射影几何学

在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。

通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。

通过同一无穷远点的所有直线平行。

德国数学家克莱因（图）在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提出用变换群对几何学进行分类在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。

由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。

平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。

这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。

射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。

交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。

在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。

在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。

这两个图形叫做对偶图形。

在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。

这两个命题叫做对偶命题。

这就是射影几何学所特有的对偶原则。

在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。

同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。

研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。

如果就几何学内容的多少来说，射影几何学；仿射几何学；欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。

比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。

1872年，德国数学家克莱因在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计划书》中提出用变换群对几何学进行分类，就是凡是一种变换，它的全体能组成“群”，就有相应的几何学，而相关书籍扩大空间和射影空间，在一个欧氏（或仿射）平面上，两条直线一般相交于一点，但有例外，平行线不相交。

这种例外，使某些定理显得复杂。

为了排除这种例外，在每条直线上添上一个理想点，叫做无穷远点，并假定平行直线相交于无穷远点。

添上无穷远点的直线叫做扩大直线，它是闭的，象圆周那样，去掉它上面一点，不会使它分成两截。

再假定不平行的直线有不同的无穷远点，这样，平面上一切无穷远点的集合就叫做无穷远（直）线，而添上无穷远线之后的平面就叫做扩大平面。

扩大平面也是闭的，去掉它上面一条直线，不会使它分成两块。

同样，三维欧氏（或仿射）空间中一切无穷远点的集合叫做无穷远（平）面。

添上无穷远面后的空间叫做扩d大空间，它也是闭的。

在扩大空间，不但平行直线交于一个无穷远点，而且平行平面交于一条无穷远直线，一条非无穷远直线和一个与它平行的平面交于一个无穷远点。

如果再进一步，把无穷远元素（点、线、面）和非无穷远元素平等看待，不加区别，扩大空间就叫做射影空间。

同样，从扩大直线和扩大平面可以得到射影直线和射影平面。

在射影空间里，平行的概念消失了：两条共面直线或一个平面和一条直线总相交于一点，两个平面总相交于一条直线；此外，每两点总决定一条直线，每三个不共线点总决定一个平面，为了能用代数方法来处理射影(或扩大)空间的几何问题，需要引进齐次坐标（有时还引进射影坐标）。

仍从欧氏（或仿射）平面开始。

设在平面上已经建立了以O为原点的直角（或仿射）坐标系，(x，y)为一点p的坐标。

令则比值x0:x1:x2完全确定p的位置，(x0，x1，x2)就叫做p的齐次（笛氏）坐标。

原点的齐次坐标显然可以写成(1，0，0)。

设p不是原点O，则x1，x2不同时等于零；再令x1，x2固定，而令x0向0接近，则p点沿一条经过O而斜率为x2:x1的直线l向远方移动。

设表示扩大直线l上的无穷远点，则可以认为，当x0趋于O时，p趋于。

因此，可以把(0，x1，x2)作为的齐次坐标，特殊地，(0，1，0)和(0，0，1)依次是x轴和y轴上无穷远点的齐次坐标。

这样，每一组不同时为零的三个数x0，x1，x2都是扩大平面上一点的齐次坐标，而若ρ为不等于零的数，则(ρx0，ρx1，ρx2)和(x0，x1，x2)代表同一点，下面引进记号(x)=(x0，x1，x2)，ρ(x)=(ρx0，ρx1，ρx2)。

设 (u1，u2不都是0)是欧氏（或仿射）平面上一条直线的方程。

在用齐次坐标表示时，它可以写成， (1)这也就是扩大直线的齐次方程，这直线上的无穷远点是(0，u2，-u1)。

扩大平面上的无穷远直线方程显然可以写成x0=0。

这样，每一个齐次线性方程都代表扩大平面上一条直线。

由于比值u0:u1:u2完全确定直线，(u)=(u0，u1，u2)就叫做（齐次）线坐标。

为了区别两种齐次坐标，上面引进的(x)＝(x0，x1，x2)就叫做（齐次）点坐标。

方程(1)叫做点(x)和线(u)的关联条件或接合（即(x)在(u)上，或(u)经过(x)）条件。

当不区别无穷远元素和非无穷远元素，使扩大平面成为射影平面时，(x)和(u)就依次成为射影平面上的齐次点坐标和线坐标，它们都可以看作射影坐标的特款。

与此类似，可以得到扩大或射影直线上的点坐标(x)=(x0，x1)以及扩大或射影空间的点坐标(x)=(x0，x1，x2，x3)和面坐标(u)＝(u0，u1，u2，u3)。

在扩大或射影空间中，点(x)和面(u)的关联条件是下面，除非特别指明，所讨论的空间，就是三维射影空间，所讨论的点、线、面都是射影空间里的点，射影直线和射影平面。

在射影空间，指定一个平面x0=0作为无穷远面，就得到扩大空间（见射影坐标）。

关联关系是射影平面和射影空间的基本关系。

在关联条件(1)中，(x)和(u)有完全的对称性，这就使得直线和点可以在逻辑上取得平等的地位。

它们叫做平面上的对偶元素。

设方程(1)里的u j是固定的，它就代表一条直线；令满足(1)的x j变动，就可以得到在该线上的一切点，这些点的集合叫做以(u)为底的点列，而(1)也就是点列的方程。

根据线性方程理论，可以看出，点列中每三点线性相关。

即：若(y)，(z)是点列中任意两个不同的点，则它的每一点(x)都可以写成(y)和(z)的线性组合(x)=λ(y)+μ(z，)，其中λ，μ是齐次参数。

在一定意义上，λ，μ也可以作为点列中的射影坐标。

另一方面，若令(1)中的x j固定，而令u j变动，就得到一切经过点(x)的直线(u)，它们的集合叫做以(x)为中心的线束，而(1)就是线束的方程，同时也是点(x)的方程。

若(υ)，(ω)是线束中任意两条直线，则线束的每一条直线(u)都可以写成。

由于点列和线束中的元素都只依赖于两个齐次参数的比值，即依赖于一个独立参数，它们就都叫做一维基本形。

已给平面上一个以点和直线构成的图形，把其中的点和直线对换，就得到另一个图形，叫做所给图形的对偶。

例如，点列（和一条直线关联的点的集合）和线束（和一点关联的直线的集合）是对偶形。

三角形是自对偶形。

图1对于平面上一个只涉及点与直线的关联关系的定理，如果把其中的点和直线及其关联关系对换，就得到一个新定理，叫做原定理的对偶。

“如果原定理成立，则它的对偶定理也成立。

”称它为对偶定理。

这是因为，从代数观点看，这两个定理的证明步骤是完全相同的。

射影几何中，一个最早而又重要的定理是德扎格定理（图1）：两个三角形A B C和的对应顶点的联线经过同一点的充要条件是它们的对应边B C和；CA和；A B和的交点共线。

这是个自对偶定理。

如果不是在射影（或扩大）平面上而是在欧氏（或仿射）平面上，证明这个定理就需要区别并分别处理其中有某些直线平行的各种特款。

三维空间也有对偶定理。

在空间，点和面是对偶元素，直线是自对偶元素。

线束是自对偶形。

空间还有一个一维基本形是面束，这是经过同一条直线的平面的集合。

面束是点列的对偶。

在同一个平面上的点的集合叫做点场，经过同一点的平面的集合叫做面把；点场和面把互为对偶。

在同一个平面上的直线的集合叫做线场，经过同一点的直线的集合叫做线把；线场和线把互为对偶。

点场，线场，面把，线把都是二维基本形。

空间的点的集合和空间的平面的集合依次叫做点空间和面空间，它们是互为对偶的三维基本形。

在空间，三角形的对偶是三棱形。

三棱形由经过同一点的三条不共面的直线所构成，这三条直线两两确定三个不共线的平面。

对于不共面的两个三角形，德扎格定理仍然成立，但在空间，它不是自对偶定理。

通过代数来说明对偶原理是简捷了当的，但不是必须的。

空间的直线构成一个四维集合（见直线几何）。

射影对应与射影变换；在一维基本形之间，可以通过投影和截影互相转化。

用{p}表示直线l上的点列，其中p表示点列中的任意点。

设S为不在l上的一点，作直线p=SP，则当p在l上变动时，就得到以S为中心的线束{p}，叫做点列{p}的投影，而{p}就叫做线束{p}再设S1为空间不在{p}的平面上的点，作经过S1和p的平面π，就得到以SS1为轴的面束{π}，它是{p}的投影，{p}是{π}的截影，p和π是对应元素（图3）。

若经过一系列的投影和截影，从一个一维基本形到另一个，这两个基本形就叫做射影相关，它们元素间的对应关系就叫做射影对应。

一个射影对应所包含的两个变换叫做射影变换，它们互为逆变换。

在空间，通过投影和截影，点场和线把之间，线场和面把之间都可以互相转化，因而点场之间，线把之间，线场之间，面把之间也可以互相转化。

至于二维基本形之间的其他转化，例如点场和线场之间的转化，则可以通过下面将要叙述的代数方法来确定。

同样，三维基本形之间的转化也要通过代数方法。

总之，两个二维基本形之间或两个三维基本形之间，也都可以有射影对应和射影变换。

已经指出，如何在点列，点场，点空间，以及线场和面空间里建立齐次坐标系。

事实上，在任何一个一、二、三维的基本形里，都可以建立齐次（或叫射影）坐标（见射影坐标）。

这样，射影对应或射影变换就可以通过齐次坐标间的满秩齐次线性变换来表示。

例如，设(x)，()为两个点场的齐次坐标，则射影变换(x)→()可以用三个变数的齐次线性变换(2)表示，式中det表示行列式；ρ是非零比例常数。

解这个方程组，就得到逆变换()→(x)的方程。

射影变换的一个基本性质是保持关联关系，这等于说，它把线性相关的元素变成线性相关的元素。