射影面积法求二面角原理
二面角求法总结
二面角求法总结一、定义法定义法是求二面角的基本方法，它通过定义二面角的平面角来求解。
具体来说，如果两个平面相交，那么它们会在交线上形成一个角，这个角就是二面角的平面角。
通过找到这个角的两边，我们可以使用三角函数来求解这个角的大小。
二、垂线法垂线法是一种常用的求二面角的方法，它通过找到一个垂直于两个平面的交线的直线，并将这个直线延长到一个已知点，然后使用三角函数来求解这个角的大小。
这个方法的关键在于找到正确的垂线，并且这个垂线应该是垂直于交线的。
三、射影面积法射影面积法是一种利用射影面积定理求解二面角的方法。
通过找到两个平面上的两条射线和它们之间的夹角，我们可以使用射影面积定理来求解这个角的大小。
这种方法需要先找到正确的射线和夹角，然后使用射影面积定理来计算结果。
四、三垂线定理法三垂线定理法是一种利用三垂线定理来求解二面角的方法。
如果一个平面内的直线与另一个平面垂直，那么这个直线与第一个平面的交点与第二个平面的交点的连线与原直线的夹角就是要求的二面角。
这种方法的关键在于找到正确的三垂线定理的应用条件，并且正确地应用三垂线定理来计算结果。
五、角平分线法角平分线法是一种利用角平分线定理来求解二面角的方法。
如果一个平面内的角平分线与另一个平面垂直，那么角平分线与原直线的夹角就是要求的二面角。
这种方法的关键在于找到正确的角平分线的应用条件，并且正确地应用角平分线定理来计算结果。
六、向量法向量法是一种利用向量的数量积和向量积来求解二面角的方法。
通过找到两个平面上的两个向量，我们可以使用向量的数量积和向量积来计算这两个向量的夹角，这个夹角就是要求的二面角。
这种方法的关键在于正确地找到两个向量，并且正确地应用向量的数量积和向量积来计算结果。
七、坐标法坐标法是一种利用坐标系来求解二面角的方法。
通过建立适当的坐标系，我们可以将二面角的问题转化为求解一个几何量的值的问题。
这种方法的关键在于建立正确的坐标系，并且正确地使用代数方法来计算结果。
二面角四种求法_5个例题解决二面角难题
四法求二面角二面角是高考的热点内容之一，求二面角的大小应先作出它的平面角，下面介绍作二面角的平面角四种方法：定义法、垂面法、三垂线定理法、射影面积法。
（1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。
注：o 点在棱上，用定义法。
(2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。
注：o 点在一个半平面上，用三垂线定理法。
(3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。
注：点O 在二面角内，用垂面法。
(4)射影面积法——若多边形的面积是S ，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角θ的大小为COS θ= S`÷ SA 图3αβO B lO图5β α l C B A例1 如图1-125，PC⊥平面ABC，AB＝BC=CA＝PC，求二面角B－PA－C的平面角的正切值。
（三垂线定理法）分析由PC⊥平面ABC，知平面ABC⊥平面PAC，从而B在平面PAC上的射影在AC 上，由此可用三垂线定理作出二面角的平面角。
解∵ PC⊥平面ABC∴平面PAC⊥平面ABC，交线为AC作BD⊥AC于D点，据面面垂直性质定理，BD⊥平面PAC，作DE⊥PA于E，连BE，据三垂线定理，则BE⊥PA，从而∠BED是二面角B－PA －C的平面角。
设PC＝a，依题意知三角形ABC是边长为a的正三角形，∴ D是∵PC = CA=a，∠PCA=90°，∴∠PAC＝45°∴在Rt△DEA评注本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后，再用解三角形的方法来求解。
例2 在60°二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平面N的距离分别为1和2，求点P到直线a的距离。
（图1－126）（垂面法）分析设PA、PB分别为点P到平面M、N的距离，过PA、PB作平面α，分别交M、N于AQ、BQ.同理，有PB⊥a，∵ PA∩PB=P，∴ a⊥面PAQB于Q又 AQ、BQ平面PAQB∴ AQ⊥a，BQ⊥a.∴∠AQB是二面角M－a－N的平面角。
二面角面积射影定理
二面角面积射影定理稿子一：嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊那个有点神秘又有趣的二面角面积射影定理！你们知道吗？这个定理就像是数学世界里的一把神奇钥匙，能帮我们轻松解决好多难题呢！想象一下，有两个面相交形成了一个二面角。
然后呀，在其中一个面上有一个图形，它在另一个面上的射影，和这个图形本身的面积之间，有着奇妙的关系。
比如说，我们有一个三角形在一个面上，它在另一个面的射影的面积，和原来三角形的面积的比值，就等于这两个面所成二面角的余弦值。
是不是有点神奇？这就好比是一个魔法，让我们可以通过简单的计算，就能知道二面角的大小啦！而且哦，当我们遇到一些复杂的图形，也不用害怕。
只要把它们分成一个个小的三角形或者其他简单的图形，再用这个定理，就能一步步找到答案。
怎么样，是不是觉得这个二面角面积射影定理很厉害？其实呀，只要我们多练习，多思考，就能把它运用得炉火纯青！小伙伴们，加油哦，让我们一起在数学的海洋里畅游，探索更多的奇妙知识！稿子二：哈喽呀，友友们！今天咱们要深入了解一下二面角面积射影定理哟！呢，咱们来看看这个定理到底是啥。
简单说，就是两个面形成二面角，然后一个面上的图形在另一个面上的射影，和原图形面积之间存在着特别的联系。
比如说，有一个正方形在一个面上，它在另一个面的射影的面积，会随着二面角的变化而变化。
是不是感觉很神奇？其实呀，这个定理在解决实际问题的时候可有用啦！就像我们要计算一个立体图形中某个面的面积，或者要知道二面角的大小，都能靠它来帮忙。
举个例子，假如有一个几何体，我们通过这个定理，就能很快算出相关面的面积，是不是超级方便？而且哦，当我们在做数学题的时候，有时候脑子可能会一团乱麻，但是只要想到这个定理，说不定就能柳暗花明又一村呢！所以呀，大家不要觉得这个定理很难，多琢磨琢磨，多做几道题，你就会发现它其实就像你的好朋友一样，能一直帮助你解决数学难题！好啦，友友们，让我们一起和二面角面积射影定理成为好伙伴，在数学的世界里快乐玩耍！。
射影面积法
射影面积法在两平面间二面角的求法中,一种是利用余弦定理,另外一种便是射影面积法. 详细方法:一个面上取个三角型面积为S1 在另一个面上做或者找到那个三角形的射影（即以3个点的射影为顶点的三角形）的面积S2。
二面角为X 则COSX=S2/S1三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
用法：∵PA⊥α， a α，AO是斜线PO在平面α内的射影，a⊥AO ∴a⊥PO逆定理三垂线定理的逆定理：如果平面内一条直线和穿过该平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
用法：⊥AO∵PA⊥α， a α，AO是斜线PO在平面α内的射影，a⊥PO ∴a例3.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上。
已知：∠BAC 在平面α内，点在α外，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PO ⊥ α，垂足分别是E 、F 、O ，PE=PF求证：∠BAO=∠CAO证明：连接PA ，OE ，OF ∵ PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PO ⊥ α， ∴AB ⊥OE ，AC ⊥OF （三垂线定理的逆定理） ∵ PE=PF ，PA=PA ，∴Rt PAE ≌Rt PAF 。
∴AE=AF 又AO=AO ∴，∴Rt AOE ≌Rt AOF 。
∴ ∠BAO=∠CAO用公式法求二面角的平面角大家知道，当一个三面角的三个面角都固定时，则它们任意两个面的平面角的大小也就确定．它们之间一定存在着某种必然的内在联系．事实上，我们有如下的定理． 定理 设 为一个三面角， ，，，二面角 的平面角为，则有．略证：如图，， ，则 ．令 ，．在△ 中，，．同理，，．故．又在△ 中， ， ①在△中，． ②αABCO PE F由①，②得．证毕同理可证，当，中有一个为钝角（或直角）时，公式也照样成立（这里从略）．由此可知：（1）将此公式反过来，只要知道了，，，即可求平面角；（2）此公式与三角形中的余弦定理有相似之处，不妨把它叫做三面角的余弦定理．例1 已知正三棱锥侧面与底面的夹角为，任两侧面的夹角为 ，求证．略证：如图2，设为正棱锥，构成三面角．又设的平面角为，的平面角为，．由公式得:，故．①又，故．②由①，②得．例2 如图，在梯形中，，，，，，，平面，求以为棱的二面角的大小（1994年上海高考题）．略解：构成三面角，令，则，cos10ϕ=，设，，，．由，，，知，．又在△中，由，，得．在△中，．令，则，．由公式得，．∴．例3 如图,已知正三棱柱111ABC A B C-，为的中点，（1）求证：1//AB平面BDC1；（2）若，求以为棱的二面角的大小．（1994年上海高考题）略解：为三面角，连结，交于．连结．111111122DE AB BCDBEAB BC DE BC⎫==⎪⇒∆⎬⎪⊥⇒⊥⎭是等腰直角三角形．令，则，．由，得．设，，，例3图DC BC1B1A1A，，．由公式得即，．∴．AND：AB和平面α所成的角是θ,,AC在平面α内,AC和AB的射影AB′,成角θ2.设∠BAC=θ,cosθ1cosθ2=cosθ3.在两个互相垂直的平面的交线上任取一点,过这点在两个平面内各作一条射线,设这两条射线在过这点的交线的垂面的同侧且与交线所成角分别θ1θ2。
求解二面角的六种常规方法
求解二面角的六种常规方法作者：李淑芸来源：《中学教学参考·理科版》2010年第03期求解二面角问题是高考的热点问题,在近几年的高考中几乎每一年、每一套高考题的立体几何问题都涉及到求二面角的大小问题.然而通过对学生考卷的分析,我们发现这一问题的得分率却并不理想.因此,本文总结了常见的六种求解二面角的方法,希望能给部分读者以帮助.1.定义法是指过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线,则两直线所构成的角即为二面角的平面角,继而在平面中求出其平面角的一种方法.【例1】如图1,空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=a,对角线AC=a,BD=2a,求二面角A—BD—C的大小.图1解:取BD的中点为O,分别连接AO、CO,∵AB=AD,BC=CD.∴AO⊥BD,CO⊥BD.∴∠AOC为二面角A—BD—C的平面角.∵AB=AD=a,BD=2a,∴AO=22a.∵BC=CD=a,BD=2a,∴OC=22a.在△AOC中,OC=22a,OA=22a,AC=a,OA2+OC2=AC2,∴∠AOC=90°,即二面角A—BD—C为直二面角.2三垂线法是指利用三垂线定理,根据“与射影垂直,则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角,继而求出平面角的方法.【例2】如图2,二面角α-AB-β的棱AB上有一点C,线段CDα,CD=100,∠BCD=30°,点D 到平面β的距离为253,求二面角α-AB-β的度数.图2解:过D作DE⊥β于E,DF⊥AB于F,连接EF.∵DF⊥AB,EF是DF在β内的射影,∴AB⊥EF(三垂线定理).∴∠DFE为二面角为α-AB-β的平面角.在Rt△DEF中,DF=12CD=50,DE=253,∴sin∠DFE=DEDF=25350=32.∴∠DFE=60°.即二面角α-AB-β的度数为60°.3.垂面法是指用垂直于棱的平面去截二面角,则截面与二面角的两个面必有两条交线,这两条交线构成的角即为二面角的平面角,继而再求出其平面角的一种方法.【例3】如图3,已知SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB,SB=BC,E是SC的中点,DE⊥SC交AC于D,求二面角E-BD-C的大小.图3解:∵BS=BC,SE=EC,∴SC⊥BE,又∵SC⊥DE,∴SC⊥面BDE.∴SC⊥BD.又∵BD⊥SA,∴BD⊥面SAC.∴∠EDC为二面角E-BD-C的平面角.设SA=a,则SB=BC=2a.∵BC⊥AB,SA⊥平面ABC.∴BC⊥SB.∴SC=2a,∠SCD=30°.∴∠EDC=60°,即二面角E-BD-C的大小为60°.4.面积射影法所谓面积射影法,就是根据三角形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系,利用cosθ=S射S来计算二面角的一种方法(其中θ为二面角).【例4】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,K∈BB1,M∈CC1,且BK=14BB1,CM=34CC1,求平面AKM与ABCD所成角的大小.图4解:连结AC,则由题意可知,△ABC是△AKM在平面AC上的射影.设平面AKM与ABCD所成角为θ,则cosθ=S射S=S△ABCS△AKM.令正方体的棱长为4,∴S△ABC=12AB•A C=12×4×4=8.在△AKM中,AK=12+42=17,AM=42+42+32=41,KM=42+22=20.由海伦公式可知S△AKM=221,∴cosθ=421,θ=arccos421.5.法向量法法向量法是通过求与二面角垂直的两个向量所成的角,继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系,求出二面角的一种方法.【例5】如图5,过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD,设PA=AB=ɑ,求平面PAB 和平面PCD所成的二面角的大小.图5解:以A为射点建立直角坐标系(如图5所示),则P(0,0,a),D(0,a,0),C(a,a,0).设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则n•PD=0,n•CD=0.即(x,y,z)•(0,a,-a)=0,(x,y,z)•(-a,0,0)=0.∴y=-z,x=0.即n=(0,1,-1).又AD成为平面PAB的法向量,而cos〈AD,n〉=(0,a,0)•(0,1,-1)a•2=22,∴AD与n所成的角为45°.因此平面PAB和平面PCD所成的角为45°.6.垂线法是指先利用待定系数法确定垂足,再利用公式求出二面角的大小.【例6】如图6,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,E是AB上一点,PE⊥EC,已知PD=2,CD=2,AE=12,求(1)异面直线PD与EC的距离;(2)二面角E-PC-D的大小.图6解:(1)略.(2)以D为原点,DA、DC、DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.作DG⊥PC,可设G(0,y,z).由DG•PC=0得(0,y,z)•(0,2,-2)=0,即z=2y.故可取DG=(0,1,2).作EF⊥PC于F,设F(0,m,n),则EF=(-32,m-12,n).由EF•PC=0,得(-32,m-12,n)•(0,2,-2)=0,即2m-1-2n=0.又由F在PC上得n=-22m+2,故m=1,n=22,EF=(-32,12,22).因EF⊥PC,DG⊥PC,故二面角E-PC-D的平面角θ的大小为向量EF与DG的夹角.故cosθ=DG•EF|DG|•|EF|=22,∴θ=π4.故二面角E-PC-D的大小为π4.(责任编辑金铃)。
射影面积法求二面角原理
射影面积法求二面角原理引言：射影面积法是一种常用于计算几何体二面角的方法，它基于射影面积的概念，通过计算几何体在某一平面上的投影面积来确定二面角的大小。
本文将介绍射影面积法求二面角的原理和应用。
一、射影面积法的基本原理射影面积法是基于几何体在不同平面上的投影面积与几何体二面角之间的关系来进行计算的。
具体而言，我们可以通过在几何体上选择一个合适的平面，将几何体投影到该平面上，然后计算投影面积，最后利用投影面积与二面角之间的关系，求解二面角的大小。
二、射影面积法的步骤1. 选择适当的平面：根据几何体的特点和问题的要求，选择一个合适的平面进行投影。
通常情况下，选择与几何体的某一面垂直的平面可以简化计算过程。
2. 进行投影：将几何体投影到所选择的平面上，得到投影面积。
投影的方法可以根据几何体的形状和问题的要求灵活选择，常用的投影方法包括平行投影和中心投影等。
3. 计算投影面积：根据投影所得到的平面图形的形状和大小，使用几何学方法计算投影面积。
根据平面图形的形状，可以使用不同的计算公式，如矩形的投影面积为底边长度乘以高度，三角形的投影面积为底边长度乘以高度的一半等。
4. 计算二面角：根据投影面积与二面角之间的关系，利用所得到的投影面积计算二面角的大小。
具体的计算方法可以根据几何体的特点和问题的要求选择，常用的计算方法包括使用正弦定理、余弦定理等。
三、射影面积法的应用举例1. 求解四面体的二面角：对于一个四面体，可以选择一个面作为投影面，将四面体投影到该面上。
然后计算投影面积，并利用所得到的投影面积求解四面体的二面角。
2. 求解棱柱的二面角：对于一个棱柱，可以选择柱面作为投影面，将棱柱投影到柱面上。
然后计算投影面积，并利用所得到的投影面积求解棱柱的二面角。
3. 求解球体的二面角：对于一个球体，可以选择一个切面作为投影面，将球体投影到该切面上。
然后计算投影面积，并利用所得到的投影面积求解球体的二面角。
四、射影面积法的优缺点射影面积法作为一种计算几何体二面角的常用方法，具有一定的优点和缺点。
射影面积法求二面角原理
射影面积法求二面角原理概述：射影面积法是计算二面角的常用方法之一，它基于物体在不同角度下的射影面积的变化来求解二面角。
二面角是指由两个平面所夹的角，它在几何学和计算几何学中有着广泛的应用。
本文将详细介绍射影面积法求解二面角的原理及其应用。
一、射影面积法原理射影面积法通过计算物体在不同角度下的射影面积来求解二面角。
具体步骤如下：1.选择观察点：确定观察点的位置，通常选择观察点位于物体所在平面外部，且与物体的一条边垂直相交。
2.确定观察面：从观察点出发，选择一个平面作为观察面，该平面与物体的一条边垂直相交，并且与观察点所在平面垂直。
3.计算射影面积：在观察面上，以物体的一条边为边界，通过观察点将物体投影到观察面上，计算投影的面积。
4.改变观察角度：保持观察点不变，改变观察面与物体的夹角，重复步骤3，计算不同角度下的射影面积。
5.计算二面角：根据不同角度下的射影面积，利用数学方法求解二面角的大小。
二、射影面积法的应用射影面积法可以应用于多个领域，包括几何学、物理学、计算机图形学等。
以下是该方法的一些具体应用：1.计算物体的空间角：射影面积法可以用于计算物体在空间中所占的角度，例如计算两个平面所夹的角度、计算一个立体角等。
2.三维建模：在计算机图形学中，射影面积法可以用于三维建模和渲染，通过计算物体在不同角度下的射影面积，可以生成真实感的三维模型。
3.物体识别：射影面积法可以应用于物体识别和目标跟踪，通过计算物体在不同角度下的射影面积，可以对物体进行形状和姿态的判断。
4.光线追踪：在光线追踪算法中，射影面积法可以用于计算光线与物体的相交情况，从而实现真实感的光影效果。
总结：射影面积法是一种常用的求解二面角的方法，通过计算物体在不同角度下的射影面积，可以准确地求解二面角的大小。
该方法在几何学、物理学和计算机图形学等领域有着广泛的应用，可以用于计算物体的空间角、三维建模、物体识别和光线追踪等方面。
射影面积法的原理简单易懂，但在具体应用中需要注意选择合适的观察点和观察面，以及正确计算射影面积。
用射影面积法求二面角在高考中的妙用
用射影面积法求二面角在高考中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚(邮政编码 530007)立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，在每年 全国各省市的高考试题的大题中几乎都出现 •求二面角的方法很多，但是，对无棱二面角，或者不容易作出二面角的平面角时，如何求这个二面角的大小呢？用射影面积法是解决这类问题的捷径，本文以近年高 考题为例说明这个方法在解题中的妙用，以飨读者！定理 已知平面［内一个多边形的面积为 S,它在平面:-内的射影图形的面积为 s ',平面〉和平面一：S所成的二面角的大小为 「则COST - s .S本文仅对多边形为三角形为例证明，其它情形请读者自证 证明：如图，平面 1内的△ ABC 在平面〉的射影AA .1 二于 A ， D :, ■ AD 在：.内的射影为A 'D . 又 AD _ BC,BC 二：，.A 'D _ BC (三垂线定理的逆定理)•ZADA 为二面角二一BC —:的平面角.设厶ABC 和厶A ' BC 的面积分别为S 和S ', • ADA '1 'BC AD ' 2 1 S BC AD S2典题妙解下面以近年高考题为例说明上述结论在解题中的妙用 例1如图，已知正方体 ABCD — A i B i C i D i 中，E 是A A i 棱的中点，则 )面BE C i 与面AC 所成的二面角的大小为( + i r B. arctan C. arcta n -2 4 解：连结 人6则厶EBC 1在面AC 内的射影是△ 面积分别为S 和s ,所成的二面角为 A. 45 2 arccos3 ABC ，设它们的 D. D A i ECB设正方体的棱长为 2，则AB = BC = 2 d . BE =*5占6 =2..2,EC ；(2..2)2 12二3.cos^EBG 1 ■ S BE 2 2 2 2BE 2 BG -EG - 2BE BC 1 BC 1 sin EBC 1 =3,S 2 1 . ---- ,sin _ EBC 1 = .10 1 . AB BC 二 2, cos -二 2 2 「cos ^EBC 1 3 ,10二-arccos —. 3 故答案选D. 例2 (04北京)如图，已知四棱锥S —ABCD 的底面是边长为i 的正方形 (1) 求证:BC X SC;(2) 求面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小 ； (3) 设棱SA 的中点为M,求异面直线DM 与SB 所成的角的大小. (1)证明：；SD 丄面AC , 几SC 在面AC 内的射影是 SD.又；四边形ABCD 是正方形，BC 面AC , CABBC 丄SC (三垂线定理)COS”AD 2 2(2)解：幕 SD 丄面 AC , CD 面 AC , SD_CD . 又；四边形ABCD 是正方形，.AD _ CD •而 AD SD = D , CD 丄面 ASD. 又 AB //CD , BA 丄面 ASD. .△SBC 在面SAD 的射影是 △SAD ,：._SCB = 90 , BC = 1, SB = 3,. SC.1BC SC -,S^-AD SD =2 2 2(3)解：取AB 的中点E ,连结DE 、ME.AM =MS,AE =EB , ME //SB. .异面直线DM 与SB 所成的角就是• DME1 \/3 : 22ME SB ,DE 二.AD AE =-2 22 2 2MD +ME -DE.cos 二2MD ME解法二：BA _ 面 SAD ,.SB 在面SAD 内的射影是SA.又 AD=SD=1,AM 二MS,. DM _ SA . 而DM 面SAD , . DM - SB (三垂线定理). 所以异面直线 DM 与SB 所成的角的大小为 一.2ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面 是线段EF 的中点.1AC ,连结0E.2-EM = AO , EM //A0.-四边形A0EM 是平行四边形， 又；E0二平面BDE ,AM //平面 BDE.(2)；四边形ABCD 是正方形，.BD _ AC .又；正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，EC _ AC ,■ EC _ 面 BD ，从而 EC — BD . 而 AC EC =C , BD _ 面AE . BD 平面 BDF ,-面AE 丄平面BDF.设它们的面积分别为 二 SB 2 - BC 21 . ,cos2兀所以面ASD 与面BSC 所成的二面角的大小为 1,设.DME,52 ，<22 .SA 二.AD 2 SD 2 二、2,MD 二；SA = 所以异面直线DM 与SB 所成的角的大小为 例3 (04浙江)如图，已知正方形互相垂直，AB =、2 , AF = 1 ,M求证：AM //平面BDE ; 求证：面AE 丄平面BDF ; 求二面角 A — DF — B 的大小.证明: 则AO -四边形ACEF 是矩形，EM」EF2从而 AM //E0.S 和s ,所成的二面角为日.C(3)解：BA _ AD, BA _ AF ,AD AF=A BA _ 面ADF ..△BDF在面ADF上的射影是△ADF，设它们的面积分别为S和S'，所成的二面角为二. AB = ■■■.'2 ，AF = 1 ，. AD = ：. 2, BD = 2, FB = FD = 3 .连结F0,则F0 _ BD, F0 二FB2一B02— 2.1 ' 1 ,2 S' 1S BD ・F0 = - 2, S AD AF , cos2 2 2 S 2故3HT所以二面角 A —DF —B的大小为''.3例4 (08天津)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB = 3，AD = 2，PA = 2，PD = 2、2, PAB = 60 .(1)证明：AD丄平面PAB;(2)求异面直线PC与AD所成的角的大小；3)求二面角P —BD —A的大小.(1)证明：AD 二PA =2,PD =2、2,2 2 2AD PA = PD .PAD =90，即DA _ PA.又:四边形ABCD是正方形，.DA _ AB.而AB PA A , AB、PA 二面PAB,.AD丄平面PAB.(2)AD //BC,.异面直线PC与AD所成的角就是PC与BC所成的角，即• PCB . 在A PAB中，AB = 3 , PA = 2, PD =2.2,/PAB = 60 ,.PB2二PA2AB2- 2PA AB = 7,PB 二7.由(1)得，AD丄平面PAB..CB _ PB，即CBP =90 又BC = AD = 2 ,PBtan PCB =BC 2<7 一PCB = arcta n2所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan 口(3)作PE _ AB 于E，连结DE. 由(1)知，AD_ PE，而AB AD = A,PE _ 面ABCD.D-△PBD在面ABCD内的射影是A EBD，设它们的面积分别为S和S ,所成的二面角为-.BD = AB2AD2 = 13,AE 二PAcos60 = 1,BE 二AB - AE = 2./ PB2+PD2-BD cos _ BPD2PB PD1S = PB PD sin BPD 2 COS V ■ SS 2 1 ------------------------------------ 2,sin _ BPD = 1 - cos - BPD 2 J455 '2 ,S二1 BE AD =2.24，寸二arccos • 55455 .552.144所以二面角 P — BD —A 的大小为arccos —:——.J55点评：例1和例2中的二面角就是无棱二面角，例3和例4中的二面角虽然是有棱二面角，但是不容易作出二面角的平面角，用定义法解决这两类问题就显得非常繁杂，并且不知如何下手，而另辟溪径，用 射影面积法则是化繁为简，曲径通幽！金指点睛1.( 05全国川)如图，在四棱锥 V — ABCD 中，底面ABCD 是正方形, 底面ABCD.(1)证明：AB 丄平面VAD ;2)求面VAD 与面VDB 所成二面角的大小.2.( 06全国H)如图，在直三棱柱 ABC — A i B i C i 中，AB = BC , D 、 (1)证明: ED 为异面直线BB i 和AC i 的公垂线;(2)设 AA = AC = , 2AB ，求二面角 A - AD - C j 的大小. 3.(07陕西)如图，在底面为直角梯形的四棱锥 PA = 4, AD = 2 , AB = 2 3 , BC = 6.(1)求证：BD 丄平面PAC ;2)求二面角 A — PC — D 的大小.4. (09湖北)如图，四棱柱 S —ABCD 的底面是正方形， SD 丄平面 ABCD , SD = AD = a ,点E 是SD 上的点，且DE a (0v i ) . S(1) 求证：对任意… 0,i 】，都有AC 丄BE ;(2) 若二面角C — AE — D 的大小为60，求■的值.金指点睛的参考答案一 一一一 一D ；1. ( 05全国川)如图，在四棱锥 V — ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形， 底面ABCD.(1)证明：AB 丄平面VAD ;2)求面VAD 与面VDB 所成二面角的大小.P —ABCD 中，AD //BC ,也ABC = 90 , PA 丄平面 ABCD ,D侧面VAD 是正三角形，平面VAD 丄E 分别为BB i 、AC i 的中点.B iD BEC平面VB(i)证明：取AD的中点E,连结VE.守VA = VD, AE = ED，二VE 丄AD .又；平面VAD丄底面ABCD , VE 平面VAD ,V AC.VE 丄底面ABCD. . VA 在底面ABCD 的射影是AD. AB J_AD , AB 二底面 ABCD , . AB INA (三垂线定理) 而 VA AD =A,VA 、AD 二平面 VAD , 故AB 丄平面VAD.(2)由(1)可知，AB 丄平面VAD ,.△ VBD 在平面VAD 的射影是厶VAD ，设它们的面积分别为 S 和S '，所成的二面角为 -. 设正方形的边长为1,则BD 二、、2,VB =AB 2 • VA 2 = •、2 .2. ( 06全国n)如图，在直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中，AB = BC , D 、E 分别为BB j 、AG 的中点.(1)证明: ED 为异面直线BB 1和AC 1的公垂线;(2)设 AA^ = AC = , 2AB ，求二面角 A — AD —C t 的大小.(1)证明：取AC 的中点F ,连结EF 、BF.1AF = FC, AE = EG , EF // CC 1, EFCC 1. 21在直三棱柱 ABC — AB J G 中，CG _ 面 ABC , CG, CG // BB , DBBB 1 , 2EF //DB , EF= DB , EF _ 面 ABC.■四边形BDEF 是矩形.从而ED _ BB 1 . 在 Rt △ ABD 和 Rt △ C 1B 1D 中，AB 二 C1B, ABD GBD = 90 ,BD 二 BD .Rt △ ABD 也 Rt △ C 1B 1D .AD = C 1 D .而 AE = EC 「 ED _ AC 1所以ED 为异面直线BB 1和AG 的公垂线.(2)解：连结 AB 1. AA =AC a; 2AB, AB =BC,. AC 2 二 AB 2 BC 2.GRA =/CBA =90，即 GB j _ 面 ABB 1A 1-AC 1在面ABB A 1内的射影是 AR ..△AC 1D 在面ABB 1A 1内的射影是△ AB 1D .设它们的面积分别为 设 AB = BC = 1 , S 和s ,所成的二面角为则 AC =CG 二.2,AC^2,B 1D2, AD = . AB 2 BD 2 2 26应—1 J2 ， 1 S AC 1 DE , S DB 1 AB 2 2 2312 . COST4=-日=—3所以二面角 A - AD - G 的大小为 . 3 如图，在底面为直角梯形的四棱锥 PA = 4, AD = 2 , AB=2 3 , BC = 6. (1)求证：BD 丄平面PAC ;3.(07陕西) P —ABCD B1D B中, AD //BC , ABC = 90 , PA 丄平面 ABCD ,2 2 2cosVBD.BD BV -VD2BD BV sin . VBD BV7,S 4= 3,si n VB D *1 — coS. VB D=—. 4 1 3 VA VD sin 60 = 2 4 cos —SS.21 21，‘ "rccos77所以面VAD 与面VDB 所成二面角的大小为V21arccos —7B1D BBD B2(2)求二面角 A — PC — D 的大小.(1) 证明：在 Rt △ ABD 和 Rt △ ABC 中，.ABC AD = 2 , AB =23 , BC = 6. AD \'3 AB .t a n ABD , t a n ACB = AB 3 BC =.BAD = 90 ,_V 3 —3 . =90 ,二 NABD =NACB =301 而丛ABD +NDBC .ACB . DBC =90，即 BD _ AC . 又 PA 丄平面 ABCD , BD 平面ABCD ,PA AC =A , PA 、AC 二平面 PAC , 故BD 丄平面PAC. (2) 解：连结 PE.由(1)知，BD 丄平面PAC. .△ PDC 在平面PAC 内的射影是△ PEC ，设它们的面积分别为 PA 丄平面ABCD , BC _ AB , BC _ PB (三垂线定理)PB 二.PA 2 AB 2 =2.7，从而 PC 二 PB 2 BC 2 =8.PA 丄 BD . S 和S ,所成的二面角为日.PD 二 PA 2 AD 2 =2、5,DC 二 AB 2 (BC - AD)2 = 2、7 . ■ - ■ BEC=90 , ACB 二 30 , EC 二 BC cos30 -3 3 .PC 2十PD 2_CD 2 cos CPD = 2PC PDPD sin • CPD,si n N CPD =11 - cos 2 也CPD 4、5 = 2、31,S ‘=1EC PA =6 ..3.2 EC3J93 e 31 ，4. (09湖北)如图，四棱柱上的点，且DE 二・a(1) 求证：对任意■ COS T -— S *3B 93 二 arccos .所以二面角 A — PC — D 的大小 arccos- 一31 31 S —ABCD 的底面是正方形， SD 丄平面 ABCD , SD = AD = a ,点E 是SD(0v 1). 0,11，C 丄BE ; 3. 93(2) 若二面角C — AE — D 的大小为60，求■的值. (1) 证明：连结 BD. ■■四边形ABCD 是正方形，.AC _ BD . 又；SD 丄平面ABCD , SD = a ,点E 是SD 上的点， 且 DE = Z a (0v 人 <1), 护, •点E 在线段SD 上，且不与点 D 重合，因而BE 在平面ABCD 内的射影是BD.- .对任意「三I ：0,1 1,都有AC 丄BE (三垂线定理)(2) 解：设 AC BD =O ，连结 EO. ■■ SD 丄平面ABCD ，点E 是SD 上的点，CD 平面ABCD , ■ SD _ CD ., 又；四边形ABCD 是正方形，.AD _ CD . 而SD AD = D , SD 、AD 二面SAD. CE 在平面SAD 内的射影是 AE. ■ △ CAE 在在平面SAD 内的射影是△ DAE.设它们的面积分别为 S 和S ' 「60 . S oyB所成的二面角为二，则CAD 二 a, DE 二 a, AC =、2a,EA 二 EC =a 2 (‘ a)2 =、1 •2 a . 2 42 a .2 EO _ AC,EO 」EA 2 - AO 21 J 1 +2人22 S AC EO a 2,S22解得—，所以■的值为一2. 2 2J ED AD = ] ' a 2,C0S ；-—=22S .1 22=12。
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射影面积法求二面角原理
引言：
在几何学中，二面角是指由两个平面所夹成的角度，它是空间几何中的基本概念之一。
求解二面角的方法有很多种，其中一种常用的方法是射影面积法。
本文将介绍射影面积法求解二面角的原理和应用。
一、二面角的定义和性质
二面角是由两个平面所夹成的角度，可以用来描述两个平面的夹角大小。
二面角有以下性质：
1. 二面角的大小范围是0°到180°之间；
2. 二面角的大小与两个平面的夹角大小有关，但不仅仅取决于两个平面的夹角；
3. 二面角的大小与两个平面的位置有关，即两个平面的相对位置不同，二面角的大小也会有所变化。
二、射影面积法的原理
射影面积法是一种常用的求解二面角的方法，它基于以下原理：
1. 任意两个平面所夹成的角度可以通过两个平面的射影面积来求解；
2. 射影面积是指一个平面在另一个平面上的投影面积，可以用来表示两个平面之间的夹角大小；
3. 射影面积可以通过投影公式和向量运算来计算。
三、射影面积法的应用
射影面积法在几何学和物理学中有广泛的应用，其中包括以下几个方面：
1. 几何学中的角度计算：通过射影面积法可以计算任意两个平面所夹的角度大小，从而求解几何问题；
2. 物理学中的力学问题：在力学问题中，二面角可以表示两个力的夹角，通过射影面积法可以计算力的合成和分解；
3. 工程学中的结构设计：在结构设计中，二面角可以表示两个构件的夹角，通过射影面积法可以计算结构的稳定性和强度。
四、射影面积法的计算步骤
射影面积法的计算步骤如下：
1. 确定两个平面的方程；
2. 计算两个平面的交线；
3. 确定投影方向和投影面积；
4. 计算射影面积；
5. 根据射影面积计算二面角大小。
五、射影面积法的优缺点
射影面积法作为一种求解二面角的方法，具有以下优点：
1. 原理简单易懂，计算步骤清晰明确；
2. 适用范围广泛，可以应用于多个学科领域；
3. 结果准确可靠，能够满足实际需求。
然而，射影面积法也存在一些缺点：
1. 计算过程稍复杂，需要一定的数学基础和计算能力；
2. 对于一些特殊情况，射影面积法可能无法提供准确的结果；
3. 在实际应用中，射影面积法往往需要结合其他方法和技术进行综合分析。
六、结论
射影面积法是一种常用的求解二面角的方法，它通过计算两个平面的射影面积来确定二面角的大小。
射影面积法在几何学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用，能够满足实际问题的求解需求。
然而，射影面积法也有一些局限性，需要在实际应用中结合其他方法和技术进行综合分析。
通过深入学习和理解射影面积法的原理和应用，我们可以更好地应用它来解决实际问题，推动相关学科的发展和进步。