射影几何对初等几何教学的指导.
射影几何(正式版)
射影几何首先，射影几何学是几何学的一个重要分支学科。
概括的说，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的学科。
那射影几何的某些内容在公元前就已经发现了，但直到十九世纪才形成独立体系，趋于完备。
接下来，我将从以下4个方面介绍射影几何。
（1，2，3，4）首先是第一点，从透视学到射影几何在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临了如何呈现的问题。
例如如何将平行的9个长方体从一个角度观察并呈现在了二维纸面上。
正是这种冲突，刺激并导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学。
这里不得不提起一个数学透视法的天才，阿尔贝蒂。
他是当时意大利著名建筑师、建筑理论家。
意大利文艺复兴时期最有影响的建筑理论家。
一生致力于理论研究，著有《论绘画》、《论建筑》、《论雕塑》，其中《论建筑》为当时最富影响、最具代表性的建筑理论著作，书内列有研究建筑材料、施工、结构、构造、经济、规划、水文、设计等章节，完整地介绍了他的建筑思想。
另外《论绘画》一书（1511）则更是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。
接下来就是第2点了——射影几何的早期发展在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，其早期开拓者德沙格、帕斯卡等主要是以欧式几何的方法处理问题(这点很重要)。
但是由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘。
德沙格：生在法国，也死在法国，和当时的笛卡尔、费尔马等领头数学家都是好朋友，这批人的活动和所取得的成就，使法国成为当时世界上最辉煌的国度。
身处这一旋涡的德扎格以其新颖的思想和独特的数学方法，对于透视法产生的问题给予数学上解答，开辟了数学的一个新领域，成为射影几何学的先驱的第一人。
帕斯卡：法国著名的数学家、物理学家、哲学家和散文家。
主要贡献是在物理学上，发现了帕斯卡定律，并以其名字命名压强单位。
射影几何在初等几何解析几何中的一些应用
”
。
学
Bc
》 P 84 )
论 来 研 究 初 等儿 何 或 解 析 几 何 中 有 关 问 题 的 时候 就 意 味着 我 们 从 射 影 平 面 回 到 了 拓 广
,
、
例一
c D
、
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牛顿
D A
、
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,
AB
、
是 完 全四 边 形 的 四 边
AC
、
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、
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产
AR
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B
( 证毕 )
例二 三 角形 A
自三 角形
,
A BC 三 CAQ
。
边 分别 向外 作 正
BR
B C P,
。
证明A P
Q
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、
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、
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、
正三 角形 的 中 心 亦共 点
。
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P
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、
BQ”
” CR 三 线
BC A B
… …
M R
Q L L Q B C A P K ,c ’ Q L
这 里 能 联系
,
三 条对 角线B D 在 一条直 线上
。
E F 的 中点
L
、
N
的 当然 只 能 是 那 些 与 射 影 性 质 有 关 的 间题
这 条 直 线 叫 做完 全 四 边 形 的
即 与 在 射 影 变 换 下 图 形 的 不 变 性 质 及不 变 量 有 关 的 问题
高等几何对初等几何相关指导作用分析
高等几何对初等几何相关指导作用分析摘要高等几何是利用克莱因的变换群的观点定义的几何学，其能从更高的角度探索初等几何，对初等几何的相关证明、理论依据和命题的构造方面具有很好的指导作用。
本文分析了高等几何对初等几何相关指导作用，阐明了其之间的相互关系，并利用高等几何的思想方法对初等几何命题进行变换，通过实例从高等几何在点线结合、交比、反射变换和射影变换方面对初等几何的指导作用进行了探究，并阐述了高等几何对初等几何的作用在现代中学数学教学中的意义。
【关键词】高等几何；初等几何；变换AbstractHigher geometry is the use of the transformation of the view of klein, the definition of geometry Angle from higher primary geometry, to explore the relevant proof, elementary geometry theory and structure of proposition has very good guidance. Based on the analysis of higher geometry elementary geometric related guidance, illustrates the relationship between higher geometry, and using the method of elementary geometry proposition to transform from higher geometry, through examples in point, line, combined with reflection and projective transform, to transform the guiding role of elementary geometry.【Keyword】higher geometry；elementary geometry；transform前言初等几何是一种可测量的几何，比较直观、易懂，而高等几何较抽象、难理解. 但高等几何是初等几何的延深课程，二者之间有很深的渊源.高等几何作为一门几何课程，有着自身的特殊作用，高等几何知识与初等几何知识的沟通，为我们提供了解决初等几何的一些方法.学好高等几何，就能在更高层面上认识几何学的基本特性，研究方法，内在联系，可以认识到几何学的本质，深化和发展几何空间概念，以便更深入地驾驭和掌握初等几何的内涵和外延。
完全四点形和完全四线形调和性质应用例析
完全四点形和完全四线形调和性质应用例析作者：何璇摘要本文对高等几何中的完全四点(线)形的调和性质进行了归纳整理，主要研究内容是通过运用完全四点形和完全四线形调和性质解决一些几何证明、几何作图、研究二次曲线的一些性质等几何问题，来体现高等几何的一些思想观点和方法。
从而能够用现代几何学的观点处理初等几何问题,使解题更简洁，拓宽解题思路 ,提高解题能力。
关键词：完全四点（线）形；调和性质；高等几何；初等几何AbstractThe paper gives a simple summary to harmonicity of complete quadrangle (complete quadrilateral) in Higher Geometry. Its main research content is to figure out some problems including geometrical proving, geometrical drawing and researching the characters of the conics via the harmonicity of the complete quadrangle (complete quadrilateral), which incarnates some viewpoints and methods in higher geometry. Accordingly, we can deal with the problems on elementary geometry by using views of modernistic geometry, which can simply solve problems, broaden train of thought and improve the capacity to solve problems.Key words: complete quadrangle (complete quadrilateral); harmonicity; Higher Geometry; Elementary Geometry1.前言射影几何对初等几何教学的指导，不仅表现在提高数学思想与观点上，还直接表现于对初等几何图形的射影性质的研究中(参见文[9][11])。
笛沙格定理在初等数学中的简单应用
笛沙格定理在初等数学中的简单应用1 序言17世纪法国数学家笛沙格，他是射影几何的奠基人，在射影几何方面的工作具有创造性成 就．他年轻时不仅做过工程师还做过建筑师，在学术研究方面他也不赞成为理论而搞理论，更注重于将理论应用于实际．但由于笛沙格当时的手稿写作手法晦涩难懂并且当时正值欧洲文艺复兴后，解析几何、微积分等学科的产生和发展，使得人们热衷于新兴领域，而传统数学几何学发展相对滞后，基于各种原因在很长一段时期内笛沙格的研究被人们所忽略，直到200多年后笛沙格的射影几何学术思想才引起人们的普遍重视，他的重要理论才得以被人们所认知．2 预备知识2.1 笛沙格定理内容及特例[1](P58-59)笛沙格定理两个三角形ABC 和'''C B A 中,若对应顶点的连线'AA ,'BB ,'CC 共点,则对应边的交点'','',''B A AB R A C CA Q C B BC P ⨯=⨯=⨯=共线.(图1) 笛沙格定理的逆定理设两个三角形中三对对应边的交点共线，则三对对应顶点的连线共点. 常见笛沙格定理的特殊情况 1 有一对对应点重合 见图2 2 有两对对应顶点重合 见图３(图2) (图3) 定理拓展在平面几何中适用笛沙格定理，拓展到空间几何学，他同样适用.如图（4）,（5）所示:(图4) (图5)2.2 笛沙格定理的证明 定理的证明有若干种方法，而且方法涉及面很广，在此选取较容易理解的两种方法和大家一起来分享.1 线性代方法证明[1](P59)2 应用梅涅劳定理证明 证明 （如图1）对于''C OB ∆及截线BCP1''''-=⋅⋅CO CC PC P B BB OB 对于''B OA ∆及截线BAR1''''-=⋅⋅BOBB RB R A AA OA对于''C OA ∆及截线ACQ1''''-=⋅⋅C C COQ A QC OA AA 三式相乘得1''''''-=⋅⋅QA QC RB R A PC P B 对于'''C B A ∆用梅涅劳定理可得PQR 三点共线.3 笛沙格定理的重要地位3.1 笛沙格定理在高等几何中的重要性笛沙格定理是《高等几何》中的重要定理，它是平面（二维）射影几何的重要基础之一，高等几何的许多定理都是以它为基础，他也是许多初等数学中定理和命题的理论依据,由此还可以推出一系列几何命题．而且定理在空间几何中也有部分的应用.3.2 高等几何与初等几何的联系高等几何不仅是对初等几何理论的提高，同时也是对初等几何的延伸与拓广。
空间对偶原理在初等几何教学中的应用举例
由三个通常点所确定由两个通常点和一个无穷远点所确定由一个通常点和二个无穷远点所确定空间对偶原理在初等几何教学中的应用举例相关高等几何的教科书里都收集了射影空间相关点、面的对偶原理，然而却没有象在提出射影平面中的点、直线的对偶原理后，举出一些初等几何中的例子来说明其在初等几何教学中的应用，以使读者在学习了高等几何知识后能居高临下地把握初等几何教学中的相对应内容，本文通过对两个初等几何中常用命题在射影空间中的拓广讨论，来说明空间对偶原理在初等几何教学中的应用。
为了阅读上的方便，我们把射影空间中的对偶原理叙述如下:在射影空间相关点与平面位置关系的定理中，只要把其中的名词“点”和“平面”互换一下，再相对应改变它们之间的连接词，则立即可得另一个定理——这样的一个定理称为原定理的对偶原理，原定理的准确性能够肯定其对偶原理的准确性，反之也真，这就是射影空间中的对偶原理。
显然这里的点、直线和平面既包括初等几何中的点、直线和平面（也称为通常点、通常直线和通常平面），又包括了射影空间中的无穷远点、无穷远直线和无穷远平面。
有兴趣的读者能够参阅本文后的附录《关于“拓广空间”的概念及其对偶原理》一文。
一、初等几何中的两个命题及其在射影空间中的推广在现行的中学立体几何教材中，大都收入了初等几何内的两个命题，一个通常被称为“公理3”，表述为:“经过不在同一直线上的三点，有且仅有一个平面”；另一个被作为习题:“如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线互相平行或相交于一点”如果我们去掉两个命题中对点、直线和平面都必须是通常点、通常直线和通常平面的限制，那么它们在射影空间里就是一对对偶命题，我们在这里不妨将“公理3”在射影空间的拓广记为命题一，“习题”在射影空间中的拓广为命题二。
并对它们在射影空间中的准确性加以证明证明:在已知的三点A 、B 、C 中任取二点，不妨取A 、B 二点，能够由本文附录中的约定（1）得A 、B 决定且只决定一条直线AB 。
数学文化射影几何
射影几何原理
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射影几何原理
连续性原理
对偶原理
射影几何原理
射影几何原理 原理一：连续性原理：通过投影或者其他方法把某一图形变换成另一个 图形的过程中的集合不变性。 C S A D S A B B
C
D
射影几何原理
射影几何原理
原理二：对偶原理：在射影几何里，把点和直线叫做 对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一 点”叫做对偶运算。在两个图形中，它们如果都是由点 和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元 素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。 这两个图形叫做对偶图形 。如果在它涉及的定理中，将 “点”换成“线”，同时将“线”换成“点”，那么就 可以得到一个新的定理。例如考虑著名的帕斯卡定理和 布里昂雄定理：
射影几何原理
射影几何原理
帕斯卡定理： 对于任意内接于非退化的二阶曲线的简 单六点形，它的三对对边的交点在一条直线上。
射影几何原理
射影几何原理
它的对偶形式则是：对于任意一个外切于非退化的二 级曲线的简单六线形，它的三对对顶点的连线交于一点
F A
E
B
D
C
射影几何原理
射影几何原理
这就是射影几何学所特有的对偶原则。在射影平面上， 如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做 平面对偶原则。同样，在射影空间里，如果一个命题成 立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。 1872年，德国数学家F·克莱因(Felix Klein)在爱尔朗 根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提出用变换群 对几何学进行分类，就是凡是一种变换，它的全体能组 成“群”，就有相应的几何学，而在每一种几何学里， 主要研究在相应的变换下的不变量和不变性。
关于点共线、线共点问题的多种证法
关于点共线、线共点问题的多种证法学生姓名：贾娟 指导教师：杨慧摘要： 在初等几何中，我们常常会遇到点共线、线共点这方面的问题。
而射影几何的基本不变性是点线的结合性，因此点共线、线共点问题是射影几何的主要研究对象之一。
对于点共线、线共点问题的解决方法也有很多，本文则主要探讨的是利用射影几何方法与初等几何方法解决这类问题，通过比较发现具体问题用哪种方法更合适，以及解题时需要注意的问题。
关键词： 射影变换 德萨格定理 完全四点形 赛瓦定理 一维基本形的透视对应作为师范类院校的学生，将来若想成为一名合格的中学数学教师，就必须在学习解析几何的基础上再进一步学习高等几何。
而高等几何对中学数学教师几何基础的培养、解题观点的提高、思维方法的多样性等都起着重要的指导作用。
对于高等几何到来说，尤其是其中的射影几何，既包含了解析几何中主要研究图形性质的内容，也融合了欧氏几何中主要研究空间几何结构的内容。
因此，学习高等几何知识，不仅使我们开阔了几何学的视野，也让我们更好地理解、把握了初等几何的本质。
比如初等几何中点共线、线共点的问题，在中学数学教学中既是一个重点也是一个难点。
如果只是用初等几何方法去解决，有时会很复杂，相反若要用射影几何中的知识如完全四点形的调和性质、德萨格定理及其逆定理、一维基本形的透视对应性质等知识点来解决，会更简便。
这样也为我们提供了多种解决初等几何问题的研究方法。
用高等几何的观点指导初等几何的教学内容，进而不断地改进初等几何的教学方式，这样也有助于提高中学几何的教学质量。
1.主要定义及定理 一维基本形的透视对应：定义1如果一个点列与一个线束的元素之间建立了一一对应且对应元素是结合的，则这个对应叫做点列与线束之间的透视对应。
同理，如果两个点列与同一线束成透视对应，则这两个点列叫做透视点列；如果两个线束与同一点列成透视对应，则这两个线束叫透视线束。
由此可知，两个成透视对应的点列，其对应点之连线共点。
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前言射影几何对初等几何教学的指导，不仅表现在提高数学思想与观点上，还直接表现在对初等几何图形性质的研究中。
由射影几何、仿射几何和欧氏几何三者的关系，我们知道，欧氏几何为仿射几何及射影几何的子几何，因此可以通过图形的仿射性质和射影性质，指导研究初等几何中的一些问题。
完全四点（线）形的调和性是射影几何的重要不变性，它在射影几何中占有重要地位，不仅如此，它在初等几何中也有广泛应用。
由于它跟初等几何课程有紧密的联系，它对未来中学数学教师在几何方面基础的培养、观点的提高、思维的灵活、方法的多样起着重要作用，从而有助于中学数学教学质量的提高和科研能力的培养，所以我尽量从几何的概念出发，运用活生生的几何直观，作为简化思维过程进行高度概括总结的武器。
经验表明，学了射影几何之后，学生对几何的学习兴趣提高了很多。
所以紧密联系中学数学教学，是本论文的着重点之一。
1.完全四点(线)形的定义及性质1.1 完全四点形的定义定义1 平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图形称为完全四点形(完全四角形),记作完全四点形ABCD。
定义1′完全四点形含四点六线,每一点称为顶点,每一直线称为边,不过同一顶点的两边称为对边,六边分为三对,每一对对边的交点称为对边点(对角点),三个对边点构成的三角形称为对角三角形,如图1。
图1 图2定义2:平面内无三线共点的四直线及其两两交点所构成的图形。
称为完全四线形(完全四边形),记作完全四线形abcd。
定义2′:完全四线形abcd含四线六点,每一直线称为边,每一点称为顶点,不在同一边上的两个顶点称为对顶,六个顶点分为三对,每一对对顶的连线称为对顶线(对角线),三条对顶线构成的三角形称为对角三角形,如图2。
1.2 完全四点(线)形的调和性质定理1:设s、s′是完全四点形ABCD的一对对边,它们的交点是点X,若X与其它二对边点的连线是t、t′,则有(ss′, tt′) =－1。
图3证明：如图3，根据定理[1]1.10，有（AB，PZ）=（DC，PZ）同理（DC，QZ）=（BA，PZ）∴（AB，PZ）=（BA，PZ）但是（BA， PZ）=1 (,) AB PZ∴2(,)AB PZ=1但（AB，PZ）≠1因此（AB，PZ）=－1由定理[2]1.9，有（AB，CD）=(ab,cd)(ss′,tt′)=－1.推论1:在完全四点形的对边三点形的每条边上有一组调和共轭点,其中两个点是对边点,另两个点是这条边与通过第三个对边点的一对对边的交点。
证明：如图3，根据定理[1]1.10，有（AB，PZ）=（DC，QZ）同理（ML，YZ）=（DC，QZ），（DC，QZ）=（BA，PZ）∴（AB，PZ）=（ML，YZ）=（BA，PZ）又∵（BA， PZ）=1 (,) AB PZ′∴2(,)AB PZ=1但（AB，PZ）≠1 ∴（AB，PZ）=－1∴（ML，YZ）=－1=1 (,) LM YZ∴（LM，YZ）=－1即（YZ，LM）=－1。
如图1中, (QR, YZ) =-1, (PQ, XE) =－1等。
推论2:在完全四点形的每条边上有一组调和共轭点,其中两个点是顶点,另一对点偶里,一个点是对边点,另一个点是这个边与对边三点形的边的交点。
证明：如图3，根据定理[1]1.10，有（AB，PZ）=（DC，PZ）同理（DC，QZ）=（BA，PZ）∴（AB，PZ）=（BA，PZ）但是（BA， PZ）=1 (,) AB PZ∴2(,)AB PZ=1但（AB，PZ）≠1因此（AB，PZ）=－1。
如图1中, (AB, YP) =－1, (AD, ER) =－1等。
对偶地,可以得出完全四线形的调和性质。
定理2:设S、S′是完全四线形abcd的一对对顶点,它们的连线是对顶线x,若x 与其它二对顶点的交点是T、T′,则有(SS′, TT′) =－1。
图4证明：如图4，对于对顶线x，只要证(SS′, TT′) =－1，根据§2.1推论[3]2.5，只要证明（ab,pz）=－1,∵（ab,pz）=(y×a,y×b;y×p,y×z)=(cd,pz)而 (cd,qz）= (SS′, TT′) =(ba,pz)∴ (ab,pz)=(ba,pz)=1 (,) ab pz即2(,)ab pz=1但是（ab,pz）≠1,∴（ab,pz）=－1.同理可证其他两条对顶线上的四点调和共轭，证毕。
推论1:过完全四线形的对顶三线形的每个顶点有一组调和共轭线束,其中两直线是对顶线,另两条直线是此顶点与第三条对顶线上两对顶点的连线。
如图2中, E (BA, CD) =－1等。
推论2:在完全四线形的每个顶点上,有一组调和线束,其中两条边是过此点的两边,在另一对线偶里,一条是对顶边,另一条是这个顶点与对顶三线形的顶点的连线。
如图2中, F (BA, CD) =－1等。
利用上述性质我们可以较为简单明了地解决许多初等几何的问题,以使得初几与高几的学习能够融会贯通,从中体会到高几对初几的指导作用。
2．交比、调和比的定义及性质在射影平面上，共线的四个点A、B、C、D的交比记为（AB，CD）= AC BDAD BC••（其中AC、BD、AD、BC均为有向线段）。
当（AB，CD）=－1时，称四点A、B、C、D 调和共轭，－1称为调和比。
交于一点O的四直线a、b、c、d，被一条不过O的直线l截于四点A、B、C、D，定义（ab,cd）=(AB，CD)。
相应地，当（ab,cd）=－1时，称四条直线a、b、c、d调和共轭。
交比、调和比有许多重要性质，下面就本文所用到的一些性质介绍如下：性质1：完全四点形每一对边点处有一调和线束，它是过该点的一组对边与对边三点形的两边。
性质2：一个角的两边与其内、外角平分线调和共轭。
T∞T图5证明：如图5，c,d 顺次为(,)a b ∠的内外角平分线，作直线l 与d 平行，则l ⊥c ，若l 交a ，b ，c 于A ，B ，T ，则△ABC 为等腰三角形，故AT=BT因此 （AB ，TT ∞）=－1于是 (ab,cd)=－1.性质3：(AB,CD ∞)=－1的充要条件是C 为AB 的中点。
P 1P 324图6证明：如图6，⑴充分性：3P 是1P ，2P 的中点，∴ ()123P P P =－1又4P 为无穷远点，根据定理1.4，有()124P P P =1∴ ()1234,P P P P =－1⑵必要性：∵ ()1234,P P P P =－1若4P 为无穷远点，则()124P P P =1于是 ()123P P P =－1∴3P 是线段1P 2P 的中点。
性质4：若（AB ，CD ）=（AB ，CD ′），则D 与D ′重合。
性质5：若调和线束中基线对互相垂直，则它们必为分线对所成角的内外平分线。
3. 完全四点形调和性的应用3.1 应用完全四点形的调和性解初等几何的问题利用完全四点形的调和性可以比较简捷地解决一些初等几何中的平分角度问题，共点共线问题、中点问题、线段相等问题、平行性问题及比例线段问题。
（1）证明角平分线问题例1 定理 若P(AB,CD)=－1,且PC ⊥PD,则PC,PD 是∠APB 的内、外角平分线.证：如图7，以PD,PC ,即PC:x=0; PD:y=0,设 PA:y=λx; PB:y=μx,∵ P(AB,CD) =－1, ∴ P(DC,AB) =－1,故 λμ=－1,μ=－λ.从而直线PA,PB 与PD 的夹角相等,∴PD 是∠APB 的外角平分线.再由PC ⊥PD,可知PC 是∠APB 的内角平分线.定理得证.例2 设X 为△ABC 的高线AD 上的任一点, BX 、CX 延长线交对边于Y 、Z,则DA 平分∠YDZ 。
图8证明:如图8,设DY 与CZ 交于O,则DCYX 为完全四点形,由完全四点形的调和性,有(CX, OZ) =－1以D 为射影中心向这四点投影得（DC 、DX, DO 、DZ ） =－1又∵DX⊥DC,则知DX, DC分别为∠ODZ的内、外角平分线,即DA平分∠YDZ。
当△ABC为钝角三角形时,仿上同理可证。
例3 两圆相交于A、B两点,过A引AB的垂线,交两圆于C、D,连BC、BD交两圆于E、F,证明AB平分∠EAF或其外角。
证明：设AF交CB于G,视ABGD为完全四点形,仿上例可同理证明本题结论。
由以上两例不难看出,利用完全四点(线)形的调和性解决某些初等几何平分角问题时,主要在于完成两个步骤,一是构造四边形,得四直线调和分割,二是设法建立交错二直线相互垂直关系,由此即可证明平分角结论。
（2）证明共线共点问题例4 设X、Y、Z是完全四点形ABCD的三个对边点, XZ分别交AC、BD于L、M,证明YZ、BL、CM共点。
ZMLX图9证明:如图9,在完全四点形ABCD中,据定理1的推论1知,边AC上的四个点A、C、Y、L是一组调和点,即(AC, YL) =－1。
又在完全四点形YBZL中,设LB与YZ交于N, MN交YL于C′,据定理1的推论1知,边YL上的四点Y、L、C′、A是一组调和点,即(YL, AC′) =－1。
由于 (YL, AC′) =－1,故 C≡C′,∴YZ、BL、CM共点于N。
例5 设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上的点,且DB EC FA••=,则它们三点共线(梅尼劳斯定理的逆定理)。
1DC EA FBB 图10证明:如图10,∵DBDC ≠1,则FA FB ≠EAEC ,故 EF 必与BC 相交。
设EF 交BC 于D ′,连BE 、CF 交于H 点,连AH 交BC 于F ′,得到完全四点形AFHE,由定理1的推论有(D ′F ′, BC) =D B F CD C F B ''•''=－1 (1)又AF ′、BE 、CF 共点于H,由塞瓦定理有F B EC FA F C EA FB '••'=－1 (2)(1)×(2)得D B EC FAD C EA FB '••'=1,又 DB EC FADC EA FB ••=1,故有 D B D C ''=DBDC ,且D 、D ′在BC 上,从而 D ′C=DC,∴D 、D ′重合,即 F 、E 、D 共线。
例6 三角形三个顶角的外角平分线交其对边的三点共线.证：设三角形ABC 的内心为P,AP,BP,CP 与对边交于A ′,B ′,C ′,且BC 与B ′C ′交于A 1,CA 与C ′A ′交于B 1,AB 与A ′B ′交于C 1,则(BC,A 1A ′) =－1,从而, A(BC,A 1A ′) =－1,又∵ AA ′是∠BAC 的内角平分线,∴ AA 1为∠BAC 的外角平分线.同理,BB 1,CC 1分别是∠CBA,∠BCA 的外角平分线.三点形ABC 和A ′B ′C ′的对应顶点连线共点P,由Desargues 定理可知,对应边交点A 1,B 1,C 1共线,此命题得证.由以上说明处理共点、共线的问题,最常用的方法一是把四边形视为四点形或四线形,二是用重合法进行证明。