配方法化二次型为标准型
举例说明将二次型化成标准型的方法
举例说明将二次型化成标准型的方法1. 使用平方配方法将二次型化简成标准型。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以通过将其分解为(x - y)^2 + 4y^2，得到标准型。
2. 使用线性代数的变量代换方法将二次型化简成标准型。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以令u = x - y和v = y，然后将原二次型转化为标准型u^2 + 2v^2。
3. 使用正交变换将二次型化简成标准型。
正交变换可以通过特征值分解或奇异值分解来实现。
对于二次型x^2 - 2xy + 3y^2，可以进行正交变换，得到标准型x'^2 + 2y'^2。
4. 使用特征值分解将二次型化简成标准型。
特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。
5. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型。
奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为标准型。
6. 使用正交变换将二次型化简成标准型的等价二次型。
正交变换不仅可以将二次型转化为标准型，还可以将其转化为等价二次型，即具有相同特征值但不同特征向量的二次型。
7. 使用特征值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。
特征值分解可以将二次型的矩阵表示分解为特征向量和特征值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。
8. 使用奇异值分解将二次型化简成标准型的等价二次型。
奇异值分解可以将二次型的矩阵表示分解为奇异向量和奇异值的乘积。
通过对角化矩阵，可以将二次型转化为等价二次型。
9. 使用主轴变换将二次型化简成标准型。
主轴变换是一种可以将二次型的矩阵表示转化为对角矩阵的变换。
10. 使用化简平方矩阵的方法将二次型化简成标准型。
化简平方矩阵是一种通过行和列的线性组合得到的矩阵，可以将二次型的矩阵表示简化为对角矩阵。
11. 使用特征值问题的解法将二次型化简成标准型。
用配方法将二次型化为标准型
用配方法将二次型化为标准型首先，我们来回顾一下二次型的定义。
对于n元变量x1, x2, ..., xn，二次型可以表示为。
Q(x) = x^T A x。
其中，A是一个n阶对称矩阵，x是一个n维列向量，x^T表示x的转置。
二次型的标准型是一个比较特殊的形式，可以通过合适的线性变换将任意的二次型化为标准型。
具体来说，标准型可以表示为。
Q(x) = λ1 y1^2 + λ2 y2^2 + ... + λn yn^2。
其中，λ1, λ2, ..., λn是二次型的特征值，y1, y2, ..., yn是对应的特征向量。
接下来，我们将介绍用配方法将二次型化为标准型的步骤。
设给定的二次型为。
Q(x) = x^T A x。
我们的目标是通过合适的线性变换，将其化为标准型。
首先，我们需要求出矩阵A的特征值和对应的特征向量。
然后，我们将特征值和特征向量构成对角矩阵和正交矩阵，利用这两个矩阵进行相似变换，最终将二次型化为标准型。
具体的步骤如下：1. 求出矩阵A的特征值和对应的特征向量。
设特征值为λ1, λ2, ..., λn，对应的特征向量为v1, v2, ..., vn。
2. 将特征值和特征向量构成对角矩阵D和正交矩阵P。
其中，D的对角线元素为特征值，P的列向量为特征向量。
3. 进行相似变换。
设矩阵B = P^T A P，则二次型可以表示为。
Q(x) = x^T B x。
4. 化为标准型。
将矩阵B对角化，即将其化为对角矩阵，对角线元素为特征值。
设B的对角线元素为λ1, λ2, ..., λn，则二次型化为标准型。
Q(x) = λ1 y1^2 + λ2 y2^2 + ... + λn yn^2。
其中，y = P x。
通过以上步骤，我们可以将任意给定的二次型通过配方法化为标准型。
这样做的好处在于，标准型更容易进行分析和运算，可以更清晰地展现二次型的特性和规律。
在实际问题中，通过将二次型化为标准型，我们可以更方便地求出极值、进行分类讨论等。
6_2 配方法化二次型为标准形
②将x1, x2,…, xn正交化标准 化为h1, h2,…, hn，令 P=(h1, h2,…, hn), 仍有 P -1AP= 正交必无关 , 即有 P TAP= 因为PT=P -1.
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作业：
P128页 习题四 8， 9
《线性代数》
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结束
现将X=PY代入二次型，得
f ( X ) X T AX
X PY
( PY )T A( PY ) Y T ( PT AP)Y ,
d1 0 0 y1 0 d 0 y2 2 T yn Y Y , 0 0 d y n n
2
(1)就是相应的满秩线性变换，其中的 满秩方阵 P 为
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P 0 0
1 0
结束
2 3 1
例2 用配方法化下列二次型为标准型．
f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x2 x3
解：f 中不含变量的平方项，但f 中含乘积项x1x2，为使f 出现平 方项可作下列变换：
上式右端除第一外，已不再含x1 ，继续对x２配方得： 4 2 y1 x1 x2 x3 f 2( x1 x2 x3 ) 2 3( x2 x2 x3 ) 3 x3 3 2 2 2 5 2 令 y2 x2 x3 2 3 2( x1 x2 x3 ) 3( x2 x3 ) x3 3 3 x3 y3
第 6章
二次型
一、二次型与二次型的化简 *二、配方法化二次型为标准形 *三、合同变换法化二次型为标准形 四、正交变换化二次型为标准形 五、惯性定律与正定二次型
正交变换法和配方法化二次型标准形(hfuu)
正交变换法和配方法化二次型标准形1配方法化二次型标准形用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理： 情形1: 如果二次型()n x x x f ,,,21 含某文字例如1x 的平方项，而011≠a ,则集中二次型中含1x 的所有交叉项，然后与21x 配方，并作非退化线性替换⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+++=nn n n x y x y x c x c x c y 2212121111（P c ij ∈）则()n y y g y d f ,,2211 +=,其中()n y y g ,2是n y y ,,2 的二次型。
对()n y y y g ,,,32 重复上述方法直到化二次型f 为标准形为止.情形2: 如果二次型()n x x x f ,,,21 不含平方项，及011=a ()n i ,,2,1 =,但含某一个0≠ij a ()j i ≠，则可先作非退化线性替换()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠==-=+=j i k n k y x y y x y y x kk j i j ji i ,;,,2,1把f 化为一个含平方项2i y 的二次型，再用情形1的方法化为标准形.例1.1：用配方法化二次型()321,,x x x f =233222312121222x x x x x x x x x --+++为标准形，并写出所用的非退化线性替换.解：先对1x 配方消去所有含有1x 的项21x ，21x x ，31x x ：()321,,x x x f =21x +()1322x x x ++22x -322x x -23x=()2321x x x ++-()232x x ++22x -322x x -23x=()2321x x x ++-324x x -232x再对3x 配方消去所有含3x 的项23x ；32x x ：()321,,x x x f =()2321x x x ++-()322322x x x +=()2321x x x ++-()2223222x x x ++作线性替换 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=233223211x y x x y x x x y把二次型化为标准形 ()321,,x x x f =23222122y y y +-注：用配方法所化得的标准形不唯一，如若作非退化线性替换为()⎪⎩⎪⎨⎧+==++=32322321122x x y x y x x x y 或 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-==-=3232231122222222yy x y x y y x则二次型化得标准形是()321,,x x x f =232221y y y -+例1.2：用配方法化二次型()321,,x x x f =212x x +312x x -326x x 为标准形，并写出所用的非退化线性替换.解：作非退化线性替换 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x则 ()321,,x x x f =()()21212y y y y -++()212y y +3y -()216y y -3y=323122218422y y y y y y +-- 先对1y 配方，()321,,x x x f =()312122y y y --222y +328y y=()2312y y --222y +328y y -232y再对2y 配方，()321,,x x x f =()2312y y --()322242y y y --232y=()2312y y --()23222y y -+236y作线性替换 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=333223112yz y y z y y z把二次型化为标准形：()321,,x x x f =232221622z z z +-2正交变换法化二次型标准形正交变换法化二次型标准形的一般步骤：(1)写出A 的特征方程0=-A E λ,求出A 的全部特征值.(2)对于各个不同的特征值λ，求出齐次线性方程组()0=-x A E λ的基础解系，即解空间的一个基底（但不一定是标准正交基），然后把它们施密特正交化. (3)把上述求得的n 个两两正交的单位特征向量作为矩阵T 的列向量，TY X =就是使二次型AX X '化为标准形2222211n n y y y λλλ+++ 的正交变换.例2.1：用正交变换化二次型()321,,x x x f =213x +233x +214x x +318x x +324x x为标准形，并求所作的正交变换.解: 二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=324202423A , 求出A 的特征值:由 A E -λ=32422423--------λλλ =()()0812=-+λλ 得特征值 121-==λλ，83=λ其次，求属于-1的特征向量 把1-=λ代入()()⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-+-=---03240220423321321321x x x x x x x x x λλλ （1） 求得基础解系 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=)1,0,1()0,1,21(21αα把它正交化，得 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=-==)1,52,54(,,)0,1,21(11122211βββααβαβ 再单位化，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-==)455,452,454()0,52,51(222111ββηββη再求属于8的特征向量，把8=λ代入（1），求得基础解系 )2,1,2(3=α 把它单位化得 )32,31,32(3=η 于是正交矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=32455031452523245451T ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=811'AT T 作非退化线性替换TY X =,二次型的标准形为()321,,x x x f =2322218y y y --3 两种方法的比较例3.1：用可逆线性变换化下列二次型为标准形.()321,,x x x f =133221x x x x x x ++解：方法1) 用配方法作非退化线性替换 ⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=33212211yx y y x y y x()321,,x x x f =()()2121y y y y -++()21y y -3y +()21y y +3y=3122212y y y y +-=()2322231y y y y --+令 ⎪⎩⎪⎨⎧==+=3322311yz y z y y z则二次型的标准形为()321,,x x x f =232221z z z --方法2) 用正交变换法二次型的矩阵 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛021212102121210 由 A E -λ=λλλ212121212121------=2)21)(1(+-λλ得特征值 2121-==λλ 13=λ，把21-=λ代入⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+--=-+-=--021210212102121321321321x x x x x x x x x λλλ （1）求得基础解系 ⎩⎨⎧-=-=)1,0,1()0,1,1(21αα正交化，得 ()()⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-==)1,21,21(,,)0,1,1(11122211βββααβαβ 再单位化，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-==)62,61,61()0,21,21(222111ββηββη把1=λ代入（1），求得基础解系 )1,1,1(3=α把它单位化得 )31,31,31(3=η令()321,,ηηη=T ,则T 为正交矩阵，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=21000210001'AT T 作非退化线性替换TY X =,二次型的标准形为()321,,x x x f =2322212121y y y --。
用配方法化二次型为标准形
2 1
y2 y3
把二次型f 化为标准形 f y12 y22 5 y32
二次型f 所对应的矩阵为
1 1 1
A
1 1
2 1
1 0
所作的可逆线性变换所对应的矩阵为
1 1 3
C
0 0
1 0
2 1
1.2 不含平方项的二次型的配方法
例2 试用配方法将二次型 f x1, x2, x3 2x1x2 6x2x3 2x3x1
线性代数
用配方法化二次型为标准形
2
不含平方项的二 次型的配方法
本节内容
1
含平方项的二次 型的配方法
1.1 含平方项的二次型的配方法
例1 试用配方法将二次型
f x1, x2 , x3 x12 2x22 2x1x2 2x1x3 2x2x3
化为标准形，并写出所用的可逆线性变换。
解 由于 f x1, x2, x3 x1 x2 x3 2 x22 4x2x3 x32 x1 x2 x3 2 x2 2x3 2 5x32
y1 x1 x2 x3
取
y2
x1
2 x3
y3 x3
y1 1 1 1 x1
即
y2 y3
0 0
பைடு நூலகம்1 0
2 1
x2 x3
那么，通过可逆线性变换
x1 1 1 11 y1 1 1 3 y1
x2 x3
0 0
1 0
2 1
y2 y3
0 0
1 0
按例1中的方法进行配方,得
f x1, x2, x3 g y1, y2, y3 2 y1 y3 2 2 y22 4 y2 y3 4 y32 2 y32 8y32
2 y1 y3 2 2 y2 y3 2 6 y32
配方法化二次型为标准型
配方法化二次型为标准型方法化二次型为标准型的步骤如下：1. 首先，判断二次型的矩阵是否为对称矩阵。
若不是对称矩阵，则进行对称化处理。
2. 对称化处理：对于二次型$Q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsym bol{x}$，若矩阵$\boldsymbol{A}$不是对称矩阵，则可以构造对称矩阵$\boldsymbol{B}$，使得$\boldsymbol{A}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^T)$。
这样，二次型可表示为$Q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T(\frac{1}{2}\boldsymbol {B}+\frac{1}{2}\boldsymbol{B}^T)\boldsymbol{x}$。
3. 根据对称性质，可以知道对称矩阵可以进行正交对角化，即存在正交矩阵$\boldsymbol{P}$，使得$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{D}$。
这里，$\boldsymbol{D}$为对角矩阵，其对角元素为特征值，即$\boldsymbol{D}=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$。
4. 将二次型进行变量替换，令$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{x}$，则有$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}$，代入二次型得到$Q(\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y}^T(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P})\boldsymbol{y}=\boldsymbol {y}^T\boldsymbol{D}\boldsymbol{y}$。
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧
化二次型为标准形几种方法的比较及技巧化二次型为标准形是线性代数中的一个重要问题，其结果对于矩阵的性质和应用具有重要的意义。
在实际应用中，常会遇到需要将二次型化为标准形的情况。
化二次型为标准形的方法有很多种，而每种方法都有其适用的范围和特点。
本文将对几种常见的方法进行比较及技巧的介绍，希望能够为读者加深对化二次型为标准形的理解和掌握提供帮助。
方法一：配方法配方法是化二次型为标准形的经典方法之一。
其基本思想是将二次型中的平方项进行配方，从而将二次型转化为标准形。
下面以一个简单的例子进行介绍。
假设有二次型Q(x1, x2) = 3x1^2 + 4x1x2 + 5x2^2，我们希望将其化为标准形。
我们可以将二次型写成矩阵的形式：Q(x) = x^TAX，其中A是一个对称矩阵，其元素为二次型的系数。
对于这个例子，A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}。
接下来，我们使用配方法，即将4x1x2进行配方处理。
我们可以观察到4x1x2 = 2(2x1x2) = 2(x1x2 + x1x2)，然后我们引入一个新的变量y = x1 + x2，并进行代换：3x1^2 + 4x1x2 + 5x2^2 = 3x1^2 + 2(x1x2 + x1x2) + 5x2^2 = 3x1^2 + 2yx + 2xy + 5x2^2进一步，我们可以将式子改写为：此时，我们可以观察到每一项都可以进行配方处理，从而得到标准形。
通过这个例子，我们可以看到，配方法的关键在于巧妙地利用代换和配方来将二次型化为标准形。
在实际应用中，配方法通常适用于对称矩阵，且二次型的系数较为简单的情况下。
读者在应用配方法时，需要灵活运用代换和配方的技巧，确定合适的替换变量，并进行得当的计算，从而将二次型化为标准形。
方法二：特征值分解接下来，我们对对称矩阵A进行特征值分解：A = PDP^-1，其中P是A的特征向量矩阵，D是A的特征值对角矩阵。
用配方法化二次型为标准型技巧
用配方法化二次型为标准型技巧配方法是一种常用的数值求解二次型的方法,可以将二次型化为标准型,从而使求解更加容易。
以下是一种化二次型为标准型的技巧: 假设有二次型 $A cdot y^T + B cdot y + C = 0$,其中 $y$ 是一个 $n times 1$ 的列向量,$A,B,C$ 是 $n times n$ 的方阵。
我们可以使用以下公式将二次型化为标准型:$$A cdot y^T + B cdot y + C = begin{bmatrix} A & B B^T & C end{bmatrix} cdot begin{bmatrix} y y^T end{bmatrix}^T + begin{bmatrix} 0 0 end{bmatrix}$$其中,$y$ 的列向量部分被表示为 $y_i$ 的系数矩阵 $A$ 乘以$y$ 的旋转矩阵 $B$ 的和 $C$ 乘以 $y$ 的旋转矩阵 $B^T$ 的乘积。
接下来,我们可以使用配方法将标准型转化为二次型。
具体来说,我们可以使用一个 $n times n$ 的方阵 $P$,其中 $P_{ii} = 1$ 且$P_{ij} = 0$ 只有在 $ieq j$ 的情况下才有意义,然后将 $A$ 和 $B$ 的列向量部分分别乘以 $P$ 的系数矩阵 $A$ 和 $B$,得到:$$y_i = P_{ij} y_j$$其中,$P_{ij}$ 表示 $P$ 乘以 $A$ 和 $B$ 的列向量部分在$i$ 和 $j$ 方向上的对应系数。
最后,将 $y$ 的列向量部分和常数项 $C$ 分别乘以 $P$ 的系数矩阵 $A$ 和 $B$ 的转置,即可得到化二次型为标准型的技巧。
需要注意的是,上述技巧仅适用于二次型的系数矩阵和旋转矩阵都是方阵的情况。
如果系数矩阵和旋转矩阵不是方阵,则需要使用其他的化二次型为标准型的技巧。
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1
12
2
3
23
（x1 x2）2 x22 5x32 4x2 x3
（yx21xy2）22（yx22 2x3）2 x32
1
2
3
y1 x1 x2 ,
y2
x2
2x3,
y3 x3.
x1 y1 y2 2 y3,
1 1 2
x2 y2 2y3,
C 0 1 2.
x3 y3.
0 0 1
例2
:
设二次型f
(x , 1
x, 2
x) 3
x2 1
x2 2
8x 2 3
4x x 13
4x2x3,
1.求一可逆变换将该二次型化为标准形;
2. f (x1, x2, x3) 1是什么曲面?
1. f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 8x32 4x1x3 4x2x3 ( x1 2x3 )2 ( x2 2x3 )2 y12 y22.
y1 x1 2x3,
y2
x2
2x3,
y3 x3.
x1 y1 2 y3 , x2 y2 2 y3 , x3 y3.
1 0 2
C
0 0
1 0
12 .
2.由 A E 0 A的特征值为1 0, 2 1,3 9.
在正交变换下，可将 f 1化为 y 2 9y 2 1. 为椭圆
2
3
柱面。
正交变换保持向量长度不变,只有在正交变换下将二次 型化为标准形，才能确定它所表示的曲面类型。 注：设 Y=QX，Q为正交矩阵，则有
||Y||2=YTY=(QX)T(QX)=XTQTQX=XTX=||X||2.
注：配方法化二次型为标准形一般有两种情形：
情形1 二次型中含有平方项，如含有 x12，此时先集中含有 x1 的项， 对 x1 配成完全平方，再集中含有 x2 的项，对 x2 配成完全平方，如 此继续下去，直到化为标准形。
配方法化二次型为标准形
例1: 用配方法化二次型为标准形,并求可逆变换矩阵。
f (x , x , x ) x 2 2x 2 5x 2 2x x 4x x .
解:
f
123
(x1, x2, x3)
1
x
2
1
2x2 22
3
5x
2
3
12
2x1x2
23
4x2 x3
（x 2 2x x ）2x 2 5x 2 4x x
情形2 二次型中不含平方项，只含有 xi xj 的项，此时先作可逆线性 变换
xi yi y j, x j yi y j , xk yk , k i, j.
将二次型化为含平方项的二次型，再按情形1中介绍的方法做。