初中数学(人教版)第二十二章-一元二次方程教案

第二十二章一元二次方程主备人：刘鸿智教材内容本单元教学的主要内容：1.一元二次方程及其有关概念，一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法），一元二次方程根与系数的关系，运用一元二次方程分析和解决实际问题.2.本单元在教材中的地位和作用：教学目标1.一分析实际问题中的等量关系并求解其中未知数为背景，认识一元二次方程及其有关概念。

2.根据化归思想，抓住“降次”这一基本策略，熟练掌握开平方法、配方法、公式法和分解因式法等一元二次方程的基本解法.3.经历分析和解决问题的过程，体会一元二次方程的教学模型作用，进一步提高在实际问题中运用方程这种重要数学工具的基本能力。

教学重点、难点重点：1．一元二次方程及其有关概念2.一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、分解因式法）3.一元二次方程根与系数的关系以及运用一元二次方程分析和解决实际问题。

难点：1.一元二次方程及其有关概念2.一元二次方程的解法（配方法、公式法、分解因式法），3.一元二次方程根与系数的关系以及灵活运用课时安排本章教学时约需课时，具体分配如下（供参考）22．1 一元二次方程 1课时22．2 降次 7 课时22．3 实际问题与一元二次方程 3 课时教学活动、习题课、小结22.1 一元二次方程教学目的1．使学生理解并能够掌握整式方程的定义．2．使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义．3．使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式．教学重点、难点重点：一元二次方程的定义．难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别．教学过程复习提问1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？(l)3x+4=l； (2)6x-5y=7；3．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”．引入新课1．方程的分类：（通过上面的复习，引导学生答出）学过的几类方程是没学过的方程有x2-70x+825=0， x(x+5)=150．这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”像这样，我们把“只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．”据此得出复习中学生未学过的方程是(4)一元二次方程：x2-70x+825=0， x(x+5)=150．同时指导学生把学过的方程分为两大类：2．一元二次方程的一般形式注意引导学生考虑方程x2-70x+825=0和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150，可化为：x2+5x-150=0．从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．【注意】二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可为任意实数．例 把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项．课堂练习 P27 1、2题归纳总结1．方程分为两大类：判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次．2．一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程．其一般形式是ax 2+bx+c=0(a ≠0)，其中b ，c 均可为任意实数，而a 不能等于零．布置作业：习题22.1 1、2题．达标测试1.在下列方程中,一元二次方程的个数是( )①3x 2+7=0,②ax 2+bx+c=0,③(x+2)(x-3)=x 2-1,④x 2-x 5+4=0, ⑤x 2-(2+1)x+2=0,⑥3x 2-x4+6=0 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.关于x 的一元二次方程3x 2=5x-2的二次项系数,一次项和常数项,下列说法完全正确的是( )A.3,-5,-2B.3,-5x,2C.3,5x,-2D.3,-5,23.方程(m+2)m x +3mx+1=0是关于x 的一元二次方程,则( )A.m=±2B.m=2C.m=-2D.m ≠±24.若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程,则k 的取值范围是5.方程4x 2=3x-2+1的二次项是 ,一次项是 ,常数项是 课后反思：22.2解一元二次方程第一课时直接开平方法教学目的1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程．2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c＜0)的方法．教学重点、难点重点：准确地求出方程的根．难点：正确地表示方程的两个根．教学过程复习过程回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据．求下列各式中的x：1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0．一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．即一般地，如果一个数的平方等于a(a≥0)，那么这样的数有两个，它们是互为相反数．引入新课我们已经学过了一些方程知识，那么上述方程属于什么方程呢？新课例1 解方程 x2-4=0．解：先移项，得x2=4．即x1=2，x2=-2．这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．例2 解方程 (x+3)2=2．练习：P28 1、2归纳总结1．本节主要学习了简单的一元二次方程的解法——直接开平方法．2．直接法适用于ax2+c=0(a＞0，c＜0)型的一元二次方程．布置作业：习题22.1 4、6题达标测试1.方程x2-0.36=0的解是A.0.6B.-0.6C.±6D.±0.62.解方程:4x 2+8=0的解为A.x 1=2 x 2=-2B.2,221-==x xC.x 1=4 x 2=-4D.此方程无实根3.方程(x+1)2-2=0的根是 A.21,2121-=+=x x B. 21,2121+-=+=x x C. 21,2121+=--=x x D. 21,2121--=+-=x x4.对于方程(ax+b)2=c 下列叙述正确的是A.不论c 为何值,方程均有实数根B.方程的根是ab c x -= C.当c ≥0时,方程可化为:c b ax c b ax -=+=+或 D.当c=0时,ab x =5.解下列方程: ①.5x 2-40=0 ②.(x+1)2-9=0③.(2x+4)2-16=0 ④.9(x-3)2-49=0课后反思 第二课时配方法教学目的1．使学生掌握用配方法解一元二次方程的方法．2．使学生能够运用适当变形的方法，转化方程为易于用配方法求解的形式，来解某些一元二次方程．并由此体会转化的思想．教学重点、难点重点：掌握配方的法则．难点：凑配的方法与技巧．教学过程复习过程用开平方法解下列方程：(1)x 2=441； (2)196x 2-49=0；引入新课我们知道，形如x 2-A=0的方程，可变形为x 2=A(A ≥0)，再根据平方根的意义，用直接开平方法求解．那么，我们能否将形如ax 2+bx+c=0(a ＞0)的一类方程，化为上述形式求解呢？这正是我们这节课要解决的问题．新课我们研究方程x 2+6x+7=0的解法：将方程视为：x 2+2·x ·3=-7， 即 x 2+2·x ·3+32=32-7，∴ (x+3)2=2，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．这种方法的特点是：先把方程的常数项移到方程的右边，再把左边配成一个完全平方式，如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解．例1 解方程x 2-4x-3=0．配方法解之．在解的过程中，注意介绍配方的法则．例2 解方程2x 2+3=7x ．练习：P34 1、2题归纳总结应用配方法解一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的要点是：(1)化二次项系数为1；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数；(3)方程两边各加上一次项系数一半的平方，使左边配成一个完全平方式.布置作业：习题22.2 1、3题达标测试1.方程x 2-a 2=(x-a)2(a≠0)的根是A.aB.0C.1或aD.0或a2.已知关于x 的方程(m+3)x 2+x+m 2+2m-3=0一根为0,另一根不为0,则m 的值为A.1B.-3C.1或-3D.以上均不对3.若x 2-mx+41是一个完全平方式,则m= A.1 B.-1 C.±1 D.以上均不对4.方程x 2=5的解是 ,方程(x-1)2=5的解是 ,方程(3x-1)2=5的解是5.①+-x x 212 =(x- )2 ②++x x 252 =(x+ )2 课后反思： 第三课时求根公式法教学目的1．使学生掌握一般一元二次方程的求根公式的推导过程，并由此培养学生的分析、综合和计算能力．2．使学生掌握公式法解一元二次方程的方法．教学重点、难点重点：要求学生正确运用求根公式解一元二次方程．难点：1.求根公式的推导过程．2.含有字母参数的一元二次方程的公式解法．教学过程复习提问提问：当x 2=c 时，c ≥0时方程才有解，为什么？练习：用配方法解下列一元二次方程(1)x 2-8x=20； (2)2x 2-6x-1=0．引入新课我们思考用配方法解一般形式的一元二次方程，应如何配方来进行求解？新课(引导学生讨论)用配方法解一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的步骤．解：∵a ≠0，两边同除以a ，得把常数项移到方程右边，并两边各加上一次项系数的一半的平方，得(a ≠0)的求根公式．用此公式解一元二次方程的方法叫做公式法．应用求根公式解一元二次方程的关键在于：(1)将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)；(2)将各项的系数a ，b ，c 代入求根公式．例1 解方程x 2-3x+2=0.例2 解方程2x 2+7x=4.例5 解关于x 的方程 x 2-m(3x-2m+n)-n 2=0．练习P37 1题归纳总结1．本节课我们推导出了一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的求根公式，即要重点让学生注意到应用公式的大前提，即b 2-4ac ≥0．2．应注意把方程化为一般形式后，再用公式法求解．布置作业：习题22.2 5、8、10题达标测试1.若代数式4x 2-2x-5与2x 2+1的值互为相反数,则x 的值为A.1或23-B.1或32- C.-1或32 D.1或23 2.对于一元二次方程ax 2+bx+c=0,下列叙述正确的是A.方程总有两个实数根B.只有当b 2-4ac ≥0时,才有两实根C.当b 2-4ac<0时,方程只有一个实根D.当b 2-4ac=0时,方程无实根3.已知三角形两边长分别是1和2,第三边的长为2x 2-5x+3=0的根,则这个三角形的周长是 A.4 B.214 C.4或214 D.不存在 4.如果分式3322---x x x 的值为0,则x 值为 A.3或-1 B.3 C.-1 D.1或-35.把2)3(32x x +=+化成ax 2+bx+c=0(a ≠0)的形式后,则a= ,b= ,c= 6.若分式222---x x x 的值为0,则x=7.已知x=-1是关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的根,则a c ab -=__________. 8.若a 2+b 2+2a-4b+5=0,则关于x 的方程ax 2-bx+5=0的根是___________.课后反思：第四课时因式分解法教学目的使学生掌握应用因式分解法解某些系数较为特殊的一元二次方程的方法．教学重点、难点重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：将方程化为一般形式后，对左侧二次三项式的因式分解．教学过程复习提问1．在初一时，我们学过将多项式分解因式的哪些方法？2．方程x2=4的解是多少？引入新课方程x2=4还有其他解法吗？新课众所周知，方程x2=4还可用公式法解．此法要比开平方法繁冗．本课，我们将介绍一种较为简捷的解一元二次方程的方法——因式分解法．我们仍以方程x2=4为例．移项，得 x2-4=0，对x2-4分解因式，得 (x+2)(x-2)=0．我们知道：∴ x+2=0，x-2=0．即 x1=-2，x2=2．由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式而另一边等于0时，即可解之．这种方法叫做因式分解法．例1 解下列方程：(1)x2-3x-10=0； (2)(x+3)(x-1)=5．在讲例1(1)时，要注意讲应用十字相乘法分解因式；讲例1(2)时，应突出讲将方程整理成一般形式，然后再分解因式解之．例2 解下列方程：(1)3x(x+2)=5(x+2)； (2)(3x+1)2-5=0．在讲本例(1)时，要突出讲移项后提取公因式，形成(x+2)(3x-5)=0后求解；再利用平方差公式因式分解后求解．注意：在讲完例1、例2后，可通过比较来讲述因式分解的方法应“因题而宜”．例3 解下列方程：(1)3x 2-16x+5=0 ；(2)3(2x 2-1)=7x ．练习：P40 1、2题归纳总结对上述三例的解法可做如下总结：因式分解法解一元二次方程的步骤是1．将方程化为一般形式；2．把方程左边的二次三项式分解成两个一次式的积；(用初一学过的分解方法)3．使每个一次因式等于0，得到两个一元一次方程；4．解所得的两个一元一次方程，得到原方程的两个根．布置作业：习题22.2 6、10题达标测试1.对方程(1)(2x-1)2=5,(2)x 2-x-1=0,(3)x x x -=-3)3(选择合适的解法是A.分解因式法、公式法、分解因式法B.直接开平方法、公式法、分解因式法C.公式法、配方法、公式法D.直接开平方法、配方法、公式法2．方程2x(x-3)=5(x-3)的根为 A.25=x B.x=3 C.3,2521==x x D.52=x 3.若x 2-5∣x ∣+4=0,则所有x 值的和是A ．1 B.4 C.0 D.1或45.若方程x 2+ax-2a=0的一根为1,则a 的取值和方程的另一根分别是A.1,-2B.-1,2C.1,2D.-1,-25．已知3x 2y 2-xy-2=0，则x 与y 之积等于6．关于x 的一元二次方程(m+2)x 2+x-m 2-5m-6=0有一根为0，则m= 。