北师大九年级数学上册第四章《探索三角形相似的条件》同步练习2

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北师大版九年级上册数学 4.4探索三角形相似的条件同步习题(含解析)

4.4探索三角形相似的条件同步习题
一．选择题
1．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC 的是（）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．D．
2．如图1，能保证使△ACD与△ABC相似的条件是（）
A．AC2＝AD•AB B．CD：AD＝BC：AC
C．AC：CD＝AB：BC D．CD2＝AD•DB
3．下列正方形方格中四个三角形中，与甲图中的三角形相似的是（）
A．B．
C．D．
4．下列说法正确的是（）
A．所有等边三角形都相似
B．有一个角相等的两个等腰三角形相似
C．所有直角三角形都相似
D．所有矩形都相似
5．如图，BE、CD相交于点A，连接BC，DE，下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C．＝D．＝
6．如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，
③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（）
A．②④B．②⑤C．③④D．④⑤
7．如图小明在作业纸上画出①、②两组三角形，每组各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，对于图①、②中的两个三角形而言；下列说法正确的是（）
A．都相似B．都不相似C．只有①相似D．只有②相似8．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF，则下列结论正确的有（）。

北师大版九年级上册数学 4.4探索三角形相似的条件同步练习(含答案)]

4.4探索三角形相似的条件同步练习一．选择题1．如图，已知在△ABC中，P为AB上一点，连接CP，以下条件中不能判定△ACP∽△ABC 的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C．D．2．下列正方形方格中四个三角形中，与甲图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．3．下列说法正确的是（）A．所有等边三角形都相似B．有一个角相等的两个等腰三角形相似C．所有直角三角形都相似D．所有矩形都相似4．如图，点M在BC上，点N在AM上，CM＝CN，，下列结论正确的是（）A．△ABM∽△ACB B．△ANC∽△AMB C．△ANC∽△ACM D．△CMN∽△BCA 5．如图，△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1＝∠2＝∠3，则与△ADE 相似的三角形的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，BE、CD相交于点A，连接BC，DE，下列条件中不能判断△ABC∽△ADE的是（）A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C．＝D．＝7．如图，△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△ABC不相似的是（）A．B．C．D．8．如图，点A、B、C、D四点共线，△PBC是等边三角形，当△P AB∽△DPC时，∠APD 的度数为（）A．120°B．100°C．110°D．125°9．在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，给出下列条件：其中能判断△ADE∽△ABC的有（）①；②∠AED＝∠B；③；④DE∥BC，A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD边上，EF⊥AE，BH⊥AC于点H，EF与AC交于点M，BH与AE交于点N．则下列结论错误的是（）A．△EFC∽△AEB B．△ECM∽△ABN C．△CFM∽△BEN D．△ANH∽△EFC 二．填空题11．在△ABC中，AB＝10，AC＝5，点M在边AB上，且AM＝2，点N在AC边上．当AN ＝时，△AMN与原三角形相似．12．如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝6，CD＝4，BD＝14．点P在BD上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，则PB的长为．13．如图，∠DAB＝∠EAC，请补充一个条件：，使△ADE∽△ABC（只写一个答案即可）．14．如图，矩形ABCD，AD＝2，AB＝5，P为CD边上的动点，当DP＝时，△ADP 与△BCP相似．15．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB 上一点，若以P、A、D为顶点的三角形与△PBC相似，则P A＝cm．三．解答题16．如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD＝2，AB＝，BC＝3．求证：△BCD∽△BAC．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）求证：△ADE∽△ABD．18．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：△AFD∽△CFE．参考答案1．C2．B3．A4．B5．C6．C7．A8．A9．B10．D11．1或412．8.4或2或1213．∠D＝∠B（答案不唯一）．14．1或4或2.515．2或316．解：∵BD＝2，AB＝，BC＝3．∴＝，＝＝，∴＝，而∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC．17．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，又∵∠BDE＝∠CAD，∴△BDE∽△CAD；（2）证明：∵△BDE∽△CAD，∴∠BED＝∠CDA，∴180°﹣∠BED＝180°﹣∠CDA即∠AED＝∠ADB．又∵∠BAD＝∠DAE，∴△ADE∽△ABD．18．（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，∴AD：AC＝AC：AB，∴AC2＝AB•AD；（2）证明：∵E为AB的中点，∴CE＝BE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA，∵∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD，∴△AFD∽△CFE．。

北师大版九年级数学上册 4.4 探索三角形相似的条件同步练习试题

4.4 探索三角形相似的条件
一．选择题
1．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE与BC不平行，那么下列条件中，不能判断△ADE∽△ACB的是（）
A．∠ADE＝∠C B．∠AED＝∠B C．＝D．＝
2．如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（）
A．＝B．＝C．∠ACD＝∠B D．∠ADC＝∠ACB 3．已知△ABC如图所示．则下列4个三角形中．与△ABC相似的是（）
A．B．
C．D．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝3，按图中虚线剪下的三角形与△ABC不相似的是（）
A．B．C．D．
5．已知点E、F分别在△ABC的AB、AC边上，则下列判断正确的是（）A．若△AEF与△ABC相似，则EF∥BC
B．若AE×BE＝AF×FC，则△AEF与△ABC相似
C．若，则△AEF与△ABC相似
D．若AF•BE＝AE•FC，则△AEF与△ABC相似
6．如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，
⑤△FGH，⑥△EFK，在②～⑥中，与三角形①相似的是（）
A．②③④B．③④⑤C．④⑤⑥D．②③⑥
7．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝9，将△ABC沿图中的线段剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）
A．B．
C．D．。

北师大九年级上《4.4探索三角形相似的条件》同步练习含答案解析

《4.4 探索三角形相似的条件》一、选择题1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列说法中，错误的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB3．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC 的关系是（）A．一定相似 B．当E是AC中点时相似C．不一定相似D．无法判断4．下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（）A．∠A=∠E且∠D=∠F B．∠A=∠B且∠D=∠FC．∠A=∠E且D．∠A=∠E且5．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A． = B． = C． = D． =6．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．7．如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（）A．B．C．AC2=AD•AB D．CD2=AD•BD8．如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．A．B．C．或D．或9．如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对10．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B． C．D．12．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC，AE平分∠BAD，则△ABC∽，△BAD∽△ACD （写出一个三角形即可）．14．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）15．如图所示，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件（只填一个条件），使△ADE与原△ABC相似．16．如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN=．17．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP=．18．过△ABC（AB＞AC）的边AC边上一定点M作直线与AB相交，使得到的新三角形与△ABC相似，这样的直线共有条．三、解答题19．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．20．如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求证：△ADF∽△BAD．21．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．（1）求证：AB=BG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．22．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．23．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．《4.4 探索三角形相似的条件》参考答案与试题解析一、选择题1．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【分析】设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出左图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项．【解答】解：设各个小正方形的边长为1，则已知的三角形的各边分别为，2，，A、因为三边分别为：，，3，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；B、因为三边分别为：1，，，三边与已知三角形的各边对应成比例，故两三角形相似；C、因为三边分别为：1，2，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似；D、因为三边分另为：2，，，三边不能与已知三角形各边对应成比例，故两三角形不相似，故选：B．【点评】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理的运用；相似三角形的判定方法有：1、二对对应角相等的两三角形相似；2、两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边长对应成比例的两三角形相似；4、相似三角形的定义．本题利用的是方法3．2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列说法中，错误的是（）A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB【考点】相似三角形的判定．【分析】由相似三角形的判定方法得出A、B、D正确，C不正确；即可得出结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB，∵∠DCE=∠B，∴∠ADE=∠DCE，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD；∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B，∴△DEC∽△CDB；∵∠B=∠ADE，但是∠BCD＜∠AED，且∠BCD≠∠A，∴△ADE与△DCB不相似；正确的判断是A、B、D，错误的判断是C；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两角相等得出三角形相似是解决问题的关键．3．在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=BC，一直角三角板的直角顶角O在AB边的中点上，这块三角板绕O点旋转，两条直角边始终与AC、BC边分别相交于E、F，连接EF，则在运动过程中，△OEF与△ABC 的关系是（）A．一定相似 B．当E是AC中点时相似C．不一定相似D．无法判断【考点】相似三角形的判定．【分析】首先连接OC，由等腰直角三角形的性质，易证得△COE≌△BOF，则可得△OEF是等腰直角三角形，继而可得△OEF与△ABC的关系是相似．【解答】解：连结OC，∵∠C=90°，AC=BC，∴∠B=45°，∵点O为AB的中点，∴OC=OB，∠ACO=∠BCO=45°，∵∠EOC+∠COF=∠COF+∠BOF=90°，∴∠EOC=∠BOF，在△COE和△BOF中，∴△COE≌△BOF（ASA），∴OE=OF，∴△OEF是等腰直角三角形，∴∠OEF=∠OFE=∠A=∠B=45°，∴△OEF∽△CAB．故选：A．【点评】此题考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．4．下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（）A．∠A=∠E且∠D=∠F B．∠A=∠B且∠D=∠FC．∠A=∠E且D．∠A=∠E且【考点】相似三角形的判定．【分析】根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案．【解答】解：A、∠D和∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；B、∠A=∠B，∠D=∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；C、由可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出△ABC与△DEF相似，故此选项正确；D、∠A=∠E且不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．5．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（）A． = B． = C． = D． =【考点】相似三角形的判定．【专题】证明题．【分析】本题中已知∠BAC=∠D，则对应的夹边比值相等即可使△ABC与△ADE相似，结合各选项即可得问题答案．【解答】解：∵∠BAC=∠D，，∴△ABC∽△ADE．故选C．【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．6．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．【解答】解：∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为故选B．【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．7．如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（）A．B．C．AC2=AD•AB D．CD2=AD•BD【考点】相似三角形的判定．【分析】题目中隐含条件∠A=∠A，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件只能是=，根据比例性质即可推出答案．【解答】解：∵在△ACD和△ABC中，∠A=∠A，∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是： =，∴AC2=AD•AB．故选C．【点评】本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．8．如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．A．B．C．或D．或【考点】相似三角形的判定；正方形的性质．【分析】根据AE=EB，△ABE中，AB=2BE，所以在△MNC中，分CM与AB和BE是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∵BE=CE，∴AB=2BE，又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN∴DM2+DN2=MN2=1∴DM2+DM2=1，解得DM=；②DM与BE是对应边时，DM=DN，∴DM2+DN2=MN2=1，即DM2+4DM2=1，解得DM=．∴DM为或时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．故选C．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到①DM与AB是对应边时，②当DM与BE是对应边时这两种情况．9．如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（）A．3对B．4对C．5对D．6对【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质．【分析】根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形．【解答】解：AD∥BC，可知△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，△ABC∽△CDA，AB∥CD，可知△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．共有6对，故选D．【点评】本题主要考查对于相似三角形的判定的掌握以及能够不遗漏的找出全部的相似三角形．10．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】相似三角形的判定．【专题】计算题．【分析】设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，分两种情况考虑：三角形PDA与三角形CPB相似；三角形PDA与三角形PCB相似，分别求出x的值，即可确定出P的个数．【解答】解：设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，当△PDA∽△CPB时， =，即=，解得：x=1或x=6，当△PDA∽△PCB时， =，即=，解得：x=，则这样的点P共有3个，故选C．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．11．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B． C．D．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．12．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质．【分析】直接利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥DC，再结合相似三角形的判定方法得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．二、填空题13．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC，AE平分∠BAD，则△ABC∽△DBA ，△BAD ∽△ACD（写出一个三角形即可）．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据垂直定义得出∠ADB=∠BAC，根据相似三角形的判定得出即可．【解答】解：△ABC∽DBA，理由是：∵AD⊥BC，∠BAC=90°，∴∠ADB=∠BAC，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△DBA，故答案为：△DBA．【点评】本题考查了相似三角形的判定，垂直定义的应用，能运用相似三角形的判定定理进行推理是接解此题的关键．14．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是AB∥DE ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）【考点】相似三角形的判定．【专题】开放型．【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【解答】解：∵∠A=∠D，∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．故答案为AB∥DE．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．15．如图所示，已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件∠B=∠AED （只填一个条件），使△ADE与原△ABC相似．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案．【解答】解：已知点E在AC上，若点D在AB上，则满足条件∠B=∠AED（只填一个条件），使△ADE 与原△ABC相似，故答案为：∠B=∠AED．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定是解题关键．16．如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，点M在AB边上，且AM=3，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN= 4或6 ．【考点】相似三角形的判定．【分析】分别利用，当MN∥BC时，以及当∠ANM=∠B时，分别得出相似三角形，再利用相似三角形的性质得出答案．【解答】解：如图1，当MN∥BC时，则△AMN∽△ABC，故==，则=，解得：MN=4，如图2所示：当∠ANM=∠B时，又∵∠A=∠A，∴△ANM∽△ABC，∴=，即=，解得：MN=6，故答案为：4或6．【点评】此题主要考查了相似三角形判定，正确利用分类讨论得出是解题关键．17．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP= 1或4或2.5 ．【考点】相似三角形的判定；矩形的性质．【专题】分类讨论．【分析】需要分类讨论：△APD∽△PBC和△PAD∽△PBC，根据该相似三角形的对应边成比例求得DP 的长度．【解答】解：①当△APD∽△PBC时， =，即=，解得：PD=1，或PD=4；②当△PAD∽△PBC时， =，即=，解得：DP=2.5．综上所述，DP的长度是1或4或2.5．故答案是：1或4或2.5．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质．对于动点问题，需要分类讨论，以防漏解．18．过△ABC（AB＞AC）的边AC边上一定点M作直线与AB相交，使得到的新三角形与△ABC相似，这样的直线共有 2 条．【考点】相似三角形的判定．【分析】过M作MN∥BC交AB于N；过M作∠AMD=∠B，交AB于D；即可得出结果．【解答】解：如图所示：过M作MN∥BC交AB于N，△ANM∽△ABC；过M作∠AMD=∠B，交AB于D，△AMD∽△ABC；因此符合条件的直线共有2条；故答案为：2．【点评】本题考查了相似三角形的判定方法；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键．三、解答题19．（2021春•昌平区期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．【考点】相似三角形的判定．【专题】证明题．【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求出AM=CM，推出∠C=∠CAM，求出∠DAB=∠CAM，求出∠DAB=∠C，根据相似三角形的判定得出即可．【解答】证明：∵∠BAC=90°，点M是BC的中点，∴AM=CM，∴∠C=∠CAM，∵DA⊥AM，∴∠DAM=90°，∴∠DAB=∠CAM，∴∠DAB=∠C，∵∠D=∠D，∴△DBA∽△DAC．【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质的应用，能求出∠DAB=∠C是解此题的关键．20．（2021•萧山区模拟）如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求证：△ADF∽△BAD．【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，平行线的判定与性质以及两角法证得结论．【解答】解：（1）∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°∴∠ACE=∠DCB=120°．∴△ACE≌△DCB（SAS）；（2）∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB．∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，∴DC∥BE，∴∠CDB=∠DBE，∴∠CAE=∠DBE，∴∠DAF=∠DBA．∴△ADF∽△BAD．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．有两组边对应相等，并且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．21．（2021•阜阳校级一模）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．（1）求证：AB=BG；（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．【考点】相似三角形的判定；直角三角形斜边上的中线．【分析】（1）利用平行分线段成比例定理得出==，进而得出△ABC≌△GBC（SAS），即可得出答案；（2）分别利用第一种情况：若∠CDB=∠CPB，第二种情况：若∠PCB=∠CDB，进而求出相似三角形即可得出答案．【解答】（1）证明：∵BF∥DE，∴==，∵AD=BD，∴AC=CG，AE=EF，在△ABC和△GBC中：，∴△ABC≌△GBC（SAS），∴AB=BG；（2）解：当BP长为或时，△BCP与△BCD相似；∵AC=3，BC=4，∴AB=5，∴CD=2.5，∴∠DCB=∠DBC，∵DE∥BF，∴∠DCB=∠CBP，∴∠DBC=∠CBP，第一种情况：若∠CDB=∠CPB，如图1：在△BCP与△BCD中，∴△BCP≌△BCD（AAS），∴BP=CD=2.5；第二种情况：若∠PCB=∠CDB，过C点作CH⊥BG于H点．如图2：∵∠CBD=∠CBP，∴△BPC∽△BCD，∵CH⊥BG，∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，∴△ABC∽△CBH，∴=，∴BH=，BP=．综上所述：当PB=2.5或时，△BCP与△BCD相似．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确利用分类讨论分析是解题关键．22．（2021•福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；（2）求∠ABD的度数．【考点】相似三角形的判定．【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．【解答】解：（1）∵AD=BC，BC=，∴AD=，DC=1﹣=．∴AD2==，AC•CD=1×=．∴AD2=AC•CD．（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，∴BC2=AC•CD，即．又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB．∴，∠DBC=∠A．∴DB=CB=AD．∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°．解得：x=36°．∴∠ABD=36°．【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．23．（2021•兴化市校级二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【考点】相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．。

4.4 探索三角形相似的条件数学北师大版九年级上册同步测试(含答案)

《探索三角形相似的条件》同步测试底边长15cm ，底边上的高的长为22.5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm 的矩形纸条，如图4-57所示。

已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A ．第4张B ．第5张C ．第6张D ．第7张2. 如图4-90所示，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ∶DB ＝1∶2，则下列结论正确的是（）A ．B ．C ．D ．3. 两个相似三角形的相似比为2∶3，面积之差为25 cm2，则较大三角形的面积为( )A ．45 cm2B ．50 cm2C ．65 cm2D ．75 cm21. 雨后初晴，一个学生在运动场上玩耍，从他前面2m 远的一小块积水处，他看到了旗杆顶端的倒影，如果旗杆底端到积水处的距离为40 m ，该学生的眼部到地面的高度为1.5 m ，求旗杆的高度。

2. 某人身高为1.8米，站在一路灯下时无影子，然后背对路灯向前走了6米，此时的影长为2米。

求路灯的灯泡距地面的高度。

3. 如图4-73所示，路边有两根相距4m 的电线杆AB ，CD ，分别在高为3 m 的A 处和6 m 的C 处用铁丝将两杆固定，求铁丝AD 与铁丝BC的交点M离地面的高度MH。

4. 一个钢筋三脚架的边长分别是20cm，50cm，60cm，现要做一个与其相似的钢筋三脚架，而只有长为30 cm和50 cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段(允许有余料)作为另外两边，则有几种不同的截法?并简单说明理由。

5. 我们知道利用相似三角形可以计算不能直接测量的物体的高度，阳阳的身高是1.6 m，他在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6 m，则这棵树的高度约为m。

6. 明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如图4-77所示，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同，此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2 m，CE＝0.8 m，CA＝30 m(点A，E，C在同一直线上)。

【提升版】北师大版数学九年级上册-4.4探索三角形相似的条件-同步练习(含解析)

【提升版】北师大版数学九年级上册 4.4探索三角形相似的条件同步练习一、选择题1．（2019九上·东源期中）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．2．（2024九上·铜仁期末）“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P大致是AB的黄金分割点(AP>PB)，如果AP的长为4cm，那么AB的长约为（）A．(25+2)cm B．(25−2)cm C．(25+1)cm D．(25−1)cm 3．（2024九上·兰州期中）在学习画线段AB的黄金分割点时，小明过点B作AB的垂线BC，取AB 的中点M，以点B为圆心，BM为半径画弧交射线BC于点D，连接AD，再以点D为圆心，DB为半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E，F两点，最后，以A为圆心，“■■”的长度为半径画弧交AB于点H，点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段（）A．AF B．DF C．AE D．DE4．（2023九上·平山月考）如图，在△ABC中，∠ABC为锐角，BC=8cm，AB=4cm，要在边BC上找一点D，使△DBA∽△ABC，需添加一个条件，下列方案不正确的是（）A．∠BAD=∠C B．CD=6cm C．AD平分∠BAC D．∠ADB=∠BAC 5．（2024九上·杭州月考）如图，在△ABC纸片中，∠A＝72°，∠B＝38°．将△ABC纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与△ABC相似的是（）A．①②B．②④C．③④D．①③6．（2024九上·岳阳期末）如图，已知∠DAB=∠CAE，那么添加一个条件后，依然无法判定ΔABC∽ΔADE（）A．∠AED=∠C B．∠D=∠B C．ABAD =ACAED．ADAB=DEBC7．（2023九上·石家庄期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足BPAP =APAB，则称点P是AB的黄金分割点，世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，若图中AB＝8，则BP的长度是（）A．12−45B．4+45C．45−4D．2 8．下列条件中，能使△ABC和△DEF相似的条件是（）．A．AB=c，AC=b，BC=a，DE=a，EF=b，DF=cB．AB=1，AC=1.5，BC=2，DE=12，EF=8，DF=1C．AB=3，AC=4，BC=6，DE=12，EF=8，DF=6D．AB=2，AC=3，BC=5，DE=6，EF=3，DF=3二、填空题9．（2024九上·织金期末）如图，乐器上的一根弦AB=100cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，C，D之间的距离为 cm．10．（2024九上·兰州期中）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是．11．（2023九上·瑶海月考）五角星是我们常见的图形，如图点C，D分别是线段AB的黄金分割点，AB=20cm，则EC+CD= cm．12．（2023九上·宁远期中）如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在．13．如图，在△ABC中，AB=8 cm，BC=16 cm．点P从点A出发，沿AB边向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B出发，沿BC边向点C以4 cm/s的速度运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，那么运动时间为时，△PBQ与△ABC相似．三、解答题14．（2023九上·萧山月考）如图，矩形ABCD中，BC<2AB，点M是BC的中点，连接AM．将△ABM沿着AM折叠后得△APM，延长AP交CD于E，连接ME．（1）求证：ME平分∠PMC；（2）求证：△EMC∽△MAB.15．如图，AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，且AD=2，BC=6，AB=7．P是线段AB上的一个动点．问：是否存在一点P，使以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似？若存在，求出PA的长；若不存在，请说明理由．16．（2023九上·佛山期中）如图，在4×7的正方形方格纸中（每个小方格的边长均为1）有线段AC 和EF，点A，C，E，F均在方格的格点上．（1）在方格纸中画出一个以AC为对角线的菱形ABCD，点D在直线AC的下方，且点B，D都在方格的格点上；（2）在方格纸中画出以EF为边的正方形EFGH，且点G，H在方格的格点上；（3）连接BD交AC于点O，连线得△OCE和△CHD，请证明△CHD∽△OCE．17．（2019九上·昌平期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动．（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的13？（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？18．（2022九上·哈尔滨月考）在四边形ABCD中，AC为对角线，AC=AB=BC，BE⊥AC于点E，CD=BE=3，AD=1．（1）如图1，求证：∠ADC=90°；（2）如图2，延长BE，交AD边的延长线于点F，交CD边于点G，连接CF，DE，在不添加任何字母和辅助线的条件下，请直接写出图中与△ABF相似，但不全等的三角形．19．（2020九上·江阴期中）如图（1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E.求证：AEAB =5−12.（这个比值5−12叫做AE与AB的黄金比.）（2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC.（注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注）20．（2021九上·常山期中）【问题提出】已知有两个Rt△ABC和Rt△A'B′C'，其中∠C＝∠C′＝90°，∠A ＝60°，∠A′＝45°．（1）如图1，作线段CD，C′D′，分别交AB于点D，交A'B′于点D′，使得∠BCD＝45°，∠B'C′D'＝30°，问△BCD与△B'C′D'，△ACD与△A′C′D′是否相似？并选择其中相似的一对三角形，说明理由．（2）如图2，作线段AD，B'D′，分别交BC于点D，交A'C'于点D，若△ACD与△B′C′D′、△ABD与△A′B'D'均相似，求∠CAD，∠C'B'D′的度数．（3）【拓展思考】已知任意两个不相似的直角三角形，能否分别作一条直线对其进行分割，使其中一个三角形所分割得到的两个三角形与另一个三角形所分割得到的两个三角形分别对应相似？如果可以，请直接画出一种分割示意图；如果不能，请说明理由．答案解析部分1．【答案】A【知识点】勾股定理；相似三角形的判定【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°+45°=135°，AC=2，CB=12+12=2，又∵B、C、D三选项中最大角都小于135°，∴B、C、D都不对，又∵选项A中最大角是135°，且夹边之比=2∶1=2∶2。

北师大版九年级数学上册探索三角形相似的条件同步练习

4.4 探索三角形相似的条件1．下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是（） A ．△ABC 中，∠A ＝42 o ，∠B ＝118 o ，△A`B`C`中，∠A`＝118 o ，∠B`＝15o B ． △ABC 中，AB=8，AC=4, ∠A ＝105 o ，△A`B`C`中，A`B`＝16，B`C`＝8，∠A`＝100oC ． △ABC 中，AB=18，BC ＝20，CA ＝35，△A`B`C`中，A`B`＝36，B`C`＝40，C`A`＝70D ．△ABC 和△A`B`C`中，有````C B BC B A AB ，∠C ＝∠C`。

2． △ABC 和△DEF 满足下列条件，其中使△ABC 和△DEF 不相似的是（）A ．∠A ＝∠D ＝45 o 38`，∠C ＝26 o 22`，∠E ＝108 oB ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，DE ＝12，EF ＝8，DF ＝16C ．BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，DE ＝a ，EF ＝b ，DF ＝cD ．AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D ＝40 o ，3．如图，△ABC 中∠ACB ＝90o，CD ⊥AB 于D 。

则图中能够相似的三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对4．△ABC中，D是AB上一固定点。

E是AC上的一个动点，若使△ABC和△ADE相似，则这样的点E有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．很多5．下列说法①所有等腰三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的等腰三角形相似；④有一个角为60 o的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（）A．②④ B．①③ C．①②④ D．②③④6．如图，若点D为△ABC中AB边上的一点，且∠ABC＝∠ACD，AD＝3cm，AB＝4cm，则AC的长为（）A．12cm B．32cm C．3cm D．2cm7.据有关实验测定，当气温处于人体正常体温（37o C）的黄金比值时,人体感到最舒适。

九年级数学上册试题4.4《探索三角形相似的条件》习题2-北师大版(含答案)

4.4《探索三角形相似的条件》习题2一、选择题1．下列各组图形中不一定相似的是( )A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形2．已知一个三角形的两个内角分别是30，70，另一个三角形的两个内角分别是70，80，则这两个三角形( )A．一定相似B．不一定相似C．一定不相似D．不能确定∆中，CD是斜边AB上的高，则图中的相似三角形共有( ) 3．如图，在Rt ABCA．1对B．2对C．3对D．4对4．如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上(不与点A、C重合)，DE与AB相交于点F，那么与△BFD相似的三角形是( )A．△BFE；B．△BDC；C．△BDA；D．△AFD．5.如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，∆相似的是( )不能推出ABP∆与ECPA ．APB EPC ∠=∠ B ．90APE ∠= C ．P 是BC 的中点D ．:2:3BP BC =6.如图，在△ABC 中，D 是边AC 上一点，连接BD ，下列条件：①∠ABD =∠ACB ，②AB 2=AD ·AC ，③∠ADB =∠ABC ，④AB 2=AD ·DC .其中，单独能判定△ABD ∽△ACB 的个数是( )A ．4B ．1C ．3D ．27.如图，△ACD ∽△ABC 需具备的条件是( )A ．AC AB CD BC = B ．CD BC AD AC = C ．AC AB AD AC = D ．=CD BD AD CD8.如图，ABC 与ADE 相似，且ADE B ∠=∠，则下列比例式中正确的是( )A ．AE AD BE DC =B ．AE AB AB AC = C ．AD AB AC AE = D ．AE DE AC BC= 9.如图，在△ABC 与△ADE 中，∠BAC=∠D ，要使△ABC 与△ADE 相似，还需满足下列条件中的( )A ．AC AB AD AE = B ．AC BC AD DE = C ．AC AB AD DE = D ．AC BC AD AE= 10.在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，∠C=∠F=90°，由下列条件判定△ABC ∽△DEF 的是( )①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，AC=8，EF=9，DE=15．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11.如图，已知∠1=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC 与△ADE 相似的是( )A ．∠C=∠AEDB ．∠B=∠DC ．AB BC AD DE = D ．AB AC AD AE= 12.如图，M 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一定点，过M 点作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，这样的直线共有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条13.如图，在ABC ∆中，7646A AB AC ︒∠===，，，将ABC ∆沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )A ．B ．C ．D ．14.如图，下列选项中不能判定ACD ABC ∆∆的是( )A ．2AC AD AB =⋅B ．2BC BD AB =⋅ C ．ACD B ∠=∠ D ．ADC ACB ∠=∠15.如图在正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是( )A ．B ．C ．D ．16.下列条件中，能使ABC DEF ∽△△成立的是( )A ．∠C ＝98°，∠E ＝98°，AC DE BC DF=；B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26；D．∠B＝35°，BC ＝10，BC上的高AG＝7；∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH ＝3.517.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABCC．AB2=AD•AC D．AD AB AB BC=18.如图，点D在ABC的边AC上，要判定ADB△与ABC相似，添加一个条件，不正确的是( )A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABCC．ABBD＝CBCAD．ABAD＝ACAB19.如图，D是△ABC边AB上一点，添加一个条件后，仍然不能使△ACD∽△ABC 的是( )A．∠ACB＝∠ADC B．∠ACD＝∠ABC C．AC ADAB AC=D．=CD ADBC AC20.如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是( )A ．AE AC AD AB = B ．∠B=∠ADEC ．AE DE AC BC =D ．∠C=∠AED21.在△ABC 中，直线DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，下列条件不能推出△ABC 与△ADE 相似的是( )A ．AD AE BD EC =B ．∠ADE=∠ACBC ．AE ﹒AC=AB ﹒ADD ．AD DE AB BC = 22.如图，点P 是△ABC 边AB 上一点(AB>AC)，下列条件不一定能使△ACP ∽△ABC 的是( )A ．AC AP AB AC = B ．PC AC BC AB= C ．∠ACP=∠BD ．∠APC=∠ACB二、填空 1.如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=1，点E 是DC 上一点，∠DAE=∠BAC ，则EC 的长为________．2.如图，已知∠ACB ＝∠CBD ＝90°，AC ＝8，CB ＝2，当BD=______时，图中的两个直角三角形相似．3.点D 在ABC 的边AB 上，且2AC AD AB =⋅，则ABC ACD ，理由是_______．4.如图，若∠BAD=∠CAE ，∠E=∠C ，则 ∽ ．5.如图，若ABC EBD ∽△△，需添加的一个条件是______(填写一个条件即可)．6.如图，∠1=∠2，请补充一个条件：_____，使ABC ADE ．7.如图，△ABC 中，P 为AB 上点，在下列四个条件中：①∠AC P=∠B ；②∠APC =∠ACB ：③∠CAP =∠BAC ；④AC AP AB AC=．能确定△APC 和△ACB 相似的是___________(只填写序号)．8.如图，在ABC ∆中，6,8AB cm AC cm ==，D 是AB 上一点且AD 2cm =，当AE =________cm 时，使得ADE ∆与ABC ∆相似．9.如图，在ABC 中，AB ≠AC ，D ，E 分别为边AB ，AC 上的点，AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，F 为BC 边上一点，添加一个条件：________________，可以使得FDB 与ADE 相似．(只需写出一个)三、解答题1.如图，BD 、CE 为ABC ∆的高，且BD 与CE 交于点O ．(1)求证：~AEC ADB ∆∆；(2)若40A ∠=，求BOC ∠的度数2.在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的两条高，且AD、CE相交于点O，试找出图中相似的三角形，并选出一组给出证明过程．3.如图，在正方形ABCD中，E是CD上的一点，F是BC的延长线上的一点，且CE=CF，BE的延长线交DF于点G，求证：△BGF∽△DCF．4.已知，如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB外一点，过点D分别作边AB、BC的垂线，垂足分别为点E、F，DF与AB交于点H，延长DE交BC于点G．求证：△DFG∽△BCA5.如图，在ABC ∆与ADE ∆中，AB AC AD AE=，且=EAC DAB ∠∠. 求证：ABC ADE ∆∆.6.如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD=CD ，CE ⊥AB 于E ．求证：△ABD ∽△CBE ．7.如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，AD BC <，且5AD =，2AB DC ==，若点P 是AD 上的一点，且BPC A ∠=∠，求证：ABP DPC △△∽．8.如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作,AE BC ⊥垂足为E ．连接,DE F 为线段DE 上一点，且AFE B ∠=∠．求证：ADF DEC ~．9.如图，在正方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，点F 在CD 上，且4CD DF =，连接EF 、BE ．求证：ABE DEF △△∽．10.如图，∠C=90°，AC=CD=DE=BE ，试找出图中的一对相似三角形，并加以证明．11.如图，AB•AE=AD•AC，且∠1=∠2，求证：△ABC∽△ADE．答案一、选择题1．B ．2．A.3．C ．4．C ．5.C6.C ．7.C ．8.D.9.C ．10.C ．11.C ．12.C ．13.D ．14.B ．15.C ．16.D.17.D ．18.C ．19.D ．20.C ．21.D.22.B ．二、填空 1.322.8或123.有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．4.△ABC 、△ADE5.∠BDE=∠BCA 或∠BDE=∠BCA 或BC BD BA BE=(任选其一即可)． 6..E C ∠=∠(答案不唯一)7.①②④． 8.83或1.5 9.∠A ＝∠BDF三、解答题1.解：(1)证明：BD 、CE 为ABC ∆的高，AEC ADB ∴∠=∠=90°，又A A ∠=∠，~AEC ADB ∴∆∆；(2)40A ∠=，904050ABD ∴∠=-=， CE 为ABC ∆的高，90BEC ∴∠=，5090140BOC ABD BEC ∴∠=∠+∠=+=．2.解：图中相似的三角形有：△ABD∽△CBE，△ODC∽△BEC，△OEA∽△BDA，△ODC∽△OEA．∵AD、CE分别是△ABC的两条高，∴∠ADB＝∠CDA＝∠CEB＝∠AEC＝90°，∴∠B+∠BCE＝90°，∠B+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠BCE，∵∠EBC＝∠ABD，∴△ABD∽CBE．3.∵正方形ABCD∴∠DCB=∠DCF=90︒，DC=BC∵CE=CF∴△DCF≌△ECB∴∠CDF =∠CBE∵∠CDF＋∠F=90︒∴∠CBE＋∠F=90︒∴∠BGF=90︒=∠DCF∴△BGF∽△DCF4.∵ DF⊥BC于F，∠C=90°∴∠DFG＝∠C＝90°又DE⊥AB于点E∴∠DGB＋∠B＝90°又∠DGB＋∠D＝90°∴∠B=∠D∴△DFG∽△BCA．∠=∠，5.∵EAC DAB∠+∠=∠+∠，∴EAC BAE DAB BAE∠=∠，即DAE BAC又AB AC AD AE=， ∴ABCADE ∆∆．6.∵在△ABC 中，AB=AC ，BD=CD ，∴AD ⊥BC ．又∵CE ⊥AB ，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B ，∴△ABD ∽△CBE ．7.证明：∵AD ∥BC ，AD ＜BC ，AB=DC=2，∴∠A=∠D∵∠ABP+∠APB+∠A=180°，∠APB+∠DPC+∠BPC=180°，∠BPC=∠A ∴∠ABP=∠DPC ，∴△ABP ∽△DPC ．8.解：四边形ABCD 是平行四边形，//,//,AB CD AD BC ∴180,B C ADF DEC ∴∠+∠=∠=∠，180AFD AFE AFE B ∠+∠=︒∠=∠,，AFD C ∴∠=∠．∴△ADF ∽△DEC.9.证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD CD ==，90A D ︒∠=∠=∵点E 是AD 的中点，∴22AB AD AE DE ===，即2AB DE= ∵CD=4DF ， ∴2AE DF =，即2AE DF= ∴2AB AE DE DF==， ∴90A D ∠=∠=︒，∴ABE DEF ∽10.∵∠C=90°，AC=CD=DE=BE ，∴，BD=2CD ， ∴ED AD AD BD ==， ∵∠ADB=∠ADB ，∴△ADE ∽△BDA ．11.证明：如图，∵AB •AE=AD •AC ， ∴=AB AC AD AE ．又∵∠1=∠2，∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE ，即∠BAC=∠DAE ， ∴△ABC ∽△AED ．。

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4 探索三角形相似的条件
一、选择题
（1）如图，在Rt ABC ∆中，AB CD C ⊥︒=∠,90于D 点，则图中相似三角形有（）
A ．4对
B ．3对
C ．2对
D ．1对
（2）如图，由下列条件不能判定ABC ∆与ADE ∆相似的是（）
A ．A
B A
C A
D A
E = B ．ADE B ∠=∠ C ．BC
DE AC AE = D ．AED C ∠=∠ （3）如图，D 为ABC ∆的边AB 上一点，
cm 4,cm 3,==∠=∠AB AD ACD ABC ，则AC 长为（）
A ．12cm
B ．32cm
C ．3cm
D ．2cm
（4）下列4组图形中一定相似的是（）
A ．各有一个角是40°的两个等腰三角形
B ．两条边之比都是2：3的两个三角形
C ．两条边之比都是2：3的两个直角三角形
D ．各有一个角是100°的两个等腰三角形
（5）下列各组图形中有可能不相似的是（）
A ．各有一个角是45°的两个等腰三角形
B ．各有一个角是60°的两个等腰三角形
C ．各有一个角是105°的两个等腰三角形
D ．两个等腰直角三角形
（6）有一个锐角相等的两个直角三角形的关系是（）
A ．全等
B ．相似
C ．既不全等与也不相似
D ．无法确定
（7）ABC ∆和C B A '''∆符合下列条件，其中使ABC ∆与C B A '''∆不相似的是（）
A ．︒='∠︒=∠︒='∠=∠109,26,45
B B A A
B ．16,8,12,2,5.1,1=''=''=''===
C B C A B A BC AC AB
C ．1.2,2
3,1415,5.1,=''=''=='∠=∠C B B A AC AB B A D ．c B A b C A a C B c AB b AC a BC =''=''=''===,,,,,
二、填空题
（1）如图，BD 、CE 是ABC ∆的高，图中相似三角形有__________对．
（2）如图，D 是ABC ∆的边AB 上一点，若____1=∠，则ADC ∆∽ACB ∆，若____2=∠，则ADC ∆∽ACB ∆．
（3）在ABC ∆中，CD ACB ,90︒=∠是高，若,,b AC a BC ==,,h CD c AB == p BD k AD ==,，且4,3==b a ，则________,____,____,====h k p c ．
（4）如图，在四边形ABCD 中，15,=∠=∠AB CBD A cm ，20=AD cm ，18=BD cm ，24=BC cm ，则CD 的长为__________cm ．
（5）如图，在ABC
∆∽____．
∆中，AC是BC、DC的比例中项，则ADC
（6）如图，3
B
∠BC
AD
=
BAD cm，则
∠
CAE
AB
D
2
,
=
,=
∠
∠
,
=
=
DE cm．
____
（7）如图，在ABC
∆是否∆中，ADE
cm
,
3
//与ABC
,
5
DE∆
AD
cm
BC
AB
=
=,
相似_________，相似比是__________．
三、解答题
1．如图，在梯形ABCD中，3:2
CO
=OA
CD，求AB的长．
:
,3=
2．已知：如图，在等腰梯形ABCD中，CD
AD=
//，过D点作AC
,
AB
BC
的平行线交BA的延长线于E．试判断BD
=
⋅．
DC
DE⋅
EA
3．如图，已知：cm 5.2,cm 3
8,cm 2,cm 3,cm 4=====DE CE BD AD AE ，求BC 的长．
4．如图，已知：BC 是BD 、AB 的比例中项．求证：CDB ∆∽ACB ∆．
5．如图，BC 与DF 交于点21,∠=∠O ，求证：ABC ∆∽ADF ∆．
6．如图，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，求证：ABC ∆∽BCD ∆．
7．如图，四边形EFHG CDFE ABDC 、、都是正方形．求证：（1）
ADF ∆∽HDA ∆；（2）︒=∠+∠45AHB AFB ．
参考答案
一、
（1）B （2）C （3）B （4）D （5）A （6）B （7）D 二、
（1）2对（ABD ∆∽ACE ∆，EOB ∆∽DOC ∆）（2）ACB B ∠∠, （3）5，512,516,59 （4）5
108（DC BD BC AD BD AB ==）（5）BAC ∆ （6）1.5cm （7）相似，3：5
三、
1．5.4=AB
2．由BC AD //，则ABC EAD ∠=∠，又AC DE //，∴E BAC ∠=∠，
∴ABC ∆∽EAD ∆，∴
AC
AB ED AE =．在等腰梯形ABCD 中，ABC ∆≌DCB ∆，∴DB DC AC AB =，∴DB
DC ED AE =，即BD EA DC DE ⋅=⋅ 3．53,//,==BC DE BC DE EC AE DB AD ，∴6
25=BC cm 4．AB BD BC ⋅=2 ，∴B B BC AB BD BC ∠=∠=,，∴CDB ∠∽ACB ∆． 5．D A B A ∠+∠=∠∠+∠=∠2,1，21∠=∠ ，∴D B ∠=∠，又A ∠是公共角，∴ABC ∆∽ADF ∆．
6．︒=∠=∠︒=∠72,36C ABC A ，又BD 是角平分线，
∴A DBC DBC ∠=∠︒=∠,36，∴ABC ∆∽BCD ∆．
7．2
2,22,==∠=∠AD DF DH AD ADH ADF ，∴AD DF DH AD =，∴ADF ∆∽HDA ∆． AHB GAH DAH AFB ∠=∠∠=∠,，
︒=∠=∠+∠=∠+∠45DAC GAH DAH AHB AFB ．。