电路第15章-电路方程的矩阵形式

第15章 电路方程的矩阵形式
本章重点
15.1 15.2 15.3* 15.4 15.5 15.6* 15.7*
割集 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系 回路电流方程的矩阵形式 结点电压方程的矩阵形式 割集电压方程的矩阵形式 列表法
首页
重点 1. 关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩
②支路排列顺序先树支后连支； ②
③割集顺序与树支次序一致。３
４
例 选 1、2、3支路为树
①
６
③
Q1: {1, 4, 5}
５
Q2: {2, 5, 6} Q3: {3, 4 , 6}
２ ④1
返回 上页 下页
支 割集 1 2 3 4 5 6
Q1 1 0 0 1 1 0
[Qf]=Q2 0 1 0 0 -1 -1
②
回 支1 2 3 4 5 6 1 0 1 1 00 1
[B] = 2 0 0 0 -1 1 -1
3 1 -1 0 0 -1 0
３
４
① 1６ 2
③
５
２
④
3 1
注意 给定B可以画出对应的有向图。
基本回路矩阵Bf 独立回路对应一个树的单连枝回路得基本回
路矩阵[Bf]
返回 上页 下页
规定 ① 连支电流方向为回路电流方向；
问题
(3 6 5 8 7) , (3 6 2 8)是割集吗？
返回 上页 下页
基本割集
只含有一个树枝的割集。割集数
＝n-1
注意
1 9
64
3
7
28 5
① 连支集合不能构成割集。
②属于同一割集的所有支路的电流应满足KCL。
当一个割集的所有支路都连接在同一个结点
上，则割集的KCL方程变为结点上的KCL方
程。
•
I
s1 sb
的列对应与划去结点相关联的一条支路。被划去的 行对应的结点可以当作参考结点。
返回 上页 下页
关联矩阵A的作用
①用关联矩阵A表示矩阵形式的KCL方程；
设: i i1 i2 i3 i4 i5
以结点④为参考结点
-1 -1 1 0 0 0
[A][ i ]= 0 0 -1 -1 0 1
1 0 0 0 10
对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝
顺序写出矩阵：
A
Bf
At
Bt
Al 1
Q
f
1
Ql
A
Bf
T At
Al
BT t 1
0
At Bt T Al 0
or
Bt T
A1 t
Al
Ql
BtT
A A -1 tl
Qf
1
A 1 t
Al
返回 上页 下页
例
已知：
[Bf ]=
1 -1
0 1
1 0
.
I Sk
•
•
•
•
U 2 (I2 I S2 )Z2 U S2 +
.
-
Uk
•
•
•
•
Ub (Ib I Sb )Zb U Sb
返回 上页 下页
设
•
I
•
I1
•
I2
•
......I b
T
U•
U•1U•
2
•
......U b
T
U
•
s
U•
•
U s1
s2
•
......U
sb
T
I
• s
•
Q3 0 0 1 1 0 -1
Qt
Ql
[1 Ql ]
②
３
４
①
６
③
５
２
④1
基本割集矩阵[Qf]的作用
①用基本割集矩阵[Qf]表示矩阵形式的KCL方程。
设 [i] [i1 i2 i3 i4 i5 i6 ]T
返回 上页 下页
i1
②
10011
[ Qf ][i ]= 0 1 0 0 -1
0 0 1 10
I
s1
•
I
s2
•
......I
sb
T
支路电流列向量 支路电压列向量
电压源的电压列向量 电流源的电流列向量
[Z]=diag[Z1 Z2……Zb]
阻抗矩阵
返回 上页 下页
整个电路的支路电压、电流关系矩阵：
U•1 U• b
Z1
0
0
0 Z2
0
0 0 Zb
•
I
1
•
I
b
•
I
.
.
Ik
.
I ek
Zk (Yk) -
U Sk +
.
I Sk
+
.
- 规定标准
Uk
支路
返回 上页 下页
.
.
Ik
.
I ek
Zk (Yk) -
U Sk +
.
I Sk
+
.
-
复合支路特点 U k
①支路的独立电压源和独立电流源的方向与支
路电压、电流的方向相反；
②支路电压与支路电流的方向关联；
③支路的阻抗（或导纳）只能是单一的电阻、 电容、电感，而不能是它们的组合。
②支路排列顺序为先连支后树支，回路
顺序与连支顺序一致。
例 选 2、5、6为树，连支顺序为1、 3 、 4 。
回 支1 3 4 2 5 6
②
1
[B] = 2
3
1 0 0 -1 -1 0 0 1 0 10 1 0 0 1 0 -1 1
Bl
Bt
= [1 Bt ]
３
４
① 2６ 3
③
５
２
④
1 1
返回 上页 下页
un2
1
1
AT
un
1
0 0
0
0 0 1 1 0 1
1
0un1
0 10
un2 un3
0
un1 un3
un1
un1 un2 un2
un3
un2
uu12
u
3
u 4
u
5
u6
un3
矩阵形式的KVL [u] [A]T [un ]
返回 上页 下页
2. 回路矩阵B
.
I Sk
.
U Sk 0
Zk (Yk)=0
.
I Sk 0
Zk (Yk)=0
.
U Sk 0 Zk (Yk)=0
返回 上页 下页
2.支路阻抗矩阵形式
①电路中电感之间无耦合
•
•
•
•
Uk
(I k
I Sk )Zk
U Sk
如有b条支路，则有：
.
Ik
.
I ek
Zk (Yk) -
.
U Sk +
•
•
•
•
U1 (I1 I S1)Z1 U S1
回路矩阵[B]的作用
①用回路矩阵[B]表示矩阵形式的KVL方程；
设 [u] [u1 u3 u4 u2 u5 u6 ]
l个独立
ul
ut u1
KVL方程
1 0 0 -1 -1 0
u3
u1 u2 u5
[ B ][ u ]= 0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 -1 1
u u
4 2
u5
u3
i1 i4 i5
i2
i5
i6
0
0
-1 -1
i
2
３
ii43
①
i5
i6
６
２ ④
４ ５③
1
i3 i4 i6
n-1个独立
KCL方程
矩阵形式的KCL：[ Qf ][i ]=0
返回 上页 下页
②用[Qf]T表示矩阵形式的KVL方程
设树枝电压（或基本割集电压）：ut=[ u1 u2 u3 ]T
独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。
独 立
[B]= 回
路
支路b
l b
注意
每一行对应一个独立回路， 每一列对应一条支路。
l
矩阵B的每一个元素定义为：
1 支路 j 在回路 i 中，且方向一致；
bij -1 支路 j 在回路 i中，且方向相反；
0 支路 j 不在回路 i 中。
返回 上页 下页
例 取网孔为独立回路，顺时针方向
2. Bf 与Qf 之间的关系
对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：
i BTil Qi 0
QBTil 0
Q BT 0 or B QT 0
对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序有：
Q B Qf
Bf
T
1
Ql
BT t 1
0
l
T t
返回 上页 下页
3. A与Qf 之间的关系
返回 上页 下页
Rk
即 ZK
jLk
1
注意
jCK
复合支路定义了一条支路最多可以包含的不
同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。
(ZkYk）
.
(ZkYk） - U Sk +
.
.
U Sk 0 I Sk 0
.
I Sk 0
返回 上页 下页
Zk (Yk)
.
I Sk
.
U Sk -+
.
I Sk
.
U Sk -+
il1
il
il
2
il3
独立回路电流
返回 上页 下页
②
1 0 0
0 1 0 0 1 1
0 1 0
il1 il 2
1 0 1 il3
0 1 1
il1 il 2
i1
i3
il 3 il1
il
2
i4 i2
①
３ 2６
２
４
3 ５
il1 il3 il2 il3
i5
u
2
u
6
u4 u5 u6
0
u6
矩阵形式的KVL：[ B ][ u ]= 0
返回 上页 下页
注意 连支电压可以用树支电压表示。
[ Bf ][ u ]= 0
ul+Btut=0
[1
ul= -
Bt ]uutl
Btut
0
②用回路矩阵[B]T表示矩阵形式的KCL方程
设：[i] [i1 i3 i4 i2 i5 i6 ]T
返回 上页 下页
注意
③对应一组线性独立的KCL方程的割集称为独 立割集 ，基本割集是独立割集，但独立割集 不一定是单树支割集。
返回 上页 下页
15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
1. 图的矩阵表示
图的矩阵表示是指用矩阵描述图的拓扑性质，即 KCL和KVL的矩阵形式。有三种矩阵形式：
wk.baidu.com
结点 回路 割集
1 0 0
ut1 u1
0
Qf
T
ut
0 1
1 0
1 0 0 1 1
0
1 1 0
ut1
uutt
2 3
1
ut 2 ut 3
ut1 ut3 uut1t2uut 2t3
uu32 u4 uu65
u
矩阵形式的KVL：[ Qf ]T[ut ]=[u]
返回 上页 下页
阵和基本割集矩阵的概念 2. 回路电流方程、结点电压方程和割
集电压方程的矩阵形式
返回
15.1 割集
割集Q 连通图G中支路的集合，具有下述性质：
• 把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 • 任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。
164
9
3
7
28 5
割集：(1 9 6) (2 8 9) (3 6 8) (4 6 7) (5 7 8)
ul
QT l
ut
返回 上页 下页
15.3* 矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系
三个矩阵从不同角度表示同一网络的连接性 质，它们之间自然存在着一定的关系。
1. A与B 之间的关系
对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：
u ATun Bu 0
B AT 0
BATun 0
or A BT 0
返回 上页 下页
注意 连支电压可以用树支电压表示。
[u
]
ut ul
Qf
T
ut
1 QlT
ut
小结
ul
QT l
ut
KCL KVL
A
B
Q
[A][ i ]=0
[B ] T [ il ] =[i]
BT t
il
it
[Qf][i]=0
it Qlil
ATun u
[B][u]=0 ul= - Btut
[Q]T [ ut]=[u]
支路 支路 支路
关联矩阵 回路矩阵 割集矩阵
返回 上页 下页
2. 关联矩阵A
用矩阵形式描述结点和支路的关联性质。n个
结点b条支路的图用nb的矩阵描述：
结
Aa= 点
n
支路b
n b
注意
每一行对应一个结点， 每一列对应一条支路。
矩阵Aa的每一个元素定义为：
ajk=1 支路 k 与结点 j 关联，方向背离结点； ajk ajk= -1 支路 k 与结点 j 关联，方向指向结点；
[Q]= 集
数
支路b
(n-1)b
注意
每一行对应一个基本割集, 每一列对应一条支路.
矩阵Q的每一个元素定义为：
1 支路 j 在割集 i 中，且与割集方向一致；
qij -1 支路 j 在割集 i中，且与割集方向相反；
0 支路 j 不在割集 i 中。
返回 上页 下页
规定 基本割集矩阵[Qf]
①割集方向为树支方向；
00 10
-1 0 0 0 1
求基本割集矩阵，并画出网络图。
解
Ql
BT t
10
1 1
1
0
1 0
1 1
1
0
1 2 3 45
３
Qf
1 0
0 1 1 1 0 1
1 ① 0
５ ２４
②
③1
返回 上页 下页
15.4 回路电流方程的矩阵形式
1.复合支路
反映元件性质的支路电压和支路电流关
系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础。
②矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只
有n-1行是独立的。
返回 上页 下页
支 结 123456
1 -1 -1 1 0 0 0
Aa= 2 0 0 -1 -1 0 1
3 10 0110
4 0 1 0 0 -1 -1
结
Aa= 点
n-1
支路b
(n-1) b
降阶关联矩阵A
特点 A的某些列只具有一个+1或一个－1，这样
i6
④
1 1
③
矩阵形式的KCL： [ B ]T[ il ]=[ i ]
注意 树支电流可以用连支电流表出。
[Bf
]T
1
BT t
1 BT
t
[il
]
il it
BT t
il
it
返回 上页 下页
3. 基本割集矩阵[Qf]
割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，
这里主要指基本割集矩阵。
割
ajk =0 支路 k 与结点 j 无关。
返回 上页 下页
例
支 结1
2
3
4
5
6
1 -1 -1 1 0 0 0
②
３
４
Aa= 2
3
0 0 -1 -1 0 1 ①
６
1 0 01 1 0
２
５
③
4 0 1 0 0 -1 -1
④1
特点
①每一列只有两个非零元素，一个是+1，一个
是-1，Aa的每一列元素之和为零。
i6 T n-1个独立
方程
i
i i i i
i i i i
1 2 3
1
3
2
4
3 6
0
i i i i 4
1
4
5
i 5
i6
矩阵形式的KCL: [ A ][ i ]= 0
返回 上页 下页
②用矩阵[A]T表示矩阵形式的KVL方程。
un1
设:
u u1 u2 u3 u4 u5 u6 T
un