角动量守恒定律
角动量守恒定律
角动量守恒定律角动量守恒定律，也称转动动量守恒定律，是描述旋转系统中物体角动量守恒的物理定律。
它是在伽利略与牛顿的基础上，由欧拉和拉格朗日等人发展起来的。
它表明，在无外力矩作用下，一个封闭系统的总角动量守恒。
在物理学中，角动量是描述物体旋转运动的物理量。
一个物体的角动量等于其自转角速度和惯性矩的乘积。
考虑一个刚性物体，其围绕某个轴心旋转。
此时，物体的角动量L等于其自转惯性矩I和角速度ω的积，即L=Iω。
这个公式可以用来描述物体的旋转状态。
在没有外力矩作用的情况下，物体的角动量守恒。
也就是说，在这种情况下，刚体自身的角速度和惯性矩不会发生改变。
这个定律可以由牛顿第二定律的角动量形式推导出来。
当一个刚体受到外部力矩时，他的角动量就会发生变化。
这个变化量等于力矩与旋转时间的积。
一个封闭系统中的物体，在没有外部力矩作用时，总角动量守恒，即所有物体的角动量的代数和不变。
如果物体中有某一个物体受到外部力矩，那么这个物体的角动量就会发生变化，但是，由于总系y运中的总力矩为零，所以其他物体的角动量将以相反的方式发生变化，以保证总角动量守恒。
一个典型的例子是一个旋转跳板启动一个跳跃者，高度和角速度的变化取决于跳板和跳跃者的质量和形状。
在这个过程中，跳板和跳跃者的角动量守恒，因为在计算角速度和角动量时，两个物体的总和是不变的。
总之，角动量守恒定律是一种重要的动力学基本定律。
它说明，封闭系统中的角动量总和保持不变。
在硬物体的运动中往往非常有用，可以帮助计算速度、加速度和其他涉及运动的数值。
在工程学和物理学中，它被广泛地应用于旋转系统、制药生产，以及其他需要涉及转动的领域。
角动量定理 角动量守恒定律
量守恒。
13
第3章动量与角动量
例2 发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的行 星， 当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一
质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面。 求 θ角及着陆滑行的初速度。 解 引力场（有心力） 系统的机械能守恒
m
r0
v0
v
R
OM
质点的动量矩守恒 1 GMm 1 2 GMm 2 mv 0 mv 2 r0 2 R
求 此时刻质点对三个参考点的动量矩
d1
m v
d3
d2
解
4
LA d1mv LB d1mv LC 0
第3章动量与角动量
B
C
二、力对定点的力矩 定义 为力对定点O的力矩 M r F 大小： M r F sin
方向：垂直 r , F 组成的平面 M ML2T 2 SI Nm 量纲：
r r r M r F 0
L
r L mvrsin m rsin t 1 r r rsin S 2 2m 2m t t
12
r r r L r m C
r r F
r
m
掠面 速度
行星对太阳的位矢在相等 的时间内扫过相等的面积
i i
L Li ri Pi
P2 r2 o
P 1
r1
质点系对参考点O 的动量矩就是质点系所有质点对同一参 考点的动量矩的矢量和
dLi 2. 质点系的动量矩定理 M i dt i i M M i ri Fi ri fi
角动量 角动量守恒定律
h
vN2 2g
1 2g
3mvM m 6m
2
h
3m m 6m
2
19
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
P104例3 质量很小长度为l 的均匀细杆, 可绕过其中心
O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动 . 当细杆静止于
水l/4平处位, 置并时背,离有点一O只向小细虫杆以的速端率点vvA0 0垂爬直行落. 设在小距虫点与O细为杆
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4-3 角动量 角动量守恒定律
比较 动量
F
dP dt
t2
Fdt ΔP
t1
F 0 P 0
F
P
mv
力 动量
t2
Fdt 力的冲量
t1
第四章 刚体转动
角动量
M
dL dt
t2
Mdt ΔL
t1
LMMrrp0F角L力动矩量0或或角动力量矩
其角速度为ω, 求齿轮啮合后两圆盘的角速度.
解: 系统角动量守恒
J11 J22 (J1 J2)
J11 J22
(J1 J2 )
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4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
P103例2 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下
落到跷板的一端 A, 并把跷板另一端的演员 N 弹了起来.
R
x
26
dP
F dt
t2
Fdt ΔP
t1
F 0 P 0
§2-5角动量定理 角动量守恒定律
太原理工大学物理系
L r P
在直角坐标系中
L ( xi yj zk ) ( Px i Py j Pz k )
L x y z
i j k p x p y p z
太原理工大学物理系
L
v
方向：垂直 r ，P 组成的平面
太原理工大学物理系
r
讨论: 1) 同一质点相对于不同的点，角动量不同。 2) 在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个 点而言的。
3）质点以角速度作半径为r的圆运动，相对 圆心的角动量
L = mvr
L
p
mr J
2
o r
2）在具体的坐标系中，角动量在各坐标轴的分 量称作对轴的角动量。力矩在各坐标轴的分量， 称作对轴的力矩。
L Lx i Ly j Lz k L 是质点对o点的角动量
Lx Ly Lz
分别是质点对x、y、z轴的角动量.
M M x i M y j M z k M 是力对o点的力矩
三、质点的角动量定理 dP 由牛顿第二定律 F dt
dP 两边用位矢叉乘 r F r dt dp d dr r (r p) p dt dt dt
dr 由速度定义 v dt
v p 0 dL dp d r (r p) dt dt dt
i
ri fi 质点系受到的内力矩的矢量和
i
矩
太原理工大学物理系
可以证明：内力对定点的力矩之和为零，即
ri fi 0
i
质点系内的重要结论之三
角动量角动量守恒定律
dr r
l
I r dm
2 m
R2
R1
2 l r dr
3
l
2
4 ( R2 R14 )
m 圆筒的体密度 2 , R2 R, I m R2 2 若R1 R2 R, I m R2
1 2 I m( R2 R12 ) 2
刚体绕OZ轴转动的角动量
a)力矩、角动量都是瞬时量，它们只能针对某 注意： 一时刻而言，它们都不是时间的累积效应。 b)力矩、角动量都是相对量，都必须指明它们 是相对于哪个轴或哪个点。 强调：对于刚体的定轴转动，我们只能用角动量来 描述，而不能用动量来描述。
8
3.转动惯量 1 .定义 刚体对固定轴的转动惯量等于各质元质量与其至 转轴的垂直距离的平方的乘积之和。
I ( Δmiri2 )
I是描述刚体转动惯性大小的物理量。
刚体的转动惯量与哪些物理量有关？ ①.与刚体质量有关。 ②.与质量对轴的分布有关。 ③.与轴的位置有关。 在（SI）中，I 的单位：kgm2 量纲：ML2
9
2 .转动惯量的计算
Δmiri2 ) Ii 分立质点系 I (
质量连续分布的刚体
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例2：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面 的质心轴转动，求转动惯量I。 解：分割质量元 dm圆环上各质量元到轴的距离相等，
M
I
0
R dm R
2
2 M 0
2 dm MR M
绕圆环质心轴的转动惯量为
o
R
dm
I MR
2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。 解：由转动惯量的定义
5.5 角动量守恒定律
例题1 ： 一粒子弹水平射入一静止悬杆的下端，穿出 后速度损失 3 / 4，求子弹穿出后棒的角速度 。已知轴处自由 。
解：以 f 代表杆对子弹的阻力，对子弹有: fdt m(v v0 ) 3mv0 / 4
子弹对杆的冲量矩为：
l f dt J f ldt
若 M 0 ，则
L J 常量
——刚体定轴转动的角动量守恒定律
讨论
内力矩不改变系统的角动量.
在冲击等问题中
M内 M外 L 常量
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 刚体（或刚体组系统）角动量守恒的三种情况： ①J 不变（刚体），角速度ω的大小和方向均不变 ②J 可变（质点系），ω亦可变，但Jω乘积不变 ③刚体组的角动量守恒
a
v
m
3mva 2 2 m' l 3ma
射入竿后，以子弹、细杆和 地球为系统 ，机械能守恒 .
o
30
a
1 1 2 2 2 ( ml ma ) 2 3 l mga(1 cos 30) mg (1 cos 30) 2
2 2 v g (2 3 )( m l 2ma )( m l 3ma ) 6 ma
质点系的角动量定理：
t
t0
Mdt L L0
质点系的角动量定理：
t
t0
Mdt L L0
O
ri
mi
z
该矢量式向固定转轴（如 z轴） 的投影，得一个标量式，即
vi
t
t0
M z dt Lz L0 z
相对某固定轴，质点系所受的角冲量等于系统 角动量的增量。——质点系对定轴的角动量定理。
§2-3 角动量守恒定律
γ
v lz r
O
）
θ
M z = M cos γ
= r F sin θ cos γ
y
3
x
二、
角动量和角动量定理
z
1、角动量 (angular momentum) 设质点的质量、位矢、速度 v v p v r、 v、 。 和动量分别为 m 、 质点相对参考点O的角动量定义为
v mv
v r
）
）
4
θ
v v w r1 , r2 , L , rn
v L = v li =
质点系的角动量为所有质点的角动量的矢量之 和，即
∑
n
i =1
∑
n
i =1
v v ri × m i v i
10
对每个质点，根据角动量定理列方程 v v v v v dln d l1 v dl2 M1 = ,M 2 = , ⋅ ⋅⋅ , M n = dt dt dt
即
v l = 恒矢量
若作用于质点的合力对参考点的力矩始终为零, 则质点对同一参考点的角动量将保持恒定。 注意： (1)这也是自然界普遍适用的一条基本规律。 v v v v v (2) M = 0，可以是r = 0,也可以是F = 0, 还可能是r 与F 同向或反向，例如有心力情况。 8
如果作用于质点的合力矩不为零，而合力矩沿Oz 轴的分量为零,则
v 当 ∑M =0 时
v L = 恒矢量
如果外力对参考点O的力矩的矢量和始终等于零， 那么质点系对同一参考点的角动量不随时间变化。 当
∑M
z
= 0 时 Lz = 恒量
上式称为质点系对轴的角动量守恒定律。
12
观察发现, 宇宙中存在着大大小小各种层次的天体 系统, 它们都具有旋转的盘状结构, 并且系统中的天体 基本上都朝同一方向转动, 无论是太阳系、银河系以 及众多的河外旋涡星系都是如此，这种现象的形成是 天体系统遵从角动量守恒定律的必然结果。
什么是角动量守恒定律
什么是角动量守恒定律角动量守恒定律是物理学中的基本定律之一。
它描述了一个物体或系统的角动量在没有外力作用下的守恒性质。
本文将通过对角动量守恒定律的概念、应用和实例的探讨，详细阐述什么是角动量守恒定律。
角动量守恒定律是基于物体的转动性质而产生的定律。
角动量表示物体绕某个轴旋转时的运动状态，它与物体的质量、转动轴离轴距离和物体的角速度有关。
角动量守恒定律提出，当一个物体或一个系统不受外力矩作用时，其总角动量将保持不变。
具体而言，对于一个孤立系统或一个不受外部扰动的物体，其初始角动量与最终角动量相等。
也就是说，如果在没有外力作用下，物体的转动轴保持不变，那么它的角动量将始终保持不变。
这表明，物体在转动过程中，无论是改变转动速度还是转动轴的位置，总角动量都将保持恒定。
角动量守恒定律可以通过转动动力学原理来解释。
当一个物体受到作用力时，根据转动动力学原理，作用力和物体受力点之间的力矩将导致物体发生角加速度，从而改变物体的角动量。
然而，在不受外力的情况下，物体的角动量将保持不变，因为没有力矩可以改变物体的角动量。
角动量守恒定律在实际应用中有着广泛的意义。
首先，在天体物理学中，它可以用来解释和预测行星、卫星等天体的运动。
例如，当卫星绕地球旋转时，由于不受外力的作用，卫星的角动量保持恒定，这使得我们能够理解卫星的运动轨迹和速度变化。
此外，角动量守恒定律还可以应用于机械系统中，如陀螺仪的运动理论分析、转子动力学等等。
值得一提的是，角动量守恒定律与动量守恒定律密切相关。
动量守恒定律指出在没有外力作用下，物体的动量保持不变。
而角动量守恒定律可以被视为动量守恒定律在转动系统中的体现。
因为角动量等于动量与物体到转动轴距离的乘积，所以角动量守恒定律实际上是动量守恒定律在转动系统中的推论。
为了更好地理解角动量守恒定律，让我们通过一个实际的例子来具体说明。
考虑一个自行车车轮的旋转运动。
当骑手在自行车上进行转动操作时，车轮开始加速旋转。
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第二节 转动动能 转动惯量
例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通过盘 中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 。
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环。
r
圆环质量
2
dm 2 π r dr
3
R R
O
r dr
2
圆环对轴的转动惯量
dI r dm 2 π r dr
2 2 i
dm
：质量元
对质量线分布的刚体： dm
dl
：质量线密度
对质量面分布的刚体： dm
：质量面密度
：质量体密度
dS
dV
对质量体分布的刚体：dm
第二节 转动动能 转动惯量
例2 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求通过 棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 . O
角加速度
d lim t 0 t dt d dt
第一节 刚体定轴转动的描述
匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
第二章 教学基本要求
第二章 刚体的转动
第二章 刚体的转动
第二章 教学基本要求
第二章 刚体的转动
一、掌握描述刚体定轴转动的三个物理量——角 位移、角速度、角加速度以及角量与线量的关系； 并能运用匀变速转动方程进行具体计算。
二、理解转动惯量物理意义，并能进行具体计算。
三、掌握刚体转动定律并能具体运用。 四、理解角动量的概念和角动量定理，掌握角动 量守恒定律并能具体运用。 五、了解陀螺的进动现象。
0 t
1 2 2
2 0 0t 1 t 2
x x0 v0t at
2 2 0
v v 2a( x x0 )
2 ( 0 )
2 2 0
第一节 刚体定轴转动的描述
角量与线量的关系
s r
v re
a r a n r
第二节 转动动能 转动惯量
三、平行轴定理
质量为 m 的刚体，如果对其质 心轴的转动惯量为 I C ，则对任一与 该轴平行，相距为 d 的转轴的转动 惯量
第一节 刚体定轴转动的描述
一、刚体
在无论多大的外力作用下形状和大小都保持不变的物体， 即 rij c 。
二、刚体运动基本类型
平动 转动 一般运动
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
第一节 刚体定轴转动的描述
三、刚体定轴转动的特点 定轴转动：
刚体上各点都绕同一固定转轴作不同半径 的圆周运动，且在相同时间内转过相同的 角度。
该点的切向加速度和法向加速度
π 2 2 a r 0.2 ( )m s 0.105 m s 6 2 2 2 2 an r 0.2 4 m s 31.6m s
第二节 转动动能 转动惯量
一、转动动能
1 1 2 1 2 2 2 Ek mi vi ( mi ri ) I 2 i 2 i 2
I 2 π r dr
3 0 R
而
m π R
2
πR
4
所以
1 2 I mR 2
第二节 转动动能 转动惯量 竿 子 长 些 还 是 短 些 安 全 ？
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
转动惯量的大小取决于刚体的质量、分布及转轴的位置
第二节 转动动能 转动惯量
几种刚体的转动惯量
1 0. 5 π rad s , t = 30 s 时， 解 （ 1） 0 设 t = 0 s 时， 0 0 .飞轮做匀减速运动 0 0 5 π π 1 rad s rad s 2
t
30
6
飞轮 30 s 内转过的角度
2 2 0 (5 π) 2 75 π rad 2 2 ( π 6)
l 2
O
l 2
r
dr
dr O´
O´
l
解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 2 2 处的质量元 dm dr dI r dm r dr
r
I 2
l/2
0
1 2 如转轴过端点垂直于棒 I r dr ml 0 3
l 2
1 3 1 2 ml r dr l 12 12
第一节 刚体定轴转动的描述
转过的圈数
75π N 37.5 r 2π 2π
（2）t
t （ 3）
π 0 t (5 π 6)rad s 1 4 π rad s 1 6
6s 时，飞轮的角速度
6s 时，飞轮边缘上一点的线速度大小 2 2 v r 0.2 4π m s 2.5 m s
二、转动惯量 物理意义：转动惯性的量度 计算方法 ：
质量离散分布
I mi ri m r m r
2 2 11 2 2 2
2 2 m r r i i dm i
i
质量连续分布 I
第二节 转动动能 转动惯量
质量连续分布刚体的转动惯量
I mi ri r dm
2
a
an r
e v a
2 a re r en
第一节 刚体定轴转动的描述
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r· min-1， 因受制 动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1）角加 速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘上一 点的线速度、切向加速度和法向加速度 .
z
A
r1质点在垂直转轴平面内作圆周运动； 角位移，角速度和角加速度均相同； 质点的线速度，线加速度不一定相同.
B r2
B
第一节 刚体定轴转动的描述
四、刚体定轴转动的描述
物理量
角坐标
p'
(t )
p
0
转动平面
x
角位移 (t t ) (t ) 角速度