高中数学必修二——平面与平面平行的判定

小结
证明两个平面平行的一般步骤为：第一步：在一个平
面内找出两条相交直线；第二步：证明两条相交直线分别平 行于另一个平面；第三步：利用判定定理得出结论．
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2.2.2
跟踪训练 1
如图， 在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，E、F、G、P、Q、R 分别是图中棱的中点．
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2.2.2
探究点一 问题 1
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平面与平面平行的判定
平面与平面有几种位置关系？分别是什么？
答 两个平面有两种位置关系，分别是平行和相交． 问题 2 生活中有哪些平面与平面平行的例子？请举出．
答
问题 3
教室的天花板与地面给人平行的感觉，前后两块黑板也
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[学习要求]
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平面与平面平行的判定
1．理解并掌握两平面平行的判定定理； 2．会用两平面平行的判定定理证明两个平面平行． [学法指导] 通过观察空间中平面与平面平行所用到的实物及模型， 归 纳抽象出两平面平行的判定定理， 培养空间问题平面化的 能力，提高应用“化归与转化”数学思想的意识．
∵A1G 綊 EB，∴四边形 A1EBG 是平行四边形， ∴A1E∥GB. ∵A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG. ∴A1E∥平面 BCHG.
∵A1E∩EF＝E，∴平面 EFA1∥平面 BCHG.
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小结
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(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两
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(2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 证明 (1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线，∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G 四点共面． (2)∵E、F 分别为 AB、AC 的中点，∴EF∥BC， ∵EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG， ∴EF∥平面 BCHG.
又 D1A⊄平面 C1BD，C1B⊂平面 C1BD，
由直线与平面平行的判定定理，可知 D1A∥平面 C1BD，
同理 D1B1∥平面 C1BD，
又 D1A∩D1B1＝D1，所以，平面 AB1D1∥平面 C1BD.
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问题 6
答
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如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个
平面内的两条直线，那么这两个平面平行吗？为什么？
平行．因相交直线中的一条平行于另一个平面内的一条 直线，由直线与平面平行的判定定理知，这条直线平行于另 一个平面，同理相交直线中的另一条直线也平行于另一个平 面，即一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，所 以由平面与平面平行的判定定理知，这两个平面平行．
三角板所在平面与地面平行．
直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．这个定理可简 单记为线面平行，则面面平行．
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问题 5 如何用符号及图形表达平面与平面平行的判定定理？
答
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符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α.
图形表示：
填一填·知识要点、记下疑难点
2.2.2
1．平面 α 与平面 β 平行是指两平面 无 公共点．若 α∥β，直
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线 a⊂α，则 a 与 β 的位置关系为 a∥β . 2．平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个 平面平行．用符号表示为 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，
三角板或课本的一条边所在直线与桌面平行，这个三角
是平行的．
板或课本所在平面与桌面平行吗？
答
通过试验得出不一定平行．
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问题 4
答
小结
三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，情况又
如何呢？
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当三角板的两条边所在直线分别与桌面平行时，这个
平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交
小结
判定定理可得出一个推论：如果一个平面内有两条相
交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两 个平面平行．
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探究点二 问题
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平面与平面平行的判定定理的应用
平面与平面平行的判定方法有哪些？
答
(1)利用定义：证两个平面没有公共点；
(2)利用面面平行的判定定理； (3)利用判定定理的推论； (4)利用结论：两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个 平面平行．
条相交直线平行于另一个平面． (2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作 的原则， 即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直 线，若找不到再作辅助线．
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跟踪训练 2 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD1 的中点，设 Q 是 CC1 上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ∥平面 PAO?
b∥α⇒β∥α .
3．推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个 平面内的 两条相交直线 ，那么这两个平面平行．
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[问题情境] 通过前面的学习，对直线与平面的平行的判定有了一个明 确的认识，那么空间中两个平面的平行如何判定呢？本节 我们就来研究这个问题．
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例 1 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1，求证：平 面 AB1D1∥平面 C1BD.
证明 因为 ABCD—A1B1C1D1 为正方体， 所以 D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1.
又 AB∥A1B1，AB＝A1B1，
所以 D1C1∥AB，D1C1＝AB， 所以 D1C1BA 是平行四边形，所以 D1A∥C1B，
求证：平面 PQR∥平面 EFG.
证明
∵PQ∥A1C1∥AC∥EF，∴PQ∥平面 EFG，
同理 PR∥平面 EFG.又 PQ∩PR＝P， ∴平面 PQR∥平面 EFG.
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例2 如图， 在三棱柱 ABC—A1B1C1 中， E， F，
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G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1 的中点， 求证：(1)B，C，H，G 四点共面；