从透视学到射影几何
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ENDBiblioteka 从透视学到射影几何6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃
射影几何
在19世纪以前，射影几何一直是 在欧氏几何的框架下被研究的， 其早期开拓者德沙格、帕斯卡等 主要是以欧式几何的方法处理问 题(这点很重要)。 而且由于18世纪解析几何、微积 分的发展洪流而被人遗忘。
德沙格（1591-1661） 帕斯卡（1623-1662）
加斯帕尔· 蒙日 （Gaspard Monge， 1746～1818），法 国数学家、化学家 和物理学家。
射影几何学的发展和其他数 学分支的发展有密切的关系。 特别是“群”的概念产生以 后，也被引进了射影几何学， 对这门几何学的研究起了促 进作用。
对于我们来说，射影几何最重要的 应用是在对初等几何数学的指导， 它不仅表现在提高数学思想与观念 上，还直接表现在对初等几何图形 性质的研究中。由射影 几何的性质， 指导研究初等几何中的一些问题。
射影几何的繁荣
射影几何学是专门研究图 形的位置关系的，也是专 门用来讨论在把点投影到 直线或者平面上的时影几何的早期发展； 3.射影几何的繁荣； 4.射影几何的应用；
数学透视法的天才阿尔贝 蒂（1401-1472）的《论绘 画》一书（1511）则更是 早期数学透视法的代表作， 成为射影几何学发展的起 点。
19世纪前半叶： 庞斯列（1788~1867,P-J.Poncelet）是 射影几何的主要奠基人。 在公元1822年，完成了一部理论严谨、 构思新颖的巨著——《论图形的射影 性质》。这部书的问世，标志着射影 几何座位一门学科的正式诞生。
默比乌斯：常见一种齐次坐标系，把 变换分成全等、相似、仿射、直射等 类型，给出线束中四条线交比的度量 公式等。 普吕克：引进了另一种齐次坐标系， 得到了平面上无穷远线的方程，无穷 远圆点的坐标。
完全四点形
《射影几何与透视学》课件
射影几何的应用
通过射影几何理论，可以更好地 设计建筑物的外观和内部结构。
在计算机游戏中，利用射影几何 可以创造出更加真实的三维场景 。
摄影和电影制作 建筑设计
机器人视觉 计算机图形学
利用射影几何原理，可以更好地 理解和处理图像的透视关系。
射影几何在机器人视觉中用于识 别和定位物体。
02
透视学基础
《射影几何与透视学》PPT课件
目录
• 射影几何概述 • 透视学基础 • 射影几何与透视学的关系 • 射影几何与透视学的实际应用 • 结论 • 参考文献
01
射影几何概述
Chapter
射影几何的定义
01
02
03
射影几何
研究图形在射影变换下不 变性质的几何分支。
射影变换
保持图形间点与点、直线 与直线间对应关系的变换 。
绘画艺术中的射影几何与透视学
绘画中的空间表现
利用射影几何与透视学的原理， 画家可以更好地表现画面的空间
关系和深度感。
绘画中的立体感
通过透视学的原理，画家可以创造 出更加逼真的立体感，使画面更加 生动。
绘画中的光影效果
利用射影几何的原理，画家可以更 好地表现光影效果，增强画面的层 次感和立体感。
摄影技巧中的射影几何与透视学
03
射影几何与透视学的关系
Chapter
射影几何对透视学的影响
射影几何为透视学提供了理论基础，使得透视学得以发 展。
射影几何中的投影原理为透视学中的投影提供了理论支 持。
射影几何中的一些基本概念，如点、线、面等，在透视 学中也有广泛应用。
透视学在射影几何中的应用
透视学为射影几何提供了实际 应用的场景，使得射影几何的 理论得以具体化。
射影几何简介
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笛沙格把他的射影几何思想用于圆锥曲线，得到许多新颖的结果： – 直线可以看作具有无限长半径的圆的一部分； – 焦点相合的椭圆退化为圆； – 焦点之一在无穷远的椭圆是一抛物线，等等．
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他不再把圆锥曲线看作圆锥与平面的交线，而是理解为圆的截景． 圆不仅可以变换为椭圆，而且可以变换为开口的抛物线或双曲线，这时的曲线仍看作封闭的， 只不过是一个点在无穷远而已． 笛沙格力图用投射、截景等射影几何概念统一处理各种圆锥曲线，从而为圆锥曲线的研究开 辟了广阔的前景．
• •
为什么笛沙格的书在当时被忽略呢？主要有两个原因． 一是它被差不多同时出现的解析几何掩盖了．从思想的深刻来讲，笛沙格的射影几何是可以 和笛卡儿的解析几何相媲美的．但笛卡儿的解析几何是用代数方法研究几何问题，可以迅速 得到数量结果，而射影几何主要是对几何的定性研究．当时的技术发展更需要解析几何这样 的有力工具． 第二个原因是，笛沙格的写作形式比较古怪，他引进了 70 个新术语，其中多是从植物学借 用的．例如，他用棕 (Palm)、干、树来表示三种不同性质的直线．这类语句以及不易理解的 思想，使他的书难于阅读． 除了笛卡儿、帕斯卡、费马等几位大数学家外，很少有人欣赏他的著作．
1
B′ O . A′
C′
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D′ A
D
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那么，截景与原形究竟有什么共性呢？这正是阿尔贝蒂苦苦思索而未找到答案的问题． 阿尔贝蒂还考虑到：如果在眼睛和景物之间插进两张玻璃板，它们上面的截景将是不同的； 如果从两个不同位置来观察景物，截景也将是不同的．但所有截景都反映同一景物，它们之 间必存在某种关系． 于是他进一步提出问题：同一景物的任意两个截景间有什么数学关系，或者说有什么共同的 数学性质？他留给后人的这些问题成为射影几何的出发点．
《数学史概论》课程标准
《数学史概论》课程标准课程名称：数学史概论课程类型：A类课程编码：0702033280适用专业及层次：数学计算机系教育专业、专科层次课程总学时：32学时，其中理论28学时，其他4学时。
课程总学分：2一、课程的性质、目的与任务1.本课程的性质：专业选修课2.课程目的与任务：本课程是研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会政治、经济和一般文化的联系。
数学史不是单纯的数学成就的编年记录，而是数学家在自然科学领域内克服困难、战胜危机和发现真理的斗争记录。
因此，它是培养学生素质以及了解数学发展历史的重要途径，本课程对提升学生的数学文化素养有着重要的意义。
通过教学使学生了解本课程的性质、地位和意义，知道这门课程的研究对象、范围，以及它与所学数学知识的联系，了解数学史在自然科学技术史中的地位和作用，全面提升专业素养；理解数学史的理论、思想和方法。
培养学生综合运用数学理论和方法分析问题、解决问题的能力，提高学生的整体素质；通过数学史的学习，使学生认识到要解决实际问题，自己所学知识远远不够，学而后知不足，激发学生强烈的学习愿望和求知欲。
3.课程与其它课程的联系：《数学史概论》是数学教育专业的选修课程。
数学史是人类文明史的重要组成部分，本课程不仅与数学专业的基础课程及自然科学有直接联系，也与人文历史等学科领域密切相关，所以也可作为其他专业的拓展课程，借以提高学生的整体素养。
二、教学内容、教学要求及教学重难点本课程由六个专题组成，内容应反映出数学发展的不同时代的特点，要讲史实，更重要的是通过史实介绍数学的思想方法。
教学内容可参考标准给出的可供选择的专题，并在此基础上可根据学生的知识结构及相关课程设置可相应增减专题的内容，如三次数学危机、数学的严格性与三个数学学派、从透视学到射影几何、计算机技术与对数、两项影响最大的国际数学奖励——菲尔兹奖和沃尔夫奖等，体现课程内容一定的弹性和开放性。
本课程的知识与技能要求分为知道、理解、掌握、学会四个层次，这四个层次的一般涵义表述如下：知道——是指对这门学科和教学现象的认知。
从透视学到射影几何
1.2科学的复苏 直到12世纪，由于受翻译、传播阿拉伯著作和希腊著 作的刺激，欧洲数学才开始出现复苏的迹象。贸易与旅游 的发展，欧洲出现新兴的城市，欧洲人开始与阿拉伯人、 拜占庭人发生接触，了解阿拉伯、希腊的文化，创立了大 学（1088年博洛尼亚大学，1160年巴黎大学，1167年牛津 大学，1209年剑桥大学，1222年帕多瓦大学，1224年那不 勒斯大学）。十字军为掠夺土地的东征，使欧洲人进入了 阿拉伯世界。
第六讲 近代数学的兴起
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1. 中世纪和文艺复兴时期的欧洲 从公元476年西罗马帝国灭亡到14世纪文艺复兴长达 1000多年的欧洲历史称为欧洲中世纪。15、16世纪是欧洲 的文艺复兴时期。 公元5－11世纪，是欧洲历史上的黑暗时期，教会成 为欧洲社会的绝对势力，宣扬天启真理，追求来世，淡漠 世俗生活，对自然不感兴趣，导致了理性的压抑，欧洲文 明在整个中世纪处于凝滞状态。
斐波纳契（Fibonacci）
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“一对兔子，出生后第二个月开始有生育能力，每月繁殖一对小兔子。问一对兔
子一年中可繁殖出多少对兔子？”
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55， 89，144，…
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Fibonacci数列的通项公式
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1.1黑暗时期
中世纪基督教日益封建化，整个社会以宗教和神学为核心，科学 思想是异端邪说。由于罗马人偏重于实用而没有发展抽象数学，对罗 马帝国崩溃后的欧洲数学也有一定的影响，终使黑暗时代的欧洲在数 学领域毫无成就。造成数学落后的原因是多方面的，主要是战火连绵 ，神学一统天下。《圣经》是最根本的知识，教徒整日研读圣经，视 科学是神学的婢女，神学被誉为“科学的皇后”，甚至反对数学的学 习与研究。如公元529年公布的《查士丁尼法典》中的条款规定：“ 绝对禁止应受到取缔的数学艺术”。数学的发展受到沉重的打击。 因宗教教育的需要，也出现一些水平低下的初级算术与几何教材 。
几何学新方法的开创与几何学的大革命
§2 、微分几何
• 微分几何是以微积分为工具研究曲线和曲 面的性质及其推广应用的几何学。 • 微分几何在很大程度上是微积分和微分方 程的自然产物。其基本内容是采用无穷小 的方法来研究曲线和曲面的性质。“微分 几何”这一术语是比安基（L.Bianchi,18561928）在1894年第一次使用的。 • 克莱罗1731年出版的《关于双重曲线的研 微分几何的开端。 究》可以看作微分几何的开端 微分几何的开端
• 帕斯卡终生为病魔所缠，失眠症和牙痛症经常骚 扰他的安宁．1658年某夜，难以忍受的牙疼折磨 着帕斯卡，使他彻夜不能入睡。一气之下，帕斯 卡奋起工作，竭力思索摆线的道理。说也奇怪， 竟使他忘却了痛苦。于是穷八昼夜之功，完成了 《摆线论》的名著，解决了许多摆线问题。这对 年青的莱布尼茨有很大的影响。 • 25岁时，当他正享有科学家的盛誉，竟突然决定 放弃这些科学研究，献身于哲学和宗教。这种难 以理解的行动，不能不是科学的极大损失。
射影几何学的发展
• 在彭色列之后，斯坦纳推进了射影几何的综合的 发展，他1832 年出版了《几何形的相互依赖性的 系统发展》； • 查斯纳斯继承了彭色列和斯坦纳的工作，弄清了 “交比”的含义，引进了“非调和比”（即交 比）、“单应”、“对射”等概念，给出了查斯 纳斯定理； • 此后，梅比乌斯（A.F.Mobius,1790-1868,德）、 普吕克引进了齐次坐标，开创了代数的射影几何， 使彭色列的射影几何推到一个新的高度。
几何学上的一场大革命（1）
• 掀起几何学上的一场大革命并创立了非欧几何的是高斯、 鲍耶和罗巴切夫斯基。 罗巴切夫斯基。 罗巴切夫斯基 • 第一个给欧氏公设以正确评价的是高斯。1792年他已经 第一个给欧氏公设以正确评价的是高斯 给欧氏公设以正确评价的是高斯。 年他已经 有了非欧几何的思想，这思想包括两个内容： 有了非欧几何的思想，这思想包括两个内容：一是除欧氏 几何外存在一个无逻辑矛盾的几何； 几何外存在一个无逻辑矛盾的几何；二是在这几何中第五 公设不成立。 公设不成立。1799年，他再次强调第五公设在欧氏几何 年 中无法证明，并认真开发新几何的内容。 年起， 中无法证明，并认真开发新几何的内容。从1813年起， 年起 高斯先后称他所设想的几何为： 反欧氏几何” 高斯先后称他所设想的几何为：“反欧氏几何”、“星际 几何” 非欧几何” 几何”、“非欧几何”等。 • 但是高斯治学严谨、工作力求完美、简明、严密，他谨慎 但是高斯治学严谨、工作力求完美、简明、严密， 地隐藏了自己的研究，惟恐这种新几何在直观上的“荒诞” 地隐藏了自己的研究，惟恐这种新几何在直观上的“荒诞” 很少发表。 而遭人耻笑，因而很少发表 而遭人耻笑，因而很少发表。
冷知识：射影几何的发现
射影几何是数学中的一个分支，它是关于几何图形经过投影变换后，仍然不会变化的几何性质的研究。
与基本几何相比，射影几何有投影后不变的独特性质，也正是这样的性质，射影几何能够更容易地与其他几何系统互相联系。
通过这样的密切联系，可以使用射影几何处理一些度量问题。
基于建筑学的发展和绘画雕塑的需要，射影几何的发展历史可谓十分悠久，早在古希腊时期，欧几里得就有一些关于透视的发现。
在透视中，两条平行轨道在视线远处将会相交于一点，这种两条平行直线在无穷远处相交的点在射影几何中被称为无穷远点。
为什么两条平行直线会在无穷远处相交呢？我们平常所接触到的几何是在欧几里得几何（也被称为欧氏几何）的范畴下阐述的。
几何中的所有图形经过位移或旋转变换后，性质不会发生变化，平行线会一直平行永不相交，这样的说法也是在欧氏几何的范畴中成立的。
可以说，射影几何的范畴比欧式几何小得多，它仅仅是关于投影变换后不变的几何研究。
射影几何可以通过仿射平面加上无穷远处的一条线进行建模，并将这条线看作是“一般”。
如果以解析几何做出射影几何的代数模型，将会用到齐次坐标。
由于射影几何所包含的公理最少，可以将其视为仿射几何与欧式几何的基础，从范围而言，射影几何＜仿射几何＜欧式几何。
15世纪时，意大利文艺复兴早期著名工程师布鲁内莱斯基开始对透视的几何结构进行研究；16世纪末17世纪处，无穷远点的概念被独立提出。
同一时期，法国数学家笛沙格概括了消失点的用途并纳入无穷远处的情形，发展出了构建透视图的另一种方法，开始了对圆锥曲线的研究，使得欧式几何中平行线在任何情况下都平行的特性，成为其他几何系统包括射影几何中的特例。
这一研究被法国数学家帕斯卡发现并进一步将其公式化，发展成为了帕斯卡定理。
射影几何的基础论述直到1822年才被法国数学家吉恩-维克托·彭赛列具体描述，彭赛列也因此被称为射影几何的创始人之一。
彭赛列发现了物体的不同类型的射影性质，并建立了射影性质与度量性质之间的关系。