《三角形的证明》优质复习PPT课件
北师大版八年级下册数学《直角三角形》三角形的证明教学说课研讨课件复习(第2课时)
6.如图所示,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE是一条 角平分线,AD,BE相交于点
求∠BAD的度数.
解:∵AD是BC边上的高,∠E
7.如图是一个机器零件的示意图,∠ACD=90°是衡量这个零件合格的 一项指标.现测得AB=4 cm,BC=3 cm,AD=13 cm,CD=12 cm, ∠ABC=90°,根据这些条件,能否得出∠ACD等于90°?请说明理由. 解:能.理由:在R ∵AB=4 cm,BC=3 cm,∠ABC=90°, ∴AC= 32＋42 =5(cm). 在△ACD中,∵AD=13 cm,CD=12 cm,AC=5 cm, ∴AD2=169,CD2+AC2=169, ∴AD2=CD2+AC2,∴∠ACD=90°.
BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，CF＝AE，BC＝DA.
求证：R
解：在R ∴R ∴DC＝BA 又∵BE⊥AC，DF⊥AC ∴∠AEB＝∠CFD＝90° 在R ∴R
DA＝BC， AC＝CA，
AB＝CD， AE＝CF，
课堂检测，巩固新知
1.下列各选项中的两个直角三角形不一定全等的是( B )
A．两条直角边对应相等的两个直角三角形
北师大版 八年级下册
第一章 三角形的证明
直角三角形（第2课时）
前言
学习目标
1.掌握“斜边、直角边( 2.能初步应用“斜边、直角边”条件判定两个直角三角形全等． 3.能用尺规解决“已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形”的问题．
学习重点
掌握判定直角三角形全等的条件，并能运用直角三角形全等解决一些简单的实际问题.
例题讲解
例2 已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm， BC边上的中线AD＝12cm. 求证：AB＝AC.
《三角形的证明》全章复习与巩固--知识讲解(基础)
《三角形的证明》全章复习与巩固（基础）知识梳理【要点】要点一、等腰三角形1.三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等.判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.2.等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）3.等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形.4.含30°的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：等边三角形是中考中常考的知识点，并且有关它的计算也很常见，因此对于等边三角形的特殊数据要熟记于心，比如边长为a的等边三角形它的高是32a，面积是234；含有30°的直角三角形揭示了三角形中边与角的关系，打破了以往那种只有角或边的关系，同时也为我们学习三角函数奠定了基础.要点二、直角三角形1.勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方.逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.2.命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3.直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）.要点诠释：①勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”.②直角三角形的全等判定方法，还有SSS,SAS,ASA,AAS,HL一共有5种判定方法.要点三、线段的垂直平分线1.线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.2.三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②利用线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.要点四、角平分线1.角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.2.三角形三条角平分线的性质定理性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.3.如何用尺规作图法作出角平分线要点诠释：①注意区分角平分线性质定理和判定定理,注意二者的应用范围；②几何语言的表述，这也是证明线段相等的一种重要的方法.遇到角平分线时，要构造全等三角形.【典型例题】类型一、三角形的证明1. 已知：点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF=CE．求证：△ABC是等腰三角形．【思路点拨】欲证△ABC 是等腰三角形，又已知DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，BF=CE ，可利用三角形中两内角相等来证明．【答案与解析】证明：∵D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∵DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，∴△BDF 与△CDE 为直角三角形，在Rt △BDF 和Rt △CDE 中，,BF CE BD CD=⎧⎨=⎩ ∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ），∴∠B=∠C ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形．【总结升华】考查等腰三角形的判定方法及全等三角形的判定及性质；充分利用条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．举一反三：【变式1】（2015秋•江阴市校级期中）已知：如图，△AMN 的周长为18，∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，过O 点的直线MN ∥BC 交AB 、AC 于点M 、N ．求AB+AC 的值．【答案】解：∵MN ∥BC ，∴∠BOM=∠OBC ，∠CON=∠OCB ，∵∠B ，∠C 的平分线相交于点O ，∴∠MBO=∠OBC ，∠NCO=∠OCB ，∴∠MBO=∠BOM ，∠NCO=∠CON ，∴BM=OM ，CN=ON ，∵△AMN 的周长为18，∴AM+MN+AN=AM+OM+ON+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC=18．【变式2】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 在BC 上，且AD=AE ，求证：BD=CE ．【答案】证明：∵AB=AC ，AD=AE ，∴∠B=∠C ，∠ADE=∠AED ，∵∠ADE=∠B+∠BAD ，∠AED=∠C+∠EAC ，∴∠BAD=∠CAE ，∵AB=AC ，AD=AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴ BD=CE ．类型二、直角三角形2. 如图，已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，沿过B 点的一条直线BE 折叠这个三角形，使C 点与AB 边上的一点D 重合．（1）当∠A 满足什么条件时，点D 恰为AB 的中点写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D 为AB 的中点；（2）在（1）的条件下，若DE=1，求△ABC 的面积．【思路点拨】（1）根据折叠的性质：△BCE ≌△BDE ，BC=BD ，当点D 恰为AB 的重点时，AB=2BD=2BC ，又∠C=90°，故∠A=30°；当添加条件∠A=30°时，由折叠性质知：∠EBD=∠EBC=30°，又∠A=30°且ED ⊥AB ，可证D 为AB 的中点；（2）在Rt △ADE 中，根据∠A 及ED 的值，可将AE 、AD 的值求出，又D 为AB 的中点，可得AB 的长度，在Rt △ABC 中，根据AB 、∠A 的值，可将AC 和BC 的值求出，代入S △ABC =AC ×BC 进行求解即可．【答案与解析】解：（1）添加条件是∠A=30°．证明：∵∠A=30°，∠C=90°，所以∠CBA=60°，∵C 点折叠后与AB 边上的一点D 重合，∴BE 平分∠CBD ，∠BDE=90°，∴∠EBD=30°，∴∠EBD=∠EAB ，所以EB=EA ；∵ED 为△EAB 的高线，所以ED 也是等腰△EBA 的中线，∴D 为AB 中点．（2）∵DE=1，ED ⊥AB ，∠A=30°，∴AE=2．在Rt △ADE 中，根据勾股定理，得22213-=∴AB=23，∵∠A=30°，∠C=90°，∴BC=12AB=3． 在Rt △ABC 中，AC=22AB BC -=3，∴S △ABC =12×AC ×BC=332． 【总结升华】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3. 小林在课堂上探索出只用三角尺作角平分线的一种方法：如图，在已知∠AOB 的两边上分别取点M ，N ，使OM=ON ，再过点M 作OB 的垂线，过点N 作OA 的垂线，垂足分别为C 、D ，两垂线交于点P ，那么射线OP 就是∠AOB 的平分线．老师当场肯定他的作法，并且表扬他的创新．但是小林不知道这是为什么．①你能说明这样做的理由吗？也就是说，你能证明OP 就是∠AOB 的平分线吗？②请你只用三角板设法作出图∠AOB 的平分线，并说明你的作图方法或设计思路．【思路点拨】①在Rt △OCM 与Rt △ODN 中，依据ASA 得出OC=OD;在Rt △OCP 与Rt △ODP 中，因为OP=OP ，OC=OD 得出Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），所以∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ． ②可作出两个直角三角形，利用HL 定理证明两角所在的三角形全等．【答案与解析】①证明：在Rt △OCM 和Rt △ODN 中，COM DON OCM ODN OM ON ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OCM ≌△ODN （AAS ），∴OC=OD ，在△OCP 与△ODP 中，∵,OC OD OP OP=⎧⎨=⎩∴Rt △OCP ≌Rt △ODP （HL ），∴∠COP=∠DOP ，即OP 平分∠AOB ；②解：①利用刻度尺在∠AOB 的两边上分别取OC=OD ；②过C ，D 分别作OA ，OB 的垂线，两垂线交于点E ；③作射线OE ，OE 就是所求的角平分线．∵CE ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE=∠ODE=90°，在Rt△OCE与Rt△ODE中，∵OC OD OE OE=⎧⎨=⎩，∴Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），∴∠EOC=∠EOD，∴OE为∠AOB的角平分线．【总结升华】主要考查了直角三角形的判定，利用全等三角形的性质得出∠EOC=∠EOD是解题关键．类型三、线段垂直平分线4.（2015秋•麻城市校级期中）如图所示：在△ABC中，AB＞BC，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，垂足为D，交AC于E．（1）若∠ABE=50°，求∠EBC的度数；（2）若△ABC的周长为41cm，边长为15cm，△BCE的周长．【思路点拨】（1）由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，继而求得∠A的度数，又由AB=AC，即可求得∠ABC的度数，则可求得答案；（2）由△BCE的周长=AC+BC，然后分别从腰等于15cm与底边等于15cm去分析求解即可求得答案．【答案与解析】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=50°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=65°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=15°；（2）∵AE=BE，∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC；∵△ABC的周长为41cm，∴AB+AC+BC=41cm，若AB=AC=15cm，则BC=11cm，则△BCE的周长为：15+11=26cm；若BC=15cm，则AC=AB=13cm，∵AB＞BC，∴不符合题意，舍去．∴△BCE的周长为26cm．【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF的理由．【答案】解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF．类型四、角平分线5. 如图，在△ABC中，∠BAC=80°，延长BC到D，使AC=CD，且∠ADB=20°，DE平分∠ADB交AC于F，交AB于E，连接CE，求∠CED的度数．【思路点拨】作EG⊥DA，EH⊥BD，EP⊥AC，根据角平分线的性质得到EG=EH，根据△EGA≌△EPA，得出∠ECB，就可以得到∠CED的度数．【答案与解析】证明：作EG⊥DA交DA的延长线于G，再作EH⊥BD，EP⊥AC，垂足分别为H，P，则EG=EH ∵∠ADC=20°，AC=CD，∴∠CAD=20°，而∠BAC=80°，∴∠GAE=180°﹣20°﹣80°=80°，∴Rt△EGA≌Rt△EPA，∴EG=EP∴EP=EH，∴∠ECB=∠ECA=12∠BCA=12×40°=20°∴∠CED=∠BCE﹣∠BDE=20°﹣10°=10°【总结升华】主要考查了角平分线的性质定理及逆定理、三角形全等的性质和判定；做题中两次用到角平分线的知识是正确解答本题的关键．举一反三：【变式】如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A．1处B．2处 C．3处 D．4处【答案】D．解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．。
《三角形的认识》课件
建筑中的三角形应用
屋顶结构
许多建筑的屋顶采用三角形的设 计，以提供更好的承重和稳定性
。
钢架结构
在建筑中，钢架结构经常采用三角 形的设计，以增强结构的强度和稳 定性。
桥梁支撑
桥梁的支撑结构经常采用三角形的 设计，以分散重量并增强稳定性。
数学中的三角形应用
勾股定理
勾股定理是三角形的一个重要性 质，它描述了直角三角形三边的
《三角形的认识》 ppt课件
REPORTING
• 三角形的定义与性质 • 三角形的分类 • 三角形的面积与周长 • 三角形的应用 • 三角形的证明与定理
目录
PART 01
三角形的定义与性质
REPORTING
三角形的定义
总结词
三角形是由三条边和三个角构成 的平面图形。
详细描述
三角形是最简单的多边形之一， 由不在同一直线上的三条线段首 尾顺次连接形成的平面图形。
详细描述
三角形的边与角之间存在密切的关系，如等腰三角形的两腰相等，且对应的两个 底角也相等；直角三角形中有一个角为90度，且斜边与直角边的关系满足勾股定 理等。这些关系是三角形的重要性质，有助于解决各种几何问题。
PART 02
三角形的分类
REPORTING
按角度分类
01
02
03
锐角三角形
三个角都小于90度的三角 形。
边边边（SSS）证明方法
如果两个三角形有三条边分别相等，则这两 个三角形全等。
边角边（SAS）证明方法
如果两个三角形有两条边和夹角分别相等， 则这两个三角形全等。
角角边（AAS）证明方法
如果两个三角形有两个角和一条非夹角边分 别相等，则这两个三角形全等。
《三角形内角和定理的证明》证明PPT课件 (共18张PPT)
C
这里的结论,以后可以直接运用.
随堂练习P208
☞
A
我是最 棒的
1.直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个 内角是多少度?请证明你的结论. A
B A D E C
C
B
C
B
已知:如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=600, ∠C=700. 求证： ∠ADE=500.. 结论: 直角三角形的两个锐角互余.以后可以直接 运用.
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挫折的名言 1、 我觉得坦途在前，人又何必因为一点小障碍而不走路呢？——鲁迅 2、 “不耻最后”。即使慢，弛而不息，纵会落后，纵会失败，但一定可以达到他所向的目标。——鲁迅 3、 故天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能。 战胜挫折的名言 1、卓越的人一大优点是：在不利与艰难的遭遇里百折不饶。——贝多芬 2、每一种挫折或不利的突变，是带着同样或较大的有利的种子。——爱默生 3、我以为挫折、磨难是锻炼意志、增强能力的好机会。——邹韬奋 4、斗争是掌握本领的学校，挫折是通向真理的桥梁。——歌德 激励自己的座右铭 1、 请记得，好朋友的定义是：你混的好，她打心眼里为你开心；你混的不好，她由衷的为你着急。 2、 要有梦想，即使遥远。 3、 努力爱一个人。付出，不一定会有收获；不付出，却一定不会有收获，不要奢望出现奇迹。 4、 承诺是一件美好的事情，但美好的东西往往不会变为现实。 工作座右铭 1、 不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。——《荀子劝学》 2、 反省不是去后悔，是为前进铺路。 3、 哭着流泪是怯懦的宣泄，笑着流泪是勇敢的宣言。 4、 路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。——屈原《离骚》 5、 每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的路。 国学经典名句 1、知我者，谓我心忧，不知我者，谓我何求。（诗经王风黍离） 2、人而无仪，不死何为。 （诗经风相鼠） 3、言者无罪，闻者足戒。 （诗经大序） 4、他山之石，可以攻玉。 （诗经小雅鹤鸣） 5、投我以桃，报之以李。 （诗经大雅抑） 6、天作孽，犹可违，自作孽，不可活。（尚书） 7、满招损，谦受益。 （尚书大禹谟） 青春座右铭 1、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 2、把手握紧，什么也没有；把手伸开，你就拥有了一切。 3、不在打击面前退缩，不在困难面前屈服，不在挫折面前低头，不在失败面前却步。勇敢前进！ 4、当你能飞的时候就不要放弃飞。 5、当你能梦的时候就不要放弃梦。 激励向上人生格言 1、实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。 2、世界会向那些有目标和远见的人让路。 3、为了不让生活留下遗憾和后悔，我们应该尽可能抓住一切改变生活的机会。 4、无论你觉得自己多么的不幸，永远有人比你更加不幸。 5、无论你觉得自己多么的了不起，也永远有人比你更强。 6、打击与挫败是成功的踏脚石，而不是绊脚石。 激励自己的名言 1、忍别人所不能忍的痛，吃别人所别人所不能吃的苦，是为了收获得不到的收获。 2、销售是从被别人拒绝开始的。 3、好咖啡要和朋友一起品尝，好机会也要和朋友一起分享。 4、生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。 5、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。 6、有识有胆，有胆有识，知识与胆量是互相促进的。 7、体育锻炼可以（有时可以迅速）使人乐观（科学实验证明）。 8、勤奋，机会，乐观是成功的三要素。（注意：传统观念认为勤奋和机会是成功的要素，但是经过统计学和成功人士的分析得出，乐观是成功的第三要素） 9、自信是人格的核心。 10、获得的成功越大，就越令人高兴。
《等腰三角形》三角形的证明PPT课件(第3课时)
课堂检测，巩固新知
1.用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于45°”时，首先应该假
设这个三角形中( D )
A．有一个内角小于45° B．每一个内角都小于45° C．有一个内角大于等于45° D．每一个内角都大于等于45° 2．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，过点O作BC的平行线与AB ，AC分别相交于点M，N.若AB＝5，AC＝6，求△AMN的周长．
证明：∵∠BAC＝75°，∠ACB＝35° ∴∠ABC＝180°－∠BAC－∠ACB＝70° ∵BD平分∠ABC ∴∠DBC＝∠ABC＝35° ∴∠DBC＝∠ACB＝35° ∴DB＝DC ∴△BCD为等腰三角形
开放训练，体现应用
变式训练2 如图，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC 的平分线BD交边ຫໍສະໝຸດ C于点D.求证：△BCD为等腰三角形．
AB＝DC，
证明：在△ABD和△DCA中，BD＝CA，
AD＝DA，
∴△ABD≌△DCA(SSS) ∴∠ADB＝∠DAC ∴EA＝ED ∴△AED是等腰三角形
开放训练，体现应用
例2 (教材第9页例3)用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．
已知：△ABC. 求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角．
相等，要么不相等．假设AB＝AC，那么根据“等边对等角”
论坛 ：
定理可得∠C＝∠B，但这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因
www. 1ppt.
此AB≠AC.
cn
反证法概念：P先PT假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件 相矛盾的结果课，件从而证明命题的结论一定成立．我们把这种方法叫做反证法．
即“等角对等边”．
八年级 下册 数学 PPT课件 精品课件 第一章 三角形的证明 直角三角形(一)
范例讲解 例2、写出命题“如果两个有理数相等，那么它 们的平方相等”的逆命题，这两个命题都是真命 题吗？ 解：其逆命题为“如果两个有理数的平方相等，
那么这两个有理数也相等” 原命题是真命题，而逆命题是假命题 训练题:写出下列命题的逆命题，并判断它们是真 命题还是假命题。 （1）两直线平行，同旁内角相等。 （2）如果a是偶数，b是偶数，那么a+b是偶数。 （3）在直角三角形中，如果一个锐角等于30˚，那 么它所对的直角边等于斜边的一半。 （4）等腰三角形的两腰相等。
∴这个三角形不是直角三角形
∴没有与60m长的南北边线垂直的边线
∴没有一条边线为东西向
ⅳ、观察下面两个命题：
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方。
如果一个三角形两边的平方和等于第三边的 平方，那么这个三角形是直角三角形。
它们的条件和结论之间有什么关系？
合作交流 ⅴ、观察下面三组命题：
如果两个角是对顶角，那么它们相等， 如果两个角相等，那么它们是对顶角； 如果小明患了肺炎，那么他一定发烧， 如果小明发烧，那么他一定患了肺炎；
说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假:
(1)四边形是多边形； (2)两直线平行，同旁内角互补； (3)如果ab=0，那么a=0 b=0
解：(1)多边形是四边形．原命题是真命题， 而逆命题是假命题．
(2)同旁内角互补，两直线平行． 原命题与逆命题同为真命题．
(3)如果a=0，b=0，那么ab=0． 原命题是假命题，而逆命题
是真命题．
1.（钦州·中考）如图是一张直角三角形的纸片， 两直角边AC＝6 cm，BC＝8 cm，现将△ABC折叠， 使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ） （A）4 cm （B）5 cm
北师大版八年级数学下册《线段的垂直平分线》三角形的证明PPT课件(第2课时)
实践探究，交流新知
解：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，能作出三角形，并且能作出无 数多个，如图所示． (2)已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的等腰三角形也有 无数多个． (3)如果等腰三角形的底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应该只有 两个，它们是全等的，且分别位于已知底边的两侧，如图所示．
北师大版 八年级下册 第一章 三角形的证明
线段的垂直平分线（第2课时 ）
前言
学习目标
1.会证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，并 解决相关的问题． 2.会用尺规作已知线段的垂直平分线，培养尺规作图的技能．
学习重点
掌握三角形三条边的垂直平分线的性质，能利用尺规作出符合条件的三角形.
(1)教材第26页随堂练习． (2)教材第26页习题1.8第1，2题.
同学们， 下课！
． 39°
3．如图，在△ABC中，∠BAC是钝角． (1)画出边BC上的中线AD； (2)画出边BC上的高AH.
第1题
第2题
第3题
课堂小结，整体感知
1.课堂小结：请同学们回顾本节课所学的内容，有哪些收获？ （1）三角形三条边的垂直平分线的性质 （2）尺规作线段的垂直平分线、等腰三角形
2.布置作业：
学习难点
三角形三条边的垂直平分线性质的证明及应用.
创设情境，导入新课
1.问题提出： 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，当作图完成后你发现了什么？ 2.问题探究： ①三角形三边的垂直平分线交于一点； ②这一点到三角形三个顶点的距离相等．
创设情境，导入新课
3.问题解决： 如图，剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂直平分线，观察这 三条垂直平分线，上述结论是否成立？ 4.问题思考： 以上结论都是通过眼睛观察得到的，那么该结论一定成立吗？我们还需 运用已学过的公理和定理进行推理证明，这样，此发现才更有意义．
三角形的证明复习课PPT课件
∴AB=A1B1，∠B=∠B1（全等三角形的对应边、对应角相
等）
图3
∵AD、A1D1分别是△ABC、△A1B1C1的高（已知）
∴∠ADB=∠A1D1B1= 90°. 在△ABC和△A1B1C1中
全等三角形对应边上的中线
∠B=∠B1（已证）
角平分线呢？
∠ADB=∠A1D1B1（已理: 三角形的三条角平分线相交于一点，且
这点到三角形三边的距离相等。
如图,∵AN,CM,BO分别是△ABC的角平分线
PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,
∴AN,BO,CM交于P点, PD=PE=PF.
A
MD P
FO
B
N
C
E
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1、如图S1－8，AD∥BC，点E在线段AB上， ∠ADE＝∠CDE，∠DCE＝∠ECB.
∴△ABC≌△A1B1C（AAS）
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∴AD=A1D1（全等三角形的对应边相等）
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练一练
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2、如图6，已知：∠A＝90°， AB=BD，
ED⊥BC于 D. 求证：AE＝ED
图6 提示：找两个全等三角形，需连结BE.
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知识点一：等腰三角形的性质定理
性质：1、等腰三角形的 两个底角相等，即等边对 等角
求证:BD=CE.
A
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B D FE C
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知识点二、等边三角形性质和判定定理
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性质定理：等边三角形的三条边都相等，
都相三等个，角并且每个角都等于 ；
判定6定0°理：
一个角等于 的
为等边三
角形。
60° 等腰三角形
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逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那 么这个三角形是 直角 三角形．
7．线段的垂直平分线的性质定理及判定定理 性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离 相等 . 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的 垂直平分线 上．
[点拨] 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相 等的所有点的集合．
[注意] 角的平分线是在角的内部的一条射线，所以它的逆 定理必须加上“在角的内部”这个条件．
10．三角形三条角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边 的距离 相等 .
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► 考点一 线段垂直平分线的性质的应用
例1 如图S1－1，在△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E， ∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝____5_0_°__.
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► 考点三 勾股定理的应用 例 3 如图 S1－3，已知圆柱体底面圆的半径为π2，高为 2，
AB，CD 分别是两底面圆的直径，AD，BC 是母线，若一只小虫从 A 点出发，从侧面爬行到 C 点，求小虫爬行的最短路线的长度(结 果保留根号)．
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3．用反证法证明的一般步骤 (1)假设命题的结论不成立； (2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、 已证定理或已知条件相矛盾的结果； (3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 4．等边三角形的判定 (1)有一个角等于60°的 等腰 三角形是等边三角形；
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8．三线共点 三角形三条边的垂直平分线相交于 一点 ，并且这一点到 三角形三个顶点的距离 相等 . 9．角平分线的性质定理及判定定理 性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离 相等 . 判定定理：在一个角的内部，且到角的两边 距离 相等的 点，在这个角的平分线上．
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► 考点二 全等三角形的证明 例2 如图S1－2，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同
一直线上，下面有四个条件，请你从中选三个作为题设，余下的 一个作为结论，写出一个正确的命题，并加以证明．
①AB＝DE，②AC＝DF，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF.
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[解析] 根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的 点 到 线 段 两 端 点 的 距 离 相 等 ， 所 以 EA ＝ EC ， ∠ A ＝ ∠ ACE ＝ 30°，又∠ACB＝80°，故∠BCE＝80°—30°＝50°.
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方法技巧 若题目中出现或经过构造出现线段垂直平分线，注意利用“线 段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”解决问 题．同时，我们在求一些边长、周长或角的度数时，如果能恰当地 运用线段垂直平分线性质，可以大大简化解题过程，同学们在学习 中要注意到这一点！
上册第一章复习 ┃ 考点攻略 解：将圆柱的侧面展开，如图S1－4，圆柱的底面周长为2πr
＝2×π×＝4，取其一半： ×4＝2，圆柱的高为2，根据勾 股定理，得AC2＝22＋22＝8，所以AC＝2 .
图 S1－4
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方法技巧 利用勾股定理解决最短路线问题的实质是解决旋转体的问题， 也是把立体图形转化为平面图形的问题，即将原图形的侧面展开转 化为平面图形问题——即“展曲为平”问题，特别要注意圆柱、圆 锥的侧面展开问题．这种由三维立体和二维平面的相互转化，充分 体现了新课程标准下的素质教育对学生空间想象能力、图形识别能 力、理解能力的要求，是考查空间观念和严谨认真态度的很好题型．
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1．等腰三角形的性质 性质(1)：等腰三角形的两个底角 相等. 性质(2)：等腰三角形顶角的 平分线 、底边上的 中线 、底边 上的高互相重合． 2．等腰三角形的判定 (1)定义：有两条边 相等 的三角形是等腰三角形． (2)等角对等边：有两个角 相等 的三角形是等腰三角形．
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[解析] 这个有趣的问题是勾股定理的典型应用，此问题看上 去是一个曲面上的路线问题，但实际上能通过圆柱的侧面展开而 转化为平面上的路线问题，值得注意的是，在剪开圆柱侧面时， 要从A开始并垂直于AB剪开，这样展开的侧面才是个矩形，才 能得到直角，再利用勾股定理解决此问题．
求证：∠ABC＝∠DEF.
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证明：在△ABC和△DEF中， ∵BE＝CF，∴BC＝EF. 又∵AB＝DE，AC＝DF， ∴△ABC≌△DEF(SSS)． ∴∠ABC＝∠DEF.
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方法技巧 与全等三角形有关的开放型试题形式多样，设计新颖，能培养 同学们的逆向思维能力、创新能力和综合运用知识的能力．解答条 件开放型试题，需要执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条 件．同时要注意挖掘图形中的隐含条件，如对顶角、公共角、公共 边等，然后合理选择全等三角形的知识解决．另外，要注意这类题 的答案往往不唯一，只要合理即可．
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(2)三边相等的三角形叫做等边三角形； (3)三个角相等的三角形是等边三角形； (4)有两个角等于60°的三角形是等边三角形． 5．直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直 角边等于斜边的 一半 . 6．勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方 .
解：答案不惟一，命题一：在△ABC和△DEF中，B，E，C， F在同一直线上，AB＝DE，AC ＝ DF，BE＝CF.求证：∠ABC ＝∠DEF.
命题二：在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一直线上， AB＝DE，∠ABC＝∠DEF，BE＝CF.求证：AC＝DF.
下面证明命题一：
已知：如题图，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F在同一 直线上，AB＝DE，AC ＝ DF，BE＝CF.