双曲面及其渐进锥面
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空间解析几何-第3章-常见的曲面2
②当 时
截线为双曲线
y = h
y
x
z
o
③当 时
截线为直线
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
(0 , b , 0)
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
③当 时
截线为直线
②当 时
①当 时
（1）单叶双曲面与x，y轴分别交于（±a，0，0）， （0，±b，0）而与z轴无实交点. 上述四点称为单叶双曲面的实顶点， 而与z轴的交点（0，0，±ci） 称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0， 代入得x,y轴上的截距为: ， ； 在z轴上没有截距.
*
空间解析几何
第3章 常见的曲面2
本章主要内容
柱面 2 锥面 3 旋转曲面 4 曲线与曲面的参数方程 5 椭球面 6 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面） 7 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面） 8 二次直纹面 9 作图
五种典型的 二次曲面
§3.5 五种典型的二次曲面
x
y
z
o
2°用y = 0 截曲面
3°用x = 0 截曲面
1°用z = 0 截曲面
x
z
y
O
4.主截线
Cx＝0
Cy＝0
两条主抛物线具有相同的顶点,对称轴和开口方向
————其为点（0，0，0）
————xoz 面上的抛物线
主抛物线
———— yoz 面上的抛物线
有相同的定点（0，0，0） 相同的对称轴z轴，开口均向z轴正方向
单叶双曲面 双叶双曲面
x
y
o
z
x
y
o
z
单叶双曲面
截线为双曲线
y = h
y
x
z
o
③当 时
截线为直线
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
(0 , b , 0)
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
③当 时
截线为直线
②当 时
①当 时
（1）单叶双曲面与x，y轴分别交于（±a，0，0）， （0，±b，0）而与z轴无实交点. 上述四点称为单叶双曲面的实顶点， 而与z轴的交点（0，0，±ci） 称为它的两个虚交点. （2）截距：分别用y=0,z=0和x=0,z=0， 代入得x,y轴上的截距为: ， ； 在z轴上没有截距.
*
空间解析几何
第3章 常见的曲面2
本章主要内容
柱面 2 锥面 3 旋转曲面 4 曲线与曲面的参数方程 5 椭球面 6 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面） 7 抛物面（椭圆抛物面，双曲抛物面） 8 二次直纹面 9 作图
五种典型的 二次曲面
§3.5 五种典型的二次曲面
x
y
z
o
2°用y = 0 截曲面
3°用x = 0 截曲面
1°用z = 0 截曲面
x
z
y
O
4.主截线
Cx＝0
Cy＝0
两条主抛物线具有相同的顶点,对称轴和开口方向
————其为点（0，0，0）
————xoz 面上的抛物线
主抛物线
———— yoz 面上的抛物线
有相同的定点（0，0，0） 相同的对称轴z轴，开口均向z轴正方向
单叶双曲面 双叶双曲面
x
y
o
z
x
y
o
z
单叶双曲面
高等数学B资料：7_4_3锥面与二次曲面(更新)
13
x a
z c
0
,
y b
x a
z c
0
.
y b
(4) y1 b,
截痕为一对相交于点(0,b,0) 的直线.
x a
z c
0
,
x a
z c
0
.
y b
y b
（3）用坐标面 yoz ( x 0) ，x x1 与曲面相截
均可得双曲线.
14
平面 x a 的截痕是两对相交直线.
单叶双曲面图形 z
o
y
x
15
3．双叶双曲面
由方程
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
或
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1
或
x2 a2
y2 b2
z c
2 2
1
所确定的曲面称为双叶双曲面。
z x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
o
y
x
4．椭圆抛物面
z
由方程
z
x2 a2
y2 b2
或
y
x2 a2
截椭球面，截得的曲线为
x2 a2
z
y2 b2 h
z c
2 2
1
，即
x
2
a2
y2 h2 b2 1 c2 zh
，
当
h c
时，1
h2 c2
0
，上面方程可写成
x2
y2
a
1
h2 c2
2
b
1
h2 c2
2
1
，
zh
它表示平面 zh 上的一个椭圆，长、短半轴分别为
空间曲面与曲线 (2)
得到一组交线称为截口曲线（简称截口）。
通过这组平行平面上的截口（简称为平行截口）
的形状来分析曲面的大体形状，这种方法称为
截割法。
用平行于xOy坐标平面z=h(|h|≤c)截椭球面，截
口为
x2 y2
h2
a2
b2
1
c2
z h
30
当|h|=c时，截口是平面z=h上的一个点(0,0,c)或
c h2 b2 b
虚半轴平行于x轴，虚半轴长为
a h2 b2 b
它的顶点 0,h, c h2 b2
(0,0,-c);
当|h|<c时，截口是一椭圆，它的两半轴分别为
a
1
h2 c2
及b
h2 1 c2
它的两轴的端点分别是
a
1
h2 c2
,0,
h
与
0,b
1
h2 c2
,
h
31
椭球面的参数方程
x a cos cos
y z
b cos sin c sin
空间曲面与空间曲线
1. 球面 2.柱面 3.锥面 4.旋转曲面 5.二次曲面： 一、椭球面 6. 空间曲线
二、双曲面
三、抛物面
1
1. 球面
到定点P0 (x0 , y0 , z0 )的距离等于定长 r的点的轨迹叫球面 . 则球面方程是 (x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 r 2 , r是半径, P0 (x0 , y0 , z0 )是球心. 一般方程: x 2 y 2 z 2 Ax By Cz D,即
第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
柱面、锥面、 第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
主要内容 1、柱面 、 2、锥面 、 3、旋转曲面 、 4、椭球面 、 5、双曲面 、 6、抛物面 、
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 所形成的曲面称为柱面. 叫柱面的准线 准线， 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线 母线. 柱面的母线 F1 ( x , y , z ) = 0 设柱面的准线为 F ( x , y , z ) = 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果 1(x1,y1,z1)为准线 母线的方向数为 。如果M 为准线 上一点，则过点M 上一点，则过点 1的母线方程为 x − x1 y − y1 z − z1 = = (2) X Y Z
z = ay
z
z = a(± x 2 + y 2 )
y x
平方得: z2 = a2 ( x2 + y2 ) 该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.
将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程． 生成的旋转曲面的方程．
x z （1）双曲线 2 − 2 = 1分别绕 x 轴和 z 轴； ） a c
第三节 旋转曲面
一、. 旋转曲面 1、 定义 以一条平面曲线 绕其平面上的一 、 定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一 条直线旋转一周所成的曲面叫做旋 条直线旋转一周所成的曲面叫做 旋 转曲面, 这条定直线叫旋转曲面的 转曲面 轴. 曲线C称为放置曲面的母线 曲线 称为放置曲面的母线 称为放置曲面的 纬线
即
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程 转一周的旋转曲面方程. 旋转曲面方程
主要内容 1、柱面 、 2、锥面 、 3、旋转曲面 、 4、椭球面 、 5、双曲面 、 6、抛物面 、
第一节
柱面
定义 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面. 所形成的曲面称为柱面. 叫柱面的准线 准线， 这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线 L 叫 柱面的母线 母线. 柱面的母线 F1 ( x , y , z ) = 0 设柱面的准线为 F ( x , y , z ) = 0 (1) 2 母线的方向数为X,Y,Z。如果 1(x1,y1,z1)为准线 母线的方向数为 。如果M 为准线 上一点，则过点M 上一点，则过点 1的母线方程为 x − x1 y − y1 z − z1 = = (2) X Y Z
z = ay
z
z = a(± x 2 + y 2 )
y x
平方得: z2 = a2 ( x2 + y2 ) 该旋转曲面叫做圆锥面, 其顶点在原点.
将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 例3 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程． 生成的旋转曲面的方程．
x z （1）双曲线 2 − 2 = 1分别绕 x 轴和 z 轴； ） a c
第三节 旋转曲面
一、. 旋转曲面 1、 定义 以一条平面曲线 绕其平面上的一 、 定义: 以一条平面曲线C绕其平面上的一 条直线旋转一周所成的曲面叫做旋 条直线旋转一周所成的曲面叫做 旋 转曲面, 这条定直线叫旋转曲面的 转曲面 轴. 曲线C称为放置曲面的母线 曲线 称为放置曲面的母线 称为放置曲面的 纬线
即
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y , z ) = 0 绕z 轴旋
转一周的旋转曲面方程 转一周的旋转曲面方程. 旋转曲面方程
常见曲面方程总结(一)
常见曲面方程总结(一)前言•引言：曲面是数学中的重要概念，广泛应用于计算机图形学、工程设计等领域。
在形状设计和模拟中，掌握常见曲面方程是非常重要的基础知识。
本文将介绍几种常见的曲面方程，并分析其特性和应用场景。
正文一、球面方程•定义：球面是由到定点距离相等于固定半径的点所组成的曲面。
它的方程一般可以表示为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r²，其中(a,b,c)为球心坐标，r为半径。
•特性：球面是空间中对称性最高的曲面，具有旋转对称性、轴对称性和平面对称性。
•应用：球面方程广泛应用于计算机图形学中的三维建模，如球体、球形光源等。
二、圆柱面方程•定义：圆柱面是围绕某条直线旋转而形成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
•特性：圆柱面在与旋转轴垂直的方向上是无限延伸的，而在旋转轴方向上是有限长度的。
•应用：圆柱面方程常用于描述圆柱体、柱形物体等实际物体的几何特征。
三、锥面方程•定义：锥面是由定点到平面上所有点的连线所组成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = z²，其中(a,b)为锥顶坐标。
•特性：锥面在平面上形成对称的圆锥形状，而在垂直于平面的方向上是无限延伸的。
•应用：锥面方程常用于描述圆锥体、棱锥体等实际物体的几何特征。
四、椭球面方程•定义：椭球面是由到两个定点的距离之和等于常数的点所组成的曲面。
它的方程可以表示为：(x-a)²/r₁² + (y-b)²/r₂² + (z-c)²/r₃² = 1，其中(a,b,c)为椭球中心坐标，r₁、r₂、r₃为轴长。
•特性：椭球面可以是旋转椭球、扁椭球或球体等不同形状，取决于轴长的比值。
4.3旋转曲面 4.4椭球面
§4.3 旋转曲面
定义4.3.1 在空间，以一条曲线绕着定直线旋 在空间， 定义 转一周所生成的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面 旋转曲面或称回旋曲面. 转一周所生成的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面.
这条定直线叫旋转曲面的旋转轴． 这条定直线叫旋转曲面的旋转轴． 旋转轴 这条曲线叫旋转曲面的母线． 这条曲线叫旋转曲面的母线． 母线
y
例 卫星接收装置
.
5环面 圆（x − R ) 2 + y 2 = r 2 ( R > r > 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 轴
y
o
r
R
x
5环面 圆（x − R ) 2 + y 2 = r 2 ( R > r > 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 轴 y
o
x
.
z
5环面 圆（x − R ) 2 + y 2 = r 2 ( R > r > 0)
旋转椭球面与椭球面的区别： 旋转椭球面与椭球面的区别： 与平面 z
= z1 (| z1 |< c)的交线为圆 的交线为圆.
2 a2 2 2 x + y 2 = 2 (c − z1 ) . 截面上圆的方程 c z = z 1
( 2) a = b = c ,
x2 y2 z2 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
2
Φ(x, y) ≡ a11x + 2a12xy + a22 y
a11 a12 a13 A = a12 a22 a23 a a a 13 23 33
在平面上，双曲线有渐进线。 在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，单叶双曲面和 相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 渐进锥面。 有渐进锥面。 去截它们， 用z=h去截它们，当|h|无限增大 时， 双曲面的截口椭圆与它的 的截口椭圆与它的渐进锥 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥 的截口椭圆任意接近， 面 的截口椭圆任意接近，即： x 双曲面和锥面任意接近。 双曲面和锥面任意接近。
定义4.3.1 在空间，以一条曲线绕着定直线旋 在空间， 定义 转一周所生成的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面 旋转曲面或称回旋曲面. 转一周所生成的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面.
这条定直线叫旋转曲面的旋转轴． 这条定直线叫旋转曲面的旋转轴． 旋转轴 这条曲线叫旋转曲面的母线． 这条曲线叫旋转曲面的母线． 母线
y
例 卫星接收装置
.
5环面 圆（x − R ) 2 + y 2 = r 2 ( R > r > 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 轴
y
o
r
R
x
5环面 圆（x − R ) 2 + y 2 = r 2 ( R > r > 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 轴 y
o
x
.
z
5环面 圆（x − R ) 2 + y 2 = r 2 ( R > r > 0)
旋转椭球面与椭球面的区别： 旋转椭球面与椭球面的区别： 与平面 z
= z1 (| z1 |< c)的交线为圆 的交线为圆.
2 a2 2 2 x + y 2 = 2 (c − z1 ) . 截面上圆的方程 c z = z 1
( 2) a = b = c ,
x2 y2 z2 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
2
Φ(x, y) ≡ a11x + 2a12xy + a22 y
a11 a12 a13 A = a12 a22 a23 a a a 13 23 33
在平面上，双曲线有渐进线。 在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，单叶双曲面和 相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 渐进锥面。 有渐进锥面。 去截它们， 用z=h去截它们，当|h|无限增大 时， 双曲面的截口椭圆与它的 的截口椭圆与它的渐进锥 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥 的截口椭圆任意接近， 面 的截口椭圆任意接近，即： x 双曲面和锥面任意接近。 双曲面和锥面任意接近。
空间解析几何-第3章-常见的曲面2
把方程的右边都化成1，则左边有两项正，一项负的， 就表示单叶双曲面. 而左边有两项负，一项正的，就表示 双叶双曲面.
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就 表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐 标轴的标注要符合右手系的原则.
1、椭圆抛物面
x2 a2
, 椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b时
截线为双曲线
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b 时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝b 时
x2 Cyh： a2
x2 Czh： a2
y2 b2
h2 c2
1,
z h.
结论：双叶双曲面可看作由 一个椭圆的变动（大小位置 都改变）而产生，该椭圆在 变动中，保持所在平面与 x
xOy 面平行，且两轴的端点
分别在两定双曲线上滑动.
z
o
y
（2）用 y t截曲面
把方程的左边都化成两项正，一项负，则右边是1的就 表示单叶双曲面，而右边是－1的，就表示双叶双曲面.
2°绘图时要注意区分“实轴”和“虚轴”，并且保证对坐 标轴的标注要符合右手系的原则.
1、椭圆抛物面
x2 a2
, 椭圆
z h.
O
结论：单叶双曲面可看作由一
个椭圆的变动（大小位置都改
x
y
变）而产生，该椭圆在变动中，
保持所在平面与xOy 面平行，
且两对顶点分别在两定双曲线
上滑动.
用平行于坐标面的平面截割
z
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
1
h2 b2
，
y h.
①当 h b时
截线为双曲线
o
y
用平行于坐标面的平面截割
(2)用y = h 截曲面
x2 Cyh： a2
z2 c2
0，
y h.
③当 h ＝b 时
截线为直线
(0 , b , 0)
单叶双曲面： x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
用y = h 截曲面
①当 h b 时
②当 h b 时
③当 h ＝b 时
x2 Cyh： a2
x2 Czh： a2
y2 b2
h2 c2
1,
z h.
结论：双叶双曲面可看作由 一个椭圆的变动（大小位置 都改变）而产生，该椭圆在 变动中，保持所在平面与 x
xOy 面平行，且两轴的端点
分别在两定双曲线上滑动.
z
o
y
（2）用 y t截曲面
单双叶双曲面
得中心在原点的双曲线.
x2 z2 2 2 1 a c y 0
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z 轴相合.
（3）用坐标面 yoz ( x 0)，与曲面相截
均可得双曲线.
单叶双曲面图形
z
o x
y
二、 双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
双叶双曲面 z
§4.5 双曲面 一、单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 单叶双曲面 2 a b c
（1）用坐标面 xoy ( z 0) 与
曲面相截截得中心在原点
O(0,0,0) 的椭圆
2 y2 x2 2 1 a b z 0
与平面 z z1 的交线为椭圆.
2 x2 y2 z1 2 2 1 2 当 z1 变动时，这种椭 b c a 圆的中心都在 z 轴上. z z 1 （2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
o x
y
双曲面及其渐进锥面
x y z 双叶： 2 2 2 1 a b c x2 y2 z2 渐进锥面： 2 2 2 0 a b c x2 y2 z2 单叶： 2 2 2 1 a b c
在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 有渐进锥面。 用z=h去截它们，当|h|无限增大 时， 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥 面 的截口椭圆任意接近，即： x 双曲面和锥面任意接近。
x2 z2 2 2 1 a c y 0
实轴与 x 轴相合， 虚轴与 z 轴相合.
（3）用坐标面 yoz ( x 0)，与曲面相截
均可得双曲线.
单叶双曲面图形
z
o x
y
二、 双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
双叶双曲面 z
§4.5 双曲面 一、单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 单叶双曲面 2 a b c
（1）用坐标面 xoy ( z 0) 与
曲面相截截得中心在原点
O(0,0,0) 的椭圆
2 y2 x2 2 1 a b z 0
与平面 z z1 的交线为椭圆.
2 x2 y2 z1 2 2 1 2 当 z1 变动时，这种椭 b c a 圆的中心都在 z 轴上. z z 1 （2）用坐标面 xoz ( y 0)与曲面相截
o x
y
双曲面及其渐进锥面
x y z 双叶： 2 2 2 1 a b c x2 y2 z2 渐进锥面： 2 2 2 0 a b c x2 y2 z2 单叶： 2 2 2 1 a b c
在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 有渐进锥面。 用z=h去截它们，当|h|无限增大 时， 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥 面 的截口椭圆任意接近，即： x 双曲面和锥面任意接近。