2020中考数学 模型构建专题：相似三角形中的基本模型
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)相似模型相似模型一：A字型特征：DE∥BC模型结论：根据A字型相似模型，可以得出以下结论：C∠B=∠XXXAC²=AD×AB相似模型二：X型特征：AC∥BD模型结论：根据X型相似模型，可以得出以下结论：AO×OB=OC×ODBOC∽△DOACAOC∽△DOB相似模型三：旋转相似特征：成比例线，段共端点模型结论：根据旋转相似模型，可以得出以下结论：BEF∽△BCDDEF∽△DABAEB∽△DEC相似模型四：三平行模型特征：AB∥EF∥CD模型结论：根据三平行模型，可以得出以下结论：ABE∽△CDF相似模型五：半角模型特征：90度，45度；120度，60度模型结论：根据半角模型，可以得出以下结论：ABN∽△MAN∽△MCAABD∽△CAE∽△CBA相似模型六：三角形内接矩形模型特征：矩形EFGH或正方形EFGH内接与三角形模型结论：根据三角形内接矩形模型，可以得出以下结论：ABC∽△EFH相似模型七：十字模型特征：正方形HDGB模型结论：根据十字模型，可以得出以下结论：若AF=BE，则AF⊥BE，且为长方形若AF⊥BE，则AF=BEBDBC平行四边形，且△GME∽△HNF，△MED≌△BFA。
下面给出几个几何问题。
1.在△ABC中，AB＝AC，且有以下七个结论：①D为AC中点；②AE⊥BD；③BE：EC＝2：1；④∠ADB＝∠CDE；⑤∠AEB＝∠CED；⑥∠BMC＝135°；⑦BM：MC＝2：1.求AC和CD的比值。
2.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，线段BC，AD相交于点F，点E是线段AF上一点且满足∠BEF=∠C，其中AF=6，DF=3，CF=2，求AE的长度。
3.在Rt△ABD中，过点D作CD⊥BD，垂足为D，连接XXX于点E，过点E作EF⊥BD于点F，若AB=15，CD=10，求4.在□ABCD中，E为BC的中点，连接AE，AC，分别交BD于M，N，求5.在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD，BC相交于点E，过E作EF∥AB交BD于点F。
2024年中考数学几何模型(全国通用)19 相似三角形重要模型之(双)A字型与(双)8字型(学生版)
专题19相似三角形重要模型之（双）A 字型与（双）8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
本专题重点讲解相似三角形的（双）A 字模型和（双）8（X ）字模型．A 字型和8(X )字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线)，这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。
模型1.“A ”字模型【模型解读与图示】“A ”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．图1图2图31）“A ”字模型条件：如图1，DE ∥BC ；结论：△ADE ∽△ABC ⇔AD AB ＝AE AC ＝DE BC .2）反“A ”字模型条件：如图2，∠AE D ＝∠B ；结论：△ADE ∽△ACB ⇔AD AC ＝AE AB ＝DE BC .3）同向双“A ”字模型条件：如图3，EF ∥BC ；结论：△AEF ∽△ABC ，△AEG ∽△ABD ，△AGF ∽△ADC ⇔EG FG AG BD CD AD例3．（2022·山东东营·中考真题）如图，在ABC 中，点F 、G 在BC 上，点E 、H 分别在AB 、AC 上，四边形EFGH 是矩形，2,EH EF AD 是ABC 的高．8,6BC AD ，那么EH 的长为____________．例4．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在ABC 中，D ，E ，F 分别为,,AB AC BC 上的点，,,DE BC BF CF AF ∥交DE 于点G ，求证：DG EG ．(2)如图2，在（1）的条件下，连接,CD CG ．若,6,3 CG DE CD AE ，求DE BC的值．(3)如图3，在ABCD 中，45, ADC AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG BD ∥交AD 于点G ， EF EG 交BC 于点F ．若40, EGF FG 平分,10 EFC FG ，求BF 的长．例5.（2023•安庆一模）如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥AB ．（1）若点D 是边BC 的中点，且BE ＝CF ，求证：DE ＝DF ；（2）若AD ⊥BC 于D ，且BD ＝CD ，求证：四边形AEDF 是菱形；（3）若AE ＝AF ＝1，求+的值．模型2.“X ”字模型（“8”模型）【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3图41）“8”字模型条件：如图1，AB ∥CD ；结论：△AOB ∽△COD ⇔AB CD ＝OA OC ＝OB OD .2）反“8”字模型条件：如图2，∠A ＝∠D ；结论：△AOB ∽△DOC ⇔AB CD ＝OA OD ＝OB OC .3）平行双“8”字模型条件：如图3，AB ∥CD ；结论：AE BE AB DF CF CD4）斜双“8”字模型条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD ∽△BOC ，△AOB ∽△DOC ⇔∠3＝∠4.例1．（2022·辽宁·中考真题）如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ．若6AB ，则AEF 的面积为___________．例2．（2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习）如图，,AB CD AE FD ∥∥，AE ，FD 分别交BC 于点G ，H ，则下列结论中错误的是（）A ．DH CH FH BHB ．GE CG DF CBC ．AF HG CE CGD ．=FH BF AG FA例3．（2021·上海·中考真题）如图，在梯形ABCD 中，//,90,,AD BC ABC AD CD O 是对角线AC 的中点，联结BO 并延长交边CD 或边AD 于E ．（1）当点E 在边CD 上时，①求证：DAC OBC ∽；②若BE CD ，求AD BC的值；（2）若2,3DE OE ，求CD的长．例4．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记COD △的面积为1S ，AOB 的面积为2S ．（1）问题解决：如图①，若AB //CD ，求证：12 S OC OD S OA OB（2）探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE OC ，过点E 作EF CD ∥交OD 于点F ，点H为AB 的中点，OH 交EF 于点G ，且2 OG GH ，若56 OE OA ，求12S S值．模型3.“AX ”字模型（“A 8”模型）【模型解读与图示】图1图2图31）一“A ”一“8”模型条件：如图1，DE ∥BC ；结论：△ADE ∽△ABC ，△DEF ∽△CBF ⇔AD AEDE DF FEAB AC BC FC BF2）两“A ”一“8”模型条件：如图2，DE ∥AF ∥BC ；结论：111BC DE AF .3）四“A ”一“8”模型条件：如图3，DE ∥AF ∥BC,1111BC DE AF AG ；结论：AF =AG例1．（2022·山东东营·中考真题）如图，点D 为ABC 边AB 上任一点，DE BC ∥交AC 于点E ，连接BE CD 、相交于点F ，则下列等式中不成立．．．的是（）A ．AD AE DB EC B ．DE DF BC FC C ．DE AE BC ECD ．EF AE BF AC例2．（2021·江苏南京·中考真题）如图，AC 与BD 交于点O ，,OA OD ABO DCO ，E 为BC 延长线上一点，过点E 作//EF CD ，交BD 的延长线于点F ．（1）求证AOB DOC △≌△；（2）若2,3,1AB BC CE ，求EF 的长．例3.（2022·重庆九年级期中）如图，AD 与BC 相交于点E ，点F 在BD 上，且AB ∥EF ∥CD ，求证：1AB ＋1CD ＝1EF .例4．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．课后专项训练1.（2021·山东淄博·中考真题）如图，,AB CD 相交于点E ，且////AC EF DB ，点,,C F B 在同一条直线上．已知,,AC P EF r DB q ，则,,p q r 之间满足的数量关系式是（）A ．111r q pB ．112p r qC ．111p q rD ．112q r pA ．43AC ，123BDB ．3．（2023·福建福州·校考二模）在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝．在骨架设计中，两条侧翼的长度设计两处，使得AD AE ，并作一条骨架两点间的距离大约是（）（参考数据：A ．41cm B ．57cm C ．4．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等）可测量零件的内孔直径AB ．如果OA ：OC =OB ：OD =3，且量得CD =3cm ，则零件的厚度x 为（）A ．0.3cmB ．0.5cmC ．0.7cmD ．1cm5．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE ＝2，则S △ABC ＝_____．7.（2023·广东深圳·校考三模）如图，上，连接C D A E ，交于点F ，若 8．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，ABC 中，点E 、F 分别在边AB 、AC 上，12 ．若4BC ，2AF ，3CF ，则EF ______．9．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且2，BD与CE相交AE DE于点F，若DEF△的面积是______．的面积是3，则BCF10．（2022·湖北荆门·中考真题）如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD＝BG：GE＝CG：GF＝2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为_____．11．（2023·福建·统考中考真题）阅读下列材料，回答问题任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1．工具：一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；的大小，如测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得POQ图3．小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB ，其测量及求解过程如下：测量过程：（ⅰ）在小水池外选点C ，如图4，测得m AC a ，m BC b ；（ⅱ）分别在AC ，BC ，上测得3a CM m，m 3b CN ；测得m MN c ．求解过程：是等边三角形，点13．（2023·湖南郴州·统考中考真题）已知ABC，连接DE交射线AC于点F．点E，使CE AD(1)如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE．设4，求四边形BDFC的面积．AB ，若AEB DEBCE(3)17．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN⊥MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；(2)若EF BF＝2，求AN ND的值；(3)若MN∥BE，求AN ND的值．18．（2023•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，DB ＝b ，AE ＝c ，EC ＝d ，则S △ADE ，S △ABC 和a ，b ，c ，d之间会有怎样的数量关系呢？问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE ∥BC ，则∠ADE ＝∠B ，且∠A ＝∠A ，所以△ADE ∽△ABC ，可得比例式：a c a b c d而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得 22ADE ABC S a S a b ．根据上述这两个式子，可以推出：22ADE ABC S a a a a c ac S a b a b a b c d a b c d a b ．（2）如图3，若∠ADE ＝∠C ，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由．探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：ADE ABC S ac S a b c d ？方法回顾：两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以解决．如图4，D 在△ABC 的边上，做AH ⊥BC 于H ，可得：1212ABD ADC BD AH S BD S DC DC AH ．借用这个结论，请你解决最初的问题．延伸探究：（1）如图5，D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，则ADE ABC S S ．（2）如图6，E 在△ABC 的边AC 上，D 在AB 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，ADE ABC S S ．结论应用：如图7，在平行四边形ABCD 中，G 是BC 边上的中点，延长GA 到E ，连接DE 交BA 的延长线于F ，若AB ＝5，AG ＝4，AE ＝2，▱ABCD 的面积为30，则△AEF 的面积是．19．（2023·河南郑州·校考三模）【问题发现】小明在一次利用三角板作图的过程中发现了一件有趣的事情：如图1，在Rt ABC △中，306A AB ，，点M 和点P 分别是斜边AB 上的动点，并且满足AM BP ，分别过点M 和点P 作AC 边的垂线，垂足分别为点N 和点Q ，那么MN PQ 的值是一个定值．问题：若2AM BP 时，MN PQ 值为___________；【操作探究】如图2，在Rt ABC △中，90C A AB m ，，；爱动脑筋的小明立即拿出另一个三角板进行了验证，发现果然和之前发现的结论一样，于是他猜想，对于任意一个直角三角形，当AM BP 时，MN PQ 的值都是固定的，小明的猜想对吗？如果对，请利用图2进行证明，并用含 和m 的式子表示MN PQ 的值．【解决问题】如图3，在菱形ABCD 中，814AB BD ，．若M 、N 分别是边AD 、BC 上的动点，且AM BN ，作ME BD NF BD ，，垂足分别为E 、F ，则ME NF 的值为__________．20．（2022·湖北武汉·中考真题）问题提出：如图（1），ABC 中，AB AC ，D 是AC 的中点，延长BC 至点E ，使DE DB ，延长ED 交AB 于点F ，探究AF AB 的值．(1)先将问题特殊化．如图（2），当60BAC 时，直接写出AF AB的值；(2)再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立．问题拓展：如图（3），在ABC 中，AB AC ，D 是AC 的中点，G 是边BC 上一点，12CG n BC n ，延长BC 至点E ，使DE DG ，延长ED 交AB 于点F ．直接写出AF AB 的值（用含n 的式子表示）．。
相似三角形重要模型之(双)A字型与(双)8字型(解析版)-2024年中考数学常见几何模型
相似三角形重要模型之(双)A字型与(双)8字型相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
本专题重点讲解相似三角形的(双)A字模型和(双)8(X)字模型．A字型和8(X)字型的应用难点在于过分割点(将线段分割的点)作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线(倍长中线就可以理解为一种间接作平行线)，这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。
模型1. “A”字模型【模型解读与图示】“A”字模型图形(通常只有一个公共顶点)的两个三角形有一个“公共角”(是对应角)，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图31)“A”字模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔ADAB =AEAC=DEBC.2)反“A”字模型条件：如图2，∠AE D=∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔ADAC =AEAB=DEBC.3)同向双“A”字模型条件：如图3，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔EGBD=FGCD=AGAD1(2023·湖北十堰·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE=BF=CG=AH，若菱形的面积等于24，BD=8，则EF+GH=．【答案】6【分析】连接AC，交BD于点O，由题意易得AC=6，AC⊥BD，AO=3，BO=4，则有AB=AD=5，然后可得EF∥AC∥GH，设BE=BF=CG=AH=a，则有DH=5-a，进而根据相似三角形的性质可进行求解．【详解】解：连接AC，交BD于点O，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，BD =8，∴AB =BC =AD =CD ，AC ⊥BD ，AO =OC =12AC ，BO =OD =12BD =4，∵S 菱形ABCD =12AC ⋅BD =24，∴AC =6，∴AO =3，∴AB =AO 2+BO 2=5=AD ，∵BE =BF =CG =AH ，∴AE =CF =DH =DG ，∴BE AE=BF CF ，∴EF ∥AC ，同理可得GH ∥AC ，设BE =BF =CG =AH =a ，则有DH =5-a ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴BE BA =EF AC ，即a 5=EF 6，∴EF =65a ，同理可得DH DA =GH CA，即5-a 5=GH 6，∴GH =6-65a ，∴EF +GH =6；故答案为6．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．2(2023·安徽·九年级期末)如图，在三角形△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD =3，BD =1，AE =2，EC =4．(1)求证：∠ADE =∠C ；(2)若∠BAC 的平分线交DE 于点F ，交BC 于点G ，求AF FG．【答案】(1)见解析(2)AF FG =1【分析】(1)证明AE AB =24=12，AD AC =36=12，可得AE AB =AD AC，结合∠DAE =∠CAB ，从而可得结论；(2)由(1)可得△DAE ∽△CAB ，可得∠ADE =∠C ，证明∠DAF =∠CAG ，可得△ADF ∽△ACG ，再利用相似三角形的性质可得答案．【详解】(1)解：∵AD =3，BD =1，AE =2，EC =4，∴AB =AD +BD =4，AC =AE +CE =6．∴AE AB =24=12，AD AC =36=12，∴AE AB =AD AC，又∵∠DAE =∠CAB ，∴△DAE ∽△CAB ，∴∠ADE =∠C ．(2)由(1)可得△DAE ∽△CAB ，∴∠ADE =∠C ，又∵AG 平分∠BAC ，∴∠DAF =∠CAG ，∴△ADF ∽△ACG ，∴AF AG =AD AC=12，∴AF FG =1．【点睛】本题考查的是角平分线的定义，相似三角形的判定与性质，相似三角形的判定方法是解本题关键．3(2022·山东东营·中考真题)如图，在△ABC 中，点F 、G 在BC 上，点E 、H 分别在AB 、AC 上，四边形EFGH 是矩形，EH =2EF ,AD 是△ABC 的高．BC =8,AD =6，那么EH 的长为．【答案】245##4.8【分析】通过四边形EFGH 为矩形推出EH ∥BC ，因此△AEH 与△ABC 两个三角形相似，将AM 视为△AEH 的高，可得出AM AD=EH BC ，再将数据代入即可得出答案．【详解】∵四边形EFGH 是矩形，∴EH ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∵AM 和AD 分别是△AEH 和△ABC 的高，∴AM AD =EH BC ,DM =EF ，∴AM =AD -DM =AD -EF =6-EF ，∵EH =2EF ，代入可得：6-EF 6=2EF 8，解得EF =125，∴EH =2×125=245，故答案为：245．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．4(2022·浙江宁波·中考真题)(1)如图1，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为AB ,AC ,BC 上的点，DE ∥BC ,BF =CF ,AF 交DE 于点G ，求证：DG =EG ．(2)如图2，在(1)的条件下，连接CD ,CG ．若CG ⊥DE ,CD =6,AE =3，求DE BC的值．(3)如图3，在▱ABCD 中，∠ADC =45°,AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG ∥BD 交AD 于点G ，EF ⊥EG 交BC 于点F ．若∠EGF =40°,FG 平分∠EFC ,FG =10，求BF 的长．【答案】(1)证明见详解(2)13(3)5+53【分析】(1)利用DE ∥BC ，证明△ADG ∼△ABF ,△AEG ∼△ACF ，利用相似比即可证明此问；(2)由(1)得DG =EG ，CG ⊥DE ，得出△DCE 是等腰三角形，利用三角形相似即可求出DE BC的值；(3)遵循第(1)、(2)小问的思路，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN ⊥BC ，垂足为N ．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出BN 、FN 的值，即可得出BF 的长．(1)解：∵DE ∥BC ，∴△ADG ∼△ABF ,△AEG ∼△ACF ，∴DG BF =AG AF ,EG CF =AG AF，∴DG BF =EG CF ．∵BF =CF ，∴DG =EG ．(2)解：由(1)得DG =EG ，∵CG ⊥DE ，∴CE =CD =6．∵AE =3，∴AC =AE +CE =9．∵DE ∥BC ，∴△ADE ∼△ABC ．∴DE BC =AE AC=13．(3)解：如图，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN ⊥BC ，垂足为N ．在▱ABCD 中，BO =DO ,∠ABC =∠ADC =45°．∵EG ∥BD ，∴由(1)得ME =GE ，∵EF ⊥EG ，∴FM =FG =10，∴∠EFM =∠EFG ．∵∠EGF =40°，∴∠EMF =40°，∴∠EFG =50°．∵FG 平分∠EFC ，∴∠EFG =∠CFG =50°，∴∠BFM =180°-∠EFM -∠EFG -∠CFG =30°．∴．在Rt △FMN 中，MN =FM sin30°=5,FN =FM cos30°=53．∵∠MBN =45°,MN ⊥BN ，∴BN =MN =5，∴BF =BN +FN =5+53．【点睛】本题考查了相似三角形的性质及判定、等腰三角形的性质及判定、解特殊的直角三角形等知识，遵循构第(1)、(2)小问的思路，构造出等腰三角形和特殊的直角三角形是解决本题的关键．5(2023•安庆一模)如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥AB ．(1)若点D 是边BC 的中点，且BE =CF ，求证：DE =DF ；(2)若AD ⊥BC 于D ，且BD =CD ，求证：四边形AEDF 是菱形；(3)若AE =AF =1，求1AB +1AC的值．【分析】(1)根据中点和平行两个条件可得中点，从而可得DE 是△ABC 的中位线，进而可得DE =FC ，同理可得DF =BE ，即可解答；(2)根据已知易证四边形AEDF 是平行四边形，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠BAD =∠CAD ，然后利用平行线的性质可得∠EDA =∠CAD ，从而可得∠BAD =∠EDA ，进而可得EA =ED ，即可解答；(3)根据A 字模型相似三角形可知△BED ∽△BAC ，△CDF ∽△CBA ，从而可得DE AC=BD BC ，DF AB =CD BC ，然后把两个式子相加进行计算，即可解答．【解答】(1)证明：∵点D 是边BC 的中点，DE ∥CA ，∴点E 是AB 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE =12AC ，∵点D 是边BC 的中点，DF ∥AB ，∴点F 是AC 的中点，∴FC =12AC ，∴DE =FC ，同理可得：DF =BE ，∵BE =FC ，∴DE =DF ；(2)证明：∵DE ∥CA ，DF ∥AB ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∵AD ⊥BC ，BD =CD ，∴AD 是BC 的垂直平分线，∴AB =AC ，∴∠BAD =∠CAD ，∵DE ∥AC ，∴∠EDA =∠CAD ，∴∠BAD =∠EDA ，∴EA =ED ，∴四边形AEDF 是菱形；(3)∵DE ∥CA ，∴∠EDB =∠C ，∵∠B =∠B ，∴△BED ∽△BAC ，∴DE AC =BD BC ，∵DF ∥AB ，∴∠B =∠FDC ，∵∠C =∠C ，∴△CDF ∽△CBA ，∴DF AB =CD BC ，∴DE AC +DF AB=BD BC +CD BC =BD +CD BC =1，∵四边形AEDF 是平行四边形，∴DE =AF ，DF =AE ，∵AE =AF =1，∴DE =DF =1，∴1AB +1AC =1，∴1AB +1AC的值为1．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，分式的化简求值，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及A 字模型相似三角形的关键．模型2.“X ”字模型(“8”模型)【模型解读与图示】“8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图3图41)“8”字模型条件：如图1，AB ∥CD ；结论：△AOB ∽△COD ⇔AB CD =OA OC =OB OD.2)反“8”字模型条件：如图2，∠A =∠D ；结论：△AOB ∽△DOC ⇔AB CD =OA OD =OB OC .3)平行双“8”字模型条件：如图3，AB ∥CD ；结论：AE DF =BE CF =AB CD4)斜双“8”字模型条件：如图4，∠1=∠2；结论：△AOD ∽△BOC ，△AOB ∽△DOC ⇔∠3=∠4.1(2022·辽宁·中考真题)如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于点F ．若AB =6，则△AEF 的面积为．【答案】3【分析】由正方形的性质可知AE =12AD =12AB =12BC =3，AD ⎳BC ，则有△AEF ∽△CBF ，然后可得EF BF =AE BC=12，进而问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，AB =6，∴AD =BC =AB =6，AD ⎳BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴EF BF =AE BC，∵E 为AD 的中点，∴AE =12AD =12AB =12BC =3，∴EF BF =AE BC=12，S △ABE =12AE ⋅AB =9，∴EF BE =13，∴S △AEF =13S △ABE =3；故答案为3．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．2(2023·黑龙江·哈尔滨九年级阶段练习)如图，AB ∥CD ,AE ∥FD ，AE ，FD 分别交BC 于点G ，H ，则下列结论中错误的是()A.DH FH =CH BHB.GE DF =CG CBC.AF CE =HG CGD.FH AG =BF FA【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例和相似三角形的性质与判定，进行逐一判断即可．【详解】解：∵AB ∥CD ∴DH FH =CH BH ，∴A 选项正确，不符合题目要求；∵AE ∥DF ，∴∠CGE =∠CHD ，∠CEG =∠D ，∴△CEG ∽△CDH ，∴GE DH =CG CH ，∴EG CG =DH CH ，∵AB ∥CD ，∴CH CB =DH DF ，∴DH CH =DF CB ，∴GE CG =DF CB ，∴GE DF =CG CB，∴B 选项正确，不符合题目要求；∵AB ∥CD ，AE ∥DF ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∴AF =DE ，∵AE ∥DF ∴DE CE =GH GC ，∴AF CE =HG CG ；∴C 选项正确，不符合题目要求；∵AE ∥DF ，∴△BFH ∽△BAG ，∴FH AG =BF AB ，∵AB >FA ，∴FHAG ≠BF FA∴D 选项不正确，符合题目要求．故选D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能根据定理得出比例式是解此题的关键．3(2021·上海·中考真题)如图，在梯形ABCD中，AD⎳BC,∠ABC=90°,AD=CD,O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于E．(1)当点E在边CD上时，①求证：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求ADBC的值；(2)若DE=2,OE=3，求CD的长．【答案】(1)①见解析；②23；(2)1+19或3+19【分析】(1)①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，∠DAC=∠DCA=∠OBC=∠OCB，由此可得△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，那么在Rt△BCE中，由∠2=∠3=∠4．可得∠2=∠3=∠4=30°，作DH⊥BC于H．设AD=CD=2m，那么BH=AD=2m．根据30°所对直角边是斜边的一半可知CH=m，由此可得ADBC的值．(2)①当点E在AD上时，可得四边形ABCE是矩形，设AD=CD=x，在Rt△ACE和Rt△DCE中，根据CE2=CE2，列方程62-(x-2)2=x2-22求解即可．②当点E在CD上时，设AD=CD=x，由△DAC∽△OBC，得DCOC=ACBC，所以xm=2OCBC，所以OCBC=x2m；由△EOC∽△ECB得EOEC=ECEB=OCCB，所以3x-2=x-2m+3=OCCB，解出x的值即可．【详解】(1)①由AD=CD，得∠1=∠2．由AD⎳BC，得∠1=∠3．因为BO是Rt△ABC斜边上的中线，所以OB=OC．所以∠3=∠4．所以∠1=∠2=∠3=∠4．所以△DAC∽△OBC．②若BE⊥CD，那么在Rt△BCE中，由∠2=∠3=∠4．可得∠2=∠3=∠4=30°．作DH⊥BC于H．设AD=CD=2m，那么BH=AD=2m．在Rt△DCH中，∠DCH=60°,DC=2m，所以CH=m．所以BC=BH+CH=3m．所以ADBC=2m3m=23．(2)①如图5，当点E在AD上时，由AD⎳BC,O是AC的中点，可得OB=OE，所以四边形ABCE是平行四边形．又因为∠ABC=90°，所以四边形ABCE是矩形，设AD =CD =x ，已知DE =2，所以AE =x -2．已知OE =3，所以AC =6．在Rt △ACE 和Rt △DCE 中，根据CE 2=CE 2，列方程62-(x -2)2=x 2-22．解得x =1+19，或x =1-19(舍去负值)．②如图6，当点E 在CD 上时，设AD =CD =x ，已知DE =2，所以CE =x -2．设OB =OC =m ，已知OE =3，那么EB =m +3．一方面，由△DAC ∽△OBC ，得DC OC =AC BC ，所以x m =2OC BC ，所以OC BC=x 2m ，另一方面，由∠2=∠4，∠BEC 是公共角，得△EOC ∽△ECB ．所以EO EC =EC EB =OC CB ，所以3x -2=x -2m +3=OC CB．等量代换，得3x -2=x -2m +3=x 2m ．由3x -2=x 2m ，得m =x 2-2x 6．将m =x 2-2x 6代入3x -2=x -2m +3，整理，得x 2-6x -10=0．解得x =3+19，或x =3-19(舍去负值)．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键．4(2022·贵州铜仁·中考真题)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记△COD 的面积为S 1，△AOB 的面积为S 2．(1)问题解决：如图①，若AB ⎳CD ，求证：S 1S 2=OC ⋅OD OA ⋅OB(2)探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE =OC ，过点E 作EF ∥CD 交OD 于点F ，点H 为AB的中点，OH 交EF 于点G ，且OG =2GH ，若OE OA=56，求S 1S 2值．【答案】(1)见解析；(2)(1)中的结论成立，理由见解析：(3)2554【分析】(1)如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，求出DE =OD ⋅sin ∠DOE ，BF=OB ⋅sin ∠BOF ，然后根据三角形面积公式求解即可；(2)同(1)求解即可；(3)如图所示，过点A 作AM ∥EF 交OB 于M ，取BM 中点N ，连接HN ，先证明△OEF ≌△OCD ，得到OD=OF ，证明△OEF ∽△OAM ，得到OF OM =OE OA =56，设OE =OC =5m ，OF =OD =5n ，则OA =6m ，OM =6n ，证明△OGF ∽△OHN ，推出ON =32OF =15n 2，BN =MN =ON -OM =3n 2，则OB =ON +BN =9n ，由(2)结论求解即可．【详解】解：(1)如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，∴DE =OD ⋅sin ∠DOE ，BF =OB ⋅sin ∠BOF ，∴S △OCD =S 1=12OC ⋅DE =12OC ⋅OD ⋅sin ∠DOE ，S △AOB =S 2=12OA ⋅BF =12OA ⋅OB ⋅sin ∠BOF ，∵∠DOE =∠BOF ，∴sin ∠DOE =sin ∠BOF ；∴S 1S 2=12OC ⋅OD ⋅sin ∠DOE 12OA ⋅OB ⋅sin ∠BOF =OC ⋅OD OA ⋅OB ；(2)(1)中的结论成立，理由如下：如图所示，过点D 作AE ⊥AC 于E ，过点B 作BF ⊥AC 于F ，∴DE =OD ⋅sin ∠DOE ，BF =OB ⋅sin ∠BOF ，∴S △OCD =S 1=12OC ⋅DE =12OC ⋅OD ⋅sin ∠DOE ，S △AOB =S 2=12OA ⋅BF =12OA ⋅OB ⋅sin ∠BOF ，∵∠DOE =∠BOF ，∴sin ∠DOE =sin ∠BOF ；∴S 1S 2=12OC ⋅OD ⋅sin ∠DOE 12OA ⋅OB ⋅sin ∠BOF =OC ⋅OD OA ⋅OB ；(3)如图所示，过点A 作AM ∥EF 交OB 于M ，取BM 中点N ，连接HN ，∵EF ∥CD ，∴∠ODC =∠OFE ，∠OCD =∠OEF ，又∵OE =OC ，∴△OEF ≌△OCD (AAS )，∴OD =OF ，∵EF ∥AM ，∴△OEF ∽△OAM ，∴OF OM =OE OA=56，设OE =OC =5m ，OF =OD =5n ，则OA =6m ，OM =6n ，∵H 是AB 的中点，N 是BM 的中点，∴HN 是△ABM 的中位线，∴HN ∥AM ∥EF ，∴△OGF ∽△OHN ，∴OG OH =OF ON ，∵OG =2GH ，∴OG =23OH ，∴OG OH =OF ON =23，∴ON =32OF =15n 2，BN =MN =ON -OM =3n 2，∴OB =ON +BN =9n ，由(2)可知S 1S 2=OC ⋅OD OA ⋅OB=5m ⋅5n 6m ⋅9n =2554．【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解题的关键．模型3. “AX”字模型(“A8”模型)【模型解读与图示】图1图2图3 1)一“A”一“8”模型条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF⇔ADAB=AEAC=DEBC=DFFC=FEBF2)两“A”一“8”模型条件：如图2，DE∥AF∥BC；结论：1BC +1DE=1AF.3)四“A”一“8”模型条件：如图3，DE∥AF∥BC,1BC+1DE=1AF=1AG；结论：AF=AG1(2022·山东东营·中考真题)如图，点D为△ABC边AB上任一点，DE∥BC交AC于点E，连接BE、CD 相交于点F，则下列等式中不成立的是()A.ADDB =AEECB.DEBC=DFFCC.DEBC=AEECD.EFBF=AEAC【答案】C【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．【详解】解：∵DE∥BC，∴AD BD =AEEC，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；∴DE CB =DFCF=EFBF，DECB=AEAC，故B不符合题意，C符合题意；∴EF BF =AEAC，故D不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，熟知相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例定理是解题的关键．2(2021·江苏南京·中考真题)如图，AC与BD交于点O，OA=OD,∠ABO=∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF⎳CD，交BD的延长线于点F．(1)求证△AOB≌△DOC；(2)若AB=2,BC=3,CE=1，求EF的长．【答案】(1)证明见解析；(2)EF=8 3【分析】(1)直接利用“AAS”判定两三角形全等即可；(2)先分别求出BE和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可．【详解】解：(1)∵OA=OD,∠ABO=∠DCO，又∵∠AOB=∠DOC，∴△AOB≌△DOC AAS；(2)∵△AOB≌△DOC AAS，AB=2,BC=3,CE=1∴AB=DC=2，BE=BC+CE=3+1=4，∵EF⎳CD，∴△BEF∽△BCD，∴EFCD =BE BC，∴EF2=43，∴EF=83，∴EF的长为83．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等．3(2022·重庆九年级期中)如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：1AB +1CD=1EF.证明：∵AB∥EF，∴△DEF∽△DAB，∴EFAB=DFDB.又∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD.∴EFCD=BFBD.∴EF AB +EFCD=DFDB+BFBD=BDBD=1.∴1AB+1CD=1EF.4(2022•安庆模拟)在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．(1)如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE=12CD．(2)如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：EFAB =EFCD=2．(3)如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD=8，OE=6，直接写出线段MN长度．【分析】(1)由OE⊥BC，DC⊥BC，可知EO∥CD，且OB=OD，可得结论；(2)由△DFO∽△DAB，得FOAB =DODB，同理OFCD=AOAC，OEAB=COCA，EOCD=BOBD，利用等式的性质将比例式相加，从而得出结论；(3)作DF∥OB交OC于点F，连接EF，可知△ODF是等腰三角形，得DO=DF=8，由△DMF∽△EMO，可得EM=34DM，由△DMN∽△DOE，得MNOE=DMDE=47，从而得出答案．【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴O是AC中点，AB⊥BC，∵OE⊥BC，∴OE∥AB，∴E是BC中点，∴OE=12CD；(2)证明：∵EF∥AB，∴△DFO∽△DAB，∴FOAB =DO DB，同理OFCD=AOAC，OEAB=COCA，EOCD=BOBD，∴FOAB+OFCD+OEAB+EOCD=DODB+AOAC+COCA+BOBD，∴FO+OEAB +EO+OFCD=AO+COAC+BO+DOBD，即，EFAB+EFCD=2；(3)解：作DF∥OB交OC于点F，连接EF，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC，∵DF∥OB，∴∠DFO=∠BOC=∠AOC，∴△ODF是等腰三角形，∴DO=DF=8，∵DF∥OE，∴△DMF∽△EMO，∴EM DM =EODF=EODO=68=34，∴EM=34DM，∴DMDE=DMDM+ME=DMDM+34DM=47，∵MN∥OE，∴△DMN∽△DOE，∴MNOE =DMDE=47，∴MN6=47，∴MN=247．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，对比例式进行恒等变形是解题的关键．课后专项训练1(2021·山东淄博·中考真题)如图，AB,CD相交于点E，且AC⎳EF⎳DB，点C,F,B在同一条直线上．已知AC=P,EF=r,DB=q，则p,q,r之间满足的数量关系式是()A.1r +1q=1pB.1p+1r=2qC.1p+1q=1rD.1q+1r=2p【答案】C【分析】由题意易得△BEF∽△BAC，△CEF∽△CDB，则有EFAC=BFBC，EFBD=CFBC，然后可得EFAC+EFBD=1，进而问题可求解．【详解】解：∵AC⎳EF⎳DB，∴△BEF∽△BAC，△CEF∽△CDB，∴EF AC =BFBC，EFBD=CFBC，∴EFAC+EFBD=BFBC+CFBC=1，∵AC=P,EF=r,DB=q，∴rp +rq=1，即1p+1q=1r；故选C．【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．2(2023秋·山西阳泉·九年级统考期末)如图，在四边形ABCD中，AB=AC，对角线AC与BD相交于点E，DE=3BE，AC⊥AD，∠ACB=75°，AE=33，则对角线AC与BD的长分别是()A.AC=43，BD=123B.AC=9，BD=419C.AC=6，BD=83D.AC=8，BD=419【答案】D【分析】过点B作BO∥AD交AC于点O，证明△AED∽△OEB，可求得OE=3，AO=43，根据勾股定理求出BO的长，进而可求出AC的长，再根据勾股定理求出BE的长，进而求出BD的长．【详解】过点B作BO∥AD交AC于点O，如图所示：∵AC ⊥AD ，BO ∥AD ，∴∠DAC =∠BOA =90°．∵∠AED =∠OEB ，∴△AED ∽△OEB ，∴BE DE =EO AE =BODA．∵DE =3BE ，∴EO AE =BO DA=13．∵AE =33，∴OE =3，∴AO =43．∵AB =AC ，∠ACB =75°，∵∠ABC =∠ACB =75°，∴∠BAC =30°，∴AB =2BO ．在Rt △AOB 中，BO 2+AO 2=AB 2，即43 2+BO 2=2BO 2，解得：BO =4，∴AB =AC =8．∵OE =3，BO =4，∴BE =BO 2+OE 2=19，∴DE =3BE =319，∴BD =BE +DE =419．故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是利用勾股定理求出BE 的长度．3(2023·福建福州·校考二模)在数学综合实践课上，某学习小组计划制作一个款式如图所示的风筝．在骨架设计中，两条侧翼的长度设计AB =AC =50cm ，风筝顶角∠BAC 的度数为110°，在AB ，AC 上取D ，E 两处，使得AD =AE ，并作一条骨架AF ⊥DE ．在制作风筝面时，需覆盖整个骨架，根据以上数据，B ，C 两点间的距离大约是( )(参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)A.41cmB.57cmC.82cmD.143cm【答案】C【分析】设AF 与DE 交于点G ，连接BC ，交AF 于点H ，根据已知易证△ADE ∽△ABC ，然后利用相似三角形的性质可得∠ADE =∠ABC ，从而可得DE ∥BC ，进而可得BC ⊥AF ，再利用等腰三角形的三线合一性质可得BC =2BH ，∠BAH =12∠BAC =55°，最后在Rt △BAH 中，利用锐角三角函数的定义求出BH 的长，即可解答．【详解】解：设AF 与DE 交于点G ，连接BC ，交AF 于点H ，∵AD =AE ，AB =AC ，∴AD AB =AEAC，∵∠DAE =∠BAC ，∴△ADE ∽△ABC ，∴∠ADE =∠ABC ，∴DE ∥BC ，∵AF ⊥DE ，∴BC ⊥AF ，∵AB =AC ，AF ⊥BC ，∴BC =2BH ，∠BAH =12∠BAC =55°，在Rt △BAH 中，AB =50cm ，∴BH =AB ⋅sin55°≈50×0.82=41cm ，∴BC =2BH =82cm ，∴B ，C 两点间的距离大约是82cm ，故选：C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．4(2022·湖北十堰·中考真题)如图，某零件的外径为10cm ，用一个交叉卡钳(两条尺长AC 和BD 相等)可测量零件的内孔直径AB ．如果OA ：OC =OB ：OD =3，且量得CD =3cm ，则零件的厚度x 为()A.0.3cmB.0.5cmC.0.7cmD.1cm【答案】B【分析】求出△AOB 和△COD 相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB ，再根据外径的长度解答．【详解】解：∵OA ：OC =OB ：OD =3，∠AOB =∠COD ，∴△AOB ∽△COD ，∴AB ：CD =3，∴AB ：3=3，∴AB =9(cm )，∵外径为10cm ，∴19+2x =10，∴x =0.5(cm )．故选：B ．【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出AB 的长．5(2022·湖南怀化·中考真题)如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若S △ADE =2，则S △ABC =．【答案】8【分析】根据三角形中位线定理求得DE ∥BC ，DE BC=12，从而求得△ADE ∽△ABC ，然后利用相似三角形的性质求解．【详解】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则DE 为中位线，所以DE ∥BC ，DE BC =12所以△ADE ∽△ABC ∴S △ADE S △ABC =DE BC2=14∵S △ADE =2，∴S △ABC =8故答案为：8．【点睛】本题考查中位线及平行线性质，本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线及平行线性质等知识点的掌握．6(2023·广东梅州·九年级统考期末)如图，在△ABC 中，点F 、G 在BC 上，点E 、H 分别在AB 、AC 上，四边形EFGH 是矩形，EH =2EF ，AD 是△ABC 的高，BC =15，AD =5，那么EH 的长为．【答案】6【分析】通过四边形EFGH 为矩形推出EH ∥BC ，因此△AEH 与△ABC 两个三角形相似，将AM 视为△AEH 的高，可得出AM AD=EHBC ，再将数据代入即可得出答案．【详解】解：设AD 与EH 交于点M ．∵四边形EFGH 是矩形，∴EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ABC ，∵AM 和AD 分别是△AEH 和△ABC 的高，∴AM AD=EHBC ,DM =EF ，∴AM =AD -DM =AD -EF =5-EF ，∵EH =2EF ，代入可得：5-EF 5=2EF15，解得EF =3，∴EH =2×3=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键．7(2023·广东深圳·校考三模)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =6，D 是AB 上一点，点E 在BC 上，连接CD ，AE 交于点F ，若∠CFE =45°，BD =2AD ，则CE =．【答案】2【分析】过D 作DH 垂直AC 于H 点，过D 作DG ∥AE 交BC 于G 点，先利用解直角三角形求出CD 的长，其次利用△CDG ∽△CBD ，求出CG 的长，得出BG 的长，最后利用△BDG ∽△BAE ，求出BE 的长，最后得出答案．【详解】解：如图：过D 作DH 垂直AC 于H 点，过D 作DG ∥AE 交BC 于G 点，∵在Rt △ABC 中，AC =BC =6，∴AB =AC 2+BC 2=62，又∵BD =2AD ，∴AD =22，∴在等腰直角三角形AHD 中，AH =DH =2，∴CH =6-2=4，在Rt △CHD 中，CD =CH 2+DH 2=25，∵DG ∥AE ，∴∠CFE =∠CDG =45°，∠B =45°，∴∠CDG =∠B ，又∵∠DCG =∠BCD ，∴△CDG ∽△CBD ，∴CD CB =CGCD ，∴CD 2=CG ⋅CB ，即20=6CG ，∴CG =103，∴BG =BC -CG =6-103=83，又∵DG ∥AE ，∴△BDG ∽△BAE ，又∵BD =2AD ，∴BD BA=BG BE =23，又BG =83，∴BE =BG ×32=4，∴CE =6-4=2，故答案为：2．【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．8(2022·四川宜宾·中考真题)如图，△ABC 中，点E 、F 分别在边AB 、AC 上，∠1=∠2．若BC =4，AF =2，CF =3，则EF =．【答案】85【分析】易证△AEF ∽△ABC ，得EF BC =AF AC 即EF BC =AFAF +CF即可求解．【详解】解：∵∠1=∠2，∠A =∠A ，∴△AEF ∽△ABC ，∴EF BC =AF AC ，即EF BC =AF AF +CF∵BC =4，AF =2，CF =3，∴EF 4=22+3，∴EF =85，故答案为：85．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．9(2022·辽宁阜新·中考真题)如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE=2DE，BD与CE相交于点F，若△DEF的面积是3，则△BCF的面积是．【答案】27【分析】根据矩形ABCD的性质，很容易证明△DEF∽△BCF，相似三角形之比等于对应边比的平方，即可求出△BCF的面积．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC∴∠EDF=∠CBF，∵∠EFD=∠CFB，∠EDF=∠CBF∴△DEF∽△BCF，∵AE=2DE，AD=BC，∴DE：BC=1：3，∴S△DEF：S△BCF=DE2：BC2，即3：S△BCF=1：9，∴S△BCF=27．故答案为：27．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，综合性比较强，学生要灵活应用．掌握相似三角形的面积比是相似比的平方是解题的关键．10(2022·湖北荆门·中考真题)如图，点G为△ABC的重心，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，具有性质：AG：GD=BG：GE=CG：GF=2：1．已知△AFG的面积为3，则△ABC的面积为．【答案】18【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可．【详解】解：∵CG：GF=2：1，△AFG的面积为3，∴△ACG的面积为6，∴△ACF的面积为3+6=9，∵点F为AB的中点，∴△ACF的面积=△BCF的面积，∴△ABC的面积为9+9=18，故答案为：18．【点睛】题目主要考查线段比及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题关键．11(2023·福建·统考中考真题)阅读下列材料，回答问题任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽度，如图1．工具：一把皮尺(测量长度略小于AB)和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离(这两点间的距离不大于皮尺的测量长度)；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3．小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB ，其测量及求解过程如下：测量过程：(ⅰ)在小水池外选点C ，如图4，测得AC =am ，BC =bm ；(ⅱ)分别在AC ，BC ，上测得CM =a 3m ，CN =b3m ；测得MN =cm ．求解过程：由测量知，AC =a ，BC =b ，CM =a 3，CN =b3，∴CM CA=CN CB =13，又∵①，∴△CMN ∽△CAB ，∴MN AB=13．又∵MN =c ，∴AB =②m ．故小水池的最大宽度为m ．(1)补全小明求解过程中①②所缺的内容；(2)小明求得AB 用到的几何知识是；(3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB ．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB ，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母a ，b ，c ⋯表示，角度用α，β，γ⋯表示；测量次数不超过4次(测量的几何量能求出AB ，且测量的次数最少，才能得满分)．【答案】(1)①∠C =∠C ；②3c (2)相似三角形的判定与性质(3)最大宽度为a cos α+a sin αtan βm ，见解析【分析】(1)根据相似三角形的判定和性质求解即可；(2)根据相似三角形的判定和性质进行回答即可；(3)测量过程：在小水池外选点C ，用测角仪在点B 处测得∠ABC =α，在点A 处测得∠BAC =β；用皮尺测得BC =am ；求解过程：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，根据锐角三角函数的定义推得BD =a cos α，CD =a sin α，AD =a sin αtan β，根据AB =BD +AD ，即可求得．【详解】(1)∵AC =a ，BC =b ，CM =a 3，CN =b 3，∴CM CA =CN CB =13，又∵∠C =∠C ，∴△CMN ∽△CAB ，∴MN AB=13．又∵MN =c ，∴AB =3c m ．故小水池的最大宽度为3cm ．(2)根据相似三角形的判定和性质求得AB =3MN =3c ，故答案为：相似三角形的判定与性质．(3)测量过程：(ⅰ)在小水池外选点C ，如图，用测角仪在点B 处测得∠ABC =α，在点A 处测得∠BAC =β；(ⅱ)用皮尺测得BC =am ．求解过程：由测量知，在△ABC 中，∠ABC =α，∠BAC =β，BC =a ．过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ．在Rt △CBD 中，cos ∠CBD =BDBC，即cos α=BD a ，所以BD =a cos α．同理，CD =a sin α．在Rt △ACD 中，tan ∠CAD =CDAD，即tan β=a sin αAD，所以AD =a sin αtan β．所以AB =BD +AD =a cos α+a sin αtan βm ．故小水池的最大宽度为a cos α+a sin αtan βm ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立数学模型是解题的关键．12(2023秋·山西运城·九年级统考期末)综合与实践问题情境：如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，点D 是AC 上一点，将△BCD 沿直线BD 折叠，点C 落在AB 上的点E ，连接DE ．独立思考(1)如图1，求tan ∠DBC 的值；问题拓展如图2，点F 是图1中AB 上一动点，连接CF ，交BD 于点G ．(2)当点F 是AB 的中点时，求证：DG BG=49；(3)当点G 是BD 的中点时，请你直接写出AFBF 的值．【答案】(1)13；(2)见解析；(3)94【分析】(1)由折叠性质可知DE =CD ，利用等面积求出CD 长即可；(2)添加辅助线构造全等三角形和相似三角形，利用性质即可证明；(3)作平行线构造全等三角形和相似三角形，利用性质即可求解．【详解】解：(1)方法一：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =AC 2+BC 2=32+42=5，由折叠可知：DC =DE ，∵S △ABC =S △ABD +S △BCD ，∴12BC ·AC =12BC ·CD +12AB ·DE ，∴12×3×4=12×4CD +12×5DE ，∴CD =43，在Rt △BCD 中，∠C =90°，tan ∠DBC =CD BC=434=13，方法二：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =AC 2+BC 2=32+42=5，由折叠可知：DC =DE ，BC =BE ，∠C =∠DEB =90°，∴AE =AB -BE =5-4=1，∵∠C =∠DEA =90°，∠A =∠A ，∴△ABC ∽△ADE ，∴AE AC=DE BC ，∴13=DE 4，∴DE =43，∴CD =DE =43，在Rt △BCD 中，∠C =90°，∴tan ∠DBC =CD BC=434=13，方法三：在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =AC 2+BC 2=32+42=5，由折叠可知：DC =DE ，BC =BE ．∠C =∠DEB =90°，∴AE =AB -BE =5-4=1，在Rt △ABC 中，∠C =90°，tan A =BC AC ，在Rt △ADE 中，∠AED =90°，tan A =DEAE，∴BC AC =DE AE，∴43=DE 1∴DE =43，∴CD =DE =43，在Rt △BCD 中，∠C =90°，∴tan ∠DBC =CD BC =434=13，(2)方法一：延长CF 到点M ，使FM =FC ，连接BM ，∵FA =FB ，∠BFM =∠AFC ，∴△BFM ≌△AFC SAS ．∴AC =BM ，∠M =∠ACF ，∴BM ∥AC ，∴∠MBG =∠CDG ，∴△MBG ∽△CDG ，∴DG BG =CD BM ，∴DG BG=433=49，方法二：过点B 作BM ∥AC 交CF 的延长线于点M ，∴∠MBF =∠A ，∠M =∠ACF ，∠MBG =∠CDG ，又∵FA =FB ，∴△BFM ≌△AFC AAS ，∴AC =BM ，∠M =∠ACF ，∴△MBG ∽△CDG ，∴DG BG =CD BM ，∴DG BG=433=49．方法三：作GM ⊥BC 于点M ，∴∠GMB =∠DCB =90°，∴GM ∥DC ∴DG BG =CD BM ∵∠ACB =90°，FA =FB ．∴FB =FC ，∴∠FBC =∠FCB ，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠ABC =AC BC =34，∴tan ∠GCM =tan ∠ABC =34设GM =a ，在Rt △GMC 中，∠GMC =90°，tan ∠GCM =GM CM =34．∴CM =43a ，在Rt △GMB 中，∠GMB =90°，tan ∠GBM =GM BM =13．∴BM =3a ．∴DG BG=43a 3a =49(3)如图，过B 作BN ∥AC ，交CF 延长线于点N ，∴∠BNG =∠DCG ，△BNF ∽△ACF ，∵G 为BD 中点，∴BG =GD ，∵∠BGN =∠DGC ，∴△BGN ≌△DGC AAS ，∴BN =CD =43，。
相似三角形中的基本模型-半角模型(学生版)
相似三角形中的基本模型--半角模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。
本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型(相似模型)【常见模型及结论】1)半角模型(正方形中的半角相似模型)条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF=45°结论：如图1，△AMN∽△AFE且AFAM=AEAN=EFMN=2．(思路提示：∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE)；图1图2结论：如图2，△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA；结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且AFAM=ACAB=2；图3图4结论：如图4，△BME∽△AMN∽△DFN.2)半角模型(特殊三角形中的半角相似模型)(1)含45°半角模型图1图2条件：如图1，已知∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=∠DAE=45°；结论：①△ABE∽△DAE∽△DCA；②ABBE=ADAE=CDAC；③AB⋅AC=BE⋅CD(AB2=BE⋅CD)(2)含60°半角模型条件：如图1，已知∠BAC=120°，∠ADE=∠DAE=60°；结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②ADBD=CEAE=ACAB；③AD⋅AE=BD⋅CE(DE2=BD⋅CE)1(2023·山东济南·九年级期中)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M，N．下列结论：①AB2=BN⋅DM；②AF平分∠DFE；③AM⋅AE=AN⋅AF；④BE+DF=2MN．其中正确的结论是()A.①②③④B.①②③C.①③D.①②2(2023·山东滨州·统考中考模拟)如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD 上，若AE=5，∠EAF=45°，则AF的长为．3(2023·福建龙岩·统考一模)如图，∠ACB=90°,AC=BC,∠DCE=45°，如果AD=3,BE=4，则BC 的长是( )．A.5B.52C.62D.74(2023·广东·九年级专题练习)如图，ΔABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点D为BC边上的点，点E为线段CD上一点，且CE=1，AB=23，∠DAE=60°，则DE的长为．5(2023·辽宁沈阳·统考二模)在菱形ABCD中，∠B=60°．点E，F分别在边BC，CD上，且BE= CF．连接AE，AF．(1)如图1，连接EF，求证：△AEF是等边三角形；(2)AG平分∠EAF交BC于点G．①如图2，AG交EF于点M，点N是BC的中点，当BE=4时，求MN的长．②如图3，O是AC的中点，点H是线段AG上一动点(点H与点A，点G不重合)．当AB=12，BE=4时，是否存在直线OH将△ACE分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3．若存在，请直接写出AHAG的值；若不存在，请说明理由．6(2023山东九年级期中)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点(不与点B，C，D重合)，AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变．(1)求证：AFAM =22；(2)求证：AF⊥FM；(3)请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．7(2022·广东深圳·统考二模)【教材呈现】(1)如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，点A为公共顶点，∠BAC=∠G=90°，若△ABC固定不动，将△AFG绕点A旋转，边AF，AG与边BC分别交于点D，E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)，则结论BE⋅CD= AB2是否成立(填“成立”或“不成立”)；【类比引申】(2)如图2，在正方形ABCD中，∠EAF为∠BAD内的一个动角，两边分别与BD，BC交于点E，F，且满足∠EAF=∠ADB，求证：△ADE∽△ACF；【拓展延伸】(3)如图3，菱形ABCD的边长为12cm，∠BAD=120°，∠EAF的两边分别与BD，BC相交于点E，F，且满足∠EAF=∠ADB，若BF=9cm，则线段DE的长为cm．课后专项训练1(2023·广东深圳·九年级校考阶段练习)如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，AE、AF分别交BD于点M，N，连接CN、EN，且CN=EN．下列结论：①AN=EN，AN⊥EN；②BE +DF=EF；③∠DFE=2∠AMN；④EF2=2BM2+2DN2．其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.12(2022·广东深圳·统考一模)如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，F在CD上，CF=2DF，连接AE，AF与对角线BD交于点M，N，连接MF，EN．给出结论：①∠EAF=45°；②AN⊥EN；③tan∠AMN=3；④DN:MN:BM=2:5:3．其中正确的是()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④3如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到△AB C ，AB 、AC 分别交对角线BD于点E、F，若AE=4，则EF⋅ED的值为()A.4B.6C.8D.164如图，菱形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD边上的动点，BE=AF，∠BAD=120°，则下列结论：①ΔBEC≌ΔAFC；②ΔECF为等边三角形；③∠AGE=∠AFC；④若AF=1，则GFGE=12．其中正确个数为()A.4B.3C.2D.15(2023·浙江绍兴·校联考三模)矩形ABCD中，AB=6，AD=12，连接BD，E，F分别在边BC，CD上，连接AE ，AF 分别交BD 于点M ，N ，若∠EAF =45°，BE =3，则DN 的长为．6(2023·成都市·九年级专题练习)如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90°后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论：①△AED ≌△AEF ；②AE BE =AD CD ；③△ABC 的面积等于四边形AFBD 的面积；④BE 2+DC 2=DE 2；⑤BE =EF -DC ；其中正确的选项是(填序号)7(2023·上海宝山·校考一模)如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 在边BC 上，∠DAE =∠B =30°，且AD AE=32，那么DEBC 的值是．8(2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中)通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的.下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E ，F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，∠EAF =45°，连接EF ，则EF =BE +DF ，试说明理由．(1)思路梳理∵AB =CD ，∴把△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，可使AB 与AD 重合.∵∠ADC =∠B =90°，∠FDG =180°，∴点F ，D ，G 共线.根据(从“SSS ，ASA ，AAS ，SAS ”中选择填写)，易证△AFG ≌，得EF =BE +DF ．(2)类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°.若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系时，仍有EF=BE+DF．(3)联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°.猜想BD，DE，EC 应满足的等量关系，并写出推理过程．(4)思维深化如图4，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=AC，点D，E均在直线BC上，点D在点E的左边，且∠DAE= 30°，当AB=4，BD=1时，直接写出CE的长．9(2023·陕西西安·九年级校考期中)问题研究，如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D、E为底边BC 上的两个动点(不与B、C重合)，且∠DAE=∠B．(1)请在图中找出一个与△ABE相似的三角形，这个三角形是；(2)若∠BAC=90°，分别过点D、E作AB、AC的垂线，垂足分别为F、G，且DF、EG的反向延长线交于点M，若AB=1，求四边形AFMG的面积；问题解决(3)如图所示，有一个矩形仓库ABCD，其中AB=40米，AD=30米，现计划在仓库的内部的E、F两处分别安装监控摄像头，其中点E在边BC上，点F在边DC上．设计要求∠EAF=45°且CE=CF，则CE的长应为多少米？10(2023·陕西汉中·九年级统考期末)如图，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，点D为BC边上一点．(1)如图1，若AD=AM，∠DAM=120°．①求证：BD=CM；②若∠CMD=90°，求BDCD的值．(2)如图2，点E为线段CD上一点，且CE=4，AB=63，∠DAE=60°，求DE的长．11(2023·辽宁沈阳·九年级统考期末)【教材呈现】(1)如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠G=90°，BC=6，若△ABC固定不动，将△AFG绕点A旋转，边AF、AG与边BC分别交于点D，E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)①求证：AE2=DE•BE；②求BE•CD的值；【拓展探究】(2)如图2，在△ABC中，∠C=90°，点D，E在边BC上，∠B=∠DAE=30°，且AD=34 AE，请直接写出DEBC的值．12(2022秋·广东·九年级深圳市福田区北环中学校考期中)如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN．∠MAN=45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN=MN．【实践探究】(1)在图①条件下，若CN =6，CM =8，则正方形ABCD 的边长是．(2)如图②，点M 、N 分别在边CD 、AB 上，且BN =DM ．点E 、F 分别在BM 、DN 上，∠EAF =45°，连接EF ，猜想三条线段EF 、BE 、DF 之间满足的数量关系，并说明理由．(3)【拓展应用】如图③，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，点M 、N 分别在边DC 、BC 上，连接AM ，AN ，已知∠MAN =45°，BN =2，求DM 的长．13(2023春·江苏·八年级专题练习)问题背景：如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF =45°，求证：EF =BE +DF ．洋洋同学给出了部分证明过程，请你接着完成剩余的证明过程．证明：延长FD 到点P 使DP =BE ，连接AP ，∵正方形ABCD ，∴AB =AD ，∠ADP =∠ABE =90°，在 Rt △ABE 和Rt △ADP 中，AB =AD∠ABE =∠ADPBE =DP∴Rt △ABE ≌Rt △ADP (SAS )迁移应用：如图2，在正方形ABCD 中，QA 、QB 交CD 于点G 、H ，若∠AQB =45°，CH =3，GH =1，求AG的长．联系拓展：如图3，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，∠EAF =45°，若DF :AD :AB =1:2:4，探究BE 与EC 的数量关系，并给出证明．14(2023·浙江杭州·九年级期中)已知正方形ABCD 的边长为4，一个以点A 为顶点的45°角绕点A 旋转，角的两边分别与边BC 、DC 的延长线交于点E 、F ，连接EF ．设CE =a ,CF =b ．(1)如图1，当∠EAF 被对角线AC 平分时，求a 、b 的值；(2)当△AEF 是直角三角形时，求a 、b 的值；(3)如图3，探索∠EAF 绕点A 旋转的过程中，△CEF 的面积是否发生变化？请说明理由．15(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD 中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C 重合，绕点C 旋转三角尺时，45°角的两边CM ，CN 始终与正方形的边AD ，AB 所在直线分别相交于点M ，N ，连接MN ，可得△CMN ．【探究一】如图②，把△CDM 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBH ，同时得到点H 在直线AB 上．求证：∠CNM =∠CNH ；【探究二】在图②中，连接BD ，分别交CM ，CN 于点E ，F ．求证：△CEF ∽△CNM ；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD 与三角尺45°角两边CM ，CN 分别交于点E ，F ．连接AC 交BD 于点O ，求EFNM的值．。
2020中考数学总复习：相似基本模型 解题技巧总结
s.
图T5-5
[答案] 0.8或2
[解析]①设经过 t s 后,△PBQ∽△ABC.根据已知条件可得 AP=t,BQ=2t.∵△PBQ∽
△ABC,∴������������������������
=
������������ ������������
,即44-������
=
2������ 8
,∴t=2(s).②设经过
相似基本模型
相似三角形是几何中重要的证明模型之一,是全等三角形的推广,分析图 形间的关系离不开数量的计算.相似和勾股是产生等式的主要依据(其他依据 还有面积法,三角函数等),因此要掌握相似三角形的基本图形,体会其各种演变 和联系.
类型一 8字型
有一组对顶角,此时需要从已知条件中、图中隐含条件或通过证明得到另 一组角相等.根据对应关系不同,可将这一类型分为下面两种常见图形:
������△ ������������������
������������ ������������
2=14.
∵S△ ACD=1,∴S△ ABC=4,
图T5-8
∴S△ BCD=S△ ABC-S△ ACD=3.
6.如图 T5-9,已知△ABC 中,P 是 AC 上一点,则下列条件中不能判定△ABP∽△ACB
① 8字型 (AB∥CD,则△AOB∽△DOC)
②
倒8字型 (AB,CD不平行,∠A=∠C或 ∠B=∠D,则△AOB∽△COD)
图T5-1
1.[2019·镇江模拟]如图 T5-2,D,E 分别为△ABC [答案] 6
的边 BA,CA 延长线上的点,且 DE∥BC.如果
������������ ������������
图T5-2
2020年数学中考 专题复习 万能解题模型(四) 全等三角形中常见基本模型
万能解题模型(四)全等三角形中常见基本模型前言：“一学就会，一考就废？”，正是因为考试后缺少了这个环节从小学到初中，学生们经历了无数次考试。
通过考试可以检测同学们对知识的理解、掌握情况，提高应试能力。
但对待考试，部分同学只关注自己的分数，而对试卷的分析和总结缺乏重视。
结果常常出现一些题在考试中屡次出现，但却一错再错的情况。
这样，学生们无法从考试中获益，考试也就失去了它的重要意义。
做好试卷分析和总结是十分有必要的。
那么，怎样做好试卷分析呢？我认为，应从下面两点做起：一．失分的原因主要有如下四方面：（1）考试心理：心理紧张，马虎大意；（2）知识结构：知识面窄，基础不扎实；（3）自身能力：审题不清，读不懂题意；（4）解题基本功：答题规范性差。
只有查出、找准原因，才能对症下药，从弱项方面加强训练，以提高成绩。
二．“扭转乾坤”的方法做题的过程中对每一道题要试图问如下几个问题？（1）怎样做出来的？——想解题方法；（2）为什么这样做？——思考解题原理；（3）怎样想到这种方法？——想解题的基本思路；（4）题目体现什么样的思想？——揭示本质，挖掘规律；（5）是否可将题目变化？——一题多变，拓宽思路；（6）题目是否有创新解法？——创新、求异思维。
转变，让我们从一轮复习开始。
按照上面两点认真完成后面练习题。
希望每一位同学经过一轮复习后，能够扭转“一考就废”的局面，最后决胜中考。
基本模型1平移模型如图，可看成是由对应相等的边在同一边上移动所构成的，故对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和差证得．1．(2019·南充改编)如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC.若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数．解：∵点O是线段AB的中点，∴AO＝BO.∵OD∥BC，∴∠AOD＝∠OBC.在△AOD和△OBC中，⎩⎪⎨⎪⎧AO＝BO，∠AOD＝∠OBC，OD＝BC，∴△AOD≌△OBC(SAS)．∴∠ADO＝∠OCB＝35°.又∵OD∥BC，∴∠DOC＝∠OCB＝35°.基本模型2对称模型如图，图形沿着某一条直线折叠，这条直线两边的部分能够完全重合，重合的顶点即为全等三角形的对应点．2．如图，AB＝AC，D，E分别为AC，AB的中点，连接BD，CE相交于点F.求证：∠B＝∠C.证明：∵AB＝AC，D，E分别为AC，AB的中点，∴AE＝AD.在△ABD和△ACE中，⎩⎪⎨⎪⎧AD＝AE，∠A＝∠A，AB＝AC，∴△ABD≌△ACE(SAS)．∴∠B＝∠C.基本模型3旋转模型此模型可看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的，旋转后的图形与原图形之间存在两种情况： (1)无重叠：两三角形有公共顶点，无重叠部分．(2)有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角．3．(2018·黑龙江)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，AC ＝5，∠DAB ＝∠DCB ＝90°，则四边形ABCD 的面积为(B)A ．15B ．12.5C ．14.5D ．174．(2018·鞍山)如图，在等边△ABC 中，AE ＝CD ，CE 与BD 相交于点G ，EF ⊥BD 于点F.若EF ＝2，则EG 的长为(B)A.334B.433C.332D ．45．(2018·东营)如图，点E 在△DBC 的边DB 上，点A 在△DBC 内部，∠DAE ＝∠BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC.给出下列结论：①BD ＝CE ；②∠ABD ＋∠ECB ＝45°；③BD ⊥CE ；④BE 2＝2(AD 2＋AB 2)－CD 2.其中正确的是(A)A ．①②③④B ．②④C ．①②③D ．①③④6．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝4，E 是AD 的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点E 重合，将三角板绕点E 旋转，三角板的两直角边分别交AB ，BC(或它们的延长线)于点M ，N ，设∠AEM ＝α(0°＜α＜90°)，给出下列四个结论：①AM ＝CN ；②∠AME ＝∠BNE ；③BN －AM ＝2；④S △EMN ＝2cos 2α.上述结论中正确的个数是(C)A ．1B ．2C ．3D ．47．(2018·滨州)已知在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D 为BC 的中点． (1)如图1，若点E ，F 分别为AB ，AC 上的点，且DE ⊥DF ，求证：BE ＝AF ；(2)若点E ，F 分别为AB ，CA 延长线上的点，且DE ⊥DF ，则BE ＝AF 吗？请利用图2说明理由．解：(1)证明：连接AD. ∵∠A ＝90°，AB ＝AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形，∠EBD ＝45°. ∵点D 为BC 的中点，∴AD ＝12BC ＝BD ，∠FAD ＝45°.∵∠BDE ＋∠EDA ＝90°，∠EDA ＋∠ADF ＝90°，∴∠BDE ＝∠ADF.在△BDE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠FAD ，BD ＝AD ，∠BDE ＝∠ADF ，∴△BDE ≌△ADF(ASA)．∴BE ＝AF.(2)BE ＝AF ，理由如下：连接AD ，∵∠ABD ＝∠BAD ＝45°， ∴∠EBD ＝∠FAD ＝135°. ∵∠EDB ＋∠BDF ＝90°，∠BDF ＋∠FDA ＝90°， ∴∠EDB ＝∠FDA.在△EDB 和△FDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠FAD ，BD ＝AD ，∠EDB ＝∠FDA ，∴△EDB ≌△FDA(ASA)．∴BE ＝AF.基本模型4 三垂直模型证明过程中多数用到“同(等)角的余角相等”，从而可证得相等的角．8．如图，矩形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 于点E ，将一块三角板的直角顶点放在E 点处，并使它的一条直角边过点A ，另一条直角边交CD 于点M.若点M 为CD 中点，BC ＝6，则BE 的长为(A)A ．2 B.73 C.83D ．39．(2018·南京)如图，AB ⊥CD ，且AB ＝CD.E ，F 是AD 上两点，CE ⊥AD ，BF ⊥AD.若CE ＝a ，BF ＝b ，EF ＝c ，则AD 的长为(D)A ．a ＋cB ．b ＋cC ．a －b ＋cD ．a ＋b －c10．(2019·长沙)如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，CD 上，且DE ＝CF ，AF 与BE 相交于点G. (1)求证：BE ＝AF ；(2)若AB ＝4，DE ＝1，求AG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAE ＝∠ADF ＝90°，AB ＝AD ＝CD. ∵DE ＝CF ，∴AE ＝DF. 在△BAE 和△ADF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DA ，∠BAE ＝∠ADF ，AE ＝DF ，∴△BAE ≌△ADF(SAS)．∴BE ＝AF. (2)由(1)得△BAE ≌△ADF ， ∴∠EBA ＝∠FAD.∴∠GAE ＋∠AEG ＝90°.∴∠AGE ＝90°. ∵AB ＝4，DE ＝1，∴AE ＝3.∴在Rt △ABE 中，BE ＝AB 2＋AE 2＝5.∵S △ABE ＝12AB·AE ＝12BE·AG ，∴AG ＝AB·AE BE ＝125.。
专题 相似三角形中的对角互补模型(老师版)
专题09相似三角形中的基本模型-对角互补模型相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。
本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.对角互补模型（相似模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。
该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似.【常见模型及结论】（1）对角互补相似1条件：如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝∠EOF ＝90°，点O 是AB 的中点，辅助线：过点O 作OD ⊥AC ，垂足为D ，过点O 作OH ⊥BC ，垂足为H ，结论：①△ODE ∼△OHF ；②OE BC OF AC =（思路提示：OE OD BH BCOF OH OH AC===）.（2）对角互补相似2条件：如图，已知∠AOB ＝∠DCE ＝90°，∠BOC ＝α.辅助线：作法1：如图1，过点C 作CF ⊥OA ，垂足为F ，过点C 作CG ⊥OB ，垂足为G ；结论：①△ECG ∼△DCF ；②CE ＝CD·tan α.（思路提示：CE CG CD CF =，CF =OG ，在Rt △COG 中，CGtan OG α=）辅助线：作法2：如图2，过点C 作CF ⊥OC ，交OB 于F ；结论：①△CFE ∼△COD ；②CE ＝CD·tan α.（思路提示：CE CF tan CD CO α==，在Rt △OCF 中，CFtan OCα=）（3）对角互补相似3条件：已知如图，四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°辅助线：过点D 作DE ⊥BA ，垂足为E ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ；结论：①△DAE ∼△DCF ；②ABCD 四点共圆。
专题02 相似三角形重要模型-母子型(共边共角模型)(解析版)
专题02 相似三角形重要模型-母子型（共边共角模型）相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。
母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1 图2 图31）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；例1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在ABC V 中，D 是AB 边上的点，B ACD Ð=Ð，:1:2AC AB =，则ADC V 与ACB △的周长比是（ ）A．B ．1:2C ．1:3D ．1:4【答案】B 【分析】先证明△ACD ∽△ABC ，即有12AC AD CD AB AC BC ===，则可得12AC AD CD AB AC BC ++=++，问题得解．【详解】∵∠B =∠ACD ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD CD AB AC BC ==，∵12AC AB =，∴12AC AD CD AB AC BC ===，∴12AC AD CD AC AD CD AB AC BC AB AC BC ++====++，∴△ADC 与△ACB 的周长比1:2，故选：B ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD ∽△ABC 是解答本题的关键．例2．（2023·广东·九年级课时练习）如图，在 Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，已知AD ＝94,55BD =，那么BC ＝_______．【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键．例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．证明：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．例4．（2022·浙江·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且ADAC＝ACAB．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．例5．（2022.浙江中考模拟）如图，在V ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3，V ABC∽V ACD，V ABC∽V CBD，V ACD∽V CBD；（2）125；（3）存在，(2740，32)，(98，910)【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到1 2AB•CD＝12AC•BC，即可求出CD的长．（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）如图2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC3．∵△ABC的面积＝12AB•CD＝12AC•BC，∴CD＝AC BCAB×＝125．（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝3，OC＝125，∴OB＝95．分两种情况：①当∠BQP ＝90°时，如图2①，此时△PQB ∽△ACB ，∴BP AB ＝BQ BC ，∴353t t -=，解得t ＝98，即98BQ CP ==，∴915388BP BC CP =-=-=．在△BPQ 中，由勾股定理，得32PQ ===，∴点P 的坐标为273(,)402；②当∠BPQ ＝90°时，如图2②，此时△QPB ∽△ACB ，∴BP BQ BC AB =，∴335t t -=，解得t ＝158，即15159,3888BQ cP BP BC CP ===-=-=，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ．∵△QPB ∽△ACB，∴PE BQ COAB ×=，即1581255PE =，∴PE ＝910．在△BPE 中，2740BE ===，∴92795408OE OB BE =-=-=，∴点P 的坐标为99(,)810，综上可得，点P 的坐标为(2740，32)；(98，910)．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．例6．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果DEF V 与ABC V 互为母子三角形，则DE AB的值可能为（ ）A ．2 B ．12 C ．2或12（2）已知：如图1，ABC V 中，AD 是BAC Ð的角平分线，2,AB AD ADE B =Ð=Ð．求证：ABD △与ADE V 互为母子三角形．（3）如图2，ABC V 中，AD 是中线，过射线CA 上点E 作//EG BC ，交射线DA 于点G ，连结BE ，射线BE 与射线DA 交于点F ，若AGE V 与ADC V 互为母子三角形．求AG GF 的值．AG DG \=，DBF △．A ．ABP CÐ=ÐB ．APB Ð【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可．2.（2023成都市九年级期中）如图，矩形ABCD 中，F 是DC 上一点，BF ⊥AC ，垂足为E ，AD AB =12，△CEF 的面积为S 1，△AEB 的面积为S 2，则S 1S 2的值等于（ ）A ．116B ．15C ．14D ．125【解答】解：∵AD AB =12，∴设AD ＝BC ＝a ，则AB ＝CD ＝2a ，∴AC =，∵BF ⊥AC ，∴△CBE ∽△CAB ，△AEB ∽△ABC ，∴BC 2＝CE •CA ，AB 2＝AE •AC∴a 2＝CE ，4a 2＝AE ，∴CE AE =，∴CE AE =14，∵△CEF ∽△AEB ，∴S 1S 2=（CE AE）2=116，故选：A ．3.（2023浙江九年级期中）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高．如果BD ＝4，CD ＝6，那么BC ：AC 是（ ）A ．3：2B ．2：3C ．3D ．2【答案】B 【解答】解：∵∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，∴∠ADC ＝∠CDB ＝∠ACB ＝90°，∵∠A +∠B ＝90°，∠A +∠ACD ＝90°，∴∠ACD ＝∠B ，∴△ACD ∽△CBD ，∴AC=CD =6=3∴BC =2，故选：B ．【答案】12【分析】过点B 作BM AC ∥交CG 的延长线于点96ACG BCG S AG AC S GB BC ===V V 32=，即可求解．【详解】解：如图所示，过点B 作BM AC ∥5．（2023•宜宾）如图，已知直角△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AC ＝4，BC ＝3，则AD ＝ ．【分析】根据勾股定理求出AB ，根据射影定理列式计算即可．【解答】解：在Rt △ABC 中，AB ＝＝5，由射影定理得，AC 2＝AD •AB ，∴AD ＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是射影定理、勾股定理，在直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．6．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在ABC V 与A B C ¢¢¢V 中，点D 、D ¢分别在边BC 、B C¢¢上，且ACD A C D ¢¢¢∽△△，若___________，则ABDA BD¢¢¢△∽△．请从①BD B D CD C D ¢¢=¢¢；②AB A B CD C D ¢¢=¢¢；③BAD B A D ¢¢¢Ð=Ð这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．【答案】4【分析】根据条件证明ACD ~V 【详解】解：ADC ACB Ð=ÐQ AC AD AB AC\=，即2AC AB AD =×，8.（2022•惠山区九年级专项）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90o ，AD ⊥BC 于D ．（1）图中有多少对相似三角形？（2）求证：AB 2=BD g BC ，AC 2=CD g CB ，AD 2=BD g CD ；（3）求证：AB g AC =BC g AD【解析】（1）三对．分别是：△ABD ∽△CBA ；△ACD ∽△BCA ；△ABD ∽△CADD CB A（2）∵△ABD ∽△CBA ，∴AB BD BC AB=．∴AB 2=BD g BC ，∵△ACD ∽△BCA ∴AC CD CB AC =．∴AC 2=CD g CB ，∵△ABD ∽△CAD ，∴AD BD CD AD =，∴AD 2=BC g CD （3）1122ABC S AB AC BC AD ==V g g ，∴AB g AC =BC g AD【答案】(1)是，证明见解析(2)125【分析】（1）由已知可得AC AB AD AC=，从而ACD ABC △∽△，（2）由D 是ABC V 的“理想点”，当D 在AB 上时，证明CD 【详解】（1）解：点D 是ABC V 的“理想点”，理由如下：D Q 是ABC V 的“理想点”，当ACD B Ð=Ð时，ACD ÐQ 90CDB \Ð=°，即CD 是【答案】(1)证明见解析(2)15【分析】（1）根据相似三角形的判断方法，两角分别相等的两个三角形相似，证明即可；（2）根据相似三角形的性质，得BC AB2BAC B BAD ÐÐÐ=\=Q ，ACD BCA ACD ÐÐ=\~Q V ，AC DC AD BC AC AB\==设DC x =，则AD BD a ==-任务：(1)上述材料中的证法似”）．(2)请补全证法2剩余的部分．ABD D \Ð=Ð，CAB Ð\2CAB ABC ÐÐ=Q ，ACB BCD Ð=ÐQ ，AC BC BC CD \=，b a \=【点睛】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．12．（2022·湖北武汉·一模）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 为AB 上一点．（1）如图1，若CD ⊥AB ，求证：AC 2=AD ·AB ；（2）如图2，若AC =BC ，EF ⊥CD 交CD 于H ，交AC 于F ，且49FH HE =，求AD BD的值；（3）如图3，若AC =BC ，点H 在CD 上，∠AHD =45°，CH =3DH ，则tan ∠ACH 的值为________．13．（2023·安徽合肥·九年级期中）ABC V 中，90ABC Ð=°，BD AC ^，点E 为BD 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ，且有AF CF =，过F 点作FH AC ^于点H ．（1）求证：ADE CDB V V ∽；（2）求证：=2AE EF ；（3）若FH BC 的长．14．如图1，在ABC V 中，在BC 边上取一点P ，在AC 边上取一点D ，连AP 、PD ，如果APD △是等腰三角形且ABP △与CDP V 相似，我们称APD △是AC 边上的“等腰邻相似三角形”．（1）如图2，在ABC V 中AB AC =，50B Ð=°，APD △是AB 边上的“等腰邻相似三角形”，且AD DP =，PAC BPD Ð=Ð，请直接写出PAC Ð的度数；（2）如图3，在ABC V 中，2A C Ð=Ð，在AC 边上至少存在一个“等腰邻相似APD △”，请画出一个AC 边上的“等腰邻相似APD △”，并说明理由；（3）如图4，在Rt ABC △中4AB AC ==，APD △是AB 边上的“等腰邻相似三角形”，求出AD 长度的所有可能值．【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）28-【分析】（1）只要证明∠A =∠PAB 即可解决问题．（2）如图3中，作∠BAC 的平分线AP 交BC 于P ，作PD ∥AB 交AC 于D ，只要证明DP =DA ，即可解决问题．（3）分三种情形讨论①如图3′中，当DA =DP 时．②如图4中，当PA =PD 时．③如图5中，当AP =AD 时．分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图2中，∵AB =AC ，DA =DP ，∴∠B =∠C ，∠DAP =∠DPA ，∵∠PAC =∠BPD ，∴∠APC =∠BDP =∠DAP +∠DPA ，∵∠APC =∠B +∠BAP ，∴∠B =∠PAB =50°，∵∠BAC =180°-50°-50°=80°，∴∠PAC =30°故答案为30°．（2）如图3中，作∠BAC 的平分线AP 交BC 于P ，作PD ∥AB 交AC 于D ，∴∠BAP =∠PAD =∠DPA ，∠CPD =∠B ，∵∠CAB =2∠C ，∴∠PAD =∠C ，∴DP =DA ，∴△APD 是等腰三角形且与△APB 与△CDP 相似．（3）如图3′中，当DA =DP 时，设∠APD =∠DAP =x ，①若∠BPD =∠CAP =90°-x ，∠BDP =∠CPA =2x ，∴90°-x +2x +x =180°，∴x =45°，∴三角形都是等腰直角三角形，∴AD =2，②若∠PDB =∠CAP 时，设∠APD =∠DAP =x ，得到∠PDB =∠CAP =2x ，易知x =30°，设AD =a ，则AP ，∵△BPD ∽△CPA ，∴BD PD AC PA =，即44a -=a 如图4中，当PA =PD 时，易知∠PDB 是钝角，∠CAP 是锐角，∴∠PDB=∠CPA，则△BPD≌△CPA，设AD=a，则BD=4-a，BP=BC-CP=BC-BD（2-a）=-4+a，AC=4，∴a=4，解得：a=8-如图5中，当AP=AD时，设∠APD=∠ADP=x，则∠DAP=180°-2x，易知∠PDB为钝角，∠CAP为锐角，∴∠PDB=∠CPA=180°-x，∠CAP=90°-∠DAP=90°-（180°-2x）=2x-90°，在△APC中，2x-90°+180°-x+45°=180°，解得x=45°，不可能成立．综上所述．AD的长为28-．【点睛】本题考查相似三角形综合题、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．15．（2022•静安区期末）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，且DC∥AE．（1）求证：DE2＝AE•DC；（2）如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．【分析】（1）先证明△ABE∽△AED，可得∠AEB＝∠ADE，再由平行线性质可推出∠ADE＝∠DCE，进而证得△ADE∽△ECD，根据相似三角形性质可证得结论；（2）如图2，过点B作BG⊥AE，运用等腰三角形性质可得G为AE的中点，进而可证得△ADE≌△ECD（SAS），再求得S△ABE＝×AE×BG＝18，根据△ABE∽△AED 且相似比为3：2，可求得S△AED＝S△CDE＝8，由S＝S△ABE+S△AED+S△CDE可求得答案；（3）四边形ABCD由△ABE∽△AED，可求得：DE＝x，进而得出DC＝x2，再利用△ADE∽△ECD，可得：CE＝x，再利用DC∥AE，可得△AEF∽△DCF，进而求得：CF＝EF，再结合题意得出答案．【解答】（1）证明：如图1，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AE2＝AB•AD，∴＝，∴△ABE∽△AED，∴∠AEB＝∠ADE，∵DC∥AE，∴∠AEB＝∠DCE，∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠DCE，∴△ADE∽△ECD，∴＝，∴DE2＝AE•DC；（2）解：如图2，过点B作BG⊥AE，∵BE＝9＝AB，∴△ABE是等腰三角形，∴G为AE的中点，由（1）可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，∵AE2＝AB•AD，AB＝BE＝9，AE＝6，∴AD＝4，DE＝6，CE＝4，AG＝3，∴△ADE≌△ECD（SAS），在Rt△ABG中，BG＝＝＝6，∴S△ABE＝×AE×BG＝×6×6＝18，∵△ABE∽△AED且相似比为3：2，∴S△ABE：S△AED＝9：4，∴S△AED＝S△CDE＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE＝18+8+8＝34；（3）解：如图3，由（1）知：△ABE∽△AED，∴＝，∵BE＝x，AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，AD＝4，∴＝，∴DE＝x，由（1）知：DE2＝AE•DC，∴DC＝x2，∵△ADE∽△ECD，∴＝＝，∴CE＝x，∵DC∥AE，∴△AEF∽△DCF，∴＝＝，∴CF＝EF，∴＝＝＝，∴y＝EF＝CE＝×x＝，∵即，∴3＜x＜9，∴y关于x的函数解析式为y＝，定义域为3＜x＜9．【点评】本题是相似三角形综合题，考查了角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．16．（2022·安徽·校联考三模）在ABC V 中，2ABC ACB Ð=Ð，BD 平分ABC Ð．（1）如图1，若3AB =，5AC =，求AD 的长．（2）如图2，过A 分别作AE AC ^交BC 于E ，AF BD ^于F ．①求证：ABC EAF Ð=Ð；②求BFAC的值．(1)求证：ABE CAD △△≌；(2)求证：AC FB ∥；(3)若点D ，E ，F 在同一条直线上，如图2，求A BB C【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2是中位线，则EG CB ∥，加上第二小题结论就能得到四边形BCEF 是平行四边形，那么BC AD =，然后通过三角形外角的性质，可以证得ADE ACD Ð=Ð，就能证ACD V 和ADE V 是一组子母型相似，然后根据相似比可得最终答案．【详解】（1）解：Q 将ACD V 绕点C 逆时针旋转得到FCE △，FCE ACD \△≌△，CE CD \=，2AC CD =Q ，2AC CE \=，2AE AC CE CE CE CE CD \=-=-==，DC ABQ ∥DCA EAB \Ð=Ð，在ABE V 和CAD V 中，AE CD EAB DCA AB CA =ìïÐ=Ðíï=îQ ，()SAS ABE CAD \△≌△．（2）解：由（1）得BE AD =，ABE CAD Ð=Ð，CEF CDA Q △≌△，FE AD =∴，EFC DAC Ð=Ð，BE FE \=，EFC EBA Ð=Ð，EFB EBF \Ð=Ð，OFB EFB EFC Ð=Ð-ÐQ ，OBF EBF EBA Ð=Ð-Ð，OFB OBF \Ð=Ð，ECF DCA Ð=ÐQ ，OAC OCA \Ð=Ð，180OCA OAC AOC Ð+Ð+Ð=°Q ，180OBF OFB BOF Ð+Ð+Ð=°，又AOC BOF Ð=Ð，OCA OAC OBF OFB \Ð+Ð=Ð+Ð，即22CAO FOB Ð=Ð，（1）求证：2=×；AE FE BEÐ的大小；（2）求AFC。
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模型构建专题：相似三角形中的基本模型
——熟知需要用相似来解决的图形
◆
模型一 “A”字型
1．(2017·湘潭中考)如图，△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比为
________．
第1题图 第2题图
2．如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：____________，使△ABC∽△AED.
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，ADAB＝23，M为BC上一点，AM交DE于N.
(1)若AE＝4，求EC的长；
(2)若M为BC的中点，S△ABC＝36，求S△ADN的值．
◆
模型二 “X”字型
4．(2016·哈尔滨中考)如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相
交于点F，则下列结论一定正确的是( )
A.ADAB＝AEAC B.DFFC＝AEEC C.ADDB＝DEBC D.DFBF＝EFFC
第4题图 第5题图 第6题图
5．(2016·贵港中考)如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，CE平分∠BCD交AB于点E，交BD
于点F，且∠ABC＝60°，AB＝2BC，连接OE.下列结论：①∠ACD＝30°；②S▱ABCD＝AC·BC；③OE∶AC
＝3∶6；④S△OCF＝2S△OEF，其中成立的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，已知AD、BC相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE＝2，EB＝4，FD＝1.5，那么AD＝________．
7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，
交AC于点G.
(1)若FD＝2，EDBC＝13，求线段DC的长；
(2)求证：EF·GB＝BF·GE.
◆
模型三 旋转型
8．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是( )
A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C.ABAD＝ACAE D.ABAD＝BCDE
第8题图 第9题图 第10题图
9．★如图，△ABC≌△DEF(点A、B分别与点D、E对应)，AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC固定不动，
△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动(点E不与B、C重合)，DE始终经过点A，EF与AC边
交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE＝__________．
◆
模型四 “子母”型(大三角形中包含小三角形)
10．(2016·毕节中考)如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝22，AB
＝3，则BD＝________．
11．(2016·云南中考)如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD
的面积为15，那么△ACD的面积为( )
A．15 B．10 C.152 D．5
第11题图 第12题图
◆
模型五 垂直型
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
13．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，E为AB上一点，分别以ED、EC为折痕将两个
角(∠A、∠B)向内折起，点A、B恰好落在CD边上的点F处．若AD＝3，BC＝5，则EF的长是( )
A.15 B．215 C.17 D．217
第13题图 第14题图
14．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝34x－3与x轴、y轴分别交于点A、
B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为________．
15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.
(1)求证：△ACD∽△BFD；
(2)当AD＝BD，AC＝3时，求BF的长．
◆
模型六 一线三等角型
16．(2017·潮阳区模拟)如图，在边长为9的等边△ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则CE的长为
________．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.
(1)求证：AC·CD＝CP·BP；
(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．
参考答案与解析
1．1∶4
2．∠ADE＝∠C(答案不唯一)
3．解：(1)∵DE∥BC，∴AEAC＝ADAB＝23.∵AE＝4，∴AC＝6，∴EC＝6－4＝2.
(2)∵M为BC的中点，∴S△ABM＝12S△ABC＝18.∵DE∥BC，∴△ADN∽△ABM，∴S△ADNS△ABM＝ADAB2＝49，
∴S△ADN＝8.
4．A
5．D 解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝60°，∴∠BCD＝120°.∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE＝60°，∴△CBE是等边三角形，∴BE＝BC＝CE，∠CEB＝60°.∵AB＝2BC，∴AE＝
BE＝BC＝CE，∴∠CAE＝30°，∴∠ACB＝180°－∠CAE－∠ABC＝90°.∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB
＝30°，故①正确；∵AC⊥BC，∴S▱ABCD＝AC·BC，故②正确；在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AB＝2BC，
∴AC＝3BC.∵AO＝OC，AE＝BE，∴OE∥BC，∴OE＝12BC，∴OE∶AC＝12BC∶3BC＝3∶6，故③
正确；∵OE∥BC，∴△OEF∽△BCF，∴CFEF＝BCOE＝2，∴S△OCF∶S△OEF＝CFEF＝2，∴S△OCF＝2S△OEF，故
④正确．故选D.
6．4.5 解析：∵AB∥EF，∴FOAF＝EOEB，则FOEO＝AFEB.又∵EF∥CD，∴FOFD＝EOEC，则FOEO＝FDEC，∴AFEB＝
FDEC，即AF4＝1.5
2
，解得AF＝3，∴AD＝AF＋FD＝3＋1.5＝4.5.
7．(1)解：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴FDFC＝EDBC＝13，∴FC＝3FD＝6，∴DC＝FC－FD＝4.
(2)证明：∵AD∥BC，∴△DEF∽△CBF，△AEG∽△CBG，∴EFBF＝DEBC，AEBC＝GEGB.∵点E是边AD
的中点，∴AE＝DE，∴EFBF＝GEGB，∴EF·GB＝BF·GE.
8．D
9．1或116 解析：∵△ABC≌△DEF，AB＝AC，∴∠AEF＝∠B＝∠C.∵∠AEC＝∠AEF＋∠MEC
＝∠B＋∠BAE，∴∠MEC＝∠EAB.∵∠AEF＝∠B＝∠C，且∠AME＞∠C，∴∠AME＞∠AEF，∴AE≠AM.
当AE＝EM时，则△ABE≌△ECM，∴CE＝AB＝5，∴BE＝BC－EC＝6－5＝1.当AM＝EM时，则∠MAE
＝∠MEA，∴∠MAE＋∠BAE＝∠MEA＋∠CEM，即∠CAB＝∠CEA.又∵∠C＝∠C，∴△CAE∽△CBA，
∴CEAC＝ACCB，∴CE＝AC2CB＝256，∴BE＝6－256＝116，∴BE＝1或116.
10.83
11．D 解析：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△ACD∽△BCA.∵AB＝4，AD＝2，∴S△ACD∶S
△
ABC
＝(AD∶AB)2＝1∶4，∴S△ACD∶S△ABD＝1∶3.∵S△ABD＝15，∴S△ACD＝5.故选D.
12．C 13.A
14.285 解析：根据“垂线段最短”，得PM的最小值就是当PM⊥AB时PM的长．∵直线y＝34x－3
与x轴、y轴分别交于点A、B，∴令x＝0，得y＝－3，∴点B的坐标为(0，－3)，即OB＝3.令y＝0，得
x＝4，∴点A的坐标为(4，0), 即OA＝4，∴PB＝OP＋OB＝4＋3＝7.在Rt△AOB中，根据勾股定理得
AB＝OA2＋OB2＝42＋32＝5.在Rt△PMB与Rt△AOB中，∵∠PBM＝∠ABO，∠PMB＝∠AOB，
∴Rt△PMB∽Rt△AOB，∴PMOA＝PBAB，即PM4＝75，解得PM＝285.
15．(1)证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C＋∠DBF＝90°，∠C
＋∠DAC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，∴△ACD∽△BFD.
(2)解：∵AD＝BD，△ACD∽△BFD，∴ACBF＝ADBD＝1，∴BF＝AC＝3.
16．2
17．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠APD＝∠B，∴∠APD＝∠B＝∠C.∵∠APC＝∠BAP＋
∠B，∠APC＝∠APD＋∠DPC，∴∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴BPCD＝ABCP，∴AB·CD＝
CP·BP.∵AB＝AC，∴AC·CD＝CP·BP.
(2)解：∵PD∥AB，∴∠APD＝∠BAP.∵∠APD＝∠C，∴∠BAP＝∠C.又∵∠B＝∠B，
∴△BAP∽△BCA，∴BABC＝BPBA.∵AB＝10，BC＝12，∴1012＝BP10，∴BP＝253.