第5章 刚体转动及角动量守恒.
大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律
方向垂直于轴，其效果是改
变轴的方位，在定轴问题中，
第二项
与轴承约束力矩平衡。
M 2rF
方称为向力平对行于轴的轴矩，，其效表果为代是数改变量绕：轴M 转z 动 状r态，F
即： i j k
Mo rFx y z
Fx FyFz
i yFz zFy jzFxxFzk xFyyFx
Mz xFyyFx
由
rc
i
miri M
rc
i
miri M
ri m ivcM rc vc0
i
质心对自己的位矢
L r c m iv ir i m iv c r i m iv i
i
i
i
与 i 有关
第三项：
rimivi 各质点相对于质心角动量的矢量和
i
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关，
o ri
vi
mi
L io 大 方小 向 Lio ： ： rimiv沿 i miri2 即 L iomiri2
在轴上确定正方向，角速度 表示为代数量，则
定义质点对 z 轴的角动量为:
LizLiom iri2
刚体对 z 轴的总角动量为：
Lz Liz ri2mi
i
i
ri2mi
i
对质量连续分布的刚体：
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r，厚 dr 的球壳
dr
R
r
o
为积分元
dV4r2dr
m
m
4 R3
3
dJ3 2dmr22m R3 4rdr
dm dV
J
R
dJ
5-刚体的定轴转动
L1 L2
刚体定轴转动的角动量 L=?
z
v
ri mi
O
刚体 定轴
L Li mirivi
m iri(ri) ( miri2)
J M=0的原因，可能
1）F＝0（不受外力） 2）外力作用于转轴上 3）外力作用线通过转轴
4）外力作用线与转轴平行
刚体定轴转动的角动量守恒
L1 L2
J11J22
位置，求它由此下摆角时的角速度。
解：如图建立坐标
x
杆受到的重力矩为：
O
M ＝ gxd g m xdm
X
dm
据质心x定 d＝ m 义 mCx MmgxC
xc
1l 2
cos
M1mgclos
2
dmg
MJJdJ d d J d M dJd
dt d dt d
0 1 2mc go lds 0 Jd
mglsin
端点 o 且与桌面垂直的固定光滑轴转动,另有 一水平运动的质量 m2为的小滑块,从侧面垂直 与杆的另一端 A 相碰撞,设碰撞时间极短,已知 小滑块在碰撞前后的速度分别为 v1 和 v2 ,方 向如图所示,求碰撞后从细杆开始转动到停止 转动过程所需时间,（已知杆绕点 o 的转动惯 量 J= ml2/ 3 )
dLR J2J0m0d2 其中 Jo 12moR2
J J1J2 1 3m LL 21 2m oR 2m o(LR )2
2.对薄平板刚体的正交轴定理
z
Jz miri2
yi
xi
ri
y
m i(x2y2) m ix 2 m iy 2
x
Δmi
Jz JxJy
z
应用
例：已知圆盘
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1、刚体定轴转动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该轴的转动惯量与角速度的乘积；方向与角速度的方向相同。
2、刚体定轴转动的角动量定理
（1）微分形式：刚体绕某定轴转动时，作用于刚体的合外力矩，等于刚体绕该定轴的角动量随时间的变化率。
（2）积分形式：当物体绕某定轴转动时，作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量。
3、刚体定轴转动的角动量守恒定律
如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩作用，物体的角动量保持不变。
练习：1角动量守恒的条件是 。
0=M 11222
1ωωJ J Mdt t t -=⎰刚体 ） 21J J ==ωJ 恒量
ωJ L =()ωJ dt d dt dL M ==。
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律
刚体动力学刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学——刚体的转动与角动量守恒定律刚体动力学是研究刚体运动的物理学分支，主要研究刚体的平动和转动。
在刚体的运动过程中，角动量的守恒定律是关键的一条定律，它在很多物理问题的求解中起着重要的作用。
一、刚体转动的基本概念刚体是指具有一定形状和大小的物体，在运动过程中保持其形状和大小不变的情况下，绕一个固定轴线进行旋转。
在刚体转动的过程中，存在着固定轴线上的角位移、角速度、角加速度等概念。
角位移表示刚体在转动过程中的角度变化，通常用符号θ表示；角速度表示单位时间内刚体转动的角度变化率，通常用符号ω表示；角加速度表示单位时间内角速度的变化率，通常用符号α表示。
二、刚体的转动与力矩刚体在转动过程中需受到外力的作用，这些外力可以将刚体带动产生转动现象。
力矩是刚体转动的重要力学量，它描述了力对于刚体转动的影响程度。
力矩的大小等于力乘以作用点到转轴的距离，用数学式表示为：τ = F × r其中τ表示力矩，F表示力的大小，r表示作用点到转轴的距离。
三、刚体的转动惯量与角动量刚体的转动惯量与角动量是刚体转动过程中的另外两个重要概念。
转动惯量描述了刚体对于转动的惯性程度，它的大小取决于刚体的质量分布和几何形状。
角动量描述了刚体在转动过程中的旋转性质，它等于刚体质量的转动惯量乘以角速度，用数学式表示为：L = I × ω其中L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
四、角动量守恒定律角动量守恒定律是刚体动力学中的一个基本定律，它表明在没有外力矩作用的情况下，刚体转动过程中的角动量保持不变。
如果一个刚体在初态时角动量为L1，在末态时角动量为L2，且没有外力矩作用，则有L1 = L2。
这一定律体现了一个自然规律，对于理解刚体的转动过程和求解相关物理问题具有重要意义。
五、应用案例角动量守恒定律可以应用于各种实际物理问题的求解中，例如刚体的转动稳定性、陀螺的运动等。
第5章 刚体力学-物理学第三版-刘克哲
如果有几个外力矩对刚体做功，则各外力矩做功之和为
A Ai
i 1
n
2 1
M1d
2 1
M 2d
2 1
M n d
2 n 1
M d
i 1 i
即
A Md
1
2
M为刚体所受合外力矩
当M为恒力矩时，力矩的功为
A M
根据质点力学中功率的定义，力矩的功率可表示为
为刚体绕给定轴的转动惯量
11
二、刚体的转动惯量
描述刚体转动惯性大小的物理量。 1、定义：刚体对转轴的转动惯量：
J m i ri
i 1
n
2
J
2 r dm
SI单位：kg . m
2 、转动惯量的计算：
若质量离散分布：
（质点，质点系）
J mi ri2
若质量连续分布：
J r2 d m dm dl
两轴平行；
2
说明： JC 为刚体绕质心轴的转动惯量 d 为两平行轴间距离。 例 均匀圆盘对O 轴的转动惯量。
1 J C mR 2 2
o
d
C
1 J o mR2 md 2 2
17
垂直轴定理：
设一薄板如图所示，过其上一点作z轴垂直于板面，x，y轴在平 板面内，若取一质元 mi 则有
z
J z mi ri mi ( xi yi )
类似一维运动,各角量的方向 由“+”,“–”号表示。
r
d
dS
P
注意: 这里的角量单位都用弧度(rad)
a n ω v
a β r
9
转动力学刚体的转动平衡与角动量守恒
转动力学刚体的转动平衡与角动量守恒转动力学是力学研究的一个重要分支，它主要研究刚体的旋转运动。
刚体的旋转运动受到力矩和角加速度的作用，其中转动平衡和角动量守恒是转动力学的基本原理。
一、转动平衡刚体的转动平衡是指刚体处于稳定的旋转状态，不受到外力的扰动，既不会产生角加速度，也不会改变角速度。
要实现转动平衡，必须满足以下条件：1. 力矩平衡条件力矩平衡条件是指刚体上作用的力矩的代数和为零。
对于一个刚体绕固定轴的旋转运动，力矩平衡条件可以表示为：∑M = ∑(r × F) = 0其中，∑表示对刚体上所有力矩求和，r表示作用力的杠杆臂，F表示作用力。
根据力矩平衡条件，可以求解出刚体的转动平衡状态。
2. 重心位置与支撑点位置的关系对于一个转动平衡的刚体，重心必须位于支撑点上方以保持稳定。
当重心位于支撑点下方时，刚体会不稳定，并发生滚动现象。
3. 稳定、不稳定和中立平衡刚体的转动平衡可以分为稳定、不稳定和中立平衡三种情况。
当刚体偏离平衡位置时，稳定平衡会使刚体回复原位置，而不稳定平衡会使刚体继续偏离平衡位置。
中立平衡则是指刚体在偏离平衡位置后，不会有任何变化。
二、角动量守恒角动量守恒是指一个刚体在没有外力矩作用下，角动量的大小和方向保持不变。
对于一个旋转的刚体，角动量可以表示为：L = Iω其中，L表示角动量，I表示转动惯量，ω表示角速度。
根据角动量守恒定律，在没有外部力矩作用下，刚体的角动量将保持不变。
三、应用举例下面通过一个实际例子来说明转动平衡和角动量守恒的应用。
假设有一个均匀的圆盘，圆盘质量为M，半径为R。
将圆盘以转轴垂直于盘面且通过重心的方式固定，使其处于转动平衡状态。
此时，圆盘的转动平衡可以通过力矩平衡条件来解释。
由于圆盘的重心位于转轴上，且没有施加外力矩，所以∑M=0，根据这个条件可以得到圆盘上各点产生的力矩之和为零。
进一步分析可以发现，圆盘上受重力的作用产生的力矩沿转轴方向相互抵消，所以圆盘能够保持转动平衡。
第五章 刚体的定轴转动
刚体定轴转动
ω
v 的方向按右手螺旋法则确定. 的方向按右手螺旋法则确定.
在定轴转动中, 在定轴转动中,角速度的方向 沿转轴方向. 沿转轴方向.
角加速度α 角加速度
v ω
2
ω dω d θ = = 2 α = lim t →0 t dt dt
单位: 单位:rad /s 2 角加速度也是矢量, 角加速度也是矢量,方向与角速度增量 的极限方向相同,在定轴转动中, 与 同向 的极限方向相同,在定轴转动中,α与ω同向 或反向. 或反向. 刚体的转动其转轴是可以改变的, 刚体的转动其转轴是可以改变的,为反映瞬时轴的方 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 向及其变化情况,引入角速度矢量和角加速度矢量. 注意 退化为代数量. :定轴转动时, ω,α退化为代数量. 定轴转动时, 退化为代数量
刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合. 刚体的一般运动都可认为是平动和转动的结合.
1. 用角量描述转动 (1) 角位移 θ : ) 时间内刚体转动角度. 在 t 时间内刚体转动角度. 单位: 单位:rad (2)角速度 ω : )
z θ
B A
θ dθ ω = lim = t →0 t dt
●
r2
转动惯量的定义: 转动惯量的定义:
J = ∑mi ri
2
对质量连续分布的刚体, 对质量连续分布的刚体,上式可写成积分形式
J = ∫ r dm
2
dm—质元的质量 质元的质量 r—质元到转轴的距离 质元到转轴的距离
线分布 dm = λdx 面分布 dm = σds 体分布 dm = ρdV
λ 是质量的线密度
F iz
ri = roi sinθ
大学物理第5章-角动量守恒定律-刚体的转动
第5章 角动量守恒定律 刚体的转动5-1 质点的动量守恒与角动量守恒的条件各是什么，质点动量与角动量能否同时守恒？試说明之。
答：质点的动量守恒的条件是：当0F =时，p mv ==恒矢量。
质点的角动量守恒的条件是：当0M =时，即000,F r θπ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩时，L =恒矢量。
可见，当0F =时，质点动量与角动量能同时守恒。
5-2 质点在有心力场中的运动具有什么性质？答：质点在有心力场中运动时，0,0F M ≠=，则角动量守恒，即：当0M =时，L =恒矢量。
又因为有心力是保守力，则机械能守恒，即：当0ex in nc A A +=时，K P E E E =+=恒量。
5-3 人造地球卫星是沿着一个椭圆轨道运行的，地心O 是这一轨道的一个焦点。
卫星经过近地点和远地点时的速率一样吗？卫星在近地点和远地点时的速率与地心到卫星的距离有什么关系？答：卫星经过近地点和远地点时的速率不一样，由角动量守恒定律得：a ab b r mv r mv = a b b av r v r ∴= 可见，速率与距离成反比。
5-4 作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量是否守恒？对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量是否守恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？答：作匀速圆周运动的质点，对于圆周上某一定点，它的角动量不守恒；对于通过圆心而与圆面垂直的轴上的任意一点，它的角动量不守恒；对于圆心定点，它的角动量守恒。
5-5 以初速度0v 将质量为m 的小球斜上抛，抛射角为θ，小球运动过程中，相对于抛射点的角动量如何变化？小球运动到轨道最高点时，相对于抛射点的角动量为多少？答：取抛射点为坐标原点，取平面直角坐标系Oxy ，y 轴正方向向上，则质点的运动方程和速度表达式为：020cos 1sin 2x v ty v t gt θθ=⎫⎪⎬=-⎪⎭ ， 00cos sin x y v v v v gt θθ=⎫⎬=-⎭ 对于抛射点的角动量：()()x y y x L r mv xi y j mv i mv j xmv k ymv k =⨯=+⨯+=- 将,,,x y x y v v 代入得：201cos 2L mgv t k θ=- 当小球到达最高点时，时刻为：0sin v t gθ=，代入上式得： 小球相对于抛射点的角动量为：320sin cos 2mv L k gθθ=-。
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利用初始条件:t=0, 0=0, 0=0
积分:
解: 细杆受力P 和N
合力矩：
3g d 2l sin d 0 0
3g (1 cos ) l
1 M p M N mg l sin 2
在角时角速度
例2 如图，斜面倾角为α ，质量均为m的两物体A、B，经细绳联接，绕 过一定滑轮。定滑轮（视为圆盘）半径为R、质量为m。
转轴通过中心 垂直于几何轴
J = m R2 匀质细圆环
转轴沿着 环的直径
J=
m 2 m 2 L R + 4 12 匀质薄球壳
转轴通过球心
J=
mR 2
2
2 m R2 J= 3
转动定律例题一
合外力矩 应由各分力矩进行合成 。
在定轴转动中，可先设一个正轴向（或绕向），若分力 矩与此向相同则为正，反之为负。 合外力矩 与 与合角加速度 时刻对应，何时 何时 方向一致。
线量与角量的关系
这是定轴转动中线量与角量的基本关系
刚体转动定律引言
质点
或 刚体平动
的运动定律
F = ma
合外力 惯性质量 合加速度
若刚体作定轴转动，服从怎样的运动定律？
主要概念 使刚体产生转动效果的合外力矩 刚体的转动定律 刚体的转动惯量
合外力矩
M1
外力在转动平面上对转 轴的力矩使刚体发生转动
F2
mg
T2 T2
联立：aA= aB=a=g-2a-gsinɑ；
m1 g
T1 =mg-2ma；T2=mg-ma
为什么此时 T1 ≠ T2 ？
求：物体运动中定滑轮两侧绳中张力及B下落加速度a（不计摩擦）
解：分析受力：图示
质点A
J ,r
质点B
T1 mg sin maA mg T2 maB
FNr T1 r Jb
( T2 T2,T1 T1 )
联系量
T1
a A aB rb
匀角速
转轴 用矢量表 示 或 时，它们 与 刚体的 转动方向 采用右螺 旋定则
4. 角加速度
匀角速 常量 匀角加速 变角加速
转动方程微积分示例
恒量
且t=0 时
得
得
任意时刻的 匀变角速定轴转动的角位移方程
或
匀变角速定轴转动的运动方程
定轴转动刚体在某时刻t 的瞬时角速度为 ， 瞬 时角加速度 ， 刚体中一质点P至转轴的距离为r 瞬时线速度 的大小 质点P 瞬时切向加速度 瞬时法向加速度
则何时 ，
恒定 则何时
恒定
◆刚体定轴转动定律的应用
1 由转动定律 M mgl sin Jb 2 细杆长为l, 质量为m , 1 2 而 J ml 求从竖直位置由静止转到 3 角时的角加速度和角速度. d 3g 于是 b sin
利用
l
有 N P O
dt 2l d d d d b dt d dt d 3g d sin d 2l
Ft 2
j2
r2
P2
O
r1
F t1
P1
F1
j1
d2 d1
力矩 M1 = r1 × F1 大小 M1 = r1 F1 sin j1 方向
M2
合外力矩 大小
大小
M = M1 + M 2
= F1 d 1 = Ft 1 r1 M M 2 = r 2 × F2 M 2 = r 2F 2 sin j 2 F 2 r2 = F2 d 2 = Ft
M = F1 d 1
r Ft 2 r2 F2 d 2 = Ft 叉乘右螺旋 1 r1
刚体的角动量
定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加 任一质元（视为质点）的质量
角动量大小（速度~半径）
全部质元总角动量大小
∑
∑
所有质点都以其垂轴 距离为半径作圆周运动
∑
对质量连续分布的刚体
首先，刚体作为质点系，必然遵守质点系角动量定理
可看成是许多半径不同的共轴 匀质实心球对心轴的 球体算例 薄圆盘的转动惯量 的迭加 距 为 半径为 、微厚为 的薄圆盘的转动惯量为
其中
匀质矩形薄板
转轴通过中 心垂直板面
其它典型
匀质厚圆筒
转轴沿几何轴
m J= (a 2 + b 2 ) 12 匀质细圆环
转轴通过中 心垂直环面
m J = 2 (R12 + R22 ) 匀质圆柱体
外
外
因为
d J J dt
L J
那么
外
（相当于 F ma）
（常用在某转轴上的分量式）
d Mz J J dt
刚体的定轴转动定律 定轴转动刚体的角加速度α与刚体所受的合外力 的力矩 M 成正比，与刚体的转动惯量 J 成反比。 角加速度方向与力矩方向一致
将刚体转动定律 M
∑
转轴
∑
0.75
（2）质量连续分布的刚体 J 考虑: dm dx或 dS或 dV
匀直细杆对中垂轴的 匀直细杆对端垂轴的
平行移轴定理
对质心轴的转动惯量 对新轴的转动惯量 新轴对心轴的平移量 质心 例如： 代入可得 端
时
新轴
质心轴
匀质薄圆盘对心垂轴的 圆盘算例
取半径为 微宽为 窄环带的质量为质元 的
刚体平动
质点运动
一 刚体的平动和定轴转动
2. 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
定轴转动参量
1. 角位置
刚体定轴转动 的运动方程
刚体
刚体中任 一点 (t+△t) (t) 参考 方向
2. 角位移
3. 角速度
静止 常量 变角速
转动平面（包含p并与转轴垂直）
力学(Mechanics)
第五章 刚体的定轴转动
§5.1 刚体的平动和定轴转动 §5.2 刚体定轴转动定律 §5.3 转动定律的应用 §5.4 刚体定轴转动的角动量守恒定律 §5.5 刚体定轴转动的功和能
实践与应用
一 刚体的平动和定轴转动
什么是刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体 . （任意两质 点间距离保持不变的特殊质点组） 1.平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意 两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线 .
转动惯量
J 是刚体转动惯性的量度
=Jb
与质点运动定律 F
= m a 对比
J
∑
与刚体的质量、形状、大小 及质量对转轴的分布情况有关
对分离和连续刚体，转动惯量都符合标量叠加原则
对质量连续分布的刚体用积分求
J ， 如对体分布情形：
为体积元 处的密度
J J
的单位为
（1）可视为分立质点结构的刚体
转轴
若连接两小球（视为质点）的 轻细硬杆的质量可以忽略，则