第十章 第六节 高考成功方案(理)2013

一、选择题
1．已知三棱锥S -ABC ，在三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC <1
2V S -ABC 的概率是( )
A.78
B.34
C.12
D.14
解析：当P 在三棱锥的中截面与下底面构成的三棱台内时符合要求，由几何概型知，P
＝1－18＝78
.
答案：A
2．(2011·福建高考)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )
A.14
B.13
C.12
D.23
解析：点E 为边CD 的中点，故所求的概率P ＝△ABE 的面积矩形ABCD 的面积＝1
2
.
答案：C
3．(2012·温州模拟)平面上画了一些彼此相距2a 的平行线，把一枚半径r <a 的硬币任意掷在这个平面上，求硬币不与任何一条平等线相碰的概率是( )
A.a －r a
B.a －r 2a
C.2a －r
2a
D.a ＋r
2a
解析：∵硬币的半径为r ，
∴当硬币的中心到直线的距离d >r 时，硬币与直线不相碰． ∴P ＝
2(a －r )2a
＝a －r
a .
答案：A
4．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB
＋P C ＋2PA ＝0，现将一粒黄豆随机撒在
△PBC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )
A.14
B.13
C.23
D.12
解析：由题意可知，点P 位于BC 边的中线的中点处． 记黄豆落在△PBC 内为事件D ，则P (D )＝S △PBC S △ABC ＝1
2
. 答案：D
5．在区间(0,1)内任取两个实数，则这两个实数的和大于1
3的概率为( )
A.17
18
B.79
C.29
D.118
解析：设这两个实数分别为x ，y ，则⎩⎨⎧
0<x <10<y <1，满足x ＋y >1
3的部
分如图中阴影部分所示．所以这两个实数的和大于13的概率为1－12×
1
3×13＝17
18
. 答案：A
6．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( )
A.78
B.34
C.12
D.14
解析：因为f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点，所以Δ＝4a 2－4(π－b 2)≥0，即a 2＋b 2－π≥0，由几何概型的概率计算公式可知所求概率为P ＝2π×2π－π×(π)22π×2π＝3π24π2＝34
.
答案：B 二、填空题
7．(2012·海门模拟)在边长为2的正三角形ABC 内任取一点P ，则使点P 到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________．
解析：以A 、B 、C 为圆心，以1为半径作圆，与△ABC 交出三个扇形，当P 落在其内时符合要求．
∴P ＝3×(12×π3×12)
3
4
×22＝3π
6.
答案：
36
π
8．(2012·徐州模拟)若m ∈(0,3)，则直线(m ＋2)x ＋(3－m )y －3＝0与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于9
8
的概率为________．
解析：直线与两个坐标轴的交点分别为(3m ＋2，0)，(0，33－m )，又当m ∈(0,3)时，3
m ＋2>0，
3
3－m
>0， ∴12·3m ＋2·33－m <98， 解得0<m <2， ∴P ＝
2－03－0＝2
3
. 答案：2
3
9．若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤x y ≥－x
2x －y －3≤0
表示的平面区域为M ，x 2＋y 2≤1所表示的平面区域为
N ，现随机向区域M 内抛一粒豆子，则豆子落在区域N 内的概率为________．
解析：如图，△AOB 为区域M ，扇形COD 为区域M 内的区域N ，A (3,3)，B (1，－1)，S △AOB ＝12×2×32＝3，S 扇形COD ＝π
4，所以豆子
落在区域N 内的概率为P ＝
S 扇形COD S △AOB ＝π
12
答案：π
12
三、解答题
10．(2012·泉州模拟)图(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是1
4
，求此长方体的体积．
解：设长方体的高为h ，则图(2)中虚线围成的矩形长为2＋2h ，宽为1＋2h ，面积为(2＋2h )(1＋2h )，展开图的面积为2＋4h ；由几何概型的概率公式知2＋4h (2＋2h )(1＋2h )＝1
4，得h
＝3，所以长方体的体积是V ＝1×3＝3.
11．已知函数f (x )＝－x 2＋ax －b .
(1)若a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数，求上述函数有零点的概率； (2)若a ，b 都是从区间[0,4]任取的一个数，求f (1)>0成立时的概率．
解：(1)a ，b 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数的基本事件总数为N ＝5×5＝25个． 函数有零点的条件为Δ＝a 2
－4b ≥0，即a 2
≥4b .
因为事件“a 2
≥4b ”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以事件“a 2≥4b ”的概率为P ＝
1225，即函数f (x )有零点的概率为12
25
. (2)a ，b 都是从区间[0,4]任取的一个数， f (1)＝－1＋a －b >0， 即a －b >1，此为几何概型．
所以事件“f (1)>0”的概率为P ＝1
2×3×34×4＝9
32
.
12．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)在复平面上对应的点为M .
(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；
(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组：
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －3≤0，
x ≥0，y ≥0
所表示的平面区域内的概率．
解：(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .
∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，
且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ，∴所求事件的概率为P (A )＝
212＝1
6
. (2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域
⎩⎪⎨⎪⎧
(x ，y )|⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0≤x ≤30≤y ≤4内，属于几何概型，该平面区域的图形为下图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12.
而所求事件构成的平面区域为
⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋2y －3≤0x ≥0y ≥0，
其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．
又直线x ＋2y －3＝0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)、D (0，3
2)，
∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝9
4.
∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝3
16.。