第5章 刚体转动及角动量守恒.

线量与角量的关系
这是定轴转动中线量与角量的基本关系
刚体转动定律引言
质点
或 刚体平动
的运动定律
F = ma
合外力 惯性质量 合加速度
若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？
主要概念 使刚体产生转动效果的合外力矩 刚体的转动定律 刚体的转动惯量
合外力矩
M1
外力在转动平面上对转 轴的力矩使刚体发生转动
F2
mg
T2 T2
Fra Baidu bibliotek
联立：aA= aB=a=g-2a-gsinɑ；
m1 g
T1 =mg-2ma；T2=mg-ma
为什么此时 T1 ≠ T2 ？
M = F1 d 1
r Ft 2 r2 F2 d 2 = Ft 叉乘右螺旋 1 r1
刚体的角动量
定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加 任一质元（视为质点）的质量
角动量大小（速度~半径）
全部质元总角动量大小
∑
∑
所有质点都以其垂轴 距离为半径作圆周运动
∑
对质量连续分布的刚体
首先，刚体作为质点系，必然遵守质点系角动量定理
利用初始条件:t=0, 0=0, 0=0
积分:

解: 细杆受力P 和N
合力矩：
3g d 2l sin d 0 0
3g (1 cos ) l
1 M p M N mg l sin 2
在角时角速度
例2 如图，斜面倾角为α ，质量均为m的两物体A、B，经细绳联接，绕 过一定滑轮。定滑轮（视为圆盘）半径为R、质量为m。
可看成是许多半径不同的共轴 匀质实心球对心轴的 球体算例 薄圆盘的转动惯量 的迭加 距 为 半径为 、微厚为 的薄圆盘的转动惯量为
其中
匀质矩形薄板
转轴通过中 心垂直板面
其它典型
匀质厚圆筒
转轴沿几何轴
m J= (a 2 + b 2 ) 12 匀质细圆环
转轴通过中 心垂直环面
m J = 2 (R12 + R22 ) 匀质圆柱体
求：物体运动中定滑轮两侧绳中张力及B下落加速度a（不计摩擦）
解：分析受力：图示
质点A
J ,r
质点B
T1 mg sin maA mg T2 maB

FN
A
T1
B
FR
滑轮（刚体）
T2r T1 r Jb
( T2 T2,T1 T1 )
联系量
T1
a A aB rb
则何时 ，
恒定 则何时
恒定
◆刚体定轴转动定律的应用
1 由转动定律 M mgl sin Jb 2 细杆长为l, 质量为m , 1 2 而 J ml 求从竖直位置由静止转到 3 角时的角加速度和角速度. d 3g 于是 b sin
利用
l
有 N P O
dt 2l d d d d b dt d dt d 3g d sin d 2l
力学(Mechanics)
第五章 刚体的定轴转动
§5.1 刚体的平动和定轴转动 §5.2 刚体定轴转动定律 §5.3 转动定律的应用 §5.4 刚体定轴转动的角动量守恒定律 §5.5 刚体定轴转动的功和能
实践与应用
一 刚体的平动和定轴转动
什么是刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 . （任意两质 点间距离保持不变的特殊质点组） 1.平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意 两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线 .
外
外

因为
d J J dt

L J

那么
外
（相当于 F ma）
（常用在某转轴上的分量式）
d Mz J J dt
刚体的定轴转动定律 定轴转动刚体的角加速度α与刚体所受的合外力 的力矩 M 成正比，与刚体的转动惯量 J 成反比。 角加速度方向与力矩方向一致
将刚体转动定律 M
匀角速
转轴 用矢量表 示 或 时，它们 与 刚体的 转动方向 采用右螺 旋定则
4. 角加速度
匀角速 常量 匀角加速 变角加速
转动方程微积分示例
恒量
且t=0 时
得
得
任意时刻的 匀变角速定轴转动的角位移方程
或
匀变角速定轴转动的运动方程
定轴转动刚体在某时刻t 的瞬时角速度为 ， 瞬 时角加速度 ， 刚体中一质点P至转轴的距离为r 瞬时线速度 的大小 质点P 瞬时切向加速度 瞬时法向加速度
转轴通过中心 垂直于几何轴
J = m R2 匀质细圆环
转轴沿着 环的直径
J=
m 2 m 2 L R + 4 12 匀质薄球壳
转轴通过球心
J=
mR 2
2
2 m R2 J= 3
转动定律例题一
合外力矩 应由各分力矩进行合成 。
在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力 矩与此向相同则为正，反之为负。 合外力矩 与 与合角加速度 时刻对应，何时 何时 方向一致。
刚体平动
质点运动
一 刚体的平动和定轴转动
2. 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
定轴转动参量
1. 角位置
刚体定轴转动 的运动方程
刚体
刚体中任 一点 (t+△t) (t) 参考 方向
2. 角位移
3. 角速度
静止 常量 变角速
转动平面（包含p并与转轴垂直）
Ft 2
j2
r2
P2
O
r1
F t1
P1
F1
j1
d2 d1
力矩 M1 = r1 × F1 大小 M1 = r1 F1 sin j1 方向
M2
合外力矩 大小
大小
M = M1 + M 2
= F1 d 1 = Ft 1 r1 M M 2 = r 2 × F2 M 2 = r 2F 2 sin j 2 F 2 r2 = F2 d 2 = Ft
∑
转轴
∑
0.75
（2）质量连续分布的刚体 J 考虑: dm dx或 dS或 dV
匀直细杆对中垂轴的 匀直细杆对端垂轴的
平行移轴定理
对质心轴的转动惯量 对新轴的转动惯量 新轴对心轴的平移量 质心 例如： 代入可得 端
时
新轴
质心轴
匀质薄圆盘对心垂轴的 圆盘算例
取半径为 微宽为 窄环带的质量为质元 的
转动惯量
J 是刚体转动惯性的量度
=Jb
与质点运动定律 F
= m a 对比
J
∑
与刚体的质量、形状、大小 及质量对转轴的分布情况有关
对分离和连续刚体，转动惯量都符合标量叠加原则
对质量连续分布的刚体用积分求
J ， 如对体分布情形：
为体积元 处的密度
J J
的单位为
（1）可视为分立质点结构的刚体
转轴
若连接两小球（视为质点）的 轻细硬杆的质量可以忽略，则