射影几何的诞生与发展
几何学中的射影几何研究
几何学中的射影几何研究几何学是研究空间图形和它们的性质的学科，而射影几何是其中的一个重要分支。
射影几何通过引入射影平面和射影点的概念，对平行线和无穷远点进行了研究，从而为几何学提供了一种新的视角和工具。
本文将针对射影几何的基本概念、应用以及研究现状进行探讨。
一、射影几何的基本概念射影几何的基本思想是将实数域上的几何问题拓展到射影平面上，从而解决传统几何学中无法解释的问题。
射影几何中最基本的概念是射影平面和射影点。
射影平面可以看作是在传统的欧几里得平面上加入了一条无穷远线形成的平面，而射影点则是传统几何中的点在射影平面上的映射。
二、射影几何的应用射影几何在现实生活中有着广泛的应用。
在计算机图形学中，射影几何可以用来处理透视投影问题，使得计算机生成的图像更加真实。
在地图制作中，射影几何可以用来解决投影问题，实现地球表面的平面展开。
此外，在相机成像和光学仪器设计等领域，射影几何也起着重要的作用。
三、射影几何的研究现状射影几何作为几何学的重要分支，在现代数学中得到了广泛的研究。
从理论的角度来看，射影几何涉及到代数、拓扑和几何学等多个领域的交叉研究。
研究者们通过引入射影空间、投影变换和射影群等概念，对射影几何进行了深入的探讨。
在应用方面，射影几何已经得到了广泛的应用和拓展。
例如，在计算机视觉和模式识别领域，射影几何可以用来进行图像处理和目标跟踪。
此外，在计算机辅助设计和虚拟现实等领域，射影几何也发挥着重要的作用。
射影几何的研究还面临着一些挑战。
其中之一是如何将射影几何与其他数学分支更加紧密地结合起来，从而推动射影几何的发展。
另外，射影几何在应用方面仍有一些问题需要解决，如何将射影几何应用到更多的领域，并且发挥出更大的价值。
总结射影几何作为几何学的重要分支，通过引入射影平面和射影点的概念，为解决传统几何学中的一些难题提供了新的思路和方法。
射影几何在实际生活和学科研究中有着广泛的应用，并且在理论和应用方面都存在着一定的挑战和发展空间。
射影几何公理
射影几何公理【实用版】目录1.射影几何的定义与基本概念2.射影几何公理的基本内容3.射影几何公理的应用4.射影几何的发展历程与意义正文射影几何是一种数学几何学，主要研究空间中直线、平面以及它们的射影。
射影几何公理是射影几何的基本理论，它为射影几何的研究和发展奠定了基础。
本文将从射影几何的定义与基本概念、射影几何公理的基本内容、射影几何公理的应用以及射影几何的发展历程与意义四个方面进行介绍。
首先，射影几何的定义与基本概念。
射影几何起源于光学和摄影测量学，它的基本概念包括射影、射影空间、射影直线、射影平面等。
射影是指从一个点向一个平面投射的过程，射影空间是指由射影和平面构成的空间。
射影几何的研究对象是射影空间中的直线、平面以及它们的射影。
其次，射影几何公理的基本内容。
射影几何公理包括以下三个基本原理：1）直线确定一个平面；2）两个不共线的点确定一条直线；3）三个不共线的点确定一个平面。
这些基本原理为射影几何的研究提供了理论基础。
接着，射影几何公理的应用。
射影几何公理在实际应用中具有广泛的应用价值，例如在计算机图形学、摄影测量学、空间探测等领域都有重要的应用。
射影几何公理在解决实际问题中起到了关键作用。
最后，射影几何的发展历程与意义。
射影几何公理的发展历程可以追溯到古希腊时期，欧几里得和阿里士多德等数学家都对射影几何做出了重要贡献。
随着科学技术的发展，射影几何在现代数学、物理学、工程学等领域发挥着越来越重要的作用，它为许多实际问题的解决提供了理论支持。
总之，射影几何公理是射影几何的基本理论，它为射影几何的研究和发展奠定了基础。
射影几何公理在实际应用中具有广泛的应用价值，它为许多实际问题的解决提供了理论支持。
立体几何中的射影定理
立体几何中的射影定理
射影定理：立体几何中的射影定理是指，如果两个相交的平面构成一个空间图形，那么它们之间的射线交点和其他空间点的必然关系。
射影定理是数学家们在研究立体几何时证明的重要定理。
它可以在许多立体几何的地方有用，特别是在几何学、机械工程、制图等方面，经常使用它。
立体几何中的射影定理是由孟加拉诞生的法国数学家卢瓦尔在17th世纪发现的，他发现了如果两个无限远的相交的平面有一个共同的点，他们之间的任何射线必定过这个点。
这就是射影定理，可以用来分解和分析复杂的立体几何图形。
射影定理有两个基本条件：一是在几何图形中，两个相交的平面构成一个空间图形，就是说，它们不能是重叠的；二是它们之间必须有一个共同的点。
这两个条件是射影定理的基本条件，如果一个空间内有多个平面和物体，那么射影定理就可以确定它们的交点，以及它们之间相对应的关系。
射影定理的主要用途是帮助研究人员和技术人员在建立体几何图形时寻找最佳图形，同时为科学研究和工程设计提供参考。
射影定理可以帮助分析各种复杂的空间设计，并为它们提供最佳的解决方案。
此外，射影定理还可以用来在几何中作出正确的计算，比如可以用它来计算空间图形的定位和大小。
射影定理可以指导技术人员如何将空间设计放置在位置的最佳地点，以及当传输速度发生变化时，如何计算传输材料的重量和尺寸。
从以上内容可以看出，立体几何中的射影定理是一个极其重要的定理，它可以在多个不同领域有很多应用，对于科学家和技术人员来说，这是一个重要的分析和计算工具。
立体几何中的射影定理可以帮助人们正确地处理复杂空间图形，可以有效地应用于机械制图、几何图形和空间设计。
空间几何中的射影问题
空间几何中的射影问题几何学是研究空间和形状的学科，而空间几何则是其中的一个分支。
在空间几何中，射影问题是一个重要的概念和研究方向。
射影问题旨在研究和描述点、线、平面在空间中的投影关系，它对于我们理解和分析复杂的几何结构具有重要意义。
一、射影的基本概念在空间几何中，射影是指一个点或者一个几何体在某个平面上的投影。
投影是几何体与平面之间的映射关系，通过这种映射，我们可以将三维的几何体投影到二维平面上，从而更好地研究和分析。
射影的基本思想是模拟人眼在看到物体时的投影效果，从而在平面上得到几何体的投影图形。
二、射影的应用领域射影在各个领域中有着广泛的应用。
在建筑设计中，通过射影可以得到建筑物在不同角度下的平面图和立体图，以便设计者更好地理解和规划。
在计算机图形学中，射影是生成逼真图像的基础，通过计算机算法可以将三维场景转化为二维图像。
在艺术绘画中，艺术家常常使用射影原理来创作逼真的画作。
射影还在无人驾驶、航天航空等领域有着重要的应用。
三、射影的数学模型射影问题是一个复杂的数学模型，需要运用线性代数、微分几何等多种数学工具进行研究和分析。
射影矩阵是射影问题中常用的工具，它可以将点、线或者几何体的坐标表示为齐次坐标表示形式，从而更方便地进行计算和推导。
同时，射影变换和透视投影也是射影问题中常见的数学概念，它们描述了点、线或者几何体在不同平面上的投影关系。
四、射影问题的应用举例为了更好地理解射影问题的应用，我们来看一个具体的例子。
假设我们要求解一个物体在平面上的阴影大小和位置问题。
通过射影的方法，我们可以根据物体的大小、位置和光照条件，计算出物体在平面上的投影，并确定阴影的大小和位置。
这就为设计师设计建筑物的阳光照明效果提供了重要的信息。
五、射影问题的发展前景射影问题作为空间几何中的一个重要研究方向，具有广阔的发展前景。
随着计算机技术和数学建模方法的不断进步，我们可以更加准确地描述和分析射影问题，从而在建筑、工程、艺术、科学等领域中得到更广泛的应用。
射影几何简介
•
笛沙格把他的射影几何思想用于圆锥曲线，得到许多新颖的结果： – 直线可以看作具有无限长半径的圆的一部分； – 焦点相合的椭圆退化为圆； – 焦点之一在无穷远的椭圆是一抛物线，等等．
• • •
他不再把圆锥曲线看作圆锥与平面的交线，而是理解为圆的截景． 圆不仅可以变换为椭圆，而且可以变换为开口的抛物线或双曲线，这时的曲线仍看作封闭的， 只不过是一个点在无穷远而已． 笛沙格力图用投射、截景等射影几何概念统一处理各种圆锥曲线，从而为圆锥曲线的研究开 辟了广阔的前景．
• •
为什么笛沙格的书在当时被忽略呢？主要有两个原因． 一是它被差不多同时出现的解析几何掩盖了．从思想的深刻来讲，笛沙格的射影几何是可以 和笛卡儿的解析几何相媲美的．但笛卡儿的解析几何是用代数方法研究几何问题，可以迅速 得到数量结果，而射影几何主要是对几何的定性研究．当时的技术发展更需要解析几何这样 的有力工具． 第二个原因是，笛沙格的写作形式比较古怪，他引进了 70 个新术语，其中多是从植物学借 用的．例如，他用棕 (Palm)、干、树来表示三种不同性质的直线．这类语句以及不易理解的 思想，使他的书难于阅读． 除了笛卡儿、帕斯卡、费马等几位大数学家外，很少有人欣赏他的著作．
1
B′ O . A′
C′
B
C
D′ A
D
• • •
那么，截景与原形究竟有什么共性呢？这正是阿尔贝蒂苦苦思索而未找到答案的问题． 阿尔贝蒂还考虑到：如果在眼睛和景物之间插进两张玻璃板，它们上面的截景将是不同的； 如果从两个不同位置来观察景物，截景也将是不同的．但所有截景都反映同一景物，它们之 间必存在某种关系． 于是他进一步提出问题：同一景物的任意两个截景间有什么数学关系，或者说有什么共同的 数学性质？他留给后人的这些问题成为射影几何的出发点．
没有度量的几何学——射影几何的产生
没有度量的几何学——射影几何的产生
自然界中的物体都是立体的，而画家作画、建筑师绘图都是使用画布、墙壁、纸张这样的平面，如果要让画在平面上的物体具有凹凸不平的立体感，就得探讨人的视觉规律。
为此，数学家和艺术家们从不同角度研究投影的性质。
达·芬奇首先提出了聚焦透视法，确切、形象地阐述了透视原理的基本思想。
他强调，画画要画一只眼睛看到的景物，从景物的每一个能看到的点发出的光线进入人的眼睛，经过瞳孔的折射，最后在视网膜上形成物体的影象。
假如在人们眼睛与景物之间放一片透明薄膜，从景物的各点进入眼睛的每一条光线，穿过这张薄膜时形成点，所有这些点的集合就形成了景物在薄膜上的像。
整个这一过程就叫透视，几何学上称为中心射影。
射影几何就是研究图形在中心射影下位置关系的学科。
这门新学科广泛应用于航空摄影、绘画测量等方面。
它的发现是许多数学家相继努力的结果。
冷知识：射影几何的发现
射影几何是数学中的一个分支，它是关于几何图形经过投影变换后，仍然不会变化的几何性质的研究。
与基本几何相比，射影几何有投影后不变的独特性质，也正是这样的性质，射影几何能够更容易地与其他几何系统互相联系。
通过这样的密切联系，可以使用射影几何处理一些度量问题。
基于建筑学的发展和绘画雕塑的需要，射影几何的发展历史可谓十分悠久，早在古希腊时期，欧几里得就有一些关于透视的发现。
在透视中，两条平行轨道在视线远处将会相交于一点，这种两条平行直线在无穷远处相交的点在射影几何中被称为无穷远点。
为什么两条平行直线会在无穷远处相交呢？我们平常所接触到的几何是在欧几里得几何（也被称为欧氏几何）的范畴下阐述的。
几何中的所有图形经过位移或旋转变换后，性质不会发生变化，平行线会一直平行永不相交，这样的说法也是在欧氏几何的范畴中成立的。
可以说，射影几何的范畴比欧式几何小得多，它仅仅是关于投影变换后不变的几何研究。
射影几何可以通过仿射平面加上无穷远处的一条线进行建模，并将这条线看作是“一般”。
如果以解析几何做出射影几何的代数模型，将会用到齐次坐标。
由于射影几何所包含的公理最少，可以将其视为仿射几何与欧式几何的基础，从范围而言，射影几何＜仿射几何＜欧式几何。
15世纪时，意大利文艺复兴早期著名工程师布鲁内莱斯基开始对透视的几何结构进行研究；16世纪末17世纪处，无穷远点的概念被独立提出。
同一时期，法国数学家笛沙格概括了消失点的用途并纳入无穷远处的情形，发展出了构建透视图的另一种方法，开始了对圆锥曲线的研究，使得欧式几何中平行线在任何情况下都平行的特性，成为其他几何系统包括射影几何中的特例。
这一研究被法国数学家帕斯卡发现并进一步将其公式化，发展成为了帕斯卡定理。
射影几何的基础论述直到1822年才被法国数学家吉恩-维克托·彭赛列具体描述，彭赛列也因此被称为射影几何的创始人之一。
彭赛列发现了物体的不同类型的射影性质，并建立了射影性质与度量性质之间的关系。
射影几何的起源
射影几何的起源在欧洲文艺复兴时期，许多著名的画家，包括多才多艺的达·芬奇，以他们非凡的技巧和才能，为透视学的研究，作出了卓越的贡献。
他们的成果，很快地影响到几何学，并孕育出一门新的几何学分支——射影几何。
所谓射影是指：从中心O发出的光线投射锥，使平面Q上的图形Ω，在平面P上获得截景Ω1。
则Ω1称为Ω关于中心O在平面P上的射影。
射影几何就是研究在上述射影变换下不变性质的几何学。
为射影几何的诞生奠基的，是两位法国数学家：笛沙格（Desargues，1591～1661）和帕斯卡（Pascal，1623～1662）。
公元1636年，笛沙格发表了题为《用透视表示对象的一般方法》一书。
在这本书里，笛沙格首次给出了高度、宽度和深度“测尺”的概念，从而把绘画理论与严格的科学联系起来。
公元1639年，笛沙格在平面与圆锥相截的研究中，取得了新的突破。
他论述了三种二次曲线都能由平截面圆锥而得，从而可以把这三种曲线都看盾成是圆的透视图形。
这使有关圆锥曲线的研究，有了一种特别简捷的形式。
不过，笛沙格的上述著作后来竟不幸失传，直到200年后，公元1845年的一天，法国数学家查理斯，由于一个偶然的机会，在巴黎的一个旧书摊上，惊异地发现了笛沙格原稿的抄本，从而使笛沙格这一被埋没了的成果，得以重新发放光辉！笛沙格之所以能青史留名，还由于以下的定理：如果两个空间三角形对应顶点的三条联线共点，那么它们对应边直线的交点共线。
这个定理后来便以笛沙格的名字命名。
有趣的是：把笛沙格定理中的“点”改为“直线”，而把“直线”改为“点”，所得的命题依然成立。
即如果两个空间三角形的对应边直线的三个交点共线，那么它们对应顶点的联线共点。
在射影几何中，上述现象具有普遍性。
一般地，把一个已知命题或构图中的词语，按以下“词典”进行翻译：将得到一个“对偶”的命题。
两个互为对偶的命题，要么同时成立，要么同时不成立。
这便是射影几何中独有的“对偶原理”。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
射影几何的诞生与发展一从透视学到射影几何1．在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临这样的问题：（1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？（2）从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两个物体间具有什么关系？2．由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学的兴起(文艺复兴时期：普遍认为发端于14世纪的意大利，以后扩展到西欧，16世纪大道鼎盛)，从而诞生了射影几何学。
意大利人布努雷契（1377-1446）是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。
3．数学透视法的天才阿尔贝蒂（1401-1472）的《论绘画》一书（1511）则是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。
4．对于透视法产生的问题给予数学上解答的第一人是德沙格（1591-1661）法国陆军军官，后来成为工程师和建筑师，都是靠自学的。
1639年发表《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，这部著作充满了创造性的思想，引入了无穷远点、无穷远直线、德沙格定理、交比不变性定理、对合调和点组关系的不变性、极点极带理论等。
5．数学家帕斯卡（1623-1662）16岁就开始研究投射与取景法，1640年完成著作《圆锥曲线论》，不久失传，1779年被重新发现，他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理，即圆锥曲线的内接六边形的对边交点共线6．画家拉伊尔（1640-1718）在《圆锥曲线》（1685）这本射影几何专著中最突出的地方在于极点理论方面的创新。
7．德沙格等人把这种投影分析法和所获得的结果视为欧几里得几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加区别，但这一方法诱发了一些新的思想和观点：1）一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状2）变换与变换不变性3）几何新方法------仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量二射影几何的繁荣1．在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，并且由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘，到１２18世纪末19世纪初，蒙日的《画法几何学》及其学生们的工作，重新激发了人们对综合射影几何的兴趣，然而将射影几何变革为具有自己独立的目标与方法的学科的数学家是曾受教于蒙日的庞斯列（1788-1867）2．庞斯列曾任拿破仑的远征军的工兵中尉，1812年莫斯科战役被俘，度过了两年铁窗生活，在这两年里，庞斯列不借助于任何书本，以炭为笔，在监狱的墙壁上谱写了射影几何的新篇章。
获释后他整理出版了《论图形的射影性质》，这部著作立即掀起了19世纪射影几何发展的巨大波澜，带来了这门学科历史的黄金时期3．庞斯列利用连续性原理引入虚元素，强调对偶原理，深入研究了极点与极线的概念，给出了极点到极线和从极线到极点的变换的一般表述4．在庞斯列用综合的方法为射影几何奠基的同时，德国数学家莫比乌斯在《重心计算》（1827）一书中第一次引进了齐次坐标，后被普吕克发展为更一般的形式。
这种代数方法遭到了以庞斯列为首的综合派学者的反对，因此19世纪的射影几何就是在综合派的与代数的两大派之间的激烈争论中前进的，支持庞斯列的还有斯坦纳 沙勒 和施陶特5．1850年前后，数学家们对于射影几何与欧氏几何在一般概念与方法上已经作出区别，但对这两种几何的逻辑关系不甚了了。
即使综合派的著作中也仍然用长度的概念，实际上长度不是射影概念。
施陶特在1847年的《位置几何学》中提出一套方案，给交比以重新定义：42324131/x x x x x x x x ----，这样施陶特不借助长度概念就得到了建立射影几何的基本工具，从而使射影几何摆脱了度量关系，成为与长度等度量概念无关的全新的学科，施陶特还指出：射影几何的概念在逻辑上要先于欧氏几何的概念，因而射影几何比欧氏几何更基本。
6．施陶特的工作鼓舞了英国数学家凯莱（1821-1895）和普吕克的学生克莱因进一步在射影几何概念基础上建立欧氏几何与非欧氏几何的特例，从而为以射影几何为基础来统一各种几何学铺平了道路。
三 几何学的统一1．统一几何学的第一大胆计划是由德国数学家克莱因（1849-1925）提出的，1872年，克莱因在爱尔朗根大学任数学教授就职演讲《爱尔朗根纲领》中阐述了几何学统一的思想。
（射影几何，仿射几何，欧氏几何）当然，并非所有的几何都能纳入克莱因的方案，如代数几何，微分几何。
2．克莱因1886年受聘于哥廷根大学担任教授，因为这位创造性天才和组织能力完美结合的他的到来，使得哥廷根大学更富科学魅力.希尔伯特就是被克莱因引向哥廷根的最重要的年轻数学家1862-1943，他提出了另一条统一几何学的途径---公理化方法。
3.公理化方法始于欧几里得，然而当19世纪数学家们重新审视《原本》中的公理体系时，却发现它有许多隐蔽的假设，模糊的定义及逻辑的缺陷，这就迫使他们着手重新建立欧氏几何以及其他包含同样弱点的几何的基础。
其中希尔伯特在《几何基础》（1899）中使用的公理化方法最为成功。
３４第一章 仿射坐标与仿射变换本章将主要介绍仿射变换的概念，并在仿射坐标系下研究图形的仿射不变量和仿射不变性。
§1 透视仿射对应定义1.1 共线三点的A ，B ，C 的单比表示为（ABC ），且（ABC ）=BCAC AC ，BC 是有向线段的数量，其中，点A ﹑B 称为基点，C 称为分点。
显然，当C 在A ，B 之间时，（ABC ）＜0；否则，（ABC ）＞0。
当C 为线段AB 中点时，（ABC ）=－1。
当A 与C 重合时，（ABC ）=0；B 与C 重合时，（ABC ）不存在。
定义1.2 在一平面上设有直线l 和l ′,m 为此平面上与l 和l ′均不平行的方向直线,通过直线l 上任意一点A,作与m 平行的直线,交l ′于A ′,这样得到的直线l 上点到l ′上点的一一对应,称为透视仿射对应.若直线l 与l ′相交，则交点是自对应点或二重点（不变点）。
显然，两直线间的透视仿射对应，与方向直线有关，不同的方向决定不同的对应关系。
仿上述定义，可定义两平面π和π′间的透视仿射对应。
若平面π和π′相交于直线l ，则直线l 上的每个点都是透视仿射对应下的自对应点，直线l 叫做透视轴，简称轴。
当平面π和π′平行时，则不存在透视轴。
透视仿射对的性质：（1）透视仿射对应保持结合性透视仿射对应使点对应点，直线对应直线，这种性质称为同素性。
（2）透视仿射对应保持结合性点A 在直线a 上，经过透视仿射对应后，对应点A ′在对应直线a′上，也就是说，点和直线的结合关系在透视仿射对应下保持不５变。
（3）透视仿射对应保持共线三点的单比不变若平面π内共线三点A ，B ，C 经过透视仿射对应后在平面π′上的象是A ′，B ′，C ′，则（ABC ）=（A ′B ′C ′）。
证明由于 AA ′∥BB ′∥CC ，所以有BC AC =C B C A '''' 即（ABC ）=（A ′B ′C ′）（4）透视仿射对应保持二直线的平行性证明 设平面π内两直线 a ∥b ，经过透视仿射对应后，在平面π′内的象分别为a ′﹑b ′假设，a ′与b ′不平行，且 a ′∩b ′=P ′，那么 P ′的原象P 在π上。
由点和直线的结合性，点P 一定同时在直线a 和b 上，即a ∩b=P ，这与a ∥b 矛盾。
透视仿射对应的性质：（1）保持同素性；（2）保持点和直线的结合性；（3）保持共线三点单比不变；（4）保持二直线的平行性。
§2 仿射对应与仿射变换定义2.1 设同一平面内有n 条直线a 1，a 2，…，a n ， ϕ1,ϕ2,…,ϕn ,顺次表示a 1到a 2 ，a 2到a 3，。
，a n-1到a n 的透视仿射对应，经过这一串透视仿射对应，使a1上的点与a n上的点建立了一一对应，这个对应称为a1到a n的仿射对应，用ϕ表示，于是有ϕ=ϕn-1·ϕn-2·…·ϕ2·ϕ1如果直线a1与a n重合，则a1到a n的仿射对应叫做a1到直线自身的仿射变换。
仿此，可定义两平面间的仿射对应。
所以两平面间的仿射对应也是有限次透视仿射对应的结果。
若两平面重合，仿射对应称为仿射变换。
仿射对应和仿射变换都是一串透视仿射对应的乘积。
因此有下列性质：（1）保持同素性和结合性；（2）保持共线三点单比不变；（3）保持直线的平行性。
定义2.2 若两个平面间（平面到自身）的一个点对应（变换）保持同素性，结合性和共线三点的单比不变，则这个点对应（变换）称为仿射对应（变换）。
注意：平行四边形经过仿射对应（变换）后，对应图形仍为平行四边形；两条平行线段经过仿射对应（变换）后，其长度之比不变。
根据定义2。
1，由透视仿射对应的性质，显然，透视仿射对应当∏π1与πn重合时，仿射对应称为平面π1到自身的仿射变换。
不难证明，仿射对应和仿射变换保持直线的平行性；而且，两条平行线段的长度之比经仿射对应（变换）后不改变。
平行四边形经仿射对应和仿射变换后仍为平行四边形。
§1.3 仿射坐标3.1 仿射坐标系设O - xy 为平面内笛卡儿坐标系，E（1，1）为单位点，P（x,y）６７是平面上一点。
E 1，E 2，P 1，P 2分别为过E ，P 所做 与y 轴和x 轴平行的直线与x 轴和y 轴的交点。
则O E 1EE 2 和 O P 1P P 2 均为平行四边形。
经过一个仿射对应后，坐标系O - xy 的对应图形为O ′ - x ′y ′，E ，E 1，E 2，P ，P 1，P 2的对应点依次为 E ′，E 1′，E 2′，P ′，P 1′，P 2′，则O ′E 1′E ′E 2′和 O ′P 1′P ′P 2′也都是平行四边形。
在新坐标系O ′ - x ′y ′中，选取E ′为单位点（1，1），设点P ′在此坐标系下的坐标为（x ′,y ′）。
因为x = 11OE OP =(P 1E 1O) , x ′= ''''11E O P O = (P 1′E 1′O ′) ,y=22OE OP =(P 2E 2O) , y ′ = ''''22E O P O =(P 2′E 2′O ′)又因为仿射对应保持单比不变，所以有x = x ′ , y = y ′定义 3.1 笛卡儿坐标系在仿射对应(变换)下的象叫做仿射坐标系。
(x ′,y ′) 叫点P ′在仿射坐标系下的坐标，记做：P ′（x ′,y ′）。
现在我们可以用坐标来表示共线三点单比。
若用e 1′，e 2′表示yx E O E O '''，则仿射坐标系表示为O ′ - e 1′e 2′，则有P O ''= x ′e 1′+y ′e 2′８仿射坐标系是笛卡儿坐标系的推广，两坐标轴上的测量单位不一定相等，笛卡儿坐标系是仿射坐标系当两轴上测量单位相等时的特殊情况。