射影几何在初等几何解析几何中的一些应用

,
”
。
学
Bc
》 P 84 )
论 来 研 究 初 等儿 何 或 解 析 几 何 中 有 关 问 题 的 时候 就 意 味着 我 们 从 射 影 平 面 回 到 了 拓 广
,
、
例一
c D
、
(
牛顿
D A
、
( N
w t
o n
)
定理 ) 设
,
AB
、
是 完 全四 边 形 的 四 边
AC
、
它的 M
、
的 欧 氏平 面 或欧 氏平 面 上 来 了
产
AR
R
,
B
( 证毕 )
例二 三 角形 A
自三 角形
,
A BC 三 CAQ
。
边 分别 向外 作 正
BR
B C P,
。
证明A P
Q
”
、
BQ
、
C R 三线 共 点
设R
,
、 ’ 、
P
”
、
分 别是 这三个
、
正三 角形 的 中 心 亦共 点
。
则A
P
”
、
BQ”
” CR 三 线
BC A B
… …
M R
Q L L Q B C A P K ,c ’ Q L
这 里 能 联系
,
三 条对 角线B D 在 一条直 线上
。
E F 的 中点
L
、
N
的 当然 只 能 是 那 些 与 射 影 性 质 有 关 的 间题
这 条 直 线 叫 做完 全 四 边 形 的
即 与 在 射 影 变 换 下 图 形 的 不 变 性 质 及不 变 量 有 关 的 问题
。
下 面 就 三 个 方 面 举 例 说 明 射影
.
M R
R
M
,
QL
产
A B
CA
`
、
由 锡瓦 逆 定 理 线 共点
。
,
知
、
AP
BQ
`
、
CR
产
三
即 AP
”
、
、
B
Q
`
C R三 线 共 点
。
只
\/ 又
设
BCP
、
R
P
,
、
Q 分 别 是 正 三 角形 A
,
B R BQ
”
、
CA Q 的 中心
。
同理 可 证 A
P
’
汽
、
、
尸
不 /
,
“
少户
CR
”
三 线共 点
( 证毕 )
L
、
Q
、
R 分 别是
、
BC
、
CA
、
A B 平行
K
,
这 些 直 线 与 其他 二 边 或
’
BC
、
、
的 中点
。
因为
、
M
N分别
其 延 长线 交 于
A P交 BC于 P
` ,
K
;
L
L
;
M
产,
M
。
连
是
BD
C A
, E F 的 中点
由 三 角 形 中 位线
,
连 B Q交C A 于 Q
,
连C R交 A B
,
性质 知 L
、
几 何在 初等 几何
一
、
解析 几 何 中的一些 应用
( D
e sa r
。
应 用笛沙格
n e
g
e u
)
定理
v a
、
麦 耐劳 斯 ( M e
la
u s
) 定 理 和 锡瓦 ( C e
、
)
R
定 理 解 决 有关 线共 点 个定理 是
A A
, :
点共 线 的 问 题
。
麦耐
。
嗽
尸
万
\
;
,
“
一
~ 泛
劳 斯定理 和 锡 瓦 定 理 可 由 下 面 定理 推 出 在射影 平 面上 已 给 三 角形
抚 州 师 专 学 报
( 自 然 科 学 版
)
1 9
8 第 7 年
1
期
射 影 几 何 在 初 等 几 何 解 析 几 何
中 的 一 些 应 用
许 兆 龙
射 影 几 何是 师 范 院校 数 学 系开 设 的 一 门 重 要 基 础 课程
。
A
Z ,
A
;
3
重合
=
,
而 点Q
( A )
=
3
I
、
Q
:
Z
、
Q 3 使 ( A A3
PK
产 :
得到
BC
= :
:
卫 毛
LQ
.
9丛
MR
p N N R一
一 ù
Q
:
L
=
CD
二
:
C E
:
二
CA
:
,
QL 因此
。
产
R M
A E
产
A F
,
CA
A B
将麦 耐 劳 斯定 理 的 逆 定理 用 于 三 角形
P QR
,
所以
、
L
、
M
、
N 三 点 在 一条 直 线 上
翼
K P PK K P RM
,
CQ Q A
、
日
`
拚
习 “ 卜 口 、日 知 夕
卜 曰
酬
现
。
上例中A P
BQ
、
C R 三 线共 一 点l
,
,
/ 下
此 点称 为正 等 角中心 讨论
。
早 在 希腊 时 代 已 被 发
用 初 等 几 何 证 明一 般要 方 三 种 情 况 进 行
(
见 北 师大 梁绍鸿 编
) P
《
初 等数 学 复 习
与研究
勺
》 ( 平面 jL 何
1 69 )
例三
过 三 角形的顶 点所作 外接 园的 切
。
线 各 与对 边 ( 所 在 直 线 ) 的 交 点 共 线
这条
直 线 叫做 三 角形 的 来 莫 恩
e
o
n i
e
)
线
。
由(帕 L斯 m 卡 定理 得P
、
Q
、
三 点共 线
设 共线 的三 点 P
3
这
气不
吕
) 节
A
Z
Z
A
3
,
,
、
P
:
、
p
:
依次 在
, ,
A
3 、
A
A
,
、
A
,
A 上
:
,
但都 不 和 A
本 文 收 稿 日 期 一 九 八 六 年六 月 二 十 二 日
牛 顿线
。
证明
:
:
过
P
、
Q
,
、
R
分 别 引直 线 与 三 边
, ` , `
证明
EB
、
如 图 一 所示
CE
、
,
设P
故 L 状匀 QM
N p
= 二
, 在 PQ 上
M 在 QR上
二 乙
N在 P R 延
。
长
于
O
R
。 产
设 O 是 △A B C的外 心
,

,
_
一
l
且~
百
。 U
一
,
,
`
八 叼 一
l 。 百口 “N
Q 交C A 于 E
、
O R 交 A B于 F
、
场
一
一
则 易知 O
CA
、
P
、
OQ C万
:
R F
的 对应
耐 劳 斯定 理 得
E D
=
且D
F“
二
D C
器
ED
DC
器
BA AE
、
,
,
臀
=
A B 2
BD
:
B F
B M
,
CF FB
所 以 梯形
BK P D
~ 梯形
BD
:
声
RF
;
那么K
P
:
RM
声
=
BF =
,
BC
:
A B
每一 个分 式 的分 子
_
分 母各 用 2 采 约 得
同理 从 其 他 两 组 相 似 梯 形
A
u
, :
a
a
Z
a
3
二
当 我 们 用 射 影 几 何 的 理 论 来研 究 初
Q
a
:
;
、
A Q
。
:
:
、
A
。
O:
共 点的充 要条 件是
《 高 等几 何
:
等 几 何 或 解 析几 何 中 有 关 问题 时 就 能 够 显 示
出
“
。
二 一
1 (
见 范 长文 编
e
居 高 临 下 的 作 用 不 过 当用 射 影 几 何 理
.
2