上海理工大学2015博士入学线性代数试题
线性代数试题及答案解析
线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。
A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。
A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。
3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。
4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。
A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。
5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。
A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。
6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。
A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。
7. 矩阵A的特征值是（）。
A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。
线性代数试题及答案
线性代数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列矩阵中，哪个是可逆矩阵？A. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)答案：C2. 矩阵\(A\)的行列式为0，那么\(A\)的秩是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A3. 向量\(\vec{a} = (1, 2, 3)\)和向量\(\vec{b} = (4, 5, 6)\)的点积为：A. 14B. 32C. 8D. 22答案：A4. 矩阵\(A\)的转置矩阵记作\(A^T\)，那么\((A^T)^T\)等于：A. \(A^T\)B. \(A\)C. \(A^{-1}\)D. \(A^2\)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 若矩阵\(A\)的行列式为-5，则\(A^{-1}\)的行列式为______。
答案：\(\frac{1}{5}\)2. 矩阵\(A\)的秩为2，那么\(A\)的零空间的维数为\(\_\_\_\_\)。
答案：\(n-2\)（其中n为\(A\)的列数）3. 向量\(\vec{a} = (1, 2)\)和向量\(\vec{b} = (3, 4)\)的叉积为______。
答案：\(-2\)4. 若\(\vec{a} = (1, 0, 0)\)，\(\vec{b} = (0, 1, 0)\)，\(\vec{c} = (0, 0, 1)\)，则\(\vec{a} \times \vec{b} =\_\_\_\_\_\)。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A是：A. 可逆的B. 不可逆的C. 正定的D. 负定的答案：B2. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性相关，则：A. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n = 0 \)B. 所有向量都为零向量C. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n \)是零向量D. 所有向量都为非零向量答案：A3. 矩阵A和B的乘积AB等于零矩阵，则：A. A和B都是零矩阵B. A和B中至少有一个是零矩阵C. A和B的秩之和小于A的列数D. A和B的秩之和小于B的行数答案：C4. 向量组\( \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m \)可以由向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性表示，则：A. m > nB. m ≤ nC. m ≥ nD. m < n答案：B5. 若矩阵A和B合同，则：A. A和B具有相同的行列式B. A和B具有相同的秩C. A和B具有相同的特征值D. A和B具有相同的迹答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 若矩阵A的特征值为λ，则矩阵A^T的特征值为______。
答案：λ2. 若矩阵A可逆，则矩阵A的行列式|A|与矩阵A^-1的行列式|A^-1|满足关系|A^-1|=______。
答案：1/|A|3. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2 \)线性无关，则由这两个向量构成的矩阵的秩为______。
答案：24. 矩阵A的秩为r，则矩阵A的零空间的维数为______。
(完整版)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).（A) 24315 （B) 14325 (C) 41523 （D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). （A ）k (B)k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.（A ） 0 (B ）2-n （C) )!2(-n (D ） )!1(-n4．=0001001001001000( )。
（A) 0 (B ）1- (C) 1 （D) 25。
=0001100000100100( ).（A) 0 (B)1- (C) 1 (D ） 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是（ ).(A) 0 （B)1- (C) 1 （D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D （ ）. （A) 4 （B ） 4- （C ） 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a （ )。
（A ）ka （B)ka - （C ）a k 2 (D ）a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x （ )。
(A) 0 （B)3- (C) 3 (D) 210。
若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ）。
(A ）1- （B)2- （C)3- （D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ).（A)1- （B)2- （C)3- (D ）012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. （ )（A ）1- (B ）2- （C)3- (D)0二、填空题1。
线性代数试题(完整试题与详细答案)
线性代数试题（完整试题与详细答案）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．22．设A 为2阶矩阵，若A 3=3，则=A 2（ ） A ．21 B ．1 C ．34 D ．23．设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =，则=-1C （ ） A ．AB B ．BA C ．11--B AD ．11--A B4．已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ，则=-1*)(A （ ） A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5．向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是（ ） A ．s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B ．s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C ．s ααα,,,21 全是非零向量D ．s ααα,,,21 全是零向量6．设A 为n m ⨯矩阵，则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是（ ）A ．n r =)(AB ．m r =)(AC ．n r <)(AD ．m r <)(A 7．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．AE - C ．A E -- D ．A E -2 8．下列矩阵中不是．．初等矩阵的为（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019．4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ，则二次型Ax x T 的规范形为（ ）A ．232221z z z ++ B ．232221z z z ---C ．232221z z z --D ．232221z z z -+二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线性代数复习题(2015-2016第一学期)
2015-2016第一学期《线性代数》复习题一、填空题1. 排列6573412的逆序数是 ．2. 若122211211=a a a a ，则=160030322211211a a a a 3. 函数()f x = 21112x x xx x---中3x 的系数是 ． 4. 设A 为三阶可逆阵，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1230120011A ，则=*A5. 已知五阶行列式1234532011111112140354321=D ，则=++++4544434241A A A A A 6. 若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是7. 向量α=(2,1,0,2)T -的长度（范数）为8. 把向量α=()T2,2,0,1-单位化得 9. 若向量T k )1,,1(=α与向量T )1,2,1(-=β正交，则=k10. 三阶方阵A 的特征值为1，1-，2，则A ＝ ．11. 若三阶方阵A 的特征多项式为2(1)(1)A E λλλ-=-+-，则A = 12.已知20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似于12B y -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则=x ，=y ． 二、选择题1. 以下等式正确的是( )Ａ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a k d kc b ka Ｂ．d c b a k kdkc kbka = Ｃ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++d c b a d c d b c a Ｄ．ab c d d c ba =2. 4阶行列式det()ij a 中的项11334422a a a a 和24311342a a a a 的符号分别为（ ）Ａ．正、正 Ｂ．正、负Ｃ．负、负 Ｄ．负、正3. 设3阶矩阵A 的行列式等于m ，则A 3的行列式等于( )Ａ.m 3 B.m C. m 9 D. m 274. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是( )Ａ.AC AB = 则 C B = B.0=AB ,则0=A 或0=BC. T T T B A AB =)(D.22))((B A B A B A -=-+5. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则( )Ａ．s r = Ｂ．s r ≤ Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <6．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( )Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <Ｃ．)()(A R B R = Ｄ．)()(A R B R ≥7. 向量组的秩就是向量组的（ ）Ａ．最大无关组中的向量 Ｂ．线性无关组中的向量Ｃ．最大无关组中的向量的个数 Ｄ．线性无关组中的向量的个数8．A 为m n ⨯矩阵，则非齐次线性方程组b Ax =有唯一解的充要条件是 ．(A)(,)R A b m < (B)()R A m <(C)()(,)R A R A b n == (D)()(,)R A R A b n =<9. 设A 是m n ⨯矩阵，且()R A m n =<，则非齐次线性方程组b Ax = ( )Ａ．有无穷多解 Ｂ．有唯一解Ｃ．无解 Ｄ．无法判断解的情况10. 设A 是m n ⨯矩阵，C 是n 阶可逆阵，满足B ＝AC. 若A 和B 的秩分别为A r 和B r ，则有( )Ａ．A B r r > Ｂ．A B r r < Ｃ．A B r r = Ｄ．以上都不正确11. n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 .(A) 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量(B) 矩阵A 有n 个特征值(C) 矩阵A 的行列式0A ≠(D) 矩阵A 的特征方程没有重根三、计算题1. 计算n 阶行列式22221 =D 22222 22322 21222-n n 2222 .2． 设A 为三阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，且21=A ，求*A A 2)3(1--.3. 已知矩阵121210110A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，010210021B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求AB BA -.4．求矩阵的逆（1）111211120A⎛⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭（2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=58234321B5. 讨论λ为何值时，非齐次线性方程组2 1231231231 x x xx x xx x xλλλλλ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩①有唯一解；②有无穷多解；③无解。
线性代数基础试题及答案
线性代数基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵的行列式为0，说明该矩阵是（）。
A. 可逆的B. 不可逆的C. 正交的D. 单位的答案：B2. 向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\)线性无关的充分必要条件是（）。
A. 它们不能表示为其他向量的线性组合B. 它们可以表示为其他向量的线性组合C. 它们中任意一个向量不能表示为其他向量的线性组合D. 它们中任意一个向量可以表示为其他向量的线性组合答案：C3. 对于一个\(n\times n\)矩阵\(A\)，下列说法正确的是（）。
A. \(A\)的行列式为0，则\(A\)不可逆B. \(A\)的行列式不为0，则\(A\)可逆C. \(A\)的行列式为0，则\(A\)可逆D. \(A\)的行列式不为0，则\(A\)不可逆答案：A4. 矩阵\(A\)和\(B\)可以进行矩阵乘法，当且仅当（）。
A. \(A\)的列数等于\(B\)的行数B. \(A\)的行数等于\(B\)的列数C. \(A\)的行数等于\(B\)的行数D. \(A\)的列数等于\(B\)的列数答案：A5. 矩阵\(A\)的秩是指（）。
A. \(A\)中非零行的个数B. \(A\)中非零列的个数C. \(A\)中线性无关行的个数D. \(A\)中线性无关列的个数答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 若矩阵\(A\)的秩为\(r\)，则\(A\)的零空间的维数为\(n-r\)，其中\(n\)是\(A\)的列数。
2. 两个向量\(\alpha\)和\(\beta\)的点积定义为\(\alpha \cdot \beta = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i\)，其中\(a_i\)和\(b_i\)分别是向量\(\alpha\)和\(\beta\)的第\(i\)个分量。
3. 矩阵\(A\)的转置记作\(A^T\)，其元素满足\((A^T)_{ij} =A_{ji}\)。
(完整版)线性代数习题集带答案
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-000100002000010n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001030102112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x ；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211．aa a a a a aa a D ---------=110001100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。