2011年高中数学 第二章 对数与对数运算(一)课件 新人教A版必修1

思考4:根据对数定义，logal和logaa（a>0， a≠1）的值分别是多少？ 思考5:若ax＝N，则x＝logaN ，二者组合可 得什么等式？
理论迁移
例1.将下列指数式化为对数式，对数式
化为指数式：
1 (1) 54＝625 ; (2) 2－6＝ ; 64 1 m (3) ( ) ＝5.73 ; (4) log 1 16＝－４;
log10 N简记作lg N
（2）自然对数:以无理数e=2.71828…… 为底的对数叫自然对数(naturallogarithm)，
loge N简记作ln N
典例分析
例1 将下列指数式写成对数式: 1 4 6 (1) 5 625 (2) 2 64
1 (3) 3 27 (4) 5.73 3 例2 将下列对数式写成指数式：
探究：
1. 是不是所有的实数都有对数？ logaN＝b中的N可以取哪些值？
负数与零没有对数 2. 根据对数的定义以及对数与指数的 关系， loga1＝? logaa＝?
loga1＝0，logaa＝1
探究：
3. 对数恒等式
如果把ab＝N 中的b写成logaN，则有
a
loga N
N.
探究：
3. 对数恒等式 如果把ab＝N 中的b写成logaN，则有
对数与对数运算 对数
探索研究
1.计算:
3 ,
4
8 ,
x
1 3
2
5
, 16 .
x

1 2
2.求下列各式中的x的值:
1 1 x (1)2 32 , (2)25 5 , (3) 3 , (4) 49 . 81 7
x
3.假设1995年我国国民生产总值为a亿元，如果每 年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值为 1995年的2倍？
思考1:若24＝M，则M＝？ 若2－2＝N，则N＝？ 思考2:若2x＝16，则x＝？
1 若2x＝ 4
,则x＝？
若4x＝8， 则x＝？ 若2x＝3， 则x＝？
思考3:满足2x＝3的x的值，我们用log23表示， 即x＝log23，并叫做“以2为底3的对数”.那 1 x x＝16，2x＝ 么满足2 ，4 ＝8的x的值可分别 4 怎样表示？
x
x
知识探究（二）：对数与指数的关系 思考1:当a>0，且a≠1时，若ax＝N，则x＝logaN，反 之成立吗？ 思考2:在指数式ax＝N和对数式x＝logaN中，a，x，N 各自的地位有什么不同？ a 指数式ax＝N 指数的底数 N 幂 x 幂指数
对数式x＝ logaN
对数的底数
真数
对数
思考3:当a>0，且a≠1时，loga（-2）， loga0存在吗？为什么？由此能得到什么结论？
探究：
5. 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数 e＝2.71828……为底的对数，以e为底 的对数叫自然对数，为了简便，N的自 然对数logeN简记作lnN．
loge N
6. 底数的取值范围
探究：
5. 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数 e＝2.71828……为底的对数，以e为底 的对数叫自然对数，为了简便，N的自 然对数logeN简记作lnN．
2 (1) log 64 x 3
( 2) log x 8 6
(3) lg 100 x
(4) ln e x
2
例题与练习
例4 计算
(1) log 9 27
( 3) log 2 3 2 3


( 2) log 4 3 81
(4) log 3 54 625
例题与练习 例4 计算
ab＝N logaN＝b.
指数
真数
a N log a N b
b
底数 幂 底数 对数
探究：
1. 是不是所有的实数都有对数？ logaN＝b中的N可以取哪些值？
探究：
1. 是不是所有的实数都有对数？ logaN＝b中的N可以取哪些值？ 负数与零没有对数
探究：
1. 是不是所有的实数都有对数？ logaN＝b中的N可以取哪些值？ 负数与零没有对数 2. 根据对数的定义以及对数与指数的 关系， loga1＝? logaa＝?
a
loga N
N.
4. 常用对数： 我们通常将以10为底的对数叫做常 用对数. 为了简便，N的常用对数log10N 简记作lgN.
探究：
5. 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数 e＝2.71828……为底的对数，以e为底 的对数叫自然对数，为了简便，N的自 然对数logeN简记作lnN．
loge N
(1) 5 625
4
( 2) 2
6
1 64
( 3) 3 27
a
1 m (4) ( ) 5.73 3
例题与练习 例2 将下列对数式写成指数式
(1) log 1 16 4
2
(2) log 2 128 7 (4) ln 10 2.303
( 3) lg 0.01 2
例题与练习 例3 求下列各式中的x的值
第 2、3 题有什么共同特点？ 已知底数和幂的值，求指数。
一、对数的定义: 如果 a (a 0, a 1) 的 b 次幂等于 N，即
a b N 那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作
b loga N
其中 a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
探讨 为什么在定义中要规定：a＞0且a≠1， 而且 N>0?
探究：
5. 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数 e＝2.71828……为底的对数，以e为底 的对数叫自然对数，为了简便，N的自 然对数logeN简记作lnN．
loge N
6. 底数的取值范围(0, 1)∪(1, ＋∞)； 真数的取值范围(0, ＋∞).
例题与练习 例1 将下列指数式写成对数式
x
已知底数和幂的值，求指数．你能 看得出来吗？怎样求呢？
讲授新课
一般地，如果(a＞0, a≠1)的b次幂
等于N，就是ab＝N ，那么数b叫做以a
为底N的对数，记作logaN＝b.
讲授新课
一般地，如果(a＞0, a≠1)的b次幂
等于N，就是ab＝N ，那么数b叫做以a 为底N的对数，记作logaN＝b.
复习引入
假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经 过多少年国民生产总值是2002年的2倍？
(1 8%) 2 x ?
x
复习引入
假设2002年我国国民生产总值为a
亿元，如果每年平均增长8%，那么经
过多少年国民生产总值是2002年的2倍？
(1 8%) 2 x ?
(1) log 9 27
( 3) log 2 3 2 3


( 2) log 4 3 81
(4) log 3 54 625
练习 教材P.64练习第1、2、3、4题
课堂小结
1. 对数的定义；
2. 指数式与对数式互换； 3. 求对数式的值．
a
m
(1) log2 128 7; (3) lg 0.01 2;
(2) log1 16 4;
2
(4) ln 10 2.303.
例3 求下列各式的值
(1) log4 64 ; (2) log3 1 ; (3) loga 1 (a 0 , a 1) ; (4) 2
log2
; (5) a
loga N
(a 0 , a 1 , N 0).
例4 分别求下列各式中x的值：
(1) x log27 ; (2) log1 x 4 ; (3) logx 8 3 .
2
1 9
对数与对数运算 对数
问题提出
1 5730 p 2
t
1.截止到1999年底，我国人口约13亿.如果 今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么 经过20年后，我国人口数最多为多少（精确 到亿）？到哪一年我国的人口数将达到18亿？
当a＞0，a≠1，且 N>0时
若 1.082 x 2 , 则 x log1.082 2 若 4 3 64 若
2 83
, 则 3 log4 64 , 2 则 log8 4 3
4
当a 0, a 1, N 0, b N * , b 1时，开方 运算与对数运算都是乘方运算的逆运算.
思考4:一般地，如果ax＝N（a>0，且a≠1）， 那么数x叫做什么？怎样表示？ x＝logaN
18 x 1.01 思考5:前面问题中， ,1.08 2 13
x
中的x的值可分别怎样表示？ 思考6: 满足10 N , e N ， （其中e=2.7182818459045„）的x的值 可分别怎样表示？这样的对数有什么特 殊名称？
loge N
6. 底数的取值范围(0, 1)∪(1, ＋∞)；
探究：
5. 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数 e＝2.71828……为底的对数，以e为底 的对数叫自然对数，为了简便，N的自 然对数logeN简记作lnN．
loge N
6. 底数的取值范围(0, 1)∪(1, ＋∞)； 真数的取值范围
13× (1＋1％)x＝18，求x=?
2.假设2006年我国国民生产总值为a亿元， 如果每年的平均增长率为8% ，那么经过多少 年我国的国民生产总值是2006年的2倍？ (1＋8％)x＝2，求x=? 3.上面的实际问题归结为一个什么数学 问题？ 已知底数和幂的值，求指数.
知识探究（一）：对数的概念
如： （乘方运算） 2 8
x
3 8 （开方运算）数与零没有对数 （2） loga 1 0