2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题

2007年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案及评分标准说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。

选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。

2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1. 已知,a b 是方程3274log 3log (3)3x x +=-的两个根，则a b += （ ） A. 1027 B. 481 C. 1081 D. 2881解 原方程变形为3333log 3log (3)4log (3)log 273x x +=-，即331log 141log 33x x ++=-+.令31log x t +=，则1433t t +=-，解得121,3t t =-=-.所以31l o g 1x+=-或31log 3x +=-，所以方程的两根分别为19和181，所以1081a b +=. 故选（C ）.2. 设D 为△ABC 的边AB 上一点，P 为△ABC 内一点，且满足34AD AB =,25AP AD BC =+ ，则APD ABC SS =△△ ( )A.310B. 25C. 715D. 815 解 连PD ，则25DP BC =，所以//DP BC ，故ADP B ∠=∠，故 1sin 323214510sin 2APD ABCAD DP ADPS S AB BC B ⋅⋅∠==⋅=⋅⋅∠△△. 故选（A ）.3. 定义在R 上的函数()f x 既是奇函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当x∈[0,2π)时，()sin f x x =，则8()3f π的值为 ( )A.2 B.2- C. 12 D. 12- 解 根据题设条件可知8()(3)()()sin 33333f f f f ππππππ=-+=-=-=-= 故选（B ）.4. 已知1111ABCD A B C D -是一个棱长为1的正方体，1O 是底面1111A B C D 的中心，M 是棱1BB 上的点，且:2:3S S =11△DBM △O B M ，则四面体1O ADM 的体积为 ( )A.724 B. 316 C. 748 D. 1148解 易知AC ⊥平面11D B BD ，设O 是底面ABCD 的中心，则AO ⊥平面1DO M .因为1111223S BD BM BM S O B B M B M ⋅==⋅=⋅11△DBM △O B M ，所以113BM B M =，故113,44BM B M ==.于是 S S S S S =---1111111△DO M D B BD △DD O △O B M △DBM11311112222424=⨯-⨯⨯-⨯=所以11733248V S AO =⋅==11A-O MD △DO M . 故选（C ）. 5. 有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为 ( )A.521. B. 27. C. 13 D. 821解 从10个球中取出4个，不同的取法有410C 210=种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有45C 种选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有445C 280⋅=种.CA C 1因此，取出的球的编号互不相同的概率为80821021=. 故选（D ）. 6. 使得381n+是完全平方数的正整数n 有 （ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个解 当4n ≤时，易知381n+不是完全平方数.故设4n k =+，其中k 为正整数，则38181(31)n k +=+.因为381n+是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数x ，使得231kx +=，即231(1)(1)k x x x =-=+-，故1,1x x +-都是3的方幂.又两个数1,1x x +-相差2，所以只可能是3和1，从而2,1x k ==.因此，存在唯一的正整数45n k =+=，使得381n+为完全平方数.故选（B ）. 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7. 设[]x 表示不大于x 的最大整数，集合2{|2[]3}A x x x =-=，1{|28}8x B x =<<，则A B = _________________.解 不等式1288x<<的解为33x -<<，所以(3,3)B =-.若x A B ∈ ，则22[]3,33,x x x ⎧-=⎨-<<⎩所以[]x 只可能取值3,2,1,0,1,2---.若[]2x ≤-，则232[]0x x =+<，没有实数解；若[]1x =-，则21x =，解得1x =-； 若[]0x =，则23x =，没有符合条件的解；若[]1x =，则25x =，没有符合条件的解；若[]2x =，则27x =，有一个符合条件的解x =.因此，{A B =- .8. 若数列{}n a 满足：112,3n n a a a +=-=，则2007a =_______.解 由1n n a a +-=2113()2()n n n n a a a a ++-=+， 又2113()2()n n n n a a a a ---=+，两式相减，得1111113()(2)2()n n n n n n n a a a a a a a +-+-+---+=-.由112,3n n a a a +=-=求得22a =，又由递推关系式易知数列{}n a 是单调递增数列，所以110n n a a +--≠，故113(2)2n n n a a a +--+=，即11223n n n a a a +--+=，即112()()3n n n n a a a a +----=，所以数列{}1n n a a +-是以2143a a -=为首项，23为公差的等差数列，所以1422(1)(1)333n n a a n n +-=+-=+，于是121(23)(1)33n a a n n n =++++=+ ，所以200712007(20071)13433523a =⨯⨯+=.9. 设复数123(2)(1)i ,(32)(23)i ,(3)(32)i ,z a b z a b z a b =-+-=+++=-+-其中,a b R∈，当123z z z ++取得最小值时，34a b +=__________. 解 易求得12386i z z z ++=+，，于是123123z z z z z z ++≥++＝10，123z z z ++取得最小值，当且仅当23238123326a a a b b b -+-===-+-，解得75,34a b ==，所以34a b +=12. 10. 设(0,)2x π∈，则函数222524sin cos y x x=+的最小值为__________. 解 因为(0,)2x π∈，所以sin 0,cos 0x x >>，设0k >，22222511sin cos 4sin cos cos y k x k x k x x x=++++-k ≥ （1）其中等号成立当且仅当2242223225225sin sin ,sin ,4sin 411cos cos cos cos x k x x x kx k x x x k ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎩⎩⎩成立，此1=，设61t k =，则4321520t t +-=.而434333221522162(21)2(21)(421)t t t t t t t t t t +-=-+-=-+-++ 32(21)(842),t t t t =-+++故32(21)(842)0t t t t -+++=，注意到22sin 1,cos 1x x =≤=≤，判断易知满足限制条件的根只有12t =.当12t =时， 6164k t ==，不等式（1）取得等号.所以函数222524sin cos y x x=+的最小值为6468=. 11.对于函数()f x =b ，使得()f x 的定义域和值域相同，则非零实数a 的值为__________.解 若0a >，对于正数b ，()f x 的定义域为(,][0,)b D a=-∞-+∞ ，但()f x 的值域[0,)A ⊆+∞，故D A ≠，不合要求.若0a <，对于正数b ，()f x 的定义域为[0,]b D a=-.由于此时max [()]()2b f x f a =-=，故函数的值域A =.由题意，有b a -=，由于0b >，所以4a =-. 12. 已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，点(2,0)P -.若过P点作斜率为2的直线交双曲线于,A B 两点，交y 轴于M 点，且PM 是PA 与PB 的等比中项，则双曲线的半焦距为__________.解 设渐近线的方程为y kx =3=，解得k =线方程为y =，故可设双曲线的方程为222x y λ-= (0)λ≠.设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB的方程为(2)2y x =+，代入双曲线方程消去y ，得234240x x λ---=.当1612(24)0λ∆=++>，即83λ>-时，上面的方程恰有两实根，且121242,(2)33x x x x λ+==-+.由题设可知，2PM PA PB =⋅，可化为12(2)(2)4x x +⋅+=，即12122()44xx x x +++=，即24(2)24433λ-++⋅+=，解得2λ=或14λ=. 因此，双曲线的方程为2222x y -=或22214x y -=，即2212y x -=或221714x y -=.==三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13. 过点(1,1)Q --作已知直线1:14l y x =+的平行线，交双曲线2214x y -=于点,M N .（1）证明：点Q 是线段MN 的中点.（2）分别过点,M N 作双曲线的切线12,l l ，证明：三条直线12,,l l l 相交于同一点.（3）设P 为直线l 上一动点，过点P 作双曲线的切线,PA PB ，切点分别为,A B .证明：点Q 在直线AB 上.解 （1）直线MN 的方程为1(1)[(1)]4y x --=--，即1(3)4y x =-，代入双曲线方程2214x y -=，得 236250x x +-=. 设1122(,),(,)M x y N x y ，则12,x x 是方程的两根，所以122x x +=-， 于是12121(6)24y y x x +=+-=-，故点(1,1)Q --是线段MN 的中点. ………5分 （2）双曲线2214x y -=的过点1122(,),(,)M x y N x y 的切线方程分别为 111:14x x l y y -=，222:14x xl y y -=. 联立，得11221,41,4x xy y x x y y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相加，并将122x x +=-，122y y +=-代入，得114y x =+，这说明直线12,l l 的交点在直线1:14l y x =+上，即三条直线12,,l l l 相交于同一点. …………………………10分（3）设00(,)P x y ，3344(,),(,)A x y B x y ，则,P A P B的方程分别为3314x xy y -=和4414x xy y -=，因为点P 在两条直线上，所以303014x x y y -=，404014x x y y -=，这表明点,A B都在直线0014x x y y -=上，即直线AB 的方程为0014x xy y -=.又0014x y =+，代入整理得0()(1)04xx y y --+=，显然，无论0x 取什么值（即无论P 为直线l 上哪一点），点(1,1)Q --都在直线AB 上. …………………………20分14. 已知数列{}n a 满足递推关系式：21122n n n a a a +=-+，1,n n N ≥∈. （1）若14a =，证明：（ⅰ）当2n ≥时，有12n n a a +≥；（ⅱ）当1n ≥时，有13()2nn n a a +≥. （2）若11a =，证明：当5n ≥时，有111nk kn a =<-∑. 证明： 因为2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，故1n n a a +≥，即数列{}n a 为递增数列.（1）（ⅰ）由14a =及21122n n n a a a +=-+可求得236,14a a ==，于是当2n ≥时，6n a ≥，于是221115232(3)0222n n n n n a a a a a +-=-+=-->，即当2n ≥时，12n n a a +>.…………………………5分 （ⅱ）由于2n ≥时，12n n a a +>，所以2n ≥时，2211226232n n n n a a ---+>=⋅=⋅.由21122n n n a a a +=-+可得11212n n n n a a a a +=+-.先用数学归纳法证明下面的不等式成立：13()122n n a >+ （3n ≥）. Ⅰ）当3n =时，33137()122a =>+，结论成立. Ⅱ）假设结论对(3)n k k =≥成立，即13()122kk a ≥+，则结合（ⅰ）的结论可得111332()2()1222k k k k a a ++>≥+>+，即当1n k =+时结论也成立. 综合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式13()122nn a >+对一切3n ≥都成立.因此，当3n ≥时，11211122n n n n n a a a a a +=+->-3()2n >，即13()2n n n a a +>.又12136()2a a ==⋅，232314()13.52a a =>⋅=，所以当1n ≥时，有13()2n n n a a +≥. …………………………10分 （2）由于11a =，而数列{}n a 为递增数列，故当1n ≥时，有1n a >. 由21122n n n a a a +=-+可得111122n n n a a a +=---，而11a =，于是 111111111111()122222nnk k k k k n n a a a a a a ==+++=-=-=------∑∑. 下面先证明：当5n ≥时，有121n a n <-- （*） Ⅰ）根据11a =及21122n n n a a a +=-+计算易得134313217,,28128a a a ===， 2512172172171217()22(1)21281281282128a =-+=--⋅，而2171217217391(1)12821281282564-⋅=⋅>，故5124a <-，即当5n =时，结论成立.Ⅱ）假设结论对(5)n k k =≥成立，即121k a k <--.因为2113(1)22n n a a +=-+，而函数213()(1)22f x x =-+在1x >时为增函数，所以212113111(21)2221212(1)k a k k k k+<--+=-+<----， 即当1n k =+时结论也成立. 综合Ⅰ），Ⅱ）可知，不等式121n a n <--对一切5n ≥都成立. 于是当5n ≥时，112n a n +<-，故112n n a +<-，所以1111112nk k n n a a =+=-<--∑. …………………………20分15. 求所有的正整数n ，使得36n +是一个完全平方数，且除了2或3以外，n 没有其他的质因数.解 设236(6)n x +=+，其中x N +∈，则(12)n x x =+.依题意，可设112223,1223,a ba b x x ⎧=⋅⎪⎨+=⋅⎪⎩其中1212,,,a a b b 均为非负整数，于是 2211232312a b a b ⋅-⋅= （1）…………………………5分如果120a a ==，则213312bb-=，这是不可能的.所以12,a a 中至少有一个大于0，于是x 和12x +均为偶数，从而12,a a 均为正整数.若21a =，则211231223bab ⋅=+⋅，显然只可能11a =（否则左右两边被4除的余数不相同），此时21363bb=+，显然只能是212,1b b ==，此时6,108x n ==.…………………………10分 若22a ≥，则12x +是4的倍数，从而x 也是4的倍数，故12a ≥，此时22112223233a b a b --⋅-⋅= （2）显然122,2a a --中至少有一个应为0（否则（2）式左右两边奇偶性不相同）. 1）当220a -=，即22a =时， 21123233ba b --⋅= （3）此时120a ->（否则等式左右两边奇偶性不相同），故21b b >.若12b ≥，则（3）式左边是9的倍数，而右边为3，矛盾，故只可能11b =，从而（3）式即2112321b a ---=，它只有两组解1221,11,a b -=⎧⎨-=⎩和1223,12,a b -=⎧⎨-=⎩即123,2,a b =⎧⎨=⎩和125,3,a b =⎧⎨=⎩此时，对应的x 值分别为24和96，相应的n 值分别为864和10368. …………………15分2）当120a -=，即12a =时， 22122333a b b -⋅-= （4）此时显然220a ->（否则等式左右两边奇偶性不相同），故21b b ≤. 若22b ≥，则（4）式左边是9的倍数，而右边是3，无解.故21b ≤. 若20b =，则212233a b --=，只可能10b =，此时24,4,64a x n ===.若21b =，则（4）式即2121231a b ---=，它只有两组解2121,10,a b -=⎧⎨-=⎩和2122,11,a b -=⎧⎨-=⎩即213,1,a b =⎧⎨=⎩和214,2,a b =⎧⎨=⎩此时，对应的x 值分别为12和36，相应的n 值分别为288和1728.因此，符合条件的n 值有6个，分别为64，108，288，864，1728，10368.…………………………20分。