人教A版高中数学选修2-1同步检测第2章2.1-2.1.1曲线与方程
人教版高中数学选修2-1同步练习：2.1 曲线与方程
2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案一、选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分)1.已知曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则“f1(x0,y0)=f2(x0,y0)”是“点M(x0,y0)是曲线C1与C2的交点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.方程|y|-1=表示的曲线是()A. 两个半圆B. 两个圆C. 抛物线D. 一个圆3.方程x2-xy+2y+1=0表示的曲线经过点A(1,-2),B(2,-3),C(3,10),D中的()A.1个B.2个C.3个D.4个4.方程(x+y-1)=0所表示的曲线是()图L2-1-15.若平面内动点P到两点A,B的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1),则动点P的轨迹叫作阿波罗尼斯圆.已知A(-2,0),B(2,0),λ=,则此阿波罗尼斯圆的方程为()A. x2+y2-12x+4=0B. x2+y2+12x+4=0C. x2+y2-x+4=0D. x2+y2+x+4=06.已知动点P在曲线2y2-x=0上移动,则点A(-2,0)与点P连线的中点的轨迹方程是()A. y=2x2B. y=8x2C. x=4y2-1D. y=4x2-7.在平面直角坐标系中,动点P(x,y)到两坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离,记点P的轨迹为曲线W,则有下列命题:①曲线W关于原点对称;②曲线W关于x轴对称;③曲线W关于y轴对称;④曲线W关于直线y=x对称.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)8.方程|x-1|+|y-1|=1表示的曲线所围成的图形的面积是 .9.给出下列说法:①方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线;②到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=-2;③方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示四个点.其中正确说法的序号是 .10.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P满足·=12,则点P的轨迹方程为 .11.若点A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,则m= .三、解答题(本大题共2小题,共25分)12.(12分)已知△ABC的两个顶点坐标为A(-2,0),B(0,-2),点C在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹方程.注:设△ABC的顶点为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心为G,13.(13分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程.14.(5分)若直线y=x+b与曲线y=3-有两个不同的公共点,则实数b的取值范围是 .15.(15分)已知在平面直角坐标系中,动点M到定点F(-,0)的距离与它到定直线l:x=-的距离之比为常数.(1)求动点M的轨迹Γ的方程;(2)设点A,若P是(1)中轨迹Γ上的动点,求线段PA的中点B的轨迹方程.2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程1.B[解析] 设C1的方程为x+y+1=0,C2的方程为2x+2y-1=0,当x=1,y=1时,满足1+1+1=2+2-1,但是点(1,1)并不是两曲线交点,所以由“f1(x0,y0)=f2(x0,y0)”推不出“点M(x0,y0)是曲线C1与C2的交点”,反之成立,所以“f1(x0,y0)=f2(x0,y0)”是“点M(x0,y0)是曲线C1与C2的交点”的必要不充分条件,故选B.2.A[解析] 当y≥1时,原式可化为(x-1)2+(y-1)2=1,当y≤-1时,原式可化为(x-1)2+(y+1)2=1,∴方程|y|-1=表示的曲线为两个半圆.故选A.3.C[解析] 把(1,-2)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得1+2-4+1=0,满足方程,所以点A在曲线上.把(2,-3)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得4+6-6+1≠0,不满足方程,所以点B不在曲线上.把(3,10)代入方程x2-xy+2y+1=0,可得9-30+20+1=0,满足方程,所以点C在曲线上.把0,-代入方程x2-xy+2y+1=0,可得0-0-1+1=0,满足方程,所以点D在曲线上.故选C.4.D[解析] 原方程等价于或x2+y2=4,其中表示直线x+y-1=0上不在圆x2+y2=4内的部分.故选D.5.D[解析] 依题意,设P(x,y),∵=,∴=,整理得x2+y2+x+4=0.故选D.6.C[解析] 设点A(-2,0)与点P的连线的中点坐标为(x,y),则由中点坐标公式可得P(2x+2,2y),∵动点P 在曲线2y2-x=0上移动,∴2×(2y)2-(2x+2)=0,即x=4y2-1.故选C.7.A[解析] 曲线W的轨迹方程为|x|+|y|=,两边平方得2|xy|=-2x-2y+2,即|xy|+x+y=1.①若xy>0,则xy+x+y+1=2,即(x+1)(y+1)=2,∴y=-1,函数的图像是以(-1,-1)为中心的双曲线的一部分.②若xy<0,则xy-x-y+1=0,即(x-1)(y-1)=0,∴x=1(y<0)或y=1(x<0).作出图像如图所示,∴曲线W关于直线y=x对称.故选A.8.2[解析] 方程|x-1|+|y-1|=1可写成或或或图形如图所示,它是边长为的正方形,其面积为2.9.③[解析] 对于①,方程=1表示斜率为1,在y轴上的截距为-2的直线(除掉点(2,0)),所以①错误;对于②,到x轴距离为2的点的轨迹方程为y=-2或y=2,所以②错误;对于③,方程(x2-4)2+(y2-4)2=0表示点(-2,2),(-2,-2),(2,-2),(2,2)四个点,所以③正确.10.x2+y2=16[解析] 设P(x,y),则=(-2-x,-y),=(2-x,-y),于是·=(-2-x)(2-x)+y2=12,化简得x2+y2=16,即点P的轨迹方程为x2+y2=16.11.-1[解析] ∵A(1,1),B(2,m)都在方程ax2+xy-2=0表示的曲线上,∴∴12.解:设C(x1,y1),重心G(x,y),由重心坐标公式得3x=-2+0+x1,3y=0-2+y1,则x1=3x+2,y1=3y+2.∵C(x1,y1)在曲线y=3x2-1上移动,∴3y+2=3(3x+2)2-1.整理得y=9x2+12x+3.故△ABC的重心的轨迹方程为y=9x2+12x+3.13.解:如图所示,设点A(a,0),B(0,b),M(x,y).因为M为线段AB的中点,所以a=2x,b=2y,即A(2x,0),B(0,2y).当2x≠2,即x≠1时,因为l1⊥l2,所以k AP·k PB=-1.而k AP=(x≠1),k PB=,所以·=-1(x≠1),整理得,x+2y-5=0(x≠1).因为当x=1时,A,B的坐标分别为(2,0),(0,4),所以线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.14.1-2<b≤-1[解析] 曲线方程变形为(x-2)2+(y-3)2=4(y≤3),表示圆心为A(2,3),半径为2的下半圆,根据题意画出图形,如图所示.当直线y=x+b过B(4,3)时,直线与曲线有两个公共点,将B点坐标代入直线方程得3=4+b,即b=-1.当直线y=x+b与半圆相切时,圆心A到直线的距离d=r,即=2,解得b=1-2(舍去正值).故直线与曲线有两个公共点时,b的取值范围为1-2<b≤-1.15.解:(1)设动点M(x,y),由已知可得=,即x2+2x+3+y2=,化简得+y2=1,即所求动点M的轨迹Γ的方程为+y2=1.(2)设点B(x,y),点P(x0,y0),由得由点P在轨迹Γ上,得+=1,整理得+4=1,∴线段PA的中点B的轨迹方程是+4=1.。
人教A版高中数学选修2-1习题：2.1曲线与方程
解设 A(x,y)为轨迹上任一点,
那么
,
整理,得(x-1)2+(y-1)2=29.
因为点 A 不在直线 BC 上,虽然点 C(3,6)及点 C 关于点 B 的对称点 C'(-1,-4)的坐标是这个方
程的解,但不在已知曲线上,
所以所求轨迹方程为(x-1)2+(y-1)2=29(去掉(3,6)和(-1,-4)两个点).
所以
,[来源:Z|xx|]
从而有 由 N(x+3,y-4)在圆上,得(x+3)2+(y-4)2=4. 因此所求点 P 的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4,
但应除去两点:
.
同时以-x 代替 x,-y 代替 y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即 y2-xy-2x=0,所以曲线 C 不关于原
点对称.
B组
1.方程 x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是( )
解析：由 xy<0 知,曲线在第二、四象限,故选 C. 答案：C 2.设方程 f(x,y)=0 的解集非空,若命题“坐标满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上”是不正确的,则 下面命题中正确的是( ) A.坐标满 足 f(x,y)=0 的点都不在曲线 C 上 B.曲线 C 上的点的坐标不满足 f(x,y)=0 C.坐标满足 f(x,y)=0 的点有些在曲线 C 上,有些不在曲线 C 上 D.一定有不在曲线 C 上的点,其坐标满足 f(x,y)=0 解析：“坐标满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上”不正确,就是说“坐标满足方程 f(x,y)=0 的点 不都在曲线 C 上”是正确的.这意味着一定有这样的点(x0,y0),虽然满足方程 f(x,y)=0,但(x0,y0)∉C. 即一定有不在曲线 C 上的点,其坐标满足 f(x,y)=0,故应选 D. 答案：D[来源:学#科#网 Z#X#X#K]
2021人教版高中数学同步a版选修2-1(理科必考)模块练习题--2.1.1 曲线与方程
第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程*2.1.1 曲线与方程2.1.2 求曲线的方程基础过关练题组一曲线与方程的概念1.已知曲线C的方程为x3+x+y-1=0,则下列各点中在曲线C上的点是( )A.(0,0)B.(-1,3)C.(1,1)D.(-1,1)2.(2018天津耀华中学高二上学期月考)直线x-y=0与曲线xy=1的交点坐标是( )A.(1,1)B.(-1,-1)C.(1,1),(-1,-1)D.(0,0)3.已知0≤α<2π,点P(cos α,sin α)在曲线(x-2)2+y2=3上,则α的值为( )A.π3 B.5π3C.π3或5π3D.π3或π64.“点M在曲线y2=4x上”是“点M的坐标满足方程y=-2√x”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件题组二 方程的曲线5.方程4x 2-y 2+6x-3y=0表示的图形是( ) A.直线2x-y=0 B.直线2x+y+3=0C.直线2x-y=0和直线2x+y+3=0D.直线2x+y=0和直线2x-y+3=06.下列四个选项中,方程与曲线相符合的是( )7.方程|x|+|y|=1表示的曲线所围成图形的面积为 .题组三 求曲线的方程8.设A 为圆(x-1)2+y 2=1上的动点,PA 是圆的切线,且|PA|=1,则点P 的轨迹方程是( )A.(x-1)2+y 2=2B.(x-1)2+y 2=4C.y 2=2xD.y 2=-2x9.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A(1,0),B(2,2).若点C 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),其中t∈R ,则点C 的轨迹方程为 .10.(2018湖南岳阳一中高二上学期期末)已知M 为直线l:2x-y+3=0上的一动点,A(4,2)为一定点,点P 在直线AM 上运动,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,求动点P 的轨迹方程.11.已知△ABC 中,AB=2,AC=√2BC. (1)求点C 的轨迹方程; (2)求△ABC 的面积的最大值.能力提升练一、选择题1.(2018海南海口一中高二上学期月考,★★☆)方程xy 2+x 2y=1所表示的曲线( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点中心对称D.关于直线y=x 对称 2.(2020鄂东南九校高二期中联考,★★☆)方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示的曲线为( ) A.一条线段和半个圆 B.一条线段和一个圆 C.一条直线和半个圆 D.两条线段3.(2020北京朝阳高三期末,★★☆)笛卡儿、牛顿都研究过方程(x-1)(x-2)(x-3)=xy,关于这个方程的曲线有下列说法:①该曲线关于y 轴对称;②该曲线关于原点对称;③该曲线不经过第三象限;④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数.其中正确的是( ) A.②③ B.①④ C.③ D.③④4.(2019江西南昌高三开学摸底考试,★★☆)在平面直角坐标系xOy 中,已知M(-1,2),N(1,0),动点P 满足|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,则动点P 的轨迹方程是( )A.y 2=4xB.x 2=4yC.y 2=-4xD.x 2=-4y5.(★★☆)方程x 2+y 2=1(xy<0)表示的曲线形状是( )6.(2018吉林长春五县期末,★★★)已知定点M(-3,0),N(2,0),若动点P满足|PM|=2|PN|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A.100π9 B.142π9C.10π3D.9π二、填空题7.(2020贵州贵阳高二期末,★★☆)以古希腊数学家阿波罗尼斯命名的阿波罗尼斯圆,是指到两定点的距离之比为常数λ(λ>0,λ≠1)的动点M的轨迹.已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA||MB|=√2,此时阿波罗尼斯圆的方程为.8.(2020北京房山高二期末,★★☆)已知曲线W的方程为|y|+x2-5x=0.①请写出曲线W的一条对称轴方程: ;②曲线W上的点的横坐标的取值范围是.三、解答题9.(2019贵州铜仁一中高二入学考试,★★☆)已知动点M到点A(-1,0)与点B(2,0)的距离之比为2∶1,记动点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点P(5,-4)作曲线C的切线,求切线方程.10.(2019上海七宝中学高二期末,★★★)在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ:x2+y2=1(y≥0).(1)如图1,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),求线段AB的中点的轨迹方程;(2)如图2,点B为曲线Γ上的动点,点A(2,0),将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,求线段OC长度的最大值.答案全解全析 基础过关练1.B 点P(x 0,y 0)在曲线f(x,y)=0上⇔f(x 0,y 0)=0.经验证知点(-1,3)在曲线C 上.2.C 由{x -y =0,xy =1,得{x =1,y =1或{x =-1,y =-1.故选C.3.C 将点P 的坐标代入方程(x-2)2+y 2=3,得(cos α-2)2+sin 2α=3,解得cos α=12.又0≤α<2π,所以α=π3或5π3.4.B 设M(x 0,y 0),由点M 的坐标满足方程y=-2√x ,得y 0=-2√x 0,∴y 02=4x 0,∴点M 在曲线y 2=4x 上.反之不成立,故选B.5.C ∵4x 2-y 2+6x-3y=(2x+y)(2x-y)+3(2x-y)=(2x-y)(2x+y+3)=0, ∴原方程表示直线2x-y=0和2x+y+3=0.6.D 对于A,点(0,-1)满足方程,但不在曲线上,排除A;对于B,点(1,-1)满足方程,但不在曲线上,排除B;对于C,由于曲线上第三象限的点的横、纵坐标均小于0,不满足方程,排除C.故选D.7.答案 2解析 方程表示的图形是边长为√2的正方形(如图所示),其面积为(√2)2=2.8.A 设圆(x-1)2+y 2=1的圆心为C,半径为r,则C(1,0),r=1,依题意得|PC|2=r 2+|PA|2,即|PC|2=2,所以点P 的轨迹是以C 为圆心,√2为半径的圆,因此点P 的轨迹方程是(x-1)2+y 2=2. 9.答案 y=2x-2解析 设点C(x,y),则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y).因为点A(1,0),B(2,2),所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +t(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1+t,2t),所以{x =t +1,y =2t ,消去t,得点C 的轨迹方程为y=2x-2. 10.解析 设M(x 0,y 0),P(x,y), 则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-4,y-2),PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0-x,y 0-y), 由题意可得{x -4=3(x 0-x ),y -2=3(y 0-y ),所以{x 0=4x -43,y 0=4y -23.因为点M(x 0,y 0)在直线2x-y+3=0上, 所以2×4x -43-4y -23+3=0,即8x-4y+3=0,所以点P 的轨迹方程为8x-4y+3=0.11.解析 (1)以直线AB 为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0).设C(x,y),由AC=√2BC,得(x+1)2+y 2=2[(x-1)2+y 2],即(x-3)2+y 2=8,又在△ABC 中,y≠0,所以点C 的轨迹方程为(x-3)2+y 2=8(y≠0).(2)因为AB=2,所以S △ABC =12×2×|y|=|y|.因为(x-3)2+y 2=8(y≠0), 所以0<|y|≤2√2,所以S △ABC ≤2√2,即△ABC 的面积的最大值为2√2.能力提升练一、选择题1.D 设P(x 0,y 0)是曲线xy 2+x 2y=1上的任意一点,则x 0y 02+x 02y 0=1.设点P 关于直线y=x 的对称点为P',则P'(y 0,x 0),因为y 0x 02+y 02x 0=x 0y 02+x 02y 0=1,所以P'在曲线xy 2+x 2y=1上,故该曲线关于直线y=x 对称.2.A 由方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0得y=√1-x 2(y≥0)或3x-y+1=0,且满足-1≤x≤1,即x 2+y 2=1(y≥0)或3x-y+1=0(-1≤x≤1),∴方程(3x-y+1)(y-√1-x 2)=0表示一条线段和半个圆.3.C 将x=-x 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=xy,方程改变,故该曲线不关于y 轴对称; 将x=-x,y=-y 代入得到(x+1)(x+2)(x+3)=-xy,方程改变,故该曲线不关于原点对称; 当x<0,y<0时,(x-1)(x-2)(x-3)<0,xy>0,显然方程不成立,∴该曲线不经过第三象限;令x=-1,易得y=24,即(-1,24)在曲线上,同理可得(1,0),(2,0),(3,0)也在曲线上,∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的.4.A 设P(x,y),因为M(-1,2),N(1,0),所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1-x,2-y),ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x,-y),因为|PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以|1+x|=√(1-x )2+(-y )2, 整理得y 2=4x.5.C 方程x 2+y 2=1(xy<0)表示以原点为圆心,1为半径的圆在第二、四象限的部分,故选C. 6.A 设P(x,y),则由|PM|=2|PN|,得(x+3)2+y 2=4[(x-2)2+y 2],化简,得3x 2+3y 2-22x+7=0, 即(x -113)2+y 2=1009,所以所求图形的面积S=100π9.二、填空题7.答案 x 2+y 2-12x+4=0 解析 设M(x,y),因为|MA ||MB |=√2, 所以√(x+2)2+y 2√(x -2)+y 2=√2,整理得x 2+y 2-12x+4=0.8.答案 ①y=0(或x =52) ②[0,5]解析 ①由W 的方程知,若(x,y)是曲线上的点,则(x,-y)也是曲线上的点,因此直线y=0是曲线W的一条对称轴.同理,点(52-x,y)与(52+x,y)也都是曲线上的点,因此直线x=52也是曲线W的一条对称轴.②由|y|+x2-5x=0得|y|=-x2+5x,因为|y|≥0,所以-x2+5x≥0,解得0≤x≤5.三、解答题9.解析(1)设动点M的坐标为(x,y),则|MA|=√(x+1)2+y2,|MB|=√(x-2)2+y2所以√(x+1)2+y2√(x-2)+y2=2,化简得(x-3)2+y2=4.因此,动点M的轨迹方程为(x-3)2+y2=4.(2)当过点P的直线斜率不存在时,直线方程为x-5=0,圆心C(3,0)到直线x-5=0的距离等于2,此时直线x-5=0与曲线C相切; 当过点P的切线斜率存在时,不妨设斜率为k,则切线方程为y+4=k(x-5),即kx-y-5k-4=0,由圆心到切线的距离等于半径,得√k2+1=2,解得k=-34.所以切线方程为3x+4y+1=0.综上所述,切线方程为x-5=0和3x+4y+1=0.10.解析(1)设点B的坐标为(x0,y0),则y0≥0,设线段AB的中点为M(x,y), 因为点B在曲线Γ上,所以x02+y02=1.①因为M为线段AB的中点,所以{x=x0+22,y=y02,则{x0=2x-2,y0=2y,代入①式得(2x-2)2+4y2=1,化简得(x-1)2+y2=14,其中y≥0.则线段AB的中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=14(y≥0).(2)如图所示,将△OAB绕点A顺时针旋转90°得到△DAC,易知点D(2,2),结合图形可知,点C在曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上运动,则问题转化为求原点O到曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)上一点C的距离的最大值,连接OD并延长交曲线(x-2)2+(y-2)2=1(x≥2)于点C',当点C与C'重合时,|OC|取得最大值,且|OC|max=|OD|+1=2√2+1.。
高中数学人教A版选修2-1数学：2.1.1《曲线和方程》测试(新人教A版选修2-1).docx
曲线和方程学习目标：1、了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”含义.2、会判定一个点是否在已知曲线上.一、知识回顾并引题：二、自学课本7573-P 并记下重点，积极思考问题：三、自我检测：1、到两坐标轴距离相等的点组成的直线方程是0=-y x 吗？2、已知等腰三角形三个顶点的坐标是)3,0(A ，)0,2(-B ，)0,2(C 。
中线O AO (为原点）的方程是0=x 吗？为什么？3、已知方程2522=+by ax 的曲线经过点)35,0(A 和点)1,1(B ，求a 、b 的值。
四、提问、答疑，共同解决：五、例题分析：1、若曲线C 上的点的坐标满足方程(,)0f x y =，则下列说法正确的是 （ ）A.曲线C 的方程是(,)0f x y =B.方程(,)0f x y =的曲线是CC.坐标不满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上D. 坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上2、已知00(,)P x y 在曲线(,)0f x y =上，P 也在曲线(,)0g x y =上，求证：点P 在曲线(,)(,)0f x y g x y λ+=上（R λ∈）六、课后作业：1、点)2,1(-A ，)3,2(-B ，)10,3(C 是否在方程0122=++-y xy x 的图形上？2、解答下列问题，并说明理由：（1）点12(3,4),(2,3)P P -是否在方程2225x y +=所表示的曲线上；（2）已知方程 2225x y +=表示的曲线F 经过点(2,)A m ，求m 的值。
3、（1）求方程c bx ax y ++=2的曲线经过原点的充要条件是 。
（2）求方程222)()(r b y a x =-+-的曲线经过原点的充要条件 。
4、（1）已知：[0,2)απ∈，点(c o s ,s i n )P αα在曲线22(2)3x y -+=上，则α的值是 ； （2）方程2222(4)(4)0x y -+-=表示的图形是 。
(人教版)高中数学选修2-1检测第2章 圆锥曲线与方程2.2.1 Word版含答案
第二章(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题分，共分)．方程＋＝表示的曲线是( )．到定点(－)和()的距离之和等于的点的轨迹．到定点(，－)和()的距离之和等于的点的轨迹．到定点(，－)和()的距离之和等于的点的轨迹．到定点(，－)和()的距离之和等于的点的轨迹解析：本题主要考查椭圆的标准方程及定义．由方程可知，它表示焦点在轴上的椭圆，且＝，＝，∴＝，所以方程表示的椭圆的焦点为(，－)，()，长轴长为，因此选.答案：．若方程－＝表示焦点在轴上的椭圆，则下列关系成立的是( )><><解析：所给方程为椭圆，且焦点在轴上，∴>，<，且－>>，∴>.答案：．已知△的顶点，在椭圆＋＝上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，则△的周长是( ) ．．．．解析：可知＝，由椭圆的定义得＋＝＋＝＝，∴(＋)＋＋＝＋＋＝，即△的周长为，故选.答案：．椭圆＋＝上一点到左焦点的距离为，是的中点，则等于( )．．．解析：如图，为椭圆的右焦点，连接，则是△的中位线，从而＝.又＝，根据椭圆的定义＋＝＝.∴＝，从而有＝.答案：二、填空题(每小题分，共分)．已知椭圆经过点()，且点()为其右焦点，则椭圆的标准方程为．解析：方法一：依题意，可设椭圆的方程为＋＝(>>)，且可知左焦点为′(－)．从而有(\\(＝＝＋′＝＋＝))，解得(\\(＝＝)).又＝＋，所以＝，故椭圆的标准方程为＋＝.方法二：依题意，可设椭圆的方程为＋＝(>>)，则(\\(()＋()＝－＝))，解得＝或＝－(舍去)，从而＝.所以椭圆的标准方程为＋＝.答案：＋＝．已知椭圆的方程为＋＝，焦点在轴上，则其焦距为．解析：由于焦点在轴，故＝，＝，由＝，可得＝.答案：三、解答题(每小题分，共分)．求满足下列条件的椭圆的标准方程：()一个焦点坐标是()，过点(，)；()两焦点在坐标轴上，对称轴为坐标轴，且经过点和点.解析：()由一个焦点坐标是()知椭圆焦点在轴上，设椭圆的标准方程为＋＝(>>)，由＝，得＝－＝－，则椭圆方程可化为＋＝，将点(，)代入，得＝(＝舍去)，从而＝－＝，故所求椭圆的标准方程为＋＝.()依题意设椭圆的方程为＋＝(>，>)，因为点和点都在椭圆上．所以错误!即(\\(()＋＝，,()＋＝，))所以(\\(＝，＝().))所以所求椭圆的标准方程为＋＝.．已知两圆：(＋)＋＝，：(－)＋＝，动圆与外切，与内切，求圆心的轨迹．。
人教A版选修2-1第二章第2课时同步练习§2.1.2求曲线的方程
§2.1.2 求曲线的方程1．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( )．(A)x 2+y 2=4 (B) x 2+y 2=4 (x>O)(C)y=24x -- (D) y=24x --（0<x<2）2．等腰直角三角形底边两端点是A(3-，0)，B(3，0)，顶点C 的轨迹是( )．(A)一条直线 (B)一条直线去掉一点(C)一个点 (D)两个点3．与点A(一1，0)和点B(1，0)连线的斜率之和为一l 的动点P 的轨迹方程是( )．(A)x 2+y 2=3 (B)x 2+2xy=1(x ≠±1)(C)y=21x - (D)x 2+y 2=9(x ≠0)4．已知两点A(一2，0)、B(6，0)，三角形ABC 的面积为1 6，则C 点的轨迹方程为 ．5．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A ，B ，APB ∠=60，则动点P 的轨迹方程为 ．6．在平面直角坐标系中，O 为原点，A(1，0)、B(2，2)，若点C 满足)(OA OB t OA OC -+=，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是 ．7．已知B A ),0,21(-是圆421:22=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x F （F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则点P 的轨迹方程为： ．８．经过定点())0(,≠a b a A 作互相垂直的两条直线1l 和2l ，分别与x 轴、y 轴交于C B , 两点，求线段BC 的中点M 的轨迹方程．9．已知点M 与x 轴的距离和点M 与点F(O ，4)的距离相等，求点M 的轨迹方程．10．已知一曲线是到两个点O(0，0)，A(3，0)距离之比为1：2的点的轨迹，求这条曲线的方程．11．设P 为曲线1422=-y x 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段PO 的中点，求点M 的轨迹方程．12．如图，已知F(1，O)，直线l ：x = -1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，FQ FP QF QP ⋅=⋅，求动点P 的轨迹方程．13．定长为6的线段，其端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，线段AB 的中点为M ，求M 点的轨迹方程．14．如图所示，圆O 1和圆O 2的半径都等于1，O 1O 2=4。
人教A版选修2-1第二章第1课时同步练习§2.1.1 曲线与方程
§2.1.1 曲线与方程1、已知坐标满足方程F （x,y ）=0的点都在曲线C 上，那么（ ）A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程F （x,y ）=0B ．凡坐标不适合F （x,y ）=0的点都不在C 上C ．不在C 上的点的坐标必不适合F （x,y ）=0D ．不在C 上的点的坐标有些适合F （x,y ）=0，有些不适合F （x,y ）=02、方程04)1(22=-+-+y x y x 的曲线形状是（ ）A ．圆B ．直线C ．圆或直线D ．圆或两条射线3、到两定点A （0，0）、B （3、4）距离之和为5的点的轨迹是（ ）A ．圆B ．AB 所在直线C ．线段ABD ．无轨迹4、如图所示，方程01=-+y x 表示的曲线是（ ）5、“曲线C 上的点的坐标都是方程0),(=y x f 的解”是“方程0),(=y x f 是曲线C 的方程”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分条件也非必要条件6、已知直线03:=-+y x l ，曲线2)2()3(22=-+-y x ，则点M （2，1）（ ）A ．在直线l 上，但不在曲线上B ．在直线l 上，也在曲线上C ．不在直线l 上，也不在曲线上D ．不在直线l 上，但在曲线上7、如果曲线C 上点的坐标满足方程0),(=y x F ，则有（ ）A ．方程0),(=y x F 表示的曲线是CB ．曲线C 的方程是0),(=y x FC ．点集{}{}0),(),(=⊆∈y x F y x C P PD ．点集{}C P P ∈≠⊂{}0),(),(=y x F y x8、方程111=-+-y x 表示的图形是（ ）A.．一个点 B ．四条直线 C ．正方形 D ．四个点9、如图所示，方程2x x y =表示的曲线是（ ）A ．B ．C ．D ．10、曲线21x y --=与曲线)(0R a ax y ∈=+的交点个数一定是（ ）A ．2个B ．4个C ．0个D ．与a 的取值有关11、已知抛物线1:2-+-=mx x y C ，点A （3，0）、B （0，3），求C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件（用m 的取值范围表示）。
高中数学人教A版选修2-1同步练习：2.1.1曲线与方程(含答案)
2.1.1曲线与方程一、选择题1．(2013·广东省中山一中期中)方程(2x －y ＋2)x 2＋y 2－1＝0表示的曲线是( ) A ．一个点与一条直线 B ．两条射线和一个圆C ．两个点D ．两个点或一条直线或一个圆[答案] B[解析] 原方程等价于x 2＋y 2－1＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0x 2＋y 2－1≥0，故选B.2．若方程x －2y －2k ＝0与2x －y －k ＝0所表示的两条直线的交点在方程x 2＋y 2＝9的曲线上，则k 等于( )A ．±3B ．0C ．±2D ． 一切实数[答案] A[解析] 两直线的交点为(0，－k )，由已知点(0，－k )在曲线x 2＋y 2＝9上，故可得k 2＝9，∴k ＝±3. 3．在直角坐标系中，方程|x |·y ＝1的曲线是( )[答案] C[解析] 由|x |·y ＝1知y >0，曲线位于x 轴上方，故选C.4．命题“曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是( ) A ．方程f (x ，y )＝0的曲线是C B ．方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程 C ．方程f (x ，y )＝0的曲线不一定是CD ．以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上 [答案] C[解析] 不论方程f (x ，y )＝0是曲线C 的方程，还是曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线，都必须同时满足两层含义：(1)曲线上的点的坐标都是方程的解；(2)以方程的解为坐标的点都在曲线上，所以A 、B 、D 错误．5．如图，曲线的方程与图中曲线对应正确的是( )[答案] D[解析] A 中方程x 2＋y 2＝1表示的是以(0,0)为圆心，1为半径的圆，故A 错；B 中方程x 2－y 2＝0可化为(x －y )(x ＋y )＝0，表示两条直线x －y ＝0，x ＋y ＝0，故B 错；C 中方程lg x ＋lg y ＝1可化得y ＝1x (x >0)，此方程只表示第一象限的部分，故C 错．6．动点在曲线x 2＋y 2＝1上移动时，它和定点B (3,0)连线的中点P 的轨迹方程是( ) A ．(x ＋3)2＋y 2＝4 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(2x －3)2＋4y 2＝1 D ．(x ＋32)2＋y 2＝1[答案] C[解析] 设P 点为(x ，y )，曲线上对应点为(x 1，y 1)，则有x 1＋32＝x ，y 1＋02＝y .∴x 1＝2x －3，y 1＝2y .∵(x 1，y 1)在曲线x 2＋y 2＝1上，∴x 21＋y 21＝1，∴(2x －3)2＋(2y )2＝1即(2x －3)2＋4y 2＝1. 二、填空题7．方程y ＝x 2－2x ＋1所表示的图形是________． [答案] 两条射线x ＋y －1＝0(x ≤1)和x －y －1＝0(x ≥1)[解析] 原方程等价于y ＝|x －1|⇔x ＋y －1＝0(x ≤1)和x －y －1＝0(x ≥1)． 8．给出下列结论：①方程yx －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线；②到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2；③方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示四个点．正确的结论的序号是________． [答案] ③[解析] 方程yx －2＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距为－2的直线且扣除点(2,0)，故①错；到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2或y ＝2，故②错；方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)，故③正确．9．若曲线y 2＝xy ＋2＋k 通过点(－a ，a )(a ∈R )，则k 的取值范围是________． [答案] [－2，＋∞)[解析] 把点(－a ，a )代入曲线方程，得a 2＝－a 2＋2＋k ，所以k ＝2a 2－2≥－2(a ∈R )． 三、解答题10．画出方程(x ＋y －1)x －y －2＝0所表示的曲线．[解析] 方程(x ＋y －1)x －y －2＝0可等价变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －2≥0.或x －y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －2≥0.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x ≥32.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －y －2≥0. 表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32)．∴原方程表示射线x ＋y －1＝0(x ≥32)和直线x －y －2＝0，如下图所示．一、选择题11．方程x 2＋xy ＝x 所表示的图形是( ) A ．一个点 B ．一条直线C ．两条直线D ．一个点和一条直线[答案] C[解析] 原方程等价于x (x ＋y －1)＝0⇔x ＝0或x ＋y －1＝0，故原方程所表示的图形是两条直线． 12．设圆M 的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝2，直线l 的方程为x ＋y －3＝0，点P 的坐标为(2,1)，那么( ) A ．点P 在直线l 上，但不在圆M 上 B ．点P 在圆M 上，但不在直线l 上 C ．点P 既在圆M 上，也在直线l 上 D ．点P 既不在圆M 上，也不在直线l 上 [答案] C[解析] 将P (2,1)代入圆M 和直线l 的方程得，(2－3)2＋(1－2)2＝2且2＋1－3＝0， ∴点P (1,2)既在圆(x －3)2＋(y －2)2＝2上也在直线l ：x ＋y －3＝0上，故选C. 13．若曲线y ＝x 2－x ＋2和y ＝x ＋m 有两个交点，则( ) A ．m ∈R B ．m ∈(－∞，1) C ．m ＝1 D ．m ∈(1，＋∞)[答案] D[解析] 两方程联立得x 的二次方程，由Δ>0可得m >1.14．(2013·河南省实验中学月考)动点P 到定点(1,0)和定直线x ＝3的距离之和为4，则点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝4xB ．y 2＝－12(x －4)C ．若x ≥3，则y 2＝4x ；若x <3，则y 2＝－12(x －4)D ．若x ≤3，则y 2＝4x ；若x >3，则y 2＝－12(x －4) [答案] D[解析] 设P (x ，y )，由题意得(x －1)2＋y 2＋|x －3|＝4.若x ≤3，则y 2＝4x ；若x >3，则y 2＝－12(x －4)， 故选D. 二、填空题15．曲线y ＝14x 2与x 2＋y 2＝5的交点坐标是________．[答案] (±2,1)[解析] 易知x 2＝4y 代入x 2＋y 2＝5得，y 2＋4y －5＝0，∴(y ＋5)(y －1)＝0， 解得y ＝－5，y ＝1.y ＝－5不合题意舍去， ∴y ＝1，∴x ＝±2.16．|x |＋|y |＝1表示的曲线围成的图形面积为________________．[答案] 2[解析] 当x ≥0，y ≥0时，有x ＋y ＝1；x ≥0，y ≤0时，x －y ＝1；x ≤0，y ≥0时，有－x ＋y ＝1；x ≤0，y ≤0时，－x －y ＝1，作出图形为一个正方形如图，其边长为2，面积为2.三、解答题17．已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，求b 的取值范围．[解析] 解法一：由方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，y ＝1－x 2(y ≥0). 得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，x 2＋y 2＝1(y ≥0). 消去x ，得到2y 2－2by ＋b 2－1＝0(y ≥0)．l 与C 有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4b 2－8(b 2－1)>0，y 1＋y 2＝b >0，y 1y 2＝b 2－12≥0.解得1≤b < 2.解法二：在同一直线坐标系内作出y ＝x ＋b 与y ＝1－x 2的图形，如图所示，易得b 的范围为1≤b < 2.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
A 级 基础巩固
一、选择题
1．下列选项中方程与其表示的曲线正确的是( )
解析：对于A ，x 2＋y 2＝1表示一个整圆；对于B ，x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝0，表示两条相交直线；对于D ，由lg x ＋lg y ＝0知x ＞0，y ＞0.
答案：C
2．方程(x 2－4)2＋(y 2－4)2＝0表示的图形是( )
A ．两个点
B ．四个点
C ．两条直线
D ．四条直线
解析：由已知⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0，y 2－4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2
或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2. 答案：B
3．方程x 2＋xy ＝x 表示的曲线是( )
A ．一个点
B ．一条直线
C ．两条直线
D ．一个点和一条直线
解析：由x 2＋xy ＝x ，得x (x ＋y －1)＝0，即x ＝0或x ＋y －1＝0. 由此知方程x 2＋xy ＝x 表示两条直线．
答案：C
4．方程y ＝|x |x 2
表示的曲线为图中的( )
A B C D
解析：y ＝|x |x 2
，x ≠0，为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除A ，B.
又因为当x >0时，y ＝1x
>0； 当x <0时，y ＝－1x
>0，所以排除D. 答案：C
5．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”，以下不是“好曲线”的是( )
A ．x ＋y ＝5
B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y
解析：因为M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差为8， 所以M 的轨迹是以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线的右支，
方程为x 216－y 24
＝1(x ≥4)． A ：直线x ＋y ＝5过点(5，0)，满足题意；
B ：x 2＋y 2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；
C ：x 225＋y 29
＝1的右顶点为(5，0)，满足题意； D ：方程代入
x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，所以y ＝3，满足题意．故选B.
答案：B
二、填空题
6．已知点A (a ，2)既是曲线y ＝mx 2上的点，也是直线x －y ＝0上的点，则m ＝________．
解析：根据点A 在曲线y ＝mx 2上，也在直线x －y ＝0上，
则⎩⎪⎨⎪⎧2＝ma 2，a －2＝0，所以⎩⎨⎧a ＝2，
m ＝12
. 答案：12
7．已知A (0，1)，B (1，0)，则线段AB 的垂直平分线的方程是________．
解析：设点M (x ，y )是线段AB 的垂直平分线上任意一点，也就是点M 属于集合P ＝{M ||MA |＝|MB |}， 由两点间距离公式得x 2＋（y －1）2＝（x －1）2＋y 2，化简得，y ＝x .
答案：y ＝x
8．下列命题正确的是________(填序号)．
①方程x y －2
＝1表示斜率为1，在y 轴上的截距是2的直线； ②到x 轴距离为5的点的轨迹方程是y ＝5；
③曲线2x 2－3y 2－2x ＋m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0. 答案：③
三、解答题
9．方程x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)所表示的曲线C .若点M (m ，2)与点N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，n 在曲线C 上，求m ，n 的值． 解：将点M (m ，2)与点N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，n 代入方程 x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)，
得⎩⎨⎧
m 2（m 2－1）＝2×1，34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝n 2（n 2－1），
所以m ＝±2， n ＝±12或±32
. 10．求方程(x ＋y －1)x －1＝0所表示的曲线．
解：依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x －1≥0或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1.
综上可知，原方程所表示的曲线是射线x ＋y －1＝0(x ≥1)和直线x ＝1.
B 级 能力提升
1．已知定点P (x 0，y 0)不在直线l ：f (x ，y )＝0上，则方程f (x ，y )－f (x 0，y 0)＝0表示( )
A ．过点P 且垂直于l 的直线
B ．过点P 且平行于l 的直线
C ．不过点P 但垂直于l 的直线
D ．不过点P 但平行于l 的直线
答案：B
2．设平面点集A ＝{(x ，y )|(y －x )⎝
⎛⎭⎪⎫y －1x ≥0}，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为________．
答案：π2
3．已知P (x 0，y 0)是曲线f (x ，y )＝0和曲线g (x ，y )的交点，求证：点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R)上．
证明：因为P 是曲线f (x ，y )＝0和曲线g (x ，y )＝0的交点， 所以P 在曲线f (x ，y )＝0上，即f (x 0，y 0)＝0，且P 在曲线g (x ，y )＝0上，
即g (x 0，y 0)＝0，
所以f (x 0，y 0)＋λg (x 0，y 0)＝0＋λ·0＝0，
所以点P 在曲线f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0(λ∈R)上．。