SnS-第4章离散时间信号与系统的傅里叶分析(1)
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信号与系统第四章傅里叶变换和系统的频域分析II
a0 f (t ) an cos(nt ) bn sin(nt ) 2 n1 n 1
系数an , bn称为傅里叶系数
T 2 T 2 2 2 an T f (t ) cos(nt ) d t bn T f (t )sin(nt ) d t T 2 T 2
注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性
(4)引入负频率 对于双边频谱，负频率 ( n 1 ) ，只有数学意义，而无 物理意义。为什么引入负频率? f t 是实函数，分解成虚指 数，必须有共轭对
e
j n 1
和e
－j n 1
，才能保证 f ( t )的实函数的性质不变。
第24页
例：周期信号 f(t) = 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单 边频谱图，并求f(t) 的平均功率。 解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
cos( w1t )
T1 4 T1 4
取基波、三次谐 波分量和五次谐 波分量
2E cos(5w1t ) 5
0
E 2
2E
t
cos( w1t )
第6页
从上面例子看出： (1) n愈大，则愈逼近原信号f(t)。
(2) 当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉 冲的跳变沿；低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化 愈剧烈，所含的高频分量愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所 含的低频分量愈丰富。 (3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化 时，输出波形一般要发生失真。
2 4 3
4
3
3
所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T2= π/12 2 1 11 37 根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P= 1 1
系数an , bn称为傅里叶系数
T 2 T 2 2 2 an T f (t ) cos(nt ) d t bn T f (t )sin(nt ) d t T 2 T 2
注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性
(4)引入负频率 对于双边频谱，负频率 ( n 1 ) ，只有数学意义，而无 物理意义。为什么引入负频率? f t 是实函数，分解成虚指 数，必须有共轭对
e
j n 1
和e
－j n 1
，才能保证 f ( t )的实函数的性质不变。
第24页
例：周期信号 f(t) = 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率Ω，画出它的单 边频谱图，并求f(t) 的平均功率。 解 首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即
cos( w1t )
T1 4 T1 4
取基波、三次谐 波分量和五次谐 波分量
2E cos(5w1t ) 5
0
E 2
2E
t
cos( w1t )
第6页
从上面例子看出： (1) n愈大，则愈逼近原信号f(t)。
(2) 当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉 冲的跳变沿；低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化 愈剧烈，所含的高频分量愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所 含的低频分量愈丰富。 (3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化 时，输出波形一般要发生失真。
2 4 3
4
3
3
所以f(t)的周期T = 24，基波角频率Ω=2π/T2= π/12 2 1 11 37 根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P= 1 1
第四章傅里叶变换和系统的频域分析
第四章 傅里叶变换与系统的频域分析
Chapter4
本章要点
F 信号表示为正交函数集 F 周期信号的傅里叶级数 F 周期信号的频谱 F 非周期信号的傅里叶变换 F 傅立叶变换的性质 F 能量谱与功率谱 F 周期信号的傅里叶变换 F 连续时间系统的频域分析 F 取样定理
引言
时域分析： 1）以冲激函数为基本信号。 2）任意输入信号可分解为一系列冲激函数。 3）yzs(t) = h(t)*f(t)。 频域分析： 1）正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号。 2）任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或 虚指数信号之和。 用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n1 2
上式中第三项的n用–n代换，A– n=An，– n= – n，则
A0 1 1 j n jn t An e e An e j n e jn t 2 2 n1 2 n1 1 f (t ) An e j n e jnt 2 n
T f ( t ) f ( t )，半周重叠（偶谐函数 ） 无奇次谐波，只有直流 和偶次谐波 2
F F
f (t ) f (t
T 谐波分量 )， 半 周 镜 像 （ 奇 谐 函 数 ） 无偶次谐波，只有奇次 2
例、有一偶谐函数，其 波形如图所示，
f (t )
E
求其傅立叶展开式
解:
An
E
E 2
3T 2 T bn ( 4 E sin n1tdt T 4 E sin n1tdt) T 0 2
E 3
61
0
21
41
E n 3n (cos 1 cos cos n ) n 2 2 0 n为奇数 E (1 cos n ) n 2E n为偶数 n
Chapter4
本章要点
F 信号表示为正交函数集 F 周期信号的傅里叶级数 F 周期信号的频谱 F 非周期信号的傅里叶变换 F 傅立叶变换的性质 F 能量谱与功率谱 F 周期信号的傅里叶变换 F 连续时间系统的频域分析 F 取样定理
引言
时域分析： 1）以冲激函数为基本信号。 2）任意输入信号可分解为一系列冲激函数。 3）yzs(t) = h(t)*f(t)。 频域分析： 1）正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号。 2）任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或 虚指数信号之和。 用于系统分析的独立变量是频率。故称为频域分析。
A0 An j ( nt n ) j ( nt n ) [e e ] 2 n1 2
上式中第三项的n用–n代换，A– n=An，– n= – n，则
A0 1 1 j n jn t An e e An e j n e jn t 2 2 n1 2 n1 1 f (t ) An e j n e jnt 2 n
T f ( t ) f ( t )，半周重叠（偶谐函数 ） 无奇次谐波，只有直流 和偶次谐波 2
F F
f (t ) f (t
T 谐波分量 )， 半 周 镜 像 （ 奇 谐 函 数 ） 无偶次谐波，只有奇次 2
例、有一偶谐函数，其 波形如图所示，
f (t )
E
求其傅立叶展开式
解:
An
E
E 2
3T 2 T bn ( 4 E sin n1tdt T 4 E sin n1tdt) T 0 2
E 3
61
0
21
41
E n 3n (cos 1 cos cos n ) n 2 2 0 n为奇数 E (1 cos n ) n 2E n为偶数 n
信号与系统(乙)第4章 离散时间信号与系统的频域分析
定义一函数:
X (e ) x[n]e jn
j n
由于 e
j ( 2 ) n
e jn ,
所以该函数是周期信号，基波周期为 2 。
从而有
jk 1 1 jk 0 a k X (e ) X (e N ) N N
2
~ x [ n]
k N
N
当 k 0, N , 2 N , 时 a k
2 N1 1 N
(c) N=40
Matlab: 计算离散傅里叶系数
【例4.18】序列x[n]如图所示，试求其离散傅里叶系数 ak
Matlab: 计算离散傅里叶系数
应该注意的是，在Matlab中，数组的第一维的标号是1，因此 上述代码中的a(1)实际上是离散傅里叶系数中的a0，而a(2)是 a1，依此类推。结果如下：
l
n N
x[n]e
jl (
2 )n N
1 ak N
1 x[n] [n] N n N
k
n N
x[n]e
jk (
2 )n N
4.2 离散时间傅里叶级数
离散时间信号及其傅里叶级数:
Fs x[n] ak
其中：
x[n]
k N
N
当 k 0, N , 2 N , 时 a k
2 N1 1 N
(a) N=10
例4.2
化简得
1 ak N sin[ 2 1 ( N1 )k ] 1 sin[(2 N1 1) / 2] N 2 2 sin(k / N ) N sin / 2 k
x[n]
k N
akk [n]
X (e ) x[n]e jn
j n
由于 e
j ( 2 ) n
e jn ,
所以该函数是周期信号，基波周期为 2 。
从而有
jk 1 1 jk 0 a k X (e ) X (e N ) N N
2
~ x [ n]
k N
N
当 k 0, N , 2 N , 时 a k
2 N1 1 N
(c) N=40
Matlab: 计算离散傅里叶系数
【例4.18】序列x[n]如图所示，试求其离散傅里叶系数 ak
Matlab: 计算离散傅里叶系数
应该注意的是，在Matlab中，数组的第一维的标号是1，因此 上述代码中的a(1)实际上是离散傅里叶系数中的a0，而a(2)是 a1，依此类推。结果如下：
l
n N
x[n]e
jl (
2 )n N
1 ak N
1 x[n] [n] N n N
k
n N
x[n]e
jk (
2 )n N
4.2 离散时间傅里叶级数
离散时间信号及其傅里叶级数:
Fs x[n] ak
其中：
x[n]
k N
N
当 k 0, N , 2 N , 时 a k
2 N1 1 N
(a) N=10
例4.2
化简得
1 ak N sin[ 2 1 ( N1 )k ] 1 sin[(2 N1 1) / 2] N 2 2 sin(k / N ) N sin / 2 k
x[n]
k N
akk [n]
信号与系统第四章1
0<t<1 1< t < 2
1
2
4.5
思考题4.4 思考题4.4
20
4.5 周期信号的频谱与功率谱
一.频谱 频谱
辐频 Ak ~ kω 0 关系
相频 θ k ~ k ω 0 关系
x ( t ) = c 0 + 2 ∑ Ak cos( k ω 0 t + θ k )
k =1
∞
---三角函数形式 三角函数形式
2 2 Ak = Bk + Dk
tgθ k = Dk / Bk
− Dk = − I m {ck }, k > 0
11
复指数——> 正余弦的转换： 正余弦的转换： 复指数
B k = Re {ck }
4.4 波形对称性与傅里叶系数
1.偶对称：x(t)=x(-t) 偶对称： 偶对称
− 2 Dk = 0
4 2 Bk = T0
8
将这两者相加， 式中基波角频率 ω 0 = 2π / T0 。将这两者相加，即 为所求x(t)的傅里叶级数。所以 的傅里叶级数。 为所求 的傅里叶级数
x( t ) = Ev{ x( t )} + Od { x( t )}
4 8 = sinω0 t − 2 cosω0 t + sin3ω0 t − 2 cos3ω0 t π π 3π 9π
第 四 章
连续时间傅立叶变换 连续时间信号的谱分析和 --频分析 时--频分析
1
4.1引言 引言 4.2复指数函数的正交性 复指数函数的正交性 4.3周期信号的表示：连续时间傅里叶级数 周期信号的表示： 周期信号的表示 4.4波形对称性与傅立叶系数 波形对称性与傅立叶系数 4.5周期信号的频谱与功率谱 周期信号的频谱与功率谱 4.6傅里叶级数的收敛性 吉伯斯现象 傅里叶级数的收敛性 4.7非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换 非周期信号的表示： 非周期信号的表示 4.8傅里叶级数与傅里叶变换的关系 傅里叶级数与傅里叶变换的关系 4.9连续时间傅里叶变换的性质与应用 连续时间傅里叶变换的性质与应用 4.10卷积定理及其应用 卷积定理及其应用 4.11相关 相关 4.12能量谱密度与功率谱密度 能量谱密度与功率谱密度 4.13信号的时 频分析和小波分析简介 信号的时---频分析和小波分析简介 信号的时
信号与系统 -第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
A2cos(2 t+ 2)称为二次谐波，它的频率是基波的2倍； 一般而言，Ancos(n t+ n)称为n次谐波。
第4-13页
■
信号与系统电子教案
4.2 傅里叶级
例1：将图示方波信号f(t)展开为数傅里叶级数。
f (t)
1
T T 0 T T 3T
t
2 1 2
2
解：f (t)为T 3, 2 / T 2 / 3的周期信号，傅里叶系数为
号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使 得 信号空间中任意信号均可表示成它们的线性组合。
第4-5页
■
信号与系统电子教案
y C2v
y
0
A
x C1v x
4.1 信号分解为正交函 数
y C2vy
0 C3v
zz
A C1vx x
第4-6页
■
信号与系统电子教案
4.1 信号分解为正交函
二、信号正交与正交函数数集
第四章 傅里叶变换和系统的频域分析
傅里叶简介
法国数学家、物理学家。1768年3月21日生 于 欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。
1807年向巴黎科学院呈交《热的传播》论文，推导出著 名
的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数 构成的级数形式表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数 的无穷级数。
■
信号与系统电子教案
4.2 傅里叶级
A0
2
1 An
n1
e j n jn t
1数
2 An n1
e j n jn
t
令A0=A0
。
如三维空间中，以矢量 vx=（2，0，0）、vy=（0 ，2，0）、vz=（0，0，2) 所组成的集合就是一个 正交矢量集。
第4章 傅里叶变换和系统的频域分析
定义二 :
如果在正交函数集g1(t), g2 (t),..., gn (t)之外,
不存在有限能量函数x(t),即0 t2 x2 (t)dt t1
满足任意正整数)
则此函数集成为完备正交函数集.
{1, cos1t, sin 1t, cos 21t, sin 21t,...,
在(t1,t2 )近似表示函数f (t) cr gr (t) r 1
方均误差为 2 1 t2 t1
[t2
t1
f
(t)
n r 1
cr gr
(t)]2 dt
1[ t2 t1
t2 t1
f
2 (t)dt
n
cr 2Kr ]
r 1
若令n趋于无限大,有 lim 2 0 n
则此函数集称为完备正交函数集.
现在研究一个线性时不变系统其输入为输出或响应为描述该系统的微分方程为对上式两边取傅里叶变换并利用时域微分性质可得于是系统响应或输出的傅里叶变换为例如图所示的系统已知乘法器的输入系统的频率响应求输出解由图可知乘法器的输出依频域卷积定理可知其频谱函数式中令根据对称性可得故得的频谱函数为的频谱函数为因此可得系统的频率响应函数可写为所以系统响应的频谱函数为取上式的傅里叶反变换得
T 2
2Et
cosntdt
T0 T
( 2 )
T
8E [
t
T
sin nt 2
T 2
1
sin tdt]
T 2 n
0 0 n
2E [(1)n 1]
(n )2
4E
(n )2
0
(n为奇数) (n为偶数)
E 4E 1 2n
f (t ) 2 2 n1,3,5 n2 cos T t
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换
离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换，说明其在频域的具体表示和分析，并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。
同时还介绍了与离散时间傅里叶变换（DTFT ）和离散傅里叶变换（DFT ）相关的线性卷积与圆周卷积，并讲述它们之间的联系，从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法，即用离散傅里叶变换实现线性卷积。
1. 离散时间傅里叶变换1.1离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列x[n]的傅里叶变换，是以复指数序列｛｝的序列来表示的（可对应于三角函数序列），相当于傅里叶级数的展n j e ω-开，为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示，其中是实频率ω变量。
时间序列x[n]的离散时间傅里叶变换定义如下：)(ωj e X （1.1）∑∞-∞=-=nnj j e n x e X ωω][)(通常是实变量的复数函数同时也是周期为的周期函数，并且)(ωj e X ωπ2的幅度函数和实部是的偶函数，而其相位函数和虚部是的奇函数。
)(ωj e X ωω这是由于：（1.2）)()()(tan )()()()(sin )()()(cos )()(222ωωωωωωωωωωθωθωθj re j im j im j re j j j im j j re e X e X e X e X e X e X e X e X e X =+===由于式（1.1）中的傅里叶系数x[n]可以用下面给出的傅里叶积分从中算出：)(ωj e X 1（1.3）ωπωππωd e eX n x n j j )(21][⎰-=故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换（IDTFT ），则式（1.1）和（1.3）构成了序列x[n]的离散时间傅里叶变换对。
上述定义给出了计算DTFT 的方法，对于大多数时间序列其DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示，例如序列x[n]=,此时其傅里叶变换可以写成简单n α的封闭形式。
离散时间系统的傅里叶分析
离散时间系统的傅里叶分析Fourier analysis in discrete time system用傅里叶变换的方法在频域中对离散时间线性时不变系统在零状态下激励信号产生响应的问题进行分析。
在频域中研究离散时间系统中的问题常常比在时域中研究有其特殊的便利。
由于离散时间序列的傅里叶变换把时域中的卷积计算变为频域中的乘法计算，使信号通过系统的问题得到简化。
还有信号的调制、抽样等实际问题，也需要用傅里叶方法进行分析。
所以傅里叶分析在研究信号与系统中是非常重要的。
离散时间系统可用差分方程(1)来描述。
式中N 为差分方程的阶数。
用N 阶差分方程描述的系统称为N 阶系统。
任意阶次的系统可以用一阶或二阶系统作为基本单元来构成，所以，离散时间系统研究的重点在一阶和二阶系统。
高阶系统则可以通过基本单元的适当联接实现。
离散时间系统傅里叶分析所用的工具为离散时间序列的傅里叶变换。
离散时间系统的频率响应由于在时域中离散时间线性时不变系统的输出序列y(n)等于该系统的单位冲激响应h(n)与输入序列χ(n)的卷积(2)根据离散时间序列傅里叶变换的时域卷积定理，式(2)的傅里叶变换为Y(ejw)＝H(ejw)·X(ejw)(3)式中Y(ejw)、H(ejw)和X(ejw)分别为y(n)、h(n)和χ(n)的傅里叶变换。
定义离散时间线性时不变系统的频率响应为该系统输出序列的傅里叶变换与输入序列的傅里叶变换之比。
即(4)式中H(ejw)为离散时间线性时不变系统的频率响应。
已知系统的频率响应，用它乘输入序列的傅里叶变换，便得到系统的输出序列的傅里叶变换。
因此，频率响应能全面地描述系统。
离散时间系统频率响应的一般表达式为(5)频率响应H(ejw)的物理意义，对离散时间系统输入信号e，如图所示，则(6)式中argH(ejw)为H(ejw)的相位。
式(6)说明，信号e通过系统时，系统用它的频率响应在幅度上和相位上对输入信号进行改变，使y(n)的幅度为｜H(ejw)｜，相位为ωn+argH(ejw)。
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14
4.3.1 从离散傅里叶级数到离散时间傅里叶变换
➢基本思路(步骤)
❖非周期序列周期延拓
x[n]
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x[n]u[n]
u[n
N1]
x[n ], 0,
n 0, 1, , N1 1 n 0或n N1
x[n], x p[n] 0,
n mod N 0, 1, , N1 1 N1 n mod N N 1
[n]
e
j2kπ n N
,
k
N
, n Z
❖基频的整数倍的所有谐波序列均已 在该集合中
❖序列集Φ中的元素之间是正交的
n
k
[n]
* m
[n]
N
N [k
m]
0
N
k m k m
2020年4月4日星期六
信号与系统 第4章第1次课
11
4.2.2 离散周期序列的傅里叶级数
➢离散时间傅里叶级数对
jk 2π n
连续时间信号可通过连续傅里叶变换 离散时间信号可通过离散傅里叶变换
进行频域分析。
进行频域分析。
连续时间信号可通过拉普拉斯变换进 离散时间信号可通过Z变换进行复频
行复频域分析。
域分析。
连续时间系统可通过卷积定理进行复 离散时间系统可通过卷积定理进行复
频域分析。
频域分析。
2020年4月4日星期六
信号与系统 第4章第1次课
jk 2π n
x p[n] akk [n] ake N
k
k
➢离散傅里叶级数(DFS)
jk 2π n
xp[n] akk [n] ake N
k N
k N
2020年4月4日星期六
信号与系统 第4章第1次课
Back 10
4.2.2 离散周期序列的傅里叶级数
➢复指数序列集Φ是完备正交集
Φ
k
[n]k
Back 6
4.1 离散时间LTI系统对复指数信号的响应
➢复指数序列是差分方程的特征函数
➢系统响应的推导
❖样值响应为h[n]，激励序列x[n]=zn
y[n] x[n] h[n]
y[n] x[n]H[z]
h[k]x[n k]
k
h[k]znk
k
zn h[k]zk
k
2020年4月4日星期六
滤波器 ➢练习二
2020年4月4日星期六
信号与系统 第4章第1次课
3
第4章离散时间信号与系统的傅里叶分析
➢离散时间LTI系统的频域求解 ➢从离散傅里叶级数到离散傅里叶变
换 ➢离散傅里叶变换的性质 ➢快速傅里叶变换 ➢练习三
2020年4月4日星期六
信号与系统 第4章第1次课
4
主要内容
➢离散时间周期序列的傅里叶级数 ➢离散时间序列的傅里叶变换和性质 ➢离散时间信号的频谱分析 ➢卷积定理和离散时间LTI系统的频
x p[n] ake N
k N
ak
1 N
n
jk 2π n
x p[n]e N
N
➢系数ak具有与序列xp[n]相同的周期N
ak akN
2020年4月4日星期六
信号与系统 第4章第1次课
Back 12
4.3 离散时间信号的傅里叶变换
➢从离散傅里叶级数到离散时间傅里 叶变换
➢离散时间傅里叶变换的充分条件 ➢常见序列的DTFT
jnΩdΩ
➢离散周期信号的定义
xp[n] xp[n kN ]
➢离散时间复指数序列集及其周期性
Φ
k
[n]k
[n]
e
j2kπ N
n
,
k
Z
,
n
Z
jk 2π n
j(k rN ) 2π n
k [n] e N e
N krN [n]
2020年4月4日星期六
信号与系统 第4章第1次课
9
4.2.1 离散周期信号
➢离散周期信号的复指数展开
信号与系统
——多媒体教学课件 (第四章 Part 1)
第4章离散时间信号与系统的傅里叶分析
➢引言 ➢离散时间LTI系统对复指数信号的响
应 ➢离散周期信号的傅里叶级数表示 ➢离散时间信号的傅里叶变换 ➢练习一
2020年4月4日星期六
信号与系统 第4章第1次课
2
第4章离散时间信号与系统的傅里叶分析
➢离散时间周期序列的DTFT ➢DTFT的性质 ➢卷积定理 ➢离散时间LTI系统的频率响应与数字
域分析
2020年4月4日星期六
信号与系统 第4章第1次课
5
4.0 引言
连续时间信号
离散时间信号
连续时间信号用于描述连续时间系统。离散时间信号用于描述离散时间系 统。
连续时间系统用微分方程描述，复指 离散时间系统用差分方程描述，复指
数函数是其特征函数。
数序列是其特征序列 。
连续时间LTI系统的零状态响应是输 离散时间LTI系统的零状态响应是输 入信号与系统单位冲激响应的卷积积 入序列与系统单位样值响应的卷积和。 分。
2020年4月4日星期六
信号与系统 第4章第1次课
Back 13
4.3.1 从离散傅里叶级数到离散时间傅里叶变换
➢基本思路(步骤)
❖非周期序列周期延拓 ❖求周期序列的DFS ❖将DFS系数用非周期序列表示 ❖定义DTFT正变换表达式 ❖导出IDTFT表达式
2020年4月4日星期六
信号与系统 第4章第1次课
H[z] h[n]z n
n
信号与系统 第4章第1次课
x[n] ak zkn
k
y[n] ak H (zk )zkn
k
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4.2 离散周期信号的傅里叶级数表示
➢离散周期信号 ➢离散周期序列的傅里叶级数
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4.2.1 离散周期信号
n
❖导出IDTFT表达式
x[n] x[n]
1x p[n] 2π k N 1
2π k
Xk e
X
N
NjkaΩk0
jk 2π n
eN e jkΩ0n
kΩ0NΩ0
1 N
2
πXe2j1kπΩ0
N
e jkΩ0
e jkΩ0n
Ω0
Ω0
2π N
02Ωπ0X 2Nπe
e
jΩ
jk
e
2π n N
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4.3.1 从离散傅里叶级数到离散时间傅里叶变换
➢基本思路(步骤)
❖求周期序列的DFS ❖将DFS系数用非周期序列表示
ak
1 N
n
jk 2π n
xp[n]e N
N
1 N
N 1
jk 2π n
xp[n]e N
n0
1 N
N1 1
jk 2π n
x[n]e N
n0
o将求和范围扩展到(-∞, +∞)
ak
1 N
N1 1
jk 2π n
x[n]e N
n0
1 N
jk 2π n
x[n]e N
n
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4.3.1 从离散傅里叶级数到离散时间傅里叶变换
➢基本思路(步骤)
❖定义DTFT正变换
X e jΩ x[n]e jnΩ