人教A版高中数学选修2-1同步检测第2章2.1-2.1.1曲线与方程
人教版高中数学选修2-1同步练习:2.1 曲线与方程

2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.已知曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则“f1(x0,y0)=f2(x0,y0)”是“点M(x0,y0)是曲线C1与C2的交点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.方程|y|-1=表示的曲线是()A. 两个半圆B. 两个圆C. 抛物线D. 一个圆3.方程x2-xy+2y+1=0表示的曲线经过点A(1,-2),B(2,-3),C(3,10),D中的()A.1个B.2个C.3个D.4个4.方程(x+y-1)=0所表示的曲线是()图L2-1-15.若平面内动点P到两点A,B的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1),则动点P的轨迹叫作阿波罗尼斯圆.已知A(-2,0),B(2,0),λ=,则此阿波罗尼斯圆的方程为()A. x2+y2-12x+4=0B. x2+y2+12x+4=0C. x2+y2-x+4=0D. x2+y2+x+4=06.已知动点P在曲线2y2-x=0上移动,则点A(-2,0)与点P连线的中点的轨迹方程是()A. y=2x2B. y=8x2C. x=4y2-1D. y=4x2-7.在平面直角坐标系中,动点P(x,y)到两坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离,记点P的轨迹为曲线W,则有下列命题:①曲线W关于原点对称;②曲线W关于x轴对称;③曲线W关于y轴对称;④曲线W关于直线y=x对称.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.方程|x-1|+|y-1|=1表示的曲线所围成的图形的面积是 .9.给出下列说法:①方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线;②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=-2;③方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示四个点.其中正确说法的序号是 .10.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足·=12,则点P的轨迹方程为 .11.若点A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,则m= .三、解答题(本大题共2小题,共25分)12.(12分)已知△ABC的两个顶点坐标为A(-2,0),B(0,-2),点C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹方程.注:设△ABC的顶点为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心为G,13.(13分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.14.(5分)若直线y=x+b与曲线y=3-有两个不同的公共点,则实数b的取值范围是 .15.(15分)已知在平面直角坐标系中,动点M到定点F(-,0)的距离与它到定直线l:x=-的距离之比为常数.(1)求动点M的轨迹Γ的方程;(2)设点A,若P是(1)中轨迹Γ上的动点,求线段PA的中点B的轨迹方程.2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程1.B[解析] 设C1的方程为x+y+1=0,C2的方程为2x+2y-1=0,当x=1,y=1时,满足1+1+1=2+2-1,但是点(1,1)并不是两曲线交点,所以由“f1(x0,y0)=f2(x0,y0)”推不出“点M(x0,y0)是曲线C1与C2的交点”,反之成立,所以“f1(x0,y0)=f2(x0,y0)”是“点M(x0,y0)是曲线C1与C2的交点”的必要不充分条件,故选B.2.A[解析] 当y≥1时,原式可化为(x-1)2+(y-1)2=1,当y≤-1时,原式可化为(x-1)2+(y+1)2=1,∴方程|y|-1=表示的曲线为两个半圆.故选A.3.C[解析] 把(1,-2)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得1+2-4+1=0,满足方程,所以点A在曲线上.把(2,-3)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得4+6-6+1≠0,不满足方程,所以点B不在曲线上.把(3,10)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得9-30+20+1=0,满足方程,所以点C在曲线上.把0,-代入方程x2-xy+2y+1=0,可得0-0-1+1=0,满足方程,所以点D在曲线上.故选C.4.D[解析] 原方程等价于或x2+y2=4,其中表示直线x+y-1=0上不在圆x2+y2=4内的部分.故选D.5.D[解析] 依题意,设P(x,y),∵=,∴=,整理得x2+y2+x+4=0.故选D.6.C[解析] 设点A(-2,0)与点P的连线的中点坐标为(x,y),则由中点坐标公式可得P(2x+2,2y),∵动点P 在曲线2y2-x=0上移动,∴2×(2y)2-(2x+2)=0,即x=4y2-1.故选C.7.A[解析] 曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=,两边平方得2|xy|=-2x-2y+2,即|xy|+x+y=1.①若xy>0,则xy+x+y+1=2,即(x+1)(y+1)=2,∴y=-1,函数的图像是以(-1,-1)为中心的双曲线的一部分.②若xy<0,则xy-x-y+1=0,即(x-1)(y-1)=0,∴x=1(y<0)或y=1(x<0).作出图像如图所示,∴曲线W关于直线y=x对称.故选A.8.2[解析] 方程|x-1|+|y-1|=1可写成或或或图形如图所示,它是边长为的正方形,其面积为2.9.③[解析] 对于①,方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线(除掉点(2,0)),所以①错误;对于②,到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=-2或y=2,所以②错误;对于③,方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示点(-2,2),(-2,-2),(2,-2),(2,2)四个点,所以③正确.10.x2+y2=16[解析] 设P(x,y),则=(-2-x,-y),=(2-x,-y),于是·=(-2-x)(2-x)+y2=12,化简得x2+y2=16,即点P的轨迹方程为x2+y2=16.11.-1[解析] ∵A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,∴∴12.解:设C(x1,y1),重心G(x,y),由重心坐标公式得3x=-2+0+x1,3y=0-2+y1,则x1=3x+2,y1=3y+2.∵C(x1,y1)在曲线y=3x2-1上移动,∴3y+2=3(3x+2)2-1.整理得y=9x2+12x+3.故△ABC的重心的轨迹方程为y=9x2+12x+3.13.解:如图所示,设点A(a,0),B(0,b),M(x,y).因为M为线段AB的中点,所以a=2x,b=2y,即A(2x,0),B(0,2y).当2x≠2,即x≠1时,因为l1⊥l2,所以k AP·k PB=-1.而k AP=(x≠1),k PB=,所以·=-1(x≠1),整理得,x+2y-5=0(x≠1).因为当x=1时,A,B的坐标分别为(2,0),(0,4),所以线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.14.1-2<b≤-1[解析] 曲线方程变形为(x-2)2+(y-3)2=4(y≤3),表示圆心为A(2,3),半径为2的下半圆,根据题意画出图形,如图所示.当直线y=x+b过B(4,3)时,直线与曲线有两个公共点,将B点坐标代入直线方程得3=4+b,即b=-1.当直线y=x+b与半圆相切时,圆心A到直线的距离d=r,即=2,解得b=1-2(舍去正值).故直线与曲线有两个公共点时,b的取值范围为1-2<b≤-1.15.解:(1)设动点M(x,y),由已知可得=,即x2+2x+3+y2=,化简得+y2=1,即所求动点M的轨迹Γ的方程为+y2=1.(2)设点B(x,y),点P(x0,y0),由得由点P在轨迹Γ上,得+=1,整理得+4=1,∴线段PA的中点B的轨迹方程是+4=1.。
人教A版高中数学选修2-1习题:2.1曲线与方程

解设 A(x,y)为轨迹上任一点,
那么
,
整理,得(x-1)2+(y-1)2=29.
因为点 A 不在直线 BC 上,虽然点 C(3,6)及点 C 关于点 B 的对称点 C'(-1,-4)的坐标是这个方
程的解,但不在已知曲线上,
所以所求轨迹方程为(x-1)2+(y-1)2=29(去掉(3,6)和(-1,-4)两个点).
所以
,[来源:Z|xx|]
从而有 由 N(x+3,y-4)在圆上,得(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求点 P 的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4,
但应除去两点:
.
同时以-x 代替 x,-y 代替 y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即 y2-xy-2x=0,所以曲线 C 不关于原
点对称.
B组
1.方程 x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是( )
解析:由 xy<0 知,曲线在第二、四象限,故选 C. 答案:C 2.设方程 f(x,y)=0 的解集非空,若命题“坐标满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上”是不正确的,则 下面命题中正确的是( ) A.坐标满 足 f(x,y)=0 的点都不在曲线 C 上 B.曲线 C 上的点的坐标不满足 f(x,y)=0 C.坐标满足 f(x,y)=0 的点有些在曲线 C 上,有些不在曲线 C 上 D.一定有不在曲线 C 上的点,其坐标满足 f(x,y)=0 解析:“坐标满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上”不正确,就是说“坐标满足方程 f(x,y)=0 的点 不都在曲线 C 上”是正确的.这意味着一定有这样的点(x0,y0),虽然满足方程 f(x,y)=0,但(x0,y0)∉C. 即一定有不在曲线 C 上的点,其坐标满足 f(x,y)=0,故应选 D. 答案:D[来源:学#科#网 Z#X#X#K]
2021人教版高中数学同步a版选修2-1(理科必考)模块练习题--2.1.1 曲线与方程

第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程*2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程基础过关练题组一曲线与方程的概念1.已知曲线C的方程为x3+x+y-1=0,则下列各点中在曲线C上的点是( )A.(0,0)B.(-1,3)C.(1,1)D.(-1,1)2.(2018天津耀华中学高二上学期月考)直线x-y=0与曲线xy=1的交点坐标是( )A.(1,1)B.(-1,-1)C.(1,1),(-1,-1)D.(0,0)3.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为( )A.π3 B.5π3C.π3或5π3D.π3或π64.“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2√x”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件题组二 方程的曲线5.方程4x 2-y 2+6x-3y=0表示的图形是( ) A.直线2x-y=0 B.直线2x+y+3=0C.直线2x-y=0和直线2x+y+3=0D.直线2x+y=0和直线2x-y+3=06.下列四个选项中,方程与曲线相符合的是( )7.方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成图形的面积为 .题组三 求曲线的方程8.设A 为圆(x-1)2+y 2=1上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则点P 的轨迹方程是( )A.(x-1)2+y 2=2B.(x-1)2+y 2=4C.y 2=2xD.y 2=-2x9.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A(1,0),B(2,2).若点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),其中t∈R ,则点C 的轨迹方程为 .10.(2018湖南岳阳一中高二上学期期末)已知M 为直线l:2x-y+3=0上的一动点,A(4,2)为一定点,点P 在直线AM 上运动,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求动点P 的轨迹方程.11.已知△ABC 中,AB=2,AC=√2BC. (1)求点C 的轨迹方程; (2)求△ABC 的面积的最大值.能力提升练一、选择题1.(2018海南海口一中高二上学期月考,★★☆)方程xy 2+x 2y=1所表示的曲线( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点中心对称D.关于直线y=x 对称 2.(2020鄂东南九校高二期中联考,★★☆)方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示的曲线为( ) A.一条线段和半个圆 B.一条线段和一个圆 C.一条直线和半个圆 D.两条线段3.(2020北京朝阳高三期末,★★☆)笛卡儿、牛顿都研究过方程(x-1)(x-2)(x-3)=xy,关于这个方程的曲线有下列说法:①该曲线关于y 轴对称;②该曲线关于原点对称;③该曲线不经过第三象限;④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数.其中正确的是( ) A.②③ B.①④ C.③ D.③④4.(2019江西南昌高三开学摸底考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy 中,已知M(-1,2),N(1,0),动点P 满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则动点P 的轨迹方程是( )A.y 2=4xB.x 2=4yC.y 2=-4xD.x 2=-4y5.(★★☆)方程x 2+y 2=1(xy<0)表示的曲线形状是( )6.(2018吉林长春五县期末,★★★)已知定点M(-3,0),N(2,0),若动点P满足|PM|=2|PN|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.100π9 B.142π9C.10π3D.9π二、填空题7.(2020贵州贵阳高二期末,★★☆)以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆,是指到两定点的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点M的轨迹.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA||MB|=√2,此时阿波罗尼斯圆的方程为.8.(2020北京房山高二期末,★★☆)已知曲线W的方程为|y|+x2-5x=0.①请写出曲线W的一条对称轴方程: ;②曲线W上的点的横坐标的取值范围是.三、解答题9.(2019贵州铜仁一中高二入学考试,★★☆)已知动点M到点A(-1,0)与点B(2,0)的距离之比为2∶1,记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点P(5,-4)作曲线C的切线,求切线方程.10.(2019上海七宝中学高二期末,★★★)在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:x2+y2=1(y≥0).(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;(2)如图2,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.答案全解全析 基础过关练1.B 点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上⇔f(x 0,y 0)=0.经验证知点(-1,3)在曲线C 上.2.C 由{x -y =0,xy =1,得{x =1,y =1或{x =-1,y =-1.故选C.3.C 将点P 的坐标代入方程(x-2)2+y 2=3,得(cos α-2)2+sin 2α=3,解得cos α=12.又0≤α<2π,所以α=π3或5π3.4.B 设M(x 0,y 0),由点M 的坐标满足方程y=-2√x ,得y 0=-2√x 0,∴y 02=4x 0,∴点M 在曲线y 2=4x 上.反之不成立,故选B.5.C ∵4x 2-y 2+6x-3y=(2x+y)(2x-y)+3(2x-y)=(2x-y)(2x+y+3)=0, ∴原方程表示直线2x-y=0和2x+y+3=0.6.D 对于A,点(0,-1)满足方程,但不在曲线上,排除A;对于B,点(1,-1)满足方程,但不在曲线上,排除B;对于C,由于曲线上第三象限的点的横、纵坐标均小于0,不满足方程,排除C.故选D.7.答案 2解析 方程表示的图形是边长为√2的正方形(如图所示),其面积为(√2)2=2.8.A 设圆(x-1)2+y 2=1的圆心为C,半径为r,则C(1,0),r=1,依题意得|PC|2=r 2+|PA|2,即|PC|2=2,所以点P 的轨迹是以C 为圆心,√2为半径的圆,因此点P 的轨迹方程是(x-1)2+y 2=2. 9.答案 y=2x-2解析 设点C(x,y),则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y).因为点A(1,0),B(2,2),所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1+t,2t),所以{x =t +1,y =2t ,消去t,得点C 的轨迹方程为y=2x-2. 10.解析 设M(x 0,y 0),P(x,y), 则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,y-2),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0-x,y 0-y), 由题意可得{x -4=3(x 0-x ),y -2=3(y 0-y ),所以{x 0=4x -43,y 0=4y -23.因为点M(x 0,y 0)在直线2x-y+3=0上, 所以2×4x -43-4y -23+3=0,即8x-4y+3=0,所以点P 的轨迹方程为8x-4y+3=0.11.解析 (1)以直线AB 为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC=√2BC,得(x+1)2+y 2=2[(x-1)2+y 2],即(x-3)2+y 2=8,又在△ABC 中,y≠0,所以点C 的轨迹方程为(x-3)2+y 2=8(y≠0).(2)因为AB=2,所以S △ABC =12×2×|y|=|y|.因为(x-3)2+y 2=8(y≠0), 所以0<|y|≤2√2,所以S △ABC ≤2√2,即△ABC 的面积的最大值为2√2.能力提升练一、选择题1.D 设P(x 0,y 0)是曲线xy 2+x 2y=1上的任意一点,则x 0y 02+x 02y 0=1.设点P 关于直线y=x 的对称点为P',则P'(y 0,x 0),因为y 0x 02+y 02x 0=x 0y 02+x 02y 0=1,所以P'在曲线xy 2+x 2y=1上,故该曲线关于直线y=x 对称.2.A 由方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0得y=√1-x 2(y≥0)或3x-y+1=0,且满足-1≤x≤1,即x 2+y 2=1(y≥0)或3x-y+1=0(-1≤x≤1),∴方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示一条线段和半个圆.3.C 将x=-x 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=xy,方程改变,故该曲线不关于y 轴对称; 将x=-x,y=-y 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=-xy,方程改变,故该曲线不关于原点对称; 当x<0,y<0时,(x-1)(x-2)(x-3)<0,xy>0,显然方程不成立,∴该曲线不经过第三象限;令x=-1,易得y=24,即(-1,24)在曲线上,同理可得(1,0),(2,0),(3,0)也在曲线上,∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的.4.A 设P(x,y),因为M(-1,2),N(1,0),所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x,2-y),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x,-y),因为|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|1+x|=√(1-x )2+(-y )2, 整理得y 2=4x.5.C 方程x 2+y 2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分,故选C. 6.A 设P(x,y),则由|PM|=2|PN|,得(x+3)2+y 2=4[(x-2)2+y 2],化简,得3x 2+3y 2-22x+7=0, 即(x -113)2+y 2=1009,所以所求图形的面积S=100π9.二、填空题7.答案 x 2+y 2-12x+4=0 解析 设M(x,y),因为|MA ||MB |=√2, 所以√(x+2)2+y 2√(x -2)+y 2=√2,整理得x 2+y 2-12x+4=0.8.答案 ①y=0(或x =52) ②[0,5]解析 ①由W 的方程知,若(x,y)是曲线上的点,则(x,-y)也是曲线上的点,因此直线y=0是曲线W的一条对称轴.同理,点(52-x,y)与(52+x,y)也都是曲线上的点,因此直线x=52也是曲线W的一条对称轴.②由|y|+x2-5x=0得|y|=-x2+5x,因为|y|≥0,所以-x2+5x≥0,解得0≤x≤5.三、解答题9.解析(1)设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=√(x+1)2+y2,|MB|=√(x-2)2+y2所以√(x+1)2+y2√(x-2)+y2=2,化简得(x-3)2+y2=4.因此,动点M的轨迹方程为(x-3)2+y2=4.(2)当过点P的直线斜率不存在时,直线方程为x-5=0,圆心C(3,0)到直线x-5=0的距离等于2,此时直线x-5=0与曲线C相切; 当过点P的切线斜率存在时,不妨设斜率为k,则切线方程为y+4=k(x-5),即kx-y-5k-4=0,由圆心到切线的距离等于半径,得√k2+1=2,解得k=-34.所以切线方程为3x+4y+1=0.综上所述,切线方程为x-5=0和3x+4y+1=0.10.解析(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y0≥0,设线段AB的中点为M(x,y), 因为点B在曲线Γ上,所以x02+y02=1.①因为M为线段AB的中点,所以{x=x0+22,y=y02,则{x0=2x-2,y0=2y,代入①式得(2x-2)2+4y2=1,化简得(x-1)2+y2=14,其中y≥0.则线段AB的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=14(y≥0).(2)如图所示,将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,易知点D(2,2),结合图形可知,点C在曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上运动,则问题转化为求原点O到曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上一点C的距离的最大值,连接OD并延长交曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)于点C',当点C与C'重合时,|OC|取得最大值,且|OC|max=|OD|+1=2√2+1.。
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曲线和方程学习目标:1、了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”含义.2、会判定一个点是否在已知曲线上.一、知识回顾并引题:二、自学课本7573-P 并记下重点,积极思考问题:三、自我检测:1、到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是0=-y x 吗?2、已知等腰三角形三个顶点的坐标是)3,0(A ,)0,2(-B ,)0,2(C 。
中线O AO (为原点)的方程是0=x 吗?为什么?3、已知方程2522=+by ax 的曲线经过点)35,0(A 和点)1,1(B ,求a 、b 的值。
四、提问、答疑,共同解决:五、例题分析:1、若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =,则下列说法正确的是 ( )A.曲线C 的方程是(,)0f x y =B.方程(,)0f x y =的曲线是CC.坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上D. 坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上2、已知00(,)P x y 在曲线(,)0f x y =上,P 也在曲线(,)0g x y =上,求证:点P 在曲线(,)(,)0f x y g x y λ+=上(R λ∈)六、课后作业:1、点)2,1(-A ,)3,2(-B ,)10,3(C 是否在方程0122=++-y xy x 的图形上?2、解答下列问题,并说明理由:(1)点12(3,4),(2,3)P P -是否在方程2225x y +=所表示的曲线上;(2)已知方程 2225x y +=表示的曲线F 经过点(2,)A m ,求m 的值。
3、(1)求方程c bx ax y ++=2的曲线经过原点的充要条件是 。
(2)求方程222)()(r b y a x =-+-的曲线经过原点的充要条件 。
4、(1)已知:[0,2)απ∈,点(c o s ,s i n )P αα在曲线22(2)3x y -+=上,则α的值是 ; (2)方程2222(4)(4)0x y -+-=表示的图形是 。
(人教版)高中数学选修2-1检测第2章 圆锥曲线与方程2.2.1 Word版含答案

第二章(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!)一、选择题(每小题分,共分).方程+=表示的曲线是( ).到定点(-)和()的距离之和等于的点的轨迹.到定点(,-)和()的距离之和等于的点的轨迹.到定点(,-)和()的距离之和等于的点的轨迹.到定点(,-)和()的距离之和等于的点的轨迹解析:本题主要考查椭圆的标准方程及定义.由方程可知,它表示焦点在轴上的椭圆,且=,=,∴=,所以方程表示的椭圆的焦点为(,-),(),长轴长为,因此选.答案:.若方程-=表示焦点在轴上的椭圆,则下列关系成立的是( )><><解析:所给方程为椭圆,且焦点在轴上,∴>,<,且->>,∴>.答案:.已知△的顶点,在椭圆+=上,顶点是椭圆的一个焦点,且椭圆的另一个焦点在上,则△的周长是( ) ....解析:可知=,由椭圆的定义得+=+==,∴(+)++=++=,即△的周长为,故选.答案:.椭圆+=上一点到左焦点的距离为,是的中点,则等于( )...解析:如图,为椭圆的右焦点,连接,则是△的中位线,从而=.又=,根据椭圆的定义+==.∴=,从而有=.答案:二、填空题(每小题分,共分).已知椭圆经过点(),且点()为其右焦点,则椭圆的标准方程为.解析:方法一:依题意,可设椭圆的方程为+=(>>),且可知左焦点为′(-).从而有(\\(==+′=+=)),解得(\\(==)).又=+,所以=,故椭圆的标准方程为+=.方法二:依题意,可设椭圆的方程为+=(>>),则(\\(()+()=-=)),解得=或=-(舍去),从而=.所以椭圆的标准方程为+=.答案:+=.已知椭圆的方程为+=,焦点在轴上,则其焦距为.解析:由于焦点在轴,故=,=,由=,可得=.答案:三、解答题(每小题分,共分).求满足下列条件的椭圆的标准方程:()一个焦点坐标是(),过点(,);()两焦点在坐标轴上,对称轴为坐标轴,且经过点和点.解析:()由一个焦点坐标是()知椭圆焦点在轴上,设椭圆的标准方程为+=(>>),由=,得=-=-,则椭圆方程可化为+=,将点(,)代入,得=(=舍去),从而=-=,故所求椭圆的标准方程为+=.()依题意设椭圆的方程为+=(>,>),因为点和点都在椭圆上.所以错误!即(\\(()+=,,()+=,))所以(\\(=,=().))所以所求椭圆的标准方程为+=..已知两圆:(+)+=,:(-)+=,动圆与外切,与内切,求圆心的轨迹.。
人教A版选修2-1第二章第2课时同步练习§2.1.2求曲线的方程

§2.1.2 求曲线的方程1.在第四象限内,到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( ).(A)x 2+y 2=4 (B) x 2+y 2=4 (x>O)(C)y=24x -- (D) y=24x --(0<x<2)2.等腰直角三角形底边两端点是A(3-,0),B(3,0),顶点C 的轨迹是( ).(A)一条直线 (B)一条直线去掉一点(C)一个点 (D)两个点3.与点A(一1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为一l 的动点P 的轨迹方程是( ).(A)x 2+y 2=3 (B)x 2+2xy=1(x ≠±1)(C)y=21x - (D)x 2+y 2=9(x ≠0)4.已知两点A(一2,0)、B(6,0),三角形ABC 的面积为1 6,则C 点的轨迹方程为 .5.由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ,切点分别为A ,B ,APB ∠=60,则动点P 的轨迹方程为 .6.在平面直角坐标系中,O 为原点,A(1,0)、B(2,2),若点C 满足)(OA OB t OA OC -+=,其中t ∈R ,则点C 的轨迹方程是 .7.已知B A ),0,21(-是圆421:22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x F (F 为圆心)上一动点,线段AB 的垂直平分线交BF 于P ,则点P 的轨迹方程为: .8.经过定点())0(,≠a b a A 作互相垂直的两条直线1l 和2l ,分别与x 轴、y 轴交于C B , 两点,求线段BC 的中点M 的轨迹方程.9.已知点M 与x 轴的距离和点M 与点F(O ,4)的距离相等,求点M 的轨迹方程.10.已知一曲线是到两个点O(0,0),A(3,0)距离之比为1:2的点的轨迹,求这条曲线的方程.11.设P 为曲线1422=-y x 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段PO 的中点,求点M 的轨迹方程.12.如图,已知F(1,O),直线l :x = -1,P 为平面上的动点,过P 作直线l 的垂线,垂足为Q ,FQ FP QF QP ⋅=⋅,求动点P 的轨迹方程.13.定长为6的线段,其端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动,线段AB 的中点为M ,求M 点的轨迹方程.14.如图所示,圆O 1和圆O 2的半径都等于1,O 1O 2=4。
人教A版选修2-1第二章第1课时同步练习§2.1.1 曲线与方程

§2.1.1 曲线与方程1、已知坐标满足方程F (x,y )=0的点都在曲线C 上,那么( )A .曲线C 上的点的坐标都适合方程F (x,y )=0B .凡坐标不适合F (x,y )=0的点都不在C 上C .不在C 上的点的坐标必不适合F (x,y )=0D .不在C 上的点的坐标有些适合F (x,y )=0,有些不适合F (x,y )=02、方程04)1(22=-+-+y x y x 的曲线形状是( )A .圆B .直线C .圆或直线D .圆或两条射线3、到两定点A (0,0)、B (3、4)距离之和为5的点的轨迹是( )A .圆B .AB 所在直线C .线段ABD .无轨迹4、如图所示,方程01=-+y x 表示的曲线是( )5、“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”是“方程0),(=y x f 是曲线C 的方程”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充分必要条件D .既非充分条件也非必要条件6、已知直线03:=-+y x l ,曲线2)2()3(22=-+-y x ,则点M (2,1)( )A .在直线l 上,但不在曲线上B .在直线l 上,也在曲线上C .不在直线l 上,也不在曲线上D .不在直线l 上,但在曲线上7、如果曲线C 上点的坐标满足方程0),(=y x F ,则有( )A .方程0),(=y x F 表示的曲线是CB .曲线C 的方程是0),(=y x FC .点集{}{}0),(),(=⊆∈y x F y x C P PD .点集{}C P P ∈≠⊂{}0),(),(=y x F y x8、方程111=-+-y x 表示的图形是( )A..一个点 B .四条直线 C .正方形 D .四个点9、如图所示,方程2x x y =表示的曲线是( )A .B .C .D .10、曲线21x y --=与曲线)(0R a ax y ∈=+的交点个数一定是( )A .2个B .4个C .0个D .与a 的取值有关11、已知抛物线1:2-+-=mx x y C ,点A (3,0)、B (0,3),求C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件(用m 的取值范围表示)。
高中数学人教A版选修2-1同步练习:2.1.1曲线与方程(含答案)

2.1.1曲线与方程一、选择题1.(2013·广东省中山一中期中)方程(2x -y +2)x 2+y 2-1=0表示的曲线是( ) A .一个点与一条直线 B .两条射线和一个圆C .两个点D .两个点或一条直线或一个圆[答案] B[解析] 原方程等价于x 2+y 2-1=0,或⎩⎪⎨⎪⎧2x -y +2=0x 2+y 2-1≥0,故选B.2.若方程x -2y -2k =0与2x -y -k =0所表示的两条直线的交点在方程x 2+y 2=9的曲线上,则k 等于( )A .±3B .0C .±2D . 一切实数[答案] A[解析] 两直线的交点为(0,-k ),由已知点(0,-k )在曲线x 2+y 2=9上,故可得k 2=9,∴k =±3. 3.在直角坐标系中,方程|x |·y =1的曲线是( )[答案] C[解析] 由|x |·y =1知y >0,曲线位于x 轴上方,故选C.4.命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ,y )=0的解”是正确的,下列命题中正确的是( ) A .方程f (x ,y )=0的曲线是C B .方程f (x ,y )=0是曲线C 的方程 C .方程f (x ,y )=0的曲线不一定是CD .以方程f (x ,y )=0的解为坐标的点都在曲线C 上 [答案] C[解析] 不论方程f (x ,y )=0是曲线C 的方程,还是曲线C 是方程f (x ,y )=0的曲线,都必须同时满足两层含义:(1)曲线上的点的坐标都是方程的解;(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上,所以A 、B 、D 错误.5.如图,曲线的方程与图中曲线对应正确的是( )[答案] D[解析] A 中方程x 2+y 2=1表示的是以(0,0)为圆心,1为半径的圆,故A 错;B 中方程x 2-y 2=0可化为(x -y )(x +y )=0,表示两条直线x -y =0,x +y =0,故B 错;C 中方程lg x +lg y =1可化得y =1x (x >0),此方程只表示第一象限的部分,故C 错.6.动点在曲线x 2+y 2=1上移动时,它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是( ) A .(x +3)2+y 2=4 B .(x -3)2+y 2=1 C .(2x -3)2+4y 2=1 D .(x +32)2+y 2=1[答案] C[解析] 设P 点为(x ,y ),曲线上对应点为(x 1,y 1),则有x 1+32=x ,y 1+02=y .∴x 1=2x -3,y 1=2y .∵(x 1,y 1)在曲线x 2+y 2=1上,∴x 21+y 21=1,∴(2x -3)2+(2y )2=1即(2x -3)2+4y 2=1. 二、填空题7.方程y =x 2-2x +1所表示的图形是________. [答案] 两条射线x +y -1=0(x ≤1)和x -y -1=0(x ≥1)[解析] 原方程等价于y =|x -1|⇔x +y -1=0(x ≤1)和x -y -1=0(x ≥1). 8.给出下列结论:①方程yx -2=1表示斜率为1,在y 轴上的截距为-2的直线;②到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y =-2;③方程(x 2-4)2+(y 2-4)2=0表示四个点.正确的结论的序号是________. [答案] ③[解析] 方程yx -2=1表示斜率为1,在y 轴上的截距为-2的直线且扣除点(2,0),故①错;到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y =-2或y =2,故②错;方程(x 2-4)2+(y 2-4)2=0表示点(-2,2),(-2,-2),(2,-2),(2,2),故③正确.9.若曲线y 2=xy +2+k 通过点(-a ,a )(a ∈R ),则k 的取值范围是________. [答案] [-2,+∞)[解析] 把点(-a ,a )代入曲线方程,得a 2=-a 2+2+k ,所以k =2a 2-2≥-2(a ∈R ). 三、解答题10.画出方程(x +y -1)x -y -2=0所表示的曲线.[解析] 方程(x +y -1)x -y -2=0可等价变形为⎩⎪⎨⎪⎧x +y -1=0,x -y -2≥0.或x -y -2=0.由⎩⎪⎨⎪⎧x +y -1=0,x -y -2≥0.得⎩⎪⎨⎪⎧x +y -1=0,x ≥32.∴⎩⎪⎨⎪⎧x +y -1=0,x -y -2≥0. 表示射线x +y -1=0(x ≥32).∴原方程表示射线x +y -1=0(x ≥32)和直线x -y -2=0,如下图所示.一、选择题11.方程x 2+xy =x 所表示的图形是( ) A .一个点 B .一条直线C .两条直线D .一个点和一条直线[答案] C[解析] 原方程等价于x (x +y -1)=0⇔x =0或x +y -1=0,故原方程所表示的图形是两条直线. 12.设圆M 的方程为(x -3)2+(y -2)2=2,直线l 的方程为x +y -3=0,点P 的坐标为(2,1),那么( ) A .点P 在直线l 上,但不在圆M 上 B .点P 在圆M 上,但不在直线l 上 C .点P 既在圆M 上,也在直线l 上 D .点P 既不在圆M 上,也不在直线l 上 [答案] C[解析] 将P (2,1)代入圆M 和直线l 的方程得,(2-3)2+(1-2)2=2且2+1-3=0, ∴点P (1,2)既在圆(x -3)2+(y -2)2=2上也在直线l :x +y -3=0上,故选C. 13.若曲线y =x 2-x +2和y =x +m 有两个交点,则( ) A .m ∈R B .m ∈(-∞,1) C .m =1 D .m ∈(1,+∞)[答案] D[解析] 两方程联立得x 的二次方程,由Δ>0可得m >1.14.(2013·河南省实验中学月考)动点P 到定点(1,0)和定直线x =3的距离之和为4,则点P 的轨迹方程为( )A .y 2=4xB .y 2=-12(x -4)C .若x ≥3,则y 2=4x ;若x <3,则y 2=-12(x -4)D .若x ≤3,则y 2=4x ;若x >3,则y 2=-12(x -4) [答案] D[解析] 设P (x ,y ),由题意得(x -1)2+y 2+|x -3|=4.若x ≤3,则y 2=4x ;若x >3,则y 2=-12(x -4), 故选D. 二、填空题15.曲线y =14x 2与x 2+y 2=5的交点坐标是________.[答案] (±2,1)[解析] 易知x 2=4y 代入x 2+y 2=5得,y 2+4y -5=0,∴(y +5)(y -1)=0, 解得y =-5,y =1.y =-5不合题意舍去, ∴y =1,∴x =±2.16.|x |+|y |=1表示的曲线围成的图形面积为________________.[答案] 2[解析] 当x ≥0,y ≥0时,有x +y =1;x ≥0,y ≤0时,x -y =1;x ≤0,y ≥0时,有-x +y =1;x ≤0,y ≤0时,-x -y =1,作出图形为一个正方形如图,其边长为2,面积为2.三、解答题17.已知直线l :y =x +b 与曲线C :y =1-x 2有两个公共点,求b 的取值范围.[解析] 解法一:由方程组⎩⎨⎧y =x +b ,y =1-x 2(y ≥0). 得⎩⎪⎨⎪⎧y =x +b ,x 2+y 2=1(y ≥0). 消去x ,得到2y 2-2by +b 2-1=0(y ≥0).l 与C 有两个公共点,等价于此方程有两个不等的非负实数解,可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ=4b 2-8(b 2-1)>0,y 1+y 2=b >0,y 1y 2=b 2-12≥0.解得1≤b < 2.解法二:在同一直线坐标系内作出y =x +b 与y =1-x 2的图形,如图所示,易得b 的范围为1≤b < 2.。
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第二章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
A 级 基础巩固
一、选择题
1.下列选项中方程与其表示的曲线正确的是( )
解析:对于A ,x 2+y 2=1表示一个整圆;对于B ,x 2-y 2=(x +y )(x -y )=0,表示两条相交直线;对于D ,由lg x +lg y =0知x >0,y >0.
答案:C
2.方程(x 2-4)2+(y 2-4)2=0表示的图形是( )
A .两个点
B .四个点
C .两条直线
D .四条直线
解析:由已知⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4=0,y 2-4=0,所以⎩⎪⎨⎪⎧x =±2,y =±2,即⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =2,或⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =-2
或⎩⎪⎨⎪⎧x =-2,y =2,或⎩
⎪⎨⎪⎧x =-2,y =-2. 答案:B
3.方程x 2+xy =x 表示的曲线是( )
A .一个点
B .一条直线
C .两条直线
D .一个点和一条直线
解析:由x 2+xy =x ,得x (x +y -1)=0,即x =0或x +y -1=0. 由此知方程x 2+xy =x 表示两条直线.
答案:C
4.方程y =|x |x 2
表示的曲线为图中的( )
A B C D
解析:y =|x |x 2
,x ≠0,为偶函数,图象关于y 轴对称,故排除A ,B.
又因为当x >0时,y =1x
>0; 当x <0时,y =-1x
>0,所以排除D. 答案:C
5.若曲线C 上存在点M ,使M 到平面内两点A (-5,0),B (5,0)距离之差的绝对值为8,则称曲线C 为“好曲线”,以下不是“好曲线”的是( )
A .x +y =5
B .x 2+y 2=9 C.x 225+y 29=1 D .x 2=16y
解析:因为M 到平面内两点A (-5,0),B (5,0)距离之差为8, 所以M 的轨迹是以A (-5,0),B (5,0)为焦点的双曲线的右支,
方程为x 216-y 24
=1(x ≥4). A :直线x +y =5过点(5,0),满足题意;
B :x 2+y 2=9的圆心为(0,0),半径为3,与M 的轨迹没有交点,不满足题意;
C :x 225+y 29
=1的右顶点为(5,0),满足题意; D :方程代入
x 216-y 29=1,可得y -y 29=1,即y 2-9y +9=0,所以y =3,满足题意.故选B.
答案:B
二、填空题
6.已知点A (a ,2)既是曲线y =mx 2上的点,也是直线x -y =0上的点,则m =________.
解析:根据点A 在曲线y =mx 2上,也在直线x -y =0上,
则⎩⎪⎨⎪⎧2=ma 2,a -2=0,所以⎩⎨⎧a =2,
m =12
. 答案:12
7.已知A (0,1),B (1,0),则线段AB 的垂直平分线的方程是________.
解析:设点M (x ,y )是线段AB 的垂直平分线上任意一点,也就是点M 属于集合P ={M ||MA |=|MB |}, 由两点间距离公式得x 2+(y -1)2=(x -1)2+y 2,化简得,y =x .
答案:y =x
8.下列命题正确的是________(填序号).
①方程x y -2
=1表示斜率为1,在y 轴上的截距是2的直线; ②到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y =5;
③曲线2x 2-3y 2-2x +m =0通过原点的充要条件是m =0. 答案:③
三、解答题
9.方程x 2(x 2-1)=y 2(y 2-1)所表示的曲线C .若点M (m ,2)与点N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32,n 在曲线C 上,求m ,n 的值. 解:将点M (m ,2)与点N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32,n 代入方程 x 2(x 2-1)=y 2(y 2-1),
得⎩⎨⎧
m 2(m 2-1)=2×1,34×⎝ ⎛⎭⎪⎫-14=n 2(n 2-1),
所以m =±2, n =±12或±32
. 10.求方程(x +y -1)x -1=0所表示的曲线.
解:依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x +y -1=0,x -1≥0或x -1=0, 即x +y -1=0(x ≥1)或x =1.
综上可知,原方程所表示的曲线是射线x +y -1=0(x ≥1)和直线x =1.
B 级 能力提升
1.已知定点P (x 0,y 0)不在直线l :f (x ,y )=0上,则方程f (x ,y )-f (x 0,y 0)=0表示( )
A .过点P 且垂直于l 的直线
B .过点P 且平行于l 的直线
C .不过点P 但垂直于l 的直线
D .不过点P 但平行于l 的直线
答案:B
2.设平面点集A ={(x ,y )|(y -x )⎝
⎛⎭⎪⎫y -1x ≥0},B ={(x ,y )|(x -1)2+(y -1)2≤1},则A ∩B 所表示的平面图形的面积为________.
答案:π2
3.已知P (x 0,y 0)是曲线f (x ,y )=0和曲线g (x ,y )的交点,求证:点P 在曲线f (x ,y )+λg (x ,y )=0(λ∈R)上.
证明:因为P 是曲线f (x ,y )=0和曲线g (x ,y )=0的交点, 所以P 在曲线f (x ,y )=0上,即f (x 0,y 0)=0,且P 在曲线g (x ,y )=0上,
即g (x 0,y 0)=0,
所以f (x 0,y 0)+λg (x 0,y 0)=0+λ·0=0,
所以点P 在曲线f (x ,y )+λg (x ,y )=0(λ∈R)上.。