2019-2020学年新人教A版必修二 平面与平面平行的性质 课时作业
2019-2020学年新人教A版必修二 直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质 课时作业
课时分层作业(十五) 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行B [由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．]2．已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：①⎩⎪⎨⎪⎧m ⊥αm ⊥n ⇒n ∥α；②⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥βn ⊥β⇒m ∥n ；③⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊥αm ⊥β⇒α∥β；④⎩⎪⎨⎪⎧ m ⊂αn ⊂βα∥β⇒m ∥n .其中正确命题的序号是( )A ．②③ B．③④ C ．①② D．①②③④A [①中n ，α可能平行或n 在平面α内；②③正确；④两直线m ，n 平行或异面，故选A.]3．如图所示，设平面α∩平面β＝PQ ，EG ⊥平面α，FH ⊥平面α，垂足分别为G ，H .为使PQ ⊥GH ，则需增加的一个条件是( )A ．EF ⊥平面αB ．EF ⊥平面βC ．PQ ⊥GED ．PQ ⊥FHB [因为EG ⊥平面α，PQ ⊂平面α，所以EG ⊥PQ .若EF ⊥平面β，则由PQ ⊂平面β，得EF ⊥PQ .又EG 与EF 为相交直线，所以PQ ⊥平面EFHG ，所以PQ ⊥GH ，故选B.]4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l ，点A ∈α，A ∉l ，直线AB ∥l ，直线AC ⊥l ，直线m ∥α，m ∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．AB ∥m B ．AC ⊥mC．AB∥βD．AC⊥βD[如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β. 故选D.]5．已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是( )A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．α∥β，β⊥γ，则α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥αB[A中α，γ可以相交； C中如图：a与b不一定垂直； D中b仅垂直于α的一条直线a，不能判定b⊥α.]二、填空题6．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.6 [因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.]7．已知直线m⊂平面α，直线n⊂平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b⊥n，则直线a，b的位置关系是________．a∥b[因为直线a⊥m，a⊥n，直线m⊂平面α，直线n⊂平面α，m∩n＝M，所以a⊥α，同理可证直线b⊥α.所以a∥b.]8．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．45°[如图，过A作AO⊥BD于O点，∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．∵∠BAD ＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°.]三、解答题9．如图，PA⊥正方形ABCD所在平面，经过A且垂直于PC的平面分别交PB，PC，PD于E，F，G，求证：AE⊥PB.[证明]因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC.又ABCD是正方形，所以AB⊥BC.因为AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB.因为AE⊂面PAB，所以BC⊥AE.由PC⊥平面AEFG，得PC⊥AE，因为PC∩BC＝C，所以AE⊥平面PBC.因为PB⊂平面PBC，所以AE⊥PB.10．如图，已知平面α⊥平面β，在α与β的交线上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线AB，并且AC＝3 cm，BD＝12 cm，求CD的长．[解]连接BC. ∵α⊥β，α∩β＝AB，BD⊥AB，∴BD⊥平面α.∵BC⊂α，∴ BD⊥BC，在Rt△BAC中，BC＝AC2＋AB2＝32＋42＝5，在Rt△DBC中，CD＝BC2＋BD2＝52＋122＝13，∴CD长为13 cm.[能力提升练]1．如图所示，三棱锥PABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是( )A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点D[∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC⊂平面PAC，且平面PAC∩平面PBC＝PC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆，除去A和B两点，故选D.]2．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．6 [取CD的中点G，连接MG，NG.因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝ 2. 因为平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN＝MG2＋NG2＝ 6.]。
2019-2020年高中数学人教A版必修2作业与测评：2.2.1+直线与平面平行的判定+Word版含
2．2直线、平面平行的判定及其性质第12课时直线与平面平行的判定对应学生用书P33直线与平面平行的判定知识点一A．b与α内一条直线平行B．b与α内所有直线都无公共点C．b与α无公共点D．b不在α内，且与α内的一条直线平行答案 A解析A中b可能在α内；B，C显然是正确的，D是线面平行的判定定理，所以选A．2．圆台的一个底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是()A．平行B．相交C．在平面内D．不确定答案 A解析圆台的一个底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则它们平行．3．点E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，则这个四面体的六条棱中，与平面EFGH平行的条数是()A．0 B．1 C．2 D．3答案 C解析如图，由线面平行的判定定理可知，BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH．4．如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．答案平行解析∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF．又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE．又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE．111111证：AC∥平面B1DE．证明连接AC1，交B1D于点O，连接OE，则OE为△ACC1的中位线，∴OE∥AC，又OE⊂平面B1DE，AC⊄平面B1DE，∴AC∥平面B1DE．6．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N 分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD．证明取PD的中点E，连接NE，AE．∵N为PC的中点，∴NE为△PDC的中位线，则NE綊12DC．又AM綊12DC，∴NE綊AM．∴四边形AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．又AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD．一、选择题1．a，b为不同直线，α为平面，则下列说法：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b⊂α，则a∥b；③若a∥b，a∥α，则b∥α；④若a∥α，b∥α，则a∥b．其中正确的是()A．①④B．①③C．②D．都不正确答案 D解析①中可以为a⊂α，不正确；②a∥α，b⊂α，a，b可以异面，a∥b不正确；③b可以在α内，因此b∥α不正确；④a，b可以相交、平行或异面，不正确．故选D．2．已知直线l1，l2，平面α，l1∥l2，l1∥α，那么l2与平面α的关系是() A．l2∥α B．l2⊂αC．l2∥α或l2⊂α D．l2与α相交答案 C解析当l2在平面α外时，由l1∥l2，l1∥α可得到l2∥α；当l2在平面α内时，也符合题意．3．在三棱锥A－BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB ＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．直线AC在平面DEF内D．不能确定答案 A解析∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC．又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF．4．下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是()A．①②B．①④C．②③D．③④答案 A解析①正确，取MP的中点O，连接NO，则NO∥AB，可得到直线AB与平面MNP平行；②正确，因为MP∥AB，可得到直线与平面平行；③连接底面两条对角线交于点O，连接OP，很显然AB∥OP，而直线OP不在平面MNP内，所以直线AB与平面MNP是相交关系，不是平行；④直线AB与平面MNP是相交关系，不是平行．故选A．5．若M，N分别是△ABC边AB，AC的中点，直线MN与过直线BC的平面β的位置关系是()A．MN∥βB．MN与β相交或MN⊂βC．MN∥β或MN⊂βD．MN∥β或MN与β相交或MN⊂β答案 C解析∵MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC．∵平面β过直线BC，∴若平面β过直线MN，即MN⊂β，符合要求；若平面β不过直线MN，由线面平行的判定定理知MN∥β，∴MN∥β或MN⊂β，故选C．二、填空题6．如图所示，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若AMMB＝ANND，则MN与平面BDC的位置关系是________．答案平行解析由AMMB＝ANND得MN∥BD，又MN⊄平面BDC，BD⊂平面BCD，得MN∥平面BDC．7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线MD与平面A1ACC1的位置关系是________．直线MD与平面BCC1B1的位置关系是________．答案相交平行解析∵M是A1D1的中点，∴直线DM与直线AA1相交，∴DM与平面A1ACC1有一个公共点，∴DM与平面A1ACC1相交．取B1C1中点M1，连接MM1，M1C．∵MM1∥C1D1，C1D1∥CD，∴MM1∥CD．∵MM1＝C1D1，C1D1＝CD，∴MM1＝CD．∴四边形DMM1C为平行四边形，∴DM∥CM1，又∵DM⊄平面BCC1B1，CM1⊂平面BCC1B1，∴DM∥平面BCC1B1．8．设m，n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α．以其中两个为条件，余下的一个为结论，可构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________________．答案①②⇒③(或①③⇒②)解析若n和α相交，则m与n异面或相交，这与m∥n矛盾，∴n和α不相交，又n在α外，∴n∥α，∴①②⇒③，同理①③⇒②．三、解答题9．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点．求证：PD∥平面MAC．证明如图所示，连接BD交AC于点O，连接MO，则MO为△BDP的中位线，∴PD∥MO．∵PD⊄平面MAC，MO⊂平面MAC，∴PD∥平面MAC．10．如图，在底面是正三角形的三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中点．判断直线A1B与平面ADC1的关系．解A1B∥平面ADC1．证明如下：如图，连接A1C交AC1于F，则F为A1C的中点．连接FD．因为D是BC的中点，所以DF∥A1B．又DF⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．。
2020年新人教A版高中数学必修2同步课时跟踪检测：(十一)直线与平面、平面与平面平行的性质
课时跟踪检测（十一）直线与平面、平面与平面平行的性质一、题组对点训练对点练一直线与平面平行的性质定理1.梯形ABCD 中，AB // CD , AB ?平面a, CD ?平面a,则直线CD 与平面a 内的直线 的位置关系只能是（）A •平行B •平行或异面C •平行或相交D.异面或相交解析：选 B 由题意，CD //a,则平面a 内的直线与CD 可能平行，也可能异面. 2 .已知直线 m , n 和平面 a , m / n , m / a,过 m 的平面 3与a 相交于直线 a ,则n 与a 的位置关系是（)A .平行B •相交C •异面 D.以上均有可能解析：选A 由线面平行的性质知 m//a ,而m II n ,所以n //a.3.如图所示，在三棱锥 A-BCD 中，E , F , G , H 分别是 AB , BC , DA 上的点，当 BD //平面EFGH 时，下列结论正确的是 （）F ,G ,H 一定是所在边的中点4 .如图，aA 3= CD , aA Y EF , 附 尸 AB , AB // a .求证：CD // EF . 证明：因为 AB // a, AB ? 3 aA 3= CD ，所以 AB /CD. 同理可证AB//EF , 所以 CD //EF.对点练二平面与平面平行的性质定理5 .已知平面a//平面3过平面a 内的一条直线a 的平面Y 与平面3相交，交线为直线B .G , H 一定分别是CD , DA 的中点 EB :AE = BF : FC ，且 DH : HA = DG : GCAE :EB = AH : HD ，且 BF : FC = DG : GC解析：选 D 由 BD //平面 EFGH ,得 BD //EH , BD //FG ，贝U AE : EB = AH : HD ，且 BF : FC = DG : GC ，故选 D.b,贝U a, b的位置关系是（）A •平行B •相交C .异面 D.不确定解析：选A 由面面平行的性质定理可知选项A正确.6. .如图，在多面体ABC-DEFG 中，平面ABC// 平面DEFG , EF // DG, 且AB = DE , DG = 2EF，则（）A. BF //平面ACGDB. CF //平面ABEDC . BC // FGD .平面ABED //平面CGF解析：选A 取DG的中点为M，连接AM , FM，如图所示.则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形，••• DE綊FM.T平面ABC //平面DEFG , 平面ABC 门平面ADEB = AB,平面DEFG 门平面ADEB = DE ,「.AB//DE ,「.AB//FM .又AB =DE , AAB = FM，•四边形ABFM 是平行四边形，即BF //AM.又BF?平面ACGD ,「.BF //平面ACGD .故选 A.7.如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面a平行，且四边形ABCD 在平面a内的平行投影A I B I C I D I是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状 _. r 曰定是 ________ .解析：由平行投影的定义，AA i //BB I，而ABCD所在平面与平面a平行，则AB //A i B i，则四边形ABB1A1为平行四边形；同理四边形CC i D i D为平行四边形.因为A i B i綊C i D i,所以AB綊CD，从而四边形ABCD为平行四边形.答案：平行四边形8.如图，在三棱柱ABC-A i B i C i中，平面BC i N = N.求证：N为AC的中点.证明：因为平面AB i M //平面BC i N ,平面ACC i A i H 平面AB i M = AM ,平面BC i N门平面ACC i A i = C i N ,所以C i N //AM，又AC/A i C i,M是A i C i的中点，平面AB i M //平面BC i N, AC nER所以四边形ANC i M为平行四边形,所以 AN //C i M 且 AN = C i M , 1又 C i M = qA i C i , A i C i = AC ,1所以AN = 2AC ，所以N 为AC 的中点.对点练三 线线、线面、面面平行的综合9 .如图所示，已知 P 是?ABCD 所在平面外一点, PAD 门平面PBC = l.(1) 求证：I // BC ;(2) MN 与平面APD 是否平行？试证明你的结论. 解：(i)证明：因为BC//AD , BC ?平面 PAD , AD ?平面 PAD , 所以BC //平面PAD.又因为平面 PBC 门平面PAD = I ，所以BC //I.⑵平行.证明如下：取 PD 的中点E ,连接 AE , NE ，可以证得 NE //AM 且NE = AM. 可知四边形 AMNE 为平行四边形. 所以 MN //AE ,又因为 MN ?平面 APD , AE ?平面 APD , 所以MN //平面APD. iO .如图所示，ABC-A i B i C i 中，平面ABC //平面A i B i C i ,若D 是棱CC i的中点，在棱 AB 上是否存在一点 E ，使DE //平面AB i C i ?证明你的结论.解：当点E 为棱AB 的中点时，DE //平面AB i C i .证明如下: 如图，取 BB i 的中点F ，连接EF 、FD 、DE , ••D 、E 、F 分别为CC i 、AB 、BB i 的中点， •••EF //AB i ,v AB i ?平面 AB i C i , EF ?平面 AB i C i , •••EF //平面AB i C i .同理可证FD //平面AB i C i . •/EF n FD = F ，•平面 EFD // 平面 AB i C i .M , N 分别是 AB , PC 的中点，平面A______ A.••DE ?平面EFD ,•••DE //平面AB i C i.二、综合过关训练1.若平面a//平面3,直线a? a,点B € 3,则在B内过点B的所有直线中（）A •不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C •存在无数条与a平行的直线D •存在唯一一条与a平行的直线解析：选D 因为a与B确定一个平面，该平面与3的交线即为与a平行的直线，只有唯一一条.2.如图，在三棱柱ABC-A i B i C i 中，AM = 2MA i, BN = 2NB i,过MN平面分别交底面三角形ABC的边BC , AC于点E , F，则（）A. MF // NEB.四边形MNEF为梯形C .四边形MNEF为平行四边形D . A i B i // NE解析：选B ••在平行四边形AA i B i B 中，AM = 2MA i, BN = 2NB i,「・AM 綊BN ,「.MN 綊AB.又MN ?平面ABC , AB ?平面ABC,「.MN //平面ABC.又MN ?平面MNEF，平面MNEF n平面ABC = EF , /-MN // EF , /-EF //AB ,显然在△ ABC 中EF 工AB , /-EF 工MN , •四边形MNEF为梯形.故选B.3.如图i,在直角梯形ABCD中，AB// CD , / BAD = 90° °点E为线段AB上异于A ,B的点，点F为线段CD上异于C , D的点，且EF // DA ,沿EF将面EBCF折起，如图2 , 则下列结论正确的是（）A. AB // CDB. AB// 平面DFC 图1图左C. A, B, C, D四点共面D . CE 与DF 所成的角为直角解析：选B 在图2中，TBE //CF , BE ?平面DFC , CF ?平面DFC , •••BE //平面 DFC ，同理 AE //平面 DFC.又 BE n AE = E ,二平面 ABE // 平面DFC .又AB ?平面 ABE ,「.AB //平面DFC.故选B.4.在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中，若经过 D I B 的平面分别交 AA i 和CC i 于 点E 、F ，则四边形 D I EBF 的形状是（）A •矩形B •菱形C .平行四边形D.正方形解析：选C 因为过D I B 的平面和左右两个侧面分别交于 ED i 、BF ，所以ED1//BF ，同理D i F //EB ，所以四边形 D i EBF 是平行四边形.5•如图，在长方体 ABCD-A i B i C i D i 中，过BB i 的中点E 作一个与平面 ACB i 平行的平 面交AB 于M ，交BC 于N ，贝U MN = _____________ AC.解析：因为平面 MNE //平面ACB i ,平面 ABCD n 平面MNE = MN ,平面 ABCD n 平面 ACB i = AC ,所以 MN //AC.同理可证 EM //AB i , EN //B i C.因为E 是 iB i B 的中点，所以 M 、N 分别是 AB 、BC 的中点，所以 MN = ?AC.答案：2i•••EF //AC.又点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，•点F 是CD 的中点，/-EF = qAC7.如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为梯形，BC / AD , E 为侧 棱PD 的中点，且 BC = 2, AD = 4.求证：CE //平面 PAB.••E 为侧棱PD 的中点，• OE //PA , ••OE ?平面 PAB , PA ?平面 PAB ,6•如图，正方体ABCD-A i B i C i D i 中, AB = 2,点E 为AD 的中点，点 解析：•••EF //平面 AB i C , EF ?平面 ABCD ，平面 AB i C n 平面 ABCD = AC ,证明：取AD 的中点0,连接0C , OE.Di ___________ C LCD 上，若EF //平面AB i C ,则线段EF 的长度等于 ______________D F C•••OE // 平面PAB.••BC= 2, AD = 4, BC//AD ,•四边形ABCO为平行四边形，•••OC//AB,••OC?平面PAB, AB?平面PAB,•••OC // 平面PAB.•/OC n OE = O ,•平面OCE //平面PAB.••CE?平面OCE ,「.CE //平面PAB.8.如图，在正方体ABCD-A i B i C i D i中,C iD i、AD. BD的中点.求证：(1) PQ //平面DCC i D i；(2) EF //平面BB i D i D.证明：⑴法一：如图，连接AC、CD i.因为P、Q分别是AD仆AC的中点,F G所以PQ//CD i.又PQ?平面DCC i D i, CD i?平面DCC i D i,所以PQ//平面DCC i D i.法二：取AD的中点G,连接PG、GQ,则有PG//DD i, GQ //DC，且PG n GQ = G ,所以平面PGQ //平面DCC i D i.又PQ?平面PGQ,所以PQ//平面DCC i D i.⑵法一：连接B i D i，取B i D i的中点O i,i连接FO i，则有FO i = [B i C i, FO i/B i C i .又BE //B i C i, BE = ^B i C i,所以BE //FO i,且BE = FO i.所以四边形BEFO 1 为平行四边形，所以EF //BO i,又EF ?平面BB i D i D, BO i? 平面BB i D i D,所以EF //平面BB i D i D.法二：取B i C i的中点E i,连接EE i、FE i,则有FE i //B i D i, EE i //BB i, 且FE i n EE i= E i. 所以平面EE i F //平面BB i D i D.又EF ? 平面EE i F,所以EF //平面BB i D i D.。
2019-2020学年人教A版高中数学必修二课件--直线与平面、平面与平面平行的性质
(3)怎样认识直线与平ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ平行的性质定理？
名师指津：①线面平行的性质定理的条件有三个： (ⅰ)直线 a 与平面 α 平行，即 a∥α； (ⅱ)平面 α、β 相交于一条直线，即 α∩β＝b； (ⅲ)直线 a 在平面 β 内，即 a⊂β. 三个条件缺一不可． ②定理的作用： (ⅰ)线面平行⇒线线平行； (ⅱ)画一条直线与已知直线平行． ③定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行， 即通过直线与平面平行可得到直线与直线平行，这给出了一种 作平行线的方法，体现了数学中的转化与化归的思想． ④在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个 平面，就平行于这个平面内的一切直线”的错误．
谢谢 观 看
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答案：②③
3．如图所示，A1B1C1D1-ABCD 是四棱台，求证：B1D1∥BD.
证明：根据棱台的定义可知，BB1 与 DD1 相交，所以 BD 与 B1D1 共面． 又因为平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1，且平面 BB1D1D∩平面 ABCD＝BD，平面 BB1D1D∩平面 A1B1C1D1＝B1D1， 所以 B1D1∥BD.
[类题通法] 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
[针对训练] 2．给出下列说法：
①若平面 α∥平面 β，平面 β∥平面 γ，则平面 α∥平面 γ； ②若平面 α∥平面 β，直线 a 与 α 相交，则 a 与 β 相交； ③若平面 α∥平面 β，P∈α，PQ∥β，则 PQ⊂α； ④若直线 a∥平面 β，直线 b∥平面 α，且 α∥β，则 a∥b. 其中正确说法的序号是________．
[类题通法] 1．空间中各种平行关系相互转化的示意图
2019-2020学年人教A版必修二 2.1.1 平面 课时作业
课时作业(七)1．下列判断中不正确的是()A．一个平面把整个空间分为两部分B．两个平面将整个空间可分为三或四部分C．任何一个平面图形都是一个平面D．圆和平面多边形都可以表示平面答案 C2．四条线段首尾相接，它们最多确定平面的个数是()A．4个B．3个C．2个D．1个答案 A解析当A、B、C、D不共面时，确定的平面最多，共4个，平面ABC、平面ABD、平面ACD、平面BCD.如图．3．在空间中，下列命题中不正确的是()A．如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点B．若已知四个点不共面，则其中任意三个点也不共面C．若点A既在平面α内又在平面β内，则点A在平面α与平面β的交线上D．若两点A、B既在直线l上又在平面α内，则l在平面α内答案 B4．下列图形中正确的是()答案 D5．空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中() A．必有三点共线B．必有三点不共线C．至少有三点共线D．不可能有三点共线答案 B解析空间四点A、B、C、D共面不共线，有两种情形：①无任何三点共线，但四点共面，②其中某三点共线，另一点在该直线外，这两种情况都有三点不共线．6．三条直线两两相交，可以确定平面的个数为()A．1 B．1或2C．1或3 D．3答案 C7．平面α∩平面β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，点β∩γ是()A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．以上均错答案 C8．在空间四边形ABCD(D∉平面ABC)各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，若EF、GH交于一点P，则()A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P不在直线BD，也不在直线AC上答案 B解析∵EF∩GH＝P，∴P∈EF.又EF⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理可证P∈平面ACD.又∵平面ACD∩平面ABC＝AC，∴P∈AC.9．通过类比进行填空：直线上一个点把这条直线分成两部分．(1)把直线改成平面，点改为直线，则类比为______________________ ___________________________________________________________ __________________________________________________________.(2)把直线改为空间，点改为平面，则类比为_____________________ ___________________________________________________________ __________________________________________________________. 答案(1)平面内的一条直线把平面分成两部分．(2)空间内的一个平面把空间分成两部分．10．四条线段首尾相接得到一个四边形，当且仅当它的两条对角线________时，才是一个平面图形．答案相交11.观察正方体，如图判断下列命题是否正确？(1)∠A1C1B＝60°；(2)四边形A1C1BD为菱形．解析(1)连接A1B可求得A1B＝BC1＝C1A1＝2A1B1.∴△A1BC1为正三角形，因此∠A1C1B＝60°，命题正确．(2)虽然可求得A1C1＝C1B＝BD＝DA1，但A1、C1、B、D四点不在同一平面内，四边形A1C1BD不是菱形，命题错误．12．按下列条件画出图形．(1)直线a经过平面α内一点A和平面α外一点B；(2)平面α过相交直线a和b，平面β过直线b和平面α外一点A.答案13．按照给出的要求，完成下面两个相交平面的作图，如图(1)、(2)、(3)、(4)、(5)、(6)中的线段AB，分别是两个平面的交线．解析由两个相交平面的画法：本题只需过线段的端点画出与交线AB平行且相等的线段，即可得到相关的平行四边形，注意被平面遮住的部分应画成虚线或者不画，然后在相关的平面上标上表示平面的字母即可，如下图所示．14．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AD 、A 1B 1、B 1B 的中点．(1)画出过M 、N 、P 三点的平面与平面AC 的交线以及与平面BC 1的交线；(2)设过M 、N 、P 三点的平面与BC 交于点R ，求PR 的长． 解析 (1)延长NP 、AB 交于点Q.则Q ∈平面MNP ， Q ∈平面AC. 又M ∈平面MNP ， M ∈平面AC.∴平面MNP ∩平面AC ＝MQ.设MQ ∩BC ＝R.则平面MNP ∩平面BC 1＝PR. (2)∵P 为BB 1中点，∴BQ ＝B 1N ＝12AB ，∴BR ＝13AM ＝43(cm)．4∴PR＝BP2＋BR2＝310(cm)．。
2020新人教版高中数学必修二《平面与平面平行的判定》课时跟踪检测
课时跟踪检测（二十八）平面与平面平行的判定A级——学考合格性考试达标练1．能够判断两个平面α，β平行的条件是()A．平面α，β都和第三个平面相交，且交线平行B．夹在两个平面间的线段相等C．平面α内的无数条直线与平面β无公共点D．平面α内的所有的点到平面β的距离都相等解析：选D平面α内的所有的点到平面β的距离都相等说明平面α，β无公共点．故选D.2．已知l∥α，m∥α，l∩m＝P且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是() A．相交B．平行C．相交或平行D．不确定解析：选B因为l∩m＝P，所以过l与m确定一个平面β，又因为l∥α，m∥α，l∩m ＝P，所以β∥α.故选B.3．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是()A．平面α内有一条直线与平面β平行B．平面α内有两条直线与平面β平行C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D．平面α与平面β不相交解析：选D选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.4．正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G解析：选A在平面E1FG1与平面EGH1中，因E1G1∥EG，FG1∥EH1，且E1G1∩FG1＝G1，EG∩EH1＝E，故平面E1FG1∥平面EGH1.故选A.5．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．有以下命题：①若m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选B对于①，设相交直线m，n确定一个平面γ，则有γ∥α，γ∥β，∴α∥β，故①正确；②③显然不正确．故选B.6．六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有______对．解析：由图知平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，∴此六棱柱的面中互相平行的有4对．答案：47.如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是________．解析：∵A1E∥BE1，A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1.同理，A1D1∥平面BCF1E1.又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1⊂平面EFD1A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.答案：平行8．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．解析：以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的．答案：①②③④9.如图，三棱锥P-ABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．证明：平面GFE∥平面PC B.证明：因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，所以EF∥BC，GF∥CP.因为EF ，GF ⊄平面PCB ，BC ，CP ⊂平面PCB .所以EF ∥平面PCB ，GF ∥平面PCB .又EF ∩GF ＝F ，所以平面GFE ∥平面PCB .10．已知，点P 是△ABC 所在平面外一点，点A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△P AC ，△P AB 的重心．求证：平面A ′B ′C ′∥平面ABC .证明：如图，连接P A ′，并延长交BC 于点M ，连接PB ′，并延长交AC 于点N ，连接PC ′，并延长交AB 于点Q ，连接MN ，NQ .∵A ′，B ′，C ′分别是△PBC ，△P AC ，△P AB 的重心，∴M ，N ，Q 分别是△ABC 的边BC ，AC ，AB 的中点，且P A ′A ′M＝PB ′B ′N＝2， ∴A ′B ′∥MN .同理可得B ′C ′∥NQ .∵A ′B ′∥MN ，MN ⊂平面ABC ，A ′B ′⊄平面ABC ，∴A ′B ′∥平面ABC .同理可证B ′C ′∥平面ABC .又∵A ′B ′∩B ′C ′＝B ′，A ′B ′⊂平面A ′B ′C ′，B ′C ′⊂平面A ′B ′C ′，∴平面A ′B ′C ′∥平面ABC .B 级——面向全国卷高考高分练1．已知三个平面α，β，γ，一条直线l ，要得到α∥β，必须满足下列条件中的( )A ．l ∥α，l ∥β且l ∥γB ．l ⊂γ，且l ∥α，l ∥βC ．α∥γ，且β∥γD ．以上都不正确 解析：选C ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γ ⇒α与γ无公共点β∥γ ⇒β与γ无公共点⇒α与β无公共点⇒α∥β.故选C. 2．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为( )A ．平行B ．相交C ．平行或相交D ．可能重合解析：选C 若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．故选C.3．已知a ，b ，c ，d 是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a ∥b ∥c ∥d ，a ⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是()A．平行B．相交C．平行或相交D．以上都不对解析：选C根据图1和图2可知α与β平行或相交．故选C.4.[多选]如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，线段B1D1上有两个动点E，F且EF＝1，则当E，F移动时，下列结论正确的是() A．AE∥平面C1BDB．四面体ACEF的体积不为定值C．三棱锥A-BEF的体积为定值D．四面体ACDF的体积为定值解析：选ACD对于A，如图1，AB1∥DC1，易证AB1∥平面C1BD，同理AD1∥平面C1BD，且AB1∩AD1＝A，所以平面AB1D1∥平面C1BD，又AE⊂平面AB1D1，所以AE∥平面C1BD，A正确；对于B，如图2，S△AEF＝12EF·h1＝12×1×32＋⎝⎛⎭⎫3222＝364，点C到平面AEF的距离为点C到平面AB1D1的距离d为定值，所以V A-CEF＝V C-AEF＝13×364×d＝64d为定值，所以B错误；对于C，如图3，S△BEF＝12×1×3＝32，点A到平面BEF的距离为A到平面BB1D1D的距离d为定值，所以V A-BEF＝13×32×d＝12d为定值，C正确；对于D，如图4，四面体ACDF的体积为V A-CDF＝V F-ACD＝13×12×3×3×3＝92为定值，D正确．故选A、C、D.5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别为BB1，AB，BC的中点，Q为直线NP上任一点，则MQ与平面A1C1D的位置关系为________．解析：连接MN，MP(图略)，显然平面MNP∥平面A1C1D，而MQ⊂平面MNP，故MQ ∥平面A1C1D.答案：平行6.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，G，H分别为P A，PD，PC，PB的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②直线P A∥平面BDG；③直线EF∥平面PBC；④直线EF∥平面BDG.其中正确的序号是________．解析：作出立体图形，可知平面EFGH∥平面ABCD；P A∥平面BDG；EF∥HG，所以EF∥平面PBC；直线EF与平面BDG不平行．答案：①②③7．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1.证明：如图所示，连接SB，SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.同理可证EG∥平面BDD1B1，又∵EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.C级——拓展探索性题目应用练如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?解：当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面P AO.因为Q为CC1的中点，P为DD1的中点，所以QB∥P A.而QB⊄平面P AO，P A⊂平面P AO，所以QB∥平面P AO.连接DB，因为P，O分别为DD1，DB的中点，所以PO为△DBD1的中位线，所以D1B∥PO.而D1B⊄平面P AO，PO⊂平面P AO，所以D1B∥平面P AO.又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面P AO.。
2020年人教A版必修第二册：直线与平面平行,平面与平面平行(含解析)
直线与平面平行、平面与平面平行知识点一 基本事实4(平行定理)⑴文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行. (2) 符号语言：a // b , b // c? □ a // c. 知识点二等角定理(1) 文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 知识点三直线与平面平行的判定定理1. 文字语言： □ 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平 面平行.2.符号语言：a?a, bL a,且 a // b? a // a一-一3.图形语言：如图所示.厂—」4. 作用：证明直线与平面平行. 知识点四直线与平面平行的性质定理1. 定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与 交线平行.2. 符号表示： 若 a // a, a? B, aG Ab , □ a // b.3. 作用：证明或判断线线平行. 知识点五 平面与平面平行的判定定理1 •文字语言：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 那么这两个平面平行.□ a? B□3 b? B □a G b =P□ a // a □_b // a2.符号语言:3.图形语言:如图所示.all4. 作用：证明两个平面平行.知识点六平面与平面平行的性质定理1. 定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.2. 符号表示：若a〃B, aG 尸a, 小尸b，贝U a〃b.3. 作用：证明或判断线线平行.【例1】判一判（正确的打“V”，错误的打“X”）（1）对于空间的三条直线a, b, c,如果a// b, a与c不平行，那么b与c不平行.（）（2）如果空间中两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等. （）（3）两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行. （）⑷对于空间直线a, b, c, d,如果a / b, b/ c, c/ d,那么a / d.（）（5）如果一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行. （）（6）如果一条直线与一个平面平行于同一条直线，则这条直线和这个平面平行. （）（7）若直线a/平面a,则直线a与平面a内的任意一条直线平行.（）（8） -------------------------------------------------- 若直线a/平面a,贝U平面a内有唯条直线与直线a平行.（ ----------------------------------------------- ）（9）平行于同一条直线的两个平面互相平行.（）（10）如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. （）（11）若平面a, B都与平面丫相交，且交线平行，则a/ B（）【例2】已知AB / PQ, BC/ QR,若/ ABC = 30° ° 则/ PQR 等于（）A . 30°B . 30°或150°C. 150° D .以上结论都不对【例3】已知空间四边形ABCD, E, H分别是AB, AD的中点，F, G分别是CB, CD上的CF CG 2点，且CB=CD= 3.则四边形EFGH的形状是（）A .空间四边形B .平行四边形C.矩形D.梯形［例4】若空间中四条两两不同的直线11, |2, |3, |4，满足|1丄|2, |2/ |3, |3丄|4,则下列结论」定正确的是（）【例5】如图，在正方体ABCD —A i B i C i D i中，点E, F分别在A i D, AC上，且A i E = 2ED, CF = 2FA,贝U EF与BD i的位置关系是（）A •相交但不垂直B •相交且垂直C.异面D.平行【例6】下列选项中，一定能得出直线m与平面a平行的是（）A .直线m在平面a外B .直线m与平面a内的两条直线平行C .平面a外的直线m与平面内的一条直线平行D .直线m与平面a内的一条直线平行（2）梯形ABCD中，AB// CD，AB?平面a, CD?平面a,则直线CD与平面a内的直线的位置关系只能是（）A .平行B .平行或异面C.平行或相交 D .异面或相交（3）已知I, m是两条直线，a是平面，若要得到“ I // a ,则需要在条件“ m? a, l // m”中另外添加的一个条件是________ .【例7】能保证直线a与平面a平行的条件是（）A . b? a, a // bB. b? a, c // a, a // b, a // cC. b? a, A, B€ a, C, D € b,且AC= BDD. a? a, b? a, a // b【例8】给出下列几个说法：①若直线a在平面a外,则a / a；②若直线a // b,直线b? a,则a / a；③若直线a / b, b? a,那么直线a就平行于平面a内的无数条直线.其中正确说法的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3【例9】在正方体ABCD —A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC i与平面AA i B i B 的位置关系是（）A .相交B .平行C.异面 D .相交或平行【例10】过平面a外的直线I，作一组平面与a相交，如果所得的交线分别为a, b, C,…，则这些交线的位置关系为（）A .都平行B .都相交且一定交于同一点C .都相交但不一定交于同一点D .平行或都相交于同一点【例11】(1)若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是( )A •一定平行B •一定相交C •平行或相交D •以上判断都不对(2)已知平面a, B和直线a,b, c,且a// b// c,a? a, b,c? B, J则a与B的关系是__________⑶设a, b是不同的直线，a B是两个不同的平面，给出下列结论：①若a / a, b / B, all B,则a// b；②若a/B a/a a?B 则a/B；③若all B, A€a ,过点A作直线I // B,则l? a④平行于同一个平面的两个平面平行．其中所有正确结论的序号是_________ ．(4) __________________________________________________________ 平面a//平面B,直线I / a,则直线I与平面B的位置关系是________________________________ •【例12】下列命题中正确的是( )①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面则这两个平面平行；④若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面则这两个平面平行．A •①③ B •②④C.②③④ D •③④【例13】设直线I , m ,平面a, B,下列条件能得出all B的有()①I? a, m? a 且I 〃B, m//B;②I? a, m? a,且I / m ,1 // B, m //B；③I // a, m // B,且I / m；④I A m= P , I? a, m? a,且I 〃B , m //BA. 1 个B. 2个C. 3个D. 0个【例14】已知直线I m 平面a B 下列命题正确的是( )A .m/ I I/a?m/aB .I/B m/B I?a m?a? a/ BC .I/ m I?a m?B?a/BD .I/B m/B I?a m?a, I A m = M? all B【例15】设all B, A €a, B€B, C是AB的中点，当A , B分别在平面a, B内运动时，得到无数个AB 的中点C 那么所有的动点C( )A .不共面B .当且仅当A , B分别在两条直线上移动时才共面C .当且仅当A , B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D .不论A, B如何移动,都共面【例16】如图，在正方体ABCD —A i B i C i D i中，若经过D i B的平面分别交AA i, CC i于点E,F,则四边形D i EBF的形状不可能是（）A •矩形B •菱形C •平行四边形D •正方形【例i7】如图是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E, F, G, H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面五个结论：①平面EFGH //平面ABCD;②FA//平面BDG;③EF//平面PBC;④FH //平面BDG;⑤EF//平面BDG.其中正确的结论是_________【例i8】如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB的中点.求证：PD //平面MAC.【例19】 如图，在长方体 ABCD — A i B i C i D i 中，E , H 分别为棱A 1B 1,D 1C 1上的点，且EH// A 1D 1,过EH 的平面与棱BB 1, CC 1相交，交点分别为F , G ,求证:【例20】如图所示，已知两条异面直线 AB 与CD ，平面MNPQ 与AB , CD 都平行，且M ,N , P , Q 依次在线段AC , BC , BD , AD 上，求证：四边形【例21】 如图，在正方体 ABCD — A 1B 1C 1D 1中，M , E , F , N 分别是A 1B 1, B 1C 1, C 1D 1, D 1A 1的中点.求证：（1）E , F , B , D 四点共面;FG //平面 ADD 1A 1.MNPQ 是平行四边形.⑵平面MAN //平面EFDB.【例22】如图，在正方体ABCD —A i B i C i D i中，0为底面ABCD的中心，P是DD i的中点, 设Q是CC i上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D i BQ与平面PAO平行？【例23】如图，已知AB，CD是夹在两个平行平面a B之间的线段，AB与CD异面，M，N分别为AB，CD的中点•求证：MN // a练习1. 在正方体ABCD —A i B i C i D i中，E, F分别是平面AA1D1D、平面CC i D i D的中心，G,H分别是线段AB, BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（）A .相交B .异面C.平行D .垂直2. 给出下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等;③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补.其中正确的命题有（）A . 0个B . i个C . 2个D . 3个3. 如图，在四面体A—BCD中，M ， N, P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中不正确的是（）A. M，N，P，Q四点共面B . Z QME = /CBDC . △BCD s^ MEQD .四边形MNPQ为梯形4. 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F, G分别是边BC，CD上的点，且CD = 3，则下列说法正确的是（）A . EF与GH平行B . EF与GH异面C . EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D . EF与GH的交点M —定在直线AC上5. 下列说法正确的是（）A .直线I平行于平面a内的无数条直线，则I //aB .若直线a在平面a外，则a / aC. 若直线a A b= ?，直线b? a,则a / aD. 若直线a / b，b? a,那么直线a平行于平面a内的无数条直线2.如果直线I, m与平面a, B, 丫满足：尸l, m / l, m? a,则必有（）A . l // a B. a/丫C . m / B且m// 丫6. 如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，Q 为PA 的中点，0为AC 与BD 的交 点，下面说法错误的是（）A . 0Q //平面 PCDB . PC //平面 BDQ C . AQ //平面 PCD D . CD //平面 FAB7. 如图所示的三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中，过A i B i 的平面与平面ABC 交于直线DE ，贝U DE 与AB 的位置关系是（ ）A .异面B .平行C •相交D .以上均有可能B, m? a, n? f? m / n ； n ，m // a ? n // a; A a ， a // b? b // f 或 b // a ()C. ①④ D .②③ 互相平行的面最多有 C . 4对 D . 5对8. 如图所示，长方体 ABCD — A ' B ' C ' D '中，E ，F 分别为AA ', BB'的中点，过 EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点 A .平行 B •相交 C .异面 D .平行或异面9. 平面a 与平面B 平行的条件可以是（ A . G ， 点H ，则HG 与AB 的位置关系是（10.①ana 内的一条直线与B 平行a 内的两条直线与B 平行 a 内的无数条直线与B 平行 a 内的两条相交直线分别与 B 平行 已知两条直线m, n ，两个平面a,A a ， b? a ? a // b 或 a ，b 相交;给出下面四个命题:② all ③ m //④ an 其中正确命题的序号是A .①③B .②④11.六棱柱的表面中，12. 如图，平面a//平面B, △PAB 所在的平面与 =3, CD = 1,贝U AB =( )35 A. 2 B . 2CqD . 313. 图所示，正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a , M , N 分别为A i B 和AC 上的点，A i M =AN = ^a ,贝U MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是（ ）A .相交B .平行C .平行或相交D .不能确定14. 对于直线m, n 和平面a,下列命题中正确的是（ ）A .如果m? a n? a , m , n 是异面直线，那么 n // aB .如果m? a n?a , m , n 是异面直线，那么n 与a 相交C .如果m? a n // a, m , n 共面，那么 m // nD .如果 m //a, n //a, m , n 共面，那么 m // n15. 在棱长为1的正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中,M , N 分别是A 1D 1 , A 1B 1的中点,过直线 BD 的平面a//平面AMN ,则平面a 截该正方体所得截面的面积为（ ）A. .'2B.9C. .'3D.中16. 已知a , b , c 是空间中的三条相互不重合的直线,给出下列说法： ① 若 a // b , b / c ,贝U a // c ；② 若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交； ③ 若a?平面a , b?平面B,则a , b 一定是异面直线； ④ 若a , b 与c 成等角，则a // b. 其中正确的是 ________ （填序号）.17. 在棱长为a 的正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1中，M , N 分别是棱A 1B 1 , B 1C 1的中点，P 是B 分别交于 CD , AB , 若 PC = 2, CA棱AD 上的一点,MP过a- yN 的平面与棱CD 交于Q ,贝U PQ =18. _____________________ 图所示，在四面体ABCD中，M , N分别是△ ACD, △ BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是.19. 如图是某正方体的平面展开图（表面朝下）.关于这个正方体，有以下判断：①BM//平面DE :②CN//平面AF;③平面BDM //平面AFN;④平面BDE //平面NCF.其中判断正确的序号是__________.1)\C/E1\1120. 下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线平行；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面；③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.其中正确的命题是_________ .21. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中，E是PC的中点.求证：FA//平面BDE.22. 如图，在三棱台DEF —ABC中，AC = 2DF , G, H分别为AC, BC的中点.求证: BD //平面FGH.23. 如图，在直四棱柱ABCD —A i B i C i D i中，底面ABCD为等腰梯形，AB / CD，且AB =2CD，那么在棱AB上是否存在一点F，使平面C i CF //平面ADD i A i ?若存在，求点F 的位置；若不存在，请说明理由.。
2019-2020学年新人教A版必修二 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质 课时作业
[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析：对于命题A，在平面α内存在直线l平行于平面α与平面β的交线，则l平行于平面β，故命题A正确．对于命题B，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题B正确．对于命题C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点P不在m，n上，过P作直线a，b，使a⊥m，b⊥n.∵γ⊥α，a⊥m，则a⊥α.∴a⊥l，同理有b⊥l.又a∩b＝P，a⊂γ，b⊂γ，∴l⊥γ.故命题C正确．对于命题D，设α∩β＝l，则l⊂α，l⊂β.故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题D错误．故选D.答案：D2．直线a⊥平面α，b∥α，则a与b的关系为()A．a⊥b，且a与b相交B．a⊥b，且a与b不相交C．a⊥b D．a与b不一定垂直解析：∵b∥α，∴b平行于α内的某一条直线，设为b′，∵a⊥α，且b′⊂α，∴a⊥b′，∴a⊥b，但a与b可能相交，也可能异面．答案：C3．已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．垂直ABCD的底面ABCDa，则它的五个面中，互相垂直的平面有由勾股定理逆定理得P A⊥AD，P AABC中，P A⊥底面上的点，且EF⊥BC中，分，共20分)ABCD－A1B1C1ADD1A1为正方形，，所以CD⊥ADABCD所在平面外一点，的菱形．侧面P AD为正三角形，其所在平面垂直于边的中点，求证：BG⊥平面证明：(1)如图所示，连接BD.因为四边形ABCD是菱形，且∠DAB＝60°，所以△ABD是正三角形，因为G是AD的中点，所以BG⊥AD.又因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD.所以BG⊥平面P AD.(2)连接PG.因为△P AD为正三角形，G为AD的中点，所以PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，而PG∩BG＝G，PG⊂平面PBG，BG⊂平面PBG，所以AD⊥平面PBG.又因为PB⊂平面PBG，所以AD⊥PB.[能力提升](20分钟，40分)11．[2019·南昌月考]如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么点D在平面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：在四面体ABCD中，∵AB⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，∴AC⊥平面ABD，又AC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABD，又平面ABC∩平面ABD＝直线AB，故点D在平面ABC上的射影H必在直线AB上．答案：A12．如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面P AC⊥平面PBC，P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是__________________．解析：因为平面P AC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC⊂平面P AC，平面P AC∩平面PBC＝PC.所以AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.所以动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆(除去A，B两点)．答案：以AB为直径的圆(除去A，B两点)13.如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.中，∠ACB＝90°，DE将△BDE折起至△的体积；⊥平面ACF.AB，BC边的中点，33设线段AF，CF的中点分别为＝12AC，DE＝12AC，。
2019-2020学年高中数学人教A版(浙江专版)必修2：课时跟踪检测(十) 直线与平面平行的判定、平面与平面平
课时跟踪检测（十）直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定层级一学业水平达标1．下列选项中，一定能得出直线m与平面α平行的是( )A．直线m在平面α外B．直线m与平面α内的两条直线平行C．平面α外的直线m与平面内的一条直线平行D．直线m与平面α内的一条直线平行解析：选C选项A不符合题意，因为直线m在平面α外也包括直线与平面相交；选项B与D不符合题意，因为缺少条件m⊄α；选项C中，由直线与平面平行的判定定理，知直线m与平面α平行，故选项C 符合题意．2．已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是( )A．平面α内有一条直线与平面β平行B．平面α内有两条直线与平面β平行C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行D．平面α与平面β不相交解析：选D选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必须相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面的位置关系只有相交与平行两种．故选D.3．在三棱锥A-BCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系是( )A．平行B．相交C．直线AC在平面DEF内D．不能确定解析：选A∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又EF⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，∴AC∥平面DEF.4．已知a，b，c，d是四条直线，α，β是两个不重合的平面，若a∥b∥c∥d，a⊂α，b⊂α，c⊂β，d⊂β，则α与β的位置关系是( )A．平行B．相交C．平行或相交D．以上都不对解析：选C根据图1和图2可知α与β平行或相交．5．如图，下列正三棱柱ABC-A1B1C1中，若M，N，P分别为其所在棱的中点，则不能得出AB∥平面M NP的是( )解析：选C在图A、B中，易知AB∥A1B1∥MN，所以AB∥平面MNP；在图D中，易知AB∥PN，所以AB∥平面MNP.故选C.6．已知l，m是两条直线，α是平面，若要得到“l∥α”，则需要在条件“m⊂α，l∥m”中另外添加的一个条件是________．解析：根据直线与平面平行的判定定理，知需要添加的一个条件是“l⊄α”．答案：l⊄α7．已知A，B两点是平面α外两点，则过A，B与α平行的平面有________个．解析：当A，B两点在平面α异侧时，不存在这样的平面．当A，B两点在平面同侧时，若直线AB∥α，则存在一个，否则不存在．答案：0或18.如图，在五面体FE-ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE 的位置关系是________．解析：∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE.答案：平行9．如图所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD.E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使点P∉平面ABCD.求证：平面PAB∥平面EFG.证明：∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，又∵CD∥AB，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB.同理可证EG∥平面PAB.又∵EF∩EG＝E，∴平面PAB∥平面EFG.10．已知正方形ABCD，如图(1)E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图(2)所示，求证：BF∥平面ADE.证明：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD.又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥ED.∵DE⊂平面ADE，而BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE.层级二应试能力达标1．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则( )A．α内的所有直线与l异面B．α内不存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交解析：选B若在平面α内存在与直线l平行的直线，因l⊄α，故l∥α，这与题意矛盾．2．在正方体EFGH-E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是( )A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G解析：选A画出相应的截面如图所示，即可得答案．3．已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1上任意一点(不是端点)，则在正方体的12条棱中，与平面A BP平行的有( )A．3个B．6个C．9个D．12个解析：选A因为棱AB在平面ABP内，所以只要与棱AB平行的棱都满足题意，即A1B1，D1C1，DC.4．A，B是直线l外的两点，过A，B且和l平行的平面有( )A．0个B．1个C．无数个D．以上都有可能解析：选D若AB与l平行，则和l平行的平面有无数个；若AB与l相交，则和l平行的平面没有；若AB与l异面，则和l平行的平面有一个．5．已知三棱柱ABC-A1B1C1，D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．解析：∵D，E，F分别是棱AA1，BB1，CC1的中点，∴在平行四边形AA1B1B与平行四边形BB1C1C中，DE∥AB，EF∥BC，∴DE∥平面ABC，EF∥平面ABC.又DE∩EF＝E，∴平面DEF∥平面ABC.答案：平行6.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①平面EFGH∥平面ABCD；②直线PA∥平面BDG；③直线EF∥平面PBC；④直线EF∥平面BDG.其中正确的序号是________．解析：作出立体图形，可知平面EFGH∥平面ABCD；PA∥平面BDG；EF∥HG，所以EF∥平面PBC；直线EF与平面BDG不平行．答案：①②③7.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1.证明：如图所示，连接SB，SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.B1，FG⊄平面BDD1B1，又∵SD⊂平面BDD∴FG∥平面BDD1B1.同理可证EG∥平面BDD1B1，又∵EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.8.如图，已知底面是平行四边形的四棱锥P -ABCD ，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？若存在，请证明你的结论，并说出点F 的位置；若不存在，请说明理由．解：当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC .证明如下：取PE 的中点M ，连接FM ，则FM ∥CE .因为FM ⊄平面AEC ，EC ⊂平面AEC ，所以FM ∥平面AEC .由EM ＝12PE ＝ED ，得E 为MD 的中点，连接BM ，BD ， 设BD ∩AC ＝O ，则O 为BD 的中点．连接OE ，则BM ∥OE .因为BM ⊄平面AEC ，OE ⊂平面AEC ，所以BM ∥平面AEC .又因为FM ⊂平面BFM ，BM ⊂平面BFM ，FM ∩BM ＝M ，所以平面BFM ∥平面AEC ，所以平面BFM 内的任何直线与平面AEC 均没有公共点．又BF ⊂平面BFM ，所以BF 与平面AEC 没有公共点，所以BF ∥平面AEC .。
2020版高中数学人教版必修2高一数学第二章直线、平面平行的判定及其性质(课时作业)
课时作业10 直线与平面平行的判定基础巩固1．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于点D，E，且AD︰DB＝AE︰EC，如图1，则BC与α的位置关系是( )图1A. 平行B. 相交C. 平行或相交D. 异面解析：因为AD︰DB＝AE︰EC，所以DE∥BC，又DE⊂α，BC⊄α，所以BC∥α.答案：A2．以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b.其中正确命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3解析：如图2，在长方体ABCDA1B1C1D1中，CD∥AB，AB⊂平面ABCD，但CD⊂平面ABCD，故①错误；由A′B′∥平面ABCD，B ′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；由AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故③错误；由A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误．图2答案：A图33．如图3所示的三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是( )A．异面B．平行C．相交D．以上均有可能解析：∵A1B1∥AB，AB⊂平面ABC，A1B1⊄平面ABC，∴A1B1∥平面AB C.又A1B1⊂平面A1B1ED，平面A1B1ED∩平面ABC＝DE，∴DE∥A1B1.又AB∥A1B1，∴DE∥A B.答案：B4．给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中真命题的个数为( )A．3 B．2 C．1 D．0解析：①中当α与β不平行时，也能存在符合题意的l、m，故①错误；②中l与m也可能异面，故②错误；③中，{l∥γl⊂ββ∩γ＝m)⇒l∥m，同理l∥n，则m∥n，故③正确．答案：C5．如图4，在四面体ABCD中，M、N分别是△ACD和△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是________．图4解析：由重心可知MN∥AB.答案：面ABC、面ABD能力提升1．如图5，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，Q为PA的中点，O为AC与BD的交点，下面说法错误的是( )图5A．OQ∥平面PCD B．PC∥平面BDQC．AQ∥平面PCD D．CD∥平面PAB解析：因为O为▱ABCD对角线的交点，所以AO＝OC，又Q为PA的中点，所以QO∥PC.由线面平行的判定定理，可知A、B正确，又ABCD为平行四边形，所以AB∥CD，故CD∥平面PAB，故D正确．答案：C图62．如图6，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A．AC⊥BDB．AC∥截面PQMNC．AC＝BDD．异面直线PM与BD所成的角为45°解析：A：∵AC∥MN，BD∥QM，MN⊥QM，∴AC⊥BD；B：∵AC∥MN，MN⊂平面PQMN，AC⊄平面PQMN，∴AC∥平面PQMN；C ：∵＝，＝，|PN ||BD ||AN ||AD ||NM ||AC ||ND ||AD ||PN |＝|NM |∴要使得AC ＝BD ，即|AN |＝|ND |，∴当N 为AD 中点时，AC ＝BD ，否则不成立； D ：∵BD ∥MQ ，MQ 与PM 成45°角， ∴BD 与PM 也成45°角． 答案：C3．一个多面体的直观图、正视图、侧视图、俯视图如图7，M ，N 分别为A 1B ，B 1C 1的中点．图7下列结论中正确的个数有( ) ①直线MN 与A 1C 相交． ②MN ⊥BC .③MN ∥平面ACC 1A 1.④三棱锥N －A 1BC 的体积为VN －A 1BC ＝a 3.16A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个解析：取A 1B 1的中点D ，连结DM 、DN . 由于M 、N 分别是所在棱的中点，所以可得DN ∥A 1C 1，DN ⊄平面A 1ACC 1，A 1C 1⊂平面A 1ACC 1，所以DN ∥平面A 1ACC 1.同理可证DM ∥平面A 1ACC 1. 又∵DM ∩DN ＝D ，所以平面DMN ∥平面A 1ACC 1，所以直线MN 与A 1C 相交不成立，①错误； 由三视图可得A 1C 1⊥平面BCC 1B 1. 所以DN ⊥平面BCC 1B 1， 所以DN ⊥BC ， 又易知DM ⊥BC ， 所以BC ⊥平面DMN ， 所以BC ⊥MN ，②正确；由①中，平面DMN ∥平面A 1ACC 1， 可得：MN ∥平面ACC 1A 1，③正确；因为VN －A 1BC ＝VA 1－NBC ＝××a ×a ×a ，1312所以④正确．综上，②③④正确．故选B. 答案：B4．如图8所示的四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是________．(填序号)图8解析：由题意得， ①中连接点A 与点B 上面的顶点，记为C ，则易证平面ABC ∥平面MNP ，所以AB ∥平面MNP ；④中AB ∥NP ，根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB ∥平面MNP ；②③中，AB 均与平面MNP 相交，故选①④.答案：①④5．如图9，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB 和AA 1的中点，则下列命题：①E ，C ，D 1，F 四点共面；图9②CE ，D 1F ，DA 三线共点；③EF 和BD 1所成的角为90°；④A 1B ∥平面CD 1E .其中正确的是________(填序号)．解析：由题意EF ∥CD 1，故E ，C ，D 1，F 四点共面；由EF 綊CD 1，故D 1F 与CE 相交，记交点为P ，则P ∈平面ADD 1A 1，P ∈12平面ABCD ，所以点P 在平面ADD 1A 1与平面ABCD 的交线AD 上，故CE ，D 1F ，DA 三线共点；∠A 1BD 1即为EF 与BD 1所成角，显然∠A 1BD 1≠90°；因为A 1B ∥EF ，EF ⊂平面CD 1E ，A 1B ⊄平面CD 1E ，所以A 1B ∥平面CD 1E .答案：①②④6．如图10，已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一个平面内，P 、Q 分别是对角线AE 、BD 上的点，且AP ＝DQ.图10求证：PQ ∥平面CBE .证明：作PM ∥AB ，交BE 于点M ，作QN ∥AB 交BC 于点N ，则PM ∥QN .图11由＝，＝， PM AB EP EA QN CD BQ BD又AP ＝DQ ，∴EP ＝BQ . 又∵AB ＝CD ，EA ＝BD ， ∴PM 綊QN ，∴四边形PMNQ 是平行四边形，∴PQ ∥MN .又PQ ⊄平面CBE ，MN ⊂平面CBE ，∴PQ ∥平面CBE .7．如图12，在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，E ，E 1分别是棱AD ，AA 1的中点，设F 是棱AB 的中点．图12证明：直线EE1∥平面FCC1.证明：如图13，取A1B1的中点F1.连接FF1，C1F1.由于FF1∥BB1∥CC1，图13所以F1∈平面FCC1，因此平面FCC1即为平面C1CFF1.连接A1D，F1C，由于A1F1綊D1C1綊DC，所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D，得EE1∥F1C.又∵EE1⊄面FCC1，F1C⊂面FCC1∴EE1∥面FCC1.8．已知直三棱柱ABCA1B1C1，点N在AC上且CN＝3AN，点M，P，Q分别是AA1，A1B1，BC的中点．图14求证：直线PQ ∥平面BMN .证明：如图15，取AB 中点G ，连接PG ，QG 分别交BM ，BN 于点E ，F ，则E ，F 分别为BM ，BN 的中点．而GE ∥AM ，GE ＝1212AM ，GF ∥AN ，GF ＝AN ，且CN ＝3AN ，所以＝，＝＝1212GE EP 13GF FQ AN NC 13，所以＝＝，所以EF ∥PQ ，又EF ⊂平面BMN ，PQ ⊄平面GE EP GF FQ 13BMN ，所以PQ ∥平面BMN .图15。
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1.两个平行平面与另两个平行平面相交所得的四条直线的位置关系是()
A.两两相互平行
B.两两相交于同一点
C.两两相交但不一定交于同一点
D.两两相互平行或交于同一点
,知四条交线两两相互平行,故选A.
2.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是()
A.矩形
B.菱形
C.平行四边形
D.正方形
,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE,与平面CDD1C1交于直线D1F.由面面平行的性质定理,则BE∥D1F.同理可得BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形.
3.如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内(含边界)的一个动点,且有平面BDM∥平面A1C,则动点M的轨迹是()
A.平面
B.直线
C.线段,但只含1个端点
D.圆
4.如图,过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点B1,D1与棱AB的中点P的平面与底面ABCD 所在平面的交线记为l,则l与B1D1的位置关系是.
,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面B1D1P∩平面A1B1C1D1=B1D1,平面B1D1P∩平面ABCD=l,所以l∥B1D1.
答案:平行
5.如图,四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形,PA=PB=AB=2,E,F分别是AB,CD的中点,平面AGF∥平面PEC,PD∩平面AGF=G,ED与AF相交于点H,则GH=.
6.如图,两条异面直线AB,CD与三个平行平面α,β,γ分别相交于点A,E,B及点C,F,D,且AD,BC与平面β的交点为H,G.
求证:四边形EHFG为平行四边形.
ABC∩平面α=AC,平面ABC∩平面β=EG,α∥β,所以AC∥EG.同理可证AC∥HF.
所以EG∥HF.同理可证EH∥FG.
所以四边形EHFG为平行四边形.
7.如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于点
A',B',C'.若求的
平面α∥平面ABC,平面PAB∩平面α=A'B',
平面PAB∩平面ABC=AB,
∴A'B'∥AB.同理可证B'C'∥BC,A'C'∥AC.
∴∠B'A'C'=∠BAC,∠A'B'C'=∠ABC,
∠A'C'B'=∠ACB,
∴△A'B'C'∽△ABC.
∵PA'∶A'A=2∶3,∴PA'∶PA=2∶5,
∴A'B'∶AB=2∶3.
∴S△A'B'C'∶S ABC=4∶25,
二、能力提升
1.如果平面α∥平面β,夹在α和β间的两条线段相等,那么这两条线段所在直线的位置关系是()
A.平行
B.相交
C.异面
D.平行、相交或异面
,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∥平面A1B1C1D1,AA1∥
BB1,A1D∩A1B=A1,AD1与A1B是异面直线.故选D.
2.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则下列推理正确的是()
A.α∩β=a,b⊂α⇒a∥b
B.α∩β=a,a∥b⇒b∥α,且b∥β
C.a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α⇒α∥β
D.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b
A中,α∩β=a,b⊂α,则a,b可能平行也可能相交,故A不正确;
选项B中,α∩β=a,a∥b,则可能b∥α,且b∥β,也可能b在平面α或β内,故B不正确;
选项C中,a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,根据面面平行的判定定理,再加上条件a∩b=A,才能得出α∥β,故C不正确;
选项D为面面平行性质定理的符号语言,故选D.
1.如图,用一个平面去截三棱柱ABC-A1B1C1,交A1C1,B1C1,BC,AC分别于点E,F,G,H.若
A1A>A1C1,则截面的形状可以为.(把你认为可能的结果的序号填在横线上)
①一般的平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形;⑤梯形.
FG∥B1B时,四边形EFGH为矩形;当FG不与B1B平行时,四边形EFGH为梯形.
★2.如图,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一
点,AP过点的平面交上底面于点在上则
,得截面与上、下底面相交所得的交线平行,PQ∥MN.
如图,连接AC,A1C1,
则MN∥A1C1∥AC,
所以PQ∥AC.
因为DP所以DQ
于是可得PQ
3.已知平面α∥平面β,点A,C∈α,点B,D∈β,直线AB,CD交于点S,且SA=8,SB=9,CD=32.
(1)若点S在平面α,β之间,则SC=;
(2)若点S不在平面α,β之间,则SC=.
如图①,因为AB∩CD=S,所以AB,CD确定一个平面,设为γ,则α∩γ=AC,β∩γ=BD.因为α∥β,所以AC∥BD.
于是
所以SC
(2)如图②,同理知AC∥BD,则
得SC=272.
(2)272
4.在如图①的平面图形中,ABCD为正方形,CDP为等腰直角三角形,E,F,G分别是
PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,得到四棱锥P-ABCD如图②.
求证:在四棱锥P-ABCD中,AP∥平面EFG.
P-ABCD中,E,F分别为PC,PD的中点,所以EF∥CD.因为AB∥CD,所以EF∥AB.因为EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以EF∥平面PAB.同理可证EG∥平面PAB.又EF∩EG=E,所以平面PAB∥平面EFG.又AP⊂平面PAB,所以AP∥平面EFG.
★5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2.当点M在何位置时,BM∥平面AEF?
,取EC的中点P,AC的中点Q,连接PQ,PB,BQ,则PQ∥AE.
因为EC=2FB=2,所以PE BF,
所以四边形BPEF为平行四边形,所以PB∥EF.
又AE⊂平面AEF,EF⊂平面AEF,PQ⊄平面AEF,PB⊄平面AEF,
所以PQ∥平面AEF,PB∥平面AEF.
又PQ∩PB=P,
所以平面PBQ∥平面AEF.
又BQ⊂平面PBQ,
所以BQ∥平面AEF.故点Q 为所求的点M, 点M为AC的中点时,BM∥平面AEF.。