30知识讲解_《平面向量》全章复习与巩固_提高
平面向量复习基本知识点及结论总结
平面向量复习基本知识点及结论总结平面向量是指在平面上具有大小和方向的量，用箭头表示。
平面向量有两个重要的基本运算：向量的加法和数乘。
1.平面向量的加法：-向量的加法满足交换律：A+B=B+A-向量的加法满足结合律：(A+B)+C=A+(B+C)-零向量的性质：对于任意向量A，有A+0=0+A=A-负向量的性质：对于任意向量A，有A+（-A）=02.平面向量的数乘：-数乘的分配律：k（A+B）=kA+kB-数乘的结合律：（k+m）A=kA+mA- 数乘的分配律：k（lmA）= （klm）A-零向量的数乘：0A=03.平面向量的基本性质和结论：-平行向量：若存在非零实数k，使得A=kB，称向量A与向量B平行。
-相等向量：若AB，CD是向量，则A=C，B=D，则称向量AB和CD相等。
-相反向量：若AB是向量，则存在一个向量BA，满足AB+BA=0，称向量BA是向量AB的相反向量。
-向量共线：若有两个不共线的向量AB和CD，如果存在非零实数k，使得CD=kAB，则称向量CD与向量AB共线。
-平移：若向量u等于向量a加上向量b，即u=a+b，则向量u和向量a平行。
4.向量的模：-向量的模表示向量的长度，通常用，A，表示，它的计算公式为，A，=√(x²+y²)，其中(x,y)是向量A的坐标。
5.向量的共线与垂直：-向量共线：若向量A与向量B不为零向量且存在非零实数k，使得A=kB，则称向量A与向量B共线。
-向量垂直：若点A的坐标(x₁,y₁)和点B的坐标(x₂,y₂)满足x₁x₂+y₁y₂=0，则称向量AB垂直。
6.单位向量与方向角：-单位向量：向量长度为1的向量称为单位向量。
-方向角：向量与x轴的夹角称为它的方向角，用θ表示。
以上是平面向量的基本知识点和结论的总结，掌握这些知识可以帮助我们进行平面向量的运算、证明和推断。
为了更好地理解和应用平面向量，需要进行大量的练习和实践。
平面向量知识点总结 高三数学一轮复习
知识点总结4 平面向量一．平面向量向量的线性运算向量运算加法减法数乘几何表示首尾相接 指向终点起点重合 指向对顶点起点重合 指向被减向量(1)|λa |＝|λ||a |，(2)当λ＞0时，λa 与a 方向相同；当λ＜0时，λa 与a 方向相反； 当λ＝0时，λa ＝0一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量， 即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．平面向量基本定理e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 是平面内两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ . 我们把不共线的向量e 1⃗⃗⃗ ,e 2⃗⃗⃗ 叫做表示这一平面的一组基底. 3．“爪”子定理形式1：在△ABC 中，D 是BC 上的点，如果|BD |＝m ，|DC |＝n ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n m+nAB⃗⃗⃗⃗⃗ +m m+nAC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 形式2：在△ABC 中，D 是BC 上的点，且BD →＝λBC →，则AD →＝λAC →＋(1－λ)AB →，特别地，若D 为线段BC 的中点，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 二．平面向量的坐标运算1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．2.向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.3.向量加法、减法、数乘运算及向量的模：设坐标表示 a =(x 1,y 1),b⃗ =(x 2,y 2)，则 a +b ⃗ =(x 1+x 2,y 1+y 2)， a −b ⃗ =(x 1−x 2,y 1−y 2)， λa =(λx 1,λy 1)， |a |＝x 21＋y 21.三．平面向量的数量积 1.向量a 与b⃗ 的夹角 已知两个非零向量a 和b ⃗ .作OA ＝a ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b ⃗ ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b ⃗ 的夹角. 当θ＝0°时，a 与b ⃗ 同向； 当θ＝180°时，a 与b⃗ 反向. 如果a 与b ⃗ 的夹角是90°，我们说a 与b ⃗ 垂直，记作a ⊥b ⃗ . 2.平面向量的数量积(1)若a ，b ⃗ 为非零向量，夹角为θ，则a ∙b ⃗ =|a |∙|b ⃗ |cosθ. (2)设a =(x 1,y 1),b ⃗ =(x 2,y 2)，则a ∙b ⃗ =x 1x 2+y 1y 2. 3.平面向量数量积的运算律 (1)a ∙b ⃗ =b ⃗ ∙a (交换律)；(2)λa ∙b ⃗ ＝λ(a ∙b ⃗ )＝a ∙(λb ⃗ ) (结合律)； (3)(a +b ⃗ )∙c =a ∙c +b ⃗ ∙c (分配律)． 4.平面向量数量积运算的常用公式 (1) (a +b ⃗ )∙(a −b ⃗ )=(a )2−(b⃗ )2． (2)(a +b ⃗ )2=(a )2+(b ⃗ )2+2a ∙b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2+2a ∙b ⃗ ． (3)(a −b ⃗ )2=(a )2+(b ⃗ )2−2a ∙b ⃗ =|a |2+|b ⃗ |2−2a ∙b ⃗ ． (4)极化恒等式：a ∙b ⃗ =14[(a +b ⃗ )2−(a −b ⃗ )2]； (平行四边形模式)a ∙b⃗ =14[|AC |2−|DB |2] 5.利用数量积求长度(1)若a =(x,y)，则|a |=√(a )2=√a ∙a =√x 2+y 2.(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：|AB |=√(x 2−x 1)2+(y 2−y 1)2.6.利用数量积求夹角：设a ，b ⃗ 为非零向量，若a =(x 1,y 1),b ⃗ =(x 2,y 2)，θ为a ，b ⃗ 的夹角， 则cosθ=a⃗ ∙b ⃗ |a ⃗ ||b ⃗ |=1212√x 1+y 1∙√x 2+y 27.向量的投影向量a 在向量b ⃗ 上的投影为:|a |cosθ=a⃗ ∙b ⃗|b ⃗ |． 向量a 在向量b ⃗ 上的的投影向量为：|a |cosθ∙b ⃗|a ⃗ |=a ⃗ ∙b ⃗|b⃗ |∙b ⃗|b ⃗ |. 四．平面向量的平行与垂直1.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a =(x 1,y 1),b⃗ =(x 2,y 2)，则 (1)a ∥b ⃗ ⇔a ＝λb ⃗ (b ⃗ ≠0⃗ )⇔x 1x 2＝y 1y 2⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ⊥b ⃗ ⇔a ·b ⃗ ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (3)与a 同方向的单位向量为：a⃗ |a ⃗ |=√x 2+y2y)=(√x 2+y2√x 2+y 2),与a 共线的单位向量为：±a ⃗ |a ⃗ |=√x 2+y 2y)=√x 2+y 2√x 2+y 2).2.三点共线的充要条件的三种形式(1)A ，P ，B 三点共线⇔AP ＝λAB (λ≠0)(2)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝(1－t )·OA ＋t OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，t ∈R )(3)A ，P ，B 三点共线⇔OP ＝x OA ＋y OB (O 为平面内异于A ，P ，B 的任一点，x ∈R ，y ∈R ，x ＋y ＝1)． 五．奔驰定理与三角形“四心”1.奔驰定理:如图，已知P 为ABC 内一点，则有0PBCPACPABSPA SPB SPC ++=.2.奔驰定理的推论及四心问题推论O 是ABC 内的一点,且0x OA y OB z OC ⋅+⋅+⋅=,则::::BOCCOAAOBS SSx y z =已知点O 在ABC 内部，有以下四个推论： ①若O 为ABC 的重心，则0OA OB OC ++=；①若O 为ABC 的外心，则sin 2sin 2sin 20A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=；或OA OB OC == ①若O 为ABC 的内心，则0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=；备注：若O 为ABC 的内心，则sin sin sin 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=也对.①若O 为ABC 的垂心，则tan tan tan 0A OA B OB C OC ⋅+⋅+⋅=，或OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅。
高中数学平面向量知识点归纳总结
高中数学平面向量知识点归纳总结
1. 平面向量的定义
平面向量是具有大小和方向的有序数对，可以用箭头表示。
常
用字母表示向量，如a、b等。
向量的大小可以用模表示，记作|a|。
2. 平面向量的运算
2.1 向量的加法
向量的加法是指将两个向量按照相同的方向连接起来，得到一
个新的向量。
加法满足交换律和结合律。
2.2 向量的减法
向量的减法是指将两个向量相加的相反向量相加，得到一个新
的向量。
2.3 向量的数量积
向量的数量积（点积）是指两个向量相乘后的数量，用点表示，记作a · b。
数量积满足交换律和分配律。
2.4 向量的向量积
向量的向量积（叉积）是指两个向量相乘后的向量，用叉表示，记作a × b。
3. 平面向量的性质
3.1 平行向量
如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
平行向
量的数量积等于两个向量的模的乘积。
3.2 垂直向量
如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直向量。
垂直向量的
点积为0。
3.3 向量的模
向量的模表示向量的大小，可以使用勾股定理求解。
4. 平面向量的应用
平面向量在几何中有广泛的应用，可以用来表示平移、旋转和
线段的位置关系等。
在物理学中，平面向量可以用来表示力的大小
和方向。
以上是关于高中数学平面向量的基本知识点归纳总结。
希望能够对你的学习和理解有所帮助！。
平面向量复习基本知识点及经典结论总结
平面向量复习基本知识点及经典结论总结平面向量是数学中常见的概念，它是一种具有大小和方向的量。
本文将对平面向量的基本知识点及经典结论进行总结，以帮助读者复习和理解。
一、基本知识点1.定义：平面向量是具有大小和方向的量，可用有向线段来表示。
通常用字母a、b、c等表示向量，用小写字母表示有向线段的长度，用大写字母表示向量的大小。
2.向量的表示方法：在平面直角坐标系中，可以用坐标表示一个向量。
设平面向量a的起点为原点O(0,0)，终点为点A(x,y)，则向量a的表示为a=(x,y)。
3.向量的加法：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a+b可以表示为(a,b)=(x1+x2,y1+y2)。
4.向量的数量积：设有两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)，则向量a和b的数量积为a·b=x1×x2+y1×y25.向量的模长：向量a的模长表示为，a，可通过勾股定理求得，即，a，=√(x^2+y^2)。
二、经典结论1.平面向量共线：如果有两个向量a和b，且b与a同方向或反方向，那么向量a和b共线；如果b与a不同方向，那么向量a和b不共线。
2. 平面向量定比分点：如果有两个向量a = (x1,y1)和b = (x2,y2)，且存在一个实数k，使得x2 = kx1，y2 = ky1，则向量a和b的终点共线，并且b在a的延长线上（如k>1）或b在a的连线上（如0<k<1）。
3.向量共线定理：如果有三个向量a，b，c，且c=λa+μb，则向量c与向量a和b共线。
4.平面向量的线性运算：设有三个向量a，b，c，和两个实数λ、μ，那么有以下性质成立：(1)a+b=b+a（交换律）(2)(a+b)+c=a+(b+c)（结合律）(3)λ(μa)=(λμ)a=μ(λa)=λ(μa)（乘法结合律）(4)λ(a+b)=λa+λb（分配律）(5)(λ+μ)a=λa+μa（分配律）5.向量共线的判定方法：(1)数量积：如果两个向量a和b的数量积a·b=0，则向量a和b垂直；如果a·b>0，则向量a和b夹角小于90°；如果a·b<0，则向量a和b夹角大于90°。
平面向量知识点总结归纳
平面向量知识点总结归纳一、向量的基本概念1. 向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量。
例如，物理学中的力、位移、速度等都是向量。
向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量的大小叫做向量的模，记作a（对于向量a）。
模为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的。
模为1的向量叫做单位向量。
2. 向量的表示方法几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的起点和终点分别表示向量的起点和终点。
例如，以A为起点，B为终点的向量记作AB。
字母表示：用小写字母a,b,c,表示向量。
3. 相等向量与平行向量相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
若a=b，则a=b且a与b方向相同。
例如，在平行四边形ABCD中，AB=DC。
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
规定零向量与任意向量平行。
若a与b是平行向量，则记作ab。
例如，在梯形ABCD中，ADBC。
二、向量的运算1. 向量的加法三角形法则已知非零向量a,b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC=a+b。
例如，若a表示向东3个单位长度的位移，b表示向北4个单位长度的位移，那么a+b表示向东北方向5个单位长度（根据勾股定理3^2+4^2 = 5）的位移。
平行四边形法则已知两个不共线向量a,b，作AB=a，AD=b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则向量AC=a+b。
运算律：向量加法满足交换律a+b=b+a，结合律(a+b)+c=a+(b+c)。
2. 向量的减法定义：向量a与b的差ab=a+(b)，其中b是b的相反向量，b与b大小相等，方向相反。
三角形法则：已知向量a,b，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，则向量BA=ab。
3. 向量的数乘定义：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度a=a，它的方向当> 0时与a相同，当<0时与a相反，当= 0时，a=0。
平面向量知识点梳理
平面向量知识点梳理平面向量是向量的一种特殊情况，它在平面上进行运算和表示。
平面向量的学习是解决平面几何问题的重要基础，同时也是向量的一个重要应用领域。
下面进行平面向量的知识点梳理:一、平面向量的定义和表示方法1. 平面向量的定义：平面上的向量是由两个有序数对(a,b)组成。
其中a称为向量的横坐标，b称为向量的纵坐标。
2. 平面向量的表示方法：平面向量可以用有向线段或点表示。
有向线段的起点和终点表示出向量的方向和大小。
二、平面向量的运算法则1. 平面向量的加法：两个向量的加法是将它们的对应坐标相加。
即(A, B) + (C, D) = (A+C, B+D)。
2. 平面向量的减法：两个向量的减法是将它们的对应坐标相减。
即(A, B) - (C, D) = (A-C, B-D)。
3. 常数与向量的乘法：将一个向量的每个坐标与一个常数相乘。
即k(A, B) = (kA, kB)。
4. 向量的数量积：向量的数量积等于它们的模长相乘再乘以夹角的余弦值。
设两个向量为(A, B)和(C, D)，则数量积为AC+BD cosθ，其中θ为两个向量顺时针夹角。
5. 向量的叉积：向量的叉积是一个向量，其大小等于两个向量构成的平行四边形的面积。
设两个向量为(A, B)和(C, D)，则叉积为AD-BC。
三、平面向量的基本性质1. 平面向量的模长：设向量为(A, B)，则向量的模长为|AB| = √(A² + B²)。
2. 平行向量：如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
3. 垂直向量：如果两个向量的数量积等于0，则它们是垂直向量。
4. 向量共线：如果一个向量与另一个向量的数量积为0，则它们共线。
5. 向量的方向角：向量的方向角是与x轴的夹角，它可以根据向量的坐标来计算。
四、平面向量的应用1. 向量的分解：将一个向量分解为两个与坐标轴平行的向量，以方便计算。
2. 向量的平移：通过平移向量的起点和终点，将向量沿着平行线移动。
平面向量知识点梳理
平面向量知识点梳理第一篇：一、平面向量的基本概念及表示方法1. 平面向量的定义：平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
2. 平面向量的表示方法：平面向量通常用有向线段来表示，线段的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
二、平面向量的运算法则1. 向量的加法：将两个向量的起点放在一起，然后将两个箭头相连，连接结果的箭头即为两个向量相加的结果。
2. 向量的减法：将两个向量的起点放在一起，然后将第二个向量取反，再按向量加法的法则进行运算。
3. 向量的数乘：将向量的长度与一个数相乘，结果的方向保持不变，只改变了大小。
三、平面向量的性质1. 平面向量的相等：两个向量的大小和方向完全相同，则它们是相等的。
2. 平面向量的负向量：具有相同大小但方向相反的向量称为原向量的负向量。
3. 平面向量的数量积：两个向量的数量积等于两个向量的模长的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。
4. 平面向量的夹角：两个向量的夹角是一个锐角，它与它们的余弦值有关。
5. 平面向量的线性相关与线性无关：若存在不全为零的实数使得向量的线性组合等于零向量，则称这些向量线性相关；否则称这些向量线性无关。
四、平面向量的坐标表示1. 平面向量的坐标表示方法：平面向量可以用有序数对或者列向量来表示。
2. 平面向量的坐标运算：平面向量的加法、减法和数乘运算可以通过对应元素之间的运算来进行。
五、平面向量的标准表示1. 平面向量的标准表示方法：平面向量可以表示为单位向量与它的长度的乘积。
2. 平面向量的标准化：将向量除以它的模长，使其成为单位向量。
六、平面向量的数量积1. 平面向量的数量积的计算：将两个向量的对应坐标相乘，再将相乘结果相加。
2. 平面向量的数量积与夹角：两个向量的数量积等于它们的模长的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
以上是平面向量的一些基本概念、运算法则、性质和表示方法的梳理。
通过学习平面向量，我们可以更好地理解和应用向量的概念，并在几何问题中进行计算和推导。
平面向量知识点归纳总结
平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
下面是平面向量的一些重要知识点的归纳总结：1.平面向量的表示：●使用箭头或小写字母加上一个横线来表示，如a→或AB。
●平面向量通常用两个有序实数（分量）表示，如a = (a₁, a₂)。
2.向量的模/长度：●向量的模/长度表示为|a|，计算公式为|a| = √(a₁²+ a₂²)。
3.向量的方向角：●向量与正x 轴之间的夹角称为方向角。
●方向角可以使用三角函数来表示，如tanθ= a₂/a₁。
4.向量的运算：●向量的加法：a + b = (a₁+ b₁, a₂+ b₂)。
●向量的减法：a - b = (a₁- b₁, a₂- b₂)。
●数乘：k * a = (k * a₁, k * a₂)，其中k 为实数。
5.向量的数量积（点积）：●向量a 和向量b 的数量积（点积）表示为a ·b。
●计算公式为a ·b = a₁* b₁+ a₂* b₂。
●点积满足交换律：a ·b = b ·a。
●点积的几何意义：a ·b = |a| * |b| * cosθ，其中θ为a 和b 之间的夹角。
6.向量的矢量积（叉积）：●向量a 和向量b 的矢量积（叉积）表示为a ×b。
●计算公式为a ×b = (0, 0, a₁* b₂- a₂* b₁)，即得到一个垂直于平面的向量。
●矢量积满足反交换律：a ×b = - (b ×a)。
●矢量积的几何意义：|a ×b| = |a| * |b| * sinθ，其中θ为a 和b 之间的夹角。
7.平行向量和共线向量：●平行向量指方向相同或相反的向量。
●共线向量指在同一直线上的向量。
●如果两个向量平行，则它们的叉积为零。
8.向量的投影：●向量a 在向量b 上的投影表示为projₐb。
●计算公式为projₐb = (|a| * |b| * cosθ) * u，其中θ为a 和b 之间的夹角，u 为b 的单位向量。
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③若
a
=
b
，
b
=
c
，则
a
=
c
；
④ a = b 的充要条件是| a |=| b |且 a // b ；
⑤
若
a
//
b
，
b
//
c
，则
a
//
c
；
其中正确的序号是
.
(2) 设 a0 为 单 位 向 量 ， (1) 若 a 为 平 面 内 的 某 个 向 量 ， 则 a a a0 ； (2) 若 a 与 a0 平 行 ， 则
上是平面向量坐标表示的基础.
向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，
即若 A(x，y)，则 OA =(x，y)；当向量起点不在原点时，向量 AB 坐标为终点坐标减去起点坐标，即
若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB =(x2-x1，y2-y1)
(2)两个向量平行的充要条件
a a a0 ；(3)若 a 与 a0 平行且 a 1，则 a a0 .上述命题中，假命题个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【思路点拨】利用平面向量的相关基本概念和基本知识进行判断。
【解析】(1)①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同；
②正确；∵ AB DC ，∴ | AB || DC | 且 AB // DC ，又 A，B，C，D 是不共线的四点，∴ 四边形
ABCD 为 平 行 四 边 形 ； 反 之 ， 若 四 边 形 ABCD 为 平 行 四 边 形 ， 则 AB // DC 且 | AB || DC | ， 因 此 ，
5
AB DC .
③正确；∵
a = b ，∴
a ， b 的长度相等且方向相同；又 b
= c
，∴
b
，
c
的长度相等且方向相同，∴
c
；
(4)若
a
b
a
c
，则
b
c
当且仅当
a
0
时成立；
(5)
(a
b)
c
a
(b
c)
对任意
a,
b,
c
向量都成立；
(6)对任意向量
a
，有
a
2
a
2
.
【解析】(1)错；(2)对；(3)错；(4)错；(5)错；(6)对.
【总结升华】通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别与联系，重点清楚 0 a 为零向量， 而 0 a 为零.
① a · b = b · a ； ②( a )· b = a ·( b )= ( a · b )；③( a + b )· c = a · c + b · c
3.运算性质及重要结论
(1)平面向量基本定理：如果 e1, e2 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量 a ，
3
有且只有一对实数 1, 2 ，使 a 1e1 2 e2 ，称 1e1 2 e2 为 e1, e2 的线性组合.
①其中 e1, e2 叫做表示这一平面内所有向量的基底；
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量 e1, e2 的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.
③当基底 e1, e2 是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际
(2)向量是既有大小又有方向的量， a 与 a a0 模相同，但方向不一定相同，故(1)是假命题；若 a 与 a0
平行，则 a 与 a0 方向有两种情况：一是同向二是反向，反向时 a a a0 ，故(2)、(3)也是假命题.综
上所述，答案选 D.
【总结升华】本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较多，因而容易遗忘.为此，复习时一方
符号语言： a// b a b(b 0)
坐标语言为：设非零向量 a x1, y1,b x2, y2 ，则 a ∥ b (x1，y1)= (x2，y2)，或 x1y2-x2y1=0.
(3)两个向量垂直的充要条件
符号语言： a b a b 0
坐标语言：设非零向量 a x1, y1 , b x2 , y2 ，则 a b x1x2 y1 y2 0
面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想.向量的概念较多，
且容易混淆，故在学习中要分清，理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念.
举一反三：
【变式】判断下列各命题正确与否：
(1)
0
a
0
；
(2)
0
a
0
；
(3)若
a
0,
a
b
a
c
，则
b
类型二：平面向量的运算法则
例 2. 如图所示，已知正六边形 ABCDEF ，O 是它的中心，若 BA = a ，
6
BC
=
b
，试用
a
，
b
将向量
OE
，BF
，
BD
，
FD
表示出ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
【思路点拨】根据向量加法的平行四边形法则和减法的三角形法则，用向量 a ， b 来表示其他向量，
只要考虑它们是哪些平行四边形或三角形的边即可.
2. 共线向量与三点共线问题 向量共线的充要条件实质上是由实数与向量的积得到的.通常用来判断三点在同一条直线上或两直线 平行.该定理主要用于证明点共线、求系数、证直线平行等题型问题.
4
(1)用向量证明几何问题的一般思路：
先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向
量的运算来证明.
ab
x12 y12 x2 2 y2 2
2 ④求线段的长度，可以利用 | a | a 或 P1P2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2
【典型例题】
类型一：平面向量的概念
例 1.给出下列命题：
①若|
a
|=|
b
|，则
a
=
b
；
②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则 AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；
③原式= (OB OA) (OC CO) AB (OC CO) AB 0 AB .
【变式
2】设
x
为未知向量，
a
、
b
为已知向量，解方程
2
x
(5
a
+3
x
4
b
1
)+
a
3
b
=0
2
1
【解析】原方程可化为：(2 x 3 x )+(5 a + a )+(4 b 3 b )=0，
1
【要点梳理】
要点一：向量的有关概念
1.向量：
既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度).
2.向量的表示方法：
(1)字母表示法：如 a, b, c,等.
(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量.如 AB ， CD 等.
(3)坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量 OA 的起点 O 为在坐标原点，终点 A 坐标为 x, y ，则
2
∴
x
=
9
a+b
.
2
【总结升华】平面向量的数乘运算类似于代数中实数与未知数的运算法则，求解时兼顾到向量的性质.
类型三：平面向量的坐标及运算
例 3.已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6) ，试用向量方法求直线 AC 和 OB ( O 为坐标原点)交点 P 的坐标.
【解析】设 P(x, y) ，则 OP (x, y), AP (x 4, y)
a ， c 的长度相等且方向相同，故 a = c .
④不正确；当 a // b 且方向相反时，即使| a |=| b |，也不能得到 a = b ，故| a |=| b |且 a // b 不是 a =
b 的充要条件，而是必要不充分条件；
⑤不正确；考虑 b = 0 这种特殊情况；
综上所述，正确命题的序号是②③.
记 OA =(x1，y1)， OB =(x2，y2)
则 OAOB =(x1+x2，y1+y2)
OB OA=(x2-x1，y2-y1)
OA + AB = OB
实数与向量的乘积
两个向量的数量积
2.运算律 加法：
① a b b a (交换律)；
AB a
R
ab a b cos a,b
记 a =(x，y)
则 a x， y
记 a (x1, y1),b (x2, y2)
则 a b =x1x2+y1y2
② (a b) c a (b c) (结合律)
实数与向量的乘积：
① (a b) a b ； ② ()a aa；③ ( a) ()a
两个向量的数量积：
x,
y
称为
OA
的坐标，记为
OA
=
x,
y
.
3.相等向量：
长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移，平移前后的向量相等.两向量 a 与 b 相等，记为 ab.
4.零向量： 长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的. 5.单位向量： 长度等于 1 个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量. 6.共线向量：
举一反三：
【变式 1】设 A、B、C、D、O 是平面上的任意五点，试化简：
① AB BC CD ，② DB AC BD ，③ OA OC OB CO .
【解析】①原式= ( AB BC) CD AC CD AD ；