高中数学必修二——平面与平面平行的判定
小结
证明两个平面平行的一般步骤为：第一步：在一个平
面内找出两条相交直线；第二步：证明两条相交直线分别平 行于另一个平面；第三步：利用判定定理得出结论．
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2.2.2
跟踪训练 1
如图， 在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，E、F、G、P、Q、R 分别是图中棱的中点．
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2.2.2
探究点一 问题 1
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平面与平面平行的判定
平面与平面有几种位置关系？分别是什么？
答 两个平面有两种位置关系，分别是平行和相交． 问题 2 生活中有哪些平面与平面平行的例子？请举出．
答
问题 3
教室的天花板与地面给人平行的感觉，前后两块黑板也
2.2.2
2.2.2
[学习要求]
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平面与平面平行的判定
1．理解并掌握两平面平行的判定定理； 2．会用两平面平行的判定定理证明两个平面平行． [学法指导] 通过观察空间中平面与平面平行所用到的实物及模型， 归 纳抽象出两平面平行的判定定理， 培养空间问题平面化的 能力，提高应用“化归与转化”数学思想的意识．
∵A1G 綊 EB，∴四边形 A1EBG 是平行四边形， ∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG. ∴A1E∥平面 BCHG.
∵A1E∩EF＝E，∴平面 EFA1∥平面 BCHG.
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2.2.2
小结
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(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两
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(2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 证明 (1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线，∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G 四点共面． (2)∵E、F 分别为 AB、AC 的中点，∴EF∥BC， ∵EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG， ∴EF∥平面 BCHG.
又 D1A⊄平面 C1BD，C1B⊂平面 C1BD，
由直线与平面平行的判定定理，可知 D1A∥平面 C1BD，
同理 D1B1∥平面 C1BD，
又 D1A∩D1B1＝D1，所以，平面 AB1D1∥平面 C1BD.
2.2.2
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2.2.2
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问题 6
答
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如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个
平面内的两条直线，那么这两个平面平行吗？为什么？
平行．因相交直线中的一条平行于另一个平面内的一条 直线，由直线与平面平行的判定定理知，这条直线平行于另 一个平面，同理相交直线中的另一条直线也平行于另一个平 面，即一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，所 以由平面与平面平行的判定定理知，这两个平面平行．
三角板所在平面与地面平行．
直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．这个定理可简 单记为线面平行，则面面平行．
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2.2.2
问题 5 如何用符号及图形表达平面与平面平行的判定定理？
答
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符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α.
图形表示：
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2
1．平面 α 与平面 β 平行是指两平面 无 公共点．若 α∥β，直
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线 a⊂α，则 a 与 β 的位置关系为 a∥β . 2．平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个 平面平行．用符号表示为 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，
三角板或课本的一条边所在直线与桌面平行，这个三角
是平行的．
板或课本所在平面与桌面平行吗？
答
通过试验得出不一定平行．
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2.2.2
问题 4
答
小结
三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又
如何呢？
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当三角板的两条边所在直线分别与桌面平行时，这个
平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交
小结
判定定理可得出一个推论：如果一个平面内有两条相
交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两 个平面平行．
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2.2.2
探究点二 问题
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平面与平面平行的判定定理的应用
平面与平面平行的判定方法有哪些？
答
(1)利用定义：证两个平面没有公共点；
(2)利用面面平行的判定定理； (3)利用判定定理的推论； (4)利用结论：两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个 平面平行．
条相交直线平行于另一个平面． (2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作 的原则， 即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直 线，若找不到再作辅助线．
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跟踪训练 2 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1 的中点，设 Q 是 CC1 上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ∥平面 PAO?
b∥α⇒β∥α .
3．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个 平面内的 两条相交直线 ，那么这两个平面平行．
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2.2.2
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[问题情境] 通过前面的学习，对直线与平面的平行的判定有了一个明 确的认识，那么空间中两个平面的平行如何判定呢？本节 我们就来研究这个问题．
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例 1 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1，求证：平 面 AB1D1∥平面 C1BD.
证明 因为 ABCD—A1B1C1D1 为正方体， 所以 D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1.
又 AB∥A1B1，AB＝A1B1，
所以 D1C1∥AB，D1C1＝AB， 所以 D1C1BA 是平行四边形，所以 D1A∥C1B，
求证：平面 PQR∥平面 EFG.
证明
∵PQ∥A1C1∥AC∥EF，∴PQ∥平面 EFG，
同理 PR∥平面 EFG.又 PQ∩PR＝P， ∴平面 PQR∥平面 EFG.
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例2 如图， 在三棱柱 ABC—A1B1C1 中， E， F，
2.2.2
G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点， 求证：(1)B，C，H，G 四点共面；
8.5.3平面与平面平行-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
2．解读平面与平面平行的性质定理 (1)两个平面平行的性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什 么样的性质”.该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理.可简述 为“若面面平行，则线线平行”. (2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件： ①平面α和平面β平行，即α∥β； ②平面γ和α相交，即α∩γ＝a； ③平面γ和β相交，即β∩γ＝b. 以上三个条件缺一不可.
【对点练习】❹ 如图所示，设E、F、E1、F1分别是长方体ABCD－
A1B1C1D1的棱AB、CD、A1B1、C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的
位置关系是
()
A
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
[解析] ∵E1 和 F1 分别是 A1B1 和 D1C1 的中点， ∴A1D1∥E1F1，又 A1D1⊄平面 BCF1E1，E1F1⊂平面 BCF1E1， ∴A1D1∥平面 BCF1E1． 又 E1 和 E 分别是 A1B1 和 AB 的中点， ∴A1E1 BE，∴四边形 A1EBE1 是平行四边形， ∴A1E∥BE1，又 A1E⊄平面 BCF1E1，BE1⊂平面 BCF1E1， ∴A1E∥平面 BCF1E1， 又 A1E⊂平面 EFD1A1，A1D1⊂平面 EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1， ∴平面 EFD1A1∥平面 BCF1E1．
易错警示 应用定理条件不足，推理论证不严密致误
典例 4 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是AA1、 BB1、CC1、DD1的中点，求证：平面EFGH∥平面ABCD.
[错解] ∵E、F分别是AA1和BB1的中点，∴EF∥AB， 又EF⊄平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴EF∥平面ABCD， 同理可证，HG∥平面ABCD.
高中数学必修二《平面与平面平行的判定》PPT
问题与探究
三角板的一边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平 面与桌面平行吗？三角板的两条边 所在直线分别与桌面 平行，情况又如何？
根据平面与平面平行的定义可知，判定面面平行的关键在于 判定它们有没有公共点。若一个平面内的所有直线都与另一平面 平行，那么这两个平面一定平行。否则，这两个平面就会有公共 点，这样在一个平面内通过这个公共点的直线就不平行另一平面 了。
对于③：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行， 则这两个平面平行．这是两个平面平行的定义．
对于④：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面 平行，则这两个平面平行．这是两个平面平行的判定定理．
所以只有③④正确，选择D.
规律总结：
判断两个平面平行的方法有四种：
（1）利用定义； （2）利用面面平行的判定定理； （3）利用面面平行判定定理的推论； （4）利用面面平行的传递性。 对于考查定义的问题，只需要找出一个反例就行， 没必要把每个选项都正面推导一次。
直线与平面平行来证明平面与平面平行．通常我们将其记 为：线面平行，则面面平行。因此处理面面平行(即空间问题) 转化为处理线面平行，进一步转化为处理线线问题(即平面问 题)来解决，以后证明平面与平面平行，只要在一个平面内找 到两条相交直线和另一个平面平行即可． 面面平行判定定理的推论：若一个平面内的两 条相交直线 与 另一个平面内的两条相交直线对应平行，则这 两个平面平行．
【例2】如图,已知正方体ABCD—A1B1C1D1，
求证：平面AB1D1//平面C1BD。 .
【分析】
只要证一个平面内有两 条相交直线和另一个平 面平行即可
跟踪练习2
棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为棱 A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点.
专题2：平面与平面平行的判定与性质基础知识与典型例题2020-21学年高中数学平行和垂直证明常见题型
专题2：平面与平面平行的判定与性质平面与平面的位置关系：平行——没有公共点：符号α∥β相交——有一条公共直线: 符号α∩β=a1．平面与平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
简记为：线面平行，则面面平行.符号：,,a ba b Aa bαααβββ⊂⊂⎫⎪=⇒⎬⎪⎭1．如图所示，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为平行四边形，E、F分别为PD、PA的中点，AC、BD交于点O.（1）求证：平面//PBC平面EFO；2．如图，正方体1111ABCD A B C D-中，E，F，P，Q分别是BC，11C D，1AD，BD的中点.（1）求证：平面PQB //平面11CB D ；3．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中，E ，F 分别为11A D ，11B C 的中点.（1）求证：平面1//AB E 平面1BD F ；4．如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，A 1B 1，A 1C 1的中点，求证：（1）平面EF A 1∥平面BCHG .（2）5．如图，三棱锥P ABC -中，,,PC AC BC 两两垂直，1BC PC ==，2AC =，,,E F G 分别是,,AB AC AP 的中点.（1）证明：平面//GEF 面PCB ；6．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，点M ，N ，Q 分别在PA ，BD ，PD 上（不与端点重合），且:::PM MA BN ND PQ QD ==.求证：平面//MNQ 平面PBC .7．如图所示，在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，E ，F ，G 是侧面对角线上的点，且BE=CF=AG ，平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
高中数学必修2《平面与平面平行的判定》教学案
②平面 内有两条相交直线与平面 平行,情况又如何呢?
结论 3： （四）归纳总结，形成定理： 平面与平面平行的判定定理：
教师板书定理.
同学小组讨论分 析
4. 同 学 展 示 对 定 进 一 步 加 深
理的理解.
对定理的理解.
5.小组讨论，交
流认识，归纳总
结，展示成果.
巩固定理,加
深理解.
6. 教 师 板 书 写
出证明过程.组织
讨论、交流、纠正，
强化步骤的规范
过程.
学生作答，给出 总 结 出 具 体 的
答案.
解题思路.
符号表示： 你能画出定理的图形表示吗？ 定理细究： 判断下列命题是否正确，若不正确，请说明理由
(1)若 a ,b ,则 / / (2)若 内有无数条直线都平行于 ,则 / /
选做：学案第 114 页 B 组第 6 题
评价目的
评价方法
小组讨论总结 让学生练习对
面面平行的判 知识的总结提 小组评价
定定理
炼，抓准里面
评价工具 评价表
4
课堂检测
的要点精华 更好的掌握所
测试评价 学知识
当堂检测
一、判定定理：
2.2.2 平面与平面平行的判定
二、典型例题：
三、练习过程.
通过实验探
D1 C1
A1 B1
究,逐步接过判 定定理的真实 面目.
D C
A
B
探究(1):平面 内有一条直线与平面 平行吗?请举例说明.
结论 1:
探究(2): 平面 内有两条直线与平面 平行吗?请举例说明.
思考： 你会选择什么样的两条直线？
①如果这两条直线平行,平面 与平面 平行吗?
高中数学课件两个平面平行的判定与性质ppt课件.优秀文档PPT
定义
如果两个平面有公共点，它们就相交于一条过该公共点的直线，就称这两个平面相交．
提问：能否加上某些条件，从而由“线线平行”推出“面面平行”。
形式：讲述、提问、讨论
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过程分析 ——设计思路
问题： （1）若两条直线平行，则分别经过这两条直线的
(2)平面 BC CB内的直 BC 和 线 BC有什么关系？为
(3)若AA12，直A线 A和平A面 B所 C 成 NhomakorabeaC
3
的角6是 0，则两个平A行 B和 C平面A 2
B
ABC的距离是多少？
4C
1
A
B
课时小结
a
1.两个平面平行的性质
（1）一个结论 / /,a a/ /
面面平行
线面平行
（2）性质定理a/,/ba//b
②一条直线和两个平行平面相交,则此直线和两个平
面成等角;
③一条直线和两个平面成等角,则此两个平面平行;
④夹在两个平行平面间的两条线段长相等,那么这两
条线段平行.
A1 B2 C3 D4
巩固与拓展
3且.一不个为平零面,则上这不两同个的平三面点到另一个平面的距离( B相等)
A. 平行
B. 相交
C. 平行或重合
9.5.2两个平面平行的判定和性质
珲春一中 崔星
复习与引入
1.两个平面的位置关系
两个平面的位置关系只有两种 (1)两个平面平行——没有公共点 (2)两个平面相交——有一条公共直线．
l
符号表示 //
l
2.两个平面平行的判定
（1）判定定理：如果一
个平面内有两条相交直线
人教版高中数学必修22.2.2 平面与平面平行的判定
题型一 题型二
题型二
易错辨析
易错点:不满足面面平行的判定定理的条件而致错 【例2】
如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是AA1,BB1,CC1,DD1 的中点,求证:平面EG∥平面AC.
题型一 题型二
错解:因为E,F分别是AA1和BB1的中点,所以EF∥AB.又EF⊄平面 AC,AB⊂平面AC,所以EF∥平面AC.
题型一 题型二
【变式训练边形,点
M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平
面MNQ∥平面PBC.
题型一 题型二
证明:因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,
所以MQ∥AD,NQ∥BP. 因为BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,所以NQ∥平面PBC. 又底面ABCD为平行四边形, 所以BC∥AD,所以MQ∥BC. 因为BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,所以MQ∥平面PBC. 又MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,得平面MNQ∥ 平面PBC.
题型一 题型二
反思判定平面与平面平行的常用方法有: (1)根据定义:证明两个平面没有公共点,通常要采用反证法. (2)根据判定定理:要证明两个平面平行,只需在其中一个平面内 找到两条相交直线平行于另一个平面. 判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循先找后作的原则, 即先在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面平行,若找不到 再作辅助线.
高中数学- 直线与平面平行、平面与平面平行的判定
∴AM∥平面BDFE，又∵AM∩MN=M, 故平面MAN∥平面EFDB.
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1.如何理解线面平行的判定定理？
直线和平面平行的判定和性质是本学案的一个重点，判定 定理使我们可以通过直线间平行推证直线与平面平行.其
线面平行.在运用时，应注意“内”
（平面内的直线）、“外”（平面外的直线）二字；直线 与平面平行的性质定理可简记为“线面平行，则线线平 行”.它告诉我们： （1）在平面内作一直线与平面外直线平行，可通过作过 平面外一直线的平面，与已知平面相交得到交线； （2）判定平面外一直线与平面内一直线平行的方法.有了 此定理，我们便可以根据直线与平面平行来解决直线间的 平行问题，但要防止误认为“一条直线平行于一个平面， 则此直线就平行于此平面内的任一直线”.
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如图2-2-4所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E为DD1 的中点,试判断BD1与平面AEC的位置关系,并证明. BD1∥平面AEC. 证明如下:
如图所示,连接BD交AC于O,连EO,
∵E是DD1的中点,∴EO∥BD1,
又EO AEC,BD1 AEC,
∴BD1∥面AEC.
图2-2-4
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学点一 线面平行的证明 已知AB，BC，CD是不在同一平面内的三条线段，E， F，G分别是AB,BC,CD的中点.求证:平面EFG和AC平 行,也和BD平行.
【分析】欲证明AC∥平面 EFG,根据直线和平面平行 的判定定理只需证明AC平 行于平面EFG内的一条直线, 由图可知,只需证明AC∥EF.
言表示为 aβ,b β,a∩b=P, ,
a∥α,b∥α β∥α
.
用图形表示为
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数学高中必修二知识点总结必看
数学高中必修二知识点总结必看各个科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，基本离不开背、记，练，数学作为最烧脑的科目之一，也是一样的。
下面是小编给大家整理的一些数学高中必修二知识点的学习资料，希望对大家有所帮助。
高一年级数学必修二知识点总结【两个平面的位置关系】(1)两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点(2)两个平面的位置关系：两个平面平行-----没有公共点;两个平面相交-----有一条公共直线。
a、平行两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。
b、相交二面角(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。
(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角的取值范围为[0°，180°](3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
(4)二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。
(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
【两平面垂直】两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
记为⊥两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)。
高二数学必修二知识点归纳一、直线与圆：1、直线的倾斜角的范围是在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向转到和直线重合时所转的最小正角记为，就叫做直线的倾斜角。
高中数学必修2课件2.2.1直线和平面平行与平面和平面平行的判定
2
一、直线和平面 1.直线和平面的位置关系： ①直线在平面内 —— 如果一条直线和一个平面有两个 公共点，那么这条直线就在这个平面内. ②直线和平面相交—— 一条直线和一个平面有且只有 一个公共点，叫做直线与平面相交. 这个公共点叫做直线与平面的交点。 ③直线和平面平行 —— 一条直线与一个平面没有公共点 叫做直线与平面平行。 a
P b
a
a
线线平行，则面面平行
8
4.结论： 平行于同一平面的两个平面平行.
// , // //
两个平面平行的判定方法:
⑴ 定义法
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⑵ a // , b // , a b P // a 、b ⑶ a // a, b // b
11
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小结:
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线线平行，则线面平行 直线和平面平行的判定: 如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平 行，那么这条直线和这个平面平行。
l // m, l , m
l
l //
m
12
两个平面平行的判定方法:
⑴ 定义法 ⑵ a // , b // , a b P // a 、b ⑶ a // a, b // b
D
C
又EF 平面BCD, BD 平面BCD，
EF // 平面BCD
5
二、两个平面 1.两个平面的位置关系: 两个平面平行—— 如果两个平面没有公共点，那么这 两个平面互相平行. 两个平面相交—— 有一条公共直线.
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高中数学人教A版必修二教师用书19-20 第8章 8.5.3 平面与平面平行
8.5.3平面与平面平行学习目标核心素养1.掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理,并能应用这两个定理解决问题．( 重点)2．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．( 难点)1.通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习,培养直观想象的核心素养．2．借助平行关系的综合问题,提升逻辑推理的核心素养.1．平面与平面平行的判定( 1)文字语言:如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,那么这两个平面平行．( 2)符号语言:a⊂β,b⊂β,a∩b＝P,a∥α,b∥α⇒β∥α.( 3)图形语言:如图所示．2．平面与平面平行的性质定理( 1)文字语言:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行．( 2)符号语言:α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b⇒a∥b.( 3)图形语言:如图所示．( 4)作用:证明两直线平行．思考:如果两个平面平行,那么这两个平面内的所有直线都相互平行吗?[提示]不一定．它们可能异面．1．已知平面α内的两条直线a,b,a∥β,b∥β,若要得出平面α∥平面β, 则直线a,b的位置关系是( )A．相交B．平行C．异面D．垂直A[根据面面平行的判定定理可知a,b相交．]2．平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m,n,则m,n的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．平行或异面A[因为圆台的上、下底面互相平行,所以由平面与平面平行的性质定理可知m∥n.]3．已知平面α∥平面β,直线l∥α,则( )A. l∥βB. l⊂βC. l∥β或l⊂βD. l, β相交C[假设l与β相交,又α∥β,则l与α相交,与l∥α矛盾,则假设不成立,则l∥β或l⊂β.]4．已知长方体ABCD-A′B′C′D′,平面α∩平面ABCD＝EF,平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′,则EF与E′F′的位置关系是( ) A．平行B．相交C．异面D．不确定A[由面面平行的性质定理易得．]平面与平面平行的判定【例11111A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证:( 1)E、F、B、D四点共面;( 2)平面MAN∥平面EFDB.[思路探究]( 1)欲证E、F、B、D四点共面,需证BD∥EF即可．( 2)要证平面MAN∥平面EFDB,只需证MN∥平面EFDB,AN∥平面BDFE即可．[详解]( 1)连接B1D1,∵E、F分别是边B1C1、C1D1的中点,∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1,∴BD∥EF.∴E、F、B、D四点共面．( 2)易知MN∥B1D1,B1D1∥BD,∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB,BD⊂平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.连接MF.∵M、F分别是A1B1、C1D1的中点,∴MF∥A1D1,MF＝A1D1.∴MF∥AD且MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形,∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE,DF⊄平面BDFE,∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M,∴平面MAN∥平面EFDB.平面与平面平行的判定方法:( 1)定义法:两个平面没有公共点．( 2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．( 3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β.( 4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.1．如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形．点M,N,Q分别在P A,BD,PD上,且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.[证明]∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD,∴MQ∥AD,NQ∥BP.又∵BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,∴NQ∥平面PBC.∵四边形ABCD为平行四边形．∴BC∥AD,∴MQ∥BC.又∵BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,∴MQ∥平面PBC.又∵MQ∩NQ＝Q,∴平面MNQ∥平面PBC.平面与平面平行的性质[探究问题]1．平面与平面平行性质定理的条件有哪些?[提示]必须具备三个条件:①平面α和平面β平行,即α∥β;②平面γ和α相交,即α∩γ＝a;③平面γ和β相交,即β∩γ＝b.以上三个条件缺一不可．2．线线、线面、面面平行之间有什么联系?[提示]联系如下:【例2】如图,已知平面α∥平面β,P∉α且P∉β,过点P的直线m与α、β分别交于A、C,过点P的直线n与α、β分别交于B、D,且P A＝6,AC＝9,PD＝8,求BD的长．[详解]因为AC∩BD＝P,所以经过直线AC与BD可确定平面PCD,因为α∥β,α∩平面PCD ＝AB ,β∩平面PCD ＝CD ,所以AB ∥CD .所以P A AC ＝PBBD ,即69＝8－BD BD .所以BD ＝245.1. 将本例改为:已知平面α∥β∥γ,两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F .已知AB ＝6,DE DF ＝25,则AC ＝ .15 [由题可知DE DF ＝ABAC ⇒AC ＝DF DE ·AB ＝52×6＝15.]2．将本例改为:若点P 在平面α,β之间( 如图所示),其他条件不变,试求BD 的长．[详解] 与本例同理,可证AB ∥CD . 所以P A PC ＝PB PD ,即63＝BD －88,所以BD ＝24.3．将本例改为:已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ,直线a 与这三个平面依次交于点A、B、C,直线b与这三个平面依次交于点E、F、G. 求证:ABBC＝EFFG.[证明]连接AG交β于H,连BH、FH、AE、CG.因为β∥γ,平面ACG∩β＝BH,平面ACG∩γ＝CG,所以BH∥CG.同理AE∥HF,所以ABBC ＝AHHG＝EFFG.应用平面与平面平行性质定理的基本步骤:平行关系的综合应用【例3】如图所示,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M 是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:GH∥平面P AD.[证明]如图所示,连接AC交BD于点O,连接MO.∵ABCD是平行四边形,∴O是AC的中点,又M是PC的中点,∴P A∥MO,而AP⊄平面BDM,OM⊂平面BDM,∴P A∥平面BMD,又∵P A⊂平面P AHG,平面P AHG∩平面BMD＝GH,∴P A∥GH.又P A⊂平面P AD,GH⊄平面P AD,∴GH∥平面P AD.1．证明直线与直线平行的方法( 1)平面几何中证明直线平行的方法．如同位角相等,两直线平行;三角形中位线的性质;平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行等．( 2)基本事实4.( 3)线面平行的性质定理．( 4)面面平行的性质定理．2. 证明直线与平面平行的方法:( 1)线面平行的判定定理．( 2)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．2．如图,三棱锥A-BCD被一平面所截,截面为平行四边形EFGH.求证:CD∥平面EFGH.[证明]由于四边形EFGH是平行四边形,∴EF∥GH.∵EF⊄平面BCD,GH⊂平面BCD,∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD,平面ACD∩平面BCD＝CD,∴EF∥CD.又∵EF⊂平面EFGH,CD⊄平面EFGH,∴CD∥平面EFGH.1．三种平行关系的转化.2．常用的面面平行的其他几个性质( 1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．( 2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．( 3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．( 4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例．( 5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行．1．判断正误( 1)α内有无数多条直线与β平行,则α∥β.( )( 2)直线a∥α,a∥β.则α∥β.( )( 3)直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥α,则α∥β.( )( 3)α内的任何直线都与β平行,则α∥β.( )[答案]( 1)×( 2)×( 3)×( 4)√2．a∥α,b∥β,α∥β,则a与b位置关系是( )A．平行B．异面C．相交D．平行或异面或相交D[如图①②③所示,a与b的关系分别是平行、异面或相交．]①②③3．若平面α∥平面β,直线a⊂α,点M∈β,过点M的所有直线中( )A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线D[由于α∥β,a⊂α,M∈β,过M有且只有一条直线与a平行,故D项正确．] 4．用一个平面去截三棱柱ABC-A1B1C1,交A1C1,B1C1,BC,AC分别于点E,F,G,H.若A1A>A1C1,则截面的形状可以为．( 填序号)①一般的平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形;⑤梯形．②⑤[当FG∥B1B时,四边形EFGH为矩形;当FG不与B1B平行时,四边形EFGH为梯形．]5．如图,在四面体ABCD中,点E,F分别为棱AB,AC上的点,点G为棱AD的中点,且平面EFG∥平面BCD .求证:BC＝2EF.[证明]因为平面EFG∥平面BCD,平面ABD∩平面EFG＝EG,平面ABD∩平面BCD＝BD,所以EG∥BD,又G为AD的中点,故E为AB的中点,同理可得,F为AC的中点,所以BC＝2EF.11。