离散时间信号的傅立叶变换(DTFT)-数字信号处理
数字信号处理 第三章
：相位函数（phase function）或相位谱（phase spectrum）
3/29
与连续时间傅立叶变换的关系
X (W) = xa ( t ) =
ò
+¥ -¥
x (t )e - jWt dt
k =-¥
å x(k )d (t - k )
X ( W) =
+¥
ò
+¥ -¥
X * (e j )
1 X cs (e j ) { X (e j ) X * (e j )} 2 1 X ca (e j ) { X (e j ) X * (e j )} 2
xcs [n] xca [n]
X re (e j ) jX im (e j )
16/29
K
lim
X e X e d 0
j K j 2
例：理想低通滤波器 1 0 c H LP e 0 c j c n j c n 1 c jn 1 e e sin c n hLP n e d 2 c 2 jn n jn
10/29
3.1.2 收敛条件（convergence)
如果x[n]的DTFT在种意义上收敛，则称x[n]的傅立叶变换存在
1、一致收敛（uniform convergence） 令X K e j
xne ，一致收敛的定义为 lim X e X e 0
Table 3.4 实序列的离散时间傅立叶变换的对称关系 序列 离散时间傅立叶变换
x[n]
xev [n]
X (e j ) X re (e j ) jX im (e j )
数字信号处理____第二章 离散时间傅里叶变换(DTFT)
DTFT [ x ( n )]
)
1 2
[ X (e
j
) X (e
j
j
n
x (n )e
j n
[
n
x (n )e
j n
] [
*
n
x (n )e
j( )n
]
X (e
*
j
)
满足共轭对称性 共轭反对称函数
x a (t ) X a ( s )
§2.1 三大变换之间的关系
即：
X (z)
ze
sT
X (e
sT
ˆ (s) ) X a
取样信号
ˆ (s) ˆ a (t ) X x a
ˆ (s) X a
ˆ a (t )e x
st
dt
st
x ( n ) x a ( nT )
ˆ (s) 1 X a T
§2.1 三大变换之间的关系
k
X a ( s jk s )
令s=jΩ
ˆ ( j ) X ( e X a
j T
)
1 T
k
X a ( j jk s )
X (e
j
)
1 T
k
X a( j
k 2
d
11
X (e
j
)e
j n
d
非周期离散
12
2
§2.2 离散时间傅里叶变换（DTFT)
§5-6 离散时间傅里叶变换----DTFT
《信号与系统》
Electronic Technology Teaching & Research Section
二、离散时间傅里叶变换的举例
1、单边指数序列 于是
X (e ) =
jω ∞ n = −∞
x ( n)
a>0 0
1 2 3 45
x ( n) = a n u ( n)
− jω n
a <1
n − jωቤተ መጻሕፍቲ ባይዱn
π
《信号与系统》
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于是，我们得到一对变换关系：
X ( e ) = DTFT { x ( n )} =
jω − jω n x ( n ) e -------DTFT变换式 ∑ ∞
n = −∞
π
1 jω jω jωn x(n) = IDTFT{X (e )} = X ( e ) e dω -------DTFT反变换式 ∫ 2π −π
5、奇、偶、虚、实性 设
DTFT x ( n ) = x r ( n ) + jx i ( n ) ←⎯ ⎯→ X ( e jω ) = X R ( ω) + jX I ( ω)
= X ( e jω ) e jϕ ( ω )
当x(n)是实序列，即 则
x(n) = x* (n)
X ( e jω ) = X * ( e − jω )
ω
0
π
2π
ω
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DTFT x ( n ) ← ⎯ ⎯→ X ( e jω ) 例题：设
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
FS,FT,DFS,DTFT,DFT,FFT的联系和区别
FS，FT，DFS，DTFT，DFT，FFT的联系和区别对于初学数字信号处理（DSP）的人来说，这几种变换是最为头疼的，它们是数字信号处理的理论基础，贯穿整个信号的处理。
学习过《高等数学》和《信号与系统》这两门课的朋友，都知道时域上任意连续的周期信号可以分解为无限多个正弦信号之和，在频域上就表示为离散非周期的信号，即时域连续周期对应频域离散非周期的特点，这就是傅里叶级数展开（FS），它用于分析连续周期信号。
FT是傅里叶变换，它主要用于分析连续非周期信号，由于信号是非周期的，它必包含了各种频率的信号，所以具有时域连续非周期对应频域连续非周期的特点。
FS和FT 都是用于连续信号频谱的分析工具，它们都以傅里叶级数理论问基础推导出的。
时域上连续的信号在频域上都有非周期的特点，但对于周期信号和非周期信号又有在频域离散和连续之分。
在自然界中除了存在温度，压力等在时间上连续的信号，还存在一些离散信号，离散信号可经过连续信号采样获得，也有本身就是离散的。
例如，某地区的年降水量或平均增长率等信号，这类信号的时间变量为年，不在整数时间点的信号是没有意义的。
用于离散信号频谱分析的工具包括DFS，DTFT和DFT。
DTFT是离散时间傅里叶变换，它用于离散非周期序列分析，根据连续傅里叶变换要求连续信号在时间上必须可积这一充分必要条件，那么对于离散时间傅里叶变换，用于它之上的离散序列也必须满足在时间轴上级数求和收敛的条件；由于信号是非周期序列，它必包含了各种频率的信号，所以DTFT对离散非周期信号变换后的频谱为连续的，即有时域离散非周期对应频域连续周期的特点。
当离散的信号为周期序列时，严格的讲，离散时间傅里叶变换是不存在的，因为它不满足信号序列绝对级数和收敛（绝对可和）这一傅里叶变换的充要条件，但是采用DFS（离散傅里叶级数）这一分析工具仍然可以对其进行傅里叶分析。
我们知道周期离散信号是由无穷多相同的周期序列在时间轴上组成的，假设周期为N，即每个周期序列都有N个元素，而这样的周期序列有无穷多个，由于无穷多个周期序列都相同，所以可以只取其中一个周期就足以表示整个序列了，这个被抽出来表示整个序列特性的周期称为主值周期，这个序列称为主值序列。
数字信号处理实验三离散时间傅里叶变换DTFT及IDTFT
数字信号处理实验三离散时间傅里叶变换DTFT及IDTFT一、实验目的：(1)通过本实验,加深对DTFT和IDFT的理解;(2)熟悉应用DTFT对典型信号进行频谱分析的方法;(3)掌握用MATLAB进行离散时间傅里叶变换及其逆变换的方法;二、实验内容：1自己生成正弦序列如矩形序列,正弦序列,指数序列等,对其进行频谱分析,观察其时域波形和频域的幅频特性;记录实验中观察到的现象,绘出相应的时域序列和幅频特性曲线;矩形序列：程序：M=10;N=2M+1;T=;n=-4M:4M;x=zeros1,3M,ones1,N,zeros1,3M;w=-15::15+1e-10;X=sinNwT./sinwT;subplot1,3,1;stemn,x,'.';axis-20,20,,,grid onxlabel'n',title'a序列幅度'subplot1,3,2,plotw,X,grid onxlabel'\Omega',title'b幅频特性'subplot1,3,3,plotw,X,grid onv=axis;axis-pi/T,pi/T,v3,v4;xlabel'\Omega',title'c横轴放大后幅频特性' setgcf,'color','w'正弦序列：程序:n=-10:10; x=sinnpi;k=-200:200; w=pi/100k;X=xexp-jpi/100.^n'k; magX=absX;angX=angleX;subplot3,1,1;stemn,x,'.k';title'xn=sinπn';subplot3,1,2;plotw/pi,magX,'.k';title'Xe^jw幅度谱';subplot3,1,3;plotw/pi,angX,'.k';title'Xe^jw相位谱';n=-10:10; x=sinnpi;k=-200:200;w=pi/100k;X=xexp-jpi/100.^n'k;magX=absX;angX=angleX;subplot3,1,1;stemn,x,'.k';title'xn=sinπn';subplot3,1,2;plotw/pi,magX,'.k'; title'Xe^jw幅度谱'; subplot3,1,3;plotw/pi,angX,'.k'; title'Xe^jw相位谱';波形如下:指数序列：程序：n=-5:5;x=.^n;k=-200:200;w=pi/100k;X=xexp-jpi/100.^n'k;magX=absX;angX=angleX;subplot2,1,1;plotw/pi,magX,'k';grid;axis-2,2,0,15xlabel'frequency in units of\pi';ylabel'｜x｜'gtext'Magnitde Part'subplot2,1,2;plotw/pi,angX,'k'/pi,grid;axis-2,2,-4,4xlabel'frequency in units of\pi';ylabel'radians\pi' gtext'Angle Part';2.对于理想的低通,高通滤波器,用IDTFT 求出它的逆变换所对应得离散时间序列;记录实验中观察到的现象,绘出相应的时域序列曲线;要求滤波器的截至频率可由用户在MATLAB 界面自行输入;程序：wc=pi;n=-10:10+1e-10;hd=sinnwc./npi;subplot1,2,1;plot-pi,-wc,-wc,wc,wc,pi,0,0,1,1,0,0xlabel'频率1/秒';ylabel'幅度';axis-pi,pi,,,grid onsubplot1,2,2;stemn,hd,grid onxlabel'n';ylabel'序列';axis-10,10,wc,wcsetgcf,'color','w'三、思考题离散时间信号的频谱分辨率在实验中能体现出来吗实序列的DTFT具有对称性吗若是,如何体现出来答：能,实序列的DTFT具有对称性;离散时间信号的频谱中,频谱分辨率体现在相同的坐标系下面,能表现信号的范围,当表现的范围越大,其分辨率越高。
dtft,dft和z变换的关系
dtft,dft和z变换的关系
DTFT、DFT和Z变换都是信号处理领域中常见的变换方法。
它们可以将时域信号转换为频域信号，或将离散时间域信号转换为复平面上的Z域信号。
虽然它们之间有些区别，但它们的本质都是通过数学方法来描述信号的频域特性。
DTFT是离散时间傅里叶变换的一种形式，可以将一个离散时间域信号转化为连续频域信号。
通过DTFT可以得到一个信号的频谱，从而分析信号的频域特性。
DTFT的公式是一个无限长的求和式，需要对信号进行无限次的积分，因此需要消耗大量的计算资源。
DFT是离散傅里叶变换的一种形式，它可以将一个N点离散时间域信号转化为N点频域信号。
相比于DTFT，DFT的计算量更小，因为它只需要对N个采样点进行有限次的计算。
因此，DFT常常用于实际信号处理中，比如在数字音频中进行频谱分析。
Z变换是一种复变函数的变换，可以将一个离散时间域信号转换为复平面上的Z域信号。
Z变换的主要应用是在数字控制系统和数字滤波器中。
通过Z变换，可以将差分方程转换为代数方程，从而进行系统分析和设计。
Z变换的公式类似于DTFT的无限长求和式，需要进行无限次的积分或求和。
综上所述，DTFT、DFT和Z变换都是信号处理中常用的变换方法，它们可以将时域信号转换为频域信号或复平面上的Z域信号。
虽然它们的应用场景和计算方法略有不同，但它们的本质都是描述信号的频域特性。
数字信号处理第二章z变换与离散时间傅里叶变换DTFT
0 4 Re[z]
x(n)是一个因果序列，即x(n) 0，n 0
同样当n 0时，由F (z)
z n 1
在c外无
(4 z)(z 1/ 4)
极点，且分母阶次比分子阶次高两阶以上，由
围线外极点留数为0可得x(n) 0
当n 0时 F(z)
z n 1
(4 z)(z 1/ 4)
Roc : a < z 1/ a
j Im[z]
零点：z 0, 极点：z a,a1
a
Re[z]
0
1/ a
• 给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列， 只有同时给出收敛域才能唯一确定。
• X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故：
– 右边序列的z变换收敛域一定在模最大 的有限极点所在圆之外
– 左边序列的z变换收敛域一定在模最小 的有限极点所在圆之内
ZT
[a
nu
(n)]
1
1 az
1
za
ZT
[a
nu(n
1)]
1
1 az
1
z 2
2n u(n)
za
1 1 3z1
z 3 3n u(n 1)
xn 2nun 3n un 1
例2 设
1 X (z) (1 2z1)(1 0.5z1) ,
利用部分分式法求z反变换。
解：
z2 X (z)
(z 2)(z 0.5) 4 z 1 z
本章主要内容：
1、z变换的定义及收敛域 2、z变换的反变换 3、z变换的基本性质和定理 4、离散信号的DTFT 5、z变换与DTFT的关系 6、离散系统的z变换法描述
§2.1 z变换的定义及收敛域
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2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
d(n)
1 0
n 0,1, N 1 n为其他值
那么自，然x截N(短n)。=x (n)d (n),实现了对x (n)的 解：先研究d (n)的频谱特点：
D(e j )
N1
d(n )e jn
1
Cn 2
X (e j )e jnd
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
Wiener-khinchin （维纳-辛钦）定理： 若x(n)是功率信号，其自相关函数的定义为：
rx
(m)
1 2N
1
N n
x(n)x(n
N
m)
功率信号x(n)的功率谱 PX (ej)为：
Px (e j )
m
当N→∞时，D(ej) 趋于δ（ω），这时相当于对信
号没有截短。
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
若xN(n)=x (n) d (n) ，那么 XN (ej) X(ej) D(ej) 卷积的结果是 D(ej)的主瓣对 X(ej)起到了“平滑” 的作用，降低了X(ej) 中谱峰的分辨能力。
N1
e jn
1 e jn
e (e jN / 2 jN / 2
e jN / 2 )
n0
n0
1 ej
e j/ 2 (e j/ 2 e j/ 2 )
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
即：
D(e j ) ej(N1) / 2 sin( N / 2) sin( / 2)
记
Dg(e j ) sin( N / 2)
sin( / 2)
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
Dg(ej)可理解为 D(ej)的增益，可正可负，当 ω=0时，Dg(ej) N 当ωN/2=πk时，ω=2πk/N 时，Dg(ej) 0 Dg(ej)在ω=0两边第一个过零点间的 部分称为D(ej) 的主瓣，对矩形窗来说，该主瓣宽 度B=4π/N，主瓣以外部分（|ω|＞2π/N）称为 D(e j )的边瓣，显然，N增大时，主瓣宽度B减小，
1
E(e j ) d
2 n
2
2
信号在时域的总能量等于其频域的总能量，频域 的总能量等于 X(ej) 2 在一个周期内的积分。
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
2.DTFT的反变换公式
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
傅立叶系数展开式为
X(e j ) Cnejn n
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
例：令
X(e
j
)
31
0
0.4 0.4
即 X(ej) 是频域的矩形函数，所以，对应的 x (n) 为 sinc 函数，现对x (n)用矩形窗d（n）， n=0，…30来截短，试分析截短后对x (n)频谱的 影响。
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
解：记 xN(n)=x (n) d (n)
XN (ej) X(ej) D(ej)
从结果可以看出，XN (ej) 在X(ej)原来为零的位置
|ω|＞0．4π）处以不再为零，这是由于不再
零，这是由于 D(ej) 的边瓣所产生的，这种现象称 为频谱的泄露。
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
边瓣越大，且衰减得越慢，泄露就越严重，在频 谱分析中，泄露往往会模糊原来的形状，窗函数 过大的边瓣有可能产生虚假的峰值，这些都是不 希望的。
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
2.2.1 DTFT定义 离散时间序列的傅立叶变换
X(e j ) x(n)ejn n0
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
X(ej) 是ω的连续函数，且是周期的，周期为2π。
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
四种形式的傅立叶变换 1）连续、非周期x（t）
Px
1 2
Px
(e
j
)
d
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
小结：不管x(n)是实信号还是复信号，其功率 谱 始终是ω的实函数，即功率谱失去了相位信 息。
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
2.2.2 信号截短对DTFT的影响 例：将一个n=-∞～+∞的无限长信号x (n) 截短，
X( j) x(t)ejtdt
2）连续、周期x（t）
连续、非周期
X(k0
)
1 T
T / 2 x(t)ejk0tdt
T / 2
离散、非周期
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
3）离散、非周期x（n）
X(e j ) x(n)ejn n0
4）离散、周期
连续、周期
X(k) N1 x个影响是频谱泄露 （leakage）
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
例如：假设x (n)为两个正弦信号之和，那么起频 谱在ω1，ω2处各有一个谱线，若 Dg(ej) 的主瓣宽 度4π/N大于|ω2-ω1|，那么在XN (ej) 中将分辨 不出这两根谱线，这是由于窗函数d（n）过短， 而使其频谱的主瓣过宽，边瓣过大所引起的，若 增加数据长度N，使4π/N＜|ω2 -ω1 |，那么， 这两个谱峰可分辨出。
[ lim N
1N x(n)x(n
2N 1nN
m)]e jm
lim
N
X2N (e j ) 2 2N 1
2.2 离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
此式称为确定性信号的维纳-辛钦定理，它说明功
率信号x(n)的自相关函数和其功率谱是一对傅立
叶变换
x(n)
x2N (n)
0
信号的总功率
n N n N
时域卷积定理：
y(n)=x(n)*h(n) 频域卷积定理：
Y(e j ) X(e j )H(e j )
若 y(n)= x(n) h(n) ，则 Y(ej) X(ej) H(ej)
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
Parseval（巴塞伐）定理：
x 2
2
x(n)
1
2
X(e j ) d
离散、周期
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）
总结：若x在时域是周期的，那么在频域X一定 是离散的，
若x在时域是非周期的，那么X一定是连续的。 第四种变换在时域和频域都是离散的，且都是
周期的，周期都为N点，在计算机上能方便地利 用DFT来实现信号的频谱分析。
2.2离散时间信号的傅立叶变换（DTFT）