m ，x ∈R }，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋m ＝3m ＝t 得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2t ＝2. (2)∵f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋4＋a24在(－∞，1]上递增， ∴a2≥1，a ≥2. 又log a (－mx 2＋3x ＋2－t )＝log a (－2x 2＋3x )＜0，由a ≥2，可知0＜－2x 2＋3x ＜1，由2x 2－3x ＜0，得0＜x ＜32，由2x 2－3x ＋1＞0得x ＜12或x ＞1.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0＜x ＜12或1＜x ＜32.22．(本小题满分14分)如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里，问：(1)乙船每小时航行多少海里？(2)甲、乙两船是否会在某一点相遇，若能，求出甲从A 1处到相遇点共航行了多少海里？解析： (1)如图，连接A 1B 2，A 2B 2＝102， A 1A 2＝2060×302＝102，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2cos 45° ＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200 B 1B 2＝10 2.因此乙船的速度的大小为10220×60＝302海里/小时．(2)若能在C 点相遇，则显然A 1C ＜B 1C .因为甲、乙两船的航速恰好相等，因此不可能相遇．。

北师大版高中数学必修5模块测试试题及答案

数学必修5第一部分（选择题共50分）一、选择题（每小题5分，10小题，共50分）1、在ABC ∆中，︒===452232B b a ，，，则A 为（）A ．︒︒︒︒︒︒30.15030.60.12060D CB 或或2、在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于（）A ︒︒︒︒30.45.60.120.D C B3、在ABC ∆中，1660=︒=b A ，，面积3220=S ，则a 等于( ) A. 610.B. 75C . 49D. 514、等比数列{}n a 中293a a =，则313239310log log log log a a a a ++++ 等于（） A ．9 B ．27 C ．81 D ．2435、三个数a ，b ，c 既是等差数列，又是等比数列，则a ，b ，c 间的关系为 ( ) A ．b-a =c-b B ．b 2=a c C ．a =b=c D ．a =b=c ≠06、等比数列{}n a 的首项1a =1，公比为q ，前n 项和是n S ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和是（）A ．1-n SB ．n n q S -C ．n n q S -1D ．11--n n q S7、在等差数列{}n a 中，前四项之和为40，最后四项之和为80，所有项之和是210，则项数n 为（）A ．12B ．14C ．15D ．16 8、已知,,a b c R ∈,则下列选项正确的是（）A.22a b am bm >⇒>B.a ba b c c>⇒> C .11,0a b ab a b >>⇒< D.2211,0a b ab a b>>⇒<9、已知x y xy +=，则y x +的取值范围是（）A ．]1,0(B ．),2[+∞C ．]4,0(D ．),4[+∞10、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-<-<+0011234x y y x y x 表示的平面区域内的整点的个数是（）A ．8个B ．5个C ．4个D ．2个第二部分（非选择题共100分）二、填空题（每小题5分，4小题，共20分）11、已知0,0>>y x ，且191=+yx ，求y x +的最小值 _____________ 12、当x 取值范围是_____________ 时，函数122-+=x x y 的值大于零 13、在等比数列}{n a 中，08,204321=+=+a a a a ，则=10S14、不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积是三、解答题（共六个题，前两题每题10分，后面每题15分，共80分）15、在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322=+-x x 的两个根，且()1cos 2=+B A 。

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高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作必修五模块测试卷（150分，120分钟）一、选择题(每题5分，共60分）1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos 22A ＝ccb 2+，则△ABC 是( )A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形2.在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8等于( ) A.135 B.100 C.95 D.803.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A 的值等于( ) A.23 B. 33 C. 43 D. 63 4.〈日照模拟〉已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t 25-⋅n －51，则实数t 的值为( ) A.4 B.5 C. 54 D. 515.某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是3 km ，那么x 的值为( )A.3B.23C.3或23D.3 6.设{a n }为各项均是正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则( ) A.44S a =66S a B. 44S a ＞66S a C. 44S a ＜66S a D. 44S a≤66S a 7.已知数列{a n }的首项为1，并且对任意n ∈N +都有a n >0.设其前n 项和为S n ，若以(a n ，S n )(n ∈N +)为坐标的点在曲线y ＝21x (x ＋1)上运动，则数列{a n }的通项公式为( ) A.a n ＝n 2＋1 B.a n ＝n 2 C.a n ＝n ＋1 D.a n ＝n8.设函数f (x )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-.0,1,0,132＜x xx x 若f (a )<a ，则实数a 的取值范围为( )A.(－1，＋∞)B.(－∞，－1)C.(3，＋∞)D.(0,1) 9.已知a >0，b >0，则a 1＋b1＋2ab 的最小值是( ) A.2 B.22 C.4 D.510.已知目标函数z =2x +y 中变量x ,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-,1,2553,34x y x y x ＜则( )A.z max =12,z min =3B.z max =12,无最小值C.z min =3,无最大值D.z 无最大值,也无最小值 11.如果函数f (x )对任意a ，b 满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则)1()2(f f ＋)3()4(f f ＋)5()6(f f ＋…＋)2013()2014(f f ＝( )A.4 018B.1 006C.2 010D.2 014 12.已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，且log c (ab )>1，则c 的取值范围是( ) A.0<c <1 B.1<c <8 C.c >8 D.0<c<1或c >8 二、填空题（每题4分，共16分）13.〈泉州质检〉△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则角B = .14.已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11的最小值为 . 15.两个等差数列的前n 项和之比为12105-+n n ，则它们的第7项之比为 .16.在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝31S n (n ≥1)，则a n ＝ .三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(17~20题每题12分，21~22题每题13分，共74分)17.已知向量m ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,sin A 与n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角. (1)求角A 的大小；(2)若BC ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.18.已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a n +1=2a n +1(n ∈N *) (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足11144421---n b b b =n b n a )1(+ (n ∈N*),证明：{b n }是等差数列;19.如图1,A ,B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？图120.解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).21.已知等差数列{a n }的首项a 1＝4，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前四项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前三项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N ＋，使对任意n ∈N ＋总有T n <S m ＋λ恒成立，求实数λ的最小值.22.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 t ，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元. (1)该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ (2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210 t 时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由.参考答案及点拨一、1.A 点拨：因为cos 22A ＝c c b 2+及2cos 22A －1＝cos A ，所以cos A ＝c b .而cos A=bca cb 2222-+，∴b 2+a 2=c 2，则△ABC 是直角三角形.故选A.2.A 点拨：由等比数列的性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，…，a 7＋a 8仍然成等比数列，公比q ＝2143a a a a ++＝4060＝23，∴a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)14-q ＝40×323⎪⎭⎫ ⎝⎛＝135. 3.B 点拨：(3b －c )cos A ＝a cos C ，由正弦定理得3sin B cos A ＝sin C cos A ＋cos C sin A⇒3sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ，又sin B ≠0，所以cos A ＝33.故选B. 4.B 点拨：∵a 1＝S 1＝51t －51，a 2＝S 2－S 1＝54t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数列.知254⎪⎭⎫ ⎝⎛t ＝⎪⎭⎫⎝⎛-5151t ×4t ，显然t ≠0，∴t ＝5. 5.C 点拨：根据题意，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°，整理得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或23.6.B 点拨：由题意得公比q >0，当q ＝1时，有44S a －66S a ＝41－61>0，即44S a >66S a ；当q ≠1时，有44S a －66S a ＝()41311)1(q a q q a --－()61511)1(qa q q a --＝q 3(1－q )()()642111q q q ---⋅＝231q q +611q q --⋅>0，所以44S a >66S a .综上所述，应选B. 7.D 点拨：由题意，得S n ＝21a n (a n ＋1)，∴S n －1＝21a n －1(a n －1＋1)(n ≥2). 作差，得a n ＝21()1212---+-n n n n a a a a ，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0.∵a n >0(n ∈N +)，∴a n －a n －1－1＝0，即a n －a n －1＝1(n ≥2).∴数列{a n }为首项a 1＝1，公差为1的等差数列. ∴a n ＝n (n ∈N +).8.A 点拨：不等式f (a )<a 等价于⎪⎩⎪⎨⎧≥-0,132a a a ＜或⎪⎩⎪⎨⎧,1,0a aa ＜＜解得a ≥0或－1<a <0，即不等式f (a )<a 的解集为(－1，＋∞). 9.C 点拨：依题意得a 1＋b 1＋2ab ≥2ab 1＋2ab ≥4ab ab ⋅1＝4，当且仅当a1＝b1，且ab 1=ab 时，取等号，故应选C.10.C11.D 点拨：由f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，可得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，)()1(n f n f +＝f (1)＝2，所以)1()2(f f ＋)3()4(f f ＋)5()6(f f ＋…＋)2013()2014(f f ＝2×1 007＝2 014. 12.B 点拨：因为a ，b ，a ＋b 成等差数列，所以2b ＝a ＋(a ＋b )，即b ＝2a .又因为a ，b ，ab 成等比数列，所以b 2＝a ×ab ，即b ＝a 2.所以a ＝2，b ＝4，因此log c (ab )＝log c 8>1＝log c c ，有1<c <8，故选B. 二、13.60° 点拨：依题意得a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，根据正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，则sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，即sin B ＝2sin B cos B ，所以cos B ＝21，又0°<B <180°，所以B ＝60°，14. 425 点拨：z ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11＝xy ＋xy 1＋x y ＋y x ＝xy ＋xy 1＋xy xy y x 2)(2-+＝xy 2＋xy －2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ＝41.设f (t )＝t ＋t 2，t ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0，设41≥t 2>t 1>0，则f (t 1)－f (t 2)＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+112t t －⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+222t t ＝212121)2)((t t t t t t --. 因为41≥t 2>t 1>0，所以t 2－t 1>0，t 1·t 2<161.则t 1·t 2－2<0. 所以f (t 1)－f (t 2)>0.即f (t 1)>f (t 2).∴f (t )＝t ＋t 2在⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0上单调递减，故当t ＝41时f (t )＝t ＋t2有最小值433，所以当x ＝y ＝21时，z 有最小值425. 15.3∶1 点拨：设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，则n n T S ＝12105-+n n ，而77b a＝131131b b a a ++＝1313T S ＝113210135-⨯+⨯＝3. 16.21,114,233n n n -=⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩点拨：∵3a n ＋1＝S n (n ≥1)，∴3a n ＝S n －1(n ≥2). 两式相减，得3(a n ＋1－a n )＝S n －S n －1＝a n (n ≥2)⇒n n a a 1+＝34(n ≥2) ⇒n ≥2时，数列{a n }是以34为公比，以a 2为首项的等比数列， ∴n ≥2时，a n ＝a 2234-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n .令n ＝1，由3a n ＋1＝S n ，得3a 2＝a 1，又a 1＝1⇒a 2＝31，∴a n ＝31234-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n (n ≥2).故⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-.2,3431,112n n n ，三、17.解：(1)因为m ∥n ，所以sin A ·(sin A ＋3cos A )－23＝0. 所以22cos 1A -＋23sin2A －23＝0.即23sin2A －21cos2A ＝1，即sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πA ＝1. 因为A ∈(0，π)，所以2A －6π∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-611,6ππ，故2A －6π＝2π，即A ＝3π. (2)由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc ，又S △ABC ＝21bc sin A ＝43bc ，而b 2＋c 2≥2bc ，bc ＋4≥2bc ，bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)，所以S △ABC ＝21bc sin A ＝43bc ≤43×4＝3.当△ABC 的面积最大时，b ＝c ，又A ＝3π，故此时△ABC 为等边三角形. 18.(1)解：∵a n +1=2a n +1(n ∈N *),∴a n +1+1=2(a n +1).∴{a n +1}是以a 1+1=2为首项，2为公比的等比数列.∴a n +1=2n . 即a n =2n －1(n ∈N *). (2)证明：∵114-b 124-b …14-n b =()n bn a 1+.∴nb b b n -+++)(214=nnb 2.∴2［(b 1+b 2+…+b n )－n ］=nb n ,①2［(b 1+b 2+…+b n +b n +1)－(n +1)］=(n +1)b n +1.②②－①，得2(b n +1－1)=(n +1)b n +1－nb n ,即(n －1)b n +1－nb n +2=0,③ ∴nb n +2－(n +1)b n +1+2=0.④ ④－③，得nb n +2－2nb n +1+nb n =0,即b n +2－2b n +1+b n =0,∴b n +2－b n +1=b n +1－b n (n ∈N *).∴{b n }是等差数列.19.解：由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理得，DAB DB ∠sin ＝ADBAB∠sin .∴DB ＝ADBDAB AB ∠∠⋅sin sin ＝︒︒⋅+105sin 45sin )33(5＝︒⋅︒+︒⋅︒︒⋅+45cos 60sin 60sin 45sin 45sin )33(5＝213)13(35++＝103(海里).又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203海里，在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×21＝900， ∴CD ＝30海里.则需要的时间t ＝3030＝1(小时). 答：救援船到达D 点需要1小时.20.解:原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0. (1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1. (2)当a ＞0时，原不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 2 (x ＋1)≥0⇒x ≥a2或x ≤－1； (3)当a ＜0时，原不等式化为⎪⎭⎫⎝⎛-a x 2 (x ＋1)≤0. ①当a 2＞－1，即a ＜－2时，原不等式的解集为－1≤x ≤a 2； ②当a 2＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为x ＝－1；③当a 2＜－1，即－2＜a ＜0时，原不等式的解集为a2≤x ≤－1.综上所述：当a ＜－2时，原不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a2,1；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,2a ；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1］；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1］∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a . 21.解:(1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，又a 1＝4，所以公差d ＝－1，所以a n ＝5－n ，从而S n ＝2)9(n n -. (2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列的公比为q ，则q ＝12b b ＝21，所以T n ＝2112114-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n ＝8⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 211.令f (n )=n⎪⎭⎫ ⎝⎛21.因为f (n )＝n⎪⎭⎫⎝⎛21是关于自然数n 的减函数，所以{T n }是递增数列，得4≤T n <8.又S m ＝2)9(m m -＝－22921⎪⎭⎫⎝⎛-m ＋881，当m ＝4或m ＝5时，S m 取得最大值，即(S m )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N ＋，使对任意n ∈N ＋总有T n <S m ＋λ恒成立，则8≤10＋λ，得λ≥－2，所以λ的最小值为－2.22.解：(1)设该厂应每x 天购买一次面粉，则其购买量为6x t.由题意知，面粉的保管等其他费用为3［6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1］＝9x (x ＋1)元. 设每天所支付的总费用为y 1元，则 y 1＝x 1［9x (x ＋1)＋900］＋6×1 800＝x900＋9x ＋10 809≥2x x 9900⋅＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝x900，即x ＝10时取等号. 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.(2)若该厂接受此优惠条件，则至少每35天购买一次面粉.设该厂接受此优惠条件后，每x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝x 1［9x (x ＋1)＋900］＋6×1 800×0.90＝x900＋9x ＋9 729(x ≥35). 令f (x )＝x ＋x100(x ≥35)，x 2>x 1≥35，则f (x 1)－f (x 2)＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+11100x x －⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22100x x ＝212121)100)((x x x x x x --. 因为x 2>x 1≥35，所以x 1－x 2<0，x 1·x 2>100.所以x 1x 2－100>0. 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2). 所以f (x )＝x ＋x100在［35，＋∞)内为增函数. 所以当x ＝35时，y 2有最小值，约为10 069.7. 此时y 2<10 989，所以该厂应该接受此优惠条件.。

高一数学北师大版必修五创新演练阶段质量检测模块综合检测

模块综合检测(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下列不等式中，解集为R 的是( ) A ．x 2＋4x ＋4＞0 B ．|x |＞0 C ．x 2＞－xD ．x 2－x ＋14≥0解析：A 的解集为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)，B 的解集是(－∞，0)∪(0，＋∞)，C 的解集是(－∞，－1)∪(0，＋∞)，D 等价于(x －12)2≥0，故解集为R.答案：D2．(2012·洋浦高二检测)在△ABC 中，若a ＝2，b ＝23，∠A ＝30°，则∠B 为( ) A ．60° B ．60°或120° C ．30°D ．30°或150°解析：根据正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝23×sin 30°2＝32，∴B ＝60°或120°，∵b ＞a ，故两解都符合题意．答案：B3．(2011·江西高考)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1.那么a 10＝( ) A ．1 B ．9 C ．10D ．55解析：由S n ＋S m ＝S n ＋m ，得S 1＋S 9＝S 10⇒a 10＝S 10－S 9＝S 1＝a 1＝1. 答案：A4．在数列{a n }中，已知前n 项和S n ＝7n 2－8n ，则a 100的值为( ) A ．69 200 B ．1 400 C ．1 415D ．1 385解析：法一：S n ＝7n 2－8n ，所以S 1＝7－8＝－1， a n ＝S n －S n －1＝7n 2－8n －7(n －1)2＋8(n －1)＝14n －15(n ≥2)．因为n ＝1时，a 1＝－1，所以a n ＝14n －15(n ∈N ＋)．所以a 100＝14×100－15＝1 385.法二：a 100＝S 100－S 99＝7×1002－8×100－7×992＋8×99 ＝7(100＋99)(100－99)－8(100－99)＝1 385. 答案：D5．(2012·宿州高二检测)数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝( ) A ．2n －1 B ．2n －1－1 C ．2n ＋1D ．4n －1解析：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.答案：A6．在△ABC 中，已知a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦值是32，则△ABC 的面积是( ) A.154 3 B.154 C.2143D.3543 解析：依条件a ＝b ＋2，b ＝c ＋2， ∴a ＝c ＋4.∴sin A ＝32，∴A ＝120°. cos 120°＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(c ＋2)2＋c 2－(c ＋4)22c (c ＋2)＝c 2－4c －122c (c ＋2)＝－12，∴c ＝3，从而b ＝5. ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝154 3.答案：A7．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a ＞0，b ＞0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：不等式组表示的区域是一个四边形，4个顶点分别是(0,0)，(0,2)，(12，0)，(1,4)，易求出目标函数在(1,4)点取得最大值8，所以8＝ab ＋4⇒ab ＝4.所以a ＋b ≥2ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立．所以a ＋b 的最小值为4. 答案：D8．已知在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，且a ＝4，b ＋c ＝5，A ＝60°，则△ABC 的面积为( ) A.34B ．3 3 C.334D.34解析：由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴16＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos 60°，∴bc ＝3.∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×sin 60°＝334.答案：C9．如图，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N)为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运( ) A ．3年 B ．4年 C ．5年D ．6年解析：由图像知，函数过点(6,11)，可设y ＝a (x －6)2＋11，把点(4,7)代入得7＝a (4－6)2＋11，解得a ＝－1，∴y ＝－(x －6)2＋11＝－x 2＋12x －25.∴平均利润y x ＝－x 2＋12x －25x ＝－(x ＋25x )＋12≤－2x ×25x ＋12＝2.这时x ＝25x即x ＝5.答案：C10．(2012·佛山高二检测)已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎨⎧3x －y ≤0x －3y ＋2≥0y ≥0，则x 2＋y 2－4x 的取值范围是( ) A ．[0,12] B ．[－1,12] C ．[3,16]D ．[－1,16]解析：作出不等式组表示的平面区域如图，x 2＋y 2－4x ＝(x －2)2＋y 2－4.令d ＝(x －2)2＋y 2表示可行域内的点到(2,0)的距离，由图可知，∴d min 是点(2,0)到直线3x －y ＝0的距离，∴d min ＝233＋1＝3，又d max 是AB 的长度，∴d max ＝4.∴x 2＋y 2－4x 的范围是[－1,12]．答案：B 二、填空题11．不等式2x 2＋2x －4≤12的解集为________．解析：∵2x 2＋2x －4≤12，∴2x 2＋2x －4≤2－1.∴x 2＋2x －4≤－1. 即x 2＋2x －3≤0，∴(x －1)(x ＋3)≤0. 解得－3≤x ≤1，故所求解集为[－3,1]．答案：[－3,1]12．(2012·石家庄高二检测)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足A nB n ＝2nn ＋3，则a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝________. 解析：设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则a 1＋a 2＋a 12b 2＋b 4＋b 9＝3a 1＋12d 13b 1＋12d 2＝a 1＋4d 1b 1＋4d 2＝a 5b 5.∵A n B n ＝2n n ＋3，∴a 5b 5＝9a 59b 5＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝A 9B 9＝2×99＋3＝32.13．a ＞0，b ＞0，c ＞0，则(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1c )的最小值为________．解析：(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1c )＝a ＋bc ＋c a ＋b＋2≥2 a ＋b c ·ca ＋b＋2＝4.当且仅当a ＋b ＝c 时等式成立．答案：414．(2011·安徽高考)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC 的面积为________．解析：不妨设角A ＝120°，c ＜b ，则a ＝b ＋4，c ＝b －4，于是cos120°＝b 2＋(b －4)2－(b ＋4)22b (b －4)＝－12，解得b ＝10，所以S ＝12bc sin 120°＝15 3.答案：15 3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，n ∈N ＋. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)a n ＋1＋1＝2a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，且a 1＋1＝2， ∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1. (2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝2－1＋22－1＋23－1＋…＋2n －1 ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2(1－2n )1－2－n＝2n ＋1－2－n ..16．(本小题满分12分)(2012·福州高二检测)已知不等式mx 2＋nx －1m ＜0的解集为{x |x ＜－12，或x ＞2}． (1)求m ，n 的值；(2)解关于x 的不等式：(2a －1－x )(x ＋m )＞0，其中a 是实数．解：(1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－12＋2＝－nm －12×2＝－1m2得m ＝－1，n ＝32.(2)原不等式为(2a －1－x )(x －1)＞0即[x －(2a －1)](x －1)＜0. ①当2a －1＜1，即a ＜1时，原不等式的解集为{x |2a －1＜x ＜1}． ②当2a －1＝1即a ＝1时，原不等式的解集为∅.③当2a －1＞1即a ＞1时，原不等式的解集为{x |1＜x ＜2a －1}．17．(本小题满分12分)(2012·黄冈高二检测)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a 2n－1(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26解得a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1； S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14·(1n－1n ＋1)，所以T n ＝14·(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1)＝14·(1－1n ＋1)＝n 4(n ＋1)，即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4(n ＋1).18．(本小题满分14分)(2011·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin A ＋sin C ＝p sin B (p ∈R)，且ac ＝14b 2.(1)当p ＝54，b ＝1时，求a ，c 的值；(2)若角B 为锐角，求p 的取值范围．解：(1)当p ＝54，b ＝1时，sin A ＋sin C ＝54sin B 且ac ＝14.由正弦定理得a ＋c ＝54b ＝54.解⎩⎨⎧a ＋c ＝54ac ＝14得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1c ＝14或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，c ＝1.(2)由条件可知a ＋c ＝pb ，ac ＝14b 2.∵角B 为锐角． ∴0＜cos B ＜1.当cos B ＞0时，a 2＋c 2－b 2＞0即(a ＋c )2＞b 2＋2ac . ∴p 2b 2＞b 2＋12b 2，也就是p 2＞32.又由a ＋c ＝pb 知p ＞0， ∴p ＞62. 当cos B ＜1时，a 2＋c 2－b 2＜2ac . 即(a ＋c )2＜b 2＋4ac∴p 2b 2＜b 2＋b 2，也就是p 2＜2.∴0＜p＜ 2.综上可知p的取值范围是(62，2)．。

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高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作模块综合测评必修5(北师大版)(时间：90分钟满分：120分) 第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1D. 3解析：据题意有3sin60°＝1sin B 得sin B ＝12，由于a ＞b ⇒A ＞B ，故B ＝π6，所以C ＝π－π6－π3＝π2，c ＝2b ＝2.答案：B2．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则该三角形一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：∵a ＝2b cos C ，∴a ＝2b a 2＋b 2－c 22ab ，∴b 2＝c 2，即b ＝c . 答案：A3．已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，则其公差d ＝( )A ．－23B ．－13 C.13D.23解析：设数列的首项为a 1，公差为d ，则S 10＝10a 1＋10×92×d ＝70，即2a 1＋9d ＝14.①又a 10＝a 1＋9d ＝10.② 由①②解之可得a 1＝4，d ＝23. 答案：D4．已知等差数列的前n 项和为18，若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n 的值为( )A ．9B ．21C ．27D ．36解析：∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1，又∵a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2， ∴3(a 1＋a n )＝1＋3，∴a 1＋a n ＝43.又∵S n ＝n (a 1＋a n )2＝23n ＝18，∴n ＝27，故选C. 答案：C5．关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)＞0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(－1,3)C ．(1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：(ax ＋b )(x －3)＞0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ＞0，x －3＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ＜0，x －3＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＞－1，x ＞3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－1，x ＜3.∴x ∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．答案：A6．若a ＞0，b ＞0且a 2＋14b 2＝1，则a 1＋b 2的最大值是( )A.32B.62C.54D.258解析：a 1＋b 2＝24a 2(1＋b 2)4≤4a 2＋(1＋b 2)4＝54，等号当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1＋b 2，4a 2＋b 2＝4时成立，即a ＝104，b ＝62时成立．答案：C7．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b ＜cB ．a ＝b ＞cC ．a ＜b ＜cD ．a ＞b ＞c解析：a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23＞1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝32log 23＞1，c ＝log 32＜log 33＝1，故答案为B.答案：B8．对于每个自然数n ，抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交于A n ，B n 两点，以|A n B n |表示该两点间的距离，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 011B 2 011|的值是( )A.2 0102 011 B.2 0122 011 C.2 0112 010D.2 0112 012解析：|A n B n |＝|x 1－x 2|＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n 2＋n 2－4n 2＋n ＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2011B 2011|＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 011－12 012＝2 0112 012. 答案：D9．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m .如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，那么实数m 等于( )A ．7B ．5C ．4D ．3解析：由题设可知⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，x ＋y －m ＝0⇒⎩⎨⎧x ＝m ＋13，y ＝2m －13⇒m ＋13－2m －13＝－1⇒m ＝5.答案：B10．设{a n }是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是( )A ．X ＋Z ＝2YB ．Y (Y －X )＝Z (Z －X )C ．Y 2＝XZD ．Y (Y －X )＝X (Z －X )解析：由题意知S n ＝X ，S 2n ＝Y ，S 3n ＝Z . 又∵{a n }是等比数列．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 为等比数列，即X ，Y －X ，Z －Y 为等比数列， ∴(Y －X )2＝X ·(Z －Y )，即Y 2－2XY ＋X 2＝ZX －XY . ∴Y 2－XY ＝ZX －X 2，即Y (Y －X )＝X (Z －X )．答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是__________．解析：已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则a 25＝a 1·a 16，则(a 1＋4d )2＝a 1·(a 1＋16d )，整理得a 1＝2d ，故这个等比数列的公比是q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝2d ＋4d 2d ＝3.答案：312．△ABC 中，A ，B ，C 分别为a ，b ，c 三条边的对角，如果b ＝2a ，B ＝A ＋60°，那么A ＝__________.解析：∵b ＝2a ，∴sin B ＝2sin A . 又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A ，即3cos A ＝3sin A .∴cos 2A ＝3sin 2A .∴4sin 2A ＝1.∴sin A ＝12，∴A ＝30°. 答案：30°13．若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y ，当且仅当a x ＝b y 时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝2x ＋91－2x (x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12)的最小值为__________，取最小值时x 的值为__________．解析：由已知中的信息，可得f (x )＝222x ＋321－2x ≥(2＋3)22x ＋(1－2x )＝25，当且仅当22x ＝31－2x，即x ＝15时上式取最小值，即[f (x )]min ＝25.答案：25 1514．已知实数x ，y 满足2x ＋y ≥1，则u ＝x 2＋y 2＋4x －2y 的最小值为__________．解析：由u ＝x 2＋y 2＋4x －2y ＝(x ＋2)2＋(y －1)2－5知，u 表示点P (x ，y )与定点A (－2,1)的距离的平方与5的差．又由约束条件2x ＋y ≥1知：点P (x ，y )在直线l ：2x ＋y ＝1上及其右上方．问题转化为求定点A (－2,1)到由2x ＋y ≥1所确定的平面区域的最近距离．故A 到直线l 的距离为A 到区域G 上点的距离的最小值．d ＝|2×(－2)＋1－1|22＋12＝45， ∴d 2＝165，∴u min ＝d 2－5＝－95. 答案：－95三、解答题：本大题共4小题，满分50分． 15．(12分)解关于x 的不等式x 2－2ax ＋2≤0(a ∈R )．解：因为Δ＝4a 2－8，所以当Δ＜0即－2＜a ＜2时，原不等式的解集为∅；(2分)当Δ＝0即a ＝±2，对应的方程有两个相等实根． (4分)当a ＝2时，原不等式的解集是{x |x ＝2}； (6分)当a ＝－2时，原不等式的解集是{x |x ＝－2}； (8分)当Δ＞0时，对应的方程有两个不等实根，分别为x 1＝a －a 2－2，x 2＝a ＋a 2－2，且x 1＜x 2，所以不等式的解集是{x |a －a 2－2≤x ≤a ＋a 2－2}．(12分)16．(12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，cos B ＝35，且AB →·BC →＝－21.(1)求△ABC 的面积； (2)若a ＝7，求角C .解：(1)∵AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos(π－B )＝－ac cos B ＝－35ac ＝－21，∴ac ＝35.(2分)又∵cos B ＝35，且B ∈(0，π)， ∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.∴S △ABC ＝12ac ·sin B ＝12×35×45＝14. (6分)(2)由(1)知ac ＝35，又a ＝7，∴c ＝5. ∴b 2＝49＋25－2×7×5×35＝32. ∴b ＝4 2.(8分)由正弦定理得b sin B ＝c sin C .即4245＝5sin C ，∴sin C ＝22，又∵a ＞c ，∴C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴C ＝π4.(12分)17．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求内角B 的大小；(2)设m ＝(sin A ，cos2A )，n ＝(4k,1)(k ＞1)，m·n 的最大值为5，求k 的值．解：(1)由正弦定理及(2a －c )cos B ＝b cos C ，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，整理得：2sin A cos B ＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ，(4分)∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，故cos B ＝12，∴B ＝π3.(6分) (2)m·n ＝4k sin A ＋cos2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1，其中A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，设sin A ＝t ，t ∈(0,1]，则m·n ＝－2t 2＋4kt ＋1＝－2(t －k )2＋1＋2k 2. (8分)又k ＞1，故当t ＝1时，m·n 取得最大值．由题意得－2＋4k ＋1＝5，解得k ＝32.(12分)18．(14分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且－1，S n ，a n ＋1成等差数列，n ∈N *，a 1＝1，函数f (x )＝log 3x .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足b n ＝1(n ＋3)[f (a n )＋2]，记数列{b n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与512－2n ＋5312的大小．解：(1)∵－1，S n ，a n ＋1成等差数列． ∴2S n ＝a n ＋1－1，①当n ≥2时，2S n －1＝a n －1，② ①－②，得2(S n －S n －1)＝a n ＋1－a n ， ∴3a n ＝a n ＋1. ∴a n ＋1a n＝3.(4分)当n ＝1时，由①得2S 1＝2a 1＝a 2－1，a 1＝1，∴a 2＝3.∴a 2a 1＝3.∴{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列．∴a n ＝3n －1.(6分) (2)∵f (x )＝log 3x ， ∴f (a n )＝log 33n －1＝n －1.∴b n ＝1(n ＋3)[f (a n )＋2]＝1(n ＋1)(n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋3.(8分) ∴T n ＝12⎝⎛12－14＋13－15＋14－16＋15－⎭⎪⎫17＋…＋1n －1n ＋2＋1n ＋1－1n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13－1n ＋2－1n ＋3 ＝512－2n ＋52(n ＋2)(n ＋3).(10分)比较T n 与512－2n ＋5312的大小，只需比较2(n ＋2)(n ＋3)与312的大小即可． 2(n ＋2)(n ＋3)－312＝2(n 2＋5n ＋6－156) ＝2(n 2＋5n －150) ＝2(n ＋15)(n －10)． ∵n ∈N *，∴当1≤n ≤9且n ∈N *时，2(n ＋2)(n ＋3)＜312，即T n ＜512－2n ＋5312；当n ＝10时，2(n ＋2)(n ＋3)＝312，即T n ＝512－2n ＋5312；当n ＞10且n ∈N *时，2(n ＋2)(n ＋3)＞312，即T n ＞512－2n ＋5312.(14分)。