刚体转动及角动量守恒
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学——刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学是研究刚体运动的物理学分支，主要研究刚体的平动和转动。
在刚体的运动过程中，角动量的守恒定律是关键的一条定律，它在很多物理问题的求解中起着重要的作用。
一、刚体转动的基本概念刚体是指具有一定形状和大小的物体，在运动过程中保持其形状和大小不变的情况下，绕一个固定轴线进行旋转。
在刚体转动的过程中，存在着固定轴线上的角位移、角速度、角加速度等概念。
角位移表示刚体在转动过程中的角度变化，通常用符号θ表示；角速度表示单位时间内刚体转动的角度变化率，通常用符号ω表示；角加速度表示单位时间内角速度的变化率，通常用符号α表示。
二、刚体的转动与力矩刚体在转动过程中需受到外力的作用，这些外力可以将刚体带动产生转动现象。
力矩是刚体转动的重要力学量，它描述了力对于刚体转动的影响程度。
力矩的大小等于力乘以作用点到转轴的距离，用数学式表示为：τ = F × r其中τ表示力矩，F表示力的大小，r表示作用点到转轴的距离。
三、刚体的转动惯量与角动量刚体的转动惯量与角动量是刚体转动过程中的另外两个重要概念。
转动惯量描述了刚体对于转动的惯性程度，它的大小取决于刚体的质量分布和几何形状。
角动量描述了刚体在转动过程中的旋转性质，它等于刚体质量的转动惯量乘以角速度，用数学式表示为：L = I × ω其中L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
四、角动量守恒定律角动量守恒定律是刚体动力学中的一个基本定律，它表明在没有外力矩作用的情况下，刚体转动过程中的角动量保持不变。
如果一个刚体在初态时角动量为L1，在末态时角动量为L2，且没有外力矩作用，则有L1 = L2。
这一定律体现了一个自然规律，对于理解刚体的转动过程和求解相关物理问题具有重要意义。
五、应用案例角动量守恒定律可以应用于各种实际物理问题的求解中，例如刚体的转动稳定性、陀螺的运动等。
物理-定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律
或 Lz = I = 恒量
当刚体相对惯性系中某给定转轴的合外力矩为 零时，该刚体对同一转轴的角动量保持不变。
——对转轴的角动量守恒定律
二、定轴转动中的角动量守恒
说明 1、 关于该守恒定律的条件：
Mz Miz 0
特别地，若每一个力的力矩均为零，即 则
二、定轴转动中的角动量守恒
M iz ri Fi sini 0 的几种情况
10
f
20
O1 R1 A
R2 O2 fB
随堂练习
当两圆柱接触处无相对滑动时，两者转速相反
10
20
O1 R1 A
R2 O2 B
且两者接触点的线速率相等！
二、定轴转动中的角动量守恒
由定轴转动的角动量定理
Mz
dLz dt
若刚体所受对转轴的合外力矩 M z 0，则有
dLz d ( I ) 0
dt
dt
二、定轴转动中的角动量守恒
(3) 对共轴非刚体系（其中各质元到转轴的距离可 变则）系：统的转动惯量可变，此时系统对转轴的角动量守恒，
即：I =恒量
• 特别地，若各质元的 保持一致，
Lz =I =恒量
当 I 增大时， 就减小； 当 I 减小时， 就增大 。
二、定轴转动中的角动量守恒
例如：花样滑冰运动员在冰面上旋转时 运动了角动量守恒定律
（1）
（2）
（3）
二、定轴转动中的角动量守恒
2、对转轴的角动量守恒定律的适用范围： • 不仅适用于刚体， • 也适用于绕同一转轴转动的任意质点系。
二、定轴转动中的角动量守恒
3、对转轴的角动量守恒的几种典型表现 (1) 对定轴刚体：I 不变， 大小和方向均不变；
转动力学刚体的转动平衡与角动量守恒
转动力学刚体的转动平衡与角动量守恒转动力学是力学研究的一个重要分支，它主要研究刚体的旋转运动。
刚体的旋转运动受到力矩和角加速度的作用，其中转动平衡和角动量守恒是转动力学的基本原理。
一、转动平衡刚体的转动平衡是指刚体处于稳定的旋转状态，不受到外力的扰动，既不会产生角加速度，也不会改变角速度。
要实现转动平衡，必须满足以下条件：1. 力矩平衡条件力矩平衡条件是指刚体上作用的力矩的代数和为零。
对于一个刚体绕固定轴的旋转运动，力矩平衡条件可以表示为：∑M = ∑(r × F) = 0其中，∑表示对刚体上所有力矩求和，r表示作用力的杠杆臂，F表示作用力。
根据力矩平衡条件，可以求解出刚体的转动平衡状态。
2. 重心位置与支撑点位置的关系对于一个转动平衡的刚体，重心必须位于支撑点上方以保持稳定。
当重心位于支撑点下方时，刚体会不稳定，并发生滚动现象。
3. 稳定、不稳定和中立平衡刚体的转动平衡可以分为稳定、不稳定和中立平衡三种情况。
当刚体偏离平衡位置时，稳定平衡会使刚体回复原位置，而不稳定平衡会使刚体继续偏离平衡位置。
中立平衡则是指刚体在偏离平衡位置后，不会有任何变化。
二、角动量守恒角动量守恒是指一个刚体在没有外力矩作用下，角动量的大小和方向保持不变。
对于一个旋转的刚体，角动量可以表示为：L = Iω其中，L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
根据角动量守恒定律，在没有外部力矩作用下，刚体的角动量将保持不变。
三、应用举例下面通过一个实际例子来说明转动平衡和角动量守恒的应用。
假设有一个均匀的圆盘，圆盘质量为M，半径为R。
将圆盘以转轴垂直于盘面且通过重心的方式固定，使其处于转动平衡状态。
此时，圆盘的转动平衡可以通过力矩平衡条件来解释。
由于圆盘的重心位于转轴上，且没有施加外力矩，所以∑M=0，根据这个条件可以得到圆盘上各点产生的力矩之和为零。
进一步分析可以发现，圆盘上受重力的作用产生的力矩沿转轴方向相互抵消，所以圆盘能够保持转动平衡。
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
9
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
例1 一个物体正在绕固定光滑轴自由转动， (A)它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度不变 (B)它受热膨胀时角速度变大，遇冷收缩时 角速度变小 (C)它受热膨胀或遇冷收缩时，角速度均变大 (D)它受热膨胀时角速度变小，遇冷收缩时
in
M L 常量
ex
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
第四章 刚体的定轴转动
7
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
花样滑冰 茹可夫斯基凳
m
m
ω
第四章 刚体的定轴转动
r2
r1
8
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律 直升机螺旋桨的设置
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
3
刚体定轴转动的角动量定理
质点mi受合力矩Mi(包括Miex、 Miin )
in 合外力矩 M 对定轴转的刚体 i 0 ，
dLi d( J ) d 2 Mi (mi ri ) dt dt dt
ex d d ( J ) 2 M M i ( mi ri ) dt d t d( J ) dL 刚体定轴转动 M dt dt 的角动量定理
第四章 刚体的定轴转动
5
物理学
第五版
2-4 刚体定轴转动的角动量和角动量守恒定律
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从 t1到 t 2内，角速度从 ω1变为 ω2，积分可得：
3-3刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
为零,角动量守恒
v0
v0
mv0l mv0l 0 mvl mvl J
v l
6 v0 7l
1 2 J ml 3
代入上式
L J const.
即转动过程中角动量(大小、方向)保持不变 角动量守恒定律比转动定律适用范围更广泛， 这里可以有
J 00 J11
但是
J 0 J1
讨论
1）角动量守恒条件
M 0
2）若 J 不变， 不变；若 J 变， 也变， 但
L J 不变.
3） 内力矩不改变系统的角动量. 4）在冲击等问题中 内力矩>>外力矩，角动量保持不变。 5）角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
力矩。合外力矩为 0 ，小球角动
量守恒 。 有：
N
mg
L = mvr = 恒量
即： m v1 r1 =m v2 r2
例2 光滑桌面上有一长2l，质量为m的细棒， 起初静止。两个质量m，速率v0的小球，如图 与细棒完全非弹性碰撞，碰撞后与细棒一起绕 中心轴转动，求系统碰撞后的角速度 解：系统的合外力矩
d( ) d( J ) dL M J J dt dt dt
刚体所受的(对轴的)外力矩等于刚体(对轴的) 角动量的时间变化率。 或写作
Mdt dL
t2 t1
对于一段时间过程有
t2
t1
Mdt dL L末 L初
三、定轴转动刚体的角动量守恒定律 如合外力矩等于零
6）转动系统由多个物体(刚体或质点)组成， 角动量守恒定律的形式为
i
J ii J i 0i 0
i
m
m
系统内各物体的角 动量必须是对同一 固定轴而言的。
刚体转动及角动量守恒ppt
匀直细杆对端垂轴旳
平行移轴定理
对质心轴旳转动惯量 对新轴旳转动惯量
质心
例如：
时
新轴对心轴旳平移量
新轴 质心轴
代入可得 端
匀质薄圆盘对圆心垂盘轴算旳 例
取半径为 微宽为 旳窄环带旳质量为质元
球体算例 匀质实心球对心轴旳 可看成是许多半径不同旳共轴 薄圆盘旳转动惯量 旳迭加 距 为 、半径为 、微厚为 旳薄圆盘旳转动惯量为
a = Rb
T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Ib
及
I
=
1 2
mR2
得
b=
(m1-m2)g
R(m1+ m2+ m
2)
常量
故
由
m2
a
G2
m1
a
G1
(m1-m2)g
R(m1+ m2+ m 2)
t (m1-m2)g
g 2 (rad)
R(m1+ m2+ m 2)
两匀直细杆
q
转动定两律者瞬例时题角加五速度之比
与 时刻相应，何时
则何时
，
何时 恒定 则何时 恒定。
匀直 细杆一 端为轴 水平静 止释放
转动定律例转题动 二( T2 – T1 ) R = Ib
I=mR2 2
R
m
T2
T1
a
m2
m1
b
平动 m2 g – T2 = m2a
T2
T1
T1 – m1 g = m1a
线-角 a = Rb
T2
T1
联立解得
a
G2
力矩旳功算例 拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩旳功旳大小
刚体转动及角动量守恒--最新
转动：定轴转动
刚体的平面运动
2. 刚体定轴转动
刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的园周运 动, 且在相同时间内转过相同的角度。
特点： 角位移，角速度和角加速度均
相同 质点在垂直转轴的平面内运动， 且作圆周运动.
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动
+
绕质心的转动
的合成
定轴转动参量
1. 角位臵
J R 3
可见，转动惯量与l 无关。所以，实心圆柱对其轴 1 的转动惯量也是 J mR 2 。
2
例 求质量为m半径为R的匀质薄球壳绕过中 心轴的转动惯量。
解:在球面取一圆环带，半径 r R sin m dm 2p rRd 2 4p R
R sin d
J r dm
2
2 mR sin d
例1 求长为L 质量为m 的均匀细棒对图中不同轴的 转动惯量。
A L B A L/2 C L/2 B x
x
m 解：取轴处为原点建立一维坐标系如图所示，dm =λdx L
J A x 2dx
0
L
L3
mL2 3 3
J A与J C的关系：
A,C 相距L/2
JC
L 2 L 2
2 j j
z
O
I m r I r 2 dm
2 j j j
定义转动惯量
r j m j
Fej
Fij
转动定律
M I
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合 外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.
转动定律 M M I I b
M 讨论 （1） I
d （2） M I I dt
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细绳缠绕轮缘 （A） （B）
转动定律例题三
（A）
R
R
m
m
（B）
恒力
F
m1
滑轮角加速度 β 细绳线加速度 a
R = 0.1m m = 5kg m 1 = 3kg m 2 = 1kg
物体从静止开始运动时，滑轮的 转动定律例题四 转动方程
大小 例题
张力 通过 点 力矩为零 重力 的力矩 等于合外力矩 大小为 除了在通过平衡位置（ ） 的一瞬间，角动量的时间变化率 为零外，其它位置均不为零。
若忽略其它天体的作用力，太阳 系中某一行星所受的合外力总是指 向太阳。若以太阳为参考点，则
合外力矩大小 角动量的大小不随时间变化
质点的角动量定理也可用积分形式表达 由
定理的积分形式
称为 冲量矩
角动量的增量
这就是质点的 角动量定理 的积分形式
例如，
单摆的角动量大小为 L = mv r, v为变量。 在 t = 0 时从水 平位置静止释放，初角动量大小为 L0= m v0 r =0； 时刻 t 下 摆至铅垂位置， 角动量大小为 L⊥ = m v⊥ r 。则此过程单摆 所受的冲量矩大小等于 L-L0= m v⊥ r = m r 2gr 。
G2 G1
(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2) (m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2)
a
gt 2
(rad)
两匀直细杆
两者瞬时角加速度之比 转动定律例题五
θ
θ
根据
1 2 1 2
θ θ
1 3 1 3
地面 从等倾角 处静止释放
短杆的角加速度大 且与匀质直杆的质量无关
转动动能
刚体中任一质元 的速率 该质元的动能 对所有质元的动能求和
∑
得
∑
转动惯量 I
I
力矩的功
力
的元功
力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算
若在某变力矩 的作用下，刚体由 转到 ，
作的总功为 力矩的瞬时功率
拨动圆盘转一周，摩擦阻力矩的功的大小 力矩的功算例
转轴 平放一圆盘
总摩擦力矩 各微环带摩擦元力矩 环带面积 环带质量 环带受摩擦力 环带受摩擦力矩
是
的积分
粗糙水平面
圆盘受总摩擦力矩 转一周摩擦力矩的总功 得
刚体的动能定理
回忆质点的动能定理 刚体转动的动能定理
由 力矩的元功 转动定律 则
合外力矩的功
称为
转动动能的增量
匀质圆盘
动能定理例题一
盘缘另固 连一质点 水平静 止释放
圆盘下摆 时质点 的 角速度 、切向、法向加速度 的大小 对
外力矩的功
系统
系统转动动能增量
应用质点的角动量守恒定律可以证明 开普勒第二定律 开普勒第二定律
行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积
时刻 m 对 O 的角动量大小为
定律的证明
瞬间 位矢扫过的微面积
即
（称为掠面速率） 守恒。
因行星受的合外力总指向是太阳，角动量
则
常量
故，位矢在相同时间内扫过的面积相等
质点系的角动量
惯性系中某 给定参考点
=
r
r
转动惯量的计算
将刚体转动定律 M
=I β
与质点运动定律 F
= m a 对比
转动惯量
I
是刚体转动惯性的量度
与刚体的质量、形状、大小 及质量对转轴的分布情况有关
I
∑
质量连续分布的刚体用积分求 I
I I
的单位为
为体积元
处的密度
分立质点的算例
可视为分立质点结构的刚体
转轴 若连接两小球（视为质点） 的轻细硬杆的质量可以忽略， 则
M = M1 + M 2
M = F1 d 1
r r2 Fτ F2 d 2 = Fτ 叉乘右螺旋2 1 r1
转动定律
瞬时 角加速度 瞬时 角速度
某质元
Fi
τ
θi
n
fi
∑ Fi ri sin ϕ i + ∑ f i ri sin θ i = ∑
合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0
得
O
ϕi
ri
等式两边乘以 i 并对所有质元及其所受力矩求和
内
得
内 质点系所受的
冲量矩 质点系的角动量
矩的矢量和 的时间变化率 若各质点的速度或所受外力与参考点共面，则其角动量或力矩只含正反 内力矩在求矢 两种方向，可设顺时针为正向，用代数和代替矢量和。 量和时成对相消 微分形式 称为
用矢量表 示 或 时，它们 与 刚体的 转动方向 采用右螺 旋定则
单位：
转动方程求导例题
rad rad s -1
rad s -2 rad
rad s -1 rad s -2
匀变角速定轴转动
rad
150π 100π 50π π 53π 52π 51π 50π
rad s
1
rad s
2
π t
s
t
s
t
s
积分求转动方程
对 质点运动和刚体转动定律
m 1 m 2 和 m 分别应用
及
β
R
T2 T2
m
T1 T1 m1
m1 g – T1 = m1a T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Iβ
得 故
a = Rβ
1 I = 2 mR2 常量
β
(m1-m2)g = R(m1+ m2+ m 2) 由
m2
a
质点的角动量守恒定律
根据质点的 角动量定理 若 即 则
常矢量 当质点 所受的合外力对某参考点 的力矩 为
为零时，质点对该点的角动量的时间变化率 零，即质点对该点的角动量
称为
守恒。
若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星绕 太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。
主要概念 使刚体产生转动效果的合外力矩 刚体的转动定律 刚体的转动惯量
合外力矩
M1
F2
Fτ 2
ϕ2
F1 τ
O
外力在转动平面上对转 轴的力矩使刚体发生转动
r2
P2
r1
P1
F1
ϕ1
力矩 M1 = r1 × F1 大小 M1 = r1 F1 sin ϕ1 方向
d2 d1
M2
合外力矩 大小
大小
= F1 d 1 = Fτ 1 r1 M M 2 = r 2 × F2 M 2 = r 2F 2 sin ϕ 2 F = F2 d 2 = Fτ 2 r2
Fi sin ϕ i + f i sin θ i = a iτ = ri β
受外力 Fi 受内力 fi ai Fi + f i = 其法向n 分量均通过转轴， 不产生转动力矩。 其切向 τ 投影式为
r
ri
β
β
M
=
∑
ri
转动惯量
瞬时 角加速度 瞬时 角速度
某质元 M
Fi
τ
θi
n
fi
刚体所获得的角加速度i sin的大小与刚体受到的 ∑ Fi ri sin ϕ i + ∑ f i r θi = ∑ ri β 合外力矩 合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0 的大小成正比， 得 与刚体的转动惯量 成反比。 M= ∑ ri β
匀质实心球对心轴的 可看成是许多半径不同的共轴 球体算例
薄圆盘的转动惯量 的迭加 距 为 、半径为 、微厚为
的薄圆盘的转动惯量为
其中
常用结果 匀质薄圆盘
转轴通过中心垂直盘面
匀质细直棒
转轴通过端点与棒垂直
R
m m
L
1 mR2 I= 2
1 mL2 I= 3
匀质矩形薄板
转轴通过中 心垂直板面
其它典型
质点 对参考点 的
位置 等于 矢量
所受的 叉乘 合外力
而
续4
大小 方向
是力矩的矢量表达：
即 力矩
垂直于 所决定 的平面，由右螺旋法 则定指向。 的 所受的合外力矩
得
质点
对给定参考点
角动量的时间变化率 称为质点的
角动Байду номын сангаас定理
的微分形式
如果各分力与O点共面，力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正 向，用代数法求合力矩。
刚体转动及角动量守恒
刚体运动的分类 刚体：形状固定的质点系（含无数质点、不形变、理想固体。）
平 动 定轴转动 平面运动 定点运动 一般运动
刚体任意 刚体质心 刚体每点 限制在一平 两点的连线 保持方向不 绕同一轴线 面内，转轴 变。各点的 作圆周运动， 可平动，但 且转轴空间 始终垂直于 位置及方向 该平面且通 相同，可当 不变。 过质心 作质点处理。
通过盘心垂直 盘面的水平轴
其中
得
由转动定律 得 则
一端为轴 匀直细杆 水平位置静止释放
动能定理例题二从水平摆至垂直
外力矩作的总功
由 得 本题 代入得 利用 摆至垂直位置时杆的 的关系
还可算出此时杆上各点的线速度
动能定理例题三从水平摆至垂直
水平位置静止释放 段，外力矩作正功 段，外力矩作负功 合外力矩的功 ∑ 由 得 转轴对质心轴的位移 摆至垂直位置时杆的 代入得
O
ϕi
ri
等式两边乘以 i 即 并对所有质元及其所受力矩求和
sin ϕ i + f i sin θ Fi刚体的转动定律i = a iτ = ri β