华师大版九年级上册数学知识点总结
华师大版九年级数学上册知识总结华师版培训讲学
CD2=AD· BD， AC2=AD· AB， BC2=BD· BA
10.位似 （ 1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这 个点叫做 位似中心 ，这时的相似比又称为位似比。
（ 2）性质：①位似图形的对应边平行或共线。②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比。 只供学习与交流
二次项系数不为 0 这一条件。
若 x1, x2 是一元二次方程 ax 2 bx c 0 a 0 的两个根，则有 x1 x2
b ， x1x 2 c
a
a
常用变形：① x1 2 x2 2 x1 x 2 2 2 x1 x2
11
②
x1 x2
x1 x2 x1 x2
7.一元二次方程的应用
知识点一
列一元二次方程解应用题的一般步骤
a1
x
2
。
知识点三 与市场经济有关的问题 （ 1）每件利润 =销售价 -成本价； （ 3）销售额 =售价×销售量；
---------- 如：营销问题、水电问题等，常用关系式有：
（ 2）利润率 =（销售价—进货价）÷进货价× 100%；
（ 4）总利润 =单个利润×销售数量
第 24 章
图形的相似
1. 比例线段： 对于四条线段 a、 b、c、 d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即
ab (a 0, b 0)
a （ a ＞ 0） 0 （ a =0）； a （ a ＜0）
a
5．二次根式的除法 ---------
b
a (a 0,b 0)
b
6． 最简二次根式： ⑴被开方数中 不含开方开的尽的因数或因式 ；⑵被开方数中 不含分母 ； ⑶分母中 不含根式 。 7．同类二次根式 -------- 化成最简二次根式后，被开方数相同。 8.二次根式的加减 -------- 先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。 9.分母有理化：把分母中的根号化去。
华师大版初中数学九年级上册22.2.4 一元二次方程根的判别式
华师大版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！华师大初中数学和你一起共同进步学业有成！4.一元二次方程根的判别式1．理解并掌握一元二次方程根的判别式，能运用判别式，在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况；(重点、难点) 2．通过一元二次方程根的情况的探究过程，体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想，提高观察、分析、归纳的能力． 一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？二、合作探究探究点一：一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)2x 2＋3x －4＝0； (2)x 2－x ＋＝0； 14(3)x 2－x ＋1＝0.解析：根据根的判别式我们可以知道当b 2－4ac ≥0时，方程才有实数根，而b 2－4ac <0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况． 解：(1)2x 2＋3x －4＝0，a ＝2，b ＝3，c ＝－4，∴b 2－4ac ＝32－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根． (2)x 2－x ＋＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝14.∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×＝0.∴方程1414有两个相等的实数根．(3)x 2－x ＋1＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝1.∴b 2－4ac ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0.∴方程没有实数根． 方法总结：给出一个一元二次方程，不解方程，可由b 2－4ac 的值的符号来判断方程根的情况．当b 2－4ac ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当b 2－4ac ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，一元二次方程无实数根．【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．a >2B ．a <2C ．a <2且a ≠1D ．a <－2解析：由于一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，再由二次项系数不为0知a －1不为0.即4－4(a －1)＞0且a －1≠0，解得a ＜2且a ≠1.选C. 方法总结：若方程有实数根，则b 2－4ac ≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题． 【类型三】 一元二次方程根的判别式与三角形的综合已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三边长，求证：关于x 的方程b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0没有实数根． 解析：欲证一元二次方程没有实数根，只需证明它的判别式Δ<0即可．由a ，b ，c 是三角形三条边的长可知a ，b ，c都是正数．由三角形的三边关系可知a ＋b >c ，a ＋c >b ，b ＋c >a . 证明：∵b 为三角形一边的长，∴b ≠0，∴b 2≠0，∴b 2x 2＋(b 2＋c 2－a 2)x ＋c 2＝0是关于x 的一元二次方程．∴Δ＝(b 2＋c 2－a2)2－4b 2c 2＝(b 2＋c 2－a 2＋2bc )(b 2＋c 2－a 2－2bc )＝[(b ＋c )2－a 2][(b －c )2－a 2]＝(b ＋c＋a)(b＋c－a)(b－c＋a)(b－c－a)＝(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]．∵a，b，c是三角形三条边的长，∴a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c>0，a＋b>c，b＋c>a，a ＋c>b.∴(b＋c)－a>0，(a＋b)－c>0，b－(a ＋c)<0，∴(a＋b＋c)[(b＋c)－a][(a＋b)－c][b－(a＋c)]<0，即Δ<0.∴原方程没有实数根．方法总结：利用根的判别式与三角形的三边关系：常根据判别式得到关于三角形三边的式子，再结合三边关系确定Δ符号．【类型四】利用根的判别式解决存在性问题是否存在这样的非负整数m，使关于x的一元二次方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．解：不存在，理由如下：假设m2x2－(2m－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根，则[－(2m－1)]2－4m2>0，解得m<.∵m为非负整数，∴m＝0.14而当m＝0时，原方程m2x2－(2m－1)x＋1＝0是一元一次方程，只有一个实数根，与假设矛盾．∴不存在这样的非负整数，使原方程有两个不相等的实数根．易错提醒：在求出m＝0后，常常会草率地认为m＝0就是满足条件的非负整数，而忽略了二次项系数不为0的这一隐含条件，因此解题过程中务必考虑全面．三、板书设计本节课是在一元二次方程的解法的基础上，学习根的判别式的应用．学生容易在计算取值范围的时候忘记二次项系数不能为零，这是本节课需要注意的地方，应予以特别强调.相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
九年级华师大版数学知识点
九年级华师大版数学知识点详解九年级数学学科是中学数学学科的重要阶段之一，学生将进一步巩固和拓展初中数学的基础知识，并学习一些高中数学的初步内容。
下面将重点介绍九年级华师大版数学的主要知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这些内容。
一、代数运算代数运算是数学学科中非常重要的一个部分，它涉及到数字和符号的组合及其运算规则。
在九年级的代数运算中，包括乘法法则、因式分解、代数式的展开与因式分解等内容。
其中，乘法法则是代数运算的基础，学生需要熟练掌握乘法法则，并能够运用到实际问题中。
而因式分解则是将一个多项式拆分成几个较简单的乘积的过程，也是九年级代数运算的重点之一。
二、平面几何在九年级华师大版数学中，平面几何是一个重要的内容。
它主要包括三角形、平行线、相似形和勾股定理等知识点。
在学习这些知识点时，同学们需要了解三角形的定义和性质，并能够应用到解决实际问题中。
平行线的学习中，需要掌握平行线的定义以及平行线的性质，例如平行线间的角和、平行线的判定方法等。
相似形是指形状相似但大小不同的两个图形，学生需要学习相似形的定义、性质以及相似比的计算方法。
勾股定理是解决直角三角形问题的重要定理，同学们需要了解勾股定理的定义和证明过程，并能够熟练应用到解题中。
三、数列与函数数列是由一列数字按照一定规律排列而成的一组数，数列中的每个数字称为项。
在九年级华师大版数学中，学生需要学习数列的概念、性质以及求解数列的问题。
在数列的学习中，同学们需要了解等差数列和等比数列的定义，并能够计算其通项、前n项和等差(比)等相关内容。
函数是数学中的一种基本概念，是将一个数集的每个元素都对应到另一个数集中的元素的关系。
在九年级数学中，学生将进一步学习函数的概念以及函数的性质和运算。
此外，同学们还需要学习函数的图像、函数关系的表示和函数的应用等内容。
四、概率与统计概率与统计是应用数学的重要分支，它涉及到随机事件和数据的收集与分析。
在九年级华师大版数学中，学生将学习概率的基本概念和性质，以及概率的计算方法和应用。
九年级华师大数学知识点
九年级华师大数学知识点数学是一门我们每个人都无法逃避的学科，而对于九年级的学生来说，掌握好华师大数学知识点对于他们的学习生涯至关重要。
在这篇文章中，我将带领大家一起回顾九年级华师大数学的重点知识。
首先，我们来谈谈代数运算。
代数运算是数学中的基础，它包括有理数，整式，整式的加法、减法、乘法和除法等。
在代数运算中，有一项重要的知识点就是整式的乘法。
在整式的乘法中，我们需要掌握二次方程等式的乘法公式和因式分解等方法。
这些都是我们在后面学习数学和解题过程中必不可少的。
接下来，我们来聊一聊几何学。
几何学是研究空间中的点、线、面及其相互关系的学科。
在九年级的华师大数学中，我们将会学习到许多几何知识。
比如，平面几何中的角和线段等概念是我们需要掌握的基础知识。
此外，我们还需要学习三角形、四边形和多边形等图形的性质和定理。
几何中有许多独特的性质和定理，它们帮助我们分析和解决许多实际问题。
在代数和几何之外，九年级的华师大数学还包括概率与统计等知识点。
概率是一门研究随机事件发生可能性的学科，而统计学是研究收集、分析和解释数据的学科。
在概率中，我们需要学习事件的概念和概率的计算方法，了解事件的互斥和独立性质。
在统计学中，我们需要学习数据的收集和整理方法，了解如何用图表展示数据的分布和趋势。
这些概率与统计的知识点帮助我们更好地理解和分析现实生活中的问题。
另外，九年级的华师大数学还将涉及到初等数论的基础知识。
初等数论是研究整数的性质和规律的学科。
在初等数论中，我们将学习到因数分解、最大公约数和最小公倍数等概念和性质。
这些知识点在解决整数相关的问题时非常实用。
最后，我们还需要学习函数和方程的知识。
在函数中，我们需要学习如何表示、图像和性质等。
方程则包括一次方程、二次方程和一元一次方程组等。
掌握好函数和方程的知识对于我们后面的学习和实际应用都有着重要的作用。
总而言之，九年级华师大数学知识点的掌握对于我们的数学学习和发展至关重要。
数学九年级华师知识点
数学九年级华师知识点数学九年级，是中学数学学科的重要阶段之一，也是学生们深入学习数学的关键时期。
华师作为一所知名的师范大学，其数学学科在教学和研究方面都享有盛誉。
本文将介绍数学九年级的华师知识点，帮助读者更好地掌握这些重要概念和技巧。
一、代数1. 方程与不等式在九年级数学中，方程和不等式是重要的代数内容。
涉及到线性方程、二次方程以及一元一次不等式、一元二次不等式等。
通过解方程和不等式，可以培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
2. 函数函数是数学中的重要概念，也是九年级华师数学的重点内容。
学生需要学习函数的定义、性质、图像以及函数的运算等知识点，从而掌握函数的基本概念和应用。
二、几何1. 数字、图形与变换几何中的数字与图形是九年级华师数学的核心内容。
学生需要熟练掌握空间几何与图形的性质，包括直线、线段、角、三角形、四边形和多边形等。
同时，学生还需要学会利用平移、旋转、翻转等几何变换来解决问题。
2. 三角学三角学是数学中的重要分支，也是九年级华师几何的重点内容。
学生需要学习三角形的正弦定理、余弦定理以及面积公式等，以及应用三角学知识解决实际问题。
三、数据与统计1. 统计分析在数据与统计方面，九年级华师数学要求学生具备数据的收集、整理和分析能力。
学生需要学会使用频数表、频率表以及直方图、折线图等图表来展示和解读数据，并能灵活运用这些知识进行统计分析。
2. 概率概率是九年级华师数学中的重要内容，它涉及到随机事件和概率计算。
学生需要学习事件的概念、概率的定义和性质，以及概率的运算法则，并能应用概率解决实际问题。
综上所述，数学九年级华师知识点主要包括代数、几何和数据与统计三个方面。
通过学习这些知识点，学生可以提高数学思维能力，培养逻辑思维和问题解决能力。
华师作为数学教育的领军者，为学生提供了全面深入的数学学习环境，帮助他们在数学领域不断取得进步。
华师大版九年级上册数学知识点
华师大版九年级上册数学知识点稿子一嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊华师大版九年级上册数学那些有趣的知识点呀。
先来说说二次函数吧。
这可有点神奇哦！二次函数的图像就像一条弯弯的彩虹，有顶点，有对称轴。
通过分析它的表达式，能算出顶点坐标，知道它是开口向上还是向下。
这在解决实际问题的时候，可太有用啦，比如算最大利润啥的。
还有相似三角形，那也是个好玩的家伙。
两个三角形长得相似，对应边成比例，对应角相等。
利用这个性质，能解决好多测量问题呢，像测量高楼的高度，河流的宽度，感觉自己就像个小侦探，通过一点点线索就能找出答案。
圆也不能落下呀！圆的周长、面积公式要牢记。
还有圆心角、圆周角的关系，也得弄清楚。
在做和圆有关的题目时，要注意各种条件的运用，别被绕晕啦。
一元二次方程也是重点哦！求根公式要熟练掌握，能帮咱们快速算出方程的解。
而且通过判别式，还能知道方程根的情况。
数学其实没那么可怕，只要咱们用心去学，就能发现其中的乐趣，加油哦小伙伴们！稿子二哈喽呀！今天咱们一起唠唠华师大版九年级上册数学的知识点哟。
你看那个反比例函数，它的图像是两支曲线，一会儿靠近这个轴，一会儿靠近那个轴，可调皮啦。
不过只要记住它的表达式和性质，就能把它拿捏得死死的。
再说说锐角三角函数，什么正弦、余弦、正切，一开始可能会觉得有点晕乎，但多做几道题就会发现，其实也不难嘛。
知道一个角的三角函数值，就能算出边的长度，是不是很神奇？还有概率的知识，通过实验和计算，能知道一件事情发生的可能性大小。
这在生活中也很有用哦，比如买彩票中奖的概率，哈哈。
图形的旋转和平移也很有意思，图形转一转、移一移，位置变了，形状和大小却不变。
解应用题的时候，要仔细读题，找出关键信息，设好未知数，列出方程，一步步来，可别着急。
数学就像一个大宝藏，等着我们去挖掘，只要有耐心，有勇气，一定能收获满满哒！怎么样，小伙伴们，一起加油吧！。
华师大版九年级数学上册知识总结-----华师版
1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.二次根式有意义的条件：被开方数a ≥03. 二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 4．二次根式的乘法---------)0,0(≥≥⇔⋅b a ab b a 5．二次根式的除法---------)0,0(>≥⇔b a baba 6．最简二次根式：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
7．同类二次根式--------化成最简二次根式后，被开方数相同。
8.二次根式的加减--------先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并。
9.分母有理化：把分母中的根号化去。
①a的有理化因式是a ； ②aa1． 一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。
2.一般形式：c b a c bx ax ,,(02=++是已知数，)0≠a 。
其中c b a ,,分别叫做二次项的系数，一次项的系数，常数项。
3. 一元二次方程的解---------- 使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
4.一元二次方程的解法（1）直接开平方法-----------若()02≥=a a x ，则a x ±=（2）配方法-----步骤：①把常数项移到方程的右边；②把二次项的系数化为1；③方程两边同时 加上1次项的系数的一半的平方，配成完全平方公式；④直接开平方。
（3）公式法-------求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x步骤：①把方程化为()002≠=++a c bx ax 的形式，确定的值c b a .,（注意符号）；②求出ac b 42-的值；③若042≥-ac b ，则.,b a 把及ac b 42-的值代入求根公式，求出21,x x 。
（4）因式分解法-----------要求方程右边必须是0，左边能分解因式。
九年级数学华师大知识点
九年级数学华师大知识点数学华师大知识点（九年级）在九年级的数学学习中，华师大知识点是我们需要重点掌握的内容之一。
本文将介绍一些九年级数学华师大知识点，帮助读者更好地理解和应用数学知识。
一、代数与函数1. 二次函数与一元二次方程华师大知识点中的二次函数与一元二次方程是九年级数学中的重点难点。
学生需要掌握如何从二次函数的图像中推断相关信息，以及如何解一元二次方程并应用于实际问题中。
2. 线性函数与一元一次方程在学习线性函数与一元一次方程时，要注意把握二者之间的关系。
线性函数的图像是一条直线，而一元一次方程则是线性函数的数学表达式。
学生需要学会在图像和方程之间相互转换，并能够解决实际问题。
二、几何与图形1. 三角形与平行四边形三角形和平行四边形是几何学中的重要概念。
掌握它们的性质、分类以及判定方法，能够帮助学生解决与角、边和面积相关的问题。
2. 相似与全等三角形相似与全等三角形是九年级几何学中的重要内容。
学生需要掌握相似与全等三角形的判定方法，以及它们之间的关系。
此外，了解三角形的比例关系和应用，能够帮助学生解决各类几何问题。
三、概率与统计1. 抽样与调查抽样与调查是九年级概率与统计学中的重点。
学生需要了解不同的抽样方法，并能够根据实际情况选择合适的抽样方法。
此外，学生还需要学会设计简单的调查问卷、收集数据，并进行分析和解读。
2. 数据的图表表示掌握数据的图表表示方法对于理解和分析数据至关重要。
学生需要熟悉各类图表的用途和特点，能够正确绘制和解读直方图、折线图、饼图等。
四、数与式1. 分数与小数分数与小数是基础的数学概念，但在九年级数学中仍然有一定难度。
学生需要掌握分数与小数之间的转换、运算以及应用，能够解决与分数与小数相关的实际问题。
2. 整式与分式整式与分式是九年级数学中的重要内容。
学生需要了解整式和分式的定义、性质以及运算法则，掌握合并同类项、提取公因式等技巧，能够化简和求解相关的数学表达式。
综上所述，九年级数学华师大知识点涵盖了代数与函数、几何与图形、概率与统计、数与式等多个方面。
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1 / 7 华师大版九年级上册数学知识点总结 第21章 二次根式 1. 二次根式的概念：形如 的式子叫做二次根式． 2. 二次根式的性质：
（1）2)(a （a≥0）；（2）a 0(a≥0)；（3）)0___()0___()0___(____2aaaa 3. 二次根式的乘除： 计算公式：___(0,0)___(0,0)ababaabb乘法运算：除法运算：
4. 概念：1.2.最简二次根式：(1) (2) (3)同类二次根式： 5. 二次根式的加减：(一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 6. 二次根式化简求值步骤：(1)“一分”：分解因数（因式）、平方数（式）；(2)“二移”：根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面；(3)“三化”：化去被开方数中的分母． 7. 二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用． （3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
第22章 一元二次方程 1. 一元二次方程： 1) 一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程． 2) 一元二次方程的一般形式：)0(02acbxax． 它的特征：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零． 2ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数
项． 2. 一元二次方程的解法： 1) 直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如bax2)(的一元二次方程．根据平方根的定义可知，2 / 7
ax是b的平方根，当0b时，bax，bax，当b<0时，方程没有实数根． 2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式222)(2bababa，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有222)(2bxbbxx． 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式． 3) 公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法．
一元二次方程)0(02acbxax的求根公式：)04(2422acbaacbbx 4) 因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法． 分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式． 3. 一元二次方程根的判别式： 一元二次方程)0(02acbxax中，acb42叫做一元二次方程)0(02acbxax的根的判别式，通常用“”来表示，即acb42． 1) 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； 2) 当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； 3) 当△<0时，一元二次方程没有实数根． 4. 韦达定理：
如果方程)0(02acbxax的两个实数根是21xx，，那么abxx21，acxx21．也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商． 5. 一元二次方程的二次函数的关系： 其实一元二次方程也可以用二次函数来表示，其实一元二次方程也是二次函数的一个特殊情况，就是当y=0的时候就构成了一元二次方程了．那如果在平面直角坐标系中表示出来，一元二次方程就是二次函数中，图象与X轴的交点，也就是该方程的解了．
第23章 图形的相似 1． 比例线段的有关概念 在比例式::中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，ac(abcd)adbcacbdb、d叫后项，d叫第
四比例项，如果b=c，那么b叫做a、d的比例中项． 2． 比例性质
①基本性质：abcdadbc ②更比性质(交换比例的内项或外项)： 3 / 7
()()()()交换内项交换外项同时交换内外项同时交换比的前项和后项
abcddcacba
dbbd
cabdac
②合比性质：±±abcdabbcdd
③等比性质：……≠……abcdmnbdnacmbdnab()0 3． 黄金分割 在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），如果ACBCABAC，即AC2=AB×BC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．其中ABAC215≈0.618AB． 4． 平行线分线段成比例定理 ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：
l1∥l2∥l3．则，，，…ABBCDEEFABACDEDFBCACEFDF ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例． ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5． 相似三角形的判定 ①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ③三边对应成比例，两三角形相似． 6． 相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等,对应边成比例； ②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 7． 六种相似基本模型：
CABDCA
BDEEDB
A
C DE∥BC ∠B∠AED ∠B∠ACD 4 / 7
ADBCDOBACO
D
CB
A X型 母子型 AC∥BD ∠B∠C AD是Rt△ABC斜边上的高 8． 射影定理 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________． 9． 中位线 1) 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段． 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的
长是对应中线长的31． 2) 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段． 梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半． 10． 位似 ①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比． ②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
第24章 解直角三角形 考点一、直角三角形的性质 1. 直角三角形的两个锐角互余． 可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90° 2. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 301902ABCDABC
3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 9012ACBCDABBDADDAB
为的中点
4. 勾股定理 直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即222cba． 5. 摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项．
ADBC5 / 7
222
90CDADBDACBACADABCDABBCBDAB•
•
•
6. 常用关系式 由三角形面积公式可得：AB•CD=AC•BC 考点二、直角三角形的判定 1. 有一个角是直角的三角形是直角三角形． 2. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3. 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a，b，c有关系222cba，那么这个三角形是直角三角形． 考点三、锐角三角函数的概念 1. 如图，在△ABC中，∠C=90° ①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，
记为sinA，即AasinAc的对边斜边
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即AbcosAc的邻边斜边 ③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即AatanAAb的对边的邻边 ④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即AbcotAAa的邻边的对边 2. 锐角三角函数的概念 锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数． 3. 各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系：1cossin22AA （3）倒数关系：tanA•cotA=1
（4）弦切关系：tanA=AAcossin；cotA=cossinAA 4. 锐角三角函数的增减性：当角度在0°~90°之间变化时， （1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 5. 一些特殊角的三角函数值
三角函数 0° 30° 45° 60° 90°