第十五章 电路方程的矩阵形式
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电路课件_15第十五章电路方程的矩阵形式
Bu
1 0 0
0 1 0
1 1 0
0 0 1
-1 0 -1
1 1 1
u1 u3 u5 u6 u2 u3 u6 u4 u5 u6 0 0 0
u1 u 2 u3 u4 u5 u6
4
8
Q3
5
树支
4
8
1
5
1
Q4
6
连支
6
7 7
2
3
3
2
Q3：1, 4,5
Q4：5,6,7,8
§ 15 - 2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵
一：关联矩阵Aa
n个结点b条支路的有向图
一条支路连接于两个结点，称该支路与这两个结点相关联。
支路1 .... 支路b
Aa=
结点1 ....... 结点n
1 2 Aa= 3
-1 -1 +1 0 0 0 0 -1 -1 0 +1 0 0 +1 +1 4 0 +1 0 0 -1
0 -1 46
1 2
3
4 5 6
0 +1
1 Aa= 2 3
-1 -1 +1 0 0 0 0 -1 -1 0 +1 0 0 +1 +1 4 0 +1 0 0 -1
( n1 )b
2
i3
1
2
3
i4
6
Q1
3
i2
i6
4
5
3
2
i5
4
1
1
s第15章 电路方程的矩阵形式
1、小规模电路 人工观察法 回路电流法 结点电压法 2、大规模电路 利用计算机作为辅助手段 电路方程的矩阵形式
二、割集
1、定义 连通图G的一个割集是G的一个支路集合，把这些支 路移去将使G分离为两个部分，但是如果少移去一条支路， 图仍将是连通的。
a e c f d f c f c b a
a
b
e
d
(b,d,e,f)是割集
5、独立割集组 基本割集组是独立割集组。对于n个结点的连通图，独 立割集数为(n-1) 。 独立割集不一定是单树支割集， 如同独立回路不一定是单连支回路一样。
由于一个连通图G可以有许多不同的树，所以可选出许 多基本割集组。 6、基本割集组的选择 首先选择一个树， 然后确定(n-1)个单树支割集。
树
4、用矩阵A表示的KCL的矩阵形式
电路中的b个支路电流可以用一个b阶列向量表示
i=[i1 i2 … ib]T
Ai =
结点1上的∑i 结点2上的∑i …… 结点(n-1)上的∑i
因此有 用矩阵A表示的 KCL的矩阵形式
Ai =0
② 3 ① 6 4 ③ 5
A=
-1 0 +1
-1 +1 0 0 0 0 -1 -1 0 +1 0 0 +1 +1 0
u=QfTut=
1 0 0 -1 -1 0
小结：
A
B
Q
KCL
Ai=0
BTil=i
Qi=0
KVL
ATun=u
Bu=0
QTut=u
§15. 3 矩阵A、Bf、Qf之间的关系
在任一网络的有向图中，选一个参考结点可以写出关 联矩阵A， 选择一树可以写出基本回路矩阵[Bf]和基本割集矩阵 [Qf]， 因此三个矩阵是从不同角度表示同一网络的连接性质， 它们之间自然存在着一定的关系。
二、割集
1、定义 连通图G的一个割集是G的一个支路集合，把这些支 路移去将使G分离为两个部分，但是如果少移去一条支路， 图仍将是连通的。
a e c f d f c f c b a
a
b
e
d
(b,d,e,f)是割集
5、独立割集组 基本割集组是独立割集组。对于n个结点的连通图，独 立割集数为(n-1) 。 独立割集不一定是单树支割集， 如同独立回路不一定是单连支回路一样。
由于一个连通图G可以有许多不同的树，所以可选出许 多基本割集组。 6、基本割集组的选择 首先选择一个树， 然后确定(n-1)个单树支割集。
树
4、用矩阵A表示的KCL的矩阵形式
电路中的b个支路电流可以用一个b阶列向量表示
i=[i1 i2 … ib]T
Ai =
结点1上的∑i 结点2上的∑i …… 结点(n-1)上的∑i
因此有 用矩阵A表示的 KCL的矩阵形式
Ai =0
② 3 ① 6 4 ③ 5
A=
-1 0 +1
-1 +1 0 0 0 0 -1 -1 0 +1 0 0 +1 +1 0
u=QfTut=
1 0 0 -1 -1 0
小结：
A
B
Q
KCL
Ai=0
BTil=i
Qi=0
KVL
ATun=u
Bu=0
QTut=u
§15. 3 矩阵A、Bf、Qf之间的关系
在任一网络的有向图中，选一个参考结点可以写出关 联矩阵A， 选择一树可以写出基本回路矩阵[Bf]和基本割集矩阵 [Qf]， 因此三个矩阵是从不同角度表示同一网络的连接性质， 它们之间自然存在着一定的关系。
第15章 电路方程的矩阵形式
T
设b条支路电压列向量为：u u 1 , u 2 , , u b
u n u n 1 , u n 2 , , u n ( n 1 ) T (n-1)个节点电压列向量：
即有： u A T u n (2)
上例中
u1 1 u 2 1 u3 1 u4 0 u 0 5 u6 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 u n1 u n 3 u n1 u n1 u n1 u n 2 u n2 u u n2 n3 un3 un3 un2
例： 1 1 0 B 2 0 3 1 2
1 0 1
2 3 4
1 0 0 0 1 0
5
0 1 1
6
1 1 0
3 1 16
4
2 3
2
1 4 3
5
若选树T，按先连支后树支的顺序编号， 且以连支方向和编号为回路的方向和编 号，选单连支回路（基本回路）。 2 2 4 1 4 1
第k条支路： I k Y k U ek I sk Y k ( U k U sk ) I sk
设 支路电流列向量：I I
, I 2 , , I b 1
T
支路电压列向量：U U
, U 2 , , U b 1
[Aa]的任一元素ajk定义如下： ajk＝1 ajk＝-1 ajk＝0 支路k与节点 j 关联，方向离开节点。 支路k与节点 j 关联，方向指向节点。 支路k与节点 j 非关联。 1 1 2 Aa 3 4
1 0 1 0
设b条支路电压列向量为：u u 1 , u 2 , , u b
u n u n 1 , u n 2 , , u n ( n 1 ) T (n-1)个节点电压列向量：
即有： u A T u n (2)
上例中
u1 1 u 2 1 u3 1 u4 0 u 0 5 u6 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 u n1 u n 3 u n1 u n1 u n1 u n 2 u n2 u u n2 n3 un3 un3 un2
例： 1 1 0 B 2 0 3 1 2
1 0 1
2 3 4
1 0 0 0 1 0
5
0 1 1
6
1 1 0
3 1 16
4
2 3
2
1 4 3
5
若选树T，按先连支后树支的顺序编号， 且以连支方向和编号为回路的方向和编 号，选单连支回路（基本回路）。 2 2 4 1 4 1
第k条支路： I k Y k U ek I sk Y k ( U k U sk ) I sk
设 支路电流列向量：I I
, I 2 , , I b 1
T
支路电压列向量：U U
, U 2 , , U b 1
[Aa]的任一元素ajk定义如下： ajk＝1 ajk＝-1 ajk＝0 支路k与节点 j 关联，方向离开节点。 支路k与节点 j 关联，方向指向节点。 支路k与节点 j 非关联。 1 1 2 Aa 3 4
1 0 1 0
第15章 电路方程的矩阵形式
第15章 电路方程的矩阵形式
本章重点
15.1 15.2 15.3* 15.4 15.5 15.6* 15.7*
割集 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系 回路电流方程的矩阵形式 结点电压方程的矩阵形式 割集电压方程的矩阵形式 列表法
首页
重点 1. 关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩
i6 T n-1个独立
方程
i
i i i i
i i i i
1 2 3
1
3
2
4
3 6
0
i i i i 4
1
4
5
i 5
i6
矩阵形式的KCL: [ A ][ i ]= 0
返回 上页 下页
②用矩阵[A]T表示矩阵形式的KVL方程。
un1
设:
u u1 u2 u3 u4 u5 u6 T
un
阵和基本割集矩阵的概念 2. 回路电流方程、结点电压方程和割
集电压方程的矩阵形式
返回
15.1 割集
割集Q 连通图G中支路的集合，具有下述性质：
• 把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 • 任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。
164
9
3
7
28 5
割集：(1 9 6) (2 8 9) (3 6 8) (4 6 7) (5 7 8)
ajk =0 支路 k 与结点 j 无关。
返回 上页 下页
例
支 结1
2
3
4
5
6
1 -1 -1 1 0 0 0
②
３
４
Aa= 2
3
0 0 -1 -1 0 1 ①
６
1 0 01 1 0
本章重点
15.1 15.2 15.3* 15.4 15.5 15.6* 15.7*
割集 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系 回路电流方程的矩阵形式 结点电压方程的矩阵形式 割集电压方程的矩阵形式 列表法
首页
重点 1. 关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩
i6 T n-1个独立
方程
i
i i i i
i i i i
1 2 3
1
3
2
4
3 6
0
i i i i 4
1
4
5
i 5
i6
矩阵形式的KCL: [ A ][ i ]= 0
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②用矩阵[A]T表示矩阵形式的KVL方程。
un1
设:
u u1 u2 u3 u4 u5 u6 T
un
阵和基本割集矩阵的概念 2. 回路电流方程、结点电压方程和割
集电压方程的矩阵形式
返回
15.1 割集
割集Q 连通图G中支路的集合，具有下述性质：
• 把Q中全部支路移去，图分成二个分离部分。 • 任意放回Q 中一条支路，仍构成连通图。
164
9
3
7
28 5
割集：(1 9 6) (2 8 9) (3 6 8) (4 6 7) (5 7 8)
ajk =0 支路 k 与结点 j 无关。
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例
支 结1
2
3
4
5
6
1 -1 -1 1 0 0 0
②
３
４
Aa= 2
3
0 0 -1 -1 0 1 ①
６
1 0 01 1 0
第15章电路方程的矩阵形式
(2)保留Q 中的一条支路，其于都移去， G还是连通的。
②
2
1
2
①5
③
1
5
①
43
4
④
6 6
Q1: { 2 , 5 , 4 , 6 }
②
③
3
④
②
②
1
2
①5
③
1
2
①5
③
43 ④6
43 ④6
Q2: { 2 , 3 , 6 }
Q3: { 1 , 5 , 4}
单树支割集（基本割集）
②
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q1: { 2 , 3 , 6 }
设 I I1 I2 Ib T
IS IS1 IS 2 ISb T
15-3 结点电压方程的矩阵形式
Ik
Iek
U Sk
Yk ISk
U k
U U1 U 2 U b T
U S U S1 U S 2 U Sb T
②
基本回路
15.1 割集
基本割集
1
2
①5
③
43 ④6
{1，2，3，4} {1，4，5} {1，2，6}
{1，5，3，6} {2，3，6} {3，4，5}
2. 由某个连支bl确定的单连支回路应包含那些树支，每个
这种树支所构成的基本割集中含有bl 。
②
基本回路
基本割集
1
2
①5
③
43 ④6
{1，2，3，4} {1，4，5} {1，2，6}
u5
节点电压
un1
un
第015章_电路方程的矩阵形式
1 Bu 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 u3 0 1 u4 1 1 u 5 u6
u1 u2
6 1 3 6 31
i
i1 i2 i3 i4 i5 i6
i
这正是回路电流 法的基本思想。
i B T il
i i i
i i
i i i
即为用B表示 KCL的矩阵形式。
17
五、割集矩阵：
1、割集矩阵： 即独立割集矩阵，它反映电路的支 Q1 路与所取的独立割集的关联性。 矩阵元素的取值：
（2）某些列仅有一个非零元素，表示该支路与参考结点相关联。 ②A的物理意义：反映电路的拓扑结构
支路与结点的关联性。
11
3、用A表示的KL的矩阵形式： ①KCL：
i1 i
2 3 4 5 6
证明： G
T1
l1 l2 l3
bt
T2
而且，每一条树支与相应的连支都会构成一个单树支割集。 这种单树支割集又称为基本割集。对于一个G，树支数为 n -1， ∴有n -1个基本割集，称为对一个树的基本割集组。 基本割集组必是独立割集组，但独立割集组不一定是单树 支割集组，因树是一个相对概念，人家可以先（用树）定义一 组独立割集，而后又可以重新定义树。
② 4 6 5 ④ ③
0 k支路与 j 结点不关联 关联，且方向背离该结点 a jk 1 1 关联，但方向为指向结点
② 0 Aa ③ 1 ④ 0
1 ① -1 2 -1 0 3 1 4 0
u1 u2
6 1 3 6 31
i
i1 i2 i3 i4 i5 i6
i
这正是回路电流 法的基本思想。
i B T il
i i i
i i
i i i
即为用B表示 KCL的矩阵形式。
17
五、割集矩阵：
1、割集矩阵： 即独立割集矩阵，它反映电路的支 Q1 路与所取的独立割集的关联性。 矩阵元素的取值：
（2）某些列仅有一个非零元素，表示该支路与参考结点相关联。 ②A的物理意义：反映电路的拓扑结构
支路与结点的关联性。
11
3、用A表示的KL的矩阵形式： ①KCL：
i1 i
2 3 4 5 6
证明： G
T1
l1 l2 l3
bt
T2
而且，每一条树支与相应的连支都会构成一个单树支割集。 这种单树支割集又称为基本割集。对于一个G，树支数为 n -1， ∴有n -1个基本割集，称为对一个树的基本割集组。 基本割集组必是独立割集组，但独立割集组不一定是单树 支割集组，因树是一个相对概念，人家可以先（用树）定义一 组独立割集，而后又可以重新定义树。
② 4 6 5 ④ ③
0 k支路与 j 结点不关联 关联，且方向背离该结点 a jk 1 1 关联，但方向为指向结点
② 0 Aa ③ 1 ④ 0
1 ① -1 2 -1 0 3 1 4 0
电路第五版第十五章电路方程的矩阵形式
返 回 上 页 下 页
②(降阶)关联矩阵A
支路b
用关联矩阵A表示的KCL,KVL: ①用A阵表示的KCL(矩阵形式): ①
② ３ ４
６ ２ ④
Ai=0
其中: i i1 i2 ib 支路电流列向量。 例如 以结点④为参考结点 i1
T
５ 1
③
n-1个独立方程
Ai =
-1 -1 1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 1 1 0 0 1 1 0
第15章 电路方程的矩阵形式
本章重点
15.1 15.2 15.3* 15.4 15.5 15.6* 15.7* 割集 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系 回路电流方程的矩阵形式 结点电压方程的矩阵形式 割集电压方程的矩阵形式 列表法 首页
重点 1. 关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩 阵和基本割集矩阵的概念
３ ① ４
注意
u A un
T
６ ２ ④
返 回
体现了结点法的基本思想。
５ 1
上 页
③
下 页
用关联矩阵A表示的KCL,KVL: ①用A阵表示的KCL(矩阵形式): n-1个独立方程
Ai=0
其中: i i1 i2 ib
T
,支路电流列向量。 体现了结点法 的基本思想
②用A阵表示的KVL(矩阵形式):
３ Ⅰ1 ２ ④ Ⅲ 6 ４ Ⅱ ５
B u = 0, 或 Bf u = 0
例如
Bu =
1 1 1 0 0 0 -1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 -1 1
0 u1 u2 u3 u1 u4 u5 0 0 u1 u3 u5 u6
②(降阶)关联矩阵A
支路b
用关联矩阵A表示的KCL,KVL: ①用A阵表示的KCL(矩阵形式): ①
② ３ ４
６ ２ ④
Ai=0
其中: i i1 i2 ib 支路电流列向量。 例如 以结点④为参考结点 i1
T
５ 1
③
n-1个独立方程
Ai =
-1 -1 1 0 0 0 0 0 -1 -1 0 1 1 0 0 1 1 0
第15章 电路方程的矩阵形式
本章重点
15.1 15.2 15.3* 15.4 15.5 15.6* 15.7* 割集 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵 矩阵A、Bf 、Qf 之间的关系 回路电流方程的矩阵形式 结点电压方程的矩阵形式 割集电压方程的矩阵形式 列表法 首页
重点 1. 关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩 阵和基本割集矩阵的概念
３ ① ４
注意
u A un
T
６ ２ ④
返 回
体现了结点法的基本思想。
５ 1
上 页
③
下 页
用关联矩阵A表示的KCL,KVL: ①用A阵表示的KCL(矩阵形式): n-1个独立方程
Ai=0
其中: i i1 i2 ib
T
,支路电流列向量。 体现了结点法 的基本思想
②用A阵表示的KVL(矩阵形式):
３ Ⅰ1 ２ ④ Ⅲ 6 ４ Ⅱ ５
B u = 0, 或 Bf u = 0
例如
Bu =
1 1 1 0 0 0 -1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 -1 1
0 u1 u2 u3 u1 u4 u5 0 0 u1 u3 u5 u6
电路第15章电路方程的矩阵形式
元件参数的识别
利用矩阵形式的电路方程，可以对电路中的元件参数进行 识别和估计，例如通过测量节点电压和支路电流来计算元 件的电阻、电容、电感等参数。
系统分析和控制
矩阵形式的电路方程可以用于系统分析和控制，例如稳定 性分析、频率响应分析、最优控制等。
02 电路元件的矩阵表示
电阻元件的矩阵表示
总结词
电阻元件在矩阵形式中表示为对角线矩阵，对角线上的元素为电阻值。
矩阵元素的选取
矩阵中的元素根据电路元件的类 型和连接方式进行选取，通常包 括电阻、电容、电感等元件的参 数。
矩阵形式的优点
矩阵形式能够简化电路的分析和 计算过程，提高计算效率和精度， 适用于大规模复杂电路的分析。
矩阵形式的电路方程
节点电压方程
在电路中选取节点电压作为未知 量，根据基尔霍夫定律建立节点 电压方程，并将其表示为矩阵形
线性
电路的输出信号与输入信号成正比，满足叠加定 理。
3
时不变
电路的参数不随时间变化。
线性时不变电路的矩阵形式
矩阵形式的电路方程
将电路中的元件参数和连接关系表示为矩阵形式，以便于分析和 计算。
状态变量
描述电路中电压和电流变化的变量，通常用向量表示。
状态方程
描述电路中状态变量之间关系的方程，通常表示为矩阵形式。
矩阵形式的电路方程广泛应用于电子工程、通信工程、控制工程等多个领域，尤其在处理大规模复杂电 路时表现出显著的优势。
电路方程的矩阵形式的展望
01
矩阵形式的进一步研究
随着电子技术和计算机技术的不断发展，对电路方程的矩 阵形式的研究将更加深入。未来研究将更加注重矩阵形式 的数学基础、算法优化和数值稳定性等方面。
02 03
利用矩阵形式的电路方程，可以对电路中的元件参数进行 识别和估计，例如通过测量节点电压和支路电流来计算元 件的电阻、电容、电感等参数。
系统分析和控制
矩阵形式的电路方程可以用于系统分析和控制，例如稳定 性分析、频率响应分析、最优控制等。
02 电路元件的矩阵表示
电阻元件的矩阵表示
总结词
电阻元件在矩阵形式中表示为对角线矩阵，对角线上的元素为电阻值。
矩阵元素的选取
矩阵中的元素根据电路元件的类 型和连接方式进行选取，通常包 括电阻、电容、电感等元件的参 数。
矩阵形式的优点
矩阵形式能够简化电路的分析和 计算过程，提高计算效率和精度， 适用于大规模复杂电路的分析。
矩阵形式的电路方程
节点电压方程
在电路中选取节点电压作为未知 量，根据基尔霍夫定律建立节点 电压方程，并将其表示为矩阵形
线性
电路的输出信号与输入信号成正比，满足叠加定 理。
3
时不变
电路的参数不随时间变化。
线性时不变电路的矩阵形式
矩阵形式的电路方程
将电路中的元件参数和连接关系表示为矩阵形式，以便于分析和 计算。
状态变量
描述电路中电压和电流变化的变量，通常用向量表示。
状态方程
描述电路中状态变量之间关系的方程，通常表示为矩阵形式。
矩阵形式的电路方程广泛应用于电子工程、通信工程、控制工程等多个领域，尤其在处理大规模复杂电 路时表现出显著的优势。
电路方程的矩阵形式的展望
01
矩阵形式的进一步研究
随着电子技术和计算机技术的不断发展，对电路方程的矩 阵形式的研究将更加深入。未来研究将更加注重矩阵形式 的数学基础、算法优化和数值稳定性等方面。
02 03
第15章 电路方程的矩阵形式
Chapter 15 电路方程的矩阵形式主要内容 1.关联矩阵，回路矩阵，割集矩阵; 2.KCL, KVL 的矩阵形式；3.回路电流（网孔电流）方程、结点电压方程、割集电压方程的矩阵形式；§15-1 割集KCL 和KVL 所表示的电路中各电压、电流之间的约束关系取决于电路中各元件的连接方式。
电路的拓扑 ---- 电路中各元件的连接方式。
电路拓扑性质用图论及矩阵代数进行研究（图，回路，树，割集等）。
1. 割集：是G 的一个支路集合，移去这些支路，将使G 分离为两个部分，如果少移去其中任意一条支路，图仍将是连通的。
可以用在连通图G 上作闭合面的方法来判断确定一个割集，与闭合面相切割的所有支路构成一个割集（因移去这些支路，G 被分离为两部分）。
割集：),,,( ),,,,( ),,,,( ),,,( ),,,( ),,,( ),,,(d c b a f c e a f d e b c e d f c b b e a f d a 非割集：),,,(),,,(c b e a e d aKCL 适用于任何一个闭合面，属于同一割集的所有支路的电流满足KCL ，若一个割集的所有支路都连接在同一个接点上，割集的KCL 方程即变为结点上的KCL 方程2. 独立割集：一组线性独立的KCL 方程对应的割集。
应用割集法，首先必须选择一组独立割集。
① 选定连通图的一个树，则任何连支集合不能构成一个割集；因移去全部连支，剩下的子图（树）仍是连通的，故任何连支集合不能构成割集.② 连通图的每一个树支与一些相应的连支可以构成一个割集。
因移去全部连支，剩下子图为树，再移去一个树支，则树被分离成 21 T T 和两部分，于是联结 21 T T 和的那些连支和这条树支必构成一个割集。
③ 单树支割集（基本割集）由树的一条树支与相应的一些连支所构成的割集为单树支割集。
如下图中 ),,( ),,,( ),,,(d f a f c b e b a④n 个结点和b 条支路的连通图，其树支数为 (n -1)，有(n -1)个单树支割集，称为基本割集组。
第十五章 电路方程的矩阵形式
u （支路方向与回路绕向一致为正，反之为负）
由KVL可知，任一闭合回路电压的代数和恒为零
即有 B f u 0 或 Bf U 0 称为矩阵形式的KVL。
如上图中，u u1 u2 u3 u4 u5 u6 T
1 1 1 1 0 0
4
Bf 1 1 0 0 1 0
1 l1
l2
6
0
1
100 u1
1
5 2 3 l3
us5 -
R5
b5
1
b1 2 b2 3
Is1
R2
+
+
b4
b3
b6
u4 - R4
R3
kuu4 _
4
电路
拓扑图（线图）
支路电压和支路电流的正方向与支路方向一致-----
有向图
连通图：是指拓扑图中任意两节点间都至少有一条通路。
子图：是指原拓扑图的一部分，可包括原图的一些边和顶 点。
树：在连通图中包含连通图中的全部节点和部分支路，不 包含回路。
b4
b5 b3
4
特点：
a.每一列的代数和均为零。其中的行不是彼 此独立的，其任意一行都与（n-1）行的和 的相反的数相等。
b.去掉以任意一个节点为参考节点所对应的 一行后记为（n-1） b阶矩阵称为降阶的关 联矩阵 简称关联矩阵 。用符号 A 表示。
在 Aa 中划去的行对应的节点即为参考节点。
如上图选节点④为参考节点则有：
b1 b5
b2
Q1
b4
b3
Q3 b6
Q2
规定基本割集的方向与其中的树支方向一致。
若将切割线Q1，Q2，Q3延伸成闭合面则有：
ib1 ib2 ib4 ib6 0 ib2 ib5 ib6 0 ib3 ib4 ib6 0
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u4
0
0
1
1
1 0 1 1
0
1
0
1
u4 u5 u6
u4
u5 u6 u4 u5
u5
u6
u5
u6
u1
u2
0 1 1
u5 u6 u3
KVL的另一种形式
[u]
ut
ul
QTut
1
QTl
ut
ul
Q
T l
ut
用树支电压表示连支电压
i6
0
i1
i2
i5
i2 i3 i6
矩阵形式的KCL A i = 0
1
①
4
②
2
5 3
④
6
矩阵形式KVL
③
节支 1 2 3 4 5 6
1 1 0 0 -1 0 1 A= 2 -1 -1 0 0 1 0
3 0 1 1 0 0 -1
1
0
0
1
0 1
1 1 0 0 1 0
0
1 1 0 0
由一条树支和部分连支可以构成割集。对于一个有n个 节点和b条支路组成的电路，树支数有（n-1）个，因此可 以构成（n-1）单树支割集。称之为基本割集组。
②
②
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q1: { 2 , 3 , 6 }
1
2
①5
③
43 ④6
Q2: { 3 , 5 , 4}
1
2
①5
③
43 ④6
Q3: { 1 , 5 ,3 , 6 }
图中的方向表示原电路中支路电压和 电流关联参考方向。
§15-2. 回路、树、割集
一. 回路
回路L是连通图G的一个子图。
具有下述性质
(1)连通； (2)每个节点关联支路数恰好为2。
123 75
6 84
23 5 回路
12 5
78 4 不是回路
二 . 树 (Tree)
树T是连通图G的一个子图，具有下述性质：
矩阵形式的KCL： Qi =0
矩阵形式的KCL的另一种形式
Qi =0 可写成
[Qt
Ql
]iilt
[1
Ql
]iilt
0
it Ql il 用连支电流表示树支电流
回路矩阵表示时 it BTt il
回路矩阵和割集矩阵的关系
Ql
B
T t
矩阵形式的KVL QTut=u
４
５
３
２
６
1
1 0 0
u4
关联矩阵
aij = 1 aij aij= -1
aij =0
Aa={aij}n b
节点数 支路数
有向支路 j 与节点 i 关联且背离节点 i 有向支路 j与节点 i 关联且指向节点 i j 支路与i节点无关
②
1
2
节支 1 2 3 4 5 6 1 1 0 0 -1 0 1
①
5
③
Aa=
2 3
-1 -1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 -1
3、当电路中含有与无源元件串联的受控电压源时（控制量 为其它支路无源元件的电压或电流）， Z不再是对角阵。
三. 回路方程
KVL BU 0
Ik
Iek USk
KCL I BT Il
Zk IS
VCR U ZI ZIS US
Uk
BU BZI BZIS BUS 0
BZB T Il BUS BZIS
第十五章 电路方程的矩阵形式
本章重点 （1）图的矩阵表示 关联矩阵A 单连支回路矩阵B 单树支割集矩阵Q （2）矩阵形式的 KCL、KVL （3）节点电压方程的建立
§15-1 图的基本概念
i1 i2 i3 i1 i2 i3 i = 0
抽象
i1 i2 i3
+
抽象
支路
-
无
一. 图的基本概念
抽象
向
L
图
uS
i1
i2
i
i3 i4
i5
i6
u1
支路电压
u2
u
u3 u4
u5
u6
节点电压 un1
un
un
2
un3
②
i1
1
①
2
i2
5
1 0 0 -1 0 1
③ Ai = -1 -1 0 0 1 0
i3
0 1 1 0 0 -1 i4
4
3
④
6
i5
i1 i4 i6
il
用连支电流表示树支电流
三. 基本割集矩阵Q
用矩阵形式描述基本割集和支路的关联性质
４
５
Q = { q i j } n-1 b
３
基本割集数 支路数
２
６ 约定 (1) 割集方向与树支方向相同。
1
(2)支路排列顺序先树(连)支, 后连(树)支。
1 j支路在割集i中且与割集i方向一致
qij= -1 j支路在割集i中且与割集i方向相反
由于KCL适用于任何一个闭合面，对于每一个割集来说， 组成割集的所有支路的电流应满足KCL。
对于一个连通图，可有多个割集，可以列出与割集数相等 的KCL方程。这些方程彼此之间并不独立。
借助于“树”来确定独立割 集。
单树支割集（基本割集）
连支集合不能构成割集。即使所有连支都去掉，剩下 的树支仍然构成连通图，与割集的定义矛盾。
0 j 支路不在割集i中
４
５
C1:{1,2,4} C2:{1,2,3,5} C3:{2,3,6}
３
２
６
1
割集支 4
C1 1
Q= C2 0
C3 0
设
[i] [i4 i5 i6 i1 i2 i3 ]T
56123
0 0 -1 -1 0
1 0 1 1 -1
0 1 0 -1 1
Qt
Ql
ut=[ u4 u5 u6 ]T
(1)连通； (2)包含G的所有节点和部分支路； (3)不包含回路。
树支：组成树的支路 连支：属于G而不属于T的支路
16个 树不唯一
树支数 bt= n-1
连支数 bl=b-(n-1)
单连支回路（基本回路）
4
1 3 56
2
树支数 4 连支数 3
7 单连支回路
独立回路
4 1
5
三. 割集
割集Q是连通图G中一个支路的集合，具有下述性质： (1) 把Q 中全部支路移去，将图分成两个分离部分；
每一支路，连接在两个节 点上，必然要背离一个节 点，指向另一节点。
设④为参考节点
称A为降阶关联矩阵 (n-1)b ， 表征独立节点与支路的关联性质
②
1
2
节支 1 2 3 4 5 6
①
5
③
1 1 0 0 -1 0 1
4
3
A= 2 -1 -1 0 0 1 0 3 0 1 1 0 0 -1
④
6
设:
支路电流
1、电感之间无耦合情况
.
.
.
.
U k Zk ( I k I s ) U sk
对于整个电路有：
U ZI ZIS US
Ik
Iek USk
Zk IS
Uk
Rk
Zk
jLk
1
jCk
Z 为支路阻抗矩阵，它是一个对角阵。
2、电感之间存在耦合时，方程中还应考虑互感电压的作用， 比较复杂。此时，Z不再是对角阵。
0
1
0
0
1 1 1 0 1 0
0
1
1
0
0
1
i1
i2
i3
i1 i2 i1 i2 i2 i3
i1 i2 i3
i3
i4
i5
i6
i1
i2
i3
KCL的另一种形式
B=[ Bt 1 ]
it
B
T t
il
BT
B1Tt
B1Tt
il
it
Ik
Iek
USk
Yk IS
Uk
4. US 5 0 0 0 0 0 T 5. IS 0 0 0 1 3 0 T ①
小结：
A
B
KCL Ai=0
KVL ATun=u
Ql
B
T t
BTil=i
it BTt il
Bu=0 ul = - Btut
Q
Qi=0 it Qlil
QTut=u
ul
Q
T l
ut
§15-4 回路电流方程的矩阵形式
一. 复合支路
由RLC、电压源、电流源组成 参考方向如图所示 不存在无伴电流源
二. 复合支路约束方程
(2)保留Q 中的一条支路，其余都移去， G还是连通的。
②
2
1
2
①5
③
1
5
①
43
4
④
6 6
Q1: { 2 , 5 , 4 , 6 }
②
③
3
④
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q2: { 2 , 3 , 6 }
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q3: { 1 , 5 , 4}
②
1
2
①5
③
43 ④6
Q4: { 1 , 5 , 2 }
Ik
Iek USk
Zk IS
Uk
I1