角动量守恒例题上课讲义
大学物理 角动量 角动量守恒定律课件
1 2 r gt , p mv mgt 2
r
v
2.4 角动量守恒定律
o
若以O为参考点，质点在任 意时刻的角动量为：
R
A
r
r
v
R
L0 r P ( R r ) p R mgt .
rmgt ; 方向垂直纸面向里
2.4 角动量守恒定律
• 若质点作匀速直线运动，以 O点为参考点，质点的角动 量为：
L0 r mv r mv const
L0 r mv sin r mv
• 注意：对不同的参考点有不同的角动量
开普勒第二定律 对于任一行星，由太阳 到行星的矢径在相等的 时间内扫过相等的面积
2.4 角动量守恒定律
3、质点系的角动量定理及守恒定律
质点系角动量对时间的变化率等 于质点系所受合外力矩，而与内 力矩无关。
写成积分式
dL 即： M 外 dt
L0
t
t0
L Mdt dL L L0 L
t0 L0
L Li ri pi ri mi vi
质点系的角动量守恒
当 M 外 0 时，L 恒矢量
2.4 角动量守恒定律 例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内.一质 量为 m 的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上), 然后从 A 点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求 小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度. 解 小球受重力和支持 力作用, 支持力的力矩为零, 重力矩垂直纸面向里
角动量守恒第一讲(质点)
刚体是各质元间的相对位置永不发生变化的质
点系。或所有质元间距保持不变的质点系。
20
二、刚体的基本运动形式
1. 平动
刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。
A B A B A B
特点：刚体内任意一质元的运动都可代替刚体的运 动。常以质心作为代表点。这样,平动的刚体可看 成质点,质点的运动规律就是刚体的平动规律。
一、质点系的角动量
二、质点系的角动量定理 三、例题分析
12
§3.2
质点系的角动量守恒定律
一、质点系的角动量
质点系对惯性系中某一给定参考点O的总角动量 为各质点i 对O点的角动量的矢量和
L Li ri p i
i
i
i
ri m i v i
二、质点系的角动量定理
假定它的轨道 是圆形，且为匀速 圆周运动，试求它 们的角动量。 p mv
.
因此地球绕太阳旋转的角动量：
L1 r1 m 1 v 1 2 r m 1
2 1
r1
17
T1 40 2 1 2 . 663 10 kg m s
§3.2
例题 2 .
质点系的角动量守恒定律
16
§3.2
质点系的角动量守恒定律
三、例题分析
例题 1( 题 4 . 6 )
已知条件如图所示。
24
m 1 5 . 98 10
kg
11
r1 1 . 496 10 m 7 T1 3 . 156 10 s
地球绕太阳旋转
[解] L r p L r p rmv
m 2 r2 dt dt d dr dv 先 考 察 ： (r v ) v r dt dt dt
角动量角动量守恒PPT课件
M M1 M2 M3
（2）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消．
M ij
rj
j
O
d ri
i Fji
Fij
Mij M ji
M ji
（3）力矩必须明确是对哪个点（或轴） 8
三、角动量定理 角动量守恒
1.质点的角动量定理
将角动量 L r p 两边对时间求导
14
角动量守恒定律是一条普遍的规律，存在
于很多自然现象中，例如，行星受恒星引力作
用作椭圆轨道运动，引力的作用线始终通过恒
星中心，这样的力称为有心力。由于有心力对
力心的力矩恒为零，因此，受有心力作用的质
点对力心的角动量守恒。 掠面速度
·m
f
r
dS 1 r v dt 2
o r
vdt
12
将角动量定理的微分形式 M dL 两边乘以
dt 并积分得
t
dt
0 M dt L L0
t
0 M
dt :
质点或质点系的合外力矩的冲量矩；
L0 与L 分别是质点或质点系始末状态的角动量。
在一段时间内，质点（系）角动量的增量
等于作用于质点（系）的合外力矩的冲量
矩——质点（系）角动量定理的积分形式
Lrp
(xi yj zk ) (pxi py j pzk )
各坐标轴的分量
Lx ypz zpy Ly zpx xpz Lz xpy ypx
分别称为对 x、y 、z 轴的角动量
2
例 质点L沿某r一 p方向r作 m直v线运动，对O点的角动量 角动量大小为
L rm vsin m v d
《角动量习题课》PPT课件
M
mabk
dL dt
0!
(恒矢量)
或由
M
r
F
判断下列情况角动量是否守恒：
圆锥摆运动中,做水平匀速
圆周运动的小球m.
(1)对C点的角动量 (2)对O点的角动量 (3)对竖直轴CC'的角动量
(b mr
c) b(a c
( r )
)
c(a m
rb2)
L与 同方向
4
.质点直线运 动对某定 点的角动量：等于零
L r p mr v
o'
吗？？ ？ v
大小 L mvr sin mvd
方向：
d m r
如何使 L=0？
解：
试求v:该d质r 点对a原s点in的t 角i 动b量 c矢os量.t
j
L
mr
v
dt
m(a cos ti
b sintj )
(a sinti b cos tj )
m(ab cos 2 tk ab sin2 tk )
O
5-1-2 质点系的角动量
Li
ri L
pi
ri
Li
(mivi
)
mi mi
rrii2(
ri
)
i
共轴 L Li mirivi miri (ri )
i
i
i
[ miri2 ] J
i
J miri2 转动惯量
第3章 角动量守恒定律 PPT课件
若转轴不动，称定轴转动。 O
1. 定轴转动特征
(1) 刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内(转动平面) 做圆周运动.其圆心都在一条固定不动的直线(转轴)上.
(2) 刚体上各点到转轴的垂直线在同样的时间内所转过 的角度都相同。因而用角量描述刚体的运动.
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3.3 刚体的运动
2. 定轴转动的描述
解：
N
R
T
Mg
T' M.
a R
mg
m
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
根据转动定律 根据牛顿第二定律
TR=Jβ
1 MR2
2
mg-T=ma
因绳与滑轮间无滑动，所以 a=Rβ
解以上三式得
a mg mM /2
a
mg
R R( m M / 2 )
rF
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3.1 质点的角动量 力矩
3.1.2 质点的角动量定理
力矩定义：
M rF
力矩大小：
M r F sinθ 式中 rsinθ d 为力臂，则
M Fd
因 Fsin θ F ，即合力切向分量，所以：
M r F
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3.2 质点的角动量守恒定律
(1) 角坐标 称角位置或角坐标。
规定逆时针转向 为正。
p x
O
刚体定轴转动的运动学方程
= (t) (2) 角位移
为 t时间内刚体所转过的角度。
p x O
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3.3 刚体的运动
(3) 角速度 角速度 lim Δ d Δt0 Δt dt 在定轴转动中，转向只可能有
第角动量角动量守恒定律PPT课件
(练习二，17)
解 设猴子、重物对地面的速度分别为
。
由猴、重物组成的系统角动量守恒，得
v1、v 2
v1 v2
R
∵ v1 v猴绳 v绳-地 v v绳-地
v1
v2
而 v绳地 v物地 v2 , 则 v1 v v2
∴
v2
v 2
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机械能不守恒
力物的猴拉加，力由速于上和轻爬相绳过等各程m，处中1又g张，因力绳为相对猴等猴和，的物所拉相以力同在大质另于量一猴，端的绳重对重T1
[ C]
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第五章 角动量、角动量守恒定律
本章主要阐述三个问题：
1）角动量。 2）角动量守恒定律。 3）有心力与角动量守恒定律。 3）有心力与角动量守恒定律。
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5-3 有心力与角动量守恒定律
自然界中有些力具有这样的性质：力的方向始终通过某一固定点，力的 大小仅依赖于质点与这个点之间的距离。我们称这样的力为有心力，相应的 固定点称为力心。例如，万有引力是有心力；静电作用力也是有心力。
作半径为 的m圆轨道运动。取圆周上 点R为参考点，如图所示，试求：①质P点
在图中点1处所受的力矩 和质点的角动量
的力矩 和质点的角动量 。
；②质m点
在图中点2处所受
M1
L1
m
M2
L2
解 ① 力矩 M 1
2
在点1处， 所m受引力指向 点，故 P M 1 0
角动量 L1
由 m作圆周运动的动力学方程，可得速度
A 另离一端系向一右质，运量绳O动子，处到于达松位的弛置物状体态时。。物开O现体始A在速时使度，物的物体方m体以向位与与于0绳.位5d垂k置垂g直直0。处.的2试，5初求m速物度间体的在距 处
精选讲义-角动量守恒定律
第四章角动量守恒定律基本要求：1. 明确力矩的物理涵义，掌握力矩的一般定义，并能从力矩的一般定义中得出力对某轴的力矩的表达式；2. 掌握质点的角动量的物理涵义，能熟练地推导在一般情况下的质点角动量定理，以及对轴的角动量定理；3. 理解角动量守恒定律的物理内容和定律的适用条件，并能运用这个定律解释有关现象。
§4-1力矩一、力矩的一般意义1、引入对于一个静止的质点来说, 当它受到力的作用时，将开始运动；但对于物体的转动而言, 当它受到外力作用时, 可能转动, 也可能不转动, 这决定于此外力是否产生力矩。
外力产生力矩，物体就转动, 不产生力矩，物体则不转动。
所以, 力矩对物体转动所起的作用, 与力对质点运动所起的作用是类似的。
2、定义在一般意义上，力矩是对某一参考点而言的。
如果质点p在坐标系o-xyz中的位置矢量是r (见图4-1), 那么作用于质点的力f相对于参考点o所产生的力矩，就定义为(4-1)显然，m必定垂直于由矢量r和f所决定的平面, m的指向应由右手定则确定：右手的四指由r的方向经小于 π的角转向f的方向，伸直的拇指所指的方向就是力矩m的方向。
m的大小等于以r和f为邻边的平行四边形的面积，即(4-2)式中θ是r与f之间的夹角。
在国际单位制中，力矩的单位是n ⋅ m (牛顿⋅米)。
3、合力情况合力对某参考点o的力矩等于各分力对同一点力矩的矢量之和：由力矩的定义式(4-1)可以看到, 力矩m与质点的位置矢量r有关, 也就是与参考点o的选取有关。
对于同样的作用力f, 选择不同的参考点, 力矩m的大小和方向都会不同。
为了表示力矩m是相对于参考点o的, 所以一般在画图时总是把力矩m画在参考点o 上, 而不是画在质点p上, 如图4-1所表示的那样。
如果作用于质点上的力f是多个力的合力, 即f = f1+ f2 + …+ f n ,代入式(4-1)中, 得=r⨯f1+ r⨯f2+ … + r⨯f n= m1+ m2 + … + m n(4-3)这表示, 合力对某参考点o的力矩等于各分力对同一点力矩的矢量之和。
第五节-角动量角动量守恒定理讲解学习
上二式相比，可得
例2一质量m = 2200kg 的汽车以的速度 沿一平直公路开行。求汽车对公路一侧距公路d= 50m 的一点的角动量是多大？对公路上任一点的角动量又是多大？ 解：如图5-3所示，汽车对公路一侧距公路d= 50m的一点P1的角动量的大小为
汽车对公路上任一点P2的角动量的大小为
例3两个质量均为m 的质点，用一根长为2a、质量可忽略不 计的轻杆相联，构成一个简单的质点组。如图5-4所示，两质 点绕固定轴OZ以匀角速度转动，轴线通过杆的中点O与杆的夹角为，求质点组对O点的角动量大小及方向。 解: 设两质点A、B在图示的位置，它们对O点的角动量的大小相等、方向相同（与OA和 m v组成的平面垂直）。 角动量的大小为
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角动量守恒例题
长为L 的均匀直棒，质量为M ，上端用光滑水平轴吊起静止下垂。
今有一质量为m 的子弹，以水平速度v 0 射入杆的悬点下距离为a 处而不复出。
（1）子弹刚停在杆中时杆的角速度多大？
（2）子弹冲入杆的过程中（经历时间为Δt ），杆上端受轴的水平和竖直分力各多大？
（3）要想使杆上端不受水平力，则子弹应在何处击中杆？
解：把子弹和杆看作一个系统。
系统所受的力有重力和轴对杆的约束力。
在子弹射入杆的极短时间内，重力和约束力均通过轴，因而它们对轴
的力矩均为零，系统的角动量守恒，于是有 ω)3
1(220ma Ml a mv += 2
2033ma ML a mv +=∴ω （2）解法1：对子弹与杆系统，根据动量定理，在水平方向有
0p p t F x -=∆
ωωmd l M
mv Mv p mv p c +=+==2,00 t
v m t ma l M F x ∆-∆+=∴0)2(ω 此即为轴在水平方对杆上端的作用力，与v 0的方向相反。
在竖直方向上有
222
)(ωωmd l M g m M F y +=+- )(2
22g d m Mg l M F y +++=∴ωω 如略去m ，则 Mg l M F y +=22
ω
（2）解法2：子弹冲入杆的过程中，子弹受杆的阻力的大小为： t
mv ma t mv mv f ∆-=∆-=00'ω 杆受子弹的水平冲力为 t ma mv f f ∆-=
-=ω0' 对杆用质心运动定律
t l
M Ma f F C x ∆==+2ω )2(l
t r a t t ∆==∆=∴∆=ωαω
ααω
t
v m t ma l M Ma f F C x ∆-∆+=+-=∴0)2(ω
此即为轴在水平方对杆上端的作用力，与v 0的方向相反。
在竖直方向上有
222
)(ωωmd l M g m M F y +=+- )(2
22g d m Mg l M F y +++=∴ωω 如略去m ，则 Mg l M F y +=22
ω
（3）由0=∴x F 可得：
m
ML v a 20-=ω 将22033md ML a mv +=
ω代入得 m Ml md Ml ma a 23322-+=解得l a 3
2=。