功率谱估计真实验
经典功率谱估计方法实现问题的研究
1 随机信号的经典谱估计方法估计功率谱密度的平滑周期图是一种计算简单的经典方法。
它的主要特点是与任何模型参数无关，是一类非参数化方法[4]。
它的主要问题是：由于假定信号的自相关函数在数据观测区以外等于零，因此估计出来的功率谱很难与信号的真实功率谱相匹配。
在一般情况下，周期图的渐进性能无法给出实际功率谱的一个满意的近似，因而是一种低分辨率的谱估计方法。
本章主要介绍了周期图法、相关法谱估计（BT ）、巴特利特(Bartlett)平均周期图的方法和Welch 法这四种方法。
2.1 周期图法周期图法又称直接法。
它是从随机信号x(n)中截取N 长的一段，把它视为能量有限x(n)真实功率谱)(jw x e S 的估计)(jw x e S 的抽样.周期图这一概念早在1899年就提出了，但由于点数Ｎ一般比较大，该方法的计算量过大而在当时无法使用。
只是1965年FFT 出现后，此法才变成谱估计的一个常用方法。
周期图法[5]包含了下列两条假设：1．认为随机序列是广义平稳且各态遍历的，可以用其一个样本x(n)中的一段)(n x N 来估计该随机序列的功率谱。
这当然必然带来误差。
2．由于对)(n x N 采用DFT ，就默认)(n x N 在时域是周期的，以及)(k x N 在频域是周期的。
这种方法把随机序列样本x(n)看成是截得一段)(n x N 的周期延拓，这也就是周期图法这个名字的来历。
与相关法相比，相关法在求相关函数)(m R x 时将)(n x N 以外是数据全都看成零，因此相关法认为除)(n x N 外x(n)是全零序列，这种处理方法显然与周期图法不一样。
但是，当相关法被引入基于FFT 的快速相关后，相关法和周期图法开始融合。
通过比较我们发现：如果相关法中M=N ，不加延迟窗，那么就和补充（N-1）个零的周期图法一样了。
简单地可以这样说：周期图法是M=N 时相关法的特例。
因此相关法和周期图法可结合使用。
2.2 相关法谱估计（BT ）法这种方法以相关函数为媒介来计算功率谱，所以又叫间接法。
功率谱估计案例 matlab
功率谱估计案例 matlab在MATLAB中进行功率谱估计有许多不同的方法和工具。
其中，常用的方法包括周期图法（periodogram method）、Welch方法、Bartlett方法、Blackman-Tukey方法、自回归模型（autoregressive model）和傅里叶变换法等。
这些方法可以用于估计信号的功率谱密度，进而分析信号的频谱特性。
以周期图法为例，MATLAB提供了periodogram函数来实现功率谱估计。
用户可以直接输入信号数据并指定采样频率，函数将返回频率和对应的功率谱估计结果。
使用periodogram函数可以轻松地对信号进行功率谱分析，并可视化频谱特性。
另外，MATLAB还提供了pwelch函数来实现Welch方法，该方法可以对信号进行分段处理并计算每个段的功率谱估计，最后将结果进行平均以得到最终的功率谱密度估计。
这种方法可以降低估计的方差，更适用于非平稳信号的功率谱分析。
除了内置函数外，MATLAB还提供了丰富的工具箱，如信号处理工具箱（Signal Processing Toolbox）和控制系统工具箱（Control System Toolbox），这些工具箱中包含了更多高级的功率谱估计方法和工具，用户可以根据具体需求选择合适的方法进行功率谱分析。
在实际应用中，用户还可以结合MATLAB中的数据处理和可视化功能，对功率谱估计结果进行进一步分析和展示。
通过MATLAB强大的编程功能，用户可以灵活地定制功率谱估计的流程，并将分析结果以图表或报告的形式输出，从而更好地理解信号的频谱特性。
综上所述，MATLAB提供了丰富的功率谱估计方法和工具，用户可以根据具体需求选择合适的方法进行功率谱分析，并结合MATLAB 的数据处理和可视化功能进行全面的信号频谱特性分析。
功率谱估计仿真实验
功率谱估计仿真实验选题条件：对于给定的一个信号()()()t t f t f t x ϖππ++=212sin 2)2sin(，其中1f =50Hz ，2f =100Hz ，()t ϖ为白噪声，采样频率Fs 为1000Hz ，对其进行功率谱估 计。
仿真目标：采用多种方法对该指定信号进行功率谱估计，计算其功率谱密度，比较各种估计方法的优劣。
设计思路：本仿真实验采用经典谱估计中的周期图法对给定信号进行谱估计。
但是由于其自身的缺陷，使得频率分辨率较低。
为了不断满足需要，找到恰 当的估计法，实验使依次使用了周期图法的改进型方法如分段周期图法、 窗函数法以及修正的周期图法进行功率谱估计，对四种方法得出的谱估 计波形进行比较分析，得出估计效果最好的基于周期图法的谱估计方法。
仿真指标：频率分辨率、估计量的方差、频谱光滑度平台说明：本实验采用MATLAB7.0仿真软件，基于WINDOWS-XP 系统。
Matlab 是一个集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体的工程分析处理软件。
它提供的部分算法函数为功率谱估计提供了一条可行的方便途径，如PSD 和CSD 可以自动实现Welch 法估计，而不需要自己编程。
但是较为有限，大部分需要自己编写相应的M 文件来实现。
实现方法： 一、周期图法周期图法是直接将信号的采样数据()n x 进行傅立叶变换求功率谱密度估计。
假设有限长随机信号序列()n x ，将它的功率谱按定义写出如下：()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=∑-=-∞→2121lim N N n nj N j xx e n x N E e P ωω 如果忽略上式中求统计平均的运算，观测数据为：()n x 10-≤≤N n ，便得到了周期图法的定义：()()210^1nj N n j xxe n x N e P ωω--=∑=， 式中的绝对值符号内的部分可以用FFT 计算，这样就可得到周期图法的计算框图如下所示：()ωj xx e ^图1 周期图法计算功率谱框图采用周期图法时，可以分取不同的信号长度256、512和1024，分别进行功率谱估计，并进行观察分析。
(实验六 随机信号功率谱分析)
实验报告实验课程：数字信号处理实验开课时间：2020—2021 学年秋季学期实验名称：随机信号功率谱分析实验时间： 2020年9月30日星期三学院：物理与电子信息学院年级：大三班级：182 学号：1843202000234 姓名：武建璋一、实验预习实验目的要求深刻理解随机信号的特性，掌握随机信号功率谱估计的基本原理，灵活运用各种随机信号功率谱估计的基本方法。
实验仪器用具装有Matlab的计算机一台实验原理功率谱估计是随机信号处理中的一个重要的研究和应用领域.功率谱估计基本上可以非参数估计的经典方法和参数估计的近代方法.典型功率谱估计是基于FFT 算法的非参数估计,对足够长的记录数据效果较好。
在工程实际中，经典功率谱估计法获得广泛应用的是修正期图发。
该方法采取数据加窗处理再求平均的办法。
通过求各段功率谱平均，最后得到功率谱计P（m），即：式中：为窗口函数ω[k]的方差。
K表示有重叠的分数段。
由于采用分段加窗求功率谱平均，有效地减少了方差和偏差，提高了估计质量，使修正周期图法在经典法中得到普遍应用。
但在估计过程存在两个与实际不符的假设，即（1）利用有限的N个观察数据进行自相关估计，隐含着在已知N个数据之外的全部数据均为零的假设。
（2）假定数据是由N个观察数据以N为周期的周期性延拓。
同时在计算过程中采用加窗处理，使得估计的方差和功率泄露较大，频率分辨率较低，不适用于短系列的谱分析和对微弱信号的检测。
近代谱估计是建立在随机信号参数模型的基础上，通过信号参数模型或预测误差滤波器（一步预测器）参数的估计，实现功率谱估计。
由于既不需要加窗，又不需要对相关函数的估计进行如经典法那样的假设，从而减少公里泄露，提高了频谱分辨率。
常用的参数模型有自回归（AR）模型、滑动平均（MA）模型、自回归滑动平均（ARMA）模型。
其中AR模型是基本模型，求解AR模型的参数主要有L—D算法和Burg算法。
1.某随机信号由两余弦信号与噪声构成x(t)=cos(20*pi*t)+cos(40*pi*t)+s(t)式中：s(t)是均值为0、方差为1的高斯白噪声。
MATLAB仿真实现功率谱估计
MATLAB仿真实现功率谱估计功率谱估计是信号处理中常用的一种技术，用于分析信号的频谱特征。
自相关法是一种常用的功率谱估计方法，在MATLAB中可以很方便地实现。
自相关法的基本原理是首先对信号进行自相关运算，然后对自相关结果进行傅里叶变换，最后求得功率谱。
下面将详细介绍如何在MATLAB中使用自相关法实现功率谱估计。
首先，我们需要生成一个待分析的信号。
假设我们生成一个长度为N的随机信号x，可以使用randn函数生成一个均值为0、方差为1的随机数序列，然后使用fft函数求得x的傅里叶变换。
```matlabN=1024;%信号长度Fs=1000;%采样率t=(0:N-1)/Fs;%时间向量x = randn(1, N); % 生成随机信号X = fft(x); % 计算信号的傅里叶变换```接下来，我们可以使用MATLAB的xcorr函数对信号进行自相关运算，得到自相关结果。
```matlabrxx = xcorr(x); % 自相关运算```得到自相关结果后，我们可以对rxx进行归一化处理，即将结果除以信号长度，以消除信号长度对功率谱估计的影响。
```matlabrxx = rxx / N; % 归一化处理```然后，我们可以对rxx进行傅里叶变换，得到信号的功率谱。
```matlabPxx = fftshift(abs(fft(rxx))); % 功率谱估计f=(-N/2:N/2-1)*Fs/N;%频率向量```最后，我们可以使用plot函数将结果画出来，以便进行观察和分析。
```matlabfigure;plot(f, Pxx);xlabel('频率(Hz)');ylabel('功率谱');title('信号的功率谱估计');```通过以上步骤，我们就完成了MATLAB中利用自相关法实现功率谱估计的过程。
可以通过改变信号的长度N、采样率Fs以及噪声的统计特性等参数，观察估计结果的精确性和稳定性。
burg法实现功率谱估计
用burg 法实现功率谱估计参数模型法是现代谱估计中的主要内容，AR 模型参数的求解有三种方法：自相关法、Burg 递推算法和改进协方差法。
Burg 算法不是直接估计AR 模型的参数，而是先估计反射系数Km,再利用Levinson 关系式求得AR 模型的参数。
Burg 算法采用的数据加窗方法是协方差法，不含有对已知数据段之外的数据做人为的假设。
1.其原理如下：Burg 算法是使前向预测误差和后向预测误差均方误差之和最小来求取Km 的，它不对已知数据段之外的数据做认为假设。
计算m 阶预测误差的递推表示公式如下：x(n)(n)(n)(n)1)-(n (n)1)-(n (n)(n)0f 0f 1-m m 1-b m 1-m f 1-m m e e e e ==+=+=e k e e k e b b m b m f求取反射系数的公式如下：}1)]-(n [(n)]{[1)]-(n (n)[2-2b 1-m 2f 1-m b 1-m f 1-m m e e e e +=E E k 对于平稳随机过程，可以用时间平均代替集合平均，因此上式可写成：[][][][]{}p ,2,1,1)-(n (n)1)-(n (n)2-1-21-21-1-mn 1-1-，⋯=+=∑∑==m N m n b m f m N b m f m m e e e e k 这样便可求得AR 模型的反射系数。
将m 阶AR 模型的反射系数和m-1阶AR 模型的系数代入到Levinson 关系式中，可以求得AR 模型其他的p-1个参数。
Levinson 关系式如下：1-m 1,2,i i),-(m (i)(i)1-m 1-m m ，⋯=+=a k a a mm 阶AR 模型的第m+1个参数G ，ρm 2G =,其中ρm 是预测误差功率，可由递推公式)-(12m 1-m m k ρρ= 求得。
易知为进行该式的递推，必须知道0阶AR 模型误差功率ρ0 ρ0=[](0)(n)E x 2R x = 可知该式由给定序列易于求得。
功率谱估计报告范文
功率谱估计报告范文
一、功率谱估计的原理
功率谱估计是用来估计信号的功率谱密度（PSD）。
功率谱密度是描述信号在不同频率上的功率分布情况，是信号频谱特征的重要指标之一、功率谱估计的目标是通过有限长的信号序列来估计信号的功率谱密度，从而得到信号的频谱特征。
二、功率谱估计的常用方法
1.周期图法
周期图法是通过信号的周期性来估计功率谱密度。
该方法将有限长的信号序列进行周期延拓，然后通过傅里叶变换或卷积运算得到功率谱密度估计。
2.自相关法
自相关法是通过信号的自相关函数来估计功率谱密度。
该方法先计算信号序列的自相关函数，然后通过傅里叶变换得到功率谱密度估计。
3.平均功率谱法
平均功率谱法是通过将信号序列分段并求取每段的功率谱密度，然后对各段的功率谱密度进行均值运算来估计信号的功率谱密度。
常用的平均功率谱法有Welch法和Bartlett法。
三、功率谱估计的实际应用案例
1.语音信号处理
2.无线通信
3.振动信号分析
总之，功率谱估计是分析信号频谱特征的常用方法，通过对有限长的信号序列进行处理，估计信号的功率谱密度。
功率谱估计可以应用于语音信号处理、无线通信以及振动信号分析等多个领域。
在实际应用中，根据信号特点和需求选择合适的功率谱估计方法，并结合其他信号处理技术进行综合分析。
经典功率谱估计和现代功率谱估计
三、实验原理
直 接 法 （ 周 期 图 法 ） ： 它 将 信 号 X(n) 的 N 点 样 本 XN ( ejw ) 为 XN n 的傅氏变换，取其幅值平方除以 N 作为 x(n)真实的功率谱 P( ejw ) 的估计。 P(ejw )表示。 间接法（自相关法、 BT 法）：先由 XN n 估计出自相关函数 r m 。对 r m 求傅氏 变换得到 XN n 的功率谱： PBT (ω)这是对 P( ω) 的估计。
相关图形：
相关函数法 35
30
25
20
15
10
5
0
50
100
150
200
250
300
周期图法 50
0
-50
-100
0
50
100
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250
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50
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-50
-100
0
50100Fra bibliotek150
200
250
300
周期图法功率谱估计 20 10
Burg Power Spectral Density Estimate 60
40 0
功 率 谱 密 度 （ dB/Hz ） Power/frequency (dB/Hz)
20
-10 -20 -30 -40
0
-20
-40 -50 -60 -60
0
50 频 率 （ Hz ）
100
0
50 Frequency (Hz)
100
六、实验总结 可以看出直接法与间接法的方差性能都比较差， 为了追求谱线平滑， 就要以牺牲分辨率为代价的。
ylabel('¹¦ÂÊÆ×Ãܶȣ¨dB/Hz£©') title('ÖÜÆÚͼ·¨¹¦ÂÊÆ×¹À¼Æ') order1=50; range='half'; magunits='dB'; subplot(1,2,2) pburg(xn,order1,nfft,Fs,range);%burgËã·¨µÃ¹¦ÂÊÆ×
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功率谱估计仿真实验选题条件：对于给定的一个信号()()()t t f t f t x ϖππ++=212sin 2)2sin(，其中1f =50Hz ，2f =100Hz ，()t ϖ为白噪声，采样频率Fs 为1000Hz ，对其进行功率谱估 计。
仿真目标：采用多种方法对该指定信号进行功率谱估计，计算其功率谱密度，比较各种估计方法的优劣。
设计思路：本仿真实验采用经典谱估计中的周期图法对给定信号进行谱估计。
但是由于其自身的缺陷，使得频率分辨率较低。
为了不断满足需要，找到恰 当的估计法，实验使依次使用了周期图法的改进型方法如分段周期图法、 窗函数法以及修正的周期图法进行功率谱估计，对四种方法得出的谱估 计波形进行比较分析，得出估计效果最好的基于周期图法的谱估计方法。
仿真指标：频率分辨率、估计量的方差、频谱光滑度平台说明：本实验采用MATLAB7.0仿真软件，基于WINDOWS-XP 系统。
Matlab 是一个集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体的工程分析处理软件。
它提供的部分算法函数为功率谱估计提供了一条可行的方便途径，如PSD 和CSD 可以自动实现Welch 法估计，而不需要自己编程。
但是较为有限，大部分需要自己编写相应的M 文件来实现。
实现方法： 一、周期图法周期图法是直接将信号的采样数据()n x 进行傅立叶变换求功率谱密度估计。
假设有限长随机信号序列()n x ，将它的功率谱按定义写出如下：()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=∑-=-∞→2121lim N N n nj N j xx e n x N E e P ωω 如果忽略上式中求统计平均的运算，观测数据为：()n x 10-≤≤N n ，便得到了周期图法的定义：()()210^1nj N n j xxe n x N e P ωω--=∑=， 式中的绝对值符号内的部分可以用FFT 计算，这样就可得到周期图法的计算框图如下所示：()ωj xx e ^图1 周期图法计算功率谱框图采用周期图法时，可以分取不同的信号长度256、512和1024，分别进行功率谱估计，并进行观察分析。
仿真程序如下：clfFs=1000;N=256;Nfft=256;n=0:N-1;t=n/Fs;xn=sin(2*pi*50*t)+2*sin(2*pi*100*t)+randn(1,N); Pxx=10*log10(abs(fft(xn,Nfft).^2)/(N+1));f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);subplot(211)plot(f,Pxx)xlabel('Frequency (Hz)');ylabel('Power spectrum (dB)');title('Periodogram N=256')grid程序运行结果如下图所示：a.N=256b.N=512c.N=1024图2 周期图法功率谱估计N 分别为256、512、1024从图2可以看出，在频率50Hz 和100Hz 处，功率谱有两个峰值，说明信号中含有50Hz 和100Hz 的周期成分，这点与实际信号相吻合。
功率谱密度在很大范围波动，随着信号取样点数由256增加为1024，摆动的幅度并未减小，只是摆动的频率加快，功率谱估计效果并没有什么改进。
用有限长样本序列的周期图法来表示随机序列的功率谱虽然只是一种估计或近似，不可避免地存在误差，为了减小误差，使功率谱估计更加平滑，可以采用以下方法进行改进。
二、平均周期图法将信号序列()n x ，10-≤≤N n ，分成互不重叠的L 个小段，每个小段有m 个采样值，则Lm=N 。
对每小段信号序列进行功率谱估计，第i 组的周期图用下式表示：()()2101∑-=-=M n nj ii en x MI ωω。
然后求他们的平均值作为整个序列()n x 的功率谱估计，公式如下：()()ωω∑==Li i j xx I L e P 1^1算法框图如下：观测数据数据分段求平均功率谱求各段功率谱图3 分段周期图法框图本仿真实验中可以自行设计分段数分别为2、4、8段，只需将仿真代码中的分段数进行调整即可实现。
仿真程序设计如下（分四段）： clfFs=1000; N=1024; Nsec=256; n=0:N-1;t=n/Fs;xn=sin(2*pi*50*t)+2*sin(2*pi*100*t)+randn(1,N); pxx1=abs(fft(xn(1:256),Nsec).^2)/Nsec;pxx2=abs(fft(xn(257:512),Nsec).^2)/Nsec;pxx3=abs(fft(xn(513:768),Nsec).^2)/Nsec;pxx4=abs(fft(xn(769:1024),Nsec).^2)/Nsec;Pxx=10*log10((pxx1+pxx2+pxx3+pxx4)/4);f=(0:length(Pxx)-1)*Fs/length(Pxx);subplot(211)plot(f,Pxx)xlabel('Frequency(Hz)');ylabel('Power Spectrum(dB)');title('Averaged Periodogram(no overlap)N=2*512') grid程序运行结果如图4所示：a．分段数L=2b.分段数L=4c.分段数L=8图4 分段平均周期图法功率谱估计图4中，分别采用了不同的分段数2、4、8，从图中可以清楚地看到，随着分段数的增加功率谱曲线越来越平滑，功率谱估计值在0dB 附近摆动的幅度越来越小。
但是由于数据量N=1024是个定值，段数加大，每一段的数据量必然减少，因此估计量方差减小了，使偏移加大，分辨率降低。
因此，估计量的方差和分辨率是一对矛盾，它们的效果可以互换，可以根据实际情况适当地选择L 和M 。
如果对分辨率要求不高，可以取L 大些；反之，只好将M 的值取得大些。
图4与图2相比，谱估计效果有了明显改善。
三、窗函数法窗函数法是使用一种适当的功率谱窗函数()ωj e W 与周期图进行卷积，来达到使周期图平滑的目的，如下式所示：()()()()θθπθωππωd eW I e j N j xx P --⎰=21^式中，()()nj N N m N em xx I r ωω----=∑=1)1(^，()m xxr ^是有偏自相关函数。
周期图和频谱函数卷积得到功率谱，等效于在频域对周期图进行修正，使周期图通过一个线性非频变系统，滤除掉周期图中的快变成分。
计算框图如下：观测数据最终的谱估计值适当的窗函数计算周期图Х图5 窗函数法框图仿真程序设计如下： clfFs=1000;N=1024; Nsec=256; n=0:N-1; t=n/Fs;w=hanning(256)';xn=sin(2*pi*50*t)+2*sin(2*pi*100*t)+randn(1,N); pxx1=abs(fft(w.*xn(1:1024),Nsec).^2)/norm(w)^2; subplot(211) plot(f,Pxx)Pxx=10*log10(conv(pxx1，w)); xlabel('Frequency(Hz)');ylabel('Power Spectrum (dB)');title('Averaged Modified Periodogram (no overlop)N=4*256') grid程序运行结果如图6所示：图6 窗函数法功率谱估计分析：与图2、图4相比，图6的功率谱曲线更加光滑，主瓣宽度比较宽，估计误差变小了，但是偏移加大了，使分辨率降低。
这点可以从窗函数基本知识可以得到，采用合适窗函数对信号进行处理可以减少频谱泄漏，同时可增加频峰宽度。
分辨率和估计方差两者之间的矛盾还是比较明显。
为了折中两者之间的矛盾，可以采用修正的周期图求平均法。
四、Welch 修正的周期图求平均法Welch 算法是由Welch 提出的修正周期图法，是经典谱估计中获得的一项有效的算法。
Welch 算法谱估计采取数据分段加窗处理再求平均的办法，把窗函数加到每一个数据段上，求出每一段的周期图，形成修正的周期图，再对每一个修正的周期图进行平均。
第i 段的修正周期图为()()()2101∑-=-=M n j ii en n x UI ωωωi=1，2，3…M-1式中()n MU Mn ∑-==1021ω，将每一段的修正的周期图之间看成互不相关，最后的功率谱估计为()()ωω∑==Li i j xx I L e P 1^1Welch 法谱估计流程图如下图所示：观测数据数据分段求平均功率谱求各段功率谱加窗处理图7 Welch 修正的周期图法框图仿真程序设计如下：clfN=1024; Nfft=256; Fs=1000; n=0:N-1; t=n/Fs;window=hanning(256); noverlap=128; dflag='none';xn=sin(2*pi*50*t)+2*sin(2*pi*100*t)+randn(1,N); Pxx=psd(xn,Nfft,Fs,window,noverlap,dflag); f=(0:Nfft/2)*Fs/Nfft; subplot(211)plot(f,10*log(Pxx))xlabel('Frequency (Hz)');ylabel('Power Spectrum(dB)'); title('PSD----Welch Wethod') grid程序运行结果如图8所示：图8 修正的周期图求平均法功率谱估计从图7可以看出，谱波形更加光滑，摆动幅度较小。
由于加了hanning窗，大大压低了旁瓣宽度，使得低电平信号清晰可见，但由于主瓣宽度加宽，功率谱波峰变宽了，从而降低了信号的分辨率。
与前几种估计的波形相比，Welch修正的周期图法所得到的标准方差比其他几种周期图法要小，这说明经过分段、加窗后方差也会减小，从而说明经过加窗平滑方法后的周期图估计也越来越正确。
五．结论：通过仿真实验的波形可以直观地看出以下特性：（1）平均周期图法、窗函数法以及修正的周期图法的收敛性较好，曲线较周期图法更为光滑，估计的结果方差较小。
但是功率谱主瓣较宽，分辨率较低。
这是由于对随机序列的分段处理引起了长度有限所带来的问题，由于只有N个观测数据，观测不到的信号被认为是0。
对于N以外的数据，信号仍有较大的相关性，这样估计出的功率谱就会有很大的偏差。