2011实变函数复习要点
实变函数(全)总结
An An
nN
n 1
An An
N 1n N
n 1
limAn(limsup An)
n
n
{x : N, n N,使x An}
An
N 1nN
An AN
nN
An AN
N 1n N
N 1
例 设A2n1
(1
1 n
,1
1 n
),
A2n
(n,n),n N,则
limAn (,) n
集簇：{A | }或{A }
为指标集，为指标
特别当 N 时，称集簇为集列，记为{An}
集簇的并
A B {x : x A或x B}
A {x : ,使x A }
集簇的交
A B {x : x A且x B}
A {x : ,有x A }
例
设An
{x:1 1 n源自x11 n
,1
1 n
],
n
N
,
则
lim n
An [0, 4)
limAn (0,1]
n
[
-1
0
[
]
1
2
]
3
4
limAn(limsup An)
n
n
{x : N, n N,使x An}
An
N 1nN
limAn(liminf An)
n
n
{x : N,n N,有x An}
An
N 1nN
（补充）例1
1)若{An}单调增加,则lim An An;
n
n1
2)若{An}单调减少，则 lim An An.
n
n1
单调增集列极限分析
关于实变函数教学的几点注记
关于实变函数教学的几点注记实变函数是高等数学中的重要内容之一，也是数学分析的基础。
在大学数学教学中，实变函数的教学显得尤为重要，因为它不仅是学生们学习更高级数学的基础，也是培养他们分析和解决问题的能力的重要途径。
在实变函数的教学过程中，教师需要注意许多方面的问题，才能使学生对实变函数有深刻的理解和掌握。
以下是一些关于实变函数教学的几点注记，供教师们参考。
1. 强调基本概念的理解和应用在实变函数的教学中，首先要确保学生对基本概念的理解和应用。
对于实变函数的定义、极限、连续性和导数等概念，学生们必须能够准确理解其含义，并能够应用到具体问题中去。
教师可以通过举例、图像和实际应用等方式，帮助学生理解这些概念，使其在实践中灵活运用。
只有对基本概念有深刻的理解，才能够更好地理解和掌握后续的内容。
2. 突出重点和难点的讲解实变函数作为高等数学的重要内容，本身就有一定的难度，而且其中也有一些重要的定理和概念，对学生来说尤为重要。
在教学中，教师应该突出重点和难点的讲解，对于一些重要的定理和概念，可以进行深入浅出的阐述，帮助学生深入理解。
对于一些容易出现错误的地方，也要着重讲解，防止学生出现误解或错误的掌握。
3. 注重实际应用和启发思考实变函数的概念和方法在实际中有着广泛的应用，而且也可以启发学生的思考和创新。
在教学中，教师可以通过引入一些实际问题，让学生将所学的方法和概念应用到实际问题中，从而加深对知识的理解。
也可以通过引入一些思考性的问题，让学生在解决问题的过程中锻炼逻辑思维和分析能力。
在这个过程中，学生可以不断探索、解答问题，形成对知识的更加系统和全面的理解。
4. 强化练习和实战在实变函数的教学过程中，练习和实战是至关重要的。
只有通过大量的练习，学生才能够更加熟练地掌握基本的概念和方法，对知识有更深刻的理解。
教师应该设计大量的练习题，并且注重讲解和指导学生解题方法。
也可以引入一些实战性的题目，让学生在实际应用中巩固所学的知识。
实变函数知识点总结
实变函数知识点总结
实变函数是数学中的一个重要概念，它是指定义在实数集上的函数。
以下是实变函数的一些重要知识点总结：
1. 定义域和值域
实变函数的定义域是实数集，即函数可以接受任何实数作为自变量。
而函数的值域则是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
2. 极限
极限是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
当自变量趋近于某一点时，函数的输出值也会趋近于一个特定的值，这个值就是函数在该点的极限。
3. 连续性
连续性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的连续程度。
如果函数在某一点处的极限等于该点的函数值，那么该函数在该点处是连续的。
4. 导数
导数是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
导数可以用来求函数的最大值、最小值以及函数的凸凹性等。
5. 积分
积分是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一区间内的面积或体积。
积分可以用来求函数的平均值、总和以及函数的变化趋势等。
6. 奇偶性
奇偶性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的对称性。
如果函数满足f(-x)=-f(x)，那么该函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)，那么该函数是偶函数。
7. 周期性
周期性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的重复性。
如果函数满足f(x+T)=f(x)，那么该函数是周期函数，其中T 为函数的周期。
以上是实变函数的一些重要知识点总结，掌握这些知识点可以帮助我们更好地理解和应用实变函数。
实变函数知识归纳总结
定理 6 若Ａ为无限集，Ｂ是至多可数集，则 A ∪ B ～ A 由证明归纳出两种证明对等的方法： （１）建立一一映射； 设 B = {b1 , b2 ,
} 为可数集， A ∩ B = ∅ ，由性质１知，Ａ存在可数子集
A1 = {a1 , a 2 ,
} ，作映射 f : A ∪ B → A
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
α ∈Λ
∩ ζ α 是 X 上的环（或代数） 。
, 有 ∩ En ∈ ζ ； n =1
, 有 lim En ∈ζ , lim En ∈ζ ； n→∞
n→∞
∞
(α ∈ Λ ) 为 X 上 σ
环（ σ 代数） ，则 ∩ ζα 是 X 上 σ 环（ σ
α∈Λ
代数） 。
定理 8 设 A 是由 X 的某些子集构成的集类， 则存在唯一的环 （或代数，
−1
( ∩ B )= ∩T
α∈Λ α α∈Λ
−1 c
−1
( Bα )( Bα ⊂ Y,α ∈Λ) ;
c
−1
( B ) = (T ( B ) )
由此看出原像集的性质保持比像集的性质保持要好 注解：①、 （3）中如：一个映射 f 把 X 全部映射成一个值，就可以造成左边为
空集即可； ②、 一般T -1 (T ( A) ) ⊃ A，当T为单射时,有T -1 (T ( A) ) = A ③、 一般T T −1 ( B ) ⊂ B，当T为满射时,有T T −1 ( B ) = B 定义 2 复合映射概念（舍）见教材 P10 二、集合的势 定义 3 设 A 和 B 为两集合， 若存在从 A 到 B 的一一映射， 则称集合 A 与Ｂ对等， 记为 A~B 注解：①、对等关系是等价关系 ②、设 {
α∈Λ α∈Λ
实变函数知识点
实变函数知识点实变函数是一种常见的数学函数类型，它在数学分析中有着非常重要的地位。
在这篇文章中，我们将详细探讨实变函数的知识点，包括什么是实变函数、实变函数的定义、实变函数的性质、实变函数的极限和导数、实变函数的应用等内容。
一、什么是实变函数实变函数是指$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$的函数，即定义域为实数集$\mathbb{R}$的函数，也称为一元实函数。
它以实数为自变量，实数为函数值。
实变函数主要研究实数集上的性质和变化规律。
二、实变函数的定义实变函数的定义有多种方式，常用的有以下几种：1. 函数图像法根据函数的图像来定义实变函数，即$f(x)$的定义域为实数集$\mathbb{R}$，函数值为其图像上对应点的纵坐标。
2. 显式函数法显式函数是通过代数式直接给出函数的定义，如$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$。
3. 隐式函数法隐式函数一般是指如下形式的方程：$F(x,y)=0$，其中$x$和$y$都是实数变量。
如果存在实数集上解析的函数$f(x)$，使得$y=f(x)$是$F(x,y)=0$的解，那么就称$y=f(x)$为隐式函数。
4. 参数方程法将$x$表示为参数$t$的函数$x(t)$，将$y$表示为参数$t$的函数$y(t)$，则$f(x)=f(x(t))=f(t)$为参数方程法。
五种定义方式中，显式函数和隐式函数是最常用的方法。
三、实变函数的性质实变函数具有多种性质，下面介绍一些重要的性质：1. 奇偶性若$\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数；若$\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数；若既不是奇函数也不是偶函数，则称$f(x)$为一般实变函数。
2. 周期性若存在正实数$T$，使得$\forall x\in \mathbb{R},f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$为以$T$为周期的周期函数。
实变函数内容、方法与技巧
实变函数内容、方法与技巧实变函数是数学中一个重要的概念，在实分析中被广泛研究和应用。
本文将介绍实变函数的内容、方法与技巧。
1.实变函数的定义：实变函数是指定义在实数集上的函数，其自变量和因变量都是实数。
常见的实变函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2.实变函数的基本性质：实变函数有一些基本的性质。
首先，实变函数可以进行运算，包括加法、减法、乘法和除法。
其次，实变函数具有定义域和值域，即函数的自变量和因变量的取值范围。
此外，实变函数还有奇偶性、周期性等特点。
3.实变函数的连续性：连续性是实变函数研究中的一个重要概念。
一个函数在某一点处连续，意味着函数在该点的极限存在，并且与函数在该点的值相等。
实变函数在定义域上连续，可以用极限的性质来描述。
4.实变函数的一致连续性：一致连续性是连续性的更强形式。
一个实变函数在整个定义域上一致连续，意味着对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，当自变量的取值在某个区间内时，函数值的变化小于ε。
一致连续性是实变函数相对于局部连续性更一般的性质。
5.实变函数的可导性：可导性是实变函数中的另一个重要概念。
一个函数在某一点处可导，意味着函数在该点的导数存在。
实变函数可导与实变函数在该点处连续是不同的概念。
可导函数具有一些重要的性质，如导数的线性性、链式法则、微分中值定理等。
6.实变函数的积分：积分是实变函数研究中的一个重点内容。
实变函数的积分有两种形式：定积分和不定积分。
定积分是指对函数在一个区间上的积分，可以用来计算函数在该区间上的面积、弧长、体积等。
不定积分是指求函数的原函数，可以用来求解微分方程、计算复合函数的积分等。
7.实变函数的级数展开：级数展开是实变函数研究中的另一个重要内容。
一个实变函数可以用其在某个点处的泰勒级数来近似表示，通过截断级数可以得到函数的近似值。
级数展开在计算、物理学等领域有广泛的应用。
8.实变函数的图像与性质：实变函数的图像可以用来观察函数的性质。
实变函数复习要点
2011实变函数复习要点第一章 集合（一）考核知识点1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算。
2. 对等和基数及其性质。
3. 可数集合的概念及其性质。
4. 不可数集合的概念及例子。
（二）考核要求 1. 集合概念识记：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系。
2. 集合的运算（1）识记：集合的并、交、补概念。
De Morgan 公式ΓααΓαα∈∈=c c A A )( ΓααΓαα∈∈=cc A A )( （2）综合应用：集合的并、交、补运算。
例 利用集合的并、交、补运算证明集合相等。
例 N n x x A n n n ∈-≤<--=},11:{11设]0,1[1-=⋂∞=n n A ，)1,2(1-=⋃∞=n n A3. 对等与基数（1）识记：集合的对等与基数的概念。
（2）综合应用：集合的对等的证明 例 利用定义直接构造两集合间的1-1对应。
4. 可数集合（1）识记：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类。
（2）综合应用：可数集合的性质。
5. 不可数集合识记：不可数集合的概念、例子。
第二章 点集 （一）考核知识点1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质。
2. 聚点、内点、界点、开核、边界、导集和闭包及其性质。
3. 开集、闭集及其性质。
4. 直线上的开集的构造，构成区间，康托集。
（二）考核要求1. 度量空间，n 维欧氏空间识记：邻域的概念、有界点集概念。
2. 聚点、内点和界点识记：聚点、内点、外点、界点、孤立点、接触点、开核、边界、导集和闭包。
如 聚点与内点的关系，界点与聚点、孤立点的关系如聚点的等价定义：设E P '∈0，存在E 中的互异的点列{}n P 使0lim P P n n =∞→如0P 为E 的接触点的充要条件为存在E 中点列{}n P , 使得0lim P P n n =∞→3. 开集，闭集（1）识记：开集、闭集的概念。
实变函数期末考试重点
实变函数考试重点题目第一章：求极限 Eg ：求1(,)n A n n=的上下极限下极限1111lim inf (,)(,)(0,)n nm n m m A n m n m ∞∞∞======+∞上极限1111lim sup (,)(,)(0,)n nm n mm A n m n m ∞∞∞======+∞P24页 第5题5、设F 是]1,0[上全体实函数所构成的集合,c F 2=.证明：(1)设)(x E χ为E 的示性函数,]}1,0[|{⊂=E E A ,F E x B E ⊂⊂=]}1,0[|)({χ,显然B A ~,于是F B A c ≤==2；(2)设]}1,0[|))(,{(∈=x x f x G f ,}|{F f G C f ∈=,}]1,0[|{R ⨯⊂=P P D ,显然D C F ⊂~,于是cD C F 2=≤=,总之,c F 2=.P30页 定理1 定理2 P35页 第2 12题2.设一元实函数)()(R C x f ∈⇒R ∈∀a ,})(|{a x f x G >=是开集,})(|{a x f x F ≥=是闭集.证明：(1)G x ∈∀0,取0)(0>-=a x f ε,因)()(0x C x f ∈,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s δ<-||0x x 时, ε<-|)()(|0x f x f ,即a x f x f =->ε)()(0,从而G x N ⊂),(0δ,所以G 是开集.(2)F x '∈∀0,∃互异点列F x k ⊂}{..t s 0x x k →,显然a x f k ≤)(,因)()(0x C x f ∈,有a x f x f k k ≤=∞→)(lim )(0,即F x ∈0,于是F F ⊂',所以所以F 是闭集.12、设实函数)()(nC x f R ∈⇔O ∈∀G ,O ∈-)(1G f.证明：“⇒”O ∈∀G ,)(10G fx -∈∀,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,那么对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε, 从而)(1G fx -∈,于是)(),(10G fx N -⊂δ,所以O ∈-)(1G f.“⇐”n x R ∈∀0,0>∀ε,由于O ∈=)),((0εx f N G , 那么O ∈∈-)(10G fx ,这样0>∃δ..t s )(),(10G fx N -⊂δ,从而)(),(10G f x N x -⊂∈∀δ,均有)),(()(0εx f N x f ∈,即)()(nC x f R ∈.P42页 定理4P44页 定理2 定理3定理2：∀非空n E R ⊂,0>∀d ,}),(|{d E x x U <=ρ ⇒ O ∈⊂U E . 证明：显然U E ⊂.U x ∈∀,取0),(>-=E x d ρδ,),(δx U y ∈∀,有d E x E x x y E y =+<+≤),(),(),(),(ρδρρρ可见U y ∈,这样U x U x ⊂∈),(δ, ∴O ∈⊂U E .P45页 第5.6题5、设非空n E R ⊂,则),(E P ρ在n R 上一致连续.证明：0>∀ε,取εδ=,n Q P R ∈∀,,只要δρ<),(Q P ,由于),(),(),(E Q Q P E P ρρρ+≤,),(),(),(E P P Q E Q ρρρ+≤,有ερρρ<≤-),(|),(),(|Q P E Q E P ,所以, ),(E P ρ在n R 上一致连续.6、∀非空⊕C ∈21,F F ⇒)()(nC P f R ∈∃..t s 1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.证明：显然)(),(),(),()(211nC F P F P F P P f R ∈+=ρρρ,1)(0≤≤P f ,且0)(≡P f ,1F P ∈;1)(≡P f ,2F P ∈.P54页 定理（3）（4） P57页 第5 7题5、设实函数)(x f 在],[b a 上连续,}),(|),{(b x a x f y y x E ≤≤==,证明0*=E m . 证明：因为],[)(b a C x f ∈,于是)(x f 在],[b a 上一致连续,那么0>∀ε, 0>∃δ, ..t s 当δ<-||t s ,时,ε<-|)()(|s f t f .取δ<-na b ,将],[b a 进行n 等分,其分点为b x x x a n =<<<= 10,记],[1i i i x x I -=,])(,)([εε+-=i i i x f x f J ,显然,)(}),(|),{(11ni i ini i J II x x f y y x E ==⨯⊂∈==,∑∑==⨯=⨯≤≤ni i ini i iJ m Im J Im E m 11*)]()([)(0εε)(2)2(1a b na b ni -=⋅-=∑=,于是,由ε的任意性,知0*=E m .7、0*>E m ,证明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .证明：反证.假设E x ∈∀,0>∃x δ,使得0)),((*=x x N E m δ ,当然存在以有理数为端点的区间x I ..t s ),(x x x N I x δ⊂∈,由于}{x I 至多有可数个,记作}{k J ,有)(1∞=⊂k kJE E 那么0)(01**=≤≤∑∞=k k J E mE m ,这与条件0*>E m 不符,说明必E x ∈∃,..t s 0>∀δ,都有0)),((*>δx N E m .P65页 定理5 定理6 P68页 第4 5 9 11题4、设M ⊂}{m E ,证明m mm mmE E m inf lim )inf lim (≤.又+∞<∞=)(1m m E m ,证明m mm m mE E m sup lim )sup lim (≥.证明：因m m k k E E ↑⊂∞= ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m inf lim lim)()inf lim (1≤==∞=∞→∞=∞=.又因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<∞=)(1 m m E m ,有m mmk km m mk km mmE EEm E m sup lim lim)()sup lim (1≥==∞=∞→∞=∞=.5、设M ⊂}{m E ,+∞<∑∞=1)(m m E m ,证明0sup lim =m mmE .证明：因m mk k E E ↓⊃∞= ,+∞<≤∑∞=∞=11)()(m mm m Em E m ,有0)(lim)(lim )()sup lim (01=≤==≤∑∞=∞→∞=∞→∞=∞=mk km mk k m m mk km mEm E m E m E m,所以0sup lim =m mmE .P103页 第2题2、证明当)(x f 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时,)(x f 也是21E E 上的非负可测函数. 证明：由条件知 R ∈∀a ,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[1,n E x a x f x E M ∈∈>],)(;[2,于是],)(;[21E E x a x f x E ∈>n E x a x f x E E x a x f x E M ∈∈>∈>=],)(;[],)(;[11 所以)(x f 也是21E E 上的非负可测函数.P104页 第6 11题6、设实函数)()(n C x f R ∈,证明:M ∈∀E ,均有)()(E x f M ∈. 证明：M ∈∀E ,R ∈∀a ,显然O ∈+∞=),(a G ,下面证明M ∈-)(1G f.},)(|{)(10nx a x f x G fx R ∈>=∈∀-,因O ∈∈G x f )(0,0>∃ε..t s G x f N x f ⊂∈)),(()(00ε,这样对于0>ε,0>∃δ,..t s ),(0δx N x ∈∀,均有G x f N x f ⊂∈)),(()(0ε,从而)(1G f x -∈,于是)(),(10G f x N -⊂δ,那么M O ⊂∈-)(1G f.由于M ∈=∈>=--)(},)(|{)(11G f E E x a x f x G f,所以)()(E x f M ∈.11、设)(x f 是E 上的可测函数,)(y g 是R 上的连续函数,证明)]([x f g 是E 上的可测函数.证明：R ∈∀a ,因)()(R C y g ∈,若O ∈-∞=),(a G ,有O ∈<=-})(|{)(1a y g y G g由于})]([|{a x f g x x <∈⇔a x f g <)]([⇔)()(1G g x f -∈⇔)]([11G gfx --∈,于是M ∈=<--)]([})]([|{11G gf a x fg x ,所以)()]([E x f g M ∈.P117页 第2题2、设K x f k ≤|)(|..e a E ,)()(x f x f mk →E x ∈, 证明K x f ≤|)(|..e a E . 证明：+∈∀N m ,当mx f x f k 1|)()(|<-,K x f k ≤|)(|时,mK x f x f x f x f k k 1|)(||)()(||)(|+<+-≤,于是]1|)(|;[m K x f x m mE m +≥= ]|)(|;[]1|)()(|;[K x f x m m x f x f x m k k >+≥-≤0]1|)()(|;[→≥-≤mx f x f x m k ,∞→k ,有0=m mE ,因↑}{m E ,有0lim ]|)(|;[==≥∞→m m E K x f x m 所以K x f ≤|)(|..e a E .课件 第四章第四节 倒数第2~5题3、定理：设)()(x f x f mk →,)()(x g x f mk →E x ∈, 则)(~)(x g x f E. 证明： +∈∀N k m ,, 若mx f x f k 21|)()(|<-,mx g x f k 21|)()(|<-,有mx g x f x f x f x g x f k k 1|)()(||)()(||)()(|<-+-≤-,于是 ]1|)()(|;[m x g x f x E ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[m x g x f x E m x f x f x E k k ≥-≥-⊂ ,从而]1|)()(|;[m x g x f x mE ≥-]21|)()(|;[]21|)()(|;[mx g x f x mE m x f x f x mE k k ≥-+≥-≤000=+→, 又因∞=≥-=≠1]1|)()(|;[)]()(;[m mx g x f x E x g x f x E ,有 0)]()(;[=≠x g x f x mE ,所以)(~)(x g x f E.1、设)()(x f x f mk →,)()(x g x g mk →,E x ∈, 证明)()()()(x g x f x g x f mk k ++→. 证明：已知,0>∀σ,当2|)()(|σ<-x f x f k ,2|)()(|σ<-x g x g k ,时,σ<-+-≤+-+|)()(||)()(||)]()([)]()([|x g x g x f x f x g x f x g x f k k k k ,由于)()(x f x f m k →,)()(x g x g mk →,E x ∈,有]|)]()([)]()([|;[0σ≥+-+≤x g x f x g x f x m k k0]2|)()(|;[]2|)()(|;[→≥-+≥-≤σσx g x g x m x f x f x m k k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk k ++→.2、设)()(x f x f mk →,)()(E x g M ∈且几乎处处有限, 证明)()()()(x g x f x g x f mk →. 证明：已知,)()(x f x f mk →,)(x g 在E 上几乎处处有限,那么0>∀σ,0>∀ε,0>∃K ..t s2]|)()(|;[εσ<≥-Kx f x f x m k , 2]|)(|;[ε<≥K x g x m ]|)()()()(|;[σ≥-x g x f x g x f x m k ]]|)(||)()(|;[σ≥-≤x g x f x f x m k]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m K x f x f x m k ≥+≥-≤σεσ<≥+≥-≤]|)(|;[]|)()(|;[K x g x m Kx f x f x m k ,所以)()()()(x g x f x g x f mk →.3、设0)(→mk x f ,证明0)(2→mk x f .证明：已知,0)(→mk x f ,那么0>∀σ,0>∀ε,..t s εσ<≥-]|)()(|;[x f x f x m k ,有εσσ<≥=≥-]|)(|;[]|0)(|;[2x f x m x f x m k k ,所以0)(2→mk x f .。
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2011实变函数复习要点
第一章 集合
（一）考核知识点
1. 集合的定义、简单性质及集合的并、交、补和极限运算。
2. 对等和基数及其性质。
3. 可数集合的概念及其性质。
4. 不可数集合的概念及例子。
（二）考核要求 1. 集合概念
识记：集合的概念、表示方法、子集、真子集和包含关系。
2. 集合的运算
（1）识记：集合的并、交、补概念。
De Morgan 公式
I Y Γ
ααΓ
αα∈
∈=
c c A A )( Y I ΓααΓαα∈∈=c
c A A )( （2）综合应用：集合的并、交、补运算。
例 利用集合的并、交、补运算证明集合相等。
例 N n x x A n n n ∈-≤<--=},11:{1
1设
]0,1[1
-=⋂∞=n n A ，)1,2(1
-=⋃∞
=n n A
3. 对等与基数
（1）识记：集合的对等与基数的概念。
（2）综合应用：集合的对等的证明 例 利用定义直接构造两集合间的1-1对应。
4. 可数集合
（1）识记：可数集合的概念和可数集合的性质，可数集合类。
（2）综合应用：可数集合的性质。
5. 不可数集合
识记：不可数集合的概念、例子。
第二章 点集 （一）考核知识点
1. n 维欧氏空间邻域、集合的距离、有界点集和区间体积概念以及邻域的性质。
2. 聚点、内点、界点、开核、边界、导集和闭包及其性质。
3. 开集、闭集及其性质。
4. 直线上的开集的构造，构成区间，康托集。
（二）考核要求
1. 度量空间，n 维欧氏空间
识记：邻域的概念、有界点集概念。
2. 聚点、内点和界点
识记：聚点、内点、外点、界点、孤立点、接触点、开核、边界、导集和闭包。
如 聚点与内点的关系，界点与聚点、孤立点的关系
如聚点的等价定义：设E P '∈0，存在E 中的互异的点列{}n P 使0lim P P n n =∞
→
如0P 为E 的接触点的充要条件为存在E 中点列{}n P , 使得0lim P P n n =∞
→
3. 开集，闭集
（1）识记：开集、闭集的概念。
（2）综合应用：开集和闭集的充要条件以及开集和闭集的性质。
例如何证明一个集合为开集 例如何证明一个集合为闭集
如A 为闭集当且仅当A 中的任意收敛点列收敛于A 中的点 （即闭集为对极限运算封闭的点集）
4. 直线上的开集的构造
（1）识记：直线上的开集的构造及构成区间的概念。
例设)2,0(1=G , )4,3()2,1(2⋃=G 21G G G ⋃=,求G 的构成区间.
解：G 的构成区间为(0,2)、(3,4)
（2）简单应用：康托集
Cantor 集的基数为C
第三章 测度论 （一）考核知识点
1. 外测度的定义以及简单性质。
2. 可测集的卡氏条件（Caratheodory 条件）和可测集的性质。
3. 零测度集以及区间、开集和闭集的可测性；Borel 集及其可测性；G δ型集、F σ型集；可测集的构成。
（二）考核要求 1. 外测度
（1）综合应用：外测度的定义。
如设B 是有理数集，则0=*B m Cantor 集的外测度为0
例 两个集合的基数和它们的外测度的关系 （2）综合应用：外测度的性质。
非负性： 0≥*
A m 单调性：
B m A m B A **≤⊂
，则若
次可数可加性：n n n n A m A m *1
1
*
)(∑
∞
=∞=≤⋃
2. 可测集
（1）识记：可测集的卡氏条件（Caratheodory 条件）。
（2）分析：可测集的性质。
可测集类关于差，余，有限交和可数交，有限并和可数并，以及极限运算封闭 3. 可测集类
（1）简单应用：零测度集以及区间、开集和闭集的可测性；Borel 集及其可测性；G δ型 集、F σ型集。
零集、区间、开集、闭集、G δ型集（可数个开集的交）、F σ 型集（可数个闭集的并）、Borel 型集（从开集出发通过取余，取交或并（有限个或可数个）运算得到）都是可测集。
例 零测度集：单点集、有理数集、康托集 例 零测度集与可数集的关系
例“开集类”，“波雷尔集类”，“可测集类”，“δG 型集类” 之间的关系。
（2）综合应用：可测集的构成。
可测集与开集、闭集只相差一小测度集
εε<-⊂∃>∀)(,0)1E G m G E G E 且，使得开集可测，则若
反之也成立，即证明设0,,G E ε>∃⊃开集使*
()m G E ε-<，则E 是可测集。
εε<-⊂∃>∀)(,0)2F E m E F F E 且，使得闭集可测，则若
反之也成立，即证明设0>ε，存在闭集E F ⊂，使得ε<-)(*
F E m ，则E 是
可测集
可测集可由G δ型集去掉一零集，或F σ型集添上一零集得到。
1)若E 可测，则存在G δ型集 G , 使0)(=-⊂E G m G E 且 即设E 是L 可测的，G 是δG 集，则存在零测集N ，使 E = G- N. 2)若E 可测，则存在F σ型集F , 使0)(=-⊂F E m E F 且
即设E 是L 可测的，F 是σF 集，则存在零测集N ，使E = F + N.
第四章 可测函数 （一）考核知识点
1. 可测函数的定义及其等价定义、可测函数的性质和可测函数与简单函数的关系。
2. 叶果洛夫定理及逆定理。
3. 鲁津定理及逆定理。
4. 依测度收敛的定义、性质、Riesz 定理、勒贝格定理。
（二）考核要求 1. 可测函数及其性质
（1）简单应用： 可测函数的定义及其等价定义。
（3）综合应用：可测函数的性质。
零集上的任何函数都是可测函数 简单函数是可测函数
可测集E 上的连续函数f (x )必为可测函数
在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性
即： 设f (x )=g (x ) a.e.于E ， f (x )在E 上可测，则g (x )在E 上也可测。
可测函数关于子集、并集的性质 可测函数类关于四则运算封闭
可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。
2. 叶果洛夫定理及逆定理
识记：叶果洛夫定理。
可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛
证明叶果洛夫定理的逆定理：设函数列()n f x (1,2,)n =L 在有界集E 上“基本上”一致收敛于()f x ，则()..n f x a e 收敛于()f x 。
3. 可测函数的构造
可测函数和连续函数的关系 识记：鲁津定理
可测函数“基本上”是连续函数（鲁津定理）。
证明鲁津定理的逆定理：设()f x 是E 上..a e 有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集F E δ⊂，使()f x 在F δ上连续，且()m E F δδ-<，则()f x 是E 上的可测函数。
4. 依测度收敛
（1）识记：依测度收敛的定义、性质。
（2）综合应用：Riesz 定理、勒贝格定理。
处处收敛和依测度收敛的关系 一致收敛和依测度收敛的关系
E
f f n 于⇒E
u a f f n 于..→E
e a
f f n 于..→叶果洛夫定理mE<+∞
Lebesgue 定理
mE<+∞
叶果洛夫逆定理
子列
Riesz 定理
子列
第五章 积分论 （一）考核知识点
1. 勒贝格积分的定义、勒贝格积分与黎曼积分的关系。
2. 勒贝格积分的性质。
3. 勒贝格控制收敛定理 （二）考核要求 1.勒贝格积分的定义
（1）简单应用：勒贝格可积的充要条件。
设f (x )是可测集)(∞<⊂mE R E q
上的有界函数，则 f (x )在E 上可积的充要条件是f (x )在E 上可测。
（2）分析：L 积分与R 积分的关系。
若有界函数()x f 在闭区间[]b a ,上黎曼可积，则()x f 在[]b a ,上也是勒贝格可积的，且二者积分值相等。
()x f 在[]b a ,上黎曼可积的充要条件是()x f 在[]b a ,上的不连续点所成之集测度为零。
3. 勒贝格积分性质
评价：勒贝格积分性质 利用积分的性质计算L 积分
例 ()[][]⎩⎨
⎧∈⋂∈=Q
x Q x x D \1,01,0,
0,1,
()()[]001]1,0[]1,0[1,0=+=⎰⎰⎰-⋂Q
Q dx x D L
5. 积分的极限定理
分析：勒贝格控制收敛定理。
利用勒贝格（Lebesgue)控制收敛定理计算R 积分
关于考核目标说明
识记（了解）：指能够对有关名词、概念、知识、术语作出正确解释，并能记住和正确表述出来。
简单应用（会）：在识记的基础上，能够进一步深入全面地把握基本概念、基本原理，使所学知识融汇贯通，能够正确运用。
综合应用（掌握）：能够正确熟练地简单应用所学知识，处理相关一般性问题。
分析（熟练掌握）：在理解掌握所学知识的基础上用所学知识分析解决实际问题。
评价（融会贯通）：在熟练掌握所学知识，对实际问题分析解决的基础上，并进一步做出评价。