2射影几何学
欧几里得几何学的公理体系
欧几里得几何学的公理体系.欧几里得几何（Euclid geometry）起源于古埃及，当尼罗河泛滥后，为了重新整理土地而需要进行丈量. 因此他们用geometry一词，其原意就是“丈量土地”. 自此就开始了对图形的研究. Euclid《原本》把直到古希腊时代为止的这些知识综合整理出来，而成为一个逻辑体系. 由于这个《原本》中包含了图形的知识、实数理论的原型、数论等，而直接研究图形的部分最多，因此，中文译本将书名译成为《几何原本》. （“几何”来自“geo”的音译）几何学是数学科学中关于图形的数学分支. 在这一阶段，几何学就意味着数学的全部，古代数学家把萌芽中的代数学也包括在几何学中.“数”与“形”的结合，是17世纪开始的，由于代数学、分析学的发展，并形成了几何学、代数学、分析学等独立的数学分支，数学家R.Descartes首先建立了解析几何学，他利用坐标系，将图形问题转化为数量之间的问题，并用代数的计算方法来处理几何问题.于是，相对于解析几何学来说，不用坐标而直接研究图形的几何学，称之为纯粹几何学. 纯粹几何学的进一步发展，就是射影几何学.十九世纪出现了罗巴杰夫斯基几何，这种几何否定了欧几里得几何中的平行线公理.在n维向量空间建立后，几何体系就综合成了n维欧几里得几何、n维射影几何、n维非欧几何.把几何学用“群”的观点统一起来加以论述，也就是“埃尔兰根纲领（Erlangen program, 1872）”，德国数学家F.Klein的一篇不朽论文）：每种几何学视为由一个点集组成的“空间”S，以及“由S到S的变换群G”所确定的，研究S的子集（图形）性质中对于G来说不变的性质，这就是几何学.在埃尔兰根纲领距今已近140年的今天，几何学的发展日新月异，微分几何学及其发展Riemann几何学、代数几何学，在20世纪取得辉煌的成就，举世瞩目.欧几里得几何学：以平行公理为基础的几何学，其公理体系的核心是：“第五共设”两条直线与第三条直线相交，在第三条直线一侧的两个角（同旁内角）之和小于两直角时，此两条直线必在此侧相交.它等价于过不在直线L上的点P且平行于L的直线有且仅有一条.最初，几何学的研究对象是图形，首先要用到空间的直观性. 但是，直观性有时缺乏客观性，必须明确规定公理、定义，排出直观，建立纯粹的、合乎逻辑的几何学思想.《几何原本》已经从事建立公理、定义的工作，但毕竟距今太远，缺陷很多，公理也不完备. 19世纪后半叶，D.Hilbert（就是在1900年世界数学家大会上提出著名的Hilbert的23问题的著名数学家，这23个问题推动了20世纪数学的快速发展）公理体系形成了，它是包含了欧几里得几何公理的、更加完善的几何公理体系.欧几里得《几何原本》的简单介绍——全书共13卷，除第5、7、8、9、10中讲述比例和算术理论外，其余各卷都是关于几何内容的.第1卷：平行线、三角形、平行四边形的有关定理；第2卷：毕达哥拉斯定理及其应用；第3卷：关于圆的定理；第4卷：圆的内接与外切多边形定理；第6卷：相似理论；第11、12、13卷：立体几何.《几何原本》是一个数学知识的逻辑体系，结构是由定义、共设、公理、定理组成的演绎推论系统.开始给出了23个定义. 前6个定义是：（1）点没有大小；（2）线有长度没有宽度；（3）线的界是点；（4）直线上的点是同样放置的；（5）面只有长度没有宽度；（6）面的界是线.其次是5个共设：（1）从任一点到另一点可以引一直线；（2）有限直线可以无限延长；（3）以任意点为圆心，可用任意半径作圆；（4）所有直角都相等；（5）若两条直线与另一条直线相交，所成的同旁内角之和小于二直角，则此两直线必在这一侧相交.然后是5个公理：（1）等于同量的量相等；（2）等量加等量其和相等；（3）等量减等量其差相等；（4）可重合的图形全等；（5）全体大于部分.公理之后是一些重要的命题.要强调两点——1、“第五共设”等价于“平行公理”：2、欧几里得的《几何原本》有许多缺点，例如几何逻辑结构还很不严谨；对一些定义叙述不够清晰、甚至含混不清；共设、公理还很不够，以至于很多定理的证明要靠几何直观，等等. 然而，从辩证唯物主义的观点来看，它仍然是一部不朽的著作.19世纪末，德国数学家D.Hilbert于1899年发表了著名的《几何基础》，成功地建立了欧几里得几何的完整的公理体系，称为著名的Hilbert公理体系.希尔伯特的五组公理包含：结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理. 由此五组公理，可以推出欧几里得几何中的所有定理，与欧几里得几何的全部内容，因而使得欧氏几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系.希尔伯特《几何基础》的简单介绍——希尔伯特公理体系：一、结合公理 （incidence axioms ）——结合性叙述了点、线、面位置关系，叙述为 “在上”或“通过”. （1） 对于两点A 、B ，存在通过A 、B 的直线L ； （2） 当两点A 、B 不相同时，通过此两点的直线L 是唯一的；（3） 每条直线上至少有两个点；至少存在三个点不在同一条直线上；（4） 对于不在同一条直线上的三点A 、B 、C ，存在通过这三点的唯一的一个平面π； （5） 每个平面上至少有一个点；（6） 若直线L 上有两点在平面π上，则直线L 上的每一点都在平面π上； （7） 若两平面1π、2π通过一点A ，则它们必通过 另一点B ；（8） 至少存在4个点不在同一个平面上.二、顺序公理（order axioms ）顺序性确定了几何元素的顺序关系，叙述为 “在之间”. （1） 若A 、B 、C 在同一直线L 上，且“点B 在A 与C 之间”，则“B 在C 与A 之间”； （2） 对于不同的两点A 、C ，在通过它们的直线L上至少存在一点B L ∈，使得C 在A 与B 之间；（3） 对于在一条直线上L 的三点A 、B 、C 中，至多有一点在另两点之间；（亦即，若B 在A 、C 之间，则A 不可能在B 、C 之间；由以上三条，由此得到： ① 在直线L 上的点可以赋予线性的序；② 在直线L 上，可以定义线段，以A 、B 为端点的线段记为AB 或BA ；定义线段AB的内部，外部） （4） 设A 、B 、C 是不在同一直线上的三点， π是 通过三点的平面，也记为ABC ，L 是平面ABC 上的直线，但不通过A 、B 、C 中的任何一点. 若直线L 通过线段AB 上的点，则L 或通过线 段AB 上的一点，或通过线段BC 上的一点；（Pasch ，帕施公理）.B ∙ LC ∙A ∙ L三、合同公理（congruence axioms ）合同性确定了线段或角的合同关系，叙述为“合同于”或“等于”. （1） 如果两点A 、B 在直线L 上，点'A 在同一条或另一条直线'L 上，则直线'L 上的点'A 的一 侧存在点'B ，使得线段''A B “合同”于AB ， 记为''A B AB ≡；A ∙B ∙'L L（2） 线段的合同关系是一个等价关系；AB BA ≡；''A B AB ≡ ⇒ ''AB A B ≡；''A B AB ≡、''''A B AB ≡ ⇒ ''''''A B A B ≡；（3） 设AB 、BC 是直线L 上的两线段，没有公共内点，又设''A B 、''B C 是直线'L （'L 与L 可同， 或不同）上的两线段，也没有公共内点. 若''AB A B ≡、''BC B C ≡，则''AC A C ≡；（4） 设平面π上有一个角(),h k ∠，又在平面'π（'π 与π可同，或不同）上有一条直线''L π⊂，并且指定了平面'π被直线'L 分为两侧. 取直线'L 上的一点''O L ∈，并从'O 出发、在直线'L 上引射线'h ，则在平面'π的该侧上，有且仅有一 条射线'k ，使得角()','h k ∠合同与角(),h k ∠， 记为 ()()',',h k h k ∠≡∠；（5） 角的合同关系也是等价关系. 【注】 角的定义：设平面π上通过同一点O 的 两不同直线为1L 、2L . 由点O 出发，分别在1L 与2L 上引两条射线，记为k 、h .B ∙’ A ∙’A ∙h 1L (),h k ∠O k2L将这一对射线的所决定的集合称为平面π上的角，记 为(),h k ∠或(),k h ∠；若A 、B 分别为射线h 与射线k 上的点，也记此角为AOB ∠. O 称为角(),h k ∠的顶点；射线h 、k 称 为角(),h k ∠的边.角的合同关系用几何语言叙述为： ① 设(),h k ∠是平面π上的角，1L 是平面1π上的直线（π与1π可同、可不同）；过1L 上的一点1O ， 作1L 上一射线1h . 则在1π上必存在过1O 的唯一一条射线1k ，使得 ()()',',h k h k ∠≡∠.1O ∙ 1k(),h k ∠ ()','h k ∠1h1L② 角的合同关系是一个等价关系；③ 设A 、B 、C 与1A 、1B 、1C 分别为不在一直线上的三点，如果有B ∙11AB A B ≡、11AC A C ≡、111BAC B AC ∠=∠，则必有111ABC A B C ∠=∠.四、平行公理（parallel axioms ）平行公理确定了直线的平行关系，叙述为 “平行于”. 对于任意直线L 与不在L 上的一点A ，则在L 与A 确定的平面π上，有且仅有一条直线'L 通过点A 且不与直线L 相交.五、连续公理（continuity axioms ）（1） 对于任意两线段AB 、CD ，在通过线段AB 的直线L 上，存在有限多个点1A 、2A 、、 n A ，使得1AA 、12A A 、、1n n A A -都合同于线段DC ， 1121n n CD AA A A A A -====， 并且使得“B 在A 与n A 之间”（阿基米德公理（Archimedes ）；或称直线的连续性公理）；（2） 一直线L 上的点的集合，在保持结合公理的（2），顺序公理的（2），合同公理的（1）-（5）与连续公理的（1）的条件下，不可能再扩充 ；（直线的完备性公理）.由Hilbert 建立的五个公理体系可以推得欧几里得几何的全部内容.平行公理是欧几里得几何的“灵魂”，若将其余4个公理保留，将平行公理改为罗巴切夫斯基公理，就可推出罗巴切夫斯基几何的全部内容.数学科学中，允许同时成立两个对立的公理体系，而且这种对立的体系具有同样的真理性.仿射几何 ——（一） n 维仿射空间：设X 是一个n 维线性空间，A 是一个集合，A 中的元素称为“点”，如果A 中的两点P 、Q 对应于X 中的唯一的向量PQ ，满足：（1） PP 等于X 中的零向量；（2） 任给A 中一点P ，任给X 中的向量a ，则在A 中存在唯一的点Q ，使得PQ a =；（3） 对于A 中的三点P 、Q 、R ，有等式PR PQ QR =+；则称A 为一个n 维仿射空间；特别地，1n =时，称A 为仿射直线；2n =时，称A 为仿射平面；3n =时，称A 为仿射空间. 也把仿射空间中的元称为向量.仿射直线、仿射平面、仿射空间的实际例子：对于一维、二维、三维欧氏空间，若不使用欧氏距离，仅仅视为集合，则它们分别是一维仿射直线、二维仿射平面、三维仿射空间.（二） 仿射几何学： 主要研究仿射空间中的图形在仿射变换下不变的几何性质. 如共线性、平行性、单比，等.三维仿射空间中A 的仿射坐标系： 设1e 、2e 、3e 是三维仿射空间A 中三个不共面的向量，称它们为A 中的一组基. 可以证明，空间A 中的任意向量m A ∈，可用基1e 、2e 、3e 表示123m x e y e z e =++，把有序实数(),,x y z 称为向量m 的仿射坐标. 空间A 中的一个点O 与一组基{}123,,e e e ，合在一起{}123;,,O e e e 称为空间的一个仿射坐标系 （也称为仿射标架）. 也常用记号123OM m x e y e z e ==++.仿射坐标系中的1e 、2e 、3e 只需不共面，不必相互垂直. 若两两互相垂直，则仿射坐标系就是直角坐标系.仿射变换： 设仿射空间A 中有两组仿射坐标系{}123:;,,I O e e e 、{}123:';',','II O e e e ，点'O 在仿射坐标系{}123:;,,I O e e e 中的坐标为()000,,x y z ，'j e 在{}123:;,,I O e e e 中的坐标为 ()123,,,1,2,3j j j a a a j =， ① {}123:;,,I O e e e 到{}123:';',','II O e e e 的点的仿射坐标变换公式： 设点P A ∈在I 、II 中的坐标分别为(),,x y z 、()',','x y z ， 则111213021222303132330'''x a a a x x y a a a y y z a a a z z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦； ② {}123:;,,I O e e e 到{}123:';',','II O e e e 的向量的仿射坐标变换公式： 设向量OM 在I 、II 中的坐标分别为()123,,u u u 、 ()123',','u u u ，则111121312212223233132333'''u a a a u u a a a u u a a a u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.射影几何 ——（一） 射影平面、射影空间在仿射平面、仿射空间中，引进无穷远点，则称它们为扩大了的仿射平面、扩大了的仿射空间.在扩大了的射影平面、射影空间中，若将原有的点与引进的无穷远点不加区别，得到的平面、空间就称为射影平面、射影空间.在射影空间中，任意两条直线必定相交（平行直线相交于无穷远点）、任意两个平面必定相交（平行平面相交于无穷远直线）、任意直线与平面必定相交（平行于平面的直线与平面相交于一个无穷远点）.（二）射影几何学在定义齐次坐标、射影坐标、射影变换之后，就可以讨论射影空间中图形在射影变换下不变的性质了.平行公理是欧几里得几何的“灵魂”，若将其余4个公理保留，将“欧几里得平行公理”改为“罗巴切夫斯基公理”，就可推出罗巴切夫斯基几何的全部内容.数学科学中，允许同时成立两个对立的公理体系，而且这种对立的体系具有同样的真理性.11。
数学中的代数几何与射影代数几何
数学中的代数几何与射影代数几何数学是一门极富内涵和广泛应用的学科，它被分为众多的分支，其中代数几何和射影代数几何是两个相互关联的重要分支。
本文将介绍数学中的代数几何与射影代数几何，并探讨它们在数学领域中的应用和重要意义。
一、代数几何代数几何是代数学和几何学的交叉学科，它研究的是由代数方程定义的几何对象。
代数几何通过利用代数的方法来研究几何问题，将几何问题转化为代数问题，并利用代数工具来解决这些问题。
代数几何主要研究代数簇、代数空间、复流形等代数结构与几何结构之间的联系。
代数几何的研究对象主要是代数簇。
代数簇是n维仿射或射影空间中的一类几何对象，它由一组多项式的零点组成。
代数簇的研究涉及到代数方程理论、拓扑学、微分几何等多个数学分支，它为解决几何问题提供了强有力的工具和方法。
代数几何在数学研究以及应用中有着广泛的应用。
例如，在密码学中，代数几何的理论被应用于构建密码系统中的代数编码；在图像处理中，代数几何提供了对图像的几何分析和处理的数学基础；在自然科学中，代数几何的方法被用于解决天体力学、量子力学等领域的问题。
二、射影代数几何射影代数几何是代数几何的一个重要分支，它研究的是射影空间中的几何对象。
射影空间与仿射空间是代数几何中的两个基本空间，它们之间存在着密切的联系。
射影空间是对仿射空间的一种推广，它是由仿射空间再加上无穷远点所形成的。
在射影空间中，每条直线都会与无穷远点相交，从而消除了仿射空间中平行线无交点的问题。
射影几何的研究对象是射影簇，它是由一组齐次多项式的零点组成的几何对象。
射影代数几何的应用十分广泛。
在计算机图形学中，射影几何的理论提供了描述和变换三维对象的数学基础；在相对论物理学中，射影几何的方法被用于描述时空的结构；在统计学中，射影几何的理论为多元统计分析提供了数学工具。
总结：代数几何和射影代数几何是数学中两个重要的分支，它们通过代数与几何之间的关联，为解决几何问题提供了有力的工具和方法。
射影定理的应用与证明过程
射影定理的应用与证明过程射影定理是代数几何学中的重要定理，它能够将代数对象与几何对象之间建立起关联，为解决几何问题提供了一种有效的方法。
本文将介绍射影定理的应用以及相关证明过程。
一、射影定理的应用射影定理广泛应用于几何学、代数学、图论等领域，下面以几种具体的应用为例进行介绍。
1. 几何应用：射影定理可用于求解线、点以及曲线之间的关系。
例如，我们可以基于射影定理来证明两条直线的交点是否存在、判断点是否在曲线上等几何问题。
在计算机图形学中，射影定理也常被用于进行三维场景的投影变换和裁剪等操作。
2. 代数应用：在代数学中，射影定理可以用来研究多项式的性质和根的情况。
例如，通过射影定理可以证明某个多项式的根都是实数或者复数，进而推导出一元多项式的因式分解定理等重要结果。
3. 图论应用：射影定理在图论中也有应用，特别是在有向图的研究中。
通过射影定理，我们可以分析有向图的可达性问题，判断一个节点是否可达其他节点，以及求解图的连通性和强连通性等问题。
二、射影定理的证明过程射影定理的证明过程需要基于代数几何学和线性代数的相关知识，这里将简要介绍射影定理的证明思路。
射影定理的证明可以分为两个步骤：首先证明射影的定义是合理的，然后证明射影定理成立。
1. 射影定义的合理性证明：首先引入射影空间的概念，射影空间是一种把欧几里德空间中的点与直线无缝衔接的数学模型。
通过定义射影空间的一些性质，证明射影空间中的点和直线满足欧几里德几何学的基本公理，从而合理地扩展了几何空间的概念。
2. 射影定理的证明：射影定理的核心思想是通过射影变换将几何对象映射到射影空间中，并利用射影空间中的性质来分析几何对象之间的关系。
这一证明过程需要运用代数几何学中的相关理论和技巧，包括多项式理论、线性方程组的求解以及矩阵运算等。
在证明射影定理的过程中，可能还需要引入其他辅助定理或结论，以构建一个完整的证明链条。
具体证明过程的复杂程度取决于问题的具体情况和使用的工具。
射影几何学初步
定理５.２（帕普斯（Pappers）定理）
设 A, B,C 和A', B', C ' 都是共线点组，并设 M 是
直线 AB' 和 A'B 的交点， N 是直线 AC' 和 A'C 的交
点， P 是直线 AC' 和 A'C 的交点，则 M , N, P 共
线．
定理５.１
• A 如果两个三角形对应顶点的连线交于一点， 并且对应边都相交，则三个交点共线．
第五章 射影几何学初步
• １ 中心投影 • ２ 射影平面 • ３ 交比 • ４ 射影坐标系 • ５ 射影坐标变换与射影变换 • ６ 二次曲线的射影理论
§1 中心投影
从上一章中知道平面的仿射变换的重要特性是把
共线的三点变成共线的三点。我们还会遇到更一般的从
一平面到另一平面保持点的共线关系的映射。例如,给
•
象。为了使中心投影成为一个映射并且是双射,就需要
•
在 1与1 上添加一些新的点,使点M 0 都有象,点 N 1
•
都有原象。这样的添加了点的平面就形成了射影平面
•
的概念 。
图(5.1) O
M理５.１（德扎格（Desarques）定理）
如果两个三角形的对于顶点的连线（有 三条）交于一点，则它们的对应边的焦点 （有三个）共线．
• B 如果两个三角形对应顶点的连线交于一点， 并且它们的一对对边平行，其他两队对应边相交， 则两个交点的连线平行与第一对对应边．
• C 如果两个三角形对应顶点的连线交于一点， 并且已知它们的两对对应边平行，则第三 对对应边也平行．
了两个相交平面
1与
以及两平面外的一点O,将点
1
几何学中的射影定理和相似三角形——几何知识要点
几何学中的射影定理和相似三角形——几何知识要点几何学是研究空间和形状的学科，其中射影定理和相似三角形是其中重要的概念和定理。
本文将介绍这两个知识点，并探讨它们在几何学中的应用。
一、射影定理射影定理是几何学中的重要定理之一，它描述了两条平行线与一条横截线所形成的射影关系。
射影定理可以用于求解平行线之间的距离、角度和比例等问题。
射影定理的几何表述如下：当一条横截线与两条平行线相交时，它们所形成的对应的线段长度相等。
换句话说，射影定理说明了平行线与横截线之间的相似关系。
射影定理的应用非常广泛。
在建筑设计中，我们常常需要确定建筑物的高度、宽度等尺寸，射影定理可以帮助我们通过测量建筑物的阴影长度来确定其实际尺寸。
在地理测量中，射影定理也可以用于确定高山的高度、河流的宽度等。
二、相似三角形相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
相似三角形之间存在一种特殊的比例关系，即对应边的比例相等。
相似三角形的判定条件有两种：AAA判定和AA判定。
AAA判定是指两个三角形的对应角度相等，而AA判定是指两个三角形的两个对应角度相等且对应边成比例。
相似三角形的性质有很多。
首先，相似三角形的对应角度相等，对应边成比例。
其次，相似三角形的周长和面积之间也存在一定的比例关系。
另外，相似三角形的高度、中线、角平分线等也成比例。
相似三角形在几何学中的应用非常广泛。
例如，在地图上测量两座建筑物之间的距离时，我们可以利用相似三角形的性质来计算。
此外，在工程设计中，相似三角形也可以用于计算物体的尺寸、角度等。
总结：几何学中的射影定理和相似三角形是非常重要的知识点。
射影定理描述了平行线与横截线之间的射影关系，可以用于求解距离、角度和比例等问题。
相似三角形是具有相同形状但大小不同的三角形，其对应边成比例。
相似三角形的性质有很多，可以用于计算距离、尺寸和角度等。
这些知识点在实际应用中具有广泛的用途，对于几何学的学习和应用都具有重要意义。
通过学习射影定理和相似三角形，我们可以更好地理解和应用几何学知识，提高解决实际问题的能力。
射影问题 高二数学 立体几何
( 3 ) 若 P 点与三角形三个顶点的 那么 O 是 ABC — — 心 ( 4 ) 若 PA B PC ， 且 AB AC 那么 O 点 在 — — 线上
A 的角平分线
连线两两垂直
，
垂心
例2、PA垂直于矩形ABCD所在的平面，且 AB=3，AD=4，AP=
BD的距离
6 21 5
，求P到BC、CD、
PB
PD 34 5
3 109 5
PE 6
例 3、 直角 ABC 在平面 内 ， 点 P 在平面 外 ， 已知 P 到直角顶点 C 的距离是 24 ， 到两直角边的距离都是
6 10 ， 那么 P 点到面 的距离
12 _________
1、 若 ABC 为等腰三角形
练习:
1、一条直线在一个平面内的射影可能是（ D ） A 一个点 B一条线段 C 一条直线 D可能是一个点，能是一条直线 2、如果平面外的两条直线在平面内的射影是 一个点和不经过该点的一条直线，那么这两条 直线的位置关系（ A ） A 异面 B 平行 C 异面或平行 D异面或相交
射影定理立体几何
射影定理立体几何射影定理是立体几何中的一个重要定理，它描述了一个几何体在一个投影面上的投影和几何体的相似性之间的关系。
在本文中，我们将介绍射影定理的基本概念和应用，并探讨它在实际生活中的一些应用场景。
射影定理是从几何学的角度来研究物体的投影和相似性的定理。
在立体几何中，我们经常会遇到一个物体在一个投影面上的投影，例如一个建筑物在地面上的投影、一个人在墙上的投影等等。
射影定理告诉我们，在一定条件下，投影和几何体是相似的。
具体来说，射影定理指出，当一个几何体在一个平行于其一侧的投影面上投影时，投影和几何体是相似的。
换句话说，投影和几何体之间存在着一种比例关系，它们的相似比等于几何体和投影面之间的距离比。
例如，我们可以考虑一个长方体在一个平行于其中一个侧面的投影面上的投影。
根据射影定理，投影的形状和长方体的形状是相似的。
如果我们将这个投影和长方体分别用比例相等的边长表示，那么它们之间的比例关系就成立。
射影定理在实际生活中有着广泛的应用。
首先，它在建筑设计中起着重要的作用。
建筑师在设计建筑物时往往会通过投影来预测建筑物在不同时间和天气条件下的外观。
射影定理可以帮助建筑师准确地计算出建筑物在投影面上的投影，从而更好地评估建筑物的外观效果。
射影定理在地图制作和导航系统中也有着重要的应用。
地图制作师常常需要将三维的地理信息转化为二维的地图，这就涉及到将地球表面上的物体在地图上的投影。
通过射影定理，地图制作师可以准确地将地球表面上的物体的形状和位置转化为地图上的投影，从而制作出准确的地图。
射影定理还在计算机图形学中被广泛应用。
计算机图形学中的三维模型往往需要在二维屏幕上进行显示，这就需要将三维模型投影到屏幕上。
通过射影定理，计算机图形学可以准确地计算出三维模型在屏幕上的投影，从而实现逼真的三维图形显示。
射影定理的应用还远不止于此。
它在摄影术、天文学、物理学等领域都有着重要的应用。
在摄影术中，摄影师常常需要根据不同的角度和距离来拍摄物体的照片，这就涉及到将三维物体的形状和纹理投影到二维照片上。
射影定理在几何学中的推广及应用
射影定理在几何学中的推广及应用简介射影定理是几何学中的一个重要定理，它描述了在一个平面上，如果通过一个点将一条直线与一个圆相交，那么这个点到直线的距离与该点到圆心的距离的积等于该点到相交点的距离的平方。
推广射影定理不仅适用于直线和圆的相交，还可以推广到其他几何形状的相交问题。
下面是一些射影定理的推广应用。
射影定理推广至椭圆在椭圆上，通过一个点将一条直线与这个椭圆相交，同样可以应用射影定理。
该定理表明，点到直线的距离与点到椭圆焦点的距离的积等于点到相交点的距离的平方。
射影定理推广至抛物线抛物线也适用于射影定理的推广。
通过一个点将一条直线与抛物线相交，同样可以使用射影定理，得到点到直线的距离与点到抛物线焦点的距离的积等于点到相交点的距离的平方。
射影定理推广至双曲线双曲线也是射影定理的一个推广对象。
通过一个点将一条直线与双曲线相交时，点到直线的距离与点到双曲线焦点的距离的积等于点到相交点的距离的平方。
应用射影定理在几何学中有广泛的应用。
直线与椭圆的交点在解决直线和椭圆相交的问题时，可以应用射影定理。
通过求解点到直线的距离与点到椭圆焦点的距离的比值，可以得到交点的坐标。
空间几何中的投影射影定理在空间几何中也有应用。
在空间中，如果一条直线与一个平面相交，可以利用射影定理求解点到直线的距离与点到平面的距离的比值，获得投影点的坐标。
几何构造问题射影定理也在几何构造问题中起到重要作用。
通过利用射影定理的推广形式，可以进行各种几何形状的构造。
结论射影定理是一个重要的几何定理，在直线和圆的相交问题上有广泛的应用。
同时，射影定理还可以推广到其他几何形状的相交问题，并具有广泛的应用领域。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
u f u v 0 1 0
f u cot f v / sin 0
u0 x y v0 1 1
x f 1 y 0 z c 1 0
最终得到：
的内参数构成约束，通过解方程组来得 到内参数的值。 假定 m 是圆环点的像，则：
1
m K K m0
三维射影几何
点、空间直线、平面
二次曲面 扭三次曲线：与三维重建中的退化情况紧密
秩为 1, 退化成重合的两条直线 .
切点、切线、配极对应
p在C上，则l Cp为切线 切点C C l
p不在C上，则l Cp为极线
配极对应的几何描述： 点p关于非退化二次曲线C的极线交C于两点， 且C在这两个交点的切线交于点p.
p
1
配极关系是射影不变的关系,
利用这
个关系我们可以对照相机进行标定.
P0
照相机的成像过程是一个从3维空间到2
维空间的退化的射影变换。
成像平面
X M
m
摄 像 O 机 坐 标 Y 系
Z
射影平面中的对偶
“点”与“直线”叫作射影平面上的对偶
元素。
“过一点作一直线”与“在一直线上取一
点”
在射影平面里设有点、直线及其相互结
合和顺序关系所组成的一个命题，将此 命题中的各元素改为它的对偶元素，其 结果形成另一个命题，这两个命题叫作 平面对偶命题。
点是通过该无穷远线的平面的圆环点。 绝对二次曲线是空间中所有平面的圆环点所 构成的集合，因而任意一个圆与绝对二次曲 线交于两个圆环点。 设绝对二次曲线在无穷远平面上的矩阵表示 为 ，则它的任一点 x 的切线为 l x ，反 之 l x 。配极对应也成立。
摄像机矩阵元素的几何意义
P K [ R t ] : [ H p4 ] : [ p1 p2 p3 p1T 2T p4 ] : p p 3T
主平面：p3T
轴平面:p1T,p2T
主轴:det(H)h3
主点:Hh3
鱼眼镜头
(a)
(b)
(c)
(d)
or
x
x12 2 x1 x12 2 x1 x2 1
2 i
xi yi
y
2 i
xi
yi
1 c 0
c a b c d e
f
T
x1 y1 x1 y1 x1 y1 x1 y1 x1 y1
y12 y12 y12 y12 y12
x1 x1 x1 x1 x1
y1 y1 y1 y1 y1
射影空间
对 n 维欧氏空间加入无穷远元素, 并对有限 元素和无穷远元素不加区分, 则它们共同构成 了 n 维射影空间.
平面无穷远点 p ( x, y,0)T , x, y至少有一个非零 平面无穷远直线 l (0,0,1)T
空间无穷远点 P ( x, y, z,0)T , x, y, z至少有一个非零 空间无穷远平面 (0,0,0,1)T
圆环点(the circular points)
平面上任何圆与无穷远直线的交点：
x 2 y 2 2dxt eyt ft 2 0 t 0
x2 y2 0 t 0
1 1 I i , J i 0 0
(e)
(f)
(g)
(h)
全向摄像机
射影几何学简介
主要内容
一．
二． 三． 四． 五． 六． 七．
叉积(×) 交比、调和共轭 射影变换 二次曲线及其对偶 对极关系 圆环点 绝对二次曲线
为什么要学习射影几何？
照相机的成像过程是一个(退化的)射影
变换(透视或中心射影)的过程：
物体与其影像不同，但是又有着一些共同的几何性质。
Sn , S
记
' n
点用齐次坐标表示,
则射影变换可用一个 (n+1)×(n+1) 的矩阵表示:
' x1 x1 t11 , , t1( n 1) ' x xn t ( n 1)1 ,, t ( n 1)( n 1) n ' x 0 x0 P' T P
二次曲线的对偶： 射影平面上点与直线是对偶的，将二次曲 线的点元素换为线元素，则这些线的包络 为一个二次曲线。
Point conic
Line conic
非退化的二次曲线的对偶： 二次曲线
X CX 0
（ X 为点坐标） （L 为线坐标）
的对偶为：
L C * L 0
C C1
该矩阵的右零向量 即是.
SVD
如果矩阵 (aij ) 的行列式非零, 则这个二次 曲线非退化. 否则二次曲线退化为两条 直线, 或一条直线. 例如: 圆, 椭圆, 双曲线和抛物线都是非退 化的二次曲线.
秩为2, 退化成两条直线 l , m, 则 C lm T ml T
性质： 1.rank([v ] ) 2 2.[v ] v 0, v [v ] 0
T
3. y [v ] y 0
T
两点、两线的叉积
l p1 p2 p l 1l 2
共线点的交比（Cross-ratio）
直线坐标系：
p1 , p2 p up1 vp2 ˆ ( u, v )T p ˆ 1 (1,0)T , p ˆ 2 (0,1)T p
对偶原则：在射影平面里，如果一个命
题成立，则它的对偶命题也成立。
例如：
命题：通过不同两点必有一直线。
对偶命题：两不同直线必有一交点。
共线的四个点有交比,
根据对偶, 共点的
四线也有交比.
P1
P2
P3
P4 L4
L1
L2
L3
(P1, P2; P3, P4)=(L1, L2; L3, L4)
i , j 1
a
3
ij
xi x j 0
(aij a ji )
的所有点的集合构成一条由 aij 决定的 二次曲线C, 其中至少有一个 aij 非零.
在二次曲线的定义中的方程又可以写为:
a11 a12 a13 x1 x1 x2 x3 a21 a22 a23 x2 0 a a a x 31 32 33 3
矩阵 (aij ) 是对称的, 它的秩在一个非退化 的射影变换下保持不变. 5DOF:{a11:a12:a13:a22:a23:a33}
5点确定一条直线
二次曲 线过点( x i , yi ,1)T , i 1,...5，则 ax i2 bx i yi cy i2 dx i ey i f 0
图像像素坐标系
xw u ffu ffu cot u0 y z c v 0 ffv / sin v0 R t w zw 1 0 0 1 1
二次曲线(Conic)
ax bxy cy dx ey f 0
2 2
齐次化，令 x x1 / x3 , y x2 / x3
2 2 ax12 bx1 x2 cx2 dx1 x3 ex2 x3 fx3 0
记射影平面上点的齐次坐标为 ( x1 , x2 , x3 ) , 则 满足一个二次方程, 即:
K
世界坐标系
这是忽略畸变的线性成像模型
P K[ R t ]
f K 0 0 s rf 0 u0 v0 1
焦距 主点
focus
length
principal point
尺度因子 scale factor
倾斜因子 skew factor
估计内参数Ｋ(5DOF)：Camera Calibration 估计外参数R, t(6DOF): Pose Estimation; Pose Determination
1
绝对二次曲线的像与照相机的内参数紧 密相连. 假定照相机的内参数为:
f K 0 0 s rf 0 u0 v0 1
则绝对二次曲线的像是:
X K K 1 X 0
反之, 如果绝对二次曲线的像已知, 则 K 可以被完全确定.
如果圆环点的像已知，也可以对照相机
线性摄像机成像模型
图像像素坐标系 图像物理坐标系 摄像机坐标系
0 f 0 xc 0 0 yc 0 0 z c 1 0 1
世界坐标系
xc y c R T zc 0 3 1 xw t y w 1 xw 1
交比不依赖 于参数化的 选择。
调和共轭
p3 p1 1 p2 , p4 p1 2 p2
1 ( p1 , p2 ; p3 , p4 ) 2
若( p1 , p2 ; p3 , p4 ) 1 ，则称p1 , p2与p3 , p4成调和共轭。
射影变换
是两个由点组成的射影空间, ' T 是由 S n 到 S n 的映射. 如果 T 保持: (i) 点和直线的结合关系. 比如: 点在直线上; 直线通过点; 等等. (ii) 共线的四个点的交比. 则 T 被叫作 n 维射影变换.
P R p
1 1
P R l
2 2
P R
3 3
无穷远点的像
叉积（×）
v ( x , y , t )T y 0 t [v ] t 0 x 0 y x x1 x 2 [ x1 ] x 2 x 2 x1