动量与角动量守恒

2.2 角动量定理
2.2.1 质点的角动量
质点对惯性参考系中某一 固定点O 的角动量。
角动量守恒
L
O
L r P r mv
大小：
P
m
r
L rP sin mrvsin
方向 ： 右手螺旋法则。
说明：
（1）角动量必须指明对那一个固定点而言。
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（2）当质点作圆周运动时，

2
, L rP rmv
（3）单位（SI）： 千克 米2 秒1 kg m 2 s 1
L
O
v
r
m
2.2.2
定义： 大小：
力矩
M r F
M Fr sin
M
O
d
r
F
方向： 右手螺旋法则。
t0
即
I mv mv0
质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于
质点动量的增量。——质点动量定理
说明：
（1）冲力、平均冲力
当两个物体碰撞时，它们相互 作用的时间很短，相互作用的力很 大，而且变化非常迅速，这种力称 F 为冲力。
F
F t
平均冲力
F
1 t t0

t
t0
若 M 0，
L 常矢量 质点系角动量守恒
例1 如图所示，一半径为R 的光滑圆环置于铅直平 面内。有一质量为 m 的小球穿在圆环上，并可在圆 环上滑动。开始时小球静止于圆环上的 A 点，该点 在通过环心的水平面上，然后从点 A 开始下滑。设 小球与圆环间的摩擦略去不计，求小球滑到 B点时对 环心的角动量和角速度。
L r mv
由于
于是得
v mv 0, r F M dL M dt
质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。
2.2.4
质点系角动量定理
dL M dt
质点系对某点的角动量对时间的变化率等 于质点系中各质点所受外力对同一点的力矩的 矢量和。——质点系角动量定理

t t0
t
Fi fi dt mvi mvi 0

对所有质点求和，得
n n n n Fi f i dt mi vi mi vi 0 t0 i 1 i 1 i 1 i 1
因为

i 1
n
fi 0
即
M T dt 0 vdx l M dx M 2 T v v l dt l M M 2 gx 2 xg l l M T T 2 xg l
2
将（2）式代入（1）式得
即
M M M N xg 2 xg 3 xg l l l M N N 3 xg l

t
t0
Fi dt P P0 P
n i 1
系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增 量。——质点系动量定理
2.1.3
如果
动量守恒定律
Fi 0
mi vi 常矢量
i 1 n
则有
当系统所受合外力为零时，系统的总动量保持
不变。
——动量守恒定律
说明： （1）直角坐标系中的分量式：
Fdt
o
t0
t
t
（2）只适用于惯性系。
（3）SI制中，冲量的单位
牛顿 秒N s
动量的单位是 千克 米 秒1 kg m s 1
F n 个质点质点系，第 i 个质点受合外力为 i ，受
合内力为
2.1.2
质点系的动量定理
fi 。
根据质点动量定理，对第 i 个质点，有


0
d

0
g cos d R
2g sin , L mR 2 m R 2 gR sin R
N
x
l
T
m
T P
dm
dP
x
重力
M P xg l
M xg T N 0 l M N xg T l
N
m
(1)
得
T
P
求 T ：取 dt 内落至桌面的 dx 为 研究对象，受力如图所示：
T
dm
dP
M 重力 dP dxg l
由动量定理： 得
R
O

N
m A mB

v
mg
r
解 小球受到重力和圆 环对其支撑力, 但支撑 力对圆心的力矩为零. 选圆心为参考点, 由质 点角动量定理
dL dL d dL mgR cos dt d dt d
小球对环心的角动量为
L mR 2
代入上式可得 两边积分
g d cos d R
（3）是最普遍、最重要的定律之一。适用于宏观 和微观领域。
例 一质量均匀的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚
好触到水平桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落到桌面上。 试证明，在绳下落的过程中任意时刻作用于桌面上的压力等 于已落到桌面上绳重量的三倍。
证
O 如图建立坐标系 假定 t 时刻，已落到桌面上 的绳长为 x ，质量为 m=M x / l， 以此为研究对象。受力如图所示：
单位： 牛顿 米N m
有心力 : r // F , 作用线穿过定点 对力心的力矩总是为零。
SI
2.2.3 质点角动量定理
dL d d mv dr r mv r mv dt dt dt dt r F v mv
当
F
i 1 n
n
ix
0时
m v
i 1 n
n
i ix
Px 常量；
当 当
F
i 1 n
iy
0时 0时
m v
i 1 n
i iy
Py 常量； Pz 常量。
F
i 1
iz
m v
i 1
i iz
某方向所受合外力为零，则此方向的总动 量的分量守恒。
（2）当外力远小于内力，且可以忽略不计时（如 碰撞、爆炸等），可近似应用动量守恒定律；
第二章 动量与角动量守恒
2.1 动量定理 动量守恒定律
2.1.1 动量 冲量和质点动量定理
d mv dP 根据牛顿第二定律F dt dt
改写为
Fdt dP
冲量
dJ Fdt
当作用时间为 t0 t ，合外力的冲量为
t I Fdt P P0