化二次型为标准形

种情况，定理成立．
辽 东 学 院 教 案 纸
课程：高等代数 3) a11 = a12 = L = a1n = 0 ．由对称性，有 a21 = a31 = L = a n1 = 0 ． 这时
f ( x1 , x2 , L , x n ) = ∑ ∑ aij xi x j
i =2 j =2 n n
第 5.2.3 页
则这个 P′ 的转置 P 就是要求的可逆矩阵， 它使 P′AP 成为对角矩阵． 换 句话说，只要对(A，In)作有限次行的消法变换(相应初等矩阵为 Tij (k ) ，
i>j)， 当把 ( A, I n ) 中的 A 化为上三角矩阵时，( A, I n ) 中的 I n 也就同时化
为 P′ ，且使
P ′AP = diag (d1 , L , d r ,0, L ,0) ．
例2 设
1 −1 2 A = −1 −1 0 ， 2 0 2 求可逆矩阵 P，使 P ′AP 为对角矩阵． 解 逐次用行消法变换(相应初等矩阵为 Tij (k ) ，i>j)，将 ( A, I 3 ) 化
P ′AP = B ． 证 先对 A 的阶 n 用数学归纳法证明 A≈B． n=1 时定理显然成 当 立．今设 n>1．若 A=0，则 A 已是对角形式．设 A≠０，我们分两种情 形证明： 1)设 A 的主对角线上元素不全为零，例如 aii ≠ 0 ．若 i≠1，则交换 1、i 两列，再交换第 1、i 两行，便把 aii 换到左上角．因此可不妨 −1 − 设 a11 ≠ 0 ．用 − a11 a1 j 乘 A 的第 1 列加到第 j 列，再用 − a111a j1 乘第 1 行加到第 j 行，便把 A 的 ( j， 1)、 (1， j )元素都变为 0．注意 A
2 2 2 f ( x1 , x2 , L , x n ) = a11 z1 + d 2 z 2 + L + d n z n ，
即变成平方和了．根据归纳法原理，定理得证．
2)所有 aii = 0 ，但是至少有一 a1 j ≠ 0( j > 1) ，不妨设 a12 ≠ 0 ．令
x1 = z1 + z 2 x = z − z 1 2 2 ． x3 = z3 LLL xn = zn
它是非退化线性替换，且使
f ( x1 , x2 , L , x n ) = 2a12 x1 x2 + L = 2a12 ( z1 + z 2 )( z1 − z 2 ) + L
2 2 = 2a12 z1 − 2a12 z 2 + L ， 2 这时上式右端是 z1 , z 2 , L , zn 的二次型，且 z1 的系数不为零，属于第一
2 2 2 d1 x1 + d 2 x 2 + L + d n x n ．
(1)
这一节的主要结果是 定理 5.2.1 数域 F 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替 换化成平方和(1)的形式． 证 下面的证明实际上是一个具体把二次型化成平方和的方法， 其 思路就是中学里学过的“配方法” ． 我们对文字的个数 n 作归纳法．当 n=1 时，二次型就是
−1 这里 ∑ ∑ bij xi x j = − a11 ( ∑ a1 j x j ) 2 + ∑ ∑ a ij xi x j 是 x 2 , x3 , L , x n 的一 i =2 j =2 j =2 i =2院 教 案 纸
课程：高等代数
n − x1 = y1 − ∑ a111a1 j y j j=2 ， x2 = y2 LL xn = yn
f ( x1 , x2 , x3 ) = 2( y1 + y 2 )( y1 − y 2 ) − 6( y1 − y 2 ) y3 + 2( y1 + y 2 ) y 3
2 2 2 2 = 2 y1 − 2 y 2 − 4 y1 y3 + 8 y 2 y3 = 2( y1 − y 3 ) 2 − 2 y 3 − 2 y 2 + 8 y 2 y 3 ．
再令
y 1 = z1 + z 3 y2 = z2 y3 = z3
则
2 2 2 2 2 f ( x1 , x2 , xn ) = 2 z1 − 2 z 2 + 8 z 2 z3 − 2 z3 = 2 z1 − 2( z 2 − 2 z3 ) 2 + 6 z3
最后令
z1 = w1 z 2 = w2 + 2 w3 z3 = w3
是 n−1 元二次型，根据归纳假定，它能用非退化线性替换变成平方和． 综上，定理得证． 二次型 f ( x1 , x2 ,L, xn ) 经过非退化线性替换所化成的平方和称为 f ( x1 , x2 ,L, xn ) 的一个标准形． 例 1 化二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 x2 − 6 x2 x3 + 2 x1 x3 为标准形． 解法 1 作非退化线性替换 x1 = y1 + y 2 x 2 = y1 − y 2 ， x3 = y 3 则
(2)
第 5.2.4 页
这里 r=rankA．当 r>0 时， c1 , c2 , L , cr ≠ 0 ．因此存在 F 上 n 阶可逆矩
对称， − a11 a1 j = − a11 a j1 ，故所作变换是一次初等合同变换．这样 经过有限次相应初等合同变换，A 便化为
T=diag ( a11 , A1 ) ． 根据初等矩阵与初等变换的关系，知 A≈T．于是由 A 对称知道 T 也对 称，因此 n−1 阶矩阵 A1 对称．现在对 A1 可用归纳假设：对 A1 施行有 限次相应初等合同变换便可将 A1 化为合符要求的对角阵． A1 的任一 而 次相应初等合同变换显然与 T 的某一次相应初等合同变换效果是一致 的．因而此况定理成立． 2)若 aii = 0, i = 1,2,L, n ，由于 A≠0，故必有某 aij = a ji ≠ 0, i ≠ j ， 把 A 的第 j 列加到第 i 列，再把第 j 行加第 i 行，所得矩阵的(i,i)元素为 2aij ≠ 0 ，再由情形 1)也知结论成立． 设 P1 , L , Pt 是所作有限次相应初等合同变换的列变换所对应的初 等矩阵．则 Pt′L P2′P1′AP P2 L Pt = B ⇒ ( P1 L Pt )′ A( P L Pt ) = B ． 1 1 令 P = P1 L Pt ，则 P ′AP = B ，显然 P 是可逆阵．于是 A≈B，且 r=rankB=rankA． 定理 5.2.2 给出了定理 5.2.1 的第二证明．定理 5.2.2 还给出了具体 化简的方法：若 Pt′Pt′ 1 L P1′AP1 L Pt = B, P = P1 L Pt ，则 P = I n P1 L Pt , − P −1 = Pt −1 L P −1 I n ．所以 A 经过一次一次初等合同变换化为 B， I n 经 1 过一次一次相应列初等变换化为 P． 为了进一步简化计算，我们来证明 定理 5.2.3 设 A 是 F 上的 n 阶对称矩阵， P′ 是有限个消法矩阵 若
第 5.2.5 页
Ti1 ( k ) 的乘积，i >1，且使
由定理 5.2.3 知道，只要能找到由有限个消法矩阵 Tij (k ) ，i>j，其 乘积 P ′ 使
d1 L L L L * O M M P′ dr P ′( A, I n ) = ( P ′A, P ′) = ， （3） M 0 O M 0
−1
−1
辽 东 学 院 教 案 纸
课程：高等代数
d α P ′A = 1 ， 0 A1 其中 α 是 n−1 维行向量， A1 ∈Mn−1(F)，则 d 0 P ′AP = 1 ． 0 A1 证 由假设，P 是有限个 Ti1 ( k ) 的乘积，i>1．则用 P 右乘 P ′A 时， P ′A 的第 1 列不变，变动的仅是 α 的元素，所以有 d β P ′AP = 1 ． 0 A1 但易知 P ′AP 是对称矩阵，故β=0，所以 0 d P ′AP = 1 ． 0 A1
则得其平方和
2 2 2 f ( x1 , x2 , x ) = 2 w1 − 2 w2 + 6w3
将这几次线性替换的结果汇总，得 3 w1 x1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 w1 1 1 x2 = 1 − 1 0 0 1 0 0 1 2 w2 = 1 − 1 − 1 w2 ． x 0 0 1 0 0 1 0 0 1 w 0 0 1 w3 3 3 2.2 矩阵合同变换方法 定义 1 设 A∈Mn(F)，若在 F 上对 A 施行一次列的初等变换，又 对 A 施行一次相应的行的初等变换，则称对 A 施行一对相应的初等变
辽 东 学 院 教 案 纸
课程：高等代数 第 5.2.1 页
§2
化二次型为标准形
教学目的 通过 2 学时的教学，使学生理解化二次型为标准形的 定理及其矩阵形式，基本掌握化二次型为标准形的配平方法与矩阵合 同变换方法． 教学内容 本节讨论用非退化的线性替换化简二次型的原理与方法． 2.1 配平方方法 可以认为，二次型中最简单的形式是只包含平方项的二次型
第 5.2.2 页
这是一个非退化线性替换，它使
2 f ( x1 , x2 , L , xn ) = a11 y1 + ∑ ∑ bij yi y j ． i = 2 j =2 n n
由归纳假定，对 ∑ ∑ bij yi y j 有非退化线性替换
i =2 j =2
n
n
z 2 = c22 y 2 + c23 y 3 + L + c2 n y n z = c y + c y +L+ c y 3 32 2 33 3 3n n ， LLLLLLLLLLLL z n = cn 2 y 2 + cn 3 y 3 + L + cnn y n