从透视学到射影几何共25页文档
射影几何(正式版)
射影几何首先，射影几何学是几何学的一个重要分支学科。
概括的说，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来讨论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性质的学科。
那射影几何的某些内容在公元前就已经发现了，但直到十九世纪才形成独立体系，趋于完备。
接下来，我将从以下4个方面介绍射影几何。
（1，2，3，4）首先是第一点，从透视学到射影几何在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临了如何呈现的问题。
例如如何将平行的9个长方体从一个角度观察并呈现在了二维纸面上。
正是这种冲突，刺激并导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学。
这里不得不提起一个数学透视法的天才，阿尔贝蒂。
他是当时意大利著名建筑师、建筑理论家。
意大利文艺复兴时期最有影响的建筑理论家。
一生致力于理论研究，著有《论绘画》、《论建筑》、《论雕塑》，其中《论建筑》为当时最富影响、最具代表性的建筑理论著作，书内列有研究建筑材料、施工、结构、构造、经济、规划、水文、设计等章节，完整地介绍了他的建筑思想。
另外《论绘画》一书（1511）则更是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。
接下来就是第2点了——射影几何的早期发展在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，其早期开拓者德沙格、帕斯卡等主要是以欧式几何的方法处理问题(这点很重要)。
但是由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘。
德沙格：生在法国，也死在法国，和当时的笛卡尔、费尔马等领头数学家都是好朋友，这批人的活动和所取得的成就，使法国成为当时世界上最辉煌的国度。
身处这一旋涡的德扎格以其新颖的思想和独特的数学方法，对于透视法产生的问题给予数学上解答，开辟了数学的一个新领域，成为射影几何学的先驱的第一人。
帕斯卡：法国著名的数学家、物理学家、哲学家和散文家。
主要贡献是在物理学上，发现了帕斯卡定律，并以其名字命名压强单位。
从透视学到射影几何
冷门的研究
如果就几何学内容的多少来说，射影几何学< 仿射几何学< 欧氏几何学，这就是说欧氏几何 学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。 比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对 象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如 四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能 讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不 能讨论图形的度量性质。
线透视
线透视是一种把立体三维空间的形象表现在二 维平面上的绘画方法，使观看的人对平面的画 有立体感，如同透过一个透明玻璃平面看立体 的景物。
交点透视法（或称直线透视法Linear perspective） 前缩透视法（foreshortening） 仰视角透视画法（sotto in su）
射影几何
不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联 性质而不涉及度量性质(长度、角度、面积)。 但他们在证明中却用到了长度概念，而不是用 严格的射影方法，他们也没有意识到，自己的 研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几 何。他们所用的是综合法，随着解析几何和微 积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何 的探讨也中断了。
基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就 开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元 前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作 为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著 作中，出现了帕普斯定理。
在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非 常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。 那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在 一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心， 把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。 在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的 相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持 不变。这样就促使了数学家对图形在中心投影下 的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没 有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。
射影几何入门
(一)1-1对应 11. 1-1对应的定义 12. 1-1对应的意义和性质 23. 1-1对应在数学中的应用 44. 无穷集之间的1-1对应 45. 部分和整体的1-1对应, 无穷集的定义96. 无穷远点. 点列和线束107. 轴束. 基本形118. 三种基本形的六种透视对应129. 射影关系1410. 1到无穷或无穷到1的对应1611. 平面点的无穷阶数1712. 一阶与二阶无穷集1713. 通过空间一点的所有直线1714. 通过空间一点的所有平面1815. 平面上所有的直线1816. 平面系和点系1917. 空间中的所有平面1918. 空间中的所有点2019. 空间系2020. 空间中的所有直线2021. 点与数之间的对应2022. 无穷远元素22（二）1-1对应基本形之间的关系2523. 七种基本形2524. 射影性2525. Desargues 定理2626. 关于二个完全四边形的基本定理2727. 定理的重要性2828. 定理的重述2829. 四调和点概念2930. 调和共轭的对称性3031. 概念的重要性3032. 四调和点的投影不变性3133. 四调和线31 34. 四调和平面. 3135. 结果的概要性总结3236. 可射影性的定义3337. 调和共轭点相互之间的对应3338. 调和共轭的元素的隔离3439. 无穷远点的调和共轭3440. 射影定理和度量定理, 线性作图法3541. 平行线与中点3642. 将线段分成相等的n个部分3743. 数值上的关系3744. 与四调和点关联的代数公式3745. 进一步的公式3846. 非调和比（交比）39(三)射影相关基本形的结合4147. 叠加的基本形, 自对应元素4148. 无自对应点的情况4249. 射影对应的基本定理, 连续性假设4350. 定理应用于线束和平面束4451. 具有一公共自对应点的射影点列4452. 无公共自对应点的射影相关点列4553. 透视对应的两个射线束4754. 透视对应的面束（轴束）4755. 二阶点列4756. 轨迹的退化4857. 两阶线束4858. 退化情况4859. 二阶圆锥面49(四) 二阶点列4960. 二阶点列与二阶线束4962. 切线5063. 轨迹生成问题的陈述5064. 基本问题的解决5165. 图形的不同构作法5266. 将轨迹上四点连到第五点的直线5267. 定理的另一种陈述形式5368. 更为重要的定理5469. Pascal定理5470. Pascal定理中点的名称的替换5471. 在一个二阶点列上的调和点5672. 轨迹的确定5673. 作为二阶点列的圆和圆锥线5674. 通过五点的圆锥曲线5775. 圆锥线的切线5876. 内接四边形5977. 内接的三角形6078. 退化圆锥线61(五)二阶线束6379. 已定义的二阶射线束6380. 圆的切线6381. 圆锥曲线的切线6582. 系统的生成点列线6583. 线束的确定6584. Brianchon定理6785. Brianchon定理中线的替换6886. 用Brianchon定理构造线束6887. 与一圆锥曲线相切的点6888. 外切四边形6989. 外切三边形7090. Brianchon定理的应用7091. 调和切线7192. 可射影性和可透视性7193. 退化情况7294. 对偶律72(六) 极点和极线75 95. 关于圆的极点和极线7596. 圆锥曲线的内点的共轭点的轨迹7797. 更多的性质7898. 极点极线的定义7899. 极点与极线的基本定理78 100. 共轭点与共轭直线79 102. 自配极三角形79103. 射影相关的极点与极线80 104. 对偶性81105. 自对偶定理81106. 其他对应关系82(七) 圆锥曲线的度量性质83 107. 直径与中心83108. 相关的几个定理83109. 共轭直径84110. 圆锥曲线的分类84111. 渐近线84112. 有关的几个定理85113. 关于渐近线的定理85 115. 由双曲线及其渐近线切割的弦86116. 定理的应用86117. 由二条渐近线和一条切线形成的三角形87118. 用渐近线来表示一个双曲线的方程88119. 抛物线方程88120. 参引共轭直径的有心圆锥线的方程91(八) 对合(Involution) 9512 1. 基本定理95122. 线性作图法96123. 直线上点的对合的定义97 124. 对合中的二重点97125. 有关通过四点的圆锥曲线的Desargues定理99126. 退化圆锥线100127. 通过四点并与一已知直线相切的圆锥线100128. 二重对应100129. Steiner的作图方法101 130. Steiner作图法在重对应中的应用102131. 二阶点列中点的对合103 132. 射线的对合104133. 二重射线105134. 通过一固定点与四线相切的圆锥线105135. 双重对应105136. 处于对合下的二阶射线束106137. 有关对合二阶射线束的定理106138. 由一圆锥曲线确定的射线的对合106139. 定理的陈述106140. 定理的对偶107(九) 对合的度量性质109 141. 无穷远点的引入; 对合的中心109142. 基本度量定理109143. 二重点的存在110144. 二重射线的存在112145. 通过圆来构筑对合112 146. 圆点113147. 对合中的正交射线对, 圆对合114148. 圆锥线的轴114149. 由一圆锥线确定的对合的点是圆点115150. 圆点的性质115151. 圆点的位置116152. 寻找圆锥曲线的焦点117 153. 圆和抛物线117154. 圆锥线焦点性质118155. 抛物线的情况119156. 抛物面反射镜119157. 准线．主轴．顶点119 158. 圆锥线的另一种定义120 159. 离心率120160. 焦距之和与差121(十) 综合射影几何的历史123 161. 早期成果123162. 统一性原理124163. Desargues 124164. 极点与极线125165. 通过4点的二阶曲线的Desargues 定理125166. 推广到空间的极点与极线理论126167. 描述圆锥曲线的Desargues方法126168. Desargues 工作的被接纳127 169. Desargues时代的保守性127 170. Desargues的写作风格128 171. Desargues工作缺乏欣赏129 172. Pascal与他的定理129 173. Pascal的短评130174. Pascal的独创性130175. De La Hire和他的工作131 176. Descartes和他的影响132 177. Newton和Maclaurin 133 178. Maclaurin的证法133179. 画法几何与综合几何的二次复兴134180. 对偶性, 同调性, 连续性, 偶然性联系135181. Poncelet和Cauchy 135 182. Poncelet的工作136183. 解析几何妥欠综合几何的债137184. Steiner和他的工作137 185. V on Staudt和他的工作138 186. 近期的发展139附录140参考文献148索引151第1章1-1对应1. 1-1 对应的定义【定义】任意给定两个集合，如果在它们之间能够建立一种对应，使得任意一个集合中的每一个元素，都对应到另一集合中的一个且仅一个元素，那么，这两个集合就称为能够建立1-1对应的集合，简称两个集合为1-1对应（One-to-One Correspondence）。
几何透视基础知识共24页文档
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
几何透视基础知识
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
第一讲 阴影与透视概述
第一章 概述
二、阴影与透视概述
（二）透视的基本原理：中心投影 1、透视
第一章 概述
二、阴影与透视概述
（二）透视的基本原理：中心投影 2、透视图。 即透视投影，在物体与观者的位置间，假想有一透明平面， 观者对物体各点射出视线，与此平面相交之点相连接，所形成 的图形，称为透视图。 透视图是在人眼可视的范围内。在透视图上，因投影线不 是互相平行而集中于视点，所以显示物体的大小，并非真实的 大小，有近大远小的特点。形状上，由于角度因素，长方形或 正方形常绘成不规则四边形，直角绘成锐角或钝角，四边不相 等，圆的形状常显示为椭圆。
第一章 概述
二、阴影与透视概述
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关于工业设计？ 国际工业设计协会(ICSID)：工业设计是一种创造性的活动， 其目的是为物品、过程、服务以及它们在整个生命周期中构成 的系统建立起多方面的品质。 美国工业设计协会(IDSA)：工业设计是一项专门的服务性 工作 ，为使用者和生产者双方的利益而对产品和产品系列的 外形 、功能和使用价值进行优选。
第一章 概述
二、阴影与透视概述
（三）透视的名词概念
第一章 概述
二、阴影与透视概述
（三）透视的名词概念
第一章 概述
二、阴影与透视概述
（三）透视的名词概念
第一章 概述
二、阴影与透视概述
（三）透视的名词概念
第一章 概述
二、阴影与透视概述
（三）透视的名词概念
第一章 概述
二、阴影与透视概述
（三）透视的名词概念
第一章 概述
二、阴影与透视概述
（三）透视的名词概念 2、视域。 人眼位置固定时所见外界景物的范围，头部不转动，眼光 向前看，从画者的眼即视点60度角的视线所形成的圆锥，视锥 与透明“画面”相接的底面圆形，叫视圈或视域。 为了避免失真变形，我们把想要画的景物纳入60度视角以 内。但是，有些画家为了表现在他视角以外左右所见到的物象， 如图中的沙发和柜子与右边的桌子实际上是平行的，而在这里 却与画面成一定的角度，因为，那是你目光左右移动所见到的 实际样子，就象照相机换上了超广角镜头或鱼眼镜头(标准镜 头焦距为50毫米，低于这个数值就称广角或超广角镜头)，所 拍景物呈现的独特画面效果。
高等几何讲义(第3章)
a12 a22
12，det(aij)
0．
反之，也可证明(3.1)必为射影对应．
在 (3.1) 中令 1/2，/ /1//2，a a21，b
a11，c a22，d a12，则可得
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
δ/ d/
§1 一维射影变换
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
§1 一维射影变换
例4 已知两射影点列的三对对应点
{a, b, c} /{a/, b/, c/}， 求作 上任意点 d 在 /上的对应点．
作法见下图：
a
bc
dδ
a/
b/
c/
高 等 几 何 ( Higher Geometry )
的线性变换：
T:
//12 aa1211
a12 a22
12，det(aij)
0．
(3.1)
证明：不妨设两个一维基本形 I 与 II 均为点列．
在 I 上取定三点 u、v、t，使其在 II 上的对应点依
次为 II 的坐标系 / [u/, v/; t/] 中的基点和单位点．
21．
解法三：(交比法) 设 上任意点 x( )对应于 / 上
的点 x/(/ )，则
(0,1; 2, ) (1,0; 2, / )，即
(02)(1)/(0)(12) (12)(0/)/(1 /)(02)，
故所求射影对应为 3/ 4 4/ 4 0．
由以上三式联立求解，得
a: b: c: d 3 : 4 : 4: 4，
故所求射影对应为 3/ 4 4/ 4 0．
射影几何的诞生与发展.
射影几何的诞生与发展一从透视学到射影几何1．在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临这样的问题：（1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？（2）从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两个物体间具有什么关系？2．由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学的兴起(文艺复兴时期：普遍认为发端于14世纪的意大利，以后扩展到西欧，16世纪大道鼎盛)，从而诞生了射影几何学。
意大利人布努雷契（1377-1446）是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。
3．数学透视法的天才阿尔贝蒂（1401-1472）的《论绘画》一书（1511）则是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。
4．对于透视法产生的问题给予数学上解答的第一人是德沙格（1591-1661）法国陆军军官，后来成为工程师和建筑师，都是靠自学的。
1639年发表《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，这部著作充满了创造性的思想，引入了无穷远点、无穷远直线、德沙格定理、交比不变性定理、对合调和点组关系的不变性、极点极带理论等。
5．数学家帕斯卡（1623-1662）16岁就开始研究投射与取景法，1640年完成著作《圆锥曲线论》，不久失传，1779年被重新发现，他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理，即圆锥曲线的内接六边形的对边交点共线6．画家拉伊尔（1640-1718）在《圆锥曲线》（1685）这本射影几何专著中最突出的地方在于极点理论方面的创新。
7．德沙格等人把这种投影分析法和所获得的结果视为欧几里得几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加区别，但这一方法诱发了一些新的思想和观点：1）一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状2）变换与变换不变性3）几何新方法------仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量二射影几何的繁荣1．在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，并且由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘，到１２18世纪末19世纪初，蒙日的《画法几何学》及其学生们的工作，重新激发了人们对综合射影几何的兴趣，然而将射影几何变革为具有自己独立的目标与方法的学科的数学家是曾受教于蒙日的庞斯列（1788-1867）2．庞斯列曾任拿破仑的远征军的工兵中尉，1812年莫斯科战役被俘，度过了两年铁窗生活，在这两年里，庞斯列不借助于任何书本，以炭为笔，在监狱的墙壁上谱写了射影几何的新篇章。
从透视学到射影几何
1.2科学的复苏 直到12世纪，由于受翻译、传播阿拉伯著作和希腊著 作的刺激，欧洲数学才开始出现复苏的迹象。贸易与旅游 的发展，欧洲出现新兴的城市，欧洲人开始与阿拉伯人、 拜占庭人发生接触，了解阿拉伯、希腊的文化，创立了大 学（1088年博洛尼亚大学，1160年巴黎大学，1167年牛津 大学，1209年剑桥大学，1222年帕多瓦大学，1224年那不 勒斯大学）。十字军为掠夺土地的东征，使欧洲人进入了 阿拉伯世界。
第六讲 近代数学的兴起
1
1. 中世纪和文艺复兴时期的欧洲 从公元476年西罗马帝国灭亡到14世纪文艺复兴长达 1000多年的欧洲历史称为欧洲中世纪。15、16世纪是欧洲 的文艺复兴时期。 公元5－11世纪，是欧洲历史上的黑暗时期，教会成 为欧洲社会的绝对势力，宣扬天启真理，追求来世，淡漠 世俗生活，对自然不感兴趣，导致了理性的压抑，欧洲文 明在整个中世纪处于凝滞状态。
斐波纳契（Fibonacci）
8
“一对兔子，出生后第二个月开始有生育能力，每月繁殖一对小兔子。问一对兔
子一年中可繁殖出多少对兔子？”
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 89，144，…
9
Fibonacci数列的通项公式
2
1.1黑暗时期
中世纪基督教日益封建化，整个社会以宗教和神学为核心，科学 思想是异端邪说。由于罗马人偏重于实用而没有发展抽象数学，对罗 马帝国崩溃后的欧洲数学也有一定的影响，终使黑暗时代的欧洲在数 学领域毫无成就。造成数学落后的原因是多方面的，主要是战火连绵 ，神学一统天下。《圣经》是最根本的知识，教徒整日研读圣经，视 科学是神学的婢女，神学被誉为“科学的皇后”，甚至反对数学的学 习与研究。如公元529年公布的《查士丁尼法典》中的条款规定：“ 绝对禁止应受到取缔的数学艺术”。数学的发展受到沉重的打击。 因宗教教育的需要，也出现一些水平低下的初级算术与几何教材 。
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ENDBiblioteka 从透视学到射影几何6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃