08-15江苏高考矩阵和参数方程
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2003年-2012年江苏省高考数学试题分类解析汇编
1.（江苏2008年附加10分）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆2
2
41x y +=在矩阵⎣
⎡⎦
⎤
2 00 1对应的变换作用下得到曲线F ，求F 的方程．
2.（江苏2009年附加10分）求矩阵3221A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
的逆矩阵.
3.（江苏2010年附加10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)。设k 为非零实数，矩阵M=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡100k ,N=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值。
4.（江苏2011年附加10分）已知矩阵1121⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，向量12β⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
．求向量α，使得2
αβ=A ．
5.（2012年江苏省附加10分）已知矩阵A的逆矩阵113 44 11 22
-
⎡⎤
-⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥
-
⎢⎥⎣⎦
A，求矩阵A的特征值．
6.（2013年江苏省附加10分）已知矩阵
1012
,
0206
A B
-⎡⎤⎡⎤
==
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
，求矩阵1
A B
-．
7.（2014年江苏省附加10分）已知矩阵
12
1x
-⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
A，
11
21
⎡⎤
=⎢⎥
-
⎣⎦
B，向量
2
y
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
α，x y
，为实数，若Aα=Bα，
求x y
，的值．
8.（2015年江苏省附加10分）已知，向量
是矩阵的属性特征值的一个特征向量，矩阵
以及它的另一个特征值。
1.（江苏2008年附加10分）
【答案】解：设00(,)P x y 是椭圆上任意一点，点00(,)P x y 在矩阵A 对应的变换下变为点'
'
'
00(,)P x y 则
有
'
0'0020 01x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即'0
0'00
2x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以'
0'0
02x x y y ⎧=
⎪⎨⎪=⎩ 又因为点P 在椭圆上，故220041x y +=，从而'2'2
00()()1x y +=
所以，曲线F 的方程是 22
1x y +=。 【考点】圆的标准方程，矩阵变换的性质。
【分析】由题意先设椭圆上任意一点00(,)P x y ，根据矩阵与变换的公式求出对应的点'
'
'
00(,)P x y ，得到两点的关系式，再由点P 在椭圆上代入化简。 2.（江苏2009年附加10分）
【答案】解：设矩阵A 的逆矩阵为,x
y z
w ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦则3210,2101x y z w ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
即323210,2201x z y w x z y w ++⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦∴32120
320
21
x z x z y w y w +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩。解得：1,2,2,3x z y w =-===-。 ∴A 的逆矩阵为112A 23--⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
。 【考点】逆矩阵的求法。
【分析】设出逆矩阵，根据逆矩阵的定义计算即可。 3.（江苏2010年附加10分） 【答案】解：由题设得0010MN 011010k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
由00220010001022k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，可知A 1（0，0）、B 1（0，－2）、C 1（k ，－2）。 计算得△ABC 面积的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是||k ，则由题设知：||212k =⨯=。 所以k 的值为2或－2。
【考点】图形在矩阵对应的变换下的变化特点。 【分析】由题设得0010MN 011010k k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
==⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，根据矩阵的运算法则进行求解。 4.（江苏2011年附加10分）
【答案】解：设⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=y x α，∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121112112
A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡3423，
∴由βα=2
A 得,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡213423y x ，∴⎩⎨⎧=+=+234123y x y x ，解得12x y =-⎧⎨=⎩。∴⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=21α。 【考点】矩阵的运算法则。
【分析】设向量x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，由2
αβ=A ，利用矩阵的运算法则，用待定系数法可得x 和y 的值，从而求
得向量α。
5.（2012年江苏省附加10分） 【答案】解：∵1-A A =E ，∴()
1
1
--A =A 。